INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD EXPERIMENTO ALEATORIO ( )

Es cualquier experimento u operacin, cuyo resultado no puede predecirse con exactitud, antes de realizarlo. Lo denotaremos por . Ejms.: 1 : Lanzar un dado y observar la cara superior 2 :Extraer un artculo de un lote que contiene arts. defectuosos (D) y no defectuosos (N) 3: Elegir un punto en el intervalo [ 0 ,1 ] 4: Observar el tiempo de vida til de un artefacto elctrico. 5: Fabricar artculos, hasta producir 8 defectuosos y contar el nmero total de artculos fabricados Propiedades de

a) Tiene varios resultados posibles b) Se repite indefinidamente c) Al repetirse un gran nmero de veces, aparece un modelo de regularidad ESPACIO MUESTRAL ( ) Conjunto de todos los resultados posibles de un .
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Ejms.: Para los experimentos aleatorios dados anteriormente, se tiene: Para

1: 2: 3: 4: 5:

1 2 3 4 5

= = = = =

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } {D,N} {x / 0 x 1} {t / t 0} { 8 , 9, 10, ... }

Experimento Aleatorio Compuesto.

Consiste en realizar 2 ms experimentos simples sucesivamente o en forma simultnea. Dados 1 y 2, nos va a interesar, = 1y 2 = 1 o 2 Ejm 1 : Sea : Lanzar una moneda un dado. Haciendo: : Lanzar un dado 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 : Lanzar un moneda 2 = { c , s }
1

Luego el experimento compuesto : = 1 2 = 1 v 2 = 1 U2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, c, s } Ejm.2 : Sea : Lanzar un dado y una moneda. Hacemos: 1 :Lanzar un dado 1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2 : Lanzar un moneda 2 = { c , s } Luego, el experimento compuesto es :
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 = =

1 2 = 1 x 2 ( producto cartesiano) { c1, c2, c3, c4, c5, c6, s1, s2, s3, s4, s5, s6 }

Nota: Un espacio muestral puede ser finito o infinito numerable o infinito no numerable. EVENTO : Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se usa la misma anotacin de conjuntos: A, B, C, etc. Tales que: A ; SUCESO ( ) : Se denomina as, a todo elemento del espacio muestral, (equivale a los elementos en la teora de conjuntos). Ejm: Sea el experimento lanzar un dado, y slo nos interesa los nmeros pares: : Lanzar un dado : { 1, 2 , 3. 4, 5, 6 } = { 1,2,3,4,5,6 } Evento de Inters, A : A : Aparecen nmeros pares A = { 2, 4, 6 }
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B etc.

Evento Imposible: Aquel evento cuyos sucesos

(elementos) no estn contenidos en el espacio muestral; tambin aquel que no tiene ningn elemento (teora de Conjuntos). Se denota por : Ejem. Obtener # 18 al extraer una carta de una baraja normal de 52 cartas: El = { 1, 2 , 3, . . . , 13 } Evento A = { 18 ] = = { / }

Evento Seguro.
muestral

Aquel que coincide en el espacio

Ejm. : Obtener un nmero menor de 7 y mayor de cero, al lanzar un dado. = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 } Evento de inters: A = { 1 ,2 , 3 , 4, 5 ,6 }

Algebra de Eventos
Desarrollo idntico a Teora de Conjuntos: Espacio muestral Conjunto universal Eventos Conjuntos Sucesos elementos Inclusin, unin, interseccin, complemento, diferencia, diferencia simtrica.
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Particin de un Espacio Muestral

Es una coleccin de eventos A1, A2, A3, ... , Ak, definida en el mismo espacio muestral , donde los eventos Ai son: Eventos colectivamente Exhaustivos, si la unin es igual al espacio muestra ; es decir: = Unin de los Ai b. Eventos Mutuamente Excluyentes, si la ocurrencia, de uno, excluye la ocurrencia de los otros; es decir: Ai Aj = ; i j c. Los Ai son diferentes del vaco
a.

