ACTIVIDAD Diseñamos una estructura compuesta de un prisma y

07 una pirámide que solucione un asunto público

Sesión
33

VI 1º h
CICLO
GRADO
L

Secundaria
 PRESENTACION DE LA SITUACIÓN SIGNIFICATIVA
Actividad Diseñamos una estructura compuesta de un prisma y una pirámide
Nº 07 que solucione un asunto público
¡Muy bien! ¡Felicidades por todos los avances que has venido logrando! En la
actividad anterior ayudamos a Ricardo el dibujo bidimensional de un modulo de
vivienda prefabricada para centro de vacunación y a partir de ella, aprendimos
sobre los poliedros, prismas y pirámides, ahora vamos a tratar sobre el quinto eje
de bicentenario la sostenibilidad como son la contaminación, deforestación, 3m
seguridad ciudadano y otros que afectan al bien común. Para ello, dibujaremos la
2m
estructura de una edificación de caseta de vigilancia que ayude a dar solución a un
asunto público para controlar la deforestación y la contaminación de bosques
amazónicos en nuestra región selvática. ¿Estamos listos? ¡Comencemos!

Caseta para la vigilancia ecológica para

En esta actividad realizaremos el boceto de la estructura de una edificación, que control crecimiento de los rios y la
busca dar solución a un asunto público. contaminación, además es un mirador
Es importante apoyarnos con la familia, por ello le podemos consultar sobre las turístico hecho de madera.
dimensiones que podría tener la edificación que nos proponemos diseñar. Ahora
respondemos las siguientes preguntas :
• ¿A qué situación problemática podemos dar solución con tu diseño?
• ¿Qué dimensiones tiene el terreno donde te propones realizar la construcción?
• ¿Qué tipo de prisma emplearás para el cuerpo de la estructura de la edificación? ¿Qué
altura tendrán las paredes? ¿Qué beneficio nos brinda los techos con forma piramidal? ¿Qué
tipo de pirámide para el techo de la edificación? ¿Qué altura tendrá el techo?
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS

Para poder determinar el área de la superficie o el volumen de

un prisma o pirámide es necesario que recordemos algunos
contenidos matemáticos.
El siguiente cuadro muestra las fórmulas para calcular el área
de la región encerrada por una figura geométrica y su ejemplo:
FIGURA ÁREA EJEMPLO

Calcular el área del triangulo dado:

TRIÁNGULO
𝑏×ℎ 𝐴=
14𝑐𝑚 × 9𝑐𝑚
𝐴= 2
2
h = 9 cm
126 𝑐𝑚2
𝐴=
2
b = 14 cm 𝐴 = 63 𝑐𝑚2
b : Longitud de la base
h: altura del triangulo
El área del triangulo es 63 cm2.
A: Área
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS
FIGURA ÁREA EJEMPLO

Calcular el área del triangulo dado:

10𝑐𝑚 2 × 3
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO 𝑙2 × 3 𝐴=
4
𝒍 𝒍 𝐴= 100 𝑐𝑚2 × 1,73
4 𝐴=
4
60° 173 𝑐𝑚2
𝐴=
4
𝒍 b = 10 cm 𝐴 = 43,25 𝑐𝑚2
l : Longitud lado del triangulo
CUADRADO Calcular el área del cuadrado:

𝐴 = (5𝑐𝑚)2
𝐴 = 𝑙2
𝐴 = 25𝑐𝑚2

L : Longitud lado del cuadrado

 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS
FIGURA ÁREA EJEMPLO

Calcular el área del rectángulo:

RECTANGULO 𝐴 = 8 𝑐𝑚 × 5𝑐𝑚

𝐴 = 40 𝑐𝑚2

b: base
𝐴 =𝑏×𝑎 a. altura
POLIGONO 𝑃 = 𝐿 + 𝐿 + 𝐿 + ⋯ + 𝐿 Calcular el área del pentágono regular:
REGULAR
𝑷=𝟔+𝟔+𝟔+𝟔+𝟔
Figura que P=n× 𝑙 n lados 𝑷 = 𝟓 × 𝟔cm
tiene todos 𝑷 = 𝟑𝟎 cm
sus lados de 𝑃×𝐴𝑝
igual longitud.
A= 30𝑐𝑚 × 4,1𝑐𝑚
2 𝐴=
2
L : Longitud lado del polígono regular 2
P: perímetro del polígono 123𝑐𝑚
𝐴= = 61,5𝑐𝑚2
Ap: Longitud de apotema del polígono 2
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS

Polígono regular Figura, Valor de apotema y área. Ejemplo: calcular apotema y área.
Pentágono r : Radio de circulo P=5L Apotema Área
regular L: lado del pentágono Ap=
4𝑐𝑚
A=
20𝑐𝑚×2,75𝑐𝑚
𝟏,𝟒𝟓𝟑 2
r Ap: apotema
Ap
𝑃×𝐴𝑝 Ap Ap=2,75𝑐𝑚 A=
55 𝑐𝑚2
𝐿
Ap=𝟏,𝟒𝟓𝟑 A= 2

L/2 2 L=4cm P=5× 4𝑐𝑚 = 20𝑐𝑚 A= 27,5𝑐𝑚2

Hexágono regular R : Radio de circulo P=6L Apotema Área

L: lado del hexágono Ap=0,866 × 6𝑐𝑚
L 36𝑐𝑚×5,20𝑐𝑚
30° Ap: apotema Ap=5,196𝑐𝑚
A=
2
120° Ap 187,2 𝑐𝑚2
Ap=0,866 𝐿 Ap=5,20 𝑐𝑚 A=
2
L
60° 𝑃×𝐴𝑝 L=6cm A= 93,6𝑐𝑚2
A= P=6× 6𝑐𝑚 = 36𝑐𝑚
2
Octágono regular R : Radio de circulo P=8L Apotema Área
L: lado del hexágono 10𝑐𝑚
Ap= 0,83 80𝑐𝑚×12,05𝑐𝑚
L 45/2° Ap: apotema A=
2
135° 𝐿 𝑃×𝐴𝑝 Ap=12,05 𝑐𝑚
Ap = 0,83 A= A=
964𝑐𝑚2
2
L
67,5°
2
P=8× 10𝑐𝑚 = 80𝑐𝑚 A= 482𝑐𝑚2
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS

: Vemos que el área

lateral del prisma de la imagen es la suma de las áreas de ÁREA (AL) LATERAL
sus caras laterales (los 6 rectángulos), que forman un
rectángulo mayor cuya base es el perímetro del hexágono
regular de la base. Por lo tanto; el área lateral del prisma es h
igual al producto del perímetro de su base (Pb ) por la
altura (h). L L L L L L
α
Donde
n: números de lados de polígono de base(n=6) L Pb=n×L Perímetro de base
L: Longitud de la base
h:altura del prisma o arista lateral(prisma regular) AL=𝒏 × 𝑳 × ℎ
h Pb: perímetro de la base
AL: área lateral AL=Pb× ℎ
Ab: Área de la base
Luego: Área total =Área lateral + 2Área base
At: Área total 2Ab
L
Ejemplo: Perímetro
At=AL+ 2Ab
n=4 P=4× 5𝑐𝑚 Área de la base
Área Total
P=20 𝑐𝑚 Ab=(5cm)2
L=5cm At=260cm2+ 2(25cm2)
Área lateral
h=13cm AL=20𝑐𝑚 × 13𝑐𝑚 Ab=25 cm2 At=260cm2+ 50cm2
AL=260 𝑐𝑚2 At=310cm2
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS

: Observamos que Determina la cantidad mínima de cartulina que se

para calcular el área total del prisma bastará con añadir necesita para hacer la siguiente caja.
el área de las bases al área lateral. Por lo tanto; el área
total resulta de la suma de su área lateral con el área de
sus dos bases. 8 cm
20 cm
Pb=20+8+20+8
Para hallar la cantidad mínima de cartulina debemos calcular
h primero el área lateral:

AL=(𝟐𝟎𝐜𝐦 + 𝟖𝐜𝐦 + 𝟐𝟎𝐜𝐦 + 𝟖𝐜𝐦) × 10𝑐𝑚

AL=Pb× ℎ
AL=(𝟓𝟔𝐜𝐦) × 10𝑐𝑚 =𝟓𝟔𝟎 𝒄𝒎𝟐
Pb
Ahora procedemos a calcular el área total:
Área total =Área lateral + 2Área base
At=560 cm2+ 2(20cm × 𝟖𝒄𝒎)
At=AL+ 2Ab At=560 cm2+ 2(1𝟔𝟎𝒄𝒎𝟐) =560 cm2+ 32𝟎𝒄𝒎𝟐
At=880 cm2
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS

: El volumen o espacio que ocupa el Además de hallar la cantidad

prisma lo calculamos multiplicando el área de su base por la altura. mínima de cartulina que se necesita para
hacer la siguiente caja. calcula el espacio que
La unidad de Volumen ocupa.
6 cubitos
8 cm
1cm

6 cubitos
1cm 20 cm
¿Cuántos 6 cubitos Ab=20cm × 8𝑐𝑚
cubitos de 1 cm3 Ab=160 𝑐𝑚2
pueden caber en 6 cubitos
este recipiente? Para calcular el espacio que ocupa la caja debemos
h=6cm 6 cubitos
hallar su volumen:

Área de la base 6 cubitos V = Ab× ℎ

Total = 36 cubitos =36 cm3 V = 160cm2 × 10𝑐𝑚
V = 1𝟔𝟎𝟎𝐜𝐦𝟑
a=3cm En general el volumen Damos respuesta al problema indicando que la
Volumen = 6cm2 × 6𝑐𝑚 cantidad mínima de cartulina que se necesita para
Ab = 6 cm2
Volumen = 36 𝑐𝑚3
V = Ab× ℎ construir la caja es de 880 cm2 y el espacio que
ocupa es de 1600 cm3.
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS

: Vemos que el área lateral de la pirámide de la imagen es la suma de las áreas

de sus caras laterales (los 4 triángulos isósceles congruentes). Por lo tanto; el área lateral es igual al producto del
perímetro de su base (Pb) por la apotema (AP) dividido entre dos.

L Área lateral Área de base

L
Ab=𝐿2

L Ap
L L

L 2L
Donde
Área lateral en función del perímetro de base
L: Longitud de la base Área lateral del pirámide AL=2×
𝑷𝒃
× 𝐴𝑝
𝑷𝒃 ×𝑨𝒑
Ap :Apotema lateral del pirámide 𝟒
AL= 𝟐
Pb: perímetro de la base AL=2𝐋 × 𝐴𝑝
AL: área lateral
Ab: Área de la base Perímetro de la base con 4 lados Luego: Área total =Área lateral + Área base
At: Área total 𝑷
Pb=4×L L= 𝟒𝒃 At=AL+ Ab
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS

: En este caso vemos, que los triángulos que forman la cara lateral
no son todos congruentes. Por lo tanto; podemos afirmar que para calcular su área lateral solo debemos sumar las
áreas de estos triángulos.

Área de base
Perímetro de la base c Según la
Ap Perímetro de la base con 4 lados d figura hallar
d c Pb=a + b + c + d el área de
b la base
a a
a b
d b Ab

c
Área Total
Donde
L: Longitud de la base Área lateral Luego: Área total =Área lateral + Área base
Ap :Apotema lateral del pirámide a×𝐴𝑝 b×𝐴𝑝 c×𝐴𝑝 d×𝐴𝑝
Pb: perímetro de la base AL= + + +
AL: área lateral
2 2 2 2 At=AL+ Ab
Ab: Área de la base 𝐴𝑝(a + b+c+d)
At: Área total AL= 2
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS
Área total =Área lateral + Área base
:Observamos que
para calcular el área total de las pirámides anteriores bastará con At=AL+ Ab
añadir el área de la base al área lateral. Por lo tanto; el área
total es igual a la suma de su área lateral con el de su base.

