TRILCE

Matemáticas
Tema

2 FRACCIONES

El cálculo con fracciones sencillas para efectos fiscales debía ser frecuente. De igual manera, aparecían en el momento de
describir las donaciones que debían efectuarse en los templos y su posible reparto con la particularidad de que encerraban
la realización de algunas operaciones aritméticas. Un ejemplo de esto se encuentra en la estela Cairo JE 66285 en la que el
faraón Sheshonk I (945-924) detalla las donaciones efectuadas para el culto funerario de su padre Nemrod.
Algunas de las actividades frecuentes consistían en la erección de monumentos, construcción de templos, canales de riego,
expediciones comerciales. Todo ello implicaba el alistamiento de campesinos en distintos puntos de Egipto, su traslado,
alojamiento y manutención, labores que corrían a cargo de los escribas.
Para calcular el volumen de piedra necesario para determinada tarea, se multiplican las dimensiones, longitud, anchura y
grosor y, finalmente, por el número de unidades para llegar al volumen final de piedra. Sin embargo, cuando las medidas
se realizaban en fracciones de codo, tal como sucede en las líneas restantes, ello obligaba a la multiplicación de enteros por
fracciones y de fracciones entre sí.

INTRODUCCIÓN
a * *
Q   / a  Z  b  Z  ; Z  Z  {0}
Ya hemos visto en división exacta para números enteros, la b 
condición necesaria para que el dividendo sea múltiplo del
divisor. Pero en el caso de existir divisiones como: 4 7 12 0 16
Ejemplos: ; ; , ; ; .....
(11)  (5) , los matemáticos trataron de solucionarlas crean- 3  3 6 4 10
do una nueva clase de números, llamados números
fraccionarios. Ejercicio: Demuestre que 3 no es racional.
Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utili-
zación de las fracciones decimales (denominador potencia
de 10) cuyo defensor fue Francois Viete (1540-1603), aun- NÚMERO FRACCIONARIO
que fue Simón Stevin quien en 1585 explicó con todo deta- Es aquel número racional que no es entero.
lle y de manera muy elemental la utilización de las fraccio-
nes decimales. Ejemplos:
En 1616, en una obra del escocés John Napier, los núme- 2 3 1 23
ros decimales aparecen tal como lo escribimos hoy, con ; ; ; ; ......
5 4 7 2
punto decimal para separar la parte entera de la decimal,
aunque en algunos países la coma se sustituye por el punto.
FRACCIÓN
NÚMERO RACIONAL
Una fracción es un número fraccionario de términos positi-
a
Es aquel número que puede expresarse como: donde vos.
b
*
aZ  bZ . Ejemplos:
El conjunto de los números racionales se denota con la
2 7 4
letra Q. ; ; ; ......
5 9 8

1
171
Prof. Tasilla Culqui Jeremias Jerson
Matemáticas
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES III. Por grupos de fracciones:
A
Sea la fracción f  (B  0)
a) Homogéneas: Cuando todas las fracciones de un
B
grupo tienen el mismo denominador.

Recuerde A y B  Z
Ejemplo:
I. Por la comparación de sus términos: 5 9 11
Las fracciones ; ; son homogéneas
A 7 7 7
a) Propia: es propia  A < B
B
b) Heterogéneas: Cuando todas las fracciones de un
Su valor es menor que la unidad
Ejemplos: grupo no tienen el mismo denominador.

