Ecuaciones Diferenciales – Apuntes de clase

Mag. Adriana Valverde Calderón

RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES

Sea dada la ecuación diferencial de segundo orden:

𝑑2𝑦 𝑑𝑦
2
+ 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥

Supongamos que los coeficientes 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) se expresan en forma de series de

potencias
∞ ∞
𝑛
𝑃(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑄(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛 𝑥 𝑛
𝑛=0 𝑛=0

de modo que la ecuación diferencial se puede escribir de la forma:

𝑑2𝑦 2
𝑑𝑦
2
+ (𝑎 0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 + ⋯ ) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ )𝑦 = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥

Buscamos la solución de esta ecuación en forma de serie de potencias:

∞

𝑦(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛
𝑛=0

Cuyas derivadas de primer y segundo orden son las que siguen:

∞

𝑦 (𝑥) = ∑ 𝑛 𝑐𝑛 𝑥 𝑛−1
′

𝑛=0
∞

𝑦′′(𝑥) = ∑ 𝑛 (𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥 𝑛−2

𝑛=0

expresando la ecuación diferencial en términos de serie de potencias se tiene:

∞ ∞ ∞ ∞ ∞
𝑛−2 𝑛 𝑛−1
∑ 𝑛 (𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥 + ∑ 𝑎𝑛 𝑥 ∑ 𝑛 𝑐𝑛 𝑥 + ∑ 𝑏𝑛 𝑥 ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 0
𝑛

𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0

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Multiplicando las series de potencias, asociando los términos semejantes e igualando a

cero los coeficientes en las distintas potencias de x del primer miembro, resultan las
ecuaciones:

⏟ . 1 𝑐2 + 𝑎0 𝑐1 + 𝑏0 𝑐0 ) 𝑥 0 = 0
(2
0

(3 .2 𝑐3 + 2𝑎0 𝑐2 + 𝑎1 𝑐1 + 𝑏0 𝑐1 + 𝑏1 𝑐0 ) 𝑥1 = 0
⏟
0

⏟ .3 𝑐4 + 3𝑎0 𝑐3 + 2𝑎1 𝑐2 + 𝑎2 𝑐1 + 𝑏0 𝑐2 + 𝑏1 𝑐1 + 𝑏2 𝑐0 ) 𝑥 2 = 0
(4
0

……………………………………..

Cada una de las ecuaciones contiene un coeficiente indeterminado más que la anterior.
Los coeficientes 𝑐0 y 𝑐1 se mantienen arbitrarios y desempeñan el papel de constantes
arbitrarias.
La primera de las ecuaciones proporciona 𝑐2 , la segunda 𝑐3 , la tercera 𝑐4 , etc. En
general la (𝑘 + 1)-ésima ecuación se puede determinar 𝑐𝑘+2 una vez conocidos 𝑐0 ; 𝑐1:
𝑐𝑘+1

En la práctica es conveniente proceder del modo siguiente: Por el esquema señalado se

buscan dos soluciones 𝑦1 (𝑥) e 𝑦2 (𝑥). Para 𝑦1 (𝑥) se toma 𝑐0 = 1 y 𝑐1 = 0 y para
𝑦2 (𝑥) se toma 𝑐0 = 0 y 𝑐1 = 1, lo cual es equivalente a las siguientes condiciones
iniciales:
𝑦1 (0) = 1 ; 𝑦1 ′(0) = 0

𝑦2 (0) = 0 ; 𝑦2 ′(0) = 1

Toda solución de la ecuación diferencial será combinación lineal de las soluciones

𝑦1 (𝑥) y 𝑦2 (𝑥).
Si las condiciones iniciales son de la forma 𝑦(0) = 𝐴 y 𝑦′(0) = 𝐵 ; entonces es
evidente que
𝑦(𝑥) = 𝐴 𝑦1 (𝑥) + 𝐵 𝑦2 (𝑥).
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Teorema:
Si las series:
∞ ∞
𝑛
𝑃(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑄(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛 𝑥 𝑛
𝑛=0 𝑛=0

Son convergentes para |𝑥| < 𝑅 , la serie de potencias construida del modo indicado
anteriormente también es convergente para estos mismos valores de x y es solución de
la ecuación.
En particular, si 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son polinomios en 𝑥, la serie será convergente para
cualquier valor de 𝑥.