Ejm: En el lanzamiento de un dado, sean los eventos: A1 = { 1, 2 }; A2 = {3,, 4, 5, } y A3 = {6} Sabemos que, = { 1 , 2 , 3, 4 , 5, 6 }
a)

U Ai = = {1 , 2 , 3, 4, 5, 6 } (Exhaust.) A1 A2 = A1 A3 = A1 A3 = y A3 (Excluy.) y cada Ai

b)

c) A1 ; A2

PROBABILIDAD

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La probabilidad que un evento ocurra, est dada por un nmero que va de CERO a UNO. Un evento imposible tiene probabilidad CERO y un evento seguro tiene probabilidad UNO. DEFINICION CLASICA: La probabilidad de un evento A denotada por P (A), es el cociente ente el nmero de sucesos favorables a dicho evento n ; y el nmero total de sucesos del espacio muestral N ; es decir, P (A) = n / N

Ejm. Si se lanza una moneda 3 veces, Cul es la probabilidad que, a. Ocurran 2 caras exactamente? b. Aparezcan al menos 2 caras? c. Ocurran a lo ms 2 caras? Solucin: Construimos el espacio diagrama del rbol: ... muestral mediante el

= {ccc, ccs, csc,scc, css, scs, ssc, sss } a. Sea el evento A: ocurran 2 caras exactamente A= {ccs, csc,, scc} n = 3 P (A) = n / N = 3 / 8

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Sea el evento B: Aparecen al menos 2 caras B = { ccc, ccs, csc, scc] n = 4 P(B) = n / N = 4 / 8 = 1 / 2
b.

c. Sea el evento C: Ocurran a lo ms 2 caras C= { sss, ssc, scs, css, ccs, csc, scc} P (C) = 7/8 DEFINICIN AXIOMTICA: Sea el espacio muestral asociado a un experimento , La probabilidad P, es una funcin que asigna a cada evento A, un nmero (entre 0 y 1) P (A), llamado probabilidad del evento A, si cumple con los siguientes axiomas: 0 P (A) 1 ; A b) P ( ) = 1 c) Si A1, A2,....Ak son eventos mutuamente excluyentes en , entonces: P (A1 U A2 U . . . U AK ) = P (A1) + P (A2)+........+ P (AK) P ( U Ai ) = P(Ai)
a)

Propiedades : 1. Si es el evento imposible P( ) = 0 2. P(A) + P (A) = 1 P (A) = 1 - P(A) 3. Si A B P ( A ) P (B) 4. Si A y B son 2 eventos cualesquiera P (AUB) = P (A) + P(B) P (A B)
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5. Si A, B y C son 3 eventos cualesquiera P (A U B U C) = P (A) + P (B) + P (C) - P(AB) P(AC) P (BC) + P (ABC) Ejms. 1. La probabilidad de recibir a lo ms 5 llamadas telefnicas en un da X, es 0.20; y la de recibir por lo menos 9 llamadas es 0.50 Cul es la probabilidad de recibir 6, 7 u 8 llamadas en aquel da? SOL: Sean los eventos: A: Recibir a lo ms 5 llamadas A = { 0, 1, 2, ... 5 } y P (A) = 0.20 B: Recibir por lo menos 9 llamadas B = { 9, 10, 11, ... } y P (B) = 0.50 C: Recibir 6, 7 u 8 llamadas C = { 6, 7, 8 } y P (C) = ? = A U B U C = { 0, 1, 2, ...., 9, 10....} P ( ) = 1 = P (A) + P (B) + P (C) ; P (C)= 0.30 Ejm. 2.En una empresa de ventas se sabe que la probabilidad de que el vendedor A, venda una refrigeradora es 0.30, y la que venda un televisor es 0.40, la que venda una refrigeradora o un televisor, es 0.50; Cul es la probabilidad que venda una refrigeradora y un televisor? SOLUCION: Sean los eventos,
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A: B: C: D:

Vender una refrigeradora Vender un TV. AUB: Vender una refrigeradora o un TV. A B: Vender una refrigeradora y un TV.

Sabemos : P(AUB) = P(A) + P (B) P (AB)

0.50 = 0.30 + 0.40 P(AB) P(AB) = 0.20 Ejm. 3.Considere una baraja normal de 52 cartas, 3a) Al extraer una carta, Cul es la probabilidad de obtener un trbol o un nmero 10? 3b) Al extraer 5 cartas Cul es la probabilidad que aparezcan 3 diamantes y 2 trboles? SOLUCION:
a.

De 52 cartas se extrae una.

Sea los eventos A : Obtener trbol P (A) = 13 / 52 B : Obtener 10 P (B) = 4 / 52 AUB = C : Obtener trbol o un nmero 10 P (AUB) = P(A) + P (B) P (AB )
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= 13 / 52 + 4 / 52 1 / 52 = 16 / 52
TREBOL DIAMANTE CORAZON ESPADA

1 2 .

1 2 .

1 2 .

1 2 .

. . 10
11 12 13
b.

