Problemas Oma
Problemas Oma
Problemas Oma
Año 1996
Problema 1: Hallar todos los números enteros n de 5 dígitos tales que al suprimir el dígito del
medio queda un número m de 4 dígitos que verifica que n/m es entero.
Problema 2: Por un punto P exterior a una circunferencia C se trazan las dos rectas tangentes; sean
Q y R los puntos de tangencia. Sea A un punto en la prolongación de PQ y sea C' la circunferencia
circunscripta al triángulo PAR.
La recta AR corta a la circunferencia C en R y en C.
Las circunferencias C y C' se cortan en B y en R.
Demostrar que los ángulos PAR y ABC son iguales.
Problema 3: Sea A un conjunto de números enteros entre 100 y 1000 inclusive, tal que sus
elementos están en progresión geométrica de razón mayor que 1. ¿Cuál es la máxima cantidad de
elementos que puede tener A?
ACLARACIÓN: La razón de la progresión geométrica puede no ser un número entero, por ejemplo,
81, 108, 144, 192, 256 es una progresión geométrica de números enteros y razón 4/3.
Año 1997
Problema 1: Hallar el menor entero positivo a para el cual se verifica que hay 1997 cuadrados
perfectos comprendidos estrictamente entre a y 2a.
Problema 2: Hallar las primeras 1000 cifras después de la coma de la expresión decimal del número
( √ ) .
Problema 3: Sea ABC un triángulo isósceles de base AB. Con centro en el punto medio de AB se
traza la semicircunferencia tangente a los lados de AC y BC del triángulo. Sean P en el lado AC y Q
en el lado BC tales que PQ es tangente a la semicircunferencia. Si PA = a y QB = b, hallar la medida
de AB en términos de a y b.
Año 1998
Problema 1: Sea n un número natural tal que
a2 + b2 + n2 19a + 98b
para todo número real a y para todo número real b. Hallar el menor valor posible del número
natural n.
Problema 2: ¿Cuántos son los números naturales de 1000 cifras con todas sus cifras impares y tales
que la diferencia entre los dígitos ubicados en posiciones consecutivas es siempre igual a 2?
Problema 3: En el triángulo ABC sean D en el lado AC tal que BD es bisectriz del ángulo ̂ y E en el
lado AB tal que CE es bisectriz del ángulo ̂ . Si 2. ̂ = 3 ̂ y ̂ = 2 ̂ , hallar las medidas de los
ángulos del triángulo ABC.
Año 1999
Problema 1: En cada casilla de un tablero de 5 x 5 se debe colocar uno de los números 1, 2, 3, 4, 5,
de modo que en cada fila figuren los cinco números, en cada columna figuren los cinco números y
en cada diagonal figuren los cinco números. La suma de los cuatro números que quedan colocados
en las cuatro casillas sombreadas es el puntaje final del juego.
a) Demostrar que es imposible obtener el puntaje 20.
b) Determinar cuál es el máximo puntaje que se puede obtener.
Problema 2: Un número a de tres cifras es raro si existe un número b de dos cifras tal que al dividir
a por b, el resto es igual al cubo del cociente. Por ejemplo, 100 es raro porque al dividirlo por 46, el
cociente es 2 y el resto es 8 = 23.
¿Cuántos números raros de tres cifras hay?
Año 2000
Problema 1: Se escribe una lista de números de acuerdo con las siguientes reglas: en el primer paso
se escribe 84; en el segundo paso se escribe 132. A partir de aquí, en cada paso se escribe el
número que resulta de sumarle al último número escrito el máximo común divisor de los dos
últimos números escritos. Por ejemplo, el tercer número es el resultado de 132 + mcd(84;132).
¿En qué paso se escribirá por primera vez un número terminado en 7 ceros?
Problema 2: Matías debe elegir 1000 números enteros distintos entre 1 y 2000 inclusive, de modo
tal que no haya entre los elegidos dos que sumen 2001, y que la suma de los 1000 números sea
1000500. Luego debe calcular la suma de los cuadrados de los 1000 números elegidos. ¿Cuántos
resultados diferentes puede obtener?
