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Formulario Ecuaciones Diferenciales
Formulario Ecuaciones Diferenciales
Formulario Ecuaciones Diferenciales
Si una ecuación contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto a dos o mas variables
independientes se tiene una ecuación diferencial parcial (EDP).
Orden
Esta dada por el orden de la mayor derivada.
𝑑𝑦
+ 5𝑦 = 𝑒 𝑥 → 1𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑑𝑥
𝑑2𝑦 𝑑𝑦 3
+ ( ) − 5𝑦 = 𝑒 𝑥 → 2𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
Linealidad
Propiedades características son:
Método de solución
1- Ponga la ecuación lineal en su forma estándar.
2- Identifique P(x) en la ecuación lineal en forma estándar y determine el factor
integrante 𝜇(𝑥)
𝜇 (𝑥 ) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
3- Multiplique la ED en la forma estándar por 𝜇(𝑥 ). Automáticamente el lado
izquierdo es la derivada del producto del factor integrante por la variable
dependiente.
𝑑
(𝜇 (𝑥 )𝑦 ) = 𝜇 (𝑥 )𝑓 ( 𝑥 )
𝑑𝑥
4- Integrar ambos lados de esta última ecuación.
Ecuaciones exactas
𝜕𝑀 𝜕𝑁
=
𝜕𝑦 𝜕𝑥
Métodos numéricos
1. Verificar que es una E.D. exacta.
2. Si se tiene una E.D. exacta, existe una función que:
𝜕𝑓
= 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
3. Se determina 𝑓 integrando 𝑚(𝑥, 𝑦) con respecto a “𝑥”, mientras “𝑦” se conserva
constante.
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)
Donde 𝑔(𝑦) es la constante de integración.
4. Se deriva 𝑓 con respecto a “𝑦”, suponiendo que
𝜕𝑓
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓 𝜕
= (𝑓 (𝑥, 𝑦)) = 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦 𝜕𝑦
5. Se obtiene 𝑔´(𝑦) y se integra respecto a 𝑦, sustituyendo en la solución es
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐
Factor integrante para convertir una ecuación en exactas.
𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦) = 0
𝑀𝑦−𝑁𝑥
Si es una función solo de x
𝑁
𝑀𝑦−𝑁𝑥
𝑑𝑥
𝜇 (𝑥 ) = 𝑒 ∫ 𝑁
𝑁𝑥−𝑀𝑦
Si es una función solo de y
𝑀
𝑁𝑥−𝑀𝑦
𝑑𝑦
𝜇 (𝑥 ) = 𝑒 ∫ 𝑀
Ecuaciones homogéneas
𝑦 = 𝑢𝑥 𝑥 = 𝑣𝑦
𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣
Desarrollar los diferenciales, sustituir en la E.D; obtener una ecuación de variables
separables y resolverla.
Ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial:
𝑑𝑦
+ 𝑃 (𝑥 )𝑦 = 𝑓 (𝑥 )𝑦 𝑛
𝑑𝑥
Donde 𝑛 es cualquier número real se conoce como ecuación de Bernoulli.
Para 𝑛 = 0 y 𝑛 = 1 se tiene una ecuación lineal.
Método de solución
𝑑𝑦
Realiza una sustitución 𝑢 = 𝑦 1−𝑛 , encontrar la 𝑑𝑥 respecto a “𝑥” mediante la regla de la
cadena, pasar a forma estándar y resolver la ecuación lineal. Regresar a las variables “𝑥” y
“𝑦”.
𝑑𝑦
+ 𝑃 (𝑥 )𝑦 = 𝑓 (𝑥 )𝑦 𝑛
𝑑𝑥
1
𝑢 = 𝑦 1−𝑛 ∴ 𝑦 = 𝑢1−𝑛
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑 1 𝑑𝑢
= ∗ = (𝑢1−𝑛 ) ( )
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
Sustituir
𝑑 1 𝑑𝑢
(𝑢1−𝑛 ) + 𝑃 (𝑥 )𝑦 = 𝑓 (𝑥 )𝑦 𝑛
𝑑𝑢 𝑑𝑥
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Problemas con valores iniciales y problemas con valores en la frontera.
Ecuación diferencial de 2do orden.
Problemas con valores iniciales (P.V.I)
𝑑2𝑦 𝑑𝑦
𝑎2 (𝑥 ) + 𝑎1 ( 𝑥 ) + 𝑎0 (𝑥 )𝑦 = 𝑔(𝑥 );
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦´(𝑥0 ) = 𝑦1
Problemas con valores en la frontera (P.V.F)
𝑑2𝑦 𝑑𝑦
𝑎2 (𝑥 ) 2
+ 𝑎1 (𝑥 ) + 𝑎0 (𝑥 )𝑦 = 𝑔(𝑥 )
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Sujeto a:
𝑦(𝑎) = 𝑦1 , 𝑦(𝑏) = 𝑦2
𝑦(𝑎) = 𝑦1 , 𝑦´(𝑏) = 𝑦2
𝑦´(𝑎) = 𝑦1 , 𝑦(𝑏) = 𝑦2
𝑦´(𝑎) = 𝑦1 , 𝑦´(𝑏) = 𝑦2
Ecuaciones homogéneas
una ecuación homogénea de grado n tiene la forma:
𝑑2𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑛 (𝑥 ) + 𝑎𝑛−1 ( 𝑥 ) + ⋯ + 𝑎1 ( 𝑥 ) + 𝑎0 (𝑥 )𝑦 = 0
𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥
Mientras que si tiene la forma:
𝑑2𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑛 (𝑥 ) + 𝑎𝑛−1 ( 𝑥 ) + ⋯ + 𝑎1 ( 𝑥 ) + 𝑎0 (𝑥 )𝑦 = 𝑔(𝑥 )
𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥
No es homogénea
Principio de superposición
Sea 𝑦1 , 𝑦2 … 𝑦𝑛 soluciones de una ecuación diferencial homogénea, entonces la
combinación lineal:
𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛
También es una solución de la ecuación diferencial.