. . 10
11 12 13

. . 10
11 12 13

. . 10
11 12 13

De 52 cartas se extraen cinco

Es necesario determinar el nmero de grupos de tamao 5, que se pueden formar con las 52 cartas. combinaciones de 52 en 5 52C5 13C3 : N de formas de obtener 3 diamantes, de un total de 13 cartas. 13C2 : N de formas de obtener 2 trbol de un total de 13 trbol

TECNICAS DE CONTEO

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PERMUTACION: Arreglo de todos o parte de los elementos de un conjunto. Teniendo en cuenta el orden o posicin de cada elemento. (ORDENACIONES). Ejm. : Del conjunto A = { 2, 8, a }, las permutaciones de 3 elementos son : (2,8, a); (2, a, 8); ( 8, 2, a ); (8, a, 2); (a, 2, 8) y (a, 8, 2). Total 6 formas Frmulas de Clculo : 1.Dado un conjunto de n elementos, el nmero total de arreglos o permutaciones de r elementos est dado por : a. Sin repeticin : para r n n P r = n ! / (n r ) !

Si hacemos n = r n P n = n ! Ejm. Dado el conjunto B = { a, b, c, 3, 4} calcule el nmero de permutaciones tomadas de 3 en 3 y represntelas. SOL.: Se tiene que n = 5 y r = 3 nPr = 5 P3 = 5! / (53)! 5 P3 = 5x4x3x2! / 2! = 5x4x3 = 60 ordenamientos
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Cules son? : abc, ab3 , ab4, ac3, ac4, a34, . . . , 4ab, 4ac, 4a3, 4bc, 4b3, 4c3. Total, 60 elementos u ordenamientos b. Con repeticin : Si hacemos n = r nPr = nr nPn = nn

Ejm. Cuntos nmeros de 3 dgitos pueden formarse a partir de las cifras 1, 2, 3, 4 y 5; si se permite repetir cada cifra. Sol.: n=5 nPr * y r =3

= 5P3 = 53= 5x5x5 : = 125 posibles nmeros s.

Cada casillero tiene 5 alternativas.

CASOS ESPECIALES CASO 1. El nmero de permutaciones distintas de los n elementos de un conjunto, tal que n = n 1 + n2 + . . . + n k ( existen k estratos) est dado por : n P n 1, n 2, ... n k = n! / n 1! . n2 ! ... nk !

Ejm. El estante de una librera tiene capacidad para 10 libros de Matemticas de pasta verde; 8 de
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Fsica de pasta roja y 7 de Qumica de pasta azul. De cuntas maneras pueden colocarse los libros segn los colores? SOL.: Nos interesa slo colores n1 = 10 ; n2 = 8 ; n3 = 7 ; n = 25 25 ! / 10 ! . 8 ! . 7 ! 25 P 8, 10, 7 = = 21034, 600 ordenaciones. ( formas de colocar los libros) CASO 2. Permutacin Circular: El nmero de permutaciones de n objetos distintos alrededor de un crculo, est dado por :
c

Pn =

(n - 1) ! Es menos uno, porque hay que tomarlo como referencia para saber cul es el 1 y el ltimo.

COMBINACIONES:Es un grupo de r elementos, colocados sin importar el orden, tomado de un conjunto que tiene n elementos. (SUBCONJUNTOS) Se calcula mediante: nCr = n! / r! (nr)! = n P r / r!

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Ejm.1 Cuntos subconjuntos de 3 elementos se pueden formar con los elementos del conjunto B = { a, b, c, 3, 4 } . Represntelos. Sol.: n = 5 y r = 3 5 C 3 = 5 ! / 3 ! (5 - 3) ! = 5 x 4 x 3 ! / 3! 2 x 1 = 10 subconjuntos. Luego, abc, ab3, ab4, ac3, ac4, a34, bc3, bc4, b34, c34 Ejm.2. De un grupo de 5 hombres y 4 mujeres De cuntas maneras puede seleccionarse grupos de 5 personas tales que : a) Incluyan 3 hombres y 2 mujeres b) Un hombre en cada grupo c) Incluyan a lo ms 3 hombres Sol.: a. 1 : 3 hombres 2 : 2 mujeres Se pide = 1 Es decir, 5 C3 x 4 C 2 = [ 5 ! [4 ! = 10 x
c.

5C3 ; 4C2
2

/ 3! ( 5 -3 ) ! ] . / 2! ( 4 -2 ) ! ] 6 = 60 formas

Si el grupo incluye un hombre 4 mujeres lo complementan.

