Álgebra y Geometría Analítica II Licenciatura en Estadística

PRÁCTICA 7: GEOMETRÍA LINEAL EN EL ESPACIO

1) Determinar si los puntos A  2, 1, 0  , B  2, –1, 0  , C 1, –4, 7  y D 1, 5, 1 pertenecen

o no al plano de ecuación 2 x – y  3z  0 .

2)
a) Escribir la ecuación del plano que pasa por el origen y es normal al vector
n   2, 12 , 3 .
b) Escribir la ecuación del plano normal a PP
1 2 que pasa por el punto P3 , siendo

P1 1, 2, –3 , P2  –1, 0, 4  y P3  –1, 1, 3  .

3) Dado el plano de ecuación   – 4 x  2 y – z  3 , hallar:

a) la ecuación del plano paralelo a  que pase por el origen.
b) la ecuación normalizada de  .
c) la ecuación segmentaria de  .
d) la ecuación de un plano paralelo a  que pasa por el punto P  3, 2, 4  .

4) Escribir las ecuaciones de los siguientes planos:

a) planos coordenados.
b) que pasa por el punto P  2, 1,3 y es paralelo al plano coordenado YZ .

5) Hallar la ecuación normal del plano que pasa por el punto P  1, 2,3 y cuyo vector
normal n forma con los versores i y j ángulos de 45° y 60° respectivamente.

6) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P1 1, –2, 2  y P2  –3, 1, –2  y que es
perpendicular al plano de ecuación 2 x  y – z  6  0 . ¿Qué condición deberían verificar
P1 y P2 para que este problema no tenga solución única?

7) Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a cada uno de los planos
7 x – 3 y  z – 5  0 y 4 x – y – z  9  0 , y que pasa por el punto A  3, –2, 4  .

8) Hallar la ecuación de un plano, sabiendo que el pie de la normal del mismo, trazada
desde el origen, es el punto P  2,3,1 .

9) Escribir la ecuación del plano:

a) paralelo al eje OY que pasa por los puntos P1 1, 2, 3 y P2  –2, 1, 4  .
b) que pasa por el eje OX y por el punto A  4, 3, –1 .
Geometría lineal en el espacio - 1
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10) Determinar para qué valores de k los planos 1  2 x  ky – z – 4  0 y

 2  6 x – 5 y – 3z  8 son:
a) perpendiculares.
b) paralelos.

11) Un plano tiene por ecuación 2 x  3 y  z  4  0 ; hallar entonces escalares s y t no

nulos de manera que los vectores u  i  j  k , v  s j  t k se hallen en un plano
perpendicular al dado.

12) Dado el plano de ecuación x  2 y  z  2  0 hallar:

a) la distancia del punto P  1, 2,3 al plano.
b) el ángulo que forma con el plano 2 x  y  2 z  1 .
c) la distancia del origen de coordenadas al plano.

13) Hallar la distancia entre los planos 1  2 x  y  6 z  5 y  2  x  12 y  3z  1 .

14) Un plano tiene por ecuación 2 x – y  2 z  4  0 ; escribir entonces la ecuación de un

plano paralelo al dado sabiendo que el punto A  3, 2, –1 equidista de ambos.

15) En cada caso, hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos:
a) P1  7, 6, 7  , P2 1, 1, 1 y P3  2, 2, 2 
b) P1  7, 6, 7  , P2  5, 10, 5  y P3  1, 4, 3

16) Verificar si los puntos P1  2,1,3 , P2  –1, 1, 0  , P3  0, 0, 0  y P4  0, 2, 2  pertenecen o

no a un mismo plano.

17) Dado el punto P 1, 2, 3 , hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el
origen de coordenadas y el punto P ; luego determinar:
a) sus cosenos directores.
b) su forma canónica
c) las ecuaciones de los planos proyectantes cuya intersección es dicha recta.

18) Escribir las ecuaciones de la recta r1 que pasa por el punto P1  2, 1, 3 y además:
a) tiene igual dirección que la del vector u   2,5, 4  .
b) es paralela al eje OX .
c) es perpendicular el eje OZ y que forme un ángulo de 60° con el eje OX .

Geometría lineal en el espacio - 2

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d) pasa por el punto P2 1,3, 4  .

x 3 z4
e) es paralela a r2   y
2 3
f) es perpendicular al plano coordenado XZ .

