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    Ejercicios de Espacios Vectoriales - Tex

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    Este documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Primero pide comprobar si ciertos conjuntos son subespacios vectoriales de otros espacios dados. Luego solicita determinar si vectores dados son combinaciones lineales de otros vectores. Finalmente, pide hallar bases para los subespacios mencionados y calcular coordenadas de vectores en bases dadas.

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    Este documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Primero pide comprobar si ciertos conjuntos son subespacios vectoriales de otros espacios dados. Luego solicita determinar si vectores dados son combinaciones lineales de otros vectores. Finalmente, pide hallar bases para los subespacios mencionados y calcular coordenadas de vectores en bases dadas.

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    Ejercicios de Espacios Vectoriales

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    Ejercicios de Espacios Vectoriales.tex

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    Este documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Primero pide comprobar si ciertos conjuntos son subespacios vectoriales de otros espacios dados. Luego solicita determinar si vectores dados son combinaciones lineales de otros vectores. Finalmente, pide hallar bases para los subespacios mencionados y calcular coordenadas de vectores en bases dadas.

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    Este documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Primero pide comprobar si ciertos conjuntos son subespacios vectoriales de otros espacios dados. Luego solicita determinar si vectores dados son combinaciones lineales de otros vectores. Finalmente, pide hallar bases para los subespacios mencionados y calcular coordenadas de vectores en bases dadas.

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    Universidad Tecnica Nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Sede Central, Alajuela


    IPC-822 Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prof.: Mág. Daniel González Núñez

    Ejercicios de Espacios Vectoriales

    1. Compruebe que los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del espacio vectorial
    indicado.

    (a) S = {(x, y) ∈ R2 : x = 4y}, E = R2


    (b) S = {(x, y) ∈ R2 : y = −2x}, E = R2
    Resolver
    (c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}, E = R3
    con parte 3
    (d) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − z = 0}, E = R3
    (e) S = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x − y − 4z = 0}, E = R3
       
    a −b
    (f) S = A ∈ M (2, R) : A = , a, b ∈ R , E = M (2, R)
    b −a
    (g) S = {A ∈ M (2, R) : a11 = a22 } , E = M (2, R)
       
     a b c 
    (h) S = A ∈ M (3, R) : A =  0 d e  a, b, c, d, e, f ∈ R , E = M (3, R)
    0 0 f
     

    (i) S = {ax2 + bx + c ∈ P [2, R] : c = 0 y a = 2b} E = P [2, R] (Conjunto de todos


    los polinomios de grado menor o igual a 2).

    2. Determine, mediante sistemas de ecuaciones, si el vector dado ~u es o no combinación


    lineal de los vectores indicados.

    (a) ~u = (8, 7); ~a = (1, 2) y ~b = (2, 1)


    (b) ~u = (−1, 0); ~a = (−3, 1) y ~b = (0, −3)
    (c) ~u = (1, 1, −1); ~a = (1, 1, 1), ~b = (0, 1, 0) y ~c = (1, 2, 1)
    (d) ~u = (4, 2, 1); ~a = (1, 0, 0), ~b = (2, 1, 0) y ~c = (1, 1, 1)
    (e) ~u = (0, 0, 2); ~a = (0, 1, 2), ~b = (1, −3, 1) y ~c = (0, 1, 0)

    3. Halle una base para los subespacios vectoriales indicados en el Ejercicio 1.

    4. Encuentre las coordenadas del vector indicado, en la base dada:

    (a) (3, −5); B = {(0, 1), (1, 0)}


    (b) (9, −4); B = {(1, 3), (−1, 3)}

    1
    (c) (4, 5); B = {(3, 4), (−1, −1)}
    (d) (1, −6, 2); B = {(2, 0, −1), (0, −3, 0), (1, 0, 0)}
    (e) (−1, −2, 2); B = {(1, 0, 0), (−2, −1, 2), (−1, 2, 0)}
    (f) (4, 0, −1); B = {(1, −1, 1), (0, −1, 1), (0, 0, 1)}

    Respuestas

    2. (a) (α, β) = (2, 3)


     
    1 1
    (b) (α, β) = ,
    3 9
    (c) El vector dado no es combinación lineal de los vectores indicados.
    (d) (α, β, γ) = (1, 1, 1)
    (e) (α, β, γ) = (1, 0, −1)
    3. (a) B = {(4, 1)}
    (b) B = {(−2, 1)}
    (c) B = {(1, 1, 1)}
    (d) B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}
    (e) B = {(1, −3, 1), (0, 1, 4)}
       
    1 0 0 −1
    (f) B = ,
    0 −1 1 0
         
    1 0 0 1 0 0
    (g) B = , ,
    0 0 1 0 0 1
               
     1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
    (h) B =  0 0 0  ,  0 0 0  ,  0 0 0  ,  0 1 0  ,  0 0 1  ,  0 0 0 
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
     

    (i) B = {2x2 + x} .
    4. Encuentre las coordenadas del vector indicado, en la base dada:
    (a) (−5, 3)
     
    23 31
    (b) ,−
    6 6
    (c) (1, −1)
    (d) (−2, 2, 3)
     
    1 −1
    (e) , 1,
    2 2
    (f) (4, −4, −1)

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