128 UNIDAD 4 Funciones de varias variables

La ley de Poiseuille establece que la tasa de descarga, o tasa de flujo, de un fluido viscoso (como
la sangre) a través de un tubo (como una arteria) es
R
Q k p p
L
donde k es una constante, R es el radio del tubo, L es su longitud, y p y p son las presiones en
los extremos del tubo. Éste es un ejemplo de una función de cuatro variables.
Nota: Puesto que se requieren cuatro dimensiones, no es posible graficar una función de tres
variables.

EJEMPLO 8 Dominio de una función de cuatro variables

El dominio de la función racional de cuatro variables
x y z
f x y z
x y z
es el conjunto de puntos x y z que satisface x y z En otras palabras, el dominio
de f es todo el espacio tridimensional salvo los puntos que yacen sobre la superficie de una esfe-
ra de radio 2 centrada en el origen.
Una elección de palabras Superficies de nivel Para una función de tres variables, w f x y z las superficies defini-
desafortunada, pero común, das por f x y z c donde c es una constante, se llaman superficies de nivel de la función f.
puesto que las superficies de
nivel suelen no estar a nivel.
EJEMPLO 9 Algunas superficies de nivel
a) Las superficies de nivel del polinomio f x y z x y z son una familia de pla-
nos paralelos definidos por x y z c Vea la FIGURA 4.1.12.
b) Las superficies de nivel del polinomio f x y z x y z son una familia de esfe-
ras concéntricas definidas por x y z c c 7 Vea la FIGURA 4.1.13.
c) Las superficies de nivel de una función racional f x y z x y > z están dadas por
x y >z c o x y cz Algunos miembros de esta familia de paraboloides se
presentan en la FIGURA 4.1.14.
z c 1

z
z c 2

y c 2
y
x
x

x c 1
FIGURA 4.1.12 Superficies de FIGURA 4.1.13 Superficies de FIGURA 4.1.14 Superficies de
nivel en a) del ejemplo 9 nivel en b) del ejemplo 9 nivel en c) del ejemplo 9

4.1 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-11.

Fundamentos u
5. f(s, t) s3 2t 2 8st 6. f(u, y) 2
En los problemas 1-10, encuentre el dominio de la función ln (u y2)
dada. tan u tan f
7. g(r, s) e2r 2s2 1 8. g(u, f)
xy 1 tan u tan f
1. f x y 2. f x y x y
x y 9. H(u, y, w) 2u2 y2 w2 16
2 2
y 225 x y
3. f x y 4. f x y x y 1 y 10. f(x, y, z)
y x z 5
 4.1 Funciones de varias variables 129

En los problemas 11-18, relacione el conjunto de puntos dados En los problemas 23-26, determine el rango de la función
en la figura con el dominio de una de las funciones en a)-h). dada.
a) f x y 2y x b) f x y x y 23. f x y x y 24. f x y x y
x 25. f (x, y, z) = sen(x + 2y + 3z) 26. f x y z exyz
c) f x y 1x 1y x d) f x y
Ay
En los problemas 27-30, evalúe la función dada en los puntos
e) f x y 1xy f ) f (x, y) = sen (xy)
indicados.
x y 2x y y
g) f x y h) f x y 27. f x y t dt
xy y x
x
11. y 12. y
x
28. f x y
x y
x 29. f x y z x y z
x
30. F x y z A1 1 1 B A B
x y z
FIGURA 4.1.15 Gráfica
del problema 11 En los problemas 31-36, describa la gráfica de la función
FIGURA 4.1.16 Gráfica
del problema 12 dada.
31. z x 32. z y
13. y 14. y
33. z 2x y 34. z 2 x y
x 35. z 2 x y 36. z 2 x y

x En los problemas 37-42, dibuje alguna de las curvas de nivel

asociadas con la función dada. Escriba la formula general.
FIGURA 4.1.17 Gráfica 37. f x y x y 38. f x y y x
del problema 13
39. f x y 2x y 40. f x y 2 x y
y x
FIGURA 4.1.18 Gráfica del 41. f x y e 42. f x y y x
problema 14
En los problemas 43-46, describa las superficies de nivel pero
15. y 16. y no grafique. Haga un bosquejo para k=0,1,-1 sí existe.
43. f x y z x z
x 44. f x y z x y z
x
45. f x y z x y z 46. G x y z y z
47. Grafique alguna de las superficies de nivel asociadas con
FIGURA 4.1.19 Gráfica del f x y z x y z para c c70yc 6
problema 15 48. Dado que
FIGURA 4.1.20 Gráfica del
problema 16
x y z
y y
f x y z
17. 18.
encuentre las intersecciones x, y y z de las superficies de
nivel que pasan por
x
x Aplicaciones
FIGURA 4.1.22 Gráfica 49. La temperatura, presión y volumen de un gas ideal en-
del problema 18 cerrado están relacionadas por medio de T PV don-
FIGURA 4.1.21 Gráfica del de T, P y V se miden en kelvins, atmósferas y litros, respec-
problema 17
tivamente. Dibuje las isotermas T = 300 K, 400 K y 600 K.
50. Exprese la altura de una caja rectangular con una base
En los problemas 19-22, dibuje el dominio de la función dada. cuadrada como una función del volumen y de la longitud
de un lado de la caja.
19. f x y 1x 1y
51. Una lata de refresco se construye con un costado lateral de
20. f x y 2 x y
estaño y una tapa y fondo de aluminio. Dado que el costo
21. f x y 1 y x es de 1.8 centavos por unidad cuadrada de la tapa, 1 centa-
1xy
22. f x y e vo por unidad cuadrada del fondo y 2.3 centavos por uni-
894 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables

