EJE TEMATICO I EVALUACIÓN 1 (20%)

PROBABILIDADES
Prof. Fernando Rosales

el estudio de las variables estadísticas, o de su disposición organizada en una tabla

D de distribución de frecuencias, sabemos que a cada valor de la variable le corresponde

una frecuencia, que a veces se expresa como una frecuencia relativa o porcentaje. En
las distribuciones de probabilidad de una variable discreta le hacemos corresponder a cada
valor de la variable la probabilidad de que ese valor ocurra. Si la variable es continua, las cosas
se complican un poco más, porque la probabilidad de que un valor determinado ocurra es cero,
y esto es así dado que la variable puede tomar infinitos valores. En cualquier caso, es necesario
tener una idea de lo que es la probabilidad, y por ahí
vamos a comenzar esta Unidad. Continuaremos con
los conceptos de probabilidad condicionada, proba-
bilidad total y teorema de Bayes. Luego, centraremos
nuestro estudio en una distribución de probabilidad
discreta, la distribución binomial, y en una distribución
de probabilidad continua, la distribución normal.

La distribución normal fue presentada por vez

primera por Abraham de Moivre (1667–1754) en su
obra The Doctrine of Chances, y aparece a partir de
la distribución binomial cuando el número de pruebas
n es muy grande. Laplace (1749–1829) amplía el
conocimiento de la normal en su libro Teoría analítica
de las probabilidades (1812), aunque parece ser que
Gauss (1777–1855) la conocía desde 1794. El nombre
de Gauss está asociado a esta distribución porque
la usó habitualmente cuando analizaba errores de
Abraham de Moivre (Wikimedia Commons)
medida y datos astronómicos.

En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes:

1. Recordar los conceptos de probabilidad de un suceso y número combinatorio.
2. Distinguir entre variable estadística y variable aleatoria, y entre variables aleatorias discretas
y continuas.
3. Conocer y utilizar fórmulas y tablas para resolver problemas de distribución binomial.
4. Conocer cómo se tipifica una variable aleatoria normal y cómo se utilizan las tablas de la
N(0, 1).
5. Resolver problemas de distribución binomial con ayuda de la distribución normal.

001
 PROBABILIDAD CONDICIONADA PROBABILIDAD
TOTAL

SUCESOS Y PROBABILIDAD TEOREMA DE

OPERACIONES BAYES

Variables aleatorias discretas Variables aleatorias continuas

Distribución binomial Distribución normal

Función de probabilidad Tipificación de la variable

Manejo de la tabla Aproximación de la Manejo de la

de la binomial binomial por la normal tabla de la N (0,1)

002
1. Probabilidad
1.1. Experiencias aleatorias y sucesos
Muchos fenómenos observables tienen un resultado imprevisto: el juego de arrojar un dado o una moneda,
extraer una carta de un mazo de naipes, extraer números de la Lotería Primitiva, etc. A este tipo de fenómenos
se les denomina experiencias aleatorias o juegos y se caracterizan porque:

a) su resultado es imprevisible;

b) podemos realizar el experimento tantas veces como queramos, siempre en las mismas condiciones.

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio y lo simbolizamos
por la letra E.

Al arrojar una moneda y observar si sale cara o cruz, el espacio muestral es E = {cara, cruz}. Si tiramos un
dado, el espacio muestral resulta ser E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Al elegir un naipe en una baraja de 40 cartas, podemos
suponer que a cada una le asignamos un número distinto del 1 al 40, entonces el espacio muestral es
E = {1, 2, 3, 4, …, 39, 40}.

En el juego de lanzar dos dados el espacio muestral es:

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2 , 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
( 4, 1) ( 4, 2) ( 4 , 3) ( 4, 4 ) ( 4 , 5) ( 4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6,, 5) (6, 6)

Se denomina suceso a cada uno de los subconjuntos de un espacio muestral.

Los sucesos, como son subconjuntos, pueden determinarse enumerando sus elementos o mediante una
propiedad que cumplan exclusivamente sus elementos. En el juego de arrojar un dado los subconjuntos
A = {1, 4, 5} y B = {salir número par} son sucesos; es evidente que B = {2, 4, 6}.

