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    1 La primitiva, antiderivada o integral inde…nida

    De…nicion 1 Sea f : I ! R una función. Una función F : I ! R tal que


    F0 = f
    se llama Primitiva o Antiderivada o Integral Inde…nidad de f:
    Ejamplos 2 1. Una F para f (x) = K(constante) es F (x) = Kx; pues
    0
    F (x) = K = f (x) :
    2. Una F para f (x) = x es F (x) = 21 x2 ; pues
    F 0 (x) = x = f (x) ;
    1 2
    pero la función G (x) = 2
    x + C; C constante, también cumple la
    condición
    G0 (x) = x = f (x) :
    Observ. 3 Note que si F y G son dos primitivas de una función f , entonces
    G = F + C; donde C es una constante. En efecto, esto resulta de
    (G F )0 = G0 F0 = f f =0
    En consecuencias, G F = C:
    Tabla de Antiderivadas
    Función f Antiderivada F
    c(c cte.) cx + C
    1 2
    x 2
    x +C
    1 3
    x2 3
    x +C
    1
    xr (r 6= 1) r+1
    xr+1 + C
    1
    px + q 2
    px2 + qx + C
    sin x cos x + C
    cos x sin x + C
    Notation 4 Una forma de denotar esta antiderivada, primitiva o integral
    inde…nida F de f será Z
    f (x) dx
    esto es, Z
    F (x) = f (x) dx

    1
    Observ. 5 Para una función f : I ! R, la variable "x" usada en f (x)
    denota a cualquier número real del dominio I de f . Como es arbitrario el
    uso de la letra "x"; podemos utilizar otras letras. Así, por ejemplo,
    f (x) = f (t) = f (z) = f (u) =
    En consecuencias,
    Z Z Z Z
    f (x) dx = f (t) dt = f (z) dz = f (u) du =

    Observ. 6 Sabemos que F 0 = f: Luego, lo que realmente tenemos es los


    siguiente: Z
    0 d
    F (x) = f (t)dt = f (x):
    dx
    Por otro lado, notar que, al reemplazar f por F 0 en la integral inde…nida,
    tenemos Z Z Z
    0 d
    F (x) = f (x)dx = F (x) dx = F (x) dx
    dx
    En consecuencias, la derivación e integración son procesos inversos uno del
    otro.
    R
    Ejamplos 7 Evaluar f (x)dx donde,
    1. f (x) = sin x Z
    sin xdx = cos x + C:

    Pues
    d
    ( cos x + C) = sin x
    dx
    2. f (x) = 1 + 2x Z
    (1 + 2x) dx = x + 2x2 + C:

    3. f (x) = sec2 x: Notar que, en este caso


    d
    tan x = sec2 x;
    dx
    luego Z
    sec2 dx = tan x + C

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