13.1 Ejercicios
En los ejercicios 1 y 2, usar la gráfica para determinar si es una 13. , sen
función de y . Explicar. ) 2, 4 ) 3, 1 ) 3, 3 ) 4, 2
2
1. 14. ,
) 3, 10 ) 5, 2 ) 4, 8 ) 6, 4
2
15. , 2 3
3 3
) 4, 0 ) 4, 1 ) 4, 2 ) 2, 0
1
3 16. ,
4
4
1
) 4, 1 ) 6, 3 ) 2, 5 ) 2, 7
2 2
17. , 2 18. , 3 2
2.
, , , ,
) )
3

, , , ,
) )
5

En los ejercicios 19 a 30, describir el dominio y rango de la fun-

5 ción.

2 2
19. , 20. ,

21. , 22. ,
En los ejercicios 3 a 6, determinar si es una función de y .

3. 2
3 2
10 4. 2
2 2
4 23. 24.
2 2 2 2 2 2
5. 2 1 6. ln 8 0 25. , 4 26. , 4 4
4 9
27. , arccos 28. , arcsen
29. , ln 4 30. , ln 6
En los ejercicios 7 a 18, hallar y simplificar los valores de la fun-
ción. 31. Las gráficas marcadas a), b), c) y d) son gráficas
2 2
7. , de la función , 4 1 . Asociar cada gráfi-
ca con el punto en el espacio desde el que la superficie es vi-
) 3, 2 ) 1, 4 ) 30, 5 sualizada. Los cuatro puntos son (20, 15, 25), ( 15, 10, 20),
) 5, ) ,2 ) 5, (20, 20, 0) y (20, 0, 0)
2
8. , 4 2 4 a) b)
) 0, 0 ) 0, 1 ) 2, 3
) 1, ) ,0 ) ,1
9. ,
) 5, 0 ) 3, 2 ) 2, 1
) 5, ) ,2 ) ,
10. , ln
) 1, 0 ) 0, 1 ) 0,
) 1, 1 , 2 2, 5 c) d)
) )

11. , ,

) 2, 3, 9 ) 1, 0, 1 ) 2, 3, 4 ) 5, 4, 6
12. , ,
) 0, 5, 4 ) 6, 8, 3
) 4, 6, 2 ) 10, 4, 3
 SECCIÓN 13.1 Introducción a las funciones de varias variables 895

2 2
2
32. Usar la función dada en el ejercicio 31. 47. , ln 2
48. , cos
4
a) Hallar el dominio y rango de la función. z z
b) Identificar los puntos en el plano xy donde el valor de la fun-
ción es 0.
c) ¿Pasa la superficie por todos los octantes del sistema de coor-
denadas rectangular? Dar las razones de la respuesta. −
y
En los ejercicios 33 a 40, dibujar la superficie dada por la función.
33. , 4 34. , 6 2 3 x
− y x
2 1
35. , 36. , 2
2 2 1 2 2
37. 38. 2 En los ejercicios 49 a 56, describir las curvas de nivel de la fun-
39. , ción. Dibujar las curvas de nivel para los valores dados de .
, 0, 0
40. ,
0, < 0 o < 0 49. , 1, 0, 2, 4
CAS 50. 6 2 3 , 0, 2, 4, 6, 8, 10
En los ejercicios 41 a 44, utilizar un sistema algebraico por compu- 2
tadora para álgebra y representar gráficamente la función. 51. 4 2, 0, 1, 2, 3, 4
2 2
1
52. , 9 , 0, 1, 2, 3
2 2 2 2
41. 1 42. 12 144 16 9
53. , , 1, 2, . . . , 6
43. , 2 2
44. f (x, y) x sen y 2 1 1 1
54. , , 2, 3, 4, 2 , 3 , 4
En los ejercicios 45 a 48, asociar la gráfica de la superficie con 2 2 1 3
55. , , 2, 1, 2, 2
uno de los mapas de contorno. [Los mapas de contorno están 1 3
marcados ), ), ) y ).] 56. , ln , 0, 2, 1, 2, 2

) y ) y
En los ejercicios 57 a 60, utilizar una herramienta de graficación
para representar seis curvas de nivel de la función.
2 2
57. , 2 58. ,
8
x x 59. , 60. h(x, y) 3 sen( x y)
1 2 2

Desarrollo de conceptos
61. ¿Qué es una gráfica de una función de dos variables? ¿Cómo
) y ) y se interpreta geométricamente? Describir las curvas de nivel.
62. Todas las curvas de nivel de la superficie dada por ,
son círculos concéntricos. ¿Implica esto que la gráfica de f es un
hemisferio? Ilustrar la respuesta con un ejemplo.
63. Construir una función cuyas curvas de nivel sean rectas que
x x
pasen por el origen.