Los sucesos constituidos por un único elemento se llaman sucesos elementales. En el espacio muestral
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, los subconjuntos: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} son sucesos elementales. Los conjuntos Ø (vacío)
y E (espacio muestral) se denomina suceso imposible y suceso seguro.

Decimos que, al realizar un experimento aleatorio, se presenta un suceso A, si el resultado de dicho experimento
es uno cualquiera de los sucesos elementales que pertenecen a A. Por ejemplo, si arrojamos un dado y el resultado
es el suceso elemental {4}, además de éste, se presentan todos los sucesos que tienen al 4 como uno de sus
elementos: A = {salir número par}, B = {salir número mayor que 3}, entre otros.

003
 Ejemplo
1. En el juego de tirar dos dados y sumar las puntuaciones, ¿cuáles son los elementos del suceso A = {sumar 3} y
del suceso B = {sumar 11}?
Solución:
A = {sumar 3} = {(1,2) y (2,1)} y B = {sumar 11} = {(5,6) y (6,5)}.

Actividades
1. En el juego o experimento aleatorio de tirar un dado:
a) ¿Cuáles son los elementos del suceso A = {salir un número menor o igual que seis}?
b) ¿Cuál es el suceso B = {salir un múltiplo de siete}?
c) ¿Cómo se llaman los sucesos A y B de este juego?
2. En el juego de tirar dos dados describe los sucesos A = {sumar 8} y B = {sacar al menos un 5}.

1.2. Operaciones con sucesos

Con los sucesos podemos hacer dos operaciones: la unión y la intersección.

La unión de dos sucesos A y B es otro suceso que simbolizamos por A∪B y que contiene los sucesos elementales
de A, de B o de ambos, A∪B = {x / x∈A ó x∈B}.

La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso que simbolizamos por A∩B y que contiene los sucesos
elementales que pertenecen simultáneamente a A y a B, A∩B = {x / x∈A y x∈B}.

Dos sucesos son incompatibles cuando

_ su intersección es el suceso imposible, ∅. El contrario
_ o complementario
de un suceso A se representa
_ _ por A, y se realiza
_ siempre y cuando no suceda A: A∩A = ∅. Es obvio que el
suceso contrario de A_, A , es A, luego A = A . También es evidente que A y lo que no es A constituyen todo el
espacio muestral: A∪A = E.

Ejemplo
2. Los conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3} y C = {4, 5} son sucesos del experimento de lanzar un dado. Halla A∪B,
A∪B∪C, A∩B, A∪A, B∩B, B∩C, E∪B y E∩B.
Solución:
A∪B = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5},
A∪B∪C = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 3} ∪ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5},
A∩B = {1, 3, 5} ∩ {1, 2, 3} = {1, 3},
A∪A = {1, 3, 5} ∪ {1, 3, 5} = {1, 3, 5} ,
B∩B = {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3} = {1, 2, 3},
B∩C = {1, 2, 3} ∩ {4, 5} = ∅, son incompatibles,
E∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E,
E∩B = {1,2,3,4,5,6} ∩ {1,2,3} = {1,2,3} = B.

004
 Actividades
3. En el juego de lanzar un dado ¿cuál es el contrario de A = {salir mayor o igual que 5}? Si B = {múltiplo de 3}, ¿cuál
es el suceso A∩B?
4. En el juego de lanzar dos dados describe los sucesos A = {sumar
_ 7} y B = {salir al menos un 6}. ¿Cómo son los
sucesos A∪B y A∩B? ¿Cuántos elementos tiene el suceso A ?

1.3. Probabilidad de un suceso

Hay dos modos de atribuir probabilidad a un suceso:

a) Mediante la frecuencia relativa del suceso, cuando el número de veces que repetimos el experimento es
muy grande.

b) Admitiendo como axiomas de la probabilidad las afirmaciones siguientes:

1. La probabilidad de un suceso A es siempre un número real no negativo, P(A) ≥ 0.

2. La probabilidad del suceso seguro E es 1, P(E) = 1.

3. Si A y B son sucesos incompatibles, A∩B = ∅, la probabilidad de la unión es igual a la suma de P(A)

y P(B) , P(A∪B) = P(A) + P(B).