Problema 3: Un rombo está contenido en el interior de una circunferencia. Se prolongan cada uno
de sus lados en los dos sentidos, hasta intersectar a la circunferencia; de este modo quedan
determinados 8 segmentos con un vértice sobre la circunferencia y el otro coincidente con un
vértice del rombo. En la figura se indican las longitudes de cuatro de estos segmentos. Hallar la
suma de las longitudes de los restantes cuatro segmentos.
2
4
1 3
Año 2001
Problema 1: Hallar todos los números enteros n tales que es también un número entero.
Problema 2: Sea n la suma de todas las potencias de 19, desde 19 hasta 192001:
n = 19 + 192 + 193 + ... + 192001
Hallar el resto de la división de n por 7620.
Problema 3: Sean ABCD un rectángulo, M el punto medio del lado BC y P, Q puntos del lado AB
tales que ̂ = ̂ = ̂ y AQ = 2 BP. Calcular la medida del ángulo ̂ .
Año 2002
Problema 1: En el pizarrón estaban escritos los n números naturales desde 1, 2, 3, …, n, donde n es
par. Nico borró cuatro números pares consecutivos. El promedio de los números que quedaron
escritos es igual a 41,375. Hallar el valor de n y determinar los cuatro números que borró Nico.
Aclaración: Cuatro números pares a < b < c < d son consecutivos si b – a = c – b = d – c = 2. Ejemplos:
2, 4, 6 y 8 14, 16, 18 y 20.
Problema 3: Un albañil debe fabricar un ladrillo tal que el volumen (medido en centímetros
cúbicos) sea igual al doble del área lateral (medida en centímetros cuadrados). Determinar el
mínimo valor posible del área lateral del ladrillo.
Año 2003
Problema 1: El conjunto de los números enteros desde 1 hasta 2003 inclusive se divide en dos
grupos: un grupo con los que tienen la suma de sus dígitos impar y el otro con los que tienen la
suma de sus dígitos par. Sea A la suma de los números del primer grupo y B la suma de los números
del segundo grupo. Calcular A – B.
Problema 3:
(a) Hallar todos los enteros n tales que 2n – 1 es divisible por 7.
(b) Demostrar que cualquiera sea el entero positivo n, 2n + 1 no es divisible por 7.
Año 2004
Problema 1: Sea ABC un triángulo rectángulo en A y M, N puntos del lado BC tales que BM MN
CN. Si AM3 y AN 2, calcular la medida de MN.
Problema 2: Hallar todos los pares de enteros positivos distintos a y b que tienen la misma cantidad
de dígitos y el número que se obtiene al escribir b a continuación de a es divisible por el número
que se obtiene al escribir a a continuación de b.
Año 2005
Problema 1: Consideramos un tablero de 10 x 10 cuadriculado en cuadritos de 1 x 1, y tres tipos de
fichas que cubren cada una exactamente 4 cuadritos del tablero.
0
tipo 1 tipo 2 tipo 3
a) Decidir si se puede cubrir el tablero utilizando 4 fichas de tipo 1 y 21 fichas de tipo 2.
b) Decidir si se puede cubrir el tablero utilizando 4 fichas de tipo 1, 19 fichas de tipo 2 y 2 fichas de
tipo 3.
Aclaración: Las fichas se pueden girar y/o dar vuelta.
Problema 2: Germán y Maxi juegan por turnos. Empieza Maxi diciendo un número entero positivo
impar, y luego, cada vez que le toque jugar debe decir un número entero positivo impar que sea
mayor al que dijo en su turno anterior. Germán, en cada turno, debe decir un cuadrado perfecto
que sea mayor o igual que la suma de todos los números dichos por Maxi hasta ese momento. El
objetivo de Maxi es que, al cabo de algún turno suyo, la suma de todos los números que él ha dicho
desde que empezó el juego, sea menor que el último número de Germán. El objetivo de Germán es
impedírselo. Los dos juegan a la perfección. Decidir si Maxi puede lograr su objetivo o Germán
siempre lo puede neutralizar.
Problema 3: Se consideran tres puntos sobre una recta, A, B, C, con B entre A y C. Sean AA, y BB
dos rectas paralelas tales que A y B están en el mismo semiplano respecto de AB y A, B, C no
están alineados.
