UNIVERSIDAD NACIONAL DE

INGENIERÍA

Maestría en Ciencias en Ingeniería Civil con Mención en

Hidráulica
edwin

MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS

PRÁCTICA CALIFICADA 01
Alumno : Edwin Charapaqui Sedano

Profesor : Dr. Luis Alberto Mosquera Leiva

Lima 14 de octubre de 2024

Mecánica de medios continuos

Pregunta 01
Una cáscara esférica (ver figura) está hecha de un material incompre-
sible. En su estado no deformado, los radios interior y exterior del
caparazón son A, B . Después de la deformación, los nuevos valores
son a, b . La deformación en el cascarón se puede describir (en com-
ponentes cartesianos) mediante la ecuación
xi √
yi = r r = (R3 + a3 − A3 )1/3 R= xk xk
R

a) Calcular las componentes del tensor del gradiente de deformación.

b) Verificar que la deformación preserva el volumen. Figura 1

c) Encuentre la longitud deformada de una línea radial infinitesimal que tiene una longitud
inicial I0 , expresada en función de R.

d) Encuentre la longitud deformada de una recta circunferencial infinitesimal que tiene lon-
gitud inicial I0 , expresada en función de R.

e) Utilizando los resultados de (c) y (d), escriba los estiramientos principales para la defor-
mación.

f) Encuentre la inversa del gradiente de deformación, expresado en función de yi . Puedes

hacer esto mediante inspección, invirtiendo (a) (¡no recomendado!) o elaborando una fór-
√
mula que te permita calcular xi en términos de yi y r = yi yi y diferenciar el resultado. ¡La
primera es la más rápida!

Solución
a) Calcular las componentes del tensor del gradiente de deformación.

∂yi  3 −2/3  1/3  xi x j 

Fi j = = R + a3 − A3 xi x j + R3 + a3 − A3 δi j − 3
∂x j R

R2 r x i x j
!
r
F i j = δi j + 2 −
R r R R2

b) Verificar que la deformación preserva el volumen.

Como la deformación es radialmente simétrica, podemos calcular J a lo largo de cualquier

línea radial. Tomando x1 = R, x2 = x3 = 0, vemos eso

R2 r
F11 = , F22 = F33 = ⇒ F11 F22 F33 = 1
r2 R
c) Encuentre la longitud deformada de una línea radial infinitesimal que tiene una longitud
inicial I0 , expresada en función de R.

xi
dxi = I0
R
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Mecánica de medios continuos

Entonces

R2 r xi x j R2 xi
" ! #
r xj
dyi = Fi j dx j = δi j + 2 − I0 = I0 2
R r R R2 R r R
y

R2
dyi dyi = I0 2
p
r
d) Encuentre la longitud deformada de una recta circunferencial infinitesimal que tiene lon-
gitud inicial I0 , expresada en función de R.

Dado que la deformación preserva el volumen, lθ2 lr = l03 , entonces

s
l03 r
lθ = = l0
lr R
e) Utilizando los resultados de (c) y (d), escriba los estiramientos principales para la defor-
mación.

Si mi es una dirección de tramo principal, los tramos principales se extiende λi tener la pro-
piedad que lmi = λi l0 mi (ninguna suma en i).Las principales direcciones de estiramiento
son radial y circunferencial, por inspección. De (c) y (d), se deduce que

R2
λ1 =
r2
r
λ2 = λ3 =
R
f) Encuentre la inversa del gradiente de deformación, expresado en función de yi . Puedes
hacer esto mediante inspección, invirtiendo (a) (¡no recomendado!) o elaborando una fór-
√
mula que te permita calcular xi en términos de yi y r = yi yi y diferenciar el resultado. ¡La
primera es la más rápida!

Trabajando por inspección,

r2 R yi y j
!
R
Fi−1
j = δi j + 2 −
r R r r2
La inversión directa es posible pero muy tediosa. Para el tercer enfoque, tenga en cuenta
que

yi  1/3 √
xi = R R = r3 − a3 + A3 r= yk yk
r

∂xi
j =
Fi−1
∂y j

luego se calcula fácilmente.