Estos axiomas, unidos al hecho de que cada suceso elemental de un espacio muestral E de m elementos, cuando
1 1
es previsible que tengan la misma posibilidad de salir, tiene una probabilidad de ó
n º de sucesos elementales m
nos permiten encontrar una regla para hallar la probabilidad de otros sucesos. Si A = {a1, a2, a3,...,an} es un suceso,
entonces A = { a1} ∪ { a2} ∪ { a3} ∪...∪ { an } , siendo todos los ai evidentemente incompatibles dos a dos. Por lo tanto,
1 1 1 n
P ( A) = P ({a1 }) + P ({a2 }) + ......... + P ({an }) = + + ... + = .
m m m m
Es decir, la probabilidad de un suceso A es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos elementales
n º de elementos de A
que constituyen A. Luego, P ( A) = . Los elementos de A se llaman resultados favorables
n º de elementos de E
a la realización del suceso A y los del espacio muestral E resultados posibles. Por esto se acostumbra a escribir:
n º de casos favorables
P ( A) = . Este cociente se llama Regla de Laplace. Hay que insistir en que sólo se
n º de casos posibles
puede aplicar cuando todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad.

Ejemplos
3. Como consecuencia de los axiomas de probabilidad podemos afirmar que:
a) P(∅) = 0; b) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para cada suceso A; c) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), si A y B no son incompatibles.
Solución:
a) P(E) = P(E∪∅) = P(E) + P(∅), luego P(∅) = 0.
_ _ _
b) Si P(A) ≥ 0, como P(E) = P(A∪A) = P(A) + P(A) = 1, entonces P(A) = 1 – P(A) y P(A) ≤ 1.

005
 c) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), porque si A y B no son incompatibles y no restamos P(A∩B) estaríamos
contado los elementos de A∩B dos veces: una vez en A y otra en B.
4. Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga número par? ¿Cuál es la probabilidad de que no salga
número par? ¿Y de qué salga par y mayor que 2?
Solución:
3 1
El suceso salir par es A = {2, 4, 6} y P ( A) = = ; no salir par es el contrario de A, es decir, A y A = {1, 3, 5},
6 2
3 1
luego P ( A ) =
= . Vemos que P ( A) + P ( A ) = 1 ó P(A ) = 1 − P ( A); salir mayor que 2 es B = {3, 4, 5, 6} y salir
6 2
2 1
par y mayor que 2 es A ∩ B = { 4, 6}; luego P ( A ∩ B ) = = .
6 3
5. Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número primo? ¿Y de que salga primo e impar? ¿Cuál
es la probabilidad de que salga un número que ni es primo ni impar?
Solución:
4 2
El suceso salir número primo es A = {1, 2, 3, 5} y P ( A) = = ; salir impar es B = {1, 3, 5} y salir primo e impar es
6 3
3 1 2 1
A ∩ B = {1, 3, 5}; luego P ( A ∩ B ) = = . El suceso no primo y noo impar es C = { 4, 6}, luego P (C ) = = .
6 2 6 3

Actividades
5. En un sombrero negro hay 11 fichas iguales: 5 negras y 6 blancas. Al lado hay un sombrero gris con 7 fichas
iguales: 3 negras y 4 blancas. Si quisiéramos una ficha negra, ¿qué sombrero ofrece mayor probabilidad?
_
6. En el juego de_lanzar dos dados si A = {sumar 7}, calcula la probabilidad del suceso A y del suceso A . ¿Se cumple
que P(A) + P(A ) = 1?
7. Sea E = {a, b, c, d, e, f} un espacio muestral y P una medida de probabilidad en E definida por: P(a) = P(b) = P(c)=
= P(d) = P(e)_ = P(f) = 1/6. Se consideran los sucesos A = {a, c, d, e} y B = {d, e, f}. Halla P(A), P(B) ,P(A∩B),
P(A∪B) y P(A).

