La función f(x, y) 5 y2sen x cos y del

. 20 5 f2cos 8xges
y2
fsen yg 0 en
22 ejemplo 0 positiva
1 ? así
5 R, 1 5que
1
La función f(x,10y) 5 sen x cos y del
10 la integral representa el volumen del
ejemplo 8 es30positiva en R, así que
EJEMPLO 8 Si R 5laf0, py2g 320f0, py2g,
20
integral representa entonces,
el volumen del por la ecuación 11, sólido
z sobre R y bajo la gráfica de f
0 sólido sobre R y bajo la gráfica de f que aparece en la figura 16.
2 en
que aparece 30la figura 16. 4 x
30
sen x dx y cos y dy yy sen x cos y dA 5 y
y2 y2

0 0
00 R 22 44 x x 0
8. El mapa de contorno muestra la temperatura, eny2grados y2 y
Fahrenheit, a las cuatro de la tarde 5 2cos
SECCIÓN
del 15.1
26 FIGURA 16sende
de xfebrero y 02007
0 Integrales
5 1 ?en1 rectángulos
dobles 51 x 997 f g f g FIGURA 16
x cos y del
en Colorado. (Este estado midela388 millas de oeste a este y
R, así que 8. El mapa
mapa de
de contorno
contorno muestra
muestra latemperatura,
temperatura, enengrados
grados
276 millas de sur
Valor promedio
olumen del Fahrenheit, aa las a norte.) Use la regla
z del punto medio con
Fahrenheit, las cuatro
cuatrode delalatarde
tardedel del26
26dedefebrero
febrerodede20072007
ráfica de f men5 n 5 4 para
Colorado. estimar
(Este la
estado temperatura
mide 388 promedio
millas de en
oeste Colorado
a este y y f de una variable defi-
en Colorado.
Recuerde de la (Este
secciónestado mide
6.5 que el 388
valormillas de oeste
promedio de unaa este
función
6. a276
esamillas
hora. de sur a norte.) Use la regla del punto medio con
276en
nida millas de sur a[a,
un intervalo norte.)
b] es Use la regla del punto medio con
mm5 5 44 para
5 nn 5 para estimar
estimarlalatemperatura
temperaturapromedio
1promedio
enenColorado
Colorado
0
y
b
aa esa hora.
esa hora. f
20 32 44
prom 5 f sxd dx
24 44 b 2 a a y
28 16 Valor promed
FIGURA 16 x
En forma similar, se define el 20 valor promedio de una función f de dos variables delimi- Recuerde de la secc
24 20 32 44
24
tadas en un rectángulo R24como 32 4444 44 nida en un intervalo
28 16
32 28 16
1 40 44
24
16 fprom 5
AsRd 3236 f sx, yd48
dA yy
24 R En forma similar, s
32 28 40 44 tadas en un rectáng
donde A(R) 32es el área de R. 16
16 3236 40 4448
36
Si f (x, y) ù 0, la ecuación 32 48
28 56 1000 CAPÍTULO 15 Integrales múltiples
Cengage Learning®

1000 CAPÍTULO 15 Integrales múltiples

283 fprom 552 f sx, yd dA
AsRd yy donde A(R) es el ár
20 R 32 Si f (x, y) ù 0, la
y y 3
1 2
56 36 17. 1 2 sx 1 e
2y
d dx dy
24con base R y altura f
y y 39.
Learning®

56 40 17.que sx 1 e bajo
2y
d dxlady
indica que la caja prom tiene
52 el mismo
44 volumen 0 el 1 sólido
©Learning®

e 28 52montañosa 0 1
gráfica de f. [Si z 5 f(x, y) describe una región 48 y se cortan y6y6las cimas de las
y y
2016

y2
20 525632 y2 ssen x 1 sen yd dy dx
18.
3632 valles18. y0 deyque0 ssen
Cengage

montañas en la altura
20 fprom, se pueden usar para rellenar los a fin la x 1 sen yd dy dx
región indica que la caja c
24 4036
40. 4
Cengage

0 0 gráfica de f. [Si z 5
e 24
se vuelva completamente plana. Véase la figura 17.] 44 40 3 5 ln y
28 FIGURA 3 17
yy yy
2 y2
5 ln y
48 44
19. y y0 x sen y dy dx 20. y y1 1 xydy dx se vuelva completa
19. 2 y2
x sen y dy dx 20. dy montañas
dx en la altu
e 17
© 2016

28 FIGURA
5248 SECCIÓN00 15.1 1 1 999xy
© 2016

56 Integrales dobles en rectángulos

D
0
Evalúe la9integral
9-11EJEMPLO doble identificándola
de la fiprimero
gura 18como 52el56 la altura en pul
El mapa de contorno muestra 41. 4
EJEMPLO 9 El ma
y yye ye
12 2
Integrales dobles en rectángulos
estadoEJERCICIOS
tiene la C
y1 y11 y 276 millasdydxdx
forma de un rectángulo que mide 388 millas de oeste a 1este
x2y
22.22 0
dy
ieve que cayó en e
15.1
9. yyEvR s2
dA, | 2de<contorno
5 hsx, yd identi < 6, 21primero
xficándola < y < 5j form4
estado tiene la42.
9-11 sural˙aenorte.)
de Evalúe la inegralUsedoble
eldoble
mapa para como
estimar el
la nevada
el promedio en
y2 todo 3el
9-11 la integral identifi cándola primero como 23. y y tt22sen
33 y2
v oluen
1.10. s2x
(a)estado
de1un
Rstimede
1dsÛldA,
ido. Ren5esos
el Colorado
volumen
volumen de un sólido.
hsx,que
del sólido | 0encuentra
yd se
días. < x < 2, 0<
bajo la y < 4j 00 00y
sen3 dd dtdt estado de Colorado
z 5dA, 43. 4
yysuperfi cie R y5sobre
xy 5 el |1g2 <
f0,rectángulo
xx
24 xe
xe
R s2 y0 y1
s4 2 dA,
2yd Rhsx, yd 3 f0,
x <1g6, 21 < y < 5j 24.
11 2
dy
dydx
dx
9. yyR s2RdA, 5 h(x,Ry) 5u 0 hsx,
øxø yd6, 02ø<y xø<
10. yyR s2x 1 1d dA, R 5 x, yd | 0 < x12< 2, 0 < y <204j
4j 6, 21 < y < 5j | 0 1 yy10 0 0 10 20 30

| yy0 yy0 rr sen 26.26.y yy ye

22 12
yyUse
1 13
10.1-2
1-2 s2x 1 1ddedA,
la suma RiemannR5 2conhsx,
m5 yd3, n05<2 xy elija
< 2,como
0 < y < 4j 25.
25. sen
22
dd drdr 3x13y
e dx dx
dy dy
x13y
12. yypunto
11. La 2 2ydyydA,
R integral
s4 muestra s9 2 R y5
la esquina
40
dA,
f0,36
superior 1gdonde 5 f0,
3 f0,R 1g 16 4g 3 f0, 2g, 0 0 0 0 ; 44.
;4
44 32derecha de cada cuadrado.
R R 0 0
11. yyUses4 2 2yd
(b) representa el dA,
volumen R5 def0, un 1g 3 f0,Trace
sólido. 1g el sólido.
R la regla del punto medio para estimar el volumen del
2
10
28
16
1. sólido del incisoy 2 (a).
f(x, y) dx y y24 27-34 Calcule
Calculelalaintegral
20doble.
3
13-14 Determine f (x, y) dy 27-34 integral doble.
1.
12. La integral yyR 0s9 2 y 2 dA, 0donde R 5 f0, 4g 3 f0, 2g,
2. Si R 5 f0, 4g 3 f21, 2g, use la2 suma de Riemann con
yyyy xx sec
30
12. elyyvolumen
R s9 R 5 hsx, yd|
La 2, integral
representa 2 2 2 yde dA, donde
y el valorundesólido. R 52y)f0,
Trace el 4g
sólido.f0,22g, 27. y dA,2
R 5 hsx, yd 0 < x < 2, 0 < y < y4j 45.
13.
m 5f(x, ny)553 xpara
Elijarepresenta
2.
1 3x
estimar
el muestra
volumen de
las yun
yy14. f(x,
R (1 2 xy ) dA.
5 ysx
sólido. Trace el sólido.
31 27.
R
sec 2 y dA,
0
| 0 < x < 2, 0 < y < y4j SAC
SAC 4
2.
13-14 como
Determinepuntos
y02 f(x, y)(a) dx esquinas
y03 f (x, inferiores
y) dy R 2 4 x
derechas y (b) las esquinas
y0 2 superiores
40 3izquierdas de los
36y0
28. yy ssyy 11 xyxy22dddA, 22
R 5 hsx, yd|
R 5 hsx, yd 0 < x < 2, 1 < y < 2j
13-14
15-26 Determine
f(x,Calcule
rectángulos.
13. y) 5 xla1integral
f(x, y) dx y f (x, y) dy
3x2y2 iterada. 32 14. f(x, y) 5 ysx 1 2 28. yy
R
dA, | 0 < x < 2, 1 < y < 2j
8. El mapa de 12
R contorno muestra la temperatura, en grados
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3.13.
(a) f(x,
Use
4 2y) la suma
52 x 1de Riemann
3x2y2 con 2xy m5n5 2 1f(x,
14. 1 y) 5 ysx 1 2 SAC 46.
15. ypara
1000 y estimar
s6xCAPÍTULO
y2 2xd dy
el valor 15 dxRIntegrales
de yy xe dA, 28 16.
dondey0 y0 sx 1 yd dx dy
múltiples 2
29. yy
xy 2cuatro de la tarde del 26 de febrero de 2007
Fahrenheit, a las 2 dA,
|
R 5 hsx, yd 0 < x < 1, 23 < y < 3j SAC 4
2xy estado
yy
0
en Colorado.
29. R x (Este1 1 dA, mide R 5388 millas
yd de0oeste
< x a<este |
1, y23 < y < 3j
1 0
R 5 f0, 2g 3 f0, 1g.
15-26 Calcule la integral iterada. 24Elija como puntos muestra 2 hsx,
las esquinas superiores derechas. 32 276 millas dex sur
1 a 1norte.) Use la regla del punto medio con
R
(b) yUse
4 y 2la
15-26 1 Calcule la2yintegral iterada.
2 m5n5 39. Determine
tanestimar laeltemperatura
4 para volumen del sólidoen
promedio que seFIGURA
tiende18
Colorado bajo el
17. sxregla
12 edel dpunto
dx dymedio para estimar la28 yy |
dA, R 5 hs 2, td 0 2< < y3, 0 < t < 12 j
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15. y0en yel 16. y y sx 1 yd 2 dx dy

1 integral
1
1 s6x y 2 2xd dy dx
8 30. tan
a esa hora. s1 elíptico x y4 1 y y9 1 z 5 1 y sobre el 1
yy paraboloide
2t dA, R 5 hs , td | 0 < < y3, 0 < tSOLUCIÓN
< 2j 47-4
2
inciso (a). 24 30.
15. y y6y s6x 20 y y sx 1 yd 2 dx dy
14 02 0 10 1 R
Sitúe el4
y y s1 R 5 f21, 1g 3 f22, 2g.
y2 2 y 2 2xd dy dx
12 16 16. rectángulo
2t 2
18.
4. (a) Estime ssen0 x 1 sen4 yd dy8 dx
1 0 el volumen del sólido que se encuentra 0 bajo R 0 ø x ø 388, 47.
0øy
yy
0
0 0
la superficie z 5 1 1 x2 1 3y y sobre el rectángulo sensx 1 ydel
31. 40. xDetermine dA, R 5 f0,
20volumen
32 y6g 3 f0, y3g x millas al este y 4
la asuperficie
24 4444del sólido encerrado por
GURA 18
2 y2
19. R 5 f1,x2gsen 3 yf0,dy
3g.dx yy
Use la suma de Riemann
20. con
3 5 ln y
dy dx 31. R x sensx
z 5 x28
2 1 yd dA,
1 xy2 16 R 5
yy
y los planos z 5y6g
f0, 0, x35f0,0, x y3g
5 5 y y 5 62. yy
FIGURA 18
48.
Colorado, la nevada
xy 11x 2 4
yy
0 0 1
m 5 n 5 2 y elija como puntos muestra las esquinas 1 R
|
S D
32. 41. Determine
24 dA, elR 5 hsx,
volumen yd
del 0 < x
sólido < 1, 0 <
encerrado y <
por1j
la superficie
inferiores izquierdas. 11 1
1 yx22
49-5
4 2
(b)SOLUCIÓN
21.
x Sitúe
Use la regla
y el origen en la esquina suroeste
1del punto
dy dxmedio para estimar yy
1 2
22.el volumen dedx
ye x2y 32. 32
R
esedyestado. Entonces z 5 1 21dA,
11y
loshsx,
x2 yey Ry 5 planos y y
yd z 05<0,xx<
40 44
51,61,0< y5y< yy
0 y1jy 5 1.
4 |
øy388,
(a).x0 ø y ø 276 y f (x, y) es la caída de nieve, en pulgadas, Ren un lugar 16 3236
0 1del
ø 1xinciso
yy sensx
0 0
48
a xV3 millas
y2 2 al este y a y millas al norte del origen. Si R es el rectángulo Rque representa a
33. 42. 49.2 yd dA,
Determine R 5 hsx,del
el volumen yd sólido x < y2, 0por
0 < encerrado < yla< y2j
superficie|
5. Sea el volumen
23. Colorado,
de f(x,
0 y)
t sen
0 5 s52la nevadad
2
dt
2 x 2 promedio
y y sobre elpara
2 y y
3del sólido que se encuentra bajo la gráfica
ese estado
rectángulo dado del
33. z 5 12
sensx
por 20 al 21 de diciembre fue 1
sen y28R
ex dA,
1 yd y los planos
5 hsx, yd x 05<61, <py y<z 5y2j
0, y0 5
x <y 5y2, 0. yy
4 |
2 ø x1 ø2 4,xe2xø y ø 6. Use las rectas x 5 3 y y 5 4 para 34. 43. DeterminedA,
R
el volumen
R 5 f1,del3g sólido encerrado por la superficie
3 f1, 2g
50.
yy
5 Integrales múltiples 1006 CAPÍTULO 15 Integrales múltiples
5. y Evalúe
y cosssla3integral yy 19.
1 s2 1 v
7-10 d dt ds doble. 6. s1 2 v du dv
2
0 0 0 0
y EJEMPLO 5 Evalúe la2i
EJEMPLO 5 Evalúe la integral iterada y01 yx1 sen(y2) dy dx. y
7. yy 2 dA, D 5 hsx, yd 0 <y=1 x < 4, 0 < y < |
sx j Si se intenta
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN Si se intenta evaluar la integral tal como está, se enfrenta x tarea
7-10DaEvalúe
la 1 la1 de
integral doble. evaluar primeramente y s
evaluar primeramente y sen(y2) dy. Pero esto es imposible de hacer en términos finitos, D 20.es
porque y sen( y2) dy no
y
porque y sen( y ) dy no es una función elemental. (Véase el final de layysección h | j
y=x se debe cambiar el orden
7. dA, D 5 sx, yd 0 < x < 4, 0 < y < sx
8. yDy s2x
x 2 1117.5.)
2
Así,
se debe cambiar el orden de integración. Esto se hace expresando primero
yd dA, D 5 hsx, yd 1 < y < 2, y 2 1 iterada
la integral
<x< |
dada
1jcomo una in
la izquierda, se tiene
2
D
iterada dada como una integral doble. Si se escribe la ecuación 3 con el lado derecho a 0 1 x

la izquierda, se tiene 8. yy s2x 21 yd dA, D 5 hsx, yd | 1 < y < 2, y 2 1 < x < 1j 21.
x
9. yDy e2y dA, D 5 hsx,FIGURA yd 015< y < 3, 0 < x < yj |
1
y y sensy 2 d dy dx 5 yy sens y 2 d dA
1 1 donde
D D como región tipo I 2
0 x
D
9. yy e dA,2y 2
D 5 hsx, yd | y0 < y < 3, 0 < x < yj La región D se represen
donde D 5 h(x, y) u 0 ø x ø 1, x ø y ø 1j 10. yy
D y sx 2 2 y 2 dA, D 5 hsx, yd | 0 < x < 2, 0 <alternativa
1
y < xj de D es 22.
D

La región D se representa en la figura 15. En la figura 16 se 10. ve queyy yunasx 2descripción

2 y 2 dA, D 5x=0 D | 0 < x < 2, 0 < yEsto
hsx, yd < xj permite usar (5) pa 2
x=y orden inverso:
alternativa de D es 11. Dibuje un ejemplo de una región que sea
D
2
(a) tipo I pero no tipo II y y sens y 23-
1 1
2
d dy
D 5 h(x, y) u 0 ø y ø 1, 0 ø x ø yj 11. Dibuje (b) tipounIIejemplo
pero node tipo
0
unaI región que sea
x 0 x