3 7 1
; ; Ejemplos:
5 1000 2597
5 7 5
; ;
8 4 6
A
b) Impropia: es impropia  A > B IV. Por los divisores comunes de sus términos:
B
Su valor es mayor que la unidad.
Ejemplos: A
a) Reductibles: es reductible  A y B no son
B
5 8 125 PESI.
; ;
2 3 7
Ejemplos:
Observación: 20 15 80
A ; ;
12 75 30
Una fracción impropia puede convertirse a número
B
mixto efectuando la división entera: A
b) Irreductible: es irreductible  A y B son PESI.
A B B
 La número mixto es : q r
r q B
Ejemplos:
7 6 12
Ejemplo: ; ;
5 11 25
15 es 2 1
7 7 FRACCIONES EQUIVALENTES
Porque : 15 7
1 2 Son aquellas fracciones que tienen el mismo valor; por ejem-
r plo:
Toda número mixto q se puede expresar como :
B
q r
B

q r  q r
B B 1 2
< >
2 4

II. Por su denominador:

Simplificación de una fracción
a) Decimal: Cuando el denominador es una potencia
de 10. A
Sea f  ¡Simplificar!
B
Ejemplos: Bueno, primero calculemos al M.C.D. de A y B entonces:
A
1 3 8
; ; M.C.D.( A, B) b
100 10 1000 f   PESI
I B q
b) Ordinaria: Cuando el denominador no es una
M.C.D.( A, B)
potencia de 10.

Ejemplos:
3 4 5
; ;
7 6 2

2
171
Prof. Tasilla Culqui Jeremias Jerson
Matemáticas
Ampliación de una fracción
M.C.D. y M.C.M. para fracciones
p
Sea f  irreductible, la fracción equivalente se obtiene:
q a c e
Sean , , fracciones irreductibles.
pK 
b d f
fe  con K  Z
qK M.C.D.(a , c , e)
I. M.C.D. 
M.C.M.(b , d , f)
Ejercicio: Obtener las fracciones equivalentes a 559 ,
731 II. M.C.M.(a , c , e)
M.C.M. 
M.C.D.(b , d , f)
cuyos términos son menores que 1000.

PROPIEDADES 27 12
Ejemplo : Encuentre el M.C.D. y el M.C.M. de , ,
35 25
1. Si a ambos términos de una fracción propia se le agrega
una misma cantidad positiva, la fracción resultante es 18
mayor que la original. 50

2. Si a ambos términos de una fracción impropia se le agrega

NÚMEROS DECIMALES
una misma cantidad positiva, la fracción resultante es
menor que la original.
Números decimales es la expresión en forma lineal de una
3. Sea f  a y f  c entonces: fracción, que se obtiene dividiendo el numerador entre el
1 b 2 d
denominador de una fracción irreductible.
i) f1  f2  a  d  b  c Así, tenemos:

ii) f1  f2  a  d  b  c
4  0,8 2  0,666....
* *
 a, b, c y d  Z  5 3
7  1,1666....
*
6
4. Si la suma de dos fracciones irreductibles resulta un
número entero, entonces sus denominadores son CLASES DE NÚMEROS DECIMALES
iguales.
Los números decimales se clasifican en 2 grandes grupos:
¡Demuestre cada una de las propiedades! números decimales limitados o exactos, e ilimitados o inexac-
tos.
Dec. Exacto
FRACCIONES CONTINUAS
Número
Decimal Periódico Puro
Una expresión de la forma: Dec. Inexacto
b Periódico Mixto
a se denomina fracción continua.
c d
e  ..... a) Decimal Exacto
Si el número tiene una cantidad limitada de cifras
FRACCIÓN CONTINUA SIMPLE: Es aquella fracción decimales.
continua de la forma:
1 Ejemplos:
a1 
a  1 1) 0,28 2) 1,375 3) 0,225
2 a  ......
3
La cual representaremos como: Origen: Una fracción irreductible dará origen a un
a ; a ; a ; .... decimal exacto cuando el denominador esté conformado
1 2 3
por sólo factores 2, factores 5 o ambos.
Ejemplo:
Obs.: El número de cifras decimales de un decimal
2 1 se representa [2 ; 3 ; 4 ; 5]. exacto estará dado por el mayor exponente de 2 ó 5 que
3 1
tenga el denomina-dor de la fracción irreductible.
41
5

3
171
Prof. Tasilla Culqui Jeremias Jerson
Matemáticas
Ejemplos:
 Al denominado r lo contiene "99"
De las fracciones anteriores notamos que son fracciones 
10  0,90 (dos nueves), entonces el periodo
irreductibles y además generan: 11  tiene dos cifras.