1.4. Probabilidad condicionada

A veces la probabilidad de un suceso se ve modificada si conocemos que ha tenido lugar otro suceso, es
decir, la información de que ha ocurrido un suceso puede modificar la probabilidad de otro. Por ejemplo, en el
3 1
juego de tirar un dado, la probabilidad de B = {salir mayor que 3} = {4, 5, 6} es P (B ) = = , pero, si ha salido
6 2
un número par, la probabilidad de salir mayor que 3 es 2/3, pues entre los pares del dado sólo hay dos, 4 y 6,
mayores que 3. Llamando A = {salir par} = {2, 4, 6}, entonces, como P(A) = ½, la probabilidad de B condicionada
al conocimiento de que ha salido A, simbólicamente P(B/A), es 2/3, es decir, P(B/A) = 2/3. Al dividir numerador y
2 6 P ( A ∩ B)
denominador por 6, número de casos posibles, resulta P (B / A) = = , con A ∩ B = { 4, 6}.
36 P ( A)

006
 La expresión anterior nos conduce a la definición de probab bilidad de B condicionada a A que es
P ( A ∩ B)
P ( B / A) = o, despejando el numerador, P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P (B / A). Sin embargo, en ocasiones
P ( A)
P (B / A) = P (B ) y si esto ocurre decimos que B no depende, o es independiente, de A.

Por ejemplo, siguiendo en el juego de tirar un dado, imaginemos que B = {divisible por 3} = {3, 6} y A = {salir
P ( A ∩ B) 1 6 1 2 1
impar}, entonces P (B / A) = = = y P (B ) = = : el saber que ha salido impar no modifica la
P ( A) 12 3 6 3
probabilidad de B. Al ser P(B /A) = P(B), decimos que los sucesos B y A son independientes y en consecuencia
P(A∩B) = P(A)·P(B /A) = P(A)·P(B).
Esta última igualdad, que caracteriza a los sucesos independientes, la emplearemos en el cálculo de probabilidades
de sucesos en juegos de varias pruebas.

1.5. Cálculo de probabilidades en experiencias de dos

o más pruebas
Para calcular la probabilidad de un suceso cuando realizamos experiencias con varias pruebas (tirar dos dados, o
un dado varias veces, extraer varias cartas de una baraja, o varias bolas de una urna) es importante conocer si las
pruebas son independientes o si, por el contrario, afecta el resultado de una a la siguiente. Es obvio que si dos
pruebas de un juego son independientes los sucesos de una prueba serán independientes de los de la otra.
Pruebas independientes
Analicemos un ejemplo. En una urna hay cinco bolas de igual tamaño, 2 son negras y 3 blancas. Se extrae
una bola al azar, se observa y se devuelve a la urna. Seguidamente se repite la misma operación. Estamos ante
una experiencia aleatoria de dos pruebas. El resultado de la primera prueba no influye en la segunda, puesto
que al devolver la bola se restituyen las condiciones iniciales, son pruebas independientes. Luego los sucesos de
la primera prueba son independientes de los de la segunda.
Calculemos la probabilidad de extraer una bola blanca seguida de una negra BN: {Blanca en la 1ª} y
{Negra en la 2ª} = {Blanca en la 1ª}∩{Negra en la 2ª}; son sucesos en pruebas independientes por lo que son
también independientes. Así tendremos que:
P(BN) = P({Blanca en la 1ª} y {Negra en la 2ª}) = P({Blanca en la 1ª}∩{Negra en la 2ª}) =
3 2 6
= P({Blanca en la 1ª}) · P({Negra en la 2ª}) = ⋅ = = 0, 24.
5 5 25
Este hecho nos da pie a utilizar un recurso gráfico llamado diagrama en árbol para representar el juego. Las dos
primeras ramas del diagrama corresponden a las probabilidades de la primera extracción. Si ha salido negra en la primera
prueba, puede salir negra o blanca en la segunda, por eso en la segunda extracción hemos dibujado cuatro ramas:
1ª extracción 2ª extracción
N NN
2/5
N
2/5 3/5 B NB
N BN
2/5
3/5
B
3/5
B BB

007
 El espacio muestral de este juego es: E = {BB, BN, NB, NN} y la determinación de la probabilidad de un suceso
elemental se hace mediante las probabilidades de las ramas que conducen a él.

