Este documento presenta la resolución de 5 problemas relacionados con cálculo multivariable. En el primer problema se analizan los extremos locales de una función de dos variables. En el segundo, se determina el dominio natural y conjunto de nivel 1 de otra función. El tercer problema halla el punto de intersección de un plano tangente con el eje x. El cuarto analiza si existe un plano que contenga dos rectas tangentes a una curva. Finalmente, el quinto verifica la diferenciabilidad de una función implícita.
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Este documento presenta la resolución de 5 problemas relacionados con cálculo multivariable. En el primer problema se analizan los extremos locales de una función de dos variables. En el segundo, se determina el dominio natural y conjunto de nivel 1 de otra función. El tercer problema halla el punto de intersección de un plano tangente con el eje x. El cuarto analiza si existe un plano que contenga dos rectas tangentes a una curva. Finalmente, el quinto verifica la diferenciabilidad de una función implícita.
Este documento presenta la resolución de 5 problemas relacionados con cálculo multivariable. En el primer problema se analizan los extremos locales de una función de dos variables. En el segundo, se determina el dominio natural y conjunto de nivel 1 de otra función. El tercer problema halla el punto de intersección de un plano tangente con el eje x. El cuarto analiza si existe un plano que contenga dos rectas tangentes a una curva. Finalmente, el quinto verifica la diferenciabilidad de una función implícita.
Este documento presenta la resolución de 5 problemas relacionados con cálculo multivariable. En el primer problema se analizan los extremos locales de una función de dos variables. En el segundo, se determina el dominio natural y conjunto de nivel 1 de otra función. El tercer problema halla el punto de intersección de un plano tangente con el eje x. El cuarto analiza si existe un plano que contenga dos rectas tangentes a una curva. Finalmente, el quinto verifica la diferenciabilidad de una función implícita.
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Una resolución explicada del parcial de 19/11/19
1. Dada f ( x, y ) = x 3 y − 3 x y + y 2 definida en 2 , analice si f produce extremos locales (o relativos)
indicando en cada caso el tipo de extremo, su valor y el punto en el que se produce. Dado que f C 2 por ser polinómica, podemos aplicar el siguiente procedimiento. f x ( x, y ) = 3 x 2 y − 3 y . f y ( x, y ) = x − 3 x + 2 y 3
3 x 2 y − 3 y = 0 → 3 y ( x 2 − 1) = 0 → x = −1 x = 1 y = 0 Puntos críticos: 3 x − 3 x + 2 y = 0 () ( ) x = −1 ⎯⎯→ − 1 + 3 + 2 y = 0 → y = − 1 → (−1, − 1) ( ) x = 1 ⎯⎯→ 1 − 3 + 2 y = 0 → y = 1 → (1,1) (0, 0) () y = 0 ⎯⎯→ x − 3 x = 0 → x ( x − 3) = 0 → x = 0 x = − 3 x = 3 → (− 3, 0) 3 2
( 3, 0) (−1, − 1) (1,1) (0, 0) (− 3 , 0) ( 3 , 0) ( x, y ) = 6 x y f xx 6 6 0 0 0 ( x, y) = 3 x 2 − 3 f xy 0 0 −3 6 6 ( x, y) = 2 f yy 2 2 2 2 2
H (−1,−1) = 6 0 0 2 = 12 0 f xx (−1,−1) = 6 0 f (−1,−1) = − 1 es mínimo local.
H (1,1) = 6 0 0 2 = 12 0 , f xx (1,1) = 6 0 f (1,1) = − 1 es mínimo local.
H (0,0) = −03 −23 = − 9 0 f (0,0) no es extremo local.
H ( − 3 ,0 ) = 0 6 6 2 = − 36 0 f (− 3 ,0) no es extremo local.
H ( 3 ,0 ) = 0 6 6 2 = − 36 0 f ( 3 ,0) no es extremo local. ( x −1) y 2. Dada f ( x, y) = , determine y grafique el dominio natural y el conjunto de nivel 1 de f . x− y Los puntos ( x, y) pertenecientes al dominio natural D deben cumplir con: • ( x − 1) y 0 ( x 1 y 0) ( x 1 y 0)
• x− y 0 x y.
Entonces: D = {( x, y ) 2 / x y ( ( x 1 y 0) ( x 1 y 0) )} que se representa sombreado en la figura de la derecha. Por otra parte, siendo L el conjunto de nivel 1 de f , sus puntos son aquellos que pertenecen a D y que además ( x − 1) y = x − y → x y = x → x ( y − 1) = 0 → x = 0 y = 1 . es decir, L = {( x, y) D / x = 0 y = 1} que se representa en color rojo en el gráfico.
M. Sassano, E. Zitto, R.O. Sirne Página 1 de 3.-
Una resolución explicada del parcial de 19/11/19 3. Sea h( x, y) = f ( g ( x, y)) con f C 2 ( 2 ) , donde g ( x, y ) = ( x y + x , x 2 y ) y se conoce el polinomio p (u , v) = u + v 2 + u v + 3 que permite aproximar f (u, v) por Taylor de 2º orden en un entorno de (2,1) . Siendo o el plano tangente a la superficie de ecuación z = h( x, y) en (1,1, zo ) , halle el punto en que o interseca al eje x .