23.
(a) tipo I pero no tipo II 2
Esto permite usar (5) para expresar la integral doble como una integral
12. (b)Dibuje iterada
un ejemploen elde FIGURA
una 16
región que sea
tipo II pero no tipo DI como región tipo II
1008 orden CAPÍTULOinverso: 15 Integrales múltiples (a) tanto tipo I como tipo II 24.
2
12. Dibuje
(b) ni un
tipo ejemplo
I ni tipo deIIuna región que sea
y0 yx sensy d dy dx 5 yy sensy d dA
1 1 2 2
x (a) tanto tipo I como tipo II 25.
Propiedades de la
15.2 EJERCICIOS D
13-14 (b)Exprese
ni tipo IDnicomo tipo IIuna región de tipo I y también como
Suponga que todas las i
2
5 y y sensy d dx dy 5 y x sens y d x50 dy f g
x5y
1 y 2 1 una
2 región de tipo II. Evalúe después la integral doble de las dos
tres primeras prioridades
1-6 Evalúe la integral iterada. 0 0 0 17-22 Exprese
13-14
maneras. como una
Evalúe laDintegral región de tipo I y también como
doble. Para regiones generales, 26.
una región de tipo II. Evalúe después la integral doble de las dos 2
1. y y s8x 2 2yd dy dx
5 x
52.y0 y y x y dx dy 2
1 2 y2
y sensy 2 2 d dy 5 21 coss y 2 d
1
1
g
s1
maneras.
5 y y
0 13.2 yy x dA, D está encerrada por las rectas y 5 x, y 5 0, x6 5 1
17. 2x cos
cos y
1d dA, D está
■ acotada por y 5 0, y 5 x2
, x 5 1 yy f f 27.
sx, y
1008 1 0 CAPÍTULO 15 Integrales múltiples 0 0 D D

1008 2
CAPÍTULO 15 Integrales múltiples
13. yy x dA, D está encerrada por las rectas y 5 x, y 5 0, x 5 1
D

3. y y xe
1 y
4. y ydobles
y2 x 18. Dyy xy2 dA, D está acotada por x 5 0 y x 5 s1 2 y 2 yy c f 28.
Propiedades
y3
de las integrales
dx dy en regiones x sen y dy dx 7 sx, y
14. yDy xy dA, D está encerrada por las curvas y 5 x2, y 5 3x
Integrales dobles generales
2
15.2
0 0
Suponga EJERCICIOS
0 0
que todas las integrales siguientes existen. Para regiones rectangulares D, las
D

15.21 tres
EJERCICIOS
s 2 primeras prioridades pueden comprobarse de la misma manera 19. yyyyen
14.que
D
dA, D está 5.2.
xy2 la
y dA,sección
encerrada por las curvas y 5 x , y 5 3x 2 Si f (x, y) ù t(x, y) para
29.
t

1-6 yEvalúe
y0 laregiones y0 y0 se desprenden de la definición
5. cosss 3
d dt ds 6.
1 v
s1 2 v 2
du d v D es la región triangular con vértices (0, 1), (1, 2),
0 Para integralgenerales,
iterada. las propiedades 17-22
D
D 2.
Evalúe la integral doble. 8 3
1-6 Evalúe la integral iterada. 17-22
15-16 Evalúe
Establezca la integral
integrales doble.
iteradas para ambos órdenes de
(4, y1)
y x cos 30.
1. y5 yx s8x 2 2yd dy dx 2. y2 yy 2 x 2 y dx dy 17. y dA, D está acotada por y 5 0, y 5 x2, x 5 1
5 x 2 y2

7-10 1 0
Evalúe 6
1. y y s8x 2 2yd dy dx
la y
integral y f f
doble. sx, yd 1 tsx,
2. y y x y dx dy
ydg dA
0 0 5 2 yy f sx, yd dA 1 yy integración.
tsx, 17.
15-16
fácil
yd dA yy
D x Evalúe
cos
Establezca
y explique
y dA, después
D
integrales
por qué es más
está la
y integral doble usando el
acotada
iteradas por
para y
ambos
fácil. dobleD
5 0, y
órdenes
5 x2 orden
, x
de5 más de las i
La1propiedad
3
20. yy Dxy dA,
grales simples dada por l
1 0 D 0 0 D D integración. Evalúe
D estádespués
encerrada la integral
por el cuarto usando
de círculoel ordenSi más
D 5 D1 < D2, 31. dond

y 1 y
y
7. yy1 y2 xe y 3 dxdA,dy D 5 hsx, yd | 0 <4.x y<y24,y0x x<sen
y2 x
j
sx dx
y <y dy fácil18.
y y yydA,
yD explique
xy2 dA, porDqué estáesacotada
más fácil.por xD¡5 0 y D™ x 5 s1 22layfigura2 17), entonces
1008
3. xy 1y 31
3. y y xe7 dx dy
D0 0 CAPÍTULO 15
y y
15. 18. y 5y
yy xy
s1
2 D está
2dA,x 2D, x acotada
está
ù 0 acotada
y los por
por
ejes y 5
x 5x 02 y 2,
x 5x s1
5 y 2 y 2 3
yy c f sx, yd dA 5 c yy0 f sx,0 yd dA donde c es una15.constante
Integrales múltiples 0 0 D
4. x sen y dy dx
0 0 yy yD dA, D está acotada por y 5 x 2 2, x 5 y2
D 0 x
9
32.
8. yy s2x y2y yxy222 dA,
yy (2x
D D
1 yd 3dA, D 5 hsx, yd | 1 6.
1 ys 2 cosss3 d dt ds
< yy< y2, s1 21.19. ;3
2 D
1 s 1 v
y 221 v<2 xdu<d1j D esDla
y) dA, región
está triangular
acotada con vértices (0, 1), (1, 2),
17por el círculo con centro en el
yDy yyDyey dA,
5. v FIGURA
y y y y
0 f(x, y) ù t(x, y) para todas las (x, 0y) en 16.19. dA, DDesestá
la región triangular
por y 5conx, vértices
y 5 4, x(0,
51),
0 (1, 2),
1 v
0 Si
d 0 D, entonces
s1 acotada
15.2 EJERCICIOS
5. cosss dt ds 6. v v ; 33.
2
D 2 du d
16. yDorigen
y yD(4,
0 0 0 0 2 xy1)
e ydA,radio D 2está acotada por y 5 x, y 5 4, x 5 0
9. yyEvalúe
1-67-10
Evalúe e la 8integral
2y 2
dA, 5 hsx,
D iterada.
la integral yd 0 < yyy<
|
doble. f sx,
3, yd
0< dAx > < yyjy tsx, yd dA 17-22 Evalúe la integral doble.
D (4, 1)

7-10 DEvalúe la integral doble. D D yy yyydA,

22.20. xy DdA,esDlaestáregión triangular
encerrada porcon vérticesde(0,círculo
el cuarto 0),
1. y yyys8x2 La
7.
5 x y
dA, D 5 h sx,
2yd dy dx de las integrales
y2 propiedad yd 0 |
2. y dobles
< y bx y siguiente
2 y2 2
x < 4, 0 < y < sx j 17. y
20.Dy y
xDy xy
cos
dx dy es similar a la propiedad de las inte- dA,
y dA, D Destá encerrada
está acotada por el
y 5cuarto
0, y 5de x2círculo
, x 51
7. y y
1 0 x 1
10. yy grales
D yxsx
2
12
2
1 dA, D
y dA,dada
2
1simples
5 h sx,
5 hsx,
D por yd 0 | |
< 0 x0 < 4, 0 < y < sx j
yd 0 <yx <
la ecuación 2, 0 < y < xj
a f sxd dx 5 ya f sxd dx 1 yc f sxd dx.
c b (1,
D
y 5 s1
D1) y (4, 0)
2 x 2 , x ù 0 y los ejes

D y 5 s1 2 x 2 , x ù 0 y los ejes
Si D D D , donde D y D no se traslapan excepto quizá18.
yy yHalle
en susxy fronteras (véase
D
5 < acotada por x 5 0 y x 5 s1 2 y 2
D™ 3. y
8.0 yy0yxe D 5 hsx, yd 4. 1y0< yy0<x 2, y dA, D está
1 y 1 2 1 2
y2 x 2

|
y 3
s2x
la dx
figura1 dy yd17),
dA,entonces seny y2dy1 dx< x < 1j 21.
23-32 (2xel2volumen
y) dA, Ddel está acotada
sólido dado.por el círculo con centro en el
8. y y s2x 1 yd dA, D 5 hsx, yd 1| < y < 2, y 2 1 < x < 1j 21. yDy (2x 2 y) dA, D está acotada por el círculo con centro en el
D
11. Dibuje un ejemplo de una región que sea
D
23. Bajo el plano 3x 1 2y 2 z 5 0 y sobre la región encerrada
D
origen y radio 2
19.ydyydAyorigen
D
x1 (a)s 2 tipo I pero no tipo II
5. y y(b)cosss yy y y yy yy por 2las parábolas y 5 x2 y x 5 y2
3
d f sx, yd
1
dA
v
s1 f2sx, yd dA 1 f sx, dA, D y es la región
radio 2 triangular con vértices (0, 1), (1, 2),
9.0 y0y etipo
dt ds 6. 5 2 v du dv
9dA, |
2
2y II pero D no5 tipo
hsx, Iyd D0 < y < 0 3, 0 0 < x < yj
9. yDy e2y dA, D 5 hsx, yd 0 < y < 3, 0 < x1 < yj 24. Bajo la superficie z 5 2x 1 y2 y sobre la región acotada
(4, y1)y y dA,
D
|
2 D D
22.
2
D es la3 región triangular con vértices (0, 0),
12. Dibuje
D un ejemplo de una región que sea 22.poryDyx y5dA, y2 yDxes 5 lay región triangular con vértices (0, 0),
(a) tanto
7-10 Evalúe tipo I como
la2integral doble.tipo II cie z 5 xy y sobre el triángulo con vértices
yy ynisxtipo2I yni2 tipo | 25. Bajo (1,la1)superfi
D
y (4, 0)
10. (b) dA, II D 5 hsx, yd 0 < x < 2, 0 < y < xj 20. y(1,
y xy 1),dA,
(4,yD está(1,encerrada por el cuarto de círculo
10. yDy yysx 2 2 y 2 dA, D 5 hsx, yd 0 < x < 2, 0 < y < xj | (1, 1) (4,
1) y 0) 2)
7. yy 2 |
dA, D 5 hsx, yd 0 < x < 4, 0 < y < sx j D
13-14
D
D 11
x Exprese D como una región de tipo I y también como 26.23-32
yEncerrado
5 s1 2 por
Halle xel el paraboloide
2 , volumen
xù delejes
0 y los z 5 x2dado.
sólido 1 y2 1 1 y los planos
una región de tipo II. Evalúe después la integral doble de las dos 23-32
x 5 0,Halle y 5 0, el zvolumen
50yx1 dely sólido
5 2 dado.
11. Dibuje un ejemplo de una región que sea 23. Bajo el plano 3x 1 2y 2 z 5 0 y sobre la región encerrada
maneras.
yy s2x
8.11. Dibuje
(a) 1 tipo unIdA,
yd ejemplo
pero no
D5 dehsx,
tipo una
|
II ydregión1 <que y< sea2, y 2 1 < x < 1j yEly (2x
27.23.
21. Bajo ely)parábolas
tetraedro
por 2las plano D3xestá
encerrado
dA, 1y 2y
por 2 z planos
x2los
acotada
5 50 yy2elsobre
y x5por de la región
coordenadas
círculo encerrada
y el en el
con centro
(a) tipo I pero no tipo II plano
por 2x y 1 z 5 4y 5 x y x 5 y2
yy x tipo
D (b) tipo II pero no tipo I las1parábolas
D 2
13. (b) II está
peroencerrada
no tipo I por las rectas y 5 x, y 5 0, x 5 1 2 cie z3 5 2x 1
dA, D 24. Bajoy la superfi y2 y sobre la región acotada
origen radio z
12. Dibuje
D
un ejemplo de una región que sea 28.
24.Encerrado
Bajo la por
superfi
por x 5 y y x 5 y cie z
2 el paraboloide
5 2x 1 5
y 2 x2 1 3y2 y los planos
y sobre la región acotada
2y 2 2 3
 circle r − 3 cos "
2 2
(1, 1)1 < x 1 y < 4
ates 5–6 Sketch the region whose area is given by the integral and 21. Below the plane 2x 1 y 1 z − 4 and above the disk
dates 5–6 Sketch the region whose area is given by the integral and y=x19–27 Use 36
evaluate the integral. x2 1 y 2polar
< 1 coordinates to find the volume of the given solid.
d evaluate
3"y4the 2 integral.
5. y 3"y4 y 2 r dr d! 6. y " y 2 sin ! r dr d!
" 2 sin ! 2 2
22. Under
19. Inside the sphere
the paraboloid
x 2 1zy− 2 x 1
1 z 2 −y 16and
andabove thethe
outside disk
5. y"y4
y r dr d!
1
6. y y
"y2 0
r dr d! 0 x 2
1 y 2
< 25
xcylinder x 1 y − 4
2 2
37.
"y4 1 "y2 0

23. Below
20. theofcone z− a sx 1 y and above the ring
2 2
A sphere radius
7–14 Evaluate the1given cos21integral by changing to polar coordinates. 2
1<x 1y <4 2 38.
7–14 Evaluate 47. y
the y
given
y
f sx, yd
integral y
dx dy to polar coordinates.
by changing
0 0
7. yyD x y dA, where D is the top half of the disk with center
2
the 24. Bounded by the paraboloid z − 1 1 2x 2 1 2y 2 and the
1 y=cos
21. Belowx z the
plane − 7plane
in the2xfirst y 1 z − 4 and above the disk
1 octant
x yyD x 2 yand
7. origin where5 D is the top half of the disk with center the
dA,radius 2 2 39.
x or x 1 y < 1
origin and radius 5 25. Above the _1 cone z − sx 1 y and below the sphere
2 2
8. yyR s2x 2 yd dA, where R is the region in the first quadrant 22. x=cos
Inside 2 y sphere
x 2 1 ythe
2 2 2
1 z 2 − 1x 1 y 1 z − 16 and outside the 37y
yyR s2x 2byydthe
8. enclosed where
dA,circle x 2 R1isythe
2
−region
4 and in
thethe firstx quadrant
lines −0 2
cylinder x 1 y − 4 2
2 2
enclosed
and y − xby the circle x 1 y − 4 and the lines x − 0 26. Bounded by the paraboloids z − 6 2 x 2 2 y 2 and
and y − x 0 23. Az− sphere
π2x 1of
2 radius
x2y
2 a
38
9. yyR sinsx 2 1 y 2 d dA, where R is the region in the first quadrant 2 both 40.
yyR sinsx 2the
9. between y 2 d dA,with
1 circles where R isthe
theorigin
regionand
in radii
the first quadrant 27. Bounded
24. Inside bythe
thecylinder
paraboloid 11
x 2 1z y−2 − 2x 2the
4 and 1 2y 2
and the
ellipsoid
center 1 and 3
between the circles with center the origin and radii 1 and 3 plane
2
4x 1z4y − 71inz the
2 2
− first
64 octant
39
y y
ln 2 2
y49. y f sx, yd dx dy
2 y
10. yy 2 y 2 2 dA, where R is the region that lies between the
0 e y=ln x or25.x=e † the cone z − sx 2 1 y 2 and below the sphere
Above
3 x 10. yRy 2x 1 y
2 dA, where R is the region that lies between the x 2 1Aycylindrical
28. (a) 2
1 z 2 − 1drill with radius r 1 is used to bore a hole
3 x x 1
circles x 2 y1 y 2 − a 2 and x 2 1 y 2 − b 2 with 0 , a ln ,2b
R through the center of a sphere of radius r 2 . Find the volume
circles x 2 1 y 2 − a 2 and x 2 1 y 2 − b 2 with 0 , a , b 26. Bounded by the paraboloids z − 6 2 x 2 2 y 2 and
of the ring-shaped solid that remains.
11. yy D e2x 22y 2 dA, where D is the region bounded by the semi-
2 2
z(b)
x=2
− 2x 2 1 2y
Express 15.3
SECTION
2
Double
the volume Integrals
in part (a) inin PolarofCoordinates
terms the height h of 1055
11. yy D e 2x 2y
dA, where D is the region bounded by the semi- 40
circle x − s4 2 y 2 and the y-axis y=0 the ring. Notice that the
2 volume
2 depends
27. Inside both the cylinder x 1 y − 4 and the ellipsoid only on h, not
circle x − s4 2 y 2 and the y-axis 0 4x 1 2 on r 1 or
2 r 2. 2
4y 1 z − 64
1y2 x s12y 2
31. y y
12. yyD cos sx 1 y dA, where D is the disk with center the
2 2 1 2 2
nplicated,
infinite xy dx dy
in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s). s3 y
iterated integral by SECTION 15.3 Double Integrals in Po
53. 9 (if2s2 2 1)
origin and radius
1the right9to2remove additional content at any time
2 29–32 Evaluate
0 the converting to polar
rning experience. Cengage
51. se 2 1d
Learning reserves if subsequent rights restrictions require it.
plicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).
arning experience. Cengage Learning reserves6the right to remove additional content at any time subsequent rights restrictions require it. coordinates.
28. (a) A2 cylindrical drill with radius r 1 is used to bore a hole
13. yyR arctans 55. yyxd (
1 dA,
2 s2 2 1 ) 57. yy 1 sx 32. y y
s2x2x
through
SECTION 0 15.3
thesx
2
2 1 y 2 dy dx
center
the of a sphere of 1y2
radius
s12yr 2 . Find
y a yCoordinates
the volume
1055
y0 y11:47
cos where is 30. y0 y s3 y2 2 s2x 1 yd dx dy
the 2y Double Integrals in Polar
2 disk with
12. y dA, D 2x center
2 2 2
3 1 s42x 31. sa 2y xy 2 dx dy
|1<x
2 2 2 2 2
where R − hsx, yd 4, 0 <
1 y < origin 2 229. D e dy dx 0
andy radius
< xj 2 4/10/15 0of theAM ring-shaped solid that remains.
s3
0 2sa 2y
4/10/15(b) Express the volume in part (a) in terms of the height h of
11:47 AM
the yy s4 2 2
59.where D!is <
14. yy x dA, region in2thexyyfirst
yarctans
dAyyxd<dA,
quadrant !
that lies
y y y y0scanned, of
2 s2x2x 2
12. yyDDcos sx 2 1 y22 dA, where sD 13. 1y2 s12y 2
orsx
is the diskR2 with2 center the 31. the ring.Learning.
Cengagexy
Express Notice
2
dx
theAlldy
that theintegral
double volume
May32. independs only oninyh,
2 1 2 not
dyor indxpart. Duewith
33–34 0 terms a single integral
2 2
between the circles x 1 y − 4 andwhere x 1 Ry −−hsx, 2xyd 1 < x 2 1Editorial
Copyright 2016 Rights Reserved. not be copied, duplicated, whole to elect
origin and radius
3 2 2 3 | 2
y 2 review
<
respect ons3
04, has
0 <
ry
y
or
deemed <
2 to1 r. Then
r
that xj
.
any
2
suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning res
use your calculator to evaluate the integral correct
61. 4 65. 9! 67. a b 1 ab 2 D is the region intothe 69. !a b
14. yyD x dA, where four
2 first decimal
quadrant places.
that lies
13. yyR arctans yyxd dA, 32. y Evaluatey
s2x2x 2
2 29–32 2 sx the2 iterated
1 y 2 dyintegral dx 33–34 by converting to polar
ENDIX H Answers
15–18 Use a double integral to
| to Odd-Numbered Exercises
find the area of the region.
A123 Express the double integral in ter
2 2
between the circles x 1 y − 4 and 0 x 0 1 y − 2x
where REXERCISES − hsx, yd 1 <15.3 x 2 1 y 2 < PAGE 4, 0 < y1054 < xj 40621_ch15_p01_hr_1054-1063.indd 33. yyD e1055
coordinates. sx 21 y 2 d 2
dA, where D isrespect the disk with center
to r. Then use your the origin
calculator andto
15. One loop of the rose r − cos 3" radius 1 to four decimal places.
14. yyD x dA, where 29.theyarea
2! D 5 is the region in the first quadrant that lies
y 30. y ysx 21 y22 d 2 2 s2x 1 yd dx dy
2 s42x 2 2x 22y 2
y y
a sa 22y 2
1. f sr
2 cos 2 ", r 15–18sin "d r
2 Use dr d"
2 a double integral to find 33–34 of the
Express e region.
the dy dx
double integral in terms of aa2y singlewhere integral is with
16. between
The region 0
the circles
enclosed2 x by y − of
1 both 4 and x 1 y −r 2x
the cardioids − 1 1 cos " 34. yy D xy s1 1 x 2 1 y 2 dA, where
0 0
33. yyDDe is 0 2s
the dA,portion of D the disk the disk
2 y2 cos y
2! 1
and
42x s42x 2yy2 r 3.
− 1 "f sr cos ", r sin
15. One
"d r dr
loop d"
of the rose r − cos respect
3" to r. Then use your calculator to evaluate
radius 1 the integral correct
y y y
2
2 0
f sx, y, zd dz dy dx
! 2
y toCopyright x2016
four decimal 1 y 2 Learning.
< 1 that
Cengage places.
lies in the first quadrant
0
22 15–18 2s42x5. 2
2yy2 3π π enclosed 3!y4 All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to e