Si queremos hallar la probabilidad de extraer una bola negra seguida de una negra,
2 2 4
P(NN) = P({N en la 1ª}∩{N en la 2ª}) = P({N en la 1ª})·P({N en la 2ª}) = ⋅ = = 0,16.
5 5 25
Por tanto, podemos hacer la siguiente consideración:

Como la probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes es igual al producto de sus

probabilidades, entonces la probabilidad de un suceso elemental es igual al producto de las probabilidades
de las ramas que conducen a él.

Pruebas dependientes

Si en una urna hay cinco bolas de igual tamaño, 2 negras y 3 blancas, y extraemos una bola al azar, se
observa y no se devuelve a la urna, entonces en la segunda extracción cambian las condiciones iniciales del
juego. Son pruebas dependientes: el resultado de la primera prueba influye en la segunda, pues los sucesos de
la segunda prueba dependen de los de la primera. No cambia la estructura del árbol pero sí las probabilidades
de la segunda prueba:

1ª extracción 2ª extracción
N NN
1/4
N
2/5 3/4 B NB
N BN
2/4
3/5
B
2/4
B BB

En este caso, si queremos hallar la probabilidad de extraer una bola blanca seguida de una negra,
3 2 6
P(BN) =P({B en la 1ª}∩{N en la 2ª}) = P({B en la 1ª})·P({N en la 2ª condicionado a B en la 1ª})= ⋅ = = 0, 3.
5 4 20
Por tanto, podemos hacer la siguiente consideración:

Como la probabilidad de la intersección de dos sucesos dependientes es igual al producto de la probabilidad

de uno de ellos por la probabilidad del otro condicionado al primero, también en el diagrama en árbol la probabilidad
de un suceso elemental es igual al producto de las probabilidades de las ramas que conducen a él.

008
 Ejemplos

6. Se tira un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un 6?

Solución: Las dos pruebas son independientes y su diagrama en árbol es:
1ª tirada 2ª tirada
1 1 1 5 5 1 11
6 6–6 P(Al menos un 6) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
1/6 6 6 6 6 6 6 36
6
1/6 5/6 No 6 6–No 6 Que es lo mismo que
6 No 6–6 5 5 25 11
1/6 P(Al menos un 6) = 1 – P(No salir 6) = 1 − ⋅ = 1 − = .
5/6
No 6
6 6 36 36
5/6
No 6 No 6–No 6
7. Se extraen simultáneamente dos cartas de una baraja de 40. Encuentra la probabilidad de que salgan dos ases.
Solución:
Al ser una extracción simultánea no cabe la devolución. Por tanto, se considera como una extracción sin devolución,
P(Dos ases) = P({As en la 1ª}∩{As en la 2ª}) = P({As en la 1ª})·P({As en la 2ª condicionado a la salida As en la 1ª}) =
4 3 1
= ⋅ = .
40 39 130

Actividades
8. Se extraen dos cartas de una baraja de 40. Encuentra la probabilidad de que salgan dos oros, primero sin reposición
y luego con reposición.
9. Se tira una moneda y a continuación un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara y par?

Para saber más...

En general, un diagrama de árbol presenta siempre la siguieente estructura:

S1 AS1
P(S1 /A)
A
P(A)
P(S2 /A) S2 AS2
S1 BS1
P(S1 /B)
P(B)
B
P(S2 /B) S2 BS2

En cada prueba debemos descomponer la expperiencia en un sistema completo de sucesos (en el apartaddo siguiente
veremos qué es un sistema completo de sucesoss), de modo que la suma de la probabilidad de las ramas enn esa prueba
sea 1, es decir, P ( A) + P (B ) = P (S1 / A) + P (S2 / A) = P (S1 / B ) + P (S2 / B ). Debemos tener cuidado en construir el árbool
que se adecue exactamente a la experiencia. Para ello haay que leer detenidamente los enunciados e identificar cadda
uno de las pruebas de la experiencia.