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Mecánica de medios continuos

Pregunta 02
Una lámina de material se somete a una deformación
dimensional homogénea de la forma.

y1 = A11 x1 + A12 x2

y2 = A21 x1 + A22 x2

Figura 2
donde Ai j son constantes. Supongamos que se dibuja
un círculo de radio unitario sobre la hoja no defor-
mada. Este círculo se distorsiona hasta formar una curva suave en la hoja deformada. Demuestre
que el círculo distorsionado es una elipse, con semiejes paralelos a las direcciones principales del
tensor de estiramiento V, y que las longitudes de los semiejes de la elipse son iguales a los esti-
ramientos principales de deformación. Hay muchas maneras diferentes de abordar este cálculo;
algunas son muy complicadas. La forma más sencilla probablemente sea utilizar la descomposi-
ción polar A = VR
Solución
Supondremos que las direcciones principales de V subtienden un ángulo θ0 hacia {e1 , e2 } base
como se muestra en la figura, escriba la descomposición polar A = VR en términos de tramos
principales λ1 , λ2 y θ0 y luego demostrar que y = V.R.x (dónde x está en el círculo unitario)
describe una elipse.
Tenga en cuenta que la rotación R no distorsiona el círculo en absoluto. Para ver esto, dejemos

z = R.x

x.x = z.z = a2
donde a es el radio del círculo, el tensor de estiramiento derecho se puede expresar como

V = λ1 m1 ⊗ m1 + λ2 m2 ⊗ m2

si dejamos z = Rx y expresar
z = z1 m1 + z − 2m2
entonces
Vz = λ1 z1 m1 + λ2 z2 m2
Por lo tanto

y21 y22
+ = z21 + z22 = a2
λ21 λ21
.
Esta es la ecuación de una elipse centrada en el origen con semiejes λ1 a, λ2 a.

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Mecánica de medios continuos

Pregunta 03
la figura muestra dos diseños para una junta adhesiva. El pega-
mento fallará si la tensión que actúa normal a la junta excede los
60 MPa, o si la tensión cortante que actúa paralela al plano de la
junta excede los 300 MPa.
a) Calcule la tensión normal y cortante que actúa sobre cada
unión, en términos de la tensión aplicada σ.
b) Por lo tanto, calcule el valor de σ, que hará que cada junta
falle.

Figura 3
Solución
Tomando e1 para ser horizontal, los vectores normales a las dos uniones son

n1 = cos(30)e1 + sin(30)e2

n2 = e1
El tensor de tensión es

T = σe1 ⊗ e1
Las tracciones siguen como

t1 = σcos(30)e1

t2 = σe1
y por tanto las componentes normal y tangencial de la tracción son

tn = t1 .n1 = σcos2 (30)

tt = |t1 − tn n1 | = σcos(30)|e1 − cos(30) (cos(30)e1 + sin(30)e2 ) | = σsin(30)cos(30)

Para la segunda articulación

tn = σtt = 0

Pregunta 04
Si en un punto P al interior de un sólido se conoce que,

X12 X2 X1 (1 − X22 )
 
 0 
 
 
1 3
σ =  X1 (1 − X22 )
 
(X − 3X2 ) 0 
 3 2 
 
 
0 0 2X32
Determinar:

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Mecánica de medios continuos

a) la distribución de fuerzas másicas para que se verifiquen las ecuaciones de equilibrio:

ti j, j + ρbi = 0

b) Los esfuerzos principales

Solución
a) la distribución de fuerzas másicas para que se verifiquen las ecuaciones de equilibrio:

ti j, j + ρbi = 0

∂σ11 ∂σ12 ∂σ13

+ + + ρb1 =0
∂X1 ∂X2 ∂X3
∂σ21 ∂σ22 ∂σ23
+ + + ρb2 =0
∂X1 ∂X2 ∂X3
∂σ31 ∂σ32 ∂σ33
+ + + ρb3 =0
∂X1 ∂X2 ∂X3

∂σ11 ∂σ12 ∂σ13

ρb1 = − − −
∂X1 ∂X2 ∂X3
∂σ21 ∂σ22 ∂σ23
ρb2 = − − −
∂X1 ∂X2 ∂X3
∂σ31 ∂σ32 ∂σ33
ρb3 = − − −
∂X1 ∂X2 ∂X3

ρb1 = − 2X1 X2 − (2X1 X2 ) − 0 = −4X1 X2

ρb2 = − (1 − X22 ) − (X22 − 1) − 0 = 0
ρb3 = − 0 − 0 − 4X3 = −4X3

 
 −4X1 X2
1 

bi =  0

ρ

−4X3
b) Los esfuerzos principales

σ1 = 2X32
1 2
q 
σ2 = 3X1 X2 + X2 − 3X2 − 36X1 X2 + 9X1 X2 − 6X1 X2 − 54X1 X2 + X2 − 6X2 + 36X1 + 9X2
2 2 4 4 2 2 3 2 2 4 3 2 2
6
1 2
q 
σ3 = 3X1 X2 + X2 − 3X2 + 36X1 X2 + 9X1 X2 − 6X1 X2 − 54X1 X2 + X2 − 6X2 + 36X1 + 9X2
2 2 4 4 2 2 3 2 2 4 3 2 2
6

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