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    de 3

    Trabajo práctico 10: Cambio de base – Diagonalización

    Elementos de Álgebra y de Geometrı́a


    Versión 2.2.1, Prof. S. Ferraro

    1. Sean B = {(−1, 1, 0), (1, 2, 3), (−1, −2, −4)} y B 0 = {(1, −1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 4)}.

    a) Verificar que ambas son bases de R3 .


    b) Hallar [B]C , [C]B , [B 0 ]C , [C]B 0 , [B]B 0 y [B 0 ]B .
    c) Si v = (1, −1, 1), escribir [v]B y [v]B 0 . Observación: se puede hacer sin realizar ningún
    cálculo adicional.

    2. Sean B = {b1 , b2 , b3 } y B 0 = {b01 , b02 , b03 } bases ordenadas de R3 tales que b1 = 2b01 ,
    b2 = b01 + b02 − b03 y b3 = −b02 .

    a) Encontrar [B]B 0 y [B 0 ]B .
     
    −2
    b) Sabiendo que [v]B 0 =  0 , hallar [v]B .
    3
     
    1 1 1
    3. Sabiendo que  1 −1 2  es la matriz de cambio de base que permite pasar de la
    0 0 3
    base B = {(1, −1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, −1)} a una base B 0 , encontrar B 0 . (Ayuda: ¿cuál es la
    matriz de cambio de base que podrı́amos escribir fácilmente si ya conociéramos B 0 ? Si la
    logramos calcular como producto de otras matrices de cambio de base, podremos leer de
    allı́ B 0 .)
    √ √ √ √
    4. Sean A = {(1, 3), (2, −1)} y B = {(−1/ 10, 3/ 10), (3/ 10, 1/ 10)} bases ordenadas
    de R2 . Llamemos (x, y) a las coordenadas de puntos en el sistema de coordenadas asociado
    a la base canónica; (x0 , y 0 ) a las coordenadas en la base A; (x00 , y 00 ) a las coordenadas en
    la base B (en los tres casos el origen de coordenadas es el mismo punto). Consideremos:

    a) La recta L1 : 2x + y − 5 = 0.
     0
    x = 2 + 3λ
    b) La recta L2 : , λ ∈ R.
    y 0 = −1 − λ
    c) El eje x.
    d ) El eje y 00 (es decir, el asociado al segundo vector de la base B).
    e) El punto P cuyas coordenadas (x, y) son (−3, 1).

    1
    f ) El punto Q cuyas coordenadas (x00 , y 00 ) son (5, −2).
    Escribir estas rectas y puntos en las tres bases A, B y C (base canónica).
    5. Sean A = {(2, 0, 1), (0, −1, 1), (1, 1, 0)} y B = {(1, −1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, −1)} bases or-
    denadas de R3 . Llamemos (x0 , y 0 , z 0 ) a las coordenadas en la base A y (x00 , y 00 , z 00 ) a las
    coordenadas en la base B (como antes, el origen es el mismo punto). Sea
     00
     x =1+λ
    L: y 00 = 1 , λ ∈ R.
     00
    z = 2λ
    Escribir la ecuación de L en la base A.
    6. Con las mismas bases y notación del ejercicio anterior, sea π : − 3x − y + 2z + 4 = 0 un
    plano escrito en la base canónica.
    a) Escribir la ecuación de π en la base A. (Ayuda: en la respuesta aparecen tres números
    4 y un 3).
    b) Mostrar que x00 + y 00 /2 + 2z 00 = 2 es la ecuación de π en la base B.
     √2 √2 √ √
    0
    2 2
    ( 5 , 0, − 53 ), ( 53 , 0, 54 ), (0, 1, 0) , y B 00 =
     4
    7. B = ( , −
     1 2 2 2 2 22 1 22 1 2 2 , 0), ( , , 0), (0, 0, 1) , B =
    3
    ( 3 , 3 , 3 ), ( 3 , − 3 , 3 ), ( 3 , 3 , − 3 ) son bases de R .
    a) Averiguar si son bases ortonormales.
    b) Hallar [B]B 00 y [B 0 ]B 00 .
    8. Sea A = ( √16 , k, 0), (−k, √16 , 0) . Hallar los valores de k para los cuales A pueda exten-
    

    derse a una base ortonormal de R3 , es decir, para los que exista un tercer vector que junto
    con los de A forme una base ortonormal. Indicar una de esas bases.
    9. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales T : Rn → Rn , hallar la matriz
    de la transformación con respecto a la base canónica de Rn y, usando esta matriz, hallar
    la matriz de T con respecto a la base B indicada:
    a) n = 2, T (x, y) = (x − 2y, −y); B = {(2, 1), (−3, 4)}.
    b) n = 3, T la aplicación que a cada punto le hace corresponder su proyección ortogonal
    sobre el plano xy; B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.
    10. Si B = {b1 , b2 , b3 } es una base ordenada de E3 y T : E3 → E3 es una transformación
    lineal tal que T (b1 ) = b1 + b3 , T (b2 ) = −b2 y T (b3 ) = −b2 + b3 , hallar [T ]B .
    11. Sea a ∈ R y sea T : R3 → R3 la transformación lineal definida por

    T (1, 0, 0) + T (0, 1, 0) = (a, a + 1, 1)


    T (1, 0, 0) + T (0, 0, 1) = (−1, a, 2)
    T (0, 0, 1) = (−1, 0, 1).

    Hallar A = [T ]C , y determinar los valores de a de modo que det A = 0.

    2
    12. Consideremos las transformaciones lineales del ejercicio 1 del práctico anterior (autovalo-
    res y autovectores). Determinar cuáles son diagonalizables, es decir, para cuáles existe una
    base B tal que [T ]B es una matriz diagonal. Indicar claramente B y [T ]B . (Observación:
    no hace falta hacer ningún cálculo adicional a los ya hechos para dicho práctico.)

    13. Idem al anterior, con las matrices del ejercicio 2 del práctico de autovalores y autovectores.

    14. Cada una de las siguientes matrices es la matriz asociada a una transformación lineal
    simétrica con respecto a la base canónica. Hallar una base ortonormal B tal que la matriz
    de la transformación con respecto a B sea diagonal.
     
          1 −1 0
    3 4 2 1 1 −1
    ; ; ; −1 2 −1
    4 −3 1 2 −1 1
    0 −1 1

    15. Sea B = {(1, 1, 1), (1, −1, 0), (1, 1, 0)} una base de R3 y T : R3 → R3 tal que
     
    −1 0 0
    [T ]B =  0 1 0 .
    0 0 −1

    a) Indicar los autovalores y los autovectores de T . (¿Se puede hacer fácilmente? Pensar
    cómo se construyen las columnas de [T ]B .)
    b) ¿Es T una transformación lineal simétrica?

    Repetir el ejercicio cambiando el −1 en la fila 3 y columna 3 de [T ]B por 0. (Ayuda:


    cambia la respuesta al inciso b. ¿Cumple algún rol que B sea o no base ortonormal?)

    16. Considerar la transformación lineal del ejercicio 9 del práctico anterior, con el valor de b
    hallado en dicho ejercicio.

    a) ¿Es T diagonalizable? En caso afirmativo mostrar claramente B y [T ]B .


    b) ¿Es T diagonalizable en una base ortonormal? Justificar la respuesta.
    c) El inciso anterior se puede responder sin calcular autovalores y autovectores. ¿De
    qué forma? (Ayuda: C es BON).

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