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    Cálculo en Varias Variables - Parcial 3: Franco Gomez Daniela

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    279

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    Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.

    Cálculo En Varias Variables – Parcial 3 Nombre: Franco Gomez Daniela


    Cédula: 10 3694 9650 Grupo: 7
    6 de Septiembre del 2021

    Pregunta 1 2 3 4 (Entiendo que presentar este examen, implícitamente declara mi

    Puntaje 25% 25% 25% 25% conducta ética durante el mismo según lo estipulado en el Estatuto

    Tolerancia 5% 5% 5% 5% Estudiantil de la Universidad Nacional de Colombia.)

    Instrucciones: La duración del examen es 1:50 horas. Verifique que sus datos de identificación sean correc-
    tos. Debe consignar sus respuestas en la encuesta de Google Forms que le fue enviada por correo. Todos los
    números: enteros, reales o racionales, deben introducirse con tres cifras decimales de precisión. Asegúrese de
    que su dipositivo este configurado en radianes para el cálculo de funciones trigonométricas y trignométricas
    inversas. La tercera fila de la tabla de puntaje declara la tolerancia numérica con que se calificará cada pre-
    gunta. Este examen es individual y no está permitido pedir ayuda. Asímismo, este es un examen asistido por
    computador; está permitido responder haciendo uso (según su mejor criterio) de un sistema computarizado,
    e.g., www.wolframalpha.com

    1. En este ejercicio los valores de las constantes a, b, r son:


    a = 10.3, b = 30.8, r = 9.7.
    Sea F~ : R2 → R2 el campo vectorial dado por
    F~ (x, y ) = P (x, y )i + Q(x, y )j.
    donde
    3 3
    P (x, y ) = x 2 e y y Q(x, y ) = x 3 y 2 e y + −6.5x + sin(y 2 ).

    a) (6%) Sea C3 el segmento de recta que va desde el punto (10.3, 0) hasta el punto (−10.3, 0).
    Calcular Z
    F~ · d~r
    C3

    b) (4%) Calcular ∂Q
    ∂x − ∂P
    ∂y .
    c) (15%) Calcular la integral Z Z
    F~ · d~r + F~ · d~r,
    C1 C2
    donde C1 y C2 son los caminos descritos en la figura.

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    Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.

    2. Sea F~ el campo vectorial en R3 definido por:


    1
    F~ = ((−1)y i + (6)xj + (2)xy zk).
    π
    Calcular la integral de superficie: ZZ
    ∇ × F~ · d S,
    ~
    S

    donde S es la parte del paraboloide


    z = x2 + y2
    que está dentro del cilindro
    x 2 + y 2 = 92 ,
    con la orientación dada por vectores que apuntan hacia adentro del paraboloide.

    Figure 1: Este es un dibujo aproximado de la región de integración.

    Sugerencia: La respuesta es un número entero positivo. Si su resultado no es un entero positivo,


    revise sus cálculos con cuidado.

    3. Sea F~ el campo vectorial, definido en el plano menos el orígen, dado por:


    1 
    2 2 2 2
    
    F~ = (−(−1)y + (−3)(x + y ))i + ((−1)x + (4)(x + y ))j .
    2π(x 2 + y 2 )

    Calcular la integral de línea: Z


    F~ · d~r,
    C

    donde C es la curva dada por:

    ~r(t) = cos(1t)i + si n(1t)j, t ∈ [0, 2π].

    Sugerencia: La respuesta es un número entero. Si su resultado no es un entero, revise sus cálculos


    con cuidado.

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    Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.

    4. Sea F~ : R3 → R3 el campo vectorial dado por

    F~ (x, y , z) = P (x, y , z)i + Q(x, y , z)j + R(x, y , z)k.

    donde
    2 2
    P (x, y , z) = (x 2 − 4.82 )y e z , Q(x, y , z) = (4.82 − y 2 )xe z , R(x, y , z) = 20z + 1.

    Sea E el sólido cuya frontera está formada por las superficies S1 , · · · , S6 . (ver figura).

    • La superficie S1 es el cuadrado de lado 2 × 4.8 y centro en el origen contenido en el plano xy :

    S1 = {(x, y , z) ∈ R3 − 4.8 ≤ x ≤ 4.8, −4.8 ≤ y ≤ 4.8, z = 0}


    • Las superficies laterales S2 , S3 , S4 y S5 están contenidas respectivamente en los planos x = 4.8,


    y = 4.8, x = −4.8, y = −4.8.
    x 2 +y 2
    • La superficie S6 es el trozo de la gráfica de la función f (x, y ) = 41.4 − 2 que está sobre S1 .

    Todas las superficies se orientan con vector normal apuntando hacia afuera del sólido E.

    a) (4%) Calcule el flujo de F~ a través de S1 .


    b) (3%) Calcule la suma de los flujos de F~ a través de las cuatro superficies laterales. (Pista: Notar
    que algunas componentes del campo se anulan en estas superficies).
    c) (3%) Calcular div F~ .
    d) (15%) Calcular el flujo de F~ a través de S6 .

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