:El volumen o espacio

h
que ocupa la pirámide es igual a un tercio del producto del
área de la base por la altura. h
Es decir el volumen de una pirámide es igual a un tercio del h
volumen de un prisma que tiene la misma altura y la base que h Ab
una pirámide.
𝟏 Ab
V
𝟑
𝟏 Ab×𝒉
𝟑
V Vprisma = Ab× 𝒉 Vpirámide =
𝟏
𝟑
V
𝟏 𝟑
V
V 𝟑
Ver simulación
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS
Calcula la cantidad mínima de papel que se necesita para
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂𝟐 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐𝟐 + 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐𝟐
envolver la vela, además halla la cantidad de cera usada para su
elaboración. 𝐴𝑝2 = 𝑁𝑄2 + 𝑄𝑃2
N N Donde: 𝐴𝑝2 = (12𝑐𝑚)2 +(3𝑐𝑚)2
NP = Ap: Hipotenusa 𝐴𝑝2 = 144 𝑐𝑚2 + 9 𝑐𝑚2
Ap NQ=12 cm es cateto
12cm

12cm
Ap QP=3cm es cateto 𝐴𝑝2 = 153 𝑐𝑚2

Q 𝐴𝑝 = 153 𝑐𝑚2 𝑨𝒑 ≈ 𝟏𝟐, 𝟒𝒄𝒎

P Q 3 cm P
1.- Para hallar la cantidad mínima de papel debemos calcular
Primero debemos calcular la apotema NP(Ap), para primero el área lateral:
ello realizamos un corte imaginario en la pirámide y Calculando área lateral
Calculando perímetro de base
obtenemos el triángulo rectángulo NQP, como se
𝑃𝑏 ×𝐴𝑝
muestra en la imagen. AL=
Pb=4×L 2
24 𝑐𝑚×12,4𝑐𝑚
L=6 cm Pb=4×6cm AL=
A continuación, hallamos la apotema 2
297,6 𝑐𝑚2
aplicando el teorema de Pitágoras en el Pb=24cm AL= 2
triángulo rectángulo NQP. Pero ¿Qué es el L=6 cm
teorema de Pitágoras? AL= 148,8 𝑐𝑚2
 NOS INFORMAMOS SOBRE LOS MODELOS DADOS
Calcula la cantidad mínima de papel que se 3.- Para calcular la cantidad de cera debemos hallar
necesita para envolver la vela, además halla la de su volumen:
cera usada para su elaboración.
Donde:
N N Ab×𝒉 h=12cm
NP = Ap: Hipotenusa Vpirámide =
𝟑
Ap NQ=12 cm es cateto

12cm
12cm

QP=2cm es cateto 36cm2×𝟏𝟐𝒄𝒎

V=
𝟑
Q P
P Q 3 cm 432 cm3
V=
𝟑
2.- Ahora procedemos a calcular el área total:
V =𝟏𝟒𝟒 𝒄𝒎𝟑
Calculando área de la base Área de Total

Ab=𝐿2 At=AL+ Ab Damos respuesta al problema indicando que, la

L=6 cm
Ab=(6𝑐𝑚)2 cantidad mínima de papel que se necesita para
At=148,8cm2 + 36cm2 envolver la vela es de 184,8 cm2 y la cantidad de
L=6 cm Ab=36 𝑐𝑚2 At=184,8 cm2 cera empleada para confeccionarla fue de 144 cm3.
 ACTIVIDAD Diseñamos una estructura compuesta de un prisma y

