Cálculo II 1

Trabajo Práctico N◦ 4

1. Obtener la matriz jacobiana de las siguientes funciones:

(a) f¯(x, y) = (x + y, y − x2 )
(b) f (x, y) = x3 + y
√
(c) f¯(u, v) = (u − v 2 , ln(u), v)

2. Analizar la diferenciabilidad de las siguientes funciones:

(a) f (x, y) = x2 + y 2 en (1, 1)

(
1
y 2 cos x2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0)
(b) f (x, y) =
0 si (x, y) = (0, 0)
en el origen.
x y2
(
x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0)
(c) f (x, y) =
0 si (x, y) = (0, 0)
en el origen.

 √x |y| si (x, y) 6= (0, 0)
(d) f (x, y) = x2 +y 2
 0 si (x, y) = (0, 0)
en el origen y sobre los ejes.

3. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto indicado:

(a) f (x, y) = x2 − y 2 en (2, −1, z0 )

2xy
(b) f (x, y) = x2 +y 2
en (0, 2, 0)
(c) f (x, y) = sen(x) cos(y) en (0, π, 0)

4. Dada la superficie de ecuación z = x y − x2

(a) Calcular su plano tangente en (2, 3, 2).

(b) Hallar la ecuación de la recta intersección del plano con la superficie x + y = 4.
2
5. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel de f (x, y, z) = ye−x sen(z) que
pasa por el punto (0, 1, π3 ).

6. Hallar los puntos donde el plano normal a la curva intersección de las superficies z = 5 − y 2 y
x = y − 1, es paralelo al plano tangente a la superficie x2 + 3 x y + y 2 − z = 0 en (1, 1, 5).

7. Dada f (x, y) = x2 + y 2 y P0 = (1, 1), calcular el gradiente de f en P0 y en un gráfico en 3D

trazar la curva de nivel que pasa por P0 y el gradiente de f con origen en P0 .

8. Hallar los puntos del cilindro x = 4 − z 2 en los que el plano tangente es paralelo al plano yz.
∂z
9. Usar dos métodos diferentes para calcular ∂x si z = u2 + 2uv, u = x2 + y 2 y v = xy.
∂u
p
10. Usar dos métodos diferentes para calcular ∂t si u = x2 + y 2 , x = est y y = 1 + s2 cos(t).
2 Cálculo II

dz
11. Usar dos métodos diferentes para calcular dt si z = txy 2 , x = t + ln(y + t2 ) y y = et .

12. Hallar para cada f (x, y) el valor aproximado en el punto dado:

(a) f (x, y) = x2 y 3 , (3.1, 2.99)

2
(b) f (x, y) = xey+x , (2.05, −3.92)
√
(c) f (x, y, z) = x + 2y + 3z, (1.9, 1.8, 1.1)

13. La parte de un árbol que por lo general se corta en el aserradero es el tronco, un sólido cuya
forma aproximada es la de un cilindro circular recto. Si el radio del tronco de cierto árbol crece
media pulgada por año y la altura 8 pulgadas por año, ¿con qué rapidez crece el volumen cuando
el radio es de 20 pulgadas y la altura de 400?

14. Sabiendo que f (x, y) es armónica mostrar que f (x3 − 3xy 2 , 3x2 y − y 3 ) también es armónica.

15. Sea f (u, v) con derivadas parciales continuas y sea z = f (x + y, x − y). Verificar que

zx zy = zu2 − zv2 .

∂ 2 f (x, y)
16. Si x = t sen(s) y y = t cos(s) hallar .
∂s∂t
17. Hallar la matriz jacobiana D f¯(x, y, z) para la transformación de R3 en R2 dada por f¯(x, y, z) =
(x2 + yz, y 2 − x ln(z)). Usar Df¯(2, 2, 1) para hallar el valor aproximado de f¯(1.98, 2.01, 1.03).

18. Sean f¯(x, y) = (x2 , y 2 + 1) y ḡ(u, v) = (u + v, v, u2 ).

(a) Hallar h̄ = ḡof¯.

(b) Hallar h̄x usando a) y mediante el producto de matrices jacobianas, en (1, 0).

19. Hallar la derivada direccional de las funciones dadas en los puntos y en las direcciones indicadas:

(a) f (x, y) = 3x − 4y en (0, 2) en la dirección del vector −2ĭ.