Para discusión
Considerelalafunción
64. Considerar función , , para 0y 0.
1 1
45. , 46. , a) Trazar la gráfica de la superficie dada por f.
z z
b) Conjeturar acerca de la relación entre las gráficas de f y
, , 3. Explicar el razonamiento.
c) Conjeturar acerca de la relación entre las gráficas de f y
, , . Explicar el razonamiento.
(d) Make a conjecture about the
d) Conjeturar relationship
acerca between
de la relación entre las gráficas de f y
1
, 2 , . Explicar el razonamiento.
y
(e) On thela surface
e) Sobre superficieinenpart (a), sketch
el inciso thelagraph
a), trazar gráficaofde
y
x , .
x
896 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables

En los ejercicios 65 y 66, utilizar las gráficas de las 75. La regla de los troncos de Doyle es uno
curvas de nivel (valores de uniformemente espaciados) de la de varios métodos para determinar el rendimiento en madera ase-
función para dar una descripción de una posible gráfica de . rrada (en tablones-pie) en términos de su diámetro d (en pulgadas)
¿Es única la gráfica de ? Explicar la respuesta. y su longitud L (en pies). El número de tablones-pie es
2
65. y 66. y 4
, .
4
a) Hallar el número de tablones-pie de madera aserrada pro-
ducida por un tronco de 22 pulgadas de diámetro y 12 pies de
longitud.
x
x b) Evaluar 30, 12 .
76. La cantidad de tiempo promedio que un
cliente espera en una fila para recibir un servicio es
1
, , >
67. En el 2009 se efectuó una inversión de $1 000 al
6% de interés compuesto anual. Suponemos que el inversor paga donde y es el ritmo o tasa media de llegadas, expresada como
una tasa de impuesto R y que la tasa de inflación anual es I. En número de clientes por unidad de tiempo, y x es el ritmo o tasa
el año 2019, el valor V de la inversión en dólares constantes de media de servicio, expresada en las mismas unidades. Evaluar
2009 es cada una de las siguientes cantidades.
1 0.06 1
10 ) 15, 9 ) 15, 13 ) 12, 7 ) 5, 2
, 1 000 . 77. La temperatura T (en grados
1
Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular de acero
Utilizar esta función de dos variables para completar la tabla. de 10 metros de radio es 600 0.75 2 0.75 2, donde x
y y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas.
Tasa de inflación
Tasa de 78. El potencial eléctrico V en cualquier punto
impuestos 0 0.03 0.05 (x, y) es
5
0 , 2 2
.
25
0.28 1 1 1
Dibujar las curvas equipotenciales de 2, 3 ,y 4.

0.35 79. Utilizar la función

de producción de Cobb-Douglas (ver ejemplo 5) para mostrar que
si el número de unidades de trabajo y el número de unidades de
68. Se depositan $5 000 en una cuenta de ahorro a una
capital se duplican, el nivel de producción también se duplica.
tasa de interés compuesto continuo r (expresado en forma de-
cimal). La cantidad A(r, t) después de t años es A(r, t) 80. Mostrar que la fun-
1
5 000ert. Utilizar esta función de dos variables para completar la ción de producción de Cobb-Douglas puede rees-
tabla. cribirse como ln ln ln .

Número de años 81. Una caja rectangular abierta por arri-

ba tiene x pies de longitud, y pies de ancho y z pies de alto.
Tasa 5 10 15 20 Construir la base cuesta $1.20 por pie cuadrado y construir los
lados $0.75 por pie cuadrado. Expresar el costo C de construc-
0.02
ción de la caja en función de x, y y z.
0.03 82. Un tanque de propano se construye soldando hemisfe-
rios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar el volu-
0.04 men V del tanque en función de r y l, donde r es el radio del cilin-
0.05 dro y de los hemisferios, y l es la longitud del cilindro.
83. De acuerdo con la ley de los gases
En los ejercicios 69 a 74, dibujar la gráfica de la superficie de ideales, , donde es la presión, es el volumen, es
nivel para el valor de que se especifica. la temperatura (en kelvins) y k es una constante de propor-
cionalidad. Un tanque contiene 2 000 pulgadas cúbicas de
69. , , , 1 nitrógeno a una presión de 26 libras por pulgada cuadrada y una
70. , , 4 2, 4 temperatura de 300 K.
71. , , 2 2 2
, 9 a) Determinar .
72. , , 2 1 2
4 , 1 b) Expresar P como función de V y T y describir las curvas de
2 2 2 nivel.
73. , , 4 4 , 0
74. , , sen , 0 * En España se le denomina coste.