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    Tarea 3

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    Este documento presenta una serie de problemas y teoremas relacionados con el cálculo integral y la medida de conjuntos. En la primera sección, se plantean cuatro problemas sobre el teorema fundamental del cálculo y el cambio de variable. La segunda sección contiene once problemas sobre contenido y medida cero de conjuntos, incluyendo demostraciones de propiedades como que una unión numerable de conjuntos de medida cero también lo es. Finalmente, se incluye una bibliografía.

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    Este documento presenta una serie de problemas y teoremas relacionados con el cálculo integral y la medida de conjuntos. En la primera sección, se plantean cuatro problemas sobre el teorema fundamental del cálculo y el cambio de variable. La segunda sección contiene once problemas sobre contenido y medida cero de conjuntos, incluyendo demostraciones de propiedades como que una unión numerable de conjuntos de medida cero también lo es. Finalmente, se incluye una bibliografía.

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    Este documento presenta una serie de problemas y teoremas relacionados con el cálculo integral y la medida de conjuntos. En la primera sección, se plantean cuatro problemas sobre el teorema fundamental del cálculo y el cambio de variable. La segunda sección contiene once problemas sobre contenido y medida cero de conjuntos, incluyendo demostraciones de propiedades como que una unión numerable de conjuntos de medida cero también lo es. Finalmente, se incluye una bibliografía.

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    de 6

    Tarea III

    Cálculo II

    Joel Garcı́a León, Zulma A. Morales Castillo


    Departamento de Matemáticas
    Facultad de Ciencias
    UNAM
    e-mail: joel1@ciencias.unam.mx
    zulmacastillo@ciencias.unam.mx

    29 de Abril de 2019
    I. Teorema fundamental del cálculo y cambio
    de variable
    1. Sea f : [0, 1] → R dada por
     1
    
     x sen x
    : x 6= 0
    f (x) =
    0 : x = 0.

    Naturalmente es una función continua en su dominio y por tanto in-


    tegrable, y esto es existe F : [0, 1] → R tal que F 0 = f . ¿Se puede
    encontrar con métodos conocidos dicha función?, ¿podemos calcular el
    valor de integral?.

    2. En el artı́culo de Ponce y Rivera [1], aparece el siguiente problema:


    Calcular la siguiente integral
    Z 2π
    dx
    .
    0 5 + 3 cos(x)

    Usando el Teorema de cambio de variable y tomando u = tan x2 se


    

    tiene que 
    1 1  x 
    F (x) = arctan tan ,
    2 2 2
    es una primitiva, esto es
    1
    F 0 (x) = .
    5 + 3 cos(x)

    Ahora, usando el Teorema Fundamental del Cálculo tenemos


    Z 2π   x 
    dx 1 1 2π
    5 + 3 cos(x)
    = arctan
    2 2
    tan
    2
    |0 = 0.
    0

    Notemos que el integrando es una función positiva y por tanto la in-


    tegral debe ser positiva. ¿Hay un error en el cálculo o es una mala
    aplicación del algún Teorema?.

    1
    3. Usando el TFC encuentren la integral
    Z h(x)
    f d x.
    g(x)

    Desde luego, g y h son derivables mientras que f es continua. Den una


    interpretación geométrica del problema. [Hint:
    Z h(x) Z 0 Z h(x)
    f dx = f dx + f d x]
    g(x) g(x) 0

    4. ¿Es correcta la siguiente solución?: Resolvamos la siguiente integral


    Z b
    sen(x) cos(x) d x.
    a

    Tenemos entonces que la primitiva es:


    1
    F (x) = − cos(2x).
    4
    También la primitiva es igual a
    1
    F (x) = sen2 (x).
    2
    Ası́ por el Teorema Fundamental del Cálculo tenemos
    1
    F (x) = − cos(2x) = sen2 (x).
    2

    II. Contenido y medida cero


    1. Demuestren que un conjunto de contenido cero es acotado.

    2. Demuestren que toda sucesión convergente es de contenido cero.

    3. Si un conjunto es de medida cero y acotado, ¿es este conjunto de con-


    tenido cero?.

    4. Demuestren que la unión numerable de conjuntos de contenido cero es


    de medida cero.

    2
    5. Demuestren que todo conjunto compacto y de medida cero es entonces
    de contenido cero.

    6. Sean m, n ∈ N y sea  
    1
    A = m+
    n
    Demuestren que es un conjunto de medida cero.

    7. Sean f, g : [a, b] → R funciones acotadas y supongamos que el con-


    junto
    {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g(x)}
    tiene medida cero.
    Demuestren que f es integrable si y solamente si g es integrable, además
    Z b Z b
    f dx = g d x.
    a a

    8. ¿El inverso del inciso anterior es válido?.

    9. Sea f : [a, b] → R una función acotada y consideremos su función


    salto ρf : [a, b] → R.
    Demuestren que ρf tiene las siguiente propiedades

    a) ρ(− f ) = ρf .
    b) ρ(f + g) ≤ ρf + ρg . ¿En que casos puede darse la desigualdad
    estricta?.

    Para resolver el inciso (a) observamos que la gráfica de − f se obtiene


    reflejando la gráfica de f respecto al eje X, como se muestra en la
    Figura 1 abajo, claramente el salto no tiene modificación alguna.

    10. Sabemos que para cualquier función continua se satisface

    ρf ◦ ρf = ρf ,

    donde el cı́rculo “◦”significa composición, lo mismo sucede para la fun-


    ción de Riemann. ¿Podemos afirmar que es una propiedad que se cum-
    ple para cualquier función?.

    3
    f(x)

    ρ (p)
    f(y) f

    p X
    y x

    -f(y) ρ (p)
    -f

    -f(x)

    Figura 1: Gráfica de f y − f y la función salto

    11. Demuestren que f : [a, b] → R es integrable si y solamente si

    a) ρf : [a, b] → R es integrable, y
    b)
    Z b
    ρf d x = 0.
    a

    4
    Bibliografı́a

    [1] Ponce Campuzano, J. C., Rivera Figueroa, A. Casos en que no es apli-


    Rb
    cable la Fórmula: a F 0 (x) d x = F (b) − F (a), Miscelánea Matemática
    número 48. SMM, 2009.

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