7  7  0,28 (2 cifras decimales)

* Descomposición Canónica de los números de
25 5 2
cifras 9
11  11  1,375 (3 cifras decimales) Para un fácil manejo del cálculo del número de cifras de
* 3
8 2 un decimal periódico puro, es recomendable recordar la
9  9  0,255 (3 cifras decimales) siguiente tabla:
*
40 5  23
2
9  3
2
Conversión de decimal exacto a fracción: 9 9  3  11
3
9 9 9  3  37  27  37
Fracción Generatriz 9 9 9 9  3 2  11  101
La fracción generatriz de un decimal exacto será igual al 2
9 9 9 9 9  3  41  271
número formado por las cifras decimales, dividida entre 2
9 9 9 9 9 9  3  7  11  13  37
la unidad, seguida de tantos ceros como cifras decimales
tenga el número decimal.
Conversión de D.I. Periódico Puro a fracción:
Ejemplo:
Fracción Generatriz
abcd La fracción generatriz de un D.I. Periódico Puro está dado
0, abcd 
10000 por el número formado por las cifras del periodo,
dividido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.
Sea: 0, abc entonces :
b) Decimal Inexacto
Son números decimales inexactos aquellos que tienen abc
una cantidad de cifras decimales ilimitada. 0, abc =
999

b.1 D. I. Periódico Puro: Se dice que es Periódico

b.2. D. I. Periodo Mixto: Una expresión decimal es
Puro cuando la parte decimal consta de una cifra o
periódica mixta cuando después de la coma deci-
un grupo de cifras que se repetirá indefinidamente (a mal el periodo se inicia después de una cifra o gru-
estas cifras que se repiten se les denomina periodo) pos de cifras. Al grupo inicial anterior al periodo se
y se las indica con un arco encima. le llama parte no periódica.
Origen: Una fracción irreductible originará un decimal
Periódico Puro cuando el denominador sea diferente de Ejemplos:
un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5.
* 0,8333... = 0,83
Ejemplos
* 1,59090... = 1,590
2  0,666...  0,6
* Origen: Una fracción irreductible dará origen a un
3
decimal inexacto periódico mixto cuando al
10  0,9090...  0,90
* descomponer el denominador en sus factores primos se
11
encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro
35  1,296296...  1,296
* factor necesariamente diferente:
27

El número de cifras del periodo está dado por la cantidad Ejemplos:

de cifras del menor número formado por cifras 9 que
contengan exactamente al denominador de la fracción 7 7
* 44  2  0,590590....  0,1590
generatriz. 2  11
95 95  0,64189189...  0,64189
Ejemplos: * 148  2
2  37
 Al denominado r lo contiene "9"
2  0,6 (un nueve, entonces tiene una
3  cifra en el periodo ).


4
171
Prof. Tasilla Culqui Jeremias Jerson
Matemáticas
La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto Conversión de un D.I. Periódico Mixto a fracción:
periódico mixto está dado por la regla para el número de
cifras decimales de un decimal exacto, y el número de Fracción Generatriz
cifras del periodo está dado por la regla del número de La fracción generatriz de un D.I.P. Mixto estará dado por
cifras de un D.I. Periódico Puro. el número formado por la parte no periódica, seguida de
la parte periódica, menos la parte no periódica, todo
Ejemplos: entre el número formado por tantos nueves como cifras
tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras
95  95 tengan la parte no periódica.
 0,64189
148 22  37
Ejemplo:
El denominador, el exponente del factor 2 que es "2"
genera 2 cifras no periódicas y el factor 37 está contenido 0,29545454...
por 999 (tres "9") por lo que genera 3 cifras periódicas.
0,2954  2954  29  2925  13
9900 9900 44
Dos nueves
Dos ceros

5
171
Prof. Tasilla Culqui Jeremias Jerson