009
2. Probabilidad total y teorema de Bayes
En ocasiones, es posible calcular la probabilidad de un suceso en función de las probabilidades condicionadas
de ese suceso con respecto a un conjunto de sucesos conocidos. Esto ocurre cuando el conjunto de sucesos
conocidos constituye un sistema completo de sucesos. Un conjunto de sucesos A1, A2, ..., An es un sistema
completo de sucesos si cumple dos condiciones:
1ª) Son incompatibles dos a dos, Ai ∩Aj = ∅, siempre que i ¡ j.
2ª) La unión de A1, A2, ..., An es el suceso seguro A1∪A2∪...∪An = E.

El teorema de la probabilidad total dice así: si A1, A2, ..., An es un sistema completo de sucesos y B es un
suceso del que únicamente conocemos las probabilidades condicionadas P(B /Ai), entonces P(B) viene
dada por la fórmula P(B) = P(A1)·P(B /A1) + P(A2)·P(B /A2) + ... + P(An)·P(B /An).

Demostración: Como A1, A2, ..., An son incompatibles dos a dos, también lo son A1∩B, A2∩B, ..., An ∩B.
Además B = (A1∩B)∪(A2∩B)∪...∪(An ∩B), luego P(B) =P(A1∩B) + P(A2∩B) + ... + P(An ∩B) = P(A1)·P(B /A1) +
P(A2)·P(B /A2) + ... + P(An)·P(B /An).
En los ejemplos veremos que los problemas de la probabilidad total se resuelven con un sencillo diagrama en árbol.

Ejemplo
8. El 40% de los créditos que concede un banco son para la vivienda, el 35% para la industria y el 25% para el
consumo. Resultan fallidos el 4% de los créditos a la vivienda, el 6% a la industria y el 8% al consumo. Se elige al
azar un prestatario del banco, ¿cuál es la probabilidad de que no pague el crédito? ¿Y de que lo pague?
Solución:
0,4 0,35 0,25 Los créditos a vivienda, industria y consumo forman
un sistema completo de sucesos. Son incompatibles
Vivienda Industria Consumo y su unión constituye la totalidad de los créditos que
concede el banco. Hacemos un sencillo diagrama
0,04 0,96 0,06 0,94 0,08 0,92 en árbol vertical de dos pruebas. Un crédito fallido
Fallido No Fallido Fallido No Fallido Fallido No Fallido es el que no se paga y sabemos, por el teorema de
la probabilidad total, que la probabilidad de un suceso
B = {Fallido} es P(B) = P(A1)·P(B /A1) + P(A2)·P(B /A2) + ... + P(An)·P(B /An), es decir, la suma de los productos de las
ramas que llevan a Fallido: P(Fallido) = P(Vivienda)·P(Fallido /Vivienda) + P(Industria)·P(Fallido /Industria) +
+ P(Consumo)·P(Fallido /Consumo) = 0,4·0,04 + 0,35·0,06 + 0,25·0,08 = 0,057. Es decir, el 5,7 % de los créditos
resultan fallidos. La probabilidad de que se pague, es decir, No fallido, será: P( No Fallido) = 1 – P(Fallido) = 1– 0,057 =
= 0,943.
El mismo resultado se obtiene sumando los productos de las ramas que conducen a No fallido. Al porcentaje de
créditos fallidos lo denominan los bancos tasa de morosidad y al que no paga, moroso.

Actividades
10. En un hotel hay tres cajas fuertes. En una de ellas hay 6 joyas buenas y 2 falsas; en otra, 5 joyas de valor y 1
falsa; y en la tercera, 8 joyas valiosas y 3 falsas. Suponiendo que un ladrón sólo puede abrir una caja fuerte y
llevarse una joya, ¿cuál es la probabilidad de que se lleve bisutería?
11. En una empresa el 70% son empleados y el 30% directivos. El 80% de los primeros son personas casadas, mientras
que el 40% de los segundos son personas solteras. Se elige una persona al azar en la empresa. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea soltera?