Sea O el centro de la circunferencia que pasa por A, A, C y sea P el centro de la circunferencia que
pasa por B, B, C. Hallar todos los valores posibles del ángulo ̂ tales que:
área(ACB) = área(OCP).
Año 2006
Problema 1: Magalí y Nacho tienen que escribir cada uno una lista ordenada de fracciones de
manera que las dos listas tengan la misma cantidad de fracciones y que la diferencia entre la suma
de todas las fracciones de la lista de Magalí y la suma de todas las fracciones de la lista de Nacho
sea mayor que 123. Las fracciones de la lista de Magalí son
; ; ; ; ;…
y las fracciones de la lista de Nacho son
; ; ; ; ;…
Hallar la menor cantidad de fracciones que debe escribir cada uno para lograr el objetivo.
Problema 2: Nico tiene que escribir dos progresiones aritméticas con la mayor cantidad posible de
términos y tales que
Las dos progresiones tengan igual cantidad de términos.
Las dos progresiones tengan el mismo primer término.
El producto del último término de una progresión por el último término de la otra progresión sea
igual a 16.
El producto del penúltimo término de una progresión por el penúltimo término de la otra
progresión sea igual a 30.
El producto del antepenúltimo término de una progresión por el antepenúltimo término de la
otra progresión sea igual a 42.
Hallar las dos progresiones que debe escribir Nico. Dar todas las posibilidades.
Problema 3: Se tienen 4 esferas en el espacio, cada una tangente exteriormente con las otras 3.
Dos de las esferas son de radio 3 y las otras dos, de radio 2. Una quinta esfera es tangente
exteriormente a cada una de las cuatro anteriores. Determinar el radio de esta quinta esfera.
Año 2007
Problema 1. Calcular el valor de la expresión
A=( )( )…( )
donde se han multiplicado las 99 fracciones de la forma ( ) para todos los enteros k desde 2
hasta 100 inclusive.
Problema 3: Sea T un triángulo isósceles y rectángulo. Demostrar que T se puede dividir en varios
triángulos isósceles y rectángulos todos de distintos tamaños (no congruentes entre sí).
Año 2008
Problema 1: Nico elige un entero positivo n mayor que 1. A continuación, Gonzalo debe elegir tres
enteros distintos, a, b, c, mayores que n2 y menores que (n + 1)2, tales que a2 + b2 sea múltiplo de c.
Demostrar que no importa que número elija Nico, Gonzalo siempre podrá lograr su objetivo.
Problema 2: Para cada número natural n se consideran 2n puntos del plano que son los vértices de
un polígono regular de 2n lados. Hay que trazar n segmentos que unan dos de estos puntos de
modo que cada uno de los puntos sea extremo de exactamente un segmento y que los n segmentos
tengan longitudes distintas.
Determinar todos los valores de n para los cuales esto es posible.
Aclaración: Está permitido que los segmentos que se trazan se crucen entre sí.
Año 2009
Problema 1: Calcular el menor valor del entero positivo n para el que la ecuación
⌊ ⌋ = 2009
tiene tres o más soluciones enteras positivas. Para el n hallado, dar todos los valores de x que son
solución.
Aclaración: Los corchetes ⌊ ⌋ denotan la parte entera del número que encierran.
Por ejemplo, ⌊ ⌋ = 3, ⌊ ⌋ = 18, ⌊ ⌋ = 13.
Problema 2: En un cubo de arista 1, sean A y B dos vértices tales que AB es una diagonal de una
cara del cubo. Llamamos camino de longitud 100 a una sucesión de 101 vértices tales que la
distancia entre dos vértices consecutivos es siempre igual a 1 o sea, un camino que partiendo de un
vértice recorre 100 aristas del cubo. Consideramos el conjunto de todos los caminos de longitud
100 que empiezan y terminan en A y el conjunto de todos los caminos de longitud 100 que
empiezan en A y terminan en B. Determinar cuál de estos dos conjuntos contiene más caminos.
Aclaración: Si una arista es parte de un camino, entonces está totalmente contenida en el camino, o
sea, se recorre de un extremo al otro.