Dependencia e independencia lineal
Se dice que un conjunto de funciones es linealmente dependiente si existen constantes
𝑐1, 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 no todas igual a cero tal que
𝑐1 𝑓1(𝑥 ) + 𝑐2𝑓2 (𝑥 ) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥 ) = 0
𝑓1 𝑓2 𝑓3
𝑤 = [ 𝑓1′ 𝑓2′ 𝑓3′ ] 𝑠𝑖 𝑤 ≠ 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑚𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑓1′′ 𝑓2′′ 𝑓3′′
Ejemplo
𝑓1 = 𝑒 𝑥 , 𝑓2 = 𝑒 2𝑥 , 𝑓3 = 𝑒 3𝑥
𝑒𝑥 𝑒 2𝑥 𝑒 3𝑥
𝑤 = [𝑒 𝑥 2𝑒 2𝑥 3𝑒 3𝑥 ] = 2𝑒 6𝑥 ∴ 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑒𝑥 4𝑒 2𝑥 9𝑒 3𝑥
Conjunto fundamental de soluciones
𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛
Ejemplo
𝑦1 = 𝑒 3𝑥 𝑦2 = 𝑒 −3𝑥
3𝑥
𝑤 = [ 𝑒 3𝑥 𝑒 −3𝑥 ] = −6 ∴ 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑠: 𝑦 = 𝑐 𝑒 3𝑥 + 𝑐 𝑒 −3𝑥
1 2
3𝑒 −3𝑒 −3𝑥
Reducción de orden
𝑎2 (𝑥)𝑦 ′′ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0
A partir de un 𝑦1 se propone una solución 𝑦2 = 𝑢𝑦1
Ejemplo
𝑦 ′′ − 𝑦 = 0; 𝑦1 = 𝑒 𝑥 Ya que tenemos la forma estándar
resolvemos
𝑦2 = 𝑢𝑒 𝑥
𝑃 (𝑥 ) = 2
𝑦2′ = 𝑢𝑒 𝑥 + 𝑢′𝑒 𝑥
′′ 𝑥 ′ 𝑥 ′ 𝑥 ′′ 𝑥
𝜇 (𝑥 ) = 𝑒 ∫ 2𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥
𝑦 = 𝑢𝑒 + 𝑢 𝑒 + 𝑢 𝑒 + 𝑢 𝑒
𝑑 2𝑥
Se sustituye en la ecuación inicial ∫ 𝑒 𝑤 = ∫ 0𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 → (𝑢′′𝑒 𝑥 + 2𝑢′ 𝑒 𝑥 + 𝑢𝑒 𝑥 ) − 𝑢𝑒 𝑥 𝑐
𝑤= → 𝑤 = 𝑢′
𝑒 𝑥 (𝑢′′ + 2𝑢′ ) = 0 𝑒 2𝑥
𝑐
Sustituimos 𝑢′ por 𝑤 ∫ 𝑢′ = ∫ = 𝑒 −2𝑥
𝑒 2𝑥
𝑤 ′ + 2𝑤 = 0 𝑦2 = 𝑢𝑦1 = (𝑒 −2𝑥 )(𝑒 𝑥 ) = 𝑒 −𝑥
Fórmula para obtener 𝑦2
𝑒 − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑦1 ∫ 𝑑𝑥
(𝑦1 )2
Ejemplo
𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0; 𝑦1 = 𝑒 2𝑥
𝑒 − ∫ −𝑑𝑥 𝑒𝑥
𝑦2 = 𝑒 2𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥
∫ 𝑑𝑥 = (𝑒 2𝑥 )(𝑒 −3𝑥 ) = 𝑒 −𝑥
(𝑒 2𝑥 )2 𝑒 4𝑥
𝑚1 ≠ 𝑚2 𝑚1 = 𝑚2 𝑚1 = 𝑚2 = 𝛼 + 𝛽𝑖
Ejemplo
𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 = 3𝑥 2 − 5𝑥 + 6
𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 = 0 → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑚2 + 4𝑚 − 2 = 0 → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟
𝑚1 = −2 + √6 𝑚2 = −2 − √6
Ecuación de Cauchy-Euler
Partimos de una ED de 2do orden homogénea
𝑑2𝑦
2
𝑑𝑦
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 = 0
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0
𝑚1 ≠ 𝑚2 𝑚1 = 𝑚2 𝑚1 = 𝑚2 = 𝛼 + 𝛽𝑖