(b) f (x, y) = x2 y en (−1, −1) en la dirección del vector ĭ + 2j̆.
(c) f (x, y) = x2 + y 2 en (1, −2) en la dirección del vector que forma una ángulo de 60◦ con el
eje x.
(d) f (x, y, z) = (y 2 + sen(z)) e−x en (0, 2, π) en la dirección hacia el punto (1, 1, 0).

20. Si h(x, y) = 200 − y 2 − 4 x2 denota la altura de una montaña, indicar en qué dirección correrá el
agua de lluvia desde (1, 2).

21. Hallar los versores para los cuales la derivada direcional es máxima, mı́nima y nula y el valor de
la derivada máxima:

(a) f (x, y) = 2 x + x y en (2, 1)

( x4 +(y+1)3
x2 +(y+1)2
si (x, y) 6= (0, −1)
(b) f (x, y) = en (1, 0).
0 si (x, y) = (0, −1)
Cálculo II 3

x2 sen(x+y)
(
x2 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
(c) f (x, y) = en (0, 0).
0 si (x, y) = (0, 0)

x(y−1)2
(
x+ x2 +(y−1)2 si (x, y) 6= (0, 1)
22. Dada f (x, y) =
0 si (x, y) = (0, 1)
calcular el ángulo entre los vectores de derivada direccional máxima en (0, 1).

23. Hallar ∇f (a, b) para la función diferenciable f (x, y) dadas las derivada direcionales

√
D(ĭ+j̆)/√2 f (a, b) = 3 2 y D(3ĭ−4j̆)/5 f (a, b) = 5

24. Dibujar la curva de nivel de f (x, y) = y/x2 que pasa por el punto p = (1, 2). Calcular el vector
gradiente ∇f (p) y dibujar este vector poniendo su punto inicial en p. ¿Qué se puede decir de
∇f (p)?

25. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar está dada por la función f (x, y) = 3000 ∗
2 2
e−(x +2y )/100 . El semieje positivo de las x apunta hacia el este y el de las y hacia el norte.
Un alpinista está en (10, 10), si se mueve hacia el noreste, ¿asciende o desciende?, ¿con qué
pendiente?

26. Sea
2 x2 y
(
x4 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = Usar la definición de derivada direccional para probar que
0 si (x, y) = (0, 0)
Dŭ f (0, 0) existe para todo versor ŭ = u1 ĭ + u2 j̆. Especı́ficamente mostrar que Dŭ f (0, 0) = 0
2u2
si u2 = 0 y Dŭ f (0, 0) = u21 si u2 6= 0. Probar que f no es continua en (0, 0) y por lo tanto
no es diferenciable en dicho punto. Esto muestra que una función puede tener derivada
direccional en todas las direcciones en un punto y no ser diferenciable allı́.

27. En los siguientes casos, hallar, si es posible, una función diferenciable (en un abierto U que
contenga a todos los puntos del plano involucrados) f (x, y) que satisfaga las condiciones dadas.
En los casos que no sea posible, fundamentar esta imposibilidad.
∂f
(a) ∂x (0, 0) = 1, ∂f
∂y (0, 0) = 2, f (0, 0) = −1.
∂f
(b) ∂x (0, 0) = 1, ∂f
∂y (0, 0) = 2, f (0, 0) = −1, f (1, 0) = 1.
∂f
(c) ∂x (1, 2) = 3, ∂f
∂y (1, 2) = 4, f (1, 2) = −1, f (0, 0) = 0.
∂f
(d) f es constante a lo largo de la curva de ecuación y = x − x3 , ∂x (0, 0) = 1.
∂f
(e) f (x, x2 ) = x para x ∈ (−1, 1), ∂y (0, 0) = 1.

28. La superficie S está dada en forma paramétrica por X(u, v) = (u + v, u − v, u v), (u, v) ∈ R2 .

(a) Hallar una ecuación cartesiana para S.

(b) Hallar la ecuación del plano tangente a S en (3, −1, 2).
(c) Aproximar el valor de z para que (3.02, −1.01, z) ∈ S.
(d) Calcular la distancia desde (3, −1, 2) hasta el punto en que la recta normal a S en (3, −1, 2)
interseca al cilindro de ecuación 72 y = x2 .