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Es decir, 5 C 1 y 4 C 4 grupos.

5 x 1 = 5 posibles

c. A lo ms 3 hombres , implica que son posibles los eventos: 1: Un hombre y 4 mujeres 2: Dos hombres y 3 mujeres 3: Tres hombres y 2mujerees Por tanto : = 1 2 3 1: 5C1 . 4C4 = 5 2: 5C2 . 4C3 = 10 x 4 = 40 3: 5C3 . 4C2 = 60 Entonces existen de ese tipo. 5 + 40 + 60 = 105 posibles grupos

Ejm. : Con 7 ingenieros y 4 arquitectos, se desean formar comits de 6 miembros. Calcule la probabilidad que el Comit incluya, a. exactamente 2 ingenieros b. no menos de dos arquitectos Sol.: Nmero de elementos del espacio muestral N ( ) = 11C6 = posibles comits Eventos de Inters: a. Evento A : Comit con 2 ing. 4 arq.
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 N (A) = 7

C2 . 4C4
...

P (A) = 7 C 2 . 4 C 4 / 11 C 6 =

b. Evento B : No menos de 2 arquitectos, implica 2, 3 4 ingenieros B1 : B2 : B3 : 2 arq y 4 ing 4 C 2 . 7 C 4 , 3 arq y 3 ing 4 C 3 . 7 C 3 , 4 arq y 2 ing 4 C 4 . 7 C 2 P (B1 B2 B3 ) (4C2.7C4 + 4C3.7 C 4 . 7 C 2 ) / 11 C 6 ...

P(B) = = =

C3 + 4

Ejm: Una caja contiene un lote de 100 bombillas, de las cuales 20 son defectuosas. Se sacan 3 bombillas de la caja; si las 5 son buenas se acepta el lote, en otro caso se lo rechaza. Cul es la probabilidad de no aceptar el lote ? Sol. N ( ) = 100 C 5

= 75 287 , 520

Eventos de inters: A : Aceptar el lote A : No aceptar el lote

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El nmero de elementos del evento A est dado por: N ( A ) = 80 C 5 P(A) = = = 80 C 5 / 100 C 5 24040,016 / 75287,520 0.3193

En consecuencia, P ( A ) = = = 1 - P(A) 1 - 0.3193 0.6807

PROBABILIDAD CONDICIONAL
DEFINICION: Sea un evento B, con P ( B ) > 0, la probabilidad condicional que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se denota por P (A / B) define como: P(A/B) = =
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P (A B) / P(B) P (AB) / P(B) ; P(B) > 0

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NOTA: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, P (A / B) = P(A) puesto que, A y B son disjuntos.
A A B

A B

Ejm: Dos carros usados A y B, tiene problemas para arrancar en las maanas fras. La probabilidad que ambos arranquen es 0.1 ; la probabilidad que arranque B y que A no arranque es 0.2 ; y la probab. de que ninguno arranque es 0.4. Halle la probabilidad que : a. El carro A arranque b. Arranque A, dado que arranc B c. Arranque B, dado que no arranc A Sol: Eventos de Inters: A : El carro A arranca
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A : B : B : Datos:

El carro A no arranca El carro B arranca El carro B no arranca

P ( A B) = 0.1; P (AB) = 0.2 y P (AB) = 0.4 a. Sabemos que = A A P ( ) = P ( A ) + P ( A ) y adems, A = (AB) (AB)
A

Mutuam. excluy.
B A B

A B

A B

P(A) = =

P(A B) + P(AB) 0.2 + 0.4

0.6 P
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Luego, la probabilidad que arranque A, es: ( A ) = 1 - P (A ) = 1 - 0.6

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= 0.4 b. Se pide calcular P (A / B) = P(AB) / P (B), pero P (B) = ? B = (A B ) U ( A B )

A A B
AA

B A B

P( B ) = = =

P ( A B ) + ( A B ) 0.1 + 0.2 0.3

Finalmente: P (A / B) = P ( A B ) / P ( B ) = 0.1 / 0.3 = 1/3

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c. P ( B / A )

= = =

P(A B) / P( A ) 0.2 / [ 1 - P (A) ] 0.2 / 0.6 = 1/3

REGLA DE LA MULTIPLICACION
DEFINICION: La probabilidad de la ocurrencia simultnea de los eventos A y B, denotada por P ( AB ) = P (A B), es igual a la probabilidad de ocurrencia de A multiplicada por la probabilidad de ocurrencia de B, dado que ha ocurrido A. Tambin llamada probabilidad conjunta P(A/B) = = P(B) P(A/B) P(A) P(B/A)