17. The Use a double

region ¨=
inside integral
the to
circle find
sx the16. area
1d 2 The ¨=
ofyregion
the
2
− region.
1 and by
outside both
the of the
Editorial cardioids
review has deemed r that
−any 1 suppressed
1 cos content
" does not34. yy Daffect
materially xy s1 x 2 1experience.
1 learning
the overall y 2 dA,Cengagewhere D
Learning
4 2 1 4 33. yy e sx 21 y 2 d 2
dA, where D is the disk with center the origin and
and r − 1 2 cos "
4 s42y s42x
y y y
2 D
circle x 2 of y2 − 1 r − cos 3" x 2 1 y 2 < 1 that lies in the first qua
15. One
0 2s42y 2s42x2 2yy2
loop 12yy2the rose f sx, y, zd dz dx dy
R 17. The region inside the circle sx 2 35.
radius
2 2
1
A swimming
1d 1 y − 1 and outside the
pool is circular with a 40-ft diameter. The depth
18. TheThe regionenclosedinside 2the bycardioid 1circle
r −cardioids 1 cosxr2"− and outside " the is constant along east-west lines and increases linearly from
16. 2 region
4 2 4z s4 2 y 2 4z
both of the 1
40621_ch15_p01_hr_1054-1063.indd
12 1
y − cos
1 34. yy D xy s1 1055
1 x 2 1 y 2 dA, where D is the portion of the disk
y 1
21 0 y circle
and y
r −r 1−23 cos
2s4 2 y 2 4z 2
cos "" f sx, y, zd dx dy dz x 2
2
1
ft
y
at
2
<
the
1
south
APPENDIX
that
end to 7 ft 35.
lies in Hthe
at the
Answers
first
A north
quadrant
is
swimming
to
end. pool
Odd-Numbered
constant along
Findisthe circular
east-west
volume with
Exercises
lines
ofa
and
18. The region inside the cardioid r − 1 1water cos "in andtheoutside
pool. the
4 s42yy2
17. x The region inside _2 2 _1
the circle 0sx 1d12
y 2
2
1x and outside the 2 ft at the south end to 7 ft at the no
y y y
s42y24z 2 1 −
circle r − 3 cos "
19–27
0 2s42yy2 Use
circle x2s 2
polar 2
y −1
142y24z coordinates
2 f sx, y, zd dx dz dy
to find the volume of the given solid. 36. An agricultural sprinkler distributeswater water
in the in
pool. a circular pattern
7. 1250 9. s!y4dscos 1 2 cos 9d 35. A swimming pool 2 is 42x
yft. y0circulars42xwith
y2s42x
2yy2 a 40-ft diameter. The 2r depth
2 2

3 of radius29. 100 22 It supplies 2yy2 f sx,

water
2 to ay,depthzd dz of dyedx feet per hour
s42x
y y y2
y
2 2 2 2 2
2 19. Under the 42x paraboloid z 24 x 1 y
− and3 above the disk is constant along east-west lines 36. andAn agricultural
increases sprinkler
linearly fromdistributes
24z
f sx, y, zd dy dz dx Use
19–27 2 polar coordinates to find the volume of the given solid.
18. The region 11. s!y2ds1
inside the2 cardioid
e d r −13. 1 164cos ! " and15. outside!y12 the at a distance of r feet
s42y from
s42x the sprinkler.
y y y
2
4
sx,
2yy2
ed,22
or duplicated,
2s42x x 2
1
circle r −y2
in2 whole
y 2or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).
0
< 3! 25
cosLearning
" s3 reserves the right19. 2 ft at the south− end
0 2 sto
42y7 ft2 at
s the
42x of
north
2
2yy2 fradius
end. y, zd
100
Finddz ft.dxIt
the dy
supplies
volume water to
of
verall learning experience. Cengage Under
625to remove the paraboloid
additional content at any z 4−timex 2if3 1 y 2 and(a)
subsequent above
rights Ifrestrictions
0the
,disk < 100,
R require it. what is the total amount of water supplied
at2 a distance of r feet from the sprin
s4 2 17. 1 19. ! 21. 4! 23. !a water in the pool.
− y21 1
y0 region
4 2 4z 2
s4
y2s4inside
2 y 2 4z
f sx,
y y y
2 2
1 20.2Below 4z the 42 3x 2 4z y, zd dxradius dy dzR centered
f sx, y, zd dy dx dz x 2 1 ythe per hour to the 4z 2the If circle
0 , R of
2
2 sx 2 1 y 2 and above 25
2 <ring 3
cone z− 2 y 2 (a) < 100, what is the tota
21 2s412<4zx2225.
19–27 Use polar
0
1 ys!y3d2
< 4(2 2 s2
coordinates to)find the 27. s8!y3d
20.volumeBelowof (64thecone
the 2given24z− s3 sx) 2 1 y 236.
solid. and An above
at the sprinkler?
agricultural
the ring− ysprinkler
4 s42yy2 distributes
y y s42y24z water 2
f sx,
per in zd
hour
y, a circular
to
dx the
dz pattern
region
dy inside the
0 2s42yy2 2s42y24z 2
(b) Determine 100 ft. 2It an expression for
to athe at average e2ramount
feet perofhour water
y y y
2 4 22yy229. s!y4ds1 2 e24d2 1 of radius supplies water depth the ofsprinkler?
f sx, y, zd dz dy dx 231. 120 33. 4.5951
2 2
1 < x 1 y < 4 s42x
of yr22 y2s42x y0 4/23/15
y2
21. Below theparaboloid
plane 2x 1 x z1−y 4and andaboveabovethe thedisk disk
2 2 2

22 19. x 2 Under
02 2 the z− y1 per hour − per square
42x 24z
foot (b)f sx,
supplied y,
7:10to zdPM
the dyregion
dzexpression
dxinside the
235.
2 1800! ft 3 37. 2ysa 1 bd 39. 15 at a distance feet fromy2the 2
sprinkler. Determine an for the
4 sy x x 1 1 yy << 251 21. Below the plane 162x 1 y 1 z − 4 and above the
circle disk
of radius R. per hour per square foot supplie
y y y
22yy2 (a) If 0 , R− <y100, s4 what is the total amount f sx, y, zdofdy water supplied
21 y2s4 2 4z 2 y0
2 2
1 4z 4 x 4z
f sx, y, zd dz dx dy
2
2 2 2
41. (a) s! y4 (b)2 s! y2 x 2 1 y 2 < 1 dx dz
0 2sy 0
22. Below
20. Inside the
thecone sphere z −x 2sx 12 y12 1 y zand 2
−above16 and theoutside
ring the per hour to the region inside the circleofofradius
circle radiusRR.centered
37. Find the 31. average y, zd dz dyf sx,
2 value of the function
they22 yx y0 2 f sx, dxyd − 1ysx 1 y
4 22yy2 2 2
at outside
the sprinkler?
y y
2 422z 1cylinder
y
syx 2 1 xy22 1
f sx, y, zd dx dy dz
< y42 − 4 22. Inside the sphere x 2 1 y 2 1 z 2 − 16 and 2
< 37. 2 Find2 the average 2 value of the functio
0 0 2sy EXERCISES 15.4 PAGE 1064 cylinder x 2 1 y 2 − 4 (b)on the annular
Determine − an
region
sy
y04 yexpression
2sy y0
a <forx the
22yy2
f sx, y,on
y < b amount
1 average
zdthedz annular
, where of
dx dy region
0,
awater
2
a , b.
< x 2 1 y2
21. Below
A spherethe plane
of radius2x y z 4 and
85 above the disk
23.
4 22yy2 2 sy 21. 285 C 1a 3. 42k, (2, 23.
1 −
) ( 3 3
) 8
( 4
) per hour per 2square
422z foot supplied to the region inside the
y y y f sx, y, zd dx dz dy 5. 6, , 7. k, 0, − ydisk
0 y0 y center
38. Let D be the with s y
the origin and radius a. What is
y f sx, y, zd dx dy dz

S D
28 A sphere of4radius 2 a 15 7
0 0 24. xBounded 1 y <1 38. LetinDDbetothe
2sy by the paraboloid 2 z − 1 1 2x3 2 1 2y 2 and the thecircleaverage of radius
distance R. 2s
4 22yy2 from sy points thedisk with center the ori
origin?
1 e 2 524. 8se 2 4dby the paraboloid z − 1 1 2x 2 1 2y 2 and
Bounded − y they y f sx, y,
thezd dx
average dz dy
distance from points in
y y y
2 2
22xInsidey2 422z z9.−sphere s1in2the 1d,y octant
x3efirst
22
12z − ,16 and3 outside the
f sx, y, zd dy dz dx
2 2 2 0 0
22. plane the 87 37.39. Find thepolaraverage 2value 22x of
2sy
y2 the function the f sx,sum yd − 1ysx 2 1 y 2
22 0 cylinder 2
x x 1y −42 2 e 2 3 27se plane 2 z 3ed
− 7 in the first octant Use − y y
coordinates
2

y
to422z
combine
f sx, y, zd dy dz dx
1 y Use
x 2 39. < polar coordinates to combine th
2
22 0
on the annular region a 2 <x422z 2
b 2, where 0,a, b.
2 s422z 25. Above 11. ( 38 , 3!y16
the cone z − sx ) 2 113. and
y 2 s0, below
45ys14!dd the sphere
y y y
422z 2 1 y 2 and below the sphere2 s422z
23. A 2sphere2 of radius 2 2 f sx, y, zd dy dx dz
a
25. Above the cone z − sx 1 x
− y 0 y 2s422z y x s2
2 f sx,
x y, zd dy dx dz
2 s42x 2
1 x s2 x
mero impar
3 0 15.6 EJERCICIOS
3 7 0
7 y loscon
planos x 5 0, y 5
la respuesta y z 5(a).
del3xinciso 0 en el primer octante
Integrales triples en coordenadas rectangulares
25-26 Use la regla del punto15.6
SECCIÓN medioIntegrales triples triples1039
para integrales
1. Evalúe EJERCICIOS la
1 integral del ejemplo 1 integrando primero con 9-18 Evalúe la integral triple.
z15.6
yyy y y y
1 x
dV z 19-22 Use24)
(ejercicio una integral
para triple
estimar para hallar
el valor el volumen
de la integral. del sólido
Divida B en ocho
xy 5 5
respecto
1250 a y,
7. 3 21 9.y 2 s0 y4dscos luego adzz ydx1después
dy
2 cos 9d a x. yyy
37-38 Evalúe la integral dado. 9.
subcajas de y dV,
Eigual donde
tamaño.
49. Sea E el sólido en el primer octante acotado por el cilindro
E 24 triple usando 3 solo interpretación SAC
1.
2. Evalúe
11.
Evalúes la y2ds1
integral
la 2 edel dyyy
integral ejemplo 2
13.1 integrando primeroy12
15. con 9-18 Evalúe la integral triple.
E (xz 264y ) dV, donde
3
x2 1 y2 5 1 y los planos y 5 z, x 5 0 y z 5 0 con la función

FG
geométrica y simetría.
respecto a z5x
z2 1
y,s3luego a z y después a x.
9. yyy
25. E 5 h sx,encerrado
19. El tetraedro
yyydensidad
E y dV, donde
B cossxyzd
| 0 por
y, zd donde
dV, < xlos
< planos
3, 0 < de
y <coordenadas
y, z) 5 1 1 x 1 y 1 z. Use un sistema
< x 1 yj
x, x 2 y < yz el
1 17.
y y
1
2. EvalúeE− lahintegral
sx, y, zdyyy 21 19. < 625
(xz 22 yx3)<
1 02 < 4y < 2, 23.
1 21.
dV,1,donde
4
a 31 j
0 < 3z < | y y
plano 2x 1 y 1 z 5 4 de r(x,
5
1250
9.21syyy25.
37.
3
(4 1 15x2
yC2 s 2y3d
y4dscos
2 dx
2) dV,
(2yz3cos
2 2 dy E 5
9d )donde
s2 227.C21ess8la
x dx dy
y región cilíndrica
2
y3d (64 2 24 s31) E 5 h10.
20.
algebraico
B5
sx, y,yyy
El sólido
hsx,
zd E| e0
zyy<zd
y,computacional
encerrado
x <donde
dV, 03,< 0<| x y<< para1,x, 0xhallar
<yy<los
2 <z 1, < x0 1
valores <yzexactos
y 5 x2 1 z2 y
j < 1j
3
usando
E− z50
2 h sx,tres
4,y,22 |
zddiferentes
2 21z < 2x órdenes
< 1, 0 <de y< 2, 0 < z <
integración. j 37-38 de Evalúe
las cantidadesla integral parapor triple losusando
E siguientes. paraboloides
solo interpretación SAC
. s y2ds1 2xe29. d ys øy4ds1
224
1 13. ø ø 15. y12
64 2 e24d 31. 120 1
33. 4.5951 10. yyy 26. yyyy
5B La 8sx 2 e xxyz
2
1 dV, z2 donde
geométrica
|
E 5 h sx, y, zd 0 < y < 1, y < x < 1, 0 < z < xy j
y simetría.
zyy
E e (a) dV, dondemasa
s33-8 Evalúe
1 usando la diferentes
tres integral 2 37.iterada.
órdenes de integración.
y
15
|
625 3
. 51 s135. 337.5
19. y162dsendymy5121. 4 2ysa 23.143 bda 3 39. 16 21. (b)
El
B Elhsx,
sólido centro y, zdde
encerrado masa
0 <por x< 4, 0 < y 5
el cilindro < x1, 2
y0los z < 2j z 5 0
< planos
3 38. 23-8 yyy 2(z 3) dV, donde B es la pelota unitaria 5
E 5 h sx, y, zd | 0 < y2 < 1, y < x < 1, 0 < z < xy j
3 0 s2
. s y3d(2 23.
Evalúe
B
) z 2 lay2z
2 2(a) integral
s 7(64
y44y3diterada.
(b)2s24 s3 y2 ) 37. 11. yyy
(c) El
yyyz1
(4 momento
5x yz ) de
dV, inercia
donde alrededor
C es la del
región eje z
cilíndrica
x241. yy y
2
1 y 1 z
27. 2 s8
ø s2x 2 yd dx dy dz y yC 1 E
5 2x 1 dV, donde
1
SAC yyy
x2dV,1 y2 el 4, 22 del
ø sólido ø zejercicio
ø2
. s y4ds1 2
yEJERCICIOS
y es y s2x 215.4
20d z 20 y2z
centro de33.masa e 24 0
31. 33. 4.5951 11. 50.
22. 2xSi E
El sólido es
donde encerrado por elvolumen 18 conxfunción z2 5de densidad
ycilindro 42 y la los ,planos
2
yd dx dy dz
| <1
120
27-28 h zd 0 < z < yj
E
Trace
E − el sólido
sx, y, cuyo 0< <las 0está
2, cantidades xdado< s4 por y 2integral
y y y PÁGINA 1024 z)
15