Los caminos tienen vértices y aristas repetidos.
Problema 3: Se tienen tres figuras con todos sus vértices en una misma circunferencia de centro O:
un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono regular. Los vértices de estas figuras dividen a
la circunferencia en 12 arcos. Sea ̂ uno de estos arcos de longitud mayor o igual que la de cada
uno de los otros 11. Determinar el mínimo valor posible del ángulo ̂ .
Año 2010
Problema 1: Un número natural n se dice bueno de orden 5 si existen al menos 5 pares distintos
(x,y) de números naturales tales que para cada uno de ellos n = 3x + 139y.
Hallar el menor número bueno de orden 5.
Año 2011
Problema 1: En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 1234 inclusive. La
operación permitida es elegir dos o tres números escritos, calcular su suma, dividir la suma por 11 y
escribir en el pizarrón el resto de esta división, aun en el caso en que éste sea igual a 0. Luego,
borrar los números elegidos.
Después de realizar esta operación varias veces, quedan en el pizarrón solo dos números, y uno de
ellos es 1000. Determinar, si es posible, el otro número que quedó en el pizarrón.
Año 2012
Problema 1: En el tablero ya hay escritos 4 números. En cada casilla vacía, escribir un número
entero positivo de modo que en cada fila los números escritos formen una progresión aritmética y
en cada columna los números escritos formen una progresión aritmética.
Aclaración: Una progresión aritmética es una secuencia de números tales que cada uno se obtiene
del anterior sumando un cierto número fijo d llamado diferencia o razón de la progresión.
Urbana: Salado/Fortines:
75
75 145
184 104
104 0
0
Problema 2: Definimos f(n) en los enteros no negativos de la siguiente manera: f(0) = 0, f(1) = 0,
f(2) = 1 y para n 3, sea f(n) el menor entero positivo que no divide a n. Sea F(n) = f ( f ( f (n))). Sea S
la suma de los primeros valores de F aplicada a los números del 1 al 2012 inclusive, es decir,
S = F(1) + F(2) + F(3) + … + F(2012).
Calcular el valor de S.
Problema 3: Un rectángulo de papel tiene dos lados que miden √ , y los otros dos .
√
Con cuatro cortes rectos, hay que dividir el rectángulo en 5 pedazos con los que se pueda armar un
rectángulo de 2 x 1, sin huecos ni superposiciones.
Año 2013
Problema 1: Sobre dos rectas paralelas r y s hay varios puntos marcados. Se cuentan todos los
triángulos que se forman usando como vértices a tres de esos puntos (dos en una recta y otro en la
otra). Si se quita un punto marcado en r y se agrega uno en s, se forman 22 triángulos menos que
antes. Determinar cuántos puntos hay marcados en cada recta. Dar todas las posibilidades.
Problema 2: Determinar todos los números primos positivos p y q y los enteros positivos n tales
que: n2 = p2 + q2 + p2q2
Problema 3: Sea ABC un triángulo rectángulo, con ̂ = 90° y altura CD. El punto J es la intersección
de las bisectrices del triángulo ACD y el punto K es la intersección de las bisectrices del triángulo
BCD. La recta JK corta a AC y BC en M y N respectivamente. Si CD = 2, hallar los ángulos y el área del
triángulo MNC.
Año 2014
Problema 1: Tres amigos A, B, C viajan desde F hasta G. La distancia entre estos dos pueblos es
17km. Salen los tres al mismo tiempo y llegan al mismo tiempo. Las velocidades de los amigos son,
respectivamente, 40m/min, 50m/min, 60n/min. Tienen entre los tres una bicicleta en la que todos
van a 200m/min. Al principio, uno sale en bicicleta y los otros dos, caminan. Después de cierto
tiempo, el de la bicicleta, la deja y continúa a pie. Otro de los amigos, el que llega primero la toma y
sigue un rato en bicicleta. Luego la deja y sigue a pie. Finalmente, el tercer amigo toma la bicicleta y
llega a G al mismo tiempo que sus otros dos amigos. Determinar cuánto tiempo recorrió cada uno
en bicicleta.
