Apuntes de la asignatura

Matemáticas Aplicadas
a la Biología

Grado en Biología por la Universidad de Sevilla

Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
Universidad de Sevilla

Curso 2015/16
 Tema 3

Integración
Versión: 3 de noviembre de 2015

3.1 La integral indefinida

La integral indefinida ó cálculo de primitivas es, en cierto modo, un proceso “ inverso” al de calcular la derivada
de una función. Dada una función f (x) nos planteamos ¿es f la derivada de alguna función? Y, si lo es, ¿cómo
podemos calcularla?

Primitiva de una función

Sea f : (a, b) → R una función. Si F : (a, b) → R verifica que F 0 = f , se dice que F es una primitiva de f y
se escribe Z
f (x) dx = F (x)

Esta definición lleva implícito el hecho de que F es derivable en (a, b).

Ejemplo 3.1

1. Sea f (x) = 0, ∀x. Es obvio que F (x) = 1 es una primitiva de f , ya que F 0 (x) = 0 = f (x). Pero también
F (x) = 9 es una primitiva de f .
2. Sea f (x) = 2x. Es obvio que F (x) = x2 verifica F 0 (x) = 2x = f (x) y que, por lo tanto, F es una
primitiva de f . Pero también F (x) = x2 + 3 es una primitiva de f . De hecho, cualquier función de la
forma F (x) = x2 + C, con C ∈ R cualquiera, lo es.
3. Es obvio, asimismo, que F (x) = sen x es una primitiva de f (x) = cos x y que, también, cualquier función
de la forma F (x) = sen x + C, con C ∈ R cualquiera, lo es.

Diferencia de dos primitivas

Si F1 y F2 son dos primitivas de la misma función, f , entonces su diferencia es una función constante:

F1 − F2 = C

Dicho de otro modo, si F es una primitiva de f , cualquier otra primitiva es de la forma F (x) + C, siendo
C ∈ R una constante arbitraria: Z
f (x) dx = F (x) + C, C ∈ R

129
3. Integración 130

Ejemplo 3.2

1 4x
Z Z
2
1. 4x dx = 2x + C 3. e4x dx = e +C
4
1 √
Z Z
x x 4. √ dx = x + C
2. e dx = e + C
2 x

Ejemplo 3.3

1
Z
dx
x
1
La función tiene la primitiva obvia ln x, definida en (0, +∞).
x
1
Sin embargo, veremos que tiene otra primitiva definida en el mismo dominio en que está definida . Sea:
x

ln(−x) si x < 0
f (x) = ln |x| =
ln(x) si x > 0

Esta función es continua y derivable en (−∞, 0) ∪ (0, +∞), y su derivada viene dada por:

−1
 

 si x < 0 
 1 Z
1
f 0 (x) = −x = ∀x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞) ⇒ dx = ln |x| + C
1

  x
si x > 0  x
x

3.2 Integrales inmediatas

A partir de la tabla de derivadas de las funciones elementales, sin más que consultarla en sentido inverso,
podemos deducir cual es la primitiva de unas cuantas funciones sencillas, que se exponen en la tabla de inte-
grales inmediatas que se incluye más abajo. También figuran en la tabla las integrales, consideradas también
inmediatas, que se resuelven utilizando en sentido inverso la Regla de la Cadena.

Funciones compuestas Supongamos que F es una primitiva de f , es decir, que F 0 (x) = f (x).
Sea h(x) = F (g(x)). Se tiene, por la Regla de la Cadena,

h0 (x) = F 0 (g(x)) g 0 (x) = f (g(x)) g 0 (x)

luego Z Z Z
f (g(x)) g 0 (x) dx = F 0 (g(x)) g 0 (x) dx = h0 (x) dx = h(x) + C = F (g(x)) + C

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3. Integración 131

PROPIEDADES
Z Z Z Z Z
Si k ∈ R, k f (x) dx = k f (x) dx (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx

Z   Z
t =g(x)
Cambio de variable f (g(x)) g 0 (x) dx = = f (t) dt
dt=g 0 (x) dx
Z Z
Integración por partes u(x) v 0 (x) dx = u(x) v(x) − v(x) u0 (x) dx

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

Funciones elementales Funciones compuestas

1 1
Z Z
Si α 6= −1, xα dx = xα+1 + C Si α 6= −1, g(x)α g 0 (x) dx = g(x)α+1 + C
α+1 α+1

1 1 0
Z Z
dx = ln |x| + C g (x) dx = ln |g(x)| + C
x g(x)
Z Z
x x
e dx = e + C eg(x) g 0 (x) dx = eg(x) + C

1 x 1 g(x)
Z Z
x
a dx = a +C ag(x) g 0 (x) dx = a +C
ln a ln a
Z Z
sen x dx = − cos x + C sen(g(x)) g 0 (x) dx = − cos(g(x)) + C
Z Z
cos x dx = sen x + C cos(g(x)) g 0 (x) dx = sen(g(x)) + C