S D
0 1 0 2y0 x1y
. 37.5 m 4. 37. 2ysa 16xy bd dz dx 39.dy r(x,
y y, 5y yx 2
1 z y 2
, determine
4 siguientes,
3 | 0 < y < 2, 0 < x < s4 2 y , 0 < z < y j
16
E h
iterada. 5
sx, 21,
y, zd 1 5 2
y44. y1.Determine
− yyy
. (a) s39-42 y285 ys0yzCy2 38. conB (z sen y 1 3) dV, donde B es la pelota unitaria
10 2yy x1y
xy (2, 28 )5
tres1decimales.
Mla 5 6, ( 4 , 2 )
(b) M 0
6xy dz3. masa
dx M dy
42k, y el centro85 de5.masa 3del 3 sólido E con la
sx, y,funciónz d 57.0 deyy28 densidad , 4 r, dada. 5 ( 7 , 0, 14 )
xz
APÉNDICE 12.
x H2
1 yyy
y 2 E xy 2dV, donde E está acotado por los cilindros parabólicos
Respuestas
1 z ø 4aacotado los ejercicios con número2 impar A39
k, (0, 7m ) 1m y 1 zd dz dx dy (a) La masa
5. yy215m yy xy cossx
12. yyy E xy dV, donde
y y 2y
5en0y y 5 xy1octante
y x
x2Eyestá porplanos
los cilindros parabólicos
1 12x 222z 22y 42y 2
z28. y zprimer

S D
23.
27. (a) y5
Exprese xdy
el 5 dz
volumeny2 dx y los de la cuña el y dx dz dy
39. E yse y y cossx22sobre
ERCICIOS 5. 15.4 PÁGINA 1024 2(b) El centro de masa SAC
0 0 0 1 y 12 zd dz dx dy 3 y 5 x y0 x 5 0 y y0 los planos z 5 0 y z 5 x 1 y 0 0 0
0 encuentra eel32 plano5 xy 8sey bajo 2 4del paraboloide cortada del cilindro y 2
z 2
1 por los planos
z y x
285 C 2 3. 42x 9. 1 0 0 85
42k,s42x s1(x2,xx2xz2822yy2
)xz3ey22;fd,5.sx,r(x,6, 2( 4 , 2 ) ,
3 (c)
13.
yyy E 6xy dV, donde
yyy
El momento
Ez 6xy dV, de
donde inercia E 1alrededor
reside 5bajo delel eje
plano z 5 1 5
1 x 1 y, y
zy05ys s1y82s42x 13. 11. z 5 1 1 x 1 y, y
8 29. 4y226. y y zd z) x 5 1laEcomo resideuna bajointegral
el plano triple.
2 2
2 2 ey,dy 2y,dzdz
3 dy 5 27se 3dx 3 2 3ed 39-42 Determine ysobre
15 k, (0, 7 ) 6. y 0 y 3y
2 x sen y la masa yelelplano
centroxydeacotada masa del sólido E conyla5 sx ,
dx dx región xyen porsx las curvas
2
x2yy2 sen y dy dz 51.
sobre La
la función
región en el de densidad
plano conjunta
acotada por lasparacurvas las variables
y5 , aleatorias

S D
5 40.
4 s42y
y0 22y2Es42y
11.2 s42x
0
e y2
está
(0 0
8
0
, 3
0
2yy2 y16 2
) 13.
3 f sx, y, zd dz dx dy s0, 45ys14
4d cilindro parabólico z 5 1 2 y2 y los
dd SAC función
y 5 0,X,
(b)
y xY5
deUse
yy 5
8 la
densidad
1Z es
tabla
0, fy(x,x 5 r de dada.integrales (en
1 5 Cxyz si 0 ø x ø 2, 0 ø y ø 2,
z)
las páginas de referencia
1 2acotado5 2yy2
s42x 8sepor 2 2 el y,z=8-r@
8 s1 2 3e d, 15.2 1 s2ay5, 6-10) o un sistema algebraico computacional para deter-
ya0yelo
y0y2 xy31 27se
, 2ay5d
s12z si el vértice es (0, 0) y los lados están
y02s4
1s12z 2
zz5 z1,sen zdx y, z) 5 4 zencuentra y, z)donde
2

y 1 7. 7.
y planos
4 4z
y s4 2
4zsen 3
2xfxsx,
dy 5
3edxdz 0 dx
dy yzddz 5dxdy 0; r(x, 14. yyy 0E2ø
E (x14.
39. yyyø 2,
sey)minar (x y2f(x, y)sobre 5plano
el 0, en caso
está contrario.
y las
bajo
encerrado eltriple
paraboloide
por
dellas superfi(a).cies
y E dV, deEla xy
2
5 2
0 largo
2
0 0 2 de
2
ejes y,
positivos dz dV, E
donde
el valor está encerrado
exacto porintegral superfi cies inciso
. ( 38 , 3 y16)
21 0 y 2 4z 2
2(a) Determine
z z 2 2 x2,2el valor de la2,25constante C.
13. s0, 45ys14 dd 5 x z 25 1, z
1 2
5 5 x1 2 y
1, ;yz 55 0,
r(x,1 y 2y
y, 5
xz) y 3
5 0, y y 5 2
5 41.y042ay5d
y8. E 17.
s42yy2
es1 1 409.2k,
ely1y64
siy1el
s42y24z
cubo y182k,
dado2 z por 591.2k
0dx zd lados 0 ø y ø a, 0 ø z ø a;
y x ødza,están
2
f sx, ø
22 y 2
y, dx dy
y y y
22x
2(b)
(a) Determine 1, Y ø 1, Z ø 1). integrales triples
22
. s2ay5, 22x
vértice esxye
82xye (0,
dz 0)
zdyy los 24. En la 2regla P(X
del ø punto medio
2s42yy2
8. 2s42y24z
k z2dy dx
dz 15. yyy conpara
2

T y dV, donde T es eldonde tetraedro sólido vértices (0, 0,con 0), 2

88
o largo de2 ejes r(x,
s42x
19.
0
0y,
0
positivos
0z)0 42x
y20315
k, 105
5 x24z k, 315
1 y 1
2
40. 15.
E
(c) está yyyacotado
T y dV, por
Determine P(X el
z=r@ 1 T es
cilindro
Y 1 el ø
Z tetraedro
parabólico
1). sólido 1 2 yvértices
z 5 aproximar y losuna(0, 0, 0),
5 y22 y2s42x y 3sx, y, zd dy dz dx
2 2 2

f (2, 0, 0), (0,se2,usa 0) yuna (0, 0, triple

2) suma de Riemann para
. 409.2k, 182k,21. y2
591.2k bh y3, b hy3; bys3, hys3
2
0 3
planos (2, 0, 0),
x 1 ztriple (0, 2,
5 1, x 5 0 ycaja 0) y (0, 0,
z 5 B, 2)
0; r(x, y, z) 5y,4 z) se evalúa en
42. 19-18 2Evalúe
es el tetraedro lax integral
2 4zacotado triple.por x 5 0, y 5 0, z 5 0, 52. Suponga integral que X, Y yenZ una donde f (x,
y821 Es4
k,y2s4315 k2 4z y0 y, zd dylos planos son variables aleatorias con función de
2 2
4z
a 44 2y16, af 4sx,y16;
2
64
. 315 5
k, 105 8823. ay2, dxay dz2

S D
z z) sx , , z d z)
2
x y 1; y, y densidad el centroconjunta y de la caja B . Use la regla
si del
0, a;ypunto
ù 0,
4yyy22yy2
. bh y3, 2 9.
1 1
y dV, hys3 5 donde r(x, 5 41. E es el cubo dado pory 0 ø x ø a, 0 ø y ø a, 0 ø
i f(x,
j k y, 5 Ce 2(0.5x10.2y10.1z)
ijk xù zø
zd dzsx,dyy ddx5 16384 s2 , 0 ,
3 3
b hy3; Ebys3,
31. y22 yx 25. 4y0 m 5 f sx,3 y,y64, z x0, y f (x, y, z)
. a y16, a y16; ay2, ay 2
4 2
r(x,medio
ù y, z) 5para x 1estimar
2
y 1 z yyyB sx 1 y 1 z dV, donde B es
52 0, en
2 caso contrario.
2 2 2

5 h sx,
S
y,zdzd dz |
< 3, 010395
D
< y < x, x 2 y < z < x 1 y j 13. Coordenadas
4 sy
5 y0 y2sy Ey022yy2 f sx,y,16384 0<
s2 dxxdy (a) elDetermine
cubo definido el valor
cilíndricas: de
porAPÉNDICE
60< la
ørconstante
x< ø7, C.uy<
H4,00Respuestas
<ø ø2p, 4, a00los ø zzø <4.20 con núm
<ejercicios
. m 5 43-46 3 2 y64, 422zsx, 5
syy d 5 que el sólido
Suponga 4 ,5
, 0 tiene densidad 4 constante 5 k 42. E
(b) es el tetraedro
Determine
Divida B en
z P(X acotado
ocho ø 1,
cubos por
Y ø delos
1). planos
igual x 5 0, y 5 0, z 5 0,
tamaño.
5 y0 y0 yyy I xy 5 f sx, y,103952 zd dx dy , I y dz
5 1 , I 0 5 15. 4p
10. 2s yzyy
E e 384
sy 5 1
dV, donde 105 384 105 192 SAC x(b)
(c) y 1 zun5sistema
1 Determine
Use 1; P(X r(x, ø 1, z)
y,
algebraicoY5 ø y1, computacional
Z ø 1). para aproximar
5 5 43.y y 4Determine
4 22yy2
y f sx, los y, zd4 dx dz dy
momentos 5 inercia
de 5 para un cubo cuyos lados
5 20 0 27. , Iy2sy 5(a) 2 1 (b) 0.375 , I0 5 (c) y 2 < y 0.1042
42x
y s42x 2yy2 2

sx, zd
2
la integral del inciso (a)11. al entero más z cercano. Compare
29. 48 f y, dz dy dx 53-54 El valor promedio de una función f (x, y, z) en una región
384 2 105
. (a)512 y22(b) ymiden
22x E y25y(b)
29.
0 0.375
2
Lh 384
422z
x
sx,
si(i) fun
(c)
2
zd 1050 <
sx,evértice
y, 5 y, zd<dy
20.2
< 0.1042
se
0.8187
dz
192
ylocaliza
< |
dx1, y en <22 el
4 s42y
x0 < origen
1,
2s42x0<
s42x 2yy2
y 2yy2
tres xy j se
z <aristas
2

sólida E se condefine la respuesta

como del inciso (a). 8
5<ycoordenadas.
y2s42y y2s(c) 2, 5 f sx, y, zd dz dx dy43-46 Suponga que el sólido tiene densidad constante
2

2 s422 tienden
(ii)z 1422z a1loe largo 21.8 48
2de e los2ejes
20.8
e de
21
00.3481 z=8-r@k
. (b)5(i)y0 ey20.2 < y f sx, y, zd dy dx dz 42x 2yy2 2
0.8187
11. yyy z x 25-26 Use la regla del punto medio para integrales triples
2
2s422
31. 2x
(a) dV,<0.500 donde (b) <0.632 4 2 4z s4 2 y 2 4z 1
y y y zd
yyy de
2
1 2
) 1 1 e44.1 2 21.8
33. y0 ysDetermine
e 20.8 E 2 e 21
< 0.3481
loszdmomentos (c) 2,5
de yinercia5 21 0para f 2sx, un zd
ladrillo f sx, y, dx dy dz zd dV
x y0 0 y0 y0
2
1 12y
f sx, y, dz dy dx 5 1 y 12y
y,2s4 2dz y 2dx 4z dy
losfestimar
prom 5 f sx,lay,para
f 20 delg centro
43. Determine momentos de
d inercia un cubo cuyos lados
2

. (a) <0.500 (b) <0.632 yycon sky20d 20 y2<1ssx (ejercicio 24) para VsEel valor integral. Divida B en ocho
y −(a)
33. 0 dy 1 ssy42y24z donde
2
dA,z <
rectangular
E h sx, y, zd dimensiones
0 2,a, 0|b2
y 4y yx
y c,
s42yy2
x masa
s4 y
2M y ysi , 0 zdy j 2

5 y0 y0 yD zd < y y y< < zd 2 <sx, x

2 2
D
1 12z
0 f20f sx, y, dx dy dz 512y
f sx, y, dx dz dy f y, dx dz dysubcajas miden de L si
igual un vértice
tamaño. se localiza E en el origen y tres aristas se
0 d gcentrado
5 0 42yy2 42y24z
. (a) yyD1 sky20d es 2 el discossx 2con x0 d2radio y 10 0 km
lasy2en el centro de la ciudad
2
2s 2s
del ladrillo está situado 1 sen 2el 0
yorigen2 0
dA, y8donde aristas son paralelas
es el5disco y0 y012 con
sx 12z
y
(b)
radio 200 f sx,
10 km y,
ky3 zd < dy
centrado dz
209k, dx
en 200
el5 (y5
centro y
1 s12zd
y2 y
2
de y y
la )
12z
s42x
k <
ciudadf sx, y
2
42x 24z
136k, y, zd en
2
dy f
la dx
sx, y, zd dy dz dxdonde
dz
orilla
2
tienden a lo largo de los ejes de coordenadas.
2
z=r@
12. a1 losyyy s x
Eejes
xy dV, de coordenadas.
donde8 E está1acotado 0 0 2 por sx
9 los cilindros parabólicos
y2 0 2 V(E) es el volumen de E. Por ejemplo, si r es una función
yyy
22 2s42x
200( y2 )k < 136k, 25. cossxyzd dV, donde
y0 < y0 f5sx,x2y,y zd
yy y209k, y0 y0 5 yen y z2zd25
) 200 1 y x y la1sx,orilla
35.ky3 dzy2 dx
2 9 dy
y los5planos z0 f5y21 y,
s4
0y2s4 4zdz dy 4 2dx
yx 2 4z f sx, y, zd dy dx dz de densidad, B entonces rprom es la dedensidad promedio de E.
4z y0
2 2 2
x5 x1 44. Determine los momentos inercia para un ladrillo
45. 1 1 Determine
1
yyy E 6xy
el momento
5 y0 yz yy f sx, y, zd dx dy dz 5 y0 y0 yy f sx,2 y,4 zd22yy2 de 1 inercia
y 1 alrededor dx dz dydel eje z del
2

53. Halle
B5 y
rectangular el valor con dimensiones
promedio
|
hsx, y, zd 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1j
de la a, b y c,x fy(x,
función masa y, z)M5sixyz el ycentro
en el
13. xEJERCICIOS
1 x cilindro sólido dV, donde x15.5
2
1 yE ø1PÁGINA
2 reside
0xbajo
a21, 31. ø yz221028ø h.y0 zf5
elyxplano sx,1y,1zdxdz
2 1dy y, ydx
ERCICIOS5 y0 y0 yz sobre
15.5 f sx, y,lazdregión
PÁGINA dy dz en 1028
dxel5plano y0 yz yxy sx,
z f acotada y, zd22yy2 dy dx dz 5 sx 26. del
yyy
cubo ladrillo
sxcon e está
longitud
xyz
dV, situado
dondede ladosen elL origen
que residey las en aristas
el primerson paralelas
y por las f sx,curvas 1)dzy dx dy ,
(13s13 2 1) 422z 0 s(13s13
4 sy
31 s14 55.y0 ys2syy6d y, zd
3 (s2 2 6 1<) r < 7, 0
1. 12 s35 3 5. s 3.y6d 2 17. 384
B
19. 8
1 128 15 en el13. 21. 2 y5
Coordenadas 23. 4
cilíndricas:
2(10, 0, 3 ) de inercia2 alrededor
12 s35 s14 del eje z del cono a los ejes
octante con deun coordenadas.
3 vértice origen y< aristas paralelas
12 sen
37.46.
41. a( 3), sólido
21 25
3.y 35
64 Determine
7.
s7ay12,
12
9. s2
39.
0, y x2el
sen
sx7ay12, y3d
2 1
21 5,momento
(
(2y3s2 ) 2z1ø
2 7ay12
ø
9. s2
) h. y3d 5 ( 2y s2
0 0 y 2 y1 )
y
2sy
f sx, y, zd dx dy dz 25. (a)a los
B 5
512 hsx,
3 ejes de
y, zd 0 < |x < 4,
15. 0 < y
(0, 0, 2 ) de inercia alrededor del eje z del
(b)coordenadas. 23 1, 0 < z z < 2j 4p
14. yyy13. (x23.6258
s2 y) 2 dV, 2d5 donde 1está
13. E3.6258 encerrado
4 22yy2 sypor las superficies 45. Determine el momento
s 2Ix2d5 11.
. a 243. Ea 2 5 y 4y y f sx, y, zd dx dz dy 27. 2
y8,las0, 0, 2ay3d 00 ø
I 5 I2z 5 3 kL
zy(b)
5 x(a) 2<1.83 1, z 5 1 2
45. 2 kha0 0
, y 5 0, y2 y 22x
(b)x2<1.8616
2sy
5 2y2 422z 54. Ka Halle
cilindro altura
sólido x2 1 y2 ø29.
promedio de
a2,los z ø h.en el hemisferio sólido
puntos
. (a) <1.83 15. <1.8616 y y y f
2

sx, y, zd dy dz dx 27-28 Trace

2 yyy el 2sólido cuyo volumen está
conodado por la integral
47. (a)15m 5 45 y21
1
yx y0 15sx 1 y dz dy dx
1 12y 5 31. (a)x 1 y 2hsPdtsPd
1 z ø dV,
1, z ù donde
0 C es el
f g
2 2 0 x 2

f Tdonde y0 gy2s422
22
. 45 s1447-48
8 (b) 1
sx, 16y, zd,
yyy
15. Establezca,
17.
ln ( 11s5 2 s14
y8 dV, donde 1 1
3s70pero
2