Siendo f , g C 2 , esta última por tener componentes polinómicas, h es diferenciable. El plano tan- gente a la superficie tiene ecuación z = h(1,1) + hx (1,1) ( x − 1) + hy (1,1) ( y − 1) . Aplicando la regla de la cadena: ( ) y +1 x Dh(1,1) = hx (1,1) hy (1,1) = Df ( g (1,1)) Dg (1,1) = ( fu (2,1) fv (2,1) ) 2 2 x y x (1,1) (hx (1,1) hy (1,1)) = ( fu (2,1) fv (2,1)) 22 1 1 Entonces hx (1,1) = 2 fu (2,1) + 2 f v (2,1) y hy (1,1) = fu (2,1) + fv (2,1) Por otra parte: h(1,1) = f (2,1) = p(2,1) = 8 , fu (2,1) = pu (2,1) = [1 + v]( 2,1) = 2 , f v (2,1) = pv (2,1) = [2 v + u ]( 2,1) = 4 Con esto resultan hx (1,1) = 2 2 + 2 4 = 12 y hy (1,1) = 2 + 4 = 6 . De donde, la ecuación del plano tan- gente es z = 8 + 12 ( x − 1) + 6 ( y − 1) . El punto de intersección de 0 con el eje x es del tipo ( x1,0,0) siendo 0 = 8 + 12 ( x1 − 1) − 6 , de donde x1 = 5 / 6 . Es decir, el punto es el (5 / 6 , 0 , 0) .
4. Sea C la curva de ecuación X = ( t 2 + t , t − t 3 , 2 t 4 ) con t . Si rA y rB son las rectas tangentes a C en los puntos A = (2,0,2) y B = (0,0,2) , analice si existe un plano que contenga a ambas rectas. Denotando g (t ) = ( t 2 + t , t − t 3 , 2 t 4 ) debe cumplirse que:
Para A = (2,0,2) : ( t 2 + t , t − t 3 , 2 t 4 ) = (2, 0, 2) → t 2 + t = 2 → t = −2 t = 1 , sólo con t A = 1 se cum-
ple que g (t A ) = A .
Para B = (0,0,2) : ( t 2 + t , t − t 3 , 2 t 4 ) = (0, 0, 2) → t 2 + t = 0 → t = 0 t = −1 , sólo con t B = −1 se
cumple que g (t B ) = B . Siendo g (t ) = (2 t + 1,1 − 3 t 2 , 8 t 3 ) , las ecuaciones de las rectas tangentes son: rA : X = A + u g (t A ) → X = (2,0,2) + u (3,−2, 8) = (2 + 3 u , − 2 u , 2 + 8 u ) con u . rB : X = B + v g (t B ) → X = (0,0,2) + v (−1,−2, − 8) = (−v , − 2 v , 2 − 8 v ) con v .
Las rectas no son paralelas pues sus vectores directores, (3,−2,8) y (−1. − 2,−8) , no lo son. Tampoco tienen un punto en común pues para que las segundas componentes resulten iguales debe ser u = v y 2 + 3 u = − u 4 u = − 2 en ese caso el sistema no tiene solución. 2 + 8 u = 2 − 8 u 16 u = 0 Entonces las rectas son alabeadas y no existe un plano que las contenga.
M. Sassano, E. Zitto, R.O. Sirne Página 2 de 3.-
Una resolución explicada del parcial de 19/11/19
5. Verifique que existe zo para el cual la ecuación x y z + x z 2 + ln( 2 z + y − 4) − 6 = 0 define implíci-
tamente a z = f ( x, y) en un entorno de (1,1) , calcule la derivada direccional máxima de f en (1,1) e indique en qué dirección se produce dicha derivada máxima. Denotando F ( x, y, z ) = x y z + x z 2 + ln( 2 z + y − 4) − 6 , se cumple que: • F (1,1, zo ) = zo + zo2 + ln( 2 zo − 3) − 6 = 0 zo = 2 , • F ( x, y, z) = ( y z + z 2 , x z + 2 z+1y−4 , x y + 2 x z + 2 z+2y−4 ) es continuo en un entorno de A = (1,1,2) , porque sus componentes son polinómicas o suma de polinomio + cociente de poli- nomios con denominador no nulo, • Fz ( A) = 1 + 4 + 2 = 7 0 . Con lo cual se verifica que la ecuación x y z + x z 2 + ln( 2 z + y − 4) − 6 = 0 define implícitamente a z = f ( x, y) en un entorno de (1,1) , siendo f diferenciable en dicho punto. Entonces la máxima derivada direccional se produce en la dirección del gradiente y su valor es la norma del gradiente, según se indica a continuación. F ( A) F y ( A) f (1,1) = ( f x (1,1) , f y (1,1) ) = − x ,− = (−6 / 7 , − 3 / 7 ) . Fz ( A) Fz ( A)
