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Guía Matemática
FUNCIÓN CUADRÁTICA Y RAÍZ
CUADRADA
profesor: Nicolás Melgarejo

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1. Contexto
Detrás del movimiento que describe un proyectil, la distancia que recorre un objeto que acelera o en la
caı́da libre de una manzana, está presente la función cuadrática. El concepto de función es transversal a
todas la ciencias tanto naturales como sociales, por tal motivo es importante poder interpretar sus gráficas
y desde ahi extraer conclusiones.

2. Función cuadrática
Se denomina función cuadrática a aquella definida como:

R −→ R
f:
x −→ f (x) = ax2 + bx + c
donde a, b, c son constantes reales con a 6= 0. Existe una relación directa entre la función cuadrática y
una ecuación de segundo grado del tipo y = ax2 + bx + c que iremos desarrollando en esta guı́a.

2.1. Caracterı́sticas
La ecuación cuadrática no es inyectiva ya que una imagen tiene asociadas dos preimágenes. Veamos
un caso puntual para f (x) = x2 :

f (3) = 32 = 9
f (−3) = (−3)2 = 9
En general para cualquier x se cumplirá que x2 = (−x)2 , por lo tanto, hay dos preimágenes asosciadas
a una misma imagen.

La función cuadrática tampoco es epiyectiva porque el recorrido no es igual al codominio. En estas

condiciones la función inversa sólo existirá si “arreglamos” el dominio y el codominio de la función. Para
ver estas caracterı́sticas con más claridad es recomendable graficar la función.

2.2. Gráfica de la función f (x) = ax2 + bx + c

La gráfica de la función cuadrática se denomina parábola la cual es una curva simétrica respecto a
una recta paralela al eje de las ordenadas. La parábola se compone de todos los pares ordenados (x, y) que
satisfacen la ecuación cuadrática y = ax2 + bx + c. Por ejemplo, si tomamos la función f (x) = x2 + 2x − 3
y la graficamos se obtiene:

-4 -2 2 4

-2

-4

2
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Las caracterı́sticas particulares de cada parábola están determinadas por sus coeficientes a, b y c las
cuales estudiaremos a continuación.

2.2.1. Coeficiente a
El coeficiente que acompaña a x2 determina el sentido de las “ramas” de la parábola.

Si a > 0 entonces las “ramas” de la parábola van hacia arriba.

Una manera de recordarlo es pensando que si a > 0 la parábola está “contenta c:”.

Si a < 0 entonces las “ramas” de la parábola van hacia abajo.

Una manera de recordarlo es pensando que si a < 0 entonces la parábola está “triste :c”.

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2.2.2. Coeficiente c
Si evaluamos x = 0 en una función cuadrática cualquiera f (x) = ax2 + bx + c obtenemos:

f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c
El punto (0, c) pertenece a la parábola y corresponde al intercepto con el eje y de una función
cuadrática del tipo f (x) = ax2 + bx + c. A continuación se presenta la gráfica de distintas parábolas con
c = 2.

2.2.3. Intersección con el eje x

Si quisiéramos saber en qué puntos la parábola intersecta al eje x, debemos buscar el o los puntos para
los cuales se cumple que y = 0. Aplicando tal condición a la función f (x) = ax2 + bx + c lo que debemos
resolver es:
0 = ax2 + bx + c
Hemos llegado a una ecuación de segundo grado con una incógnita, la cual podemos resolver con la
solución general1 . √
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Con esta expresión encontramos las raı́ces de la ecuación cuadrática y con ello los puntos donde la
función cuadrática cruza el eje x:

√ ! √ !
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
,0 y ,0
2a 2a

Recordemos que una ecuación cuadrática puede tener a lo más 2 soluciones, esto quiere decir que hay
casos para los que sólo habrá una solución y otros en donde no habrá solución real. Todo depende de un
término llamado discriminante ∆ que se define como:
∆ = b2 − 4ac
1
Cualquier camino para encontrar las raı́ces o soluciones de la ecuación de segundo grado es válido

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Los puntos de intersección con el eje de las abscisas los podemos reecribir en función de ∆ ası́:
√ ! √ !
−b + ∆ −b − ∆
,0 y ,0
2a 2a

2.2.4. Número de intersecciones con el eje x

Según el valor del ∆ la función cuadrática cortara dos, una o ninguna vez al eje x.
√
Si ∆ > 0 la parábola corta al eje x en 2 puntos. Esto se debe a que ∆ si existirá y habrán dos
soluciones en la ecuación de segundo grado. Por ejemplo, para la función f (x) = x2 − x − 2 los
coeficientes son a = 1, b = −1 y c = −2. En base a ésto calculamos el discriminante ∆ de la
siguiente manera:

∆ = b2 − 4ac
= (−1)2 − 4 · (1) · (−2)
=1+8=9

Como ∆ > 0 la ecuación 0 = x2 − x − 2 tiene dos soluciones reales y, por lo tanto, la función corta
al eje x dos veces. Los puntos de intersección son:
√ ! √ !
−b + ∆ −b − ∆
,0 y ,0
2a 2a
√ ! √ !
1+ 9 1− 9
,0 y ,0
2 2
   
1+3 1−3
,0 y ,0
2 2
   
4 −2
,0 y ,0
2 2
(2, 0) y (−1, 0)

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Si ∆ = 0 la parábola corta al eje x en 1 punto. Esto se debe a que la solución general para la
ecuación de segundo grado tiene una única solución:
√
−b ± ∆
x=
2a√
−b ± 0
=
2a
−b
=
2a
 
−b
Por lo tanto, en este caso el punto de intersección con el eje x es ,0 .
2a

Por ejemplo, en la función f (x) = x2 − 2x + 1 los coeficientes son a = 1, b = −2 y c = 1. Conociendo

ésto calculamos el discriminante:
∆ = b2 − 4ac
= (−2)2 − 4 · (1) · (1)
=4−4=0

Como ∆ = 0 la ecuación 0 = x2 − 2x + 1 tiene sólo una solución y, por lo tanto, la función corta al
eje x una vez. El punto de interseccion es
   
−b 2
,0 = ,0
2a 2·1
= (1, 0)

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√
Si ∆ < 0 la parábola no corta al eje x. Esto se debe a que ∆ no existe y, por lo tanto, la ecuación
cuadrática no tiene solución en los números reales. Por ejemplo, para la función f (x) = −x − 2 los
coeficientes son a = −1, b = 0 y c = −2. En base a esto calculamos el discriminante ∆.

∆ = b2 − 4ac
= 02 − 4 · (−1) · (−2)
= −8

Como ∆ < 0 la ecuación 0 = −x2 − 2 no tiene solución en los reales y por lo tanto la función no
corta al eje x.

2.2.5. Vértice de la parábola

Existen dos puntos de gran interés en el estudio de las funciones: el mı́nimo y el máximo. Para una
función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c existe un mı́nimo de la función cuando a > 0 y existe un máximo
cuando a < 0. Dicho punto recibe el nombre de vértice.

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Cabe destacar que el eje de simetrı́a de la parábola pasa por el vértice v, el cual tiene coordenadas:

b 4ac − b2
 
vértice = − ,
2a 4a

3. Función raı́z cuadrada

√
La función raı́z cuadrada es aquella que asocia un término real positivo x con su raı́z cuadrada x,
la cual podemos escribir como: √
f (x) = x
Esta función va de R+ en R+ , por lo que la solución negativa de las raı́ces no se considera, de lo
√
contrario f (x) = x no serı́a función porque cada preimagen tendrı́a dos imágenes.

3.1. Caracterı́sticas
La función raiz cuadrada es creciente, esto quiere decir que para cualquier x1 > x2 se cumple que
√
f (x1 ) > f (x2 ). Además f (x) = x es biyectiva en los intervalos que la hemos definido y por lo tanto
tiene función inversa.
x1 > x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )
√
3.2. Gráfica de la función de f (x) = x
El gráfico de la función cuadrática se asemeja a la mitad de una parábola pero simétrica al eje x como
la mostramos a continuación:

15

10

-5 5 10 15 20 25 30

-5

√
3.2.1. Gráfica de la función f (x) = ax
Estudiemos cómo afecta la amplificación del argumento de la raı́z por algún a > 0.

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Podemos notar que una función donde el coeficiente de x es mayor que en otra, la gráfica de la función
con coeficiente mayor siempre está por sobre la gráfica con coeficiente menor.
√
3.2.2. Gráfica de la función f (x) = x+a
Estudiemos cómo afecta el sumar un término a al argumento de la función.

√
Para f (x) = x + a podemos notar dos cosas:

La gráfica de la función parte en el eje x en el punto −a

La gráfica de la función que tiene mayor a está sobre las otras.

- Ejercicios 1

Para cada una de las siguientes funciones:

1. f (x) = x2 − x + 1

2. g(x) = −x2 + 4x + 3

3. h(x) = 5x2 + 15x + 20

4. f (x) = 6 + 5x + x2

5. g(x) = x2 + 8x + 16

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Hallar sin graficar:

1. Puntos de intersección con el eje x

2. Punto de intersección con eje y

3. Sentido de las “ramas” de la función.

4. Vértice.

5. Punto máximo o mı́nimo.

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Bibliografı́a
[1 ] Apuntes de Álgebra I, Tomo I, Segunda edición 1993, Facultad de Ciencias, USACH
Antonio Orellana Lobos.

[2 ] Apuntes Álgebra, Edición 2003, Facultad de Ciencias, USACH

Ricardo Santander Baeza.

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