010
 Teorema de Bayes
Si interpretamos un sistema completo de sucesos, A1, A2, ..., An, como las causas de que se produzcan ciertos
efectos, y uno de esos efectos es un suceso B, entonces el teorema de Bayes permite calcular la probabilidad
de que un efecto tenga una determinada causa. En otras palabras, permite calcular la probabilidad condicionada
P(Ai /B) interpretando ésta como la probabilidad de que la causa de B sea Ai.
El teorema de Bayes tiene este enunciado:

Si A1, A2, ..., An es un sistema completo de sucesos y B es un suceso cualquiera del que únicamente conocemos
las probabilidades condicionadas P(B/Ai), entonces la probabilidad de A i condicionada a B viene dada por fórmula
P ( Ai ) ⋅ P (B / Ai )
P ( Ai / B ) = .
P ( A1 ) ⋅ P (B / A1 ) + P ( A2 ) ⋅ P (B / A2 ) + ... + P ( A1 ) ⋅ P (B / An )

Demostración : De la definición de probabilidad condicionadaa podemos escribir:

P ( Ai ∩ B ) P ( Ai ) ⋅ P (B / Ai )
P ( Ai / B ) = = , pues
P (B ) P ( A1 ) ⋅ P (B / A1 ) + P ( A2 ) ⋅ P (B / A2 ) + ... + P ( A1 ) ⋅ P (B / An )
P (B ∩ Ai )
P (B / Ai ) = , luego P ( B ∩ Ai ) = P ( Ai ∩ B ) = P ( Ai )·P ( B Ai ) y
P ( Ai )
P (B ) = P ( A1 ) ⋅ P (B / A1 ) + P ( A2 ) ⋅ P (B / A2 ) + ... + P ( An ) ⋅ P (B / An ), por el teorem
ma de la probabilidad total.

Ejemplo
9. Un modelo de automóvil se fabrica en 3 factorías distintas: A, B y C. De A sale el 25% de la producción anual, de
B el 42% y de C el 33%. El 2% de los coches fabricados en A sufre una avería el primer mes de rodaje, lo mismo
ocurre con el 3% de los fabricados en B y con el 4% de los fabricados en C. Un cliente tiene un coche que se ha
averiado en el primer mes de uso, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho en C?
Solución:
0,25 0,42 0,33 Los sucesos A, B y C constituyen un sistema completo de sucesos: son
A B C incompatibles y su unión es toda la producción anual de este modelo.
0,02 0,98 0,03 0,97 0,04 0,96 Conocemos el suceso el coche se ha averiado y queremos calcular la
Avería No Avería Avería No Avería Avería No Avería probabilidad de que haya sido fabricado en C; se trata de hallar P(C/Avería)
y es, según la fórmula de Bayes:
P (C ) ⋅ P ( Avería / C ) P (C ) ⋅ P ( Avería / C )
P (C / Avería ) = = =
P ( Avería ) P ( A) ⋅ P ( Avería / A) + P (B ) ⋅ P ( Avería / B ) + P (C ) ⋅ P ( Avería / C )
0, 33 ⋅ 0, 04
= = 0, 4285.
0, 25 ⋅ 0, 02 + 0, 42 ⋅ 0.03 + 0, 33 ⋅ 0, 04

Actividades
12. Se elige una persona al azar en la empresa de la Actividad 11. Sabiendo que se ha elegido una persona soltera,
¿cuál es la probabilidad de que sea directivo?
13. Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La probabilidad de que un caso se
remita al bufete A, al B o al C es 0,3, 0,5 y 0,2, respectivamente. La probabilidad de que un caso remitido a un
bufete sea ganado en los tribunales es 0,6 para el bufete A, 0,8 para el B y 0,7 para el C.
a) Calcúlese la probabilidad de que la empresa gane un caso.
b) Sabiendo que un caso se ha ganado, determínese la probabilidad de que lo llevara el bufete A.

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