19) Determinar el ángulo entre las rectas r1 y r2 :

 x  2t  x  2  2t
 
a) r1   y  t tR y r2   y  1  3t tR
 z  5t  z  3  4t
 

x 1 y  2 z  4 x  2 y 3 z  4
b) r1    y r2   
6 3 6 3 6 2

2 x – y  3z – 4  0 x  y – 2z  3  0
c) r1   y r2  
3x  2 y – z  7  0 4 x – y  3z  7  0

20) Verificar si las siguientes rectas son ortogonales (o perpendiculares):

 x  5  3t  x  4  2t
 
r1   y  2  2t tR y r2   y  t tR
 z  1  3t z  4 t
  3

 x  y  2 z  3
21) Hallar las proyecciones de la recta  sobre cada uno de los planos
5 x  y  z  2
coordenados.

2 x – y  z  6
22) Dada la recta r hallar:
x  4 y – 2z  8
a) las ecuaciones paramétricas.
b) las coordenadas x e y del punto de la recta (x, y, z) en el que la coordenada z = 1.
c) las coordenadas del punto donde la recta corta al plano coordenado ZY.

23) Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta r con el plano  , donde:
x  2 y  z  6  0
r y   3x – 2 y  3z  16  0
2 x  y  3 z  16  0

Geometría lineal en el espacio - 3

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24) Si un punto P se mueve en el espacio de manera que en el tiempo t , es

OP  1 – t  i   2 – 3t  j   2t –1 k , se pide:
a) Verificar que P se mueve sobre una línea recta r
b) ¿En qué instante t incidirá P en el plano   2 x  3 y  2 z  1  0 ?
c) Hallar la ecuación del plano paralelo al plano  , tal que P incida en aquél en el
instante t  3 .

x2 2y  2 z 5
25) Mostrar que la recta r   está contenida en el plano
10 11 7
  3x  8 y  2 z  8 .

26) En cada caso, hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P 1, 3, 4  y es
perpendicular al plano:
a) x – 3 y  2 z  4
b) x  10
c) 2 z  3 y  0

x 1 y 3 z 2
27) Dados r    y   2 x  y  3z  1 , determinar para qué valor de k la
k 8 1
recta r es paralela al plano  .

 x  2 y  z – 6  0
28) Dada r   determinar para qué valor de  la recta r corta al eje
2 x  y  3 z  16  0
OX .

x 1 y  3 z  2
29) Hallar la distancia del punto P  2,3,5  a la recta r    .
2 1 3

 x  3  2

30) Dados r   y  1     R y   x  2 y  2 z  3  0 , hallar las coordenadas de un
z  2  

punto P  r , tal que dist  P,    6 . ¿Existe solución única?

x 1 y  2 x 3 y  4
31) Dadas las rectas r1    z y r2    z 1
3 2 3 2
a) Verificar que son paralelas.
b) Determinar la ecuación del plano determinado por ellas.

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32) Dadas las rectas

 x  k  2t x  1 s
 
r1   y  t tR y r2   y  1  2 s sR
z  2  t  z  s
 
a) Determinar el valor de k de modo que resulten coplanares.
b) Para ese valor de k , hallar la ecuación del plano que las contiene.

33) Dadas las rectas

 x  2  2t  x  1  3r
 
r1   y  1  t tR y r2   y  2r rR
 z  3  3t  z  2  4r
 
a) Determinar si son o no coplanares
b) Hallar la distancia entre las mismas.

34) Resolver el ejercicio 16 utilizando las propiedades del producto mixto.

35) Hallar la intersección entre las rectas:

x – y  z – 7  0 x  2 y – z 1  0
r1   y r2  
3 x  4 y –11  0 x  y 1  0

36) En cada caso, hallar la intersección entre las siguientes ternas de planos y estudiar la
posición relativa entre ellos:

a) 1  x  2 y – z  6  2  2 x – y  3z  13  0  3  3x  2 y  3z  16  0
b) 1  x  y  z  2  0  2  2x – 3 y  4z  3  3  4 x  11y  10 z  16  0

37) Dados los planos de ecuaciones: 1  x  y – 2 z  1 y  2  x  y  z  2  0 determinar la

ecuación del plano que pasa por  1   2 tal que:
a) Pase por el punto P  2, 5,3
b) Sea normal al plano de ecuación 2 x  y – 3 z  4
c) Su intersección con el eje z sea igual a 3.
d) Su intersección con el eje x sea igual a 2.

38) Encontrar  de modo tal que el plano   3x   y – 4 z  5 pertenezca al haz de planos

determinado por  1 y  2 del ejercicio anterior.

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39)
3x – 8 y  z  3

a) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r   z e intercepta
 x  3 y   6
 2
9
al eje x en el punto de abscisa  .
5
b) Hallar el punto P de dicho plano cuya distancia al punto Q  2,15,7  sea mínima.
¿Existe solución única?

40) Hallar el área del paralelogramo en el que tres de sus vértices son los puntos
A  1,3, 2  , B  3, 4, –1 y C  3,3, 1 . Hallar, además, las coordenadas del cuarto vértice.

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