07 una pirámide que solucione un asunto público

Sesión
33

VI 1º y 2º h

Parte 2
CICLO
GRADO
L

Prof. Vicente Limpe Cahuana Secundaria

 SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN SIGNIFICATIVA
Continuamos trabajando teniendo en cuenta que el diseño de la estructura debe ser
proporcional con las medidas reales; es decir, debes mantener las diferencias en las
medidas que existen en el modelo original. Preguntas del reto:
• ¿A qué situación problemática podemos dar solución con tu diseño?
• ¿Qué dimensiones tiene el terreno donde te propones realizar la construcción?
• ¿Qué tipo de prisma emplearás para el cuerpo de la estructura de la edificación? ¿Qué altura tendrán 3m
las paredes? ¿Qué beneficio nos brinda los techos con forma piramidal? ¿Qué tipo de pirámide para el 2m
techo de la edificación? ¿Qué altura tendrá el techo?

1 Iniciemos esta fase diseñando la base de la estructura de la edificación;

para ello, completamos la tabla con un dibujo de las figuras geométricas
que corresponda con las respectivas medidas que se consideraron en el Caseta de vigilancia ecológica
inicio de esta actividad
Especificaciones del cuerpo de edificación (prisma)
Bidimensional Área base Tridimensional Volumen
Octágono Apotema
regular V = Ab× ℎ
𝐿 1m
Ap = = 0,83 = 1,20 𝑚
0,83
V = 4,8m2 × 2𝑚
Perímetro Área de la base
𝑃×𝐴𝑝 8 𝑚 × 1,20 𝑚 h=2m
Ap P=8× (1 m) A= = V = 9, 𝟔𝐦𝟑
2 2 Ab=4,8m2
P=8 m 9,60 𝑚2
A= = 4,8 𝑚𝟐
L=1 m 2
 SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN SIGNIFICATIVA

2 A continuación, completamos la siguiente tabla dibujando el boceto del

cuerpo de la estructura de la edificación.

Especificaciones del cuerpo de edificación (prisma)

Bidimensional Área Lateral Tridimensional Volumen
Perímetro V = Ab× ℎ
Pb=n×L
V = 4,8m2 × 2𝑚
Pb=8× (1 m)
V = 9, 𝟔𝐦𝟑
Pb=8 m
h= 2 m

h=2m
1m
Área lateral
8m AL=Pb× ℎ Ab=4,8m2

Ab= 4,8 𝑚𝟐 AL=8 𝐦 × 2𝑚

AL=1𝟔 𝑚2
 SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN SIGNIFICATIVA

3 Enseguida, dibujemos el boceto del techo; para ello, podemos completar

la tabla dibujando las figuras planas que correspondan con sus medidas.

Especificaciones del techo de la edificación (pirámide)

Bidimensional Área Lateral Tridimensional

Perímetro ApL
Pb=8×L 1,64m
Ap
Pb=8× (1 m)
L=1m Pb=8 m
𝑃
es semiperímetro 0.5m
2

Cálculo de apotema lateral (ApL)del pirámide L=1m

Área lateral
Observamos, en la vista tridimensional que la apotema lateral con la
arista lateral de la pirámide forman un triangulo rectángulo y para
Pb×𝑨𝒑𝒍
AL= 2
calcular dicha apotema usaremos el teorema de Pitágoras :
8 𝐦×1,56𝑚
L=1m
1,642 = 𝐴𝑝𝐿2 + 0,52 ApL AL= 2
ApL= 2,6896 − 0,25
𝐴𝑝𝐿2 = 1,642 − 0,52 𝟏𝟐,𝟒𝟖 𝑚2
𝐴𝑝𝐿 = 2,4396 AL=
𝟐
𝐴𝑝𝐿 = 1,642 − 0,52 ApL= 𝟏, 𝟓𝟔 𝒄𝒎 0,5m
AL= 𝟔, 𝟐𝟒 𝒎𝟐
 SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN SIGNIFICATIVA

4 Enseguida, dibujemos el boceto del techo; para ello, podemos completar

la tabla dibujando las figuras planas que correspondan con sus medidas.