Ejemplo:
Halle los seis primeros términos del desarrollo de la solución de la EDO:
𝑑2𝑦
− 𝑒𝑥𝑦 = 0
𝑑𝑥 2
Resolución
∞
𝑥
𝑥𝑛 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5
𝑒 =∑ = 1+𝑥+ + + + +⋯
𝑛! 2 3! 4! 5!
𝑛=0

Forma de la solución de la ecuación:

∞

𝑦(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4 + 𝑐5 𝑥 5 + ⋯
𝑛=0
∞

𝑦 ′ (𝑥) = ∑ 𝑛 𝑐𝑛 𝑥 𝑛−1 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 + 3𝑐3 𝑥 2 + 4𝑐4 𝑥 3 + 5𝑐5 𝑥 4 + 6𝑐6 𝑥 5 + ⋯

𝑛=1

∞
′′ (𝑥)
𝑦 = ∑ 𝑛 (𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥 𝑛−2 = 2𝑐2 + 6𝑐3 𝑥 + 12𝑐4 𝑥 2 + 20𝑐5 𝑥 3 + 30𝑐6 𝑥 4 + 42𝑐7 𝑥 5 + ⋯
𝑛=2

Sustituyendo las respectivas igualdades en la EDO

(2𝑐2 + 6𝑐3 𝑥 + 12𝑐4 𝑥 2 + 20𝑐5 𝑥 3 + 30𝑐6 𝑥 4 + 42𝑐7 𝑥 5 ) −

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𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5
(1 + 𝑥 + + + + +) (𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4 + 𝑐5 𝑥 5 + ⋯ ) = 0
2 3! 4! 5!

Multiplicando los dos factores del segundo término de la ecuación:

(𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4 + 𝑐5 𝑥 5 + ⋯ ) + (𝑐0 𝑥 + 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 3 + 𝑐3 𝑥 4 +
1 1
𝑐4 𝑥 5 + ⋯ ) + 2 (𝑐0 𝑥 2 + 𝑐1 𝑥 3 + 𝑐2 𝑥 4 + 𝑐3 𝑥 5 + ⋯ ) + 6 (𝑐0 𝑥 3 + 𝑐1 𝑥 4 + 𝑐2 𝑥 5 + ⋯ ) +
1 1
(𝑐0 𝑥 4 + 𝑐1 𝑥 5 + ⋯ ) + (𝑐0 𝑥 5 + ⋯ ) +
24 5!

Igualando a cero los coeficientes de la variable con el mismo exponente:

𝑐0
𝑥 0 → 2𝑐2 − 𝑐0 = 0 → 𝑐2 = 2

𝑐1 𝑐0
𝑥1 → 6𝑐3 − 𝑐1 − 𝑐0 = 0 → 𝑐3 = +
6 6

𝑐0 𝑐 𝑐
𝑥 2 → 12𝑐4 − 𝑐2 − 𝑐1 − =0 → 𝑐4 = 120 + 121
2

𝑐1 𝑐0 𝑐0 𝑐
𝑥 3 → 20𝑐5 − 𝑐3 − 𝑐2 − − =0 → 𝑐5 = + 301
2 6 24

𝑐2 𝑐1 𝑐 13𝑐0 5𝑐
𝑥 4 → 30𝑐6 − 𝑐4 − 𝑐3 − − − 240 = 0 → 𝑐6 = + 3601
2 6 720

𝑐3 𝑐2 𝑐 𝑐 𝑐0 29𝑐
𝑥 5 → 42𝑐7 − 𝑐5 − 𝑐4 − − − 241 − 5!0 = 0 → 𝑐7 = + 50401
2 6 140

Los seis primeros términos:

𝑐0 2 𝑐0 + 𝑐1 3 𝑐0 + 𝑐1 4 5𝑐0 + 4𝑐1 5
𝑦(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑥 +( )𝑥 + ( )𝑥 + ( )𝑥
2 6 12 120
13𝑐0 + 10𝑐1 6 36𝑐0 + 29𝑐1 7
+( )𝑥 + ( )𝑥 …
720 5040

𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 13𝑥 6 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 29𝑥 7
𝑦(𝑥) = 𝑐0 (1 + + + + + + ⋯ ) + 𝑐1 (𝑥 + + + + + + ⋯)
2 6 12 24 720 6 12 30 72 5040

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MODELO MATEMÁTICO DEL MOVIMIENTO DE UN PENDULO

En mecánica el movimiento de un péndulo se rige por la 𝜃 𝐿

ecuación diferencial:
𝑚
𝑚𝑔
2
𝑑 𝜃
𝑚𝐿 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑡 2

Para oscilaciones pequeñas, al reemplazar 𝑠𝑒𝑛𝜃 por 𝜃 se obtiene una ecuación

diferencial lineal cuyas soluciones representan el movimiento armónico simple.

Si no se realiza esta aproximación, se tiene una EDO no lineal.

Solución
Considerando la EDO
𝑑2 𝜃
𝑚𝐿 = −𝑚𝑔 𝜃
𝑑𝑡 2

Buscamos la solución 𝜃(𝑡) en la forma de una serie 𝜃(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + ⋯

𝜋
hasta el término de grado 4, tal que 𝜃(0) = y 𝜃′(0) = 0.
6

Considerar la representación general de la solución:

∞

𝜃(𝑡) = ∑ 𝑐𝑛 𝑡 𝑛
𝑛=0

Para que satisfaga la EDO se necesita:

∞ ∞
𝑑𝜃 𝑑2𝜃
= ∑ 𝑛 𝑐𝑛 𝑡 𝑛−1 𝑦 = ∑ 𝑛 (𝑛 − 1) 𝑐𝑛 𝑡 𝑛−2
𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
𝑛=1 𝑛=2

Sustituyendo en la EDO se tiene:

∞ ∞
𝑛−2
𝑚𝐿 ∑ 𝑛 (𝑛 − 1) 𝑐𝑛 𝑡 = −𝑚𝑔 ∑ 𝑐𝑛 𝑡 𝑛
𝑛=2 𝑛=0

𝐿 (2𝑐2 + 6𝑐3 𝑡 + 12𝑐4 𝑡 2 + 20𝑐5 𝑡 3 + 30 𝑐6 𝑡 4 + ⋯ ) = −𝑔 (𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + ⋯ )

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Igualando coeficientes de las potencias del mismo grado:

2𝐿 𝑐2 = −𝑔𝑐0 ; 6𝐿 𝑐3 = −𝑔𝑐1 ; 12𝐿𝑐4 = −𝑔𝑐2 ; 20𝐿𝑐5 = −𝑔𝑐3 ; 30𝐿𝑐6 = −𝑔𝑐4 …

Se obtiene los coeficientes:

−𝑔𝑐0 −𝑔𝑐1 −𝑔𝑐2 −𝑔𝑐3
𝑐2 = ; 𝑐3 = ; 𝑐4 = ; 𝑐5 = …
2𝐿 6𝐿 12𝐿 120𝐿
Solución general de la EDO:
𝑔𝑐0 2 −𝑔𝑐1 3 𝑔2 𝑐0 4 −𝑔2 𝑐1 5
𝜃(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + (− )𝑡 + ( )𝑡 + ( ) 𝑡 + ( )𝑡 + ⋯
2𝐿 6𝐿 24𝐿2 120𝐿2

𝜋
Usando las condiciones iniciales 𝜃(0) = y 𝜃′(0) = 0 se determinan 𝑐0 𝑦 𝑐1 :
6
𝜋
𝜃(0) = = 𝑐0 𝑦 𝜃′(0) = 0 = 𝑐1
6
Solución particular hasta el término de grado 4:
𝜋 𝑔𝜋 2 𝑔2 𝜋 4
𝜃(𝑡) = − 𝑡 + 𝑡 +⋯
6 12𝐿 144𝐿2