(*) Para 3 eventos A, B y C P ( A B C ) = P ( A ) P ( B / A ) P (C / AB) (**) Para k - eventos : A1, A2, A3, Ak
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...,

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P ( A1, A2, A3.. Ak ) =

P ( A1 ) P ( A2 / A1) P ( A3 / A1 A2) P (Ak / A1 A2Ak-1 )

Ejm.: Los conjuntos habitaciones A y B tienen 1,000 y 2,000 departamentos respectivamente. En cada uno la proporcin de dptos alquilados es 1/5 y 1/4 respectivamente. Al seleccionar un departamento al azar, de entre los 2 conj. habit., cul es la probabilidad que el departamento escogido pertenezca, a. al conjunto habitacional A y est alquilado? b. al conjunto habitacional B, est alquilado y no est en mal estado ? Sabiendo que el 70% de los departamentos alquilados estn en mal estado tanto en A como en B. SOL.: Sean los eventos, A : El Dpto. es del conj. habit. A B : El Dpto. es del conj. habit. B C : El Dpto. est alquilado D : El Dpto. no est en mal estado y es alquilado
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D C A P (A) = 1 / 3 C' 4/5 1/5 D'

3 / 10 7 / 10

P(B) = 2 / 3 C C' 1/4

D D' 3/4

3 / 10 7 / 10

a. P ( A C ) = P( A C ) = P(A) P (C/A) = ( 1000 / 3000 ) ( 1 / 5 ) = 1 / 15 b. P ( B C D ) = = P(B) P(C/B) P( D / B C ) ( 2000 / 3000 ) ( 1 / 4 ) ( 150 / 500 ) =

1/20 Alquilados en B 30% de 500, en buen estado REGLAS DE PROBABILIDAD

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Sean los eventos A y B definidos en a. Si son mutuamente excluyentes AB = P(AB) = P(A) + P(B) b. Si no son mutuamente excluyentes P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P (A B) De donde se deduce que: i. Si P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) A y B son INDEPENDIENTES

ii. Si P ( A B ) = P ( A ) P ( B / A ) = P ( B ) P (A/B) A y B son eventos DEPENDIENTES

PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES

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Dada una particin del espacio muestral , conformada por los eventos A1, A2.Ak ; donde P ( A i ) > 0 , i ; es decir, A i , entonces, La PROBABILIDAD TOTAL de un evento B, definido sobre la particin de un espacio muestral . Se denota y define por:
K

P(B)

= P ( Ai B )
K

i=1

P ( A i ) P ( B / A i)

A1B

A2B

A3B

AKB

A1

A1

A3

...

Ak

PROBABILIDAD DE BAYES : Es la probabilidad que ocurra un evento Ar de la

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particin, sabiendo que ha ocurrido el evento B, definido en el mismo espacio muestral de dicha particin. Se denota y define por: P ( Ar / B ) = P ( Ar B ) / P ( B ) = P(Ar) P(B/Ar) / P(B )

A 1 A2

...

Ar

...

AK

Ejm.1. La urna I contiene 3 fichas blancas y 5 negras, la urna II tiene 2 blancas y 3 negras y; la urna III contiene 1 ficha blanca y 9 negras. Se escoge aleatoriamente una urna y de ella se extrae una ficha, suponiendo que, a. Calcule la probabilidad que resulte negra. b. Sabiendo que fue blanca, cul es la probabilidad que provenga de la urna I? -------Sean los eventos: A1 : Urna I A2 : Urna II
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A3 : N : B :
5/8 1/3 A1 3/8 3/5 1/3 A2 2/5 9/10 1/3 A3 1/10 N' N' N N' N N

Urna III Ficha negra Ficha blanca

3 5 3 2 9 1

a. Probabilidad total P(N) = P ( A1 ) P ( N / A1 ) +

P ( A2 ) P ( N / A2 ) + P ( A3 ) P( N / A3 )

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= P(N)

(1/3) (5/8) + (1/3) (3/5) + (1 / 3 ) ( 9 / 10 ) = 17 / 24

b. Probabilidad de Bayes: La probabilidad que sea blanca es P(B) = 1 - P ( N ) = 1 - 17 / 24 = 7 / 24 P ( Ar = = = /B) = P ( A r B) / P ( B ) P ( Ar ) P ( B / Ar ) / P ( B ) ( 1 / 3 ) ( 3 / 8 ) / ( 7 / 24) 3/7

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