16 Tno)
ln y ( ( 11s5
esevalúe,
3s5 1 s70
el tetraedro
1 3s70 )
5expresiones
2 ) y ( 3s5
sólidoy con
s422 z 1 s70
fvértices
integrales
422z
sx, y, zd )para(0,
dy dx dz (b)iterada.
0, 0), 46. 4.4 Determine
C
3 1018 el J momento de inercia alrededor del eje z del cono
z x 2

. 3.3213 (a) la (2,10,

masa,
19.
23. s 1 (12y
0),
(b)
y6d
3.3213 (0,
el
101 2,
s101
centro 0)23. yde (0,
s1 ) 0,
masa
y6d 2)(101
y (c) s101
1el1 momento 1 ) de inercia sólido sx 2 1 y 2 ø z ø h.
x 5 s1ymd y21 yx y0 x sx 1 y dz33. 2 dy dx, 2
y0 ysx y0 f sx, y, zd dz dy dx 5 y0 y0 y055.f sx, zd dz222z
2
2 2 12y 1 y 12y
(a)1 y,Encuentre dx dyla región E para la integral
1 12y y27. y y y 28. y ytriple y0 dx dz dy
2 12x 2 22y 42y 2
alrededor1del1 eje12yz. dy dz dx
y 5 s1ymd y21 yx y0 y sx 2 1 y 2 dz5dyy01dx, y0 y0 f sx,
12z y
y, zd ejercicios
2

dx dy dz 5 ycon 0 f sx, y, zdimpar

0 y0 EJERCICIOS
ynúmero
2

dz dy PÁGINAA41 x
APÉNDICE
2
H Respuestas a los
0 0 dx15.8 0
1049 0 0

y z47. y21PÁGINA ydel

x y0ejercicio zsx 2 1 sx, y, zd dy ydx ypero
ydzs1 2
1 1 12y
ERCICIOS 5 15.6s1ymd 1037 y 2 r(x,
dz
5 ydy y0dx x 2 2 2y 2 2 3z 2 d dV
z) 5yssx 1y,y 2zd dy dz dx 5 y0 y01.47-48 ysx f Establezca,
1 12 sx 12z 1 s12zd 12z 2

ElEJERCICIOS
sólido 15.6 21;PÁGINA 0y, 1037 x f 2sx,
2
(a) z no evalúe,(b) expresiones z integrales para
4 (c) 3.
27
y2115yx y0 5.
1 16 1 12y
27 sx
12
23 1 y7. 16d 3 dz 9.
2 3y2
2
dy dx 27
21 35. 11. y 1 14 y
y 2 y f sx, y,27 zd dz dx dy 5 y y
1 x y
y f sx, y, zd dz dy dx
Eπ π
”6, , ’
(a) la masa, (b) el centro de masa y (c) el momento de inercia
2

83
1. 4 11 3. 15 5. 2 3 7. 83
0 y 0 9. 2 11. 4 0 0 0 3 6
. 65
28 49.48. (a) El
15. 32 hemisferio
1 17. 24 16 xy318 y 19.
2 2
1 z2163ø 5 1, 21.z01ù
y y
1 0;
y
1
sx, zd y y
1 y 1
y sx, zd z. y 3π

S D
15
13. 28 65
15.2 15172 70417. 16 y3z y 19.2143 15 f y, 16 dx dy dz 5
8
21. 15 0 0 y f y, dx
alrededoresdel dz dy
uneje máximo. 4
. (a) y01 y0x y0s12y r(x, 28dzy,dy
2
z) dx 5 30 31.
sx(b) 1 5
1 y 2 11 z 2
1128
4 632 2 45
705
3
s25 1 y 1s1
208
0 0 zy
x 2
y
x
f sx,e y, zd dyd dz dx 533. y
1 1 2x k, s4y
y y f
SACsx, y, zd(b) dy ,
Use
dx 0d dz unπ sistema algebraico computacional
0
para calcular el
(b) 23. (a), y01 zy0x y0s12y dz, dy dx (b) 14 2 13 3
2 0 z z
z)
π 8 128
21. 2 y5
9 1 44 45 1 220 135 37. 1 660
64 39. , ( 0, 0, 1
) 47. El sólido
valor 6 6
del
máximo ejercicio exacto 21; de 17. la
r(x, 384y,
integral 5 sx
2triple19.2 1 del 1
3 yinciso
2
15 (a).
y zd
. 0.985 27. y

(c) 240 1
s6825. 1 150.985 d1
35. (a) 27. x 5 41.z s1ymd a , s7ay12,
5 C x sx,
2
7ay12, 7ay12 y, 3
ds, x
25. (a) 3 512
3 (0, 0, 2 )
(b) 23

448. El hemisferio x 1 y 1 z ø 1, z ù 20;

0
yC53. y 5zd
2 2 2
1
z 51. (a) 8 (b) 64y 5(c)s1ymd
1 1 1 43.y ILxsx, 3 5 Iy,
y8 Iz 5 2
ds,3 kL 5 1
45. 2 kha
r(x, y, z)π35 sx 2 1 y 2 y1 z 231. (a) yyy hsPdtsPd dV, ”3,
27. Ka y8, s0, 0, 2ay3d 29. 0
55. (a) k
La región 0
acotada
5760
por
2
la elipsoide
47. (a) x m2
1 y
2y y
1 2 1 12y2
1 y 3z sx5 211 y 2 dz dy dx
π 3π
2 , 4 ’ C es elSAC
donde con
z y z zd 2 ds, donde m 5 yC x y, zd ds
5
1 4zs6 s1ymd sx, sx,
C
y 2 (b) 2 1
5 y
y,
2
21 x 0
y45x C(b) 0 sx, y, zd, donde (b) 4.4 3 10 18
J
1 y
(b) s0, 0,x 3 xd5 s1ymd y21
S D S D
yx1 y012y x sx 2 1 y 2 dz dy dx,
1
2

y 5 s1ymd y21 yx y0 y sx 2 1 y 2 dz dy dx,

1 1 12y 3 3s3 3s2 3s2
, 0, , 2 15.8
( ) ( , 3s3
) 7 EJERCICIOS PÁGINA 1049
2
1 4 1 12y 1 22 2
3 , yI21 2 2
EJERCICIOS 15.7 37.PÁGINA 1043
Ix 5 k 2y z 52s1ymd y y5 k zsx 21 y3 dz dy dx39. 2 41. 3 2 2
x y0
1 2
2 2
1. (a) z (b)
1. (a) (c) (b) y211
yx1 y012y sx 2 1 y 2 d3y2 dz dy dx 3. (a) (s2 , 0, 2 3 y4 9) 2 (2s2 , y4, y3)
(b) π π
43. (a) 2ma i 6mbt j, 0 t 1 (b) 2ma mb ”6, 3 , 6 ’
2

z 49. (a) 32
1 3
1 11
< < 5. Semicono
1 7.2 Plano horizontal
24
 . 285 C
11.
13. rA 3.
< z42k, (2,shell
< 8radius
2
cylindrical
and outer r287) cm. cm6,
5.
is 20Write ( 4 , with
long, 2 ) inner
inequalities that k, (60,cm
7. radius
describe )
7the y0 volume
22. Find−the y0 y2s f sx, y, zd
thatdx dywithin
dz both the cylin- 2 422z sy

S D
15
ofythe solid lies
0and
< !outer
shell
12.Integrales in<an
ean
radius
2"y2,
triples
2 5 ren
7<
appropriate cm.
8se z 3<Write
coordinate
22 4d
coordenadas inequalities
system. that
cilíndricas describe
Explain howthe
you der −2 4 22yy2
2 sy
x y1 yy − 1yand the
f sx,sphere
2 2
y, zd xdx1dzy dy1 z 2 − 4.
1 shell in appropriate coordinate system. Explain how you
. 8 s1
2 3ehave d, positioned , the coordinate
22
2 3
system with respect to the 0 0 2sy
have e 2 3 27se 2 3ed
shell.positioned the coordinate system with respect to the 23. Find− y22 y0
the yxthe
22x 2y2of422z
2 volume
2
solid
f sx, that
y, zdisdyenclosed
dz dx by the cone
11–12 Sketch thesx
3 13. A cylindrical shell is 20 cm long, with inner radius 6 cm
( Plot shell.
8 , 3!y16
1. 1–2 the point whose )13. s0, 45ys14!dd
cylindrical coordinates are given.
z −
−solid
2 1 y 2 and the sphere x 2 1 y 2 1 z 2 − 2.
s422z
y02 ydescribed
2s422z yx 2
by
422z the given inequalities.
f sx, y, zd dy dx dz
; 14.
Then findand
the outer
Use a graphing
rectangular radius 7 cm. Write
device
coordinates theinequalities
toofdraw that describe
the solid enclosed
point. the
by the 2 24. Find the 2 volume of the solid that lies between the
5. s2ay5, 2ay5d if vertex is2 (0, 0) 2 and sides are2 along 2 positive 11. r < z < 8 2 r 1 y 2 parabo-
; 14. shell Use aingraphing
paraboloids z −device
an appropriate yto and
x 1 coordinate drawz the 5solid
2 x enclosed
−system. Explain
2 y . how by theyou 33.
loid z − y 1
x y
2
1
yy
12y
2 f sx, y, zd dz dy
and the sphere x 2 dx 2− y 2 y y
y z −
12y
0 2. f sx, y, zd dz
xes 1. (a) s4, "y3, 22d 2 (b)
2 s2, 2"y2, 1d 2 2 0 s1x 0 1 1 0 0
paraboloids
have positioned z −the 1 y and zsystem
x coordinate − 5 2with x 2 y . to the12. 0 < ! < "y2, 1r <
respect 12zz <y 22
y0 y0the yvolume y0 y0between
y0 f sx, y, zd dx d
1 12y y 2
(a) sshell.
7. 409.2k,
2. 15–16 182k,
s2 ,Sketch
3"y4, 591.2k d solid whose
2the s1, 1, 1d is given by the integral
(b) volume 25. (a)−Find 0 f sx, of y, the
zd dx dy dz
region − lies
E that
6
y180,
9. 7 ka15–16
and 7 ka 6the
Sketch
evaluate y180,
the solid
integral. 6
7 kawhose y90 ifvolume vertexisisgivens0, 0dby and −the
sides13.areA cylindrical
the integral y0 paraboloid
shell y0is 20 cm
1 12sx 12z
ysxlong,
zf sx, 24
−with y, inner
2zd xdyradius
2
2dzydx
2
6and
cm−the y0 cone
y0 ysx f sx, y, zd
1 s12zd2 12z

; 14. Use a graphing device to draw the solid enclosed by the z − 2 sx 2y 1 y 2 .

ong3–4 and evaluate
positive axes ther 2 integral.
and outer
35. y0 yy y0 f sx, y, zd dz dx dy − y0 y0 y0 f sx, y, zd dz dy dx
radius 7 1cm. 1 Write inequalities that describe the
1 x y

y y y
from2 rectangular 5 2yx2 2y2 yy .r dz d! dr shell
Change 2" r2
15.
"y2
paraboloids rz dz x 2tod!
− dr 1cylindrical
y 2 and zcoordinates.
−16. (b)appropriate
in an Find1 the centroid of
coordinate E (theExplain
system. centerhowof1mass
you in the case
1. #bh 3
y3, 3
"y2 hy3; 02 0r bys3, hys3 y y 1 1
y y 0 y0 yy f sx, y, zd dx dz dy
y 1
y#b
y y y y y sx,
2
(a) s21,
3. 15.
2"y2
1, 1d r dz dr d! (b) s 22, 16.
2s3 , 3d02 02" 0r
r dz d! dr have −
positioned
wherethe
0 z y the f
coordinate
density y, zd
system
is dx
withdy
constant). dz
respect− to the
3. #a 415–16
!y16,2"y2 #a 40!y16; 0 ay2,whoseay 2 volume is given 0 0
by0the integral shell.

S
y01 ythe
0 yzvolume y01 cylinder
yz1 yzx f sx, y, zd dy dx dz

D
Sketch the solid x x
4. (a) (2s2 , s2 , 1) (b) s2, 2, 2d 26. (a) − Find f sx, y,ofzdthe dysolid
dz dx that−the
and
17–28 evaluate
Use cylindrical 16384 s2
the integral.coordinates. ; 14. Use a graphing device
a costo2 !draw
64! the 3 of the
outsolid
!, enclosed 1by of
theradius a centered
( )
37. 39. 2 0, 0,
r− cuts sphere
5. m −17–28 3!y64, sx,r 2y d − coordinates., 0 , 2 2" r
"y2Use2 cylindrical paraboloids z − x 2
1 y and z − 5 22 x 2 y 2 3
.
17. yEvaluate y y0 yyyr Ethe dzsx 2 110395!
16. isy given.
y y0 r dz d! dr
2 dV, where E is the region that lies
d! ywhose at the
41. a 5origin.
, s7ay12, 7ay12, 7ay12d
5–615.Describe
2"y2 in0 words
dr
surface equation
17. Evaluate
inside the yyy sx
cylinder 2
x 2 2
y dV,
y 2
where
16 E
and
0 0
is the
between region
the that lies
planes ; (b) Illustrate the solid of 2part 5(a) by graphing the sphere
5! 4 E 5! 1 1 4 − 5! 15–16 Sketch the 43. solidIthe
x whose Iy volume
−cylinder − Izon− 3 kL
is given 45. 12 !kha 4
by the integral
− 5. r −22inside
z − 25 , I
theand
y −cylinder 1 2 6. 2 !, −
I −
"y6
z − 4.x 1 y − 16 and between the planes
0 and
and evaluate the integral. the same screen.
384 105 384 105 192 − ycenter
21 yx of y20 mass sx 2 1 y 2 dz dy dx
1 1 12y
17–28 z − Use 25 and
cylindrical z − 4.coordinates. 27. 2 Find
47.the(a) mass
mand 2" r of the solid S bounded by
2
1084 is enclosed by the paraboloid y2"y2 y0 ythe 2 y0 y0 2 y0
2
1 15 5 r
48 <E0.1042
"y2
7. (a) 18. CHAPTER
(b) 0.375 yyyE z dV, (c)where
Multiple Integrals 15. r dz dr d! 16. r dz d! dr
2 Evaluate 0 (b) sx, y, zd, where
7–817. Identify the surface
2 yyy
whose equation is given. paraboloid z − 4x 1 4y and the plane z − a sa . 0d
Evaluate < E2 sx yplanedV,Ezwhere E is the region that lies
2 2
9. (b) 18. (i) e
z
20.2
Evaluate
− x 1 yyy
0.8187
y z
and dV, 1where
the is− enclosed
4. by the paraboloid x − s1ymd
if S has constant 21 y
1
y
density
1 12y
y x sx 2 1 y 2 dz dy dx,
x 0 K.
E
x<2 plane y8.2 −
2

i) 1 7. 119. e 1inside
r 2 21.8 z 2 − 42the
z− 2xe20.8 1yyy cylinder
y2 2
e21the
and 10.3481 z −164.and
r − 2 sin ! between the planes
(c) 2, 5
E sx 1 y 1 zd dV, where E is the solid in the 17–28 Use cylindrical
29–30 Evaluate the
y 1 integral
y 1 12y by changing
y sxby2 x12 1y 2to cylindrical
x yB
Evaluate y s1ymd
coordinates.
z − 25 and z − 4. −
Find the mass of21
28.coordinates. a ball 0 given y dz
2
1dy
z 2 dx,
< a 2 if the 2

1. (a) <0.500 first third(b)

octant that <0.632
liesmayunder the from paraboloid − 4 2 x 2 y 17.
z eChapter(s). 2 2
. Evaluate yyy sx 2 1 y 2 dV, where1 E is1 the12y
anys1ymd y21proportional
yx y0 region
art. Due to electronic rights, some party content be suppressed the eBook and/or
CHAPTER 15 additional
Multiple content Integrals and
density zat− point is zsx tothat
2 lies
its1 y dz dy
2
distance dxthe
from
f g
ge Learning reserves the right to remove at any time if subsequent rights restrictions require it. E 2
rt. Due9–10 Writerights,the 1yyy
someequations in cylindrical coordinates.
yy
18. Evaluate ssx
party z dV, where E is enclosed by the paraboloid x2 1 2
yyy inside the cylinder 2 − 16 and
y12y between the planes
3. (a)
to electronic
20. k 1
Evaluate 2 third
sx
content
x0 dat any1timesifysubsequent
may
yd be 2
suppressed
dV, where from
22 y0rights
E is d 2 restrictions require it.
the eBook2and/or
the dA,
solid where
eChapter(s).
that lies D is
yz22−yy2s
s42y
y0sx 1ysx xz1dzydxd dy dz dy dx
21 yx y
2content
2 z-axis. 2 1 1 2 2 3y2 2

and(c)
E
202 additional − 2529.
ge Learning reservesD the2 right to2remove E
9. (a) xzbetween 2 xx A 124
ythey1 2
and
z 2 −the 1APPENDIX
plane 1zat
x 2(b) yz− H− x 1Answers
4. y x2 1 to Odd-Numbered z Exercises 4. 2

with − 11 2− 2
he disk radius 10 cylinders
mi centered the 2and
center of ythe−city 16, 42y
3 11
2 2 2

yyy 49. (a) ! 1

S D
above sx
b) 200!ky3 < 209k, 200(!y2 2 9 )k < 136k, on the2 edge2
9. Evaluate the y
21xy-plane,21 zd dV, and where8 2x E
below the is the
plane solid
z − y in1 the4. 29–30 yyy Evaluate 32the integral
24 bythe changing
paraboloidto cylindrical
230. 2y y y
10. (a) 2x 2
1 2y 2 z − 4 (b) 2 y 1 z − 1 18.
4/10/15 Evaluate
11:49 AM z
3 dV,s92xwhere E
92x is enclosed
2y by 2 2 2
E
z −coordinates.
E
sx 2 1 y 2 dz dy dx
first
rt. Due octant
to electronic
21. rights, that
Evaluatesome11.lies
third partyunder
yyy content
2 may the
where paraboloid
zbe suppressed
Eiffrom
is z−
the eBook
the solid and/or4eChapter(s).
that 2lies x within2 y . the4/10/15 x 1 y and 0the plane
11:49 AM 23 17. 280 z −z 4. 30! 1 128 45! 1
s9!y4d (2 208
2 s3 )
e Learning reserves the right to remove E x dV,
additional content at any time subsequent rights restrictions require it. (b) 3, ,
8 s42y9! 1 2 44 45! 1 220 135! 1 660
yyy
2 2
cylinder x yd y Reserved.1,Mayabove isthethe plane z− 0, and below the
31.y When
y 1 studying
0.XERCISES 15.5 E sx PAGE 1068
yPROJECT
Evaluate 1 dV, −where not E scanned,solid that lies DISCOVERY THE INTERSECTION OF
2 2 2
Copyright 2016 Cengage Learning. All Rights
2 any suppressed
2 content does z=8-r@
2 not materially
be copied, or duplicated, in whole
29. xz dz dx dy
or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).