(m/min es la abreviatura de metros por minuto).
Problema 2: Demostrar que en cualquier sucesión de 79 enteros positivos consecutivos hay uno de
ellos cuya suma de dígitos es múltiplo de 13. Dar una sucesión de 78 enteros positivos consecutivos
tales que ninguno tenga la suma de sus dígitos divisibles por 13.
Problema 3: Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD y DA. Se consideran puntos X e Y en
los lados BC y CD respectivamente, tales que BX = DY. Demostrar que si P es el punto donde se
cortan BY y DX entonces P pertenece a la bisectriz del ángulo A.
Año 2015
Problema 1: Tres números forman una progresión aritmética de diferencia 11.
Al primer número se le resta 6, al segundo se le resta 1 y al tercero se lo multiplica por 2.
Se obtienen así tres números que forman una progresión geométrica.
Determinar los tres números originales. Dar todas las posibilidades.
Problema 3: Se dan en el plano una recta r y un punto A que no pertenece a la recta. Cada punto M
de la recta r determina un punto N del plano de modo que el triángulo AMN es equilátero,
considerando los vértices del triángulo AMN en sentido horario.
Hallar el lugar geométrico de los vértices N de los triángulos AMN cuando el vértice M se mueve en
la recta r.
Año 2016
Problema 1: Sea A un conjunto de seis números enteros consecutivos (puede haber negativos o
cero). Demostrar que el conjunto A no se puede partir en dos conjuntos sin elementos en común
de modo que la multiplicación de los números de uno de los conjuntos de la partición sea igual a la
multiplicación de los números del otro conjunto de la partición.
Problema 2: Hallar un número entero b > 6 de modo que el número 5654 en base b sea la
representación de una potencia de un número primo.
2000 Propiedad: Si P es el
IX punto de intersección t
2
de dos cuerdas XY y ZW 4
Ecuaciones. x + y + z + t = 10.
2 2
Problema 1 n + 7 = n – 9 + 16. Nº 13/Pág.
n = {-19; -11; -7; -5; -4; -2; -1; 1; 5; 13}
(XIX-307) Diferencia de cuadrados 125 y 126.
7620 = 20.381
2001 Problema 2 Nº 13/Pág.
19x + 19x+1 = 19x(1+19) = El resto de dividir n por 7620 es 7239.
X (XIX-310) 20.19x. 128 y 129.
Problema 3 Triángulos rectángulos Nº 13/Pág. ̂ = 54°.
(XIX-309) semejantes. 127 y 128.
Ecuaciones y Los números que borró Nico son:
Problema 1 inecuaciones. Nº 14/Pág. 62, 64, 66 y 68.
(XX-308) 126 a 128.
S= . n = 84.
2002
XI Problema 2 Triángulos rectángulos Nº 14/Pág. Radio C2 = √ .
(XX-309) semejantes. Ecuaciones. 128 a 130. Radio C3 = √ .
Problema 3 Fórmulas de área y Nº 14/Pág. El mínimo valor posible del área
(XX-310) volumen. Ecuaciones. 130 y 131. lateral del ladrillo es 123/2.
Problema 1 Nº 15/Pág.
Ecuaciones. A – B = 2.
(XXI-307) 119 y 120.
2003 Las áreas de los
XII Problema 2 cuadriláteros están en Nº 15/Pág.
Área (DEQO) = 5 + 3.5 = 20.
(XXI-311) progresión aritmética. 123 y 124.
Ecuaciones.
Recopilación de Enunciados OMA – Provinciales – Nivel 3 Profesor Walter Oscar Rosello 10
OMA – Provinciales – Nivel 3
Ecuaciones. yi = –4 + .(i – 1)
para todo i, y se verifica:
x14.y14 = –56.( ) = 42;
x15.y15 = –60.( ) = 30;
x16.y16 = –64.( ) = 16.
4 √
4
G H
√ √
Demostración por
Problema 1 absurdo. Congruencia Ver libro.
módulo 7.
2016
Probar a partir del
XXV Problema 2 primer número posible. b = 7.
Arco capaz.
Problema 3 Cuadriláteros cíclicos. Ver libro.