1 1
Z Z
dx = tg x + C g 0 (x) dx = tg(g(x)) + C
cos2 x cos2 (g(x))
1 1
Z Z
dx = − ctg x + C g 0 (x) dx = − ctg(g(x)) + C
sen2 x sen2 (g(x))
1 1
Z Z
dx = arc tg x + C g 0 (x) dx = arc tg(g(x)) + C
1 + x2 1 + g(x)2
1 1
Z Z
√ dx = arc sen x + C p g 0 (x) dx = arc sen(g(x)) + C
1 − x2 1 − g(x)2

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3. Integración 132

Ejemplo 3.4
Z
3x2 − x + 4 dx

Se trata de una suma de integrales inmediatas, ya que cada sumando es una potencia de x:
1
Z Z Z Z
3x2 − x + 4 dx = 3x2 dx − x dx + 4 dx = x3 − x2 + 4x + C


2

Ejemplo 3.5
√
x2 − x
Z
dx
x3

Desarrollando la fracción, se convierte en una suma de potencias de x:

Z 2 √ Z  2 √ 
x − x
Z  
x x 1 1
Z Z
−5/2
dx = − 3 dx = −x dx = dx − x−5/2 dx
x3 x3 x x x

1 −5 1 2 1
= ln |x| − −5 x 2 +1 + C = ln |x| − x−3/2 + C = ln |x| + √ + C
2 +1 −3/2 3 x3

Ejemplo 3.6
Z  
1 4
3e−2x + 2 + 2 √ dx
x x x

Z  
1 4
Z   Z Z Z
−2x
3e + 2 + 2√ dx = 3e−2x + x−2 + 4x−5/2 dx = 3 e−2x dx + x−2 dx + 4 x−5/2 dx
x x x

El segundo y tercer sumando son integrales de potencias de x. En la primera integral, multiplicando y dividiendo
por −2 se tiene la derivada de e−2x :
−2 −2x 3 3
Z Z Z
3 e−2x dx = 3 e dx = −2 e−2x dx = − e−2x
−2 −2 2
Luego se tiene
Z  
−2x 1 4 3 −2x 1 1 −5
3e + 2 + 2√ dx = − e + x−2+1 + 4 −5 x 2 +1 + C
x x x 2 (−2 + 1) 2 +1

3 −2 −3/2 3 1 8 1
= − e−2x − x−1 + 4 x + C = − e−2x − − √ + C
2 3 2 x 3 x3

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3. Integración 133

Ejemplo 3.7
Z
sen x cos x dx

Z
Se observa que cos x es la derivada de sen x y que se trata de una integral del tipo g(x)α g 0 (x) dx para α = 1
y g(x) = sen(x), para la cual se tiene

1
Z
g(x) g 0 (x) dx = g(x)2 + C
2
En consecuencia,
1
Z
sen x cos x dx = sen2 x + C
2

Ejemplo 3.8
Z p
x 1 + 5x2 dx

Se observa que la derivada del radicando 1 + 5x2 es 10x y que si en la integral multiplicamos y dividimos por
10 tenemos:
10 p 1
Z p Z Z p
2
x 1 + 5x dx = 2
x 1 + 5x dx = 10 x 1 + 5x2 dx
10 10
Es decir, para g(x) = 1 + 5x2 , tenemos:

1 1 1 1 2
Z
1
g(x)1/2 g 0 (x) dx = 1 g(x) 2 +1 + C = g(x)3/2 + C
10 10 2 +1 10 3

Luego, finalmente
1 2 1 p
Z p
x 1 + 5x2 dx = (1 + 5x2 )3/2 + C = (1 + 5x2 )3 + C
10 3 15

Ejemplo 3.9

1
Z
dx
x−1

Observando que la derivada de x − 1 es 1 se ve que tenemos una integral del tipo

1 0
Z
g (x) dx = ln |g(x)| + C
g(x)

luego
1
Z
dx = ln |x − 1| + C
x−1

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3. Integración 134

3.3 Cambio de variable

En muchas ocasiones, para calcular integrales suele ser útil utilizar la técnica del cambio de variable. Esta
técnica consiste en elegir como nueva variable una cierta función de la actual y sustituirla en la integral, buscando,
naturalmente, encontrar así una integral más fácil de calcular. Para ello, conviene conocer una notación diferente
para la derivada de una función:

Observación: notación de la derivada

Sea y = f (x). Todas las notaciones siguientes representan la derivada de f :

dy df df (x) d
y0 = = f 0 (x) = (x) = = f (x)
dx dx dx dx
dy
dy se lee «diferencial de y» y dx se lee «diferencial de x». se lee «derivada de y con respecto de x».
dx
df df (x) d
(x) = = f (x) se leen « derivada de f con respecto de x” y cobran pleno sentido cuando se trata
dx dx dx
con funciones que dependen de más de una variable, en cuyo caso es necesario especificar respecto de qué
variable se está derivando.