between cone the 3. z − 4x x1 4y

cylinders
3 s14 15.y s!y6d
Editorial review has deemed that . − 1 and x 1 y − 16,
(
2
13s13 2 1)
2 2 2
(c) 240 s68sx11y15!d the formation of mountain ranges, geolo-
affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.
22 2s42y 2 2
s35
2
. 12 4/10/15 11:49 AM gists estimate the amount of work
above22.theFind xy-plane, and of
the volume below the plane
the solid z−
that lies within 4. the cylin-
y 1both 192x 2y 1 1 required
The figure53. to lift
shows a moun-
3 the solid enclos
y y (a)
y (b) (c) y8
351.s92x L
s!y6d(17der ) ( )
2 2 2

s17
.1_hr_1074-1083.indd 2 2 52s5 9. s2!y3d 2 s2
2
x 21 y − 1 and the sphere x 1 y 1 z − 4. 2 2 1
2 30. tain from 8sea level. sx
π 2
6
64 y
Consider
1 2 dz
a dy
5760 dx
mountain
sect at that
right is essentially
angles. In this projec
x 2 1 2y 2 1
a 2s! 2 yyy in the(a)
1083
55. 0 The
0
ofregion bounded by Suppose
the ellipsoid
4/10/15 11:49 AM
1. Evaluate
1. E x dV, where E is the solid
z=r@ that lies within the
23
2d 13. 3.6258 shape a right circular cone.
the cylinders that the
have different diame
23. Find
x 2 1the 2 volume of the solid that is enclosed by the cone (b) 4 s6!y45
weight density of the material in the vicinity of a point P is
5. cylinder
(a) <1.832 z − sx
y (b) 1, above the plane2 z −20, and
− <1.8616
2 2 1 y22 and the sphere x 1 y 1 z − 2.
2
below the
cone z 4x 4y . tsPd and xthe height is hsPd.y
ENDIX 45 H
− 15 Answers to Odd-Numbered
1
f
7. 8 s14 1 16 ln (11s5x 1 3s70 )y(3s5 1 s70 ) y
24. Find the volume of the solid that lies between the parabo-
Exercises 31. When studying
EXERCISES
(a) Find gthe formation
15.7
19. ya!y2definite
gists estimate 0 the
PAGE
y 3 y 2 f srintegral
cos ", rthat
of 1083
mountain ranges, geolo-
represents
sin ", zd r dz drthed" total work
0 0 amount of work required to lift a moun-
2. Find the volume of2 the solid that lies within both the cylin- z
s!y6d(101 s101 2)
1. done
(a) in forming the mountain. (b) z
2 2 2 2
3.3213
9. der loid z23.
−
13.x 1 y
Cylindricaland the sphere
2 2 1
coordinates: x 6 1
< yr <1 z
7, 0 −
< 2.
" < 2!, 0 < z < 20 21. 312,500!y7
tain from sea level. Consider 23. a 1688!y15
mountain that 25.is!y8 essentially
x 2 1 y 2 −15. 1 and the sphere z x 1 y 1 z 2
− 4. (b) Assume that Mount Fuji in Japan is in the shape
π of a
25. (a) Find the volume of the region E that lies between
4! in the right27. (s3of2a 1right
shape )!a y3 3
circular 29.cone.(a) 10! Suppose ”2,
(b)_that2 , 1’0,
(0, the2.1)
circular cone with radius 62,000 ft, height
Find the volume
3.XERCISES 15.6 of the solid
PAGEz1077
the paraboloid that is enclosed
2 2 by the cone
− 24 2 x 2 y and the cone weight12,40031. (a)
density ( 0,
0 of 0,
andthe
7
)
densityza constant
12 material (b) 11K!y960
in the200 vicinitylbyft13of a pointmuchPs9! is
z − sx 2 1 y 2 and the
z − 2 sx 2 1sphere
y 2. x 2
1 y 2
1 z 2
− 2. tsPd and
17.
33.
ft,
(
(a) height
the a) hsPd.
0, 0, 38 is (b) 4K!a 5y15 (K is the density)
. How
2
. 27 3.(b)16
15 Find 5.
5
7.of23E (the9. 27
11. in9!y8 work was π done in4 forming 3 Mount Fuji if the land was
4
4. Find
the 3centroid center2 of mass the case (a) Find 35. a 1 3
initially (
definite
! 2
at 2sea s2 )
integral
,
level? ( 0, 0, 3yf8(represents
that 2y2 s2 )g) the total π
_ work0
65 the volume of the solid that lies between 16 the parabo-
3
8 8 2 2 2
3. loid
28 z=8-r@ 15. 15 y 2 and17.
z − x2 1
where the 16!y3
density is 19.
constant).
the sphere x 2 1 y 2 13 z 2 − 2. 15
21. 37. (a)
done in forming the!Ka 4
hy2 (K is
_2 mountain.
the density) (b) !Ka hs3a 1 4h2 dy
1 x(a)s12y (b)x Assume 39. 5!y6 that Mount 41. (4Fuji s2 2in5Japan )y15 is 43. in the 4096!y21
xshape of a
3. (a) 26.
y y y Finddzthex volume of the1solid that
dy
2
dx (b) ! 2 1 the cylinder π
5. (a) Find 0 0 the 0 volume of the region 4 E that3 lies between 45. 47. ”4, 136!y99
3 , _2’
r − a cos ! cuts out of the sphere of radius a centered right circular cone with radius 62,000 ft, height
the paraboloid
5. ! 0.985 at 27. z − 24z 2 x 2 2 y 2 and the cone
the origin. 12,400 ft, and density a constant 200 lbyft 3. How much
;z − 2 sxIllustrate
(b) 2 1 y . the solid
2
y
1 of part (a) by graphing the sphere (2,work2s3was , 22done ) in forming π
Mount Fujis0, if the22,land 1d was
6
© S.R. Lee Photo Traveller / Shutterstock.ocm

(b) Find the and centroid of E (the

the cylinder center
on the sameofscreen.
mass in the case 4 (a) (s2at, sea
3. initially 3!y4, level? 1) (b) s4, 2!y3, 3d
17. 19. 83! 1 128
384!is constant). 21. 2!y5 23. 3! (s2 2 1)
z=r@
where the density 15 Copyright 2016 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or i
27. Find the mass and center of mass of the solid S bounded by 5. Circular
Editorial review has deemedcylinder with
that any suppressed radius
content 2 and
does not materially affectaxis the
the overall z-axis
learning experience. Cen
25. (a) 512
3 ! 0 (b) (
0, 20, 2 23
)2 7. Sphere, radius 2, centered at the origin
y plane z − a sa . 0d
2
6. (a) Findthe theparaboloid
volume
27. !Ka
− 4x
of1z2y8,
the s0,solid
4y and
1 that
0, 2ay3d the29.the
cylinder
0 EXERCISES 15.9 PAGE 1100
if S has
r − a cos 31. constant
! cuts density K.
x out of the sphere of radius a centered 9. (a) z 2 − 1 1 r cos " 2 r 2 (b) z − r 2 cos 2"
(a) yyyC hsPdtsPd dV, where C is the cone 40621_ch15_p01_hr_1084-1093.indd 1. 26 1084 x 3. s 5. 2uvw y
at
28.theFind
origin.
the
(b)mass<3.1 of 3a ball given by x 2 1 y 2 1 z 2 < a 2 if the
1019 Bft-lb 7. The parallelogram with vertices (0, 0), (6, 3), (12, 1), s6, 22
y the
the right y
to10removey y
(b) Illustrate density atsolid
any point is proportional
of part (a)May
bynotgraphingto its distance
the sphere frominthe 3 content
2 may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).
f1bysrtheatcos
ca120723 !y2
Copyright 2016 Cengage Learning. All Rights Reserved. be copied, scanned, or duplicated, 9.19.
whole or in part. Due to electronic The some
rights, region third bounded
party line y ",− 1,rthe sin rights",
y-axis, andzd yrequire
r−ds
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z-axis.
torial review has deemed
and the cylinder 10.31.00
that any suppressed
on content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves
the same screen. 0 0
additional content any time if subsequent restrictions
EXERCISES 15.8 PAGE 1089 11. x − 3 sv 2 ud, y − 3 su 1 2vd is one possible transformatio
where S − hsu, vd | 21 < u < 1, 1 < v < 3j 21. 312,500!y7 23. 1688!y15
7.ordinates:
Find the mass61. < r <of 7, 0π of <(b) 2!,
<the"solid 0 <byz < 20
(a)center z z
and mass π
”6, 3 , 6 ’
S bounded
13. x − u cos v, y − u sin v is one possible transformation,
zthe paraboloid z −4! 4x 1 4y and the plane z − a sa . 0d
(s3 2 1)!a y3 29. (a) 10
2 2
where S − 5 su, vd | 1 < u < 3s2, 0 < v < !y2 6 27.
3π
8-127.indd 123 0
4
if S has constant density K. π 15. 23 17. 6! 19. 2 ln 3
DISCOVERY PROJECT THE INTERSECTION OF THREE 21. CYLINDERS
7
(a) (0, 0, )
π
6 6
2 2 2
8. Find the mass of a ball B given by x 1 y 1 xz < a if the
2
2 y (a) 43 !abc (b) 1.083 3 10 12 km 3 (c) 15
12
4
!sa 2 1 b 2 da 31. (b) 11K!y960
(a) (0, 0, a)
3 8 3
23. 5 ln 8 25. 2 sin 13 27. e 2 e 21
density at any point is proportional
0 to itsThe
distance
figure from
showsthe
the solid enclosed by three circular cylinders 5
with the same diameter that inter- 33. (b) 4K!a y15
 TEC Visual 15.8 muestra una
ejemplo 4.
animación de la figura 11.
sen cos10.
5 enycoordenadas
ecuación de la esfera
3
d(a)5z 5como
3 esféricas
0
2y
x 1
3
F 4
G 0
5
8
(b) z 5 x 2 y

r2 5 r cos f o r 5 r cos f 27
z z 11-14 Trace el sólido descrito por
z las desigualdades dadas.
La ecuación del cono puede escribirse como
11. < 1, 0 < < y6, 0 < <
28
cos 5 s 2 sen 2 12. cos12 <1 <2 sen
2,
2 sen<2 5
y2 < sen

1050 CAPÍTULO 15 Integrales

Esto múltiples
da sen f 5 cos f, o f 5 py4. Por 2 < la<descripción
13. tanto, 4, 0 < del y3, E0en
< sólido <coordenadas
< 29
1050 CAPÍTULO 15 Integrales múltiples
esféricas es 14. 1 < < 2, 0< < y2, y2 < < 3 y2

5-6 Describa con palabras la superficie cuya ecuación se da. |

5-6 Describa con palabras la superficie cuya E 5 h s , se, da.
ecuación d 0 < < 2 22. , 0< Evalúe < yyyy4,y20z< 2
dV,<donde cos Ej está sobre el cono f 5 py3
22. Evalúe yyy E y2 Ez2 dV, donde E está sobre el cono f 5 py3 30
5. f 5 py3 6. r 2
2 3r 1 2 5 0 15. Un y bajo
sólido se la esfera rsobre
encuentra 5 1. el cono z 5 sx 2 1 y 2 y bajo
5. f10 La6.figurar2 y211 3rmuestra
1 2 5 cómo se recorre E la si se y bajo
integra la esfera r 5con 1. respecto a r, luego a f
FIGURA 5 py3 x
0 x
23. esfera
y
Evalúe x2 1primero
y2 1(xz22 5
yyy 1x z.2Escriba una descripción
y ) donde
dV, donde y
E está entre del
lassólido
esferas
y después a u. El volumen de E es 23. en Evalúe
términos yyyde (x 21 y ) dV,
2E 2
E está entre las esferas
2E desigualdades 2 que 2 impliquen coordenadas
2 x 1 2 y 1 2 z 5 42 y x 21 y 21 z 5 9.
2 2
x 1 y 1 z 5 4 y x 1 y 1 z 5 9. 31
Identifique
7-8 Identifique lalasuperficie
superficie cuya ecuación se da. de 0 2a py4,y4esféricas.
FIGURA 11
y y y y y y
cos
7-8 cuya
r varía de ecuación
0 a cos
SECCIÓN 15.8se da.
f, mientras VsEd 5triples f varía
dVcoordenadas
5 mientras 2
sen 1049
d ud varía d de 0 a 2p.
yyyH yyy
Integrales en esféricas
24. Evalúe (9 2 x 2 y ) dV, donde H es el hemisferio sólido
2 2
SECCIÓN 15.8 Integrales triples
f y u son constantes. u esen coordenadas
constante. 0
16. 024. esféricas
(a)0 Evalúe
Determine 1049
(9 H2 x2 2 y2) dV, donde H es el hemisferio sólido
7. rr cos 2 desigualdades que describan una pelota hueca
7. cosff5 511 8.8.r r 55 coscosff E
2 x 1
x con
2
2 y 1
1 ydiámetro 2 z ø 9, z ù 0.
1 z ø de
2
9, z30ùcm 0. y grosor de 0.5 cm. Explique

FG
(esta vez 0, 12125.
y4 _0, +. 3Se 5cos
SOLUCIÓN Note que la esfera pasa por el origen y tiene centro escribe yyy
la Ex 2xe 2x 12y 1 z
2 2 2
(esta vez _0, 25. cómo
Evalúe posicionó
yyy la 1 y el1 zsistema dV,dedonde
coordenadas
E es E la es la que eligió.
porción la de la pelota
SOLUCIÓN Note que la esfera pasa por el origen y tiene
y y
centro 0, 2+.Evalúe
Se escribe E xe dV, donde porción de pelota
2
ólido del 5 d sen d 32
ólido del 9-10 Escriba ecuación de la
lalaecuación esfera
ecuación en
enenen coordenadas
coordenadas esféricas
esféricas. como (b) Suponga
unitaria que
x 2 2la pelota
y z 2está cortada por la mitad. Escriba
1 que está en el primer octante.
z
22
9-10 Escriba ecuación de la esfera coordenadas
coordenadas esféricas.
esféricas como 0 0 3unitaria x 2
1 y 1 1 1 ø 1 øque está en el primer octante.
15.8 2EJERCICIOS 50
desigualdades que describan una de las mitades.
9. (a) 1yy2211zz2 25599 2 2 o 2 z2 5

F G
9. (a) xx2 1 r 5 r(b)
r22 5(b) r cos
cosx2x2 f y y2o2
f2 2 z 5 1rr 5 51 rr cos
cos f
f 26.26. EvalúeEvalúe yyyE yyysxE2sx 1 2y4 1 2 1 2 21 z 2 dV, donde E está sobre el cono
z dV, donde E está sobre el cono
y y4
1-2 Trace el punto cuyas coordenadas esféricas se dan. Determine 2 3-4 y4Cambie17-18 Trace el 2 sólido cuyo
cos volumen está dado por la2 integral y
y
de coordenadas rectangulares a esféricas.
TEC Visual 15.8 muestra
10. (a)
10.
después Lazzcoordenadas
(a)las 5 5 xx
ecuación
22
1 1 yy
22 una
del cono puede
rectangulares del punto. (b)
escribirse
(b) z z
5 5x x
como
2 2
2 2y2 25
y sen evalúe cos la3
zd5 zsx
5 5 sx
integral.
2 1 y1 2
2yyentre
2 2 y entre las esferas
las esferas
5 x2 1 xy22 11 yz 5 1 1z2y5 1 y
animación La de la ecuación
figura 11.del cono puede escribirse como 3 3. (a) s1, 0, 21d 2 2 2 3 2 2 (b)2 ( 4 , 0, ) 8
0

1. (a) (6, py3, py6) (b) (3,2 py2,2 3py4) 2

x 1x y11y z15z 4.5s34. s3 s2
cos 5 s 2 sen 2 cos 2 1 2 sen 22 sen 22 5 seny6 y2 3 2
2