Especificaciones del techo de la edificación (pirámide)

Bidimensional Tridimensional - Volumen

Perímetro Área de la base

Pb=8×L 𝐴𝑏 = 4,8 𝑚2 1,64m
Ap
Pb=8× (1 m) h
L=1m D=2,6m
Pb=8 m
𝑃
es semiperímetro
2

Cálculo de altura h del pirámide

Observamos, la altura es h, el radio(r) es la mitad del diámetro(2,6m) y la arista Volumen del pirámide
del techo es 1,64m, forman el triangulo rectángulo y por teorema de Pitágoras
se tiene: Ab×ℎ
V=
3
L=1m 1,642 = ℎ2 + 1,302 ℎ= 2,6896 − 1,69
2 2 2 h 4,8m2×𝟏𝒎
ℎ = 1,64 − 1,30 ℎ= 0,9996 V=
3
ℎ= 1,642 − 1,302 𝒉 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗 ≈ 𝟏𝒎 V = 1, 𝟔𝐦𝟑
1,30m
 SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN SIGNIFICATIVA
Completamos el boceto de la estructura realizando un dibujo en la tabla; para ello; unimos el
cuerpo de la edificación con el techo y calculamos el volumen total de la superficie

Tridimensional Área de toda la superficie Volumen

El área de toda la superficie es la suma de El volumen total de la edificación
áreas laterales del prisma y pirámide mas es igual a la suma de los
la área de la base del prisma. volúmenes de prisma y pirámide

Área lateral del prisma: AL=1𝟔 𝑚2

Volumen de prisma: 9,6m3
Área lateral de la pirámide: AL=𝟔, 𝟐𝟒 𝒎𝟐
3m
Volumen de pirámide: 1,6m3
Área de la base del prisma: 𝑨𝒃 = 𝟒, 𝟖 𝒎𝟐
h=3m 2m
At= ALPrisma +ALpiramide+AbPrisma Vt = Vprisma + V pirámide
Vt = 9,6m3 + 1,6m3
At= 16m2 + 6,24m2 + 4,8m2
Vt = 11,2 m3
At= 27,04m2

Ver simulación
 SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN SIGNIFICATIVA

¿Cuántos metros cuadrados de pared se Se necesita 16m2 de pared que corresponde al área
necesitará en la edificación? lateral del prisma octagonal.

Se necesita 5 calaminas de 1,80mx0.82m para techar

un área de 6,24m2 que corresponde al área lateral de la
¿Qué cantidad de calamina, como
pirámide octagonal.
mínimo, se requerirá para techar la
construcción? 6,24
A =1,476m2 N° de calaminas = 1,476

N° de calaminas =4, 𝟐𝟑 ≈ 𝟓

¿Qué espacio ocupará toda la El total de espacio ocupado por la caseta de vigilancia es
estructura? 11,2m3, que corresponde al volumen total del sólido.

¿Qué poliedros empleamos en el Se ha utilizado dos tipos de poliedros, en la estructura

diseño? empleamos al prisma octagonal y en el techo a la
pirámide octagonal.
 SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN SIGNIFICATIVA

Finalmente, presentamos en una hoja o en el Smart Office el boceto final de la estructura. En el

debes colocar el desarrollo bidimensional del techo y cuerpo de la edificación, así como su vista
tridimensional.

Boceto final de caseta de Desarrollo bidimensional Desarrollo bidimensional Vista tridimensional

vigilancia ecológica de la estructura del techo

Ver simulación
 RETO PARA LA CASA
Para afianzar más nuestro aprendizaje, vamos a ejercitar calculando las áreas de las figuras poligonales y las áreas
laterales y totales de algunos prismas y pirámides utilizando la ficha de practica tarea 27. Para cumplir este reto
puedes descargar desde la descripción de este video en formato pdf.

Actividades a desarrollar
“En todo TRIÁNGULO RECTÁNGULO
el cuadrado de la HIPOTENUSA es
igual a la suma de los cuadrados de
los CATETOS”
𝟐
𝒄
𝒂𝟐
CATETO

𝟐 𝟐 𝟐 𝒃 𝟐
𝒂 +𝒃 =𝒄
CATETO