Cambio de variable
dt
Si llamamos t = g(x), con la notación = g 0 (x), y tratando dx y dt como si fueran cualesquiera variables,
0
dx
se puede escribir dt = g (x) dx.
Entonces se tiene, sustituyendo en la integral g(x) por t y g 0 (x)dx por dt:
Z Z
f (g(x)) g 0 (x) dx = f (t) dt
Z
Luego, si F es una primitiva de f , se tendrá f (t) dt = F (t) + C, y por lo tanto
Z Z
0
f (g(x)) g (x) dx = f (t) dt = F (t) + C = F (g(x)) + C

Ejemplo 3.10

3
Z
dx
2x + 1
1
Eligiendo t = 2x + 1 se tiene dt = 2 dx o lo que es lo mismo dt = dx, luego
2
3 1 1 1 3
Z Z Z p p
dx = 3 dx = 3 dt = ln |t| + C = ln |t|3/2 + C = ln |t|3 + C = ln |2x + 1|3 + C
2x + 1 2x + 1 t 2 2

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3. Integración 135

Ejemplo 3.11

1
Z
dx
(x − 2)2

Eligiendo t = x − 2 se tiene dt = dx, luego

1 1 1 −1
Z Z Z
dx = dt = t−2 dt = − t−1 + C = − +C = +C
(x − 2)2 t2 t x−2

Ejemplo 3.12

1
Z
dx
(x + 3)4

Eligiendo t = x + 3 se tiene dt = dx, luego

1 1 1 −3 −1 −1
Z Z Z
dx = dt = t−4 dt = t +C = 3 +C = +C
(x + 3)4 t4 −3 3t 3(x + 3)3

Ejemplo 3.13

1
Z
dx
(2x + 3)2
1
Eligiendo t = 2x + 3 se tiene dt = 2 dx, o bien dt = dx, luego
2

1 1 1 1 1 1 1 1 1
Z Z Z
dx = dt = dt = − +C = − +C
(2x + 3)2 t2 2 2 t2 2 t 2 2x + 3

Ejemplo 3.14

x
Z
dx
x2 + 1
1
Eligiendo t = x2 + 1 se tiene dt = 2x dx, de donde dt = x dx, luego
2
x 11 1 1 1 1 1
Z Z Z Z p
dx = dt = dt = dt = ln |t| + C = ln |t|1/2 + C = ln |t| + C
x2 + 1 t2 2 t 2 t 2
p p
= ln |x2 + 1| + C = ln x2 + 1 + C

La última igualdad se debe al hecho de que, puesto que x2 + 1 es siempre positivo, el valor absoluto en |x2 + 1|
es superfluo.

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3. Integración 136

Ejemplo 3.15

3x
Z
dx
5x2 + 3
1
Eligiendo t = 5x2 + 3 se tiene dt = 10x dx, o lo que es lo mismo, dt = x dx, luego
10

3x 1 1 1 3 1 3 3
Z Z Z Z
2
dx = 3 2
(x dx) = 3 dt = dt = ln |t| + C = ln(5x2 + 3) + C
5x + 3 5x + 3 t 10 10 t 10 10

Ejemplo 3.16

3
Z
dx
3x2 + 2
1
Este tipo de integrales se resuelven transformándolas en , que es la derivada de un arco tangente. Para
t2 + 1
ello, en primer lugar se dividen numerador y denominador por 2, para tener en el denominador «algo»+1:

3 3/2 3 1
Z Z Z
dx = dx = dx
3x2 + 2 3x2 + 2 2 3 2
x +1
2 2
r r r
3 2 2 3 3 2
y ahora se hace el cambio x = t , es decir, t = x, y por tanto dt = dx, de donde dx = dt.
2 2 2 3
Sustituyendo en la integral se tiene
r Z r Z r r r !
3 1 3 2 1 3 1 3 3 3
Z
dx = dt = dt = arc tg t + C = arc tg x +C
2 3 2 2 3 t2 + 1 2 t2 + 1 2 2 2
x +1
2

Cuál es el cambio conveniente para calcular una integral concreta suele ser una cuestión ardua para los que
se inician en integración. Con un poco de práctica se aprende a identificar un buen número de casos y a dar
con el cambio adecuado. En cualquier libro de cálculo se pueden encontrar «recetas» para distintos de tipos de
integrales.
Una regla sencilla que funciona en muchas ocasiones es: hacer el cambio que elimine «lo que más molesta». Los
siguientes ejemplos ilustran esta regla.

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