11-14
11-14
2. (a) (2, Trace
py2,el
Trace el
py2)sólido
cos 5 zs sen cos 1 sen
sólidodescrito
descrito(b) por
por laslas
(4, desigualdades
2py4,desigualdades
py3) dadas.
sen 5 17.
z 27. y Determine
sen
dadas.4. (a) s1, 0, s3 d 027. 0Determine
y y0 elsen(b) s3d , 21,
elsvolumen
volumen d ded2s3 lade d laz parte
parte de lade pelota r ø arque
la pelota ø aestáque está33
Esto da sen f 5 cos f, o f 5 py4. Por tanto, la descripción del sólido Ey4en2 coordenadas entre entrelos conos
los conos f 5 f py6 5 y
py6 f y
5 fpy3.
5 py3.
Esto 1, da00sen <cos f, o0f << Por tanto, la descripción del sólido 18. y E en y y
coordenadas
sec
11.
11. < < 1, < <f < 5 y6,
y6, 0<5 < py4.
2
sen d d d
esféricas es 28. Determine la distancia promedio de undepunto en la enpelota de de
esféricas es 28. Determine
0 0 0 la distancia promedio un punto la pelota
12. 1 <
12. 1 < < 2, E 5 < 2, y2 <
y2h< < radio a a su centro.
E 5 h s , , d || 0 < < 2 , 0 < < y4, 0 < < cos j
s , ,< d 0 < < 2 , 0 < < y4, 0 < < cos radio j a a su centro.
13. 22 <
13. < < <4,4, 00<< << y3, y3, 0 0<< << 29.29. (a) Determine el volumen 34
19-20 (a)
Establezca Determine
la integral tripledel
el volumen de sólido
una que está
del función
sólido que sobre el cono
está sobre
continua el cono
La fi< gura 110muestra cómo y2, se recorre
y2y2<<E si 3se y2
integra primero conarbitraria respecto fa(x, fr,5luego py3 aycoordenadas
fbajo la esfera r5r 4 cos
5 y4f.
14. 11 <
14. La figura< 2,2,11 << <<
muestra cómo se recorre E<si< se3integra
y2 primero con respecto a r,y,f z)5enpy3
luego a f y bajo la esfera cilíndricas cos f. en el
esféricas
y<después a u.0 El volumeny2, de E es sólido que (b) (b) Determine el centroide
Determine el centroide del sólido
se muestra. del sólido del inciso (a). (a).
del inciso
y después a u. El volumen de E es
30. Determine el volumen del sólido que está dentro de la
y y y y y y
y4 cos
d d d 19. 30.
2
Determine el volumen 20.del sólido que está dentro de la
VsEd 5 ysobre yy dVel5cono y00 yz00 5ysx
2
15. Un sólido se encuentra VsEd 5sobre dVel 5cono 2
z sx
y4 cos 2 1 y22sen y bajo 35
5 2 1 sen d d d esfera x 2
1 y 2
1 z 2
5 4, sobre el plano xy y bajo el cono
15. Un sólido2 se encuentra
la esfera x 21 y2 21 z2 x25 z.EE Escriba una
0
0
descripción
y 2 y bajo
del sólido
z
esfera x2 1 y2 1 z2 5 4, sobre el planoz xy y bajo el cono m
la esfera x 1 y 1 z 5 z. Escriba unaydescripción del sólido x z 5 sx 2 1 y 2 . x
z 5y sx 2 1 y 2 . y

FG
en términos de desigualdades que impliquen coordenadas 5cos
35
en términos de desigualdades quey4 impliquen33 coordenadas 31. (a) 3 Halle el centroide del sólido del ejemplo 4.
y y
2 5cos
esféricas. 31. (a) Halle el centroide del sólido del ejemplo 4.
y00 0 da cosy00f, mientras
5 2 d y4 sen d
FIGURAesféricas.
11 5 de
r varía sen 3 50 d f varía de 0 a py4, mientras (Suponga densidad constante
u varía de 0 a K.)2p.
16. (a) Determine desigualdades que describan una
f y u son constantes.
3 pelota
50 hueca
u es constante. (b) Halle
(Suponga
el momento
densidad de
constante
inercia alrededor
K.) del eje z
16. (a) con Determine desigualdades que describan una pelota hueca 2 36

F G
diámetro de 30 cm y grosor de 0.5 cm. Explique y4 (b) Halle
para este sólido. el momento de inercia alrededor del eje z
4
con diámetro
posicionódeel5 30 2 2 cos
2cmyy y4 grosor de 0.5 cm. Explique y4
una cómo sistema y4
desencoordenadas
cos 33 d que 5 eligió.
2 2 cos x 5
4 para este sólido. y
una cómo posicionó
(b) Suponga que la pelota3 está 5el sistema
3 y0 sen
de cos
coordenadas d
0 cortada por la mitad. Escriba
que
5 3
3
eligió.2 4
4
32. 5 Sea
8
8
H un hemisferio sólido de radio 2a cuya
x
1 densidad en
y
0 32.
0
(b) desigualdades
Suponga que que la pelota está cortada por la mitad. Escriba Sea H punto
cualquier un hemisferioes proporcional sólido de a suradio a cuya
distancia del densidad
centro en 37
describan una de las mitades.
15.8 z
z
EJERCICIOS
desigualdades queIntegrales
describan triples
una z
en coordenadas
z de las mitades. esféricas de la cualquier
z base.
z
punto es proporcional a su distancia del centro
17-18 Trace el sólido cuyo volumen está dado por la integral y (a) de Halle la base.
la masa de H.
17-18
1-2evalúe
Trace la Trace
el integral.
punto elcuyas
sólido cuyo volumen
coordenadas esféricas está dadoDetermine
se dan. por la integral3-4 y Cambie 21-34 Use (a)
de coordenadas
(b) Hallecoordenadas
Halle la masa
elrectangulares
centro esféricas.
de de masaa H.
esféricas.
de H.
1050evalúe
después lasla integral. 15 Integrales
CAPÍTULOrectangulares
coordenadas múltiples
del punto. 21. Evalúe(c) (b) yyyBHalle
Halle (xel 1
2 ely centro
momento 2
1 z 2
) de
2 de
dV, masa
inercia
donde deBH.Hesalrededor
la pelota de consucentro
eje.
3. (a) s1, 0, 21d (b) (s3 , s3 , s2 )
(a) y(6,y6py3, y y
y6 y2 3 2
1.17. py6) sen d d d
(b) (3, py2, 3py4) en el (c) Halle
origen y el momento
radio 5. de inercia de H alrededor de su eje.
33. (a) Halle el centroide de un hemisferio sólido homogéneo
5-617. y0
Describa y con y
0 y2 0 3 2
sen la dsuperficie
palabras d d cuya ecuación se da.
4. (a) s
22.
1, 33.d (a)
s3
0, Evalúe deyyyradio
E y za.
Halle 2 2
eldV, (b) ss3E,de
centroide
donde un2s3
está
21, d el conosólido
hemisferio
sobre f 5 py3 homogéneo
2.18.
y y y
0 y4 0 0
(a) (2, py2, py2) 2 sen d d(b)d (4, 2py4, py3)
2 sec
y bajo
(b) la
Halle esfera
de el momento
radio r 5 a. 1. de inercia del sólido del inciso (a)
5.18.
y0 y0 y0 2 sen d d d6. r 2 3r 1 2 5 0
f 50 py3 y4 0 2 0 sec 2
respecto
(b)yyyHalle a un
2 el momento diámetro de su base.
de inercia del sólido del inciso (a)
23. Evalúe E (x 1 y ) dV, donde E está entre las esferas
2

34.x Halle
2
1y 1 2 respecto
la zmasa
2 a
5 4yyelx centro 2un diámetro
1y 1 2
5 de
dez2masa 9.desuun base.
hemisferio sólido de
7-819-20 Establezca
Identifique la integral
la superficie cuyatriple de unasefunción
ecuación da. continua
34. radio Hallea si la la masa
densidad2 y el 2 en cualquier
centro de punto
masa de esunproporcional
hemisferio a su de
sólido
x arbitraria
19-20 Establezca f(x, y, yz) en la coordenadas
integral triplecilíndricas
xde una función y esféricas y en el
continua 24.x Evalúe yyyH (9 2 xy 2 y ) dV, donde H es el hemisferio sólido
x 7. r cos f 5 1 y 8.x r 5 cos f y x 2 distancia de la base.
y
sólido
arbitraria quefse (x,muestra.
y, z) en coordenadas cilíndricas y esféricas en el x 1 yradio 2
1 z2aø si 9,la zdensidad
ù 0. en cualquier punto es proporcional a su
distanciax 2de la base.
sólido que se muestra. u25. yyyE xe 1 y 1 z dV, donde E es la porción de la pelota
2 2

19.
r varía de 0 a cos f, mientras 20.
f varía de 0 a py4, mientras varía Evalúe
de 0Use a 2p.
r varía de 0 a cos mientras varía de 0 a mientras 35-40
varía coordenadas cilíndricas o esféricas, lo que parezca
f y u9-10 Escriba la
son constantes.
f, z ecuación en coordenadas f esféricas. z
u es constante.
py4, u unitaria2p.
de 0 a x2 1 y2 1 z2 ø 1 que está en el primer octante.
f y u son19.constantes. u20.
es constante. más35-40 apropiado. Use coordenadas cilíndricas o esféricas, lo que parezca
9. (a) x2 1 y2z 1 z2 5 9 (b) x2 2 y2 2 z2 5 z 1 26.35.Evalúe yyyE sx 2 1 y 2 1 z 2 dV, donde E está sobre el cono
3 más apropiado.
Determine el volumen y centroide del sólido E que está sobre
10. (a) z 5 x 2
1 y 2
(b) z 5 x 2
2 y 2 z5 el sx
cono 2 1 y 2 y entre
z 5 sx 2 1 ylas 2 yesferas
bajo laxesfera
2
1 y2 x12 1 z2 y52 11 yz2 5 1.
3 35. Determine el volumen y centroide del sólido E que está sobre
x 1 y 1 z 5 4.
2 2 2
IOS 2 36. Determine el cono el z5 sx 2 1de
volumen y 2laypequeña x2 1 y2de1laz2esfera
cuña cortada
bajo la esfera 5 1.
CIOS 27. de radio aelpor
Determine dos planos
volumen de la que
parte intersecan
de la a lorlargo
pelota ø a de un
que está
11-14 2Trace el sólido descritoy por las desigualdades dadas. 36. Determine el volumen de la pequeña cuña cortada de la esfera
coordenadas x esféricas se dan. Determine 3-4 Cambie de1 coordenadas rectangulares a esféricas. entre diámetro
los conos en un f ángulo
5 py6 de y fpy6. 5 py3.
coordenadas esféricas se dan. Determine 3-4 xCambie 2 de coordenadas y
rectangulares a esféricas. de radio a por dos planos que intersecan a lo largo de un
11.
ectangulares del
< 1,
ectangulares del punto.
punto. 0 < < y6, 0y < <
1 28.37.DetermineUn cilindro sólido con
la distancia densidaddeconstante
promedio un puntotiene en laradio
pelotadede
 radio dede radio base a. a y altura h.
y0 Determine
y0 y0 el2lasen
y4 2 sec
18.27. volumen d dde dla parte de la pelota r ø a que está respecto a un diámetro de su base.
28. Determine distancia promedio de un punto en la pelota de (b) Halle
(a) Determine el momento el momento de inercia de del sólido
inercia deldelconoinciso (a)
alrededor
entre los conos f 5 py6 y f 5 py3. respecto a un diámetro de su base.
radio a a su centro. 34. Halle la
de suSECCIÓN masa y el centro
eje. 16.2 Integrales de línea de masa de un hemisferio sólido de
19-20 Establezca la integral triple de una función continua SECCIÓN 16.2radio Integrales de línea 1075 1075
28. Determine la distancia promedio de un punto en la pelota de a si la densidad en cualquier punto es proporcional sólido su
a
29. Establezca
arbitraria (a) f (x, Determine
y, z) en el volumen
coordenadas del sólido
cilíndricas yque está sobre
esféricas en el el cono 34. Halle (b) Determine la masa y elelcentro momento de masa de inercia del cono respecto
de un hemisferio de
19-20 radio a a sulacentro. integral triple de una función continua distancia
radio a si de
la la base.
densidad en cualquier punto es proporcional a su
sólido que
arbitraria f (x,fsey,5 muestra.
z)py3 y bajo la esfera
en coordenadas r 5 4 cos
cilíndricas y esféricasf. en el
a un diámetro de su base.
29. 16.2 (a) distancia de la base.
Integralessólido
19. que se
deDetermine
(b) línea
DetermineIntegrales
muestra. elelvolumencentroide de línea deldel sólido
20. r 5 4 cos f.
sólido quedel está sobre(a).
inciso el cono
SAC 39. Evalúe yyy E z dV, donde E está sobre el paraboloide
fz5 py3 y bajo la esfera z dentro de la
35-40 Use2 coordenadas cilíndricas o esféricas, lo que parezca
30. (b) DetermineDetermine el volumen
elesta centroide deldel sólidosólido queesta
del está inciso (a). más zapropiado.
5que x 1 y2 y bajo el plano z 5 2y. Use la tabla de integrales
19. En sección20. se defi En nirá una sección
integral se defi
que nirá
es una
similar integral
a una
35-40(enUse integral es similar
coordenadas simple a una
excepto integral
cilíndricas que osimple esféricas, excepto
lo queque parezca
esfera z x2 1 yen 2
1vez z2 5 4, sobre el plano
en vez xyz y
de integrarbajo el cono
en un intervalo [a, las páginas
se integra de referencia
enintegrales
unaycurva 6-10)
seC. Tales o un sistema
integrales algebraico
o 30. Determine
z 35 sx22 1ely2volumen 2.
dedel integrar
sólidoen queunestá intervalo
dentro[a, de b], la se integra más en
35.una b],
curva
apropiado.
Determine
computacional
C.elTales volumenpara evaluarcentroide la del sólido
integral. E queseestá sobre
llaman integrales de línea,deaunque curva”“integrales desxcurva” y 2sería unala mejor
esfera terminología.
esfera x 1 y llaman 1 z2 5integrales 4, sobre elde planolínea, aunque
xy y bajo el“integrales cono 35.
elseríaconouna
Determine
z 5mejor 2 1
el volumen
terminología.
y bajo
yproblemas
centroide del
x2 1 y2 1 z2 5 1.
sólido E que
16 Cálculo vectorial
31. z(a)
3
Halle 2 1el Fueron inventadas a Fueron
principios inventadas
del siglo a principios
xix para del
resolver siglo
SAC 40. (a) Determine2 el volumen problemasxix para resolver
que implican encerrado2implican
el que el está sobre
o 5 sx y 2centroide
. del sólido del ejemplo 4.
36. el cono
Determine z 5elsx volumen1 y 2 de y bajo
la pequeñala esferacuña
por el
x 1cortada
toro
y2 1 zde 2 r 5 sen f.
5la1.esfera
2 fl ujo de fl uidos, fuerzas, fl ujo de fl
electricidad uidos, fuerzas,
y magnetismo. electricidad y magnetismo.
(Suponga densidad constante K.) (b) Useauna computadora para dibujar el largo
toro. de un
31. (a) Halle Si s(t)elel escentroide deldesólido condel ejemplo
Se ycomienza 4.entonces con unapor curva las plana deC dada radio porpor dos planos que intersecan a lo
arco se analiza 2 (b) Halle momento Se comienza
la longitud y de C entre
inercia unar(a) curva
alrededor r(t),planadel ejeC dada
z ecuaciones
36. Determine paramétricas ellas ecuaciones
volumen de laparamétricas
pequeña cuña cortada de la esfera
x (Suponga densidad constante K.) 1 diámetro en un ángulo de py6.
y de radio a por dos planos que intersecan a lo largo de un

ÎS D S D
a para este sólido. x 2
(b) Halle el momento 1 y de inercia alrededor 1 x
1 dx 2 5del x(t) eje z y 5 y(t) x 5a <x(t)
41-43 t
37. diámetro< UnbEvalúe y 5 y(t)
cilindro enlasólido
un aángulo
< con
integral t < cambiando
bdensidad
de py6. constante a coordenadas
tiene radio esféricas.
de
x ds dy 2y
32. Sea H un hemisferio sólido dedt
para este sólido. 5 2
x radio a cuya densidad en 1 base a y altura h.
dt dt 37. Un 1 cilindro sólido 2ycon 1076
*i (xforma
*i ,sólido
y *i ) equivalente, yy y
s12x s22x
x(t)densidad constante
del 16
tienequeradio de
2 2 2

P
32. cualquier
*i y(x *iSea
, y *i ) H un hemisferiopunto o, en Pes proporcional de radio ao,su a distancia
enpor
cuyaforma ladensidad
ecuación del centro
equivalente, en vectorial por la r(t) ecuación
41. 5 x(t) 1 y(t) j, r(t)
vectorial
(a) iDetermine yelsuponga
momento
5 xy dzique
1dy de y(t)
Cdx j,CAPÍTULO
inercia y suponga Cálculo
cilindro Cvectorial
alrededor
Pi-1 21-34 de Use coordenadas Pi-1 esféricas. base 2 a 2y altura sx 1y h.
Pi cualquier
la base. punto es es una curva suave.a[Esto
Pproporcional sues distancia
unasignificurva cadelsuave.
que centror’[Esto
es continua significa que r’
y r9(t) 0 0
?dees 0.su continua
Véase eje. la seccióny r9(t) ?13.3.] 0. Véase la sección 13.3.]
Así, la manera 2de recordar
i la fórmula 3 es expresar todo en términos del (a) parámetro
Determine t:el momento de inercia
longitud del cilindro alrededor
21-3421. Evalúe (a)
Use C yyy
Halle
coordenadas (x la 2
masa
1Si y divide1 de
esféricas. z )
H.
2 2
el dV, donde
intervalo SiB divide
es
paramétrico la el
pelota intervalo
[a, con b] en paramétrico
centro n subintervalos [a, (b) ft
b] en ,
Determinen
t g subintervalos
de igual el ancho
momento ftLa función
y ,
con- ig de
tde igualdel
inercia de arco
ancho se analiza
y con-
cilindro respectoSia s(t) es la lo
deuse la base.
y y y
lasBecuaciones paramétricas para expresar x y y en términos de 42. t y escriba a i21 sa dssu
2
i 2y
como
2 sa 2x 2y en la sección
2 2 2 i21
en(a) el origen
(b) Halle y radio cede5.que de2xmasa x(tde i) yH. ycede
i 5 y(t que i 5 x(ti) y
i), xentonces los 5 y(ti), entonces
yi correspondientes de
los
puntos
un diámetro
eje.
correspondientes
P (xi,de yi)su2dividen
base. sx C
puntos
2
z 1Piy(xzi, 1
13.3.2
yi) zdividen
3
d dz dxCdy
Halle
Pn B (xla 2elmasacentro i 5
21. Evalúe P™yyy 1 y2 1dez2H. ) dV, Pn donde B
en esn la pelota
subarcos con
con centro
longitudes
16.2 , (b) 2a 2sa 2 2y 2 i 2sa
, ... Determine
, . 1075
(Véase
2 2x
el momento
la fi
2y 2
gura de Elija
1.). inercia del cilindro
cualquier puntorespecto a
en n subarcos con longitudes , , ... , . (Véase Ds laDs fi gura 1.).
Ds Elija cualquier punto

ÎS D S D
(c) Halle Halleyelel momento de inercia Ds SECCIÓNDs Ds Integrales de línea
en (b) el origen centro
radio 5. de masa de H. de H alrededor 1 2 de su eje. n 1 2
un
n
diámetro de su base.
Pi*sx i*, yi*de d en el arco dePde i*sx i*dx
orden , yi*di.en (Esto el dy arco de orden
corresponde
y y
ali. (Esto
punto
yt*i s42x
correspondeen fti21,1075 tig.) punto t*isien
al Ahora,
sx 2f es fti212, tig.) Ahora,
dzsidy f es
2 2 2 2 21s42x 2 2y 2
P¡ SECCIÓN 16.2 Integrales 43. de línea y 1 z 2 d3y2
33. (c) (a) Halle Halleelelmomento centroide
cualquier deinercia
función unds hemisferio
5
de dos
H
cualquier
alrededor
variables sólido de
1 cuyo
función
su
homogéneo
de
eje.
dominiodt variables
dos incluye cuyola curvadominio
2s42x SECCIÓN
C, 2 16.2
incluye
evalúe
22s 42x f en Integrales
la
2 2y
el
2
curva
punto
1de
C, línea
evalúe f en 1075
el punto
dx
P¸ dt dt 22
Así, la manera d
de línea 33. (a) Halle de radio a.
el centroide
sx i*, yi*d,de un hemisferio
multiplique sx
por ysólido
i*, la i*longitud homogéneo
d, multiplique Dsi delpor la longitud
subarco y forme Dsi la delsuma subarco y forme la suma
0 x x use las ecuacione
es de línea (b) de Halleradioela.momento de inercia del sólido del inciso (a)
t *i En 16.2
(b) esta En
Halle el Integrales
sección
respecto caso t
el momento *
ai se especial
undefi diámetro de
nirá en
de inercia línea
el que
unadeintegral
su C
delbase. es el
que es
sólido segmento
delsimilar n de recta que une
inciso a(a) una integral 44. (a,
simple n 0) con (b, 0),
Un modelo excepto que para la densidad d de la atmósfera de la Tierra
aenEn usando
vez b de
respecto
esta t x comoa unelse
integrar
sección enparámetro,
diámetro
defiunnirá b de
intervalot se
una
pueden
[a, b],escribir
su integral
base. se integra
que es o
las
similar enf sxuna
ecuaciones
a
i*, yi*d Ds
una curva paramétricas
integral
i
C. Tales ocerca
f sx dei*de
integrales
,Cyi*como
su
d Dsi
superficie
se es
t i-1 34. ti Halle t i-1
laintegrales
xmasa x, yy5 tel b. LaEn deestaun sección se defi
i51 nirá una integral que es similar que
simple
i51 excepto a una integral simple excepto que
sigue:
llaman
en vez de
5
integrar decentro
i 0, a < xde
línea,
en un
< masa
aunque
intervalo
fórmula
“integrales
[a, b],
hemisferio
3 sedeconvierte
se integra curva” sólido
en
entonces
sería
una
de una en
curva mejor
C. Tales terminología.
integrales se
34. Halle radio la masa
si
ainventadas y el centro
la densidad ende masa de
cualquier enpunto
unvezhemisferio
deesintegrar
proporcional en un de
sólido intervalo
a suuna[a,mejor b], se integra en una d 5curva 619.09 C. Tales integrales se
2 0.000097r
FIGURA Fueron
llaman 1a si integrales la cual adeprincipios
es línea,
similar del
aunquea una la siglo suma xix
“integrales
cual de para
esproporcional
similar deresolver
b Riemann. curva”
a una problemas
sería
suma
Tome de “integrales
entonces queelimplican
Riemann. terminología.
límiteTome deel
entonces
estas
seríasumas el límite y z de estas sumas y
radio
y fldistancia
ujo
Fueron de fluidos,
la
de la densidad
inventadas base.
fuerzas, a
en cualquier
electricidad
principios y llaman
punto
sx,
fdel y yd es
ds 5
magnetismo.
siglo
represente xix y
integrales
la para
defi
de
f sx,nición
0d
línea,a su
dx siguiente
resolver
aunque
problemas por que
analogía
de curva”
implican con una el integral
una mejor
simple.
terminología.
En el caso es
f(x, y) distancia de larepresente base. la definición C Fueronsiguiente inventadasapor analogía a principios con una del integral
siglodonde xixsimple. rpara (la resolver
distanciaproblemas desde elque centro implican
de laelTierra) seusando mide en
x como e
flSe
ujocomienza
de fluidos, con una curva
fuerzas, planaflujo
electricidad C ydada por
magnetismo. las ecuaciones
de fluidos, fuerzas, electricidad ymetros paramétricas magnetismo. y d en kilogramos por metro cúbico. Si se toma la su-
(x, y) sigue: x 5 x, y 5
35-40 yUse por tanto
Se coordenadas
comienza la integral concilíndricas
unade línea curvaenplana oeste caso
C
Se
esféricas, dada se lo
comienza reduce
porque las aecuaciones
conparezcauna curva
una integral simple
paramétricas
plana C dada
perficie
ordinaria. por las ecuaciones paramétricas
de la Tierra como una 0
esfera con radio 6370 km, este
35-40 Use 1 Igual que en el caso
coordenadas cilíndricas dexuna 5 x(t)ointegral
esféricas, ysimple
5loy(t) que aparezca
ordinaria, < t <sebpuede interpretar la integral
más apropiado. 2 Defi nición Si f 2
se defi Defi ne nición
en una Si
curva f se defi
suave ne C endada una
modelo porcurva las es suaverazonable
ecuaciones C dada 1, por
para
la las
6.370ecuaciones
3 10 6 1, la
ø r ø 6.375
y 3 10 6.
más apropiado. de línea
1 de una función positiva x 5 x(t) como 1 un y5 área.y(t)Deahecho, < t <sixb 5 f (x,x(t) y) > 0,y 5 yC y(t) f (x, y)a ds <t<b C
f(x, y)
integral o de
y *i ) 35. Determine representa integral
elel volumen
área de unpor yde lado línea
centroidede la de“cerca”
f a lo
del largo
sólido Elínea
de
“cortina” que
r(t)
C es dede
5está
flaa figura
lo largo de
i 1 y(t)2,j,cuya
sobre Use C base es esteesmodelo C yC para estimar la masa de (x,lay)atmósfera entre
35. o, en
Determine
cuya
formaelequivalente,
altura volumen
arriba del y
2punto
la ecuación
centroide (x,ca del
es (x,
vectorial
sólido E que está x(t)
sobre y suponga
el sección
suelo y 13.3.]
que
una5altitud dey(t) 5 km. y por tanto la int
x *i , y *i )
el
es
y o,
cono
una encurva z 5 suave.
forma sx 2 1
equivalente, (xy
P *i[Esto 2*
i,y y *iybajobajo
)signifi
por
y) esfera
lala queo, fen
ecuación r’ y).
xvectorial
2forma
es 2
continuay 12 r(t)
2
12 equivalente, zy 5
2
51.x(t)
r9(t) por
?n la 0.
i1 ecuación
Véase y(t) j,layvectorial suponganr(t) que Cx(t) i 1 j, y suponga que C
el cono z 5 Psx y z Igual que en e
la esfera x
y
y 1.
y
2 1 1 1 5
Sies
36. Determine
divide
Determineuna
i-1
el intervalo
curva suave.
el1volumen
volumen P paramétrico
[Esto
yCde signifi [a,
ca es b]
queuna en r’ fn sx,
curva
es yd ds
suave.
subintervalos
continua 5 y lím
[Esto
n :la
ft
r9(t) o
signifi
? , fftsx,
C ; 45.
sx
g
0.ca dei*yd,
que
Véase y i*dr’Ds
ds
igual 5la
Use nun es
anchoi lím
continua
sección o
y
: `dispositivo
f sx
con- y
13.3.] i*, yi*?
r9(t) d Ds
x
0. Véase la sección
de graficación para dibujar un silo línea
i 13.3.] de que de una
lala pequeña cuña Ccortada de
EJEMPLO Evalúe i
(2 1 x2y) ds, donde C es lade mitad ` esfera
i21
superior
i
del círculo unitario
36. cede queC x el de pequeña Si cuña
divide cortada
el intervalo laparamétrico
esfera i51
[a, b] en i51
subintervalos
ni )ancho fti21, tig de igual ancho y con- representa el áre
Si divide 5
i el x(t
intervaloi) y yi 5 y(t
paramétrico i), entonces [a, b] los en correspondientes
n subintervalos puntos
ft , t g P
de (x
igual , y dividen y C
con-
Pn dexradio
2
radio
1 y aa 2
5por 1. dos dosplanos planosque queintersecan
intersecan axilo largo de uny(ti21 i i
conste
i
de un cilindropuntos con radio Pi2(xi, 3yi)ydividen
altura 10 C rematado cuya por
altura arrib
de
en cede que por
n subarcos xi 5 con six(testelongitudes
i) y límite yi 5Py(t Ds
n existe.
, Dscede
i),1 entonces 2si, ...
esteque
,alos
Dslo largo
5 x(t i) yla
de
n.correspondientes
límite (Véase existe. yifi5
un gurai),1.). entonces
puntos ElijaPcualquier los correspondientes
i (xi,media yi) dividen punto C FIGURA
Pn diámetro
diámetro
* *P™
* enen unun ángulo
ángulo de de py6. en n subarcos con longitudes * Ds , Ds , una
... , Ds . (Véase esfera.la fi gura 1.). Elija cualquier punto
yy Pien sxni ,subarcos
SOLUCIÓN yi d en Para elcon arco usar delaorden
longitudes fórmula
py6. 3, necesita
i.Ds(Esto corresponde primeroalecuaciones
1, Ds2 , ... , Dsn. (Véase la figura
punto t i enparamétricas fti21Elija
1.).
1 , tig.)cualquier
2 Ahora, que si punto
n f es EJEMPLO 1 Ev
¥=1 P¡*, yfunción
representen a C. Recuerde que eli. círculoPi*sx dominio
i*,unitario
yi*d en el arco de
puede orden
parametrizarse i.C, (Esto por corresponde
medio de al punto t*i en fti21, tig.) Ahora, si f es
37. cualquier
Un P * sx
cilindro * d sólido
en
37. Un cilindro sólido con densidad constante
i i i el dearcocondos de variables
densidad
orden cuyo
constante
(Esto corresponde
tiene tiene incluye
radio radio
al de la
de
punto curva t *
i en 46. ft evalúe
i21 i La
, t g.) f
latitud en
Ahora, el punto
y longitud
si f es de un punto P en el hemisferiox2 norte 1 y2 5 1.
0) las ecuaciones cualquier función ydeforme dos variables cuyo dominio incluye la curva C, evalúe f en el punto
sx i*
base , yi*
cualquiera d, P¸multiplique
y alturafunción h. de por dos la longitud
variables Ds
cuyo i del subarco
dominio incluye la la
curvasuma C, se
evalúe relacionan f en el puntocon las coordenadas y esféricas r, u, f como
x base a y altura h.En la sección 10.2sx sei*En yi*lad, sección
,determina multiplique que10.2 la por se la
longituddetermina
longitud de C Ds que
es i del la longitud
subarco yde formeC esla suma SOLUCIÓN Para
0 sx i*, yi*d, multiplique por la xlongitud Dsi del subarco y forme la suma
x (a)
(a) Determineelelmomento
Determine momentodedeinercia inercia
x 5n cos deldel cilindro
t cilindro senalrededor
y 5 alrededor t sigue. Se toma el centro de la Tierra≈+¥=1 como el origenrepresenten y el eje a C.
t *i

ÎS D S yDÎS D S D
de
de susu eje.
eje. o n por el bintervalodxparamétrico
f sx * , y * d Ds
n
z positivo pasa por el Polo Norte. El(y˘0)
eje x positivo las ecuaciones
pasa por
b t i i i
o2< f sx i*dx yi*d(Véase
, p. 2Dsi
ay la
y
mitad superior del círculo bdetde es descrita 2
dy b0 t< dy 2
o1
ro (b) Determine el momento inercia o fLsx5i , yi d Dsi
del cilindro respecto a
i51
x (b) Determine el momento inercia del cilindro
* * respecto a el punto donde el primer meridiano (el meridiano que pasa
b t la figura 3.)t i-1 Por tanto, ti la fórmula 3 dai51 1L 5 i51
dt 1 dt
un
undiámetro
diámetrodedesusubase. base. a dt dt a por Greenwich, dt dtInglaterra) interseca el ecuador. Entonces, la

ÎS D S D
la cual es similar a una suma de Riemann. la cual es Tome similarentonces a una suma el límite de Riemann. de estasTome sumas y
entonces el límite de estas sumas y la mitad superi
FIGURA 1 dx 2 simple. dy 2latitud de P es a 5 90° 2_1f° y 0la longitud 1 yes x
b 5 360° 23.)u°.
yUn 5 ydes2
represente la defi nición siguiente por analogía con una integral la figura Por
la cual es similar s2 1a xuna 2
yd ds suma Riemann.
represente
1 cos t la 2
senTome
defi
td niciónentonces siguiente1el límite por analogía dedt estascon sumas y
una integral simple.
C tipo de argumento
represente la definición siguiente por
0 Un tipo
similaranalogía de argumento
puede con usarse dtsimilar
para demostrar
una integral puede dt
simple.usarse
Determine
que sipara la
f es demostrar distancia
una función que de gran círculo
si f es una función conti-
conti- de Los Angeles
FIGURA 3
nua, el límite en la defi nua, el límite
nición 2 siempre en la defi existe nición y la 2fórmula siempre (lat.siguiente 34.06y°N,
existe long.
la fórmula
puede usarse 118.25 para°O)puede
siguiente a Montreal
usarse para (lat. 45.50 °N, yC s2
evaluar la integralydes2 evaluar
línea: cos lat integral
2
sen td ssen de 2línea: cosne long. 73.60 °O). Tome el radio de la Tierra como 6 370 km.
f tse1por last en
2 dt
2 Definición Si f se defi5 0 ne en una 12 curva Defi nición
suave CSidada defi ecuaciones
una curva 1, suave la C dada por las ecuaciones 1, la
deintegral desuave
línea C dedada
f a lopor largo
las de
F ÎS DG S DÎS D S D
integral
2 Defi denición
línea de Siff aselodefi
largone en C escurva
una C es
ecuaciones 1, la
3
cos t
integral de línea de f a lo 5 y s2 1 cos t sen
largo de C es
2
n td dt 5 2t 2 dx b 2 n
dy 2 f sx *,dx
2
dy 2
3 yC f sx,yCyd0fsx,ds yd5
3 dslím
n : ` i51
b
sxyi*,fsx,
5 yo fnfsxstd, i*d yd
yystdd y
Ds ds
i
f sx,
5 y
3yd dsf sxstd,
05
1 lím o
ystdd
n : ` i51 dt i yi*d Ds 1i dt
C
dt a dt dt dt
yC5 2 1 23 n : ` i51
a C
f sx, yd ds 5 lím o i i i
f sx *, y * d Ds y
C¢
si este límite existe. si este límite existe.
C∞
C£ si Suponga
este límite existe.
ahora que una curva
deClaesintegral El suave
devalor nopor
de partes;de
ladepende
integral deeslalínea
decir, es una unión
noC depende de de
delala un siempre que
parametrización de la curva, siempre
El valor línea parametrización curva, C£ que Suponga ahor
número finito de curvas
esa curva seasuaves , Cexactamente
C1esa
recorrida , ... , Csea
2curva n, donde,
recorrida
una vezcomo se ilustrat aumenta
exactamente
conforme en la vez
una figura a aelb. t aumenta de a a b.C™
4,
conforme
de número finito de
punto En lade sección 10.2 se determina que la longitud de C es
En la inicial
secciónde10.2
Ci11seesdetermina
el punto terminal
que la longitud Ci. Sede define
C es entonces la integral de f a lo C¡ punto inicial de
largo
En de
la C como la suma
se de las integrales
que ladelongitud
f a lo largo dees cada una de las piezas suaves largo de C como

ÎS D S D
x sección 10.2 determina de C 0 x

ÎÎS S D D S S D D
de C: de C:
y
2 2
b dx dy
y
b dx 2 dy 2 L5 1 dt
FIGURA 4
L5
yC f sx, yd ds 5 yCLf 5 sx,a ydb ds 1dtydx f sx, yd dt
1 dt
dsdy1 2 1 y f sx, yd ds
a dt dt y f sx
y
2
Una curva suave por partes C
tes C 1
1 dt C2 n