Geometria Uni Tomo 6

CAPÍTULO
21 PRISMA
Objetivos
¾¾ Conoce la superficie prismática.
¾¾ Realiza el estudio del prisma.
¾¾ Conoce los diferentes tipos de prismas.
¾¾ Relaciona la teoría y la práctica para un óptimo aprendizaje.
Sabías que...
El prisma de Newton
Newton fue el primero en en-
tender lo que era el arcoíris:
refractó la luz blanca con un
prisma y la descompuso en
colores básicos: rojo, naran-
ja, amarillo, verde, azul y
violeta.
Cuando a fines de la década
de 1660 Newton experimen-
taba con la luz y los colores,
muchos de sus contemporá-
neos creían que el color era una mezcla de luz y oscuridad y que los prismas teñían la luz.
Pero pese a la opinión dominante, él se convenció de que la luz blanca no era la entidad
simple que Aristóteles pensaba que era, sino más bien una mezcla de rayos muy distintos que
correspondían a los diferentes colores. El físico inglés Robert Hooke criticó los trabajos de
Newton sobre la naturaleza de la luz, lo que desató una ira en Newton que parecía despro-
porcionada con relación a los comentarios de Hooke. En consecuencia, Newton demoró la
publicación de su monumental libro Óptica hasta después de la muerte de Hooke. En 1704,
se publicó finalmente dicho libro, el que trataba en profundidad sus investigaciones sobre los
colores y la difracción de la luz.
Para sus experimentos, Newton usó prismas triangulares de cristal. La luz penetra por una de
las caras del prisma y se refracta hasta descomponerse en diferentes colores, debido a que el
grado de separación varía en función de la longitud de onda de cada color. Los prismas ac-
túan de este modo gracias a que la luz cambia de velocidad cuando pasa del aire al cristal del
prisma. Una vez separados los colores, Newton utilizó un segundo prisma para volver a re-
fractarlos y que formaran de nuevo luz blanca. El experimento demostraba que el prisma no
añadía el color a la luz, como muchos creían. Newton también hizo pasar solo al color rojo
obtenido con un prisma por un segundo prisma, descubriendo así que el color no se alteraba.
Era una prueba más de que el prisma no creaba los colores, sino que solo separaba los que
estaban presentes en el haz de luz original.
En gran parte se puede decir que nuestra concepción actual de la luz y del color nace con
Isaac Newton y a su valioso aporte en el tema.
139
Compendio de Ciencias VI 5.o UNI
Helicoteoría
G eometría
SUPERFICIE PRISMÁTICA
Dadas una recta y una poligonal (abierta o cerrada), no 1. Clasificación

coplanares, se denomina superficie prismática a la ge- a. Prisma recto
nerada por esta recta denominada generatriz cuando se
Cuando las aristas laterales son perpendicula-
desplaza paralelamente a sí misma, sobre la poligonal de-
res a las bases. Las caras laterales son regiones
nominada directriz.
rectangulares.
C'
Generatriz B' D'
Base
Superficie prismática
A' E'
Directriz a h
Sección recta
C
B D
Base
Superficie prismática A E
Prisma
Es el poliedro limitado por una superficie prismática ce- b. Prisma regular
rrada y dos planos paralelos secantes a todas las genera- Es el prisma recto cuyas bases son regiones po-
trices de esta superficie. ligonales regulares.
Cara (Base)
c. Prisma oblicuo
B Cara lateral
Cuando las aristas laterales son oblicuas a las
Altura bases. Las caras laterales son regiones parale-
Sección recta
h lográmicas.
SR C'
a B' D'
Sección Arista lateral Base
transversal
ST
A' E'
B Arista básica a
Sección h
recta
Las bases son las regiones poligonales paralelas con- C

gruentes, y las demás caras son regiones paralelográmi-
B D
cas denominadas caras laterales. Base
Los prismas se nombran de acuerdo al número de lados A E
de las bases.
Los lados de las bases se denominan aristas básicas y las Paralelepípedo
aristas comprendidas entre las bases se denominan aristas
Es el prisma cuyas caras son regiones paralelográmicas.
laterales.
B C
El segmento perpendicular a las bases comprendido entre
sus planos correspondientes se denomina altura. A
La sección de un prisma es la región determinada por la D
intersección de un prisma con un plano.
B'
Matemática
La sección transversal de un prisma es la región deter- C'

minada por la intersección de un prisma con un plano
paralelo a las bases. A' D'
La sección recta de un prisma es la región determinada
Dos caras de un paralelepípedo que no tienen arista co-
por la intersección de un prisma con un plano perpendi-
mún se llaman caras opuestas.
cular a las aristas laterales.
140
5.o UNI Compendio de Ciencias VI
Dos aristas paralelas de un paralelepípedo que no perte- Área de la superficie de un prisma
G eometría
necen a una misma cara se denominan aristas opuestas. 1. Superficie lateral y total de un prisma
El plano determinado por dos aristas opuestas se llama A la unión de las caras laterales de un prisma se
plano diagonal. llama superficie lateral, y a la unión de las caras
Dos vértices de un paralelepípedo que no pertenecen a laterales y las dos bases se llama superficie total.
una misma cara se llaman vértices opuestos del parale- C'
lepípedo. B' D'
Base
A' E'
1. Clasificación
a. Paralelepípedo recto a
h
Sección
recta
Es aquel paralelepípedo cuyas aristas laterales
son perpendiculares a las bases. Las caras late- C
rales son regiones rectangulares y sus bases son B
Base D
regiones paralelográmicas.
A E
B C
2. Área lateral AL
A D El área lateral de un prisma es igual al producto en-
tre el perímetro de la sección recta y la longitud de
B' C' la arista lateral.
AL = 2psr aL
A' D'
3. Área total AT
b. Paralelepípedo rectangular, ortoedro El área total de un prisma es igual a la suma entre el
o rectoedro área lateral y la suma de las áreas de las bases.
AT = AL + 2 Abase
Es aquel paralelepípedo recto cuyas bases son
regiones rectangulares.
Superficie de un prisma recto
Abase
B a C b c a
c b
a A
b aL
c
a
B'
C' Abase
c. Hexaedro regular c b
A'
Es un paralelepípedo rectangular cuyas aristas
son congruentes.
1. Área lateral AL
El área lateral de un prisma recto es igual al produc-
to entre el perímetro de la base y la longitud de la
a arista lateral.
AL = 2pbase aL
Matemática
2. Área total AT
a El área total de un prisma es igual a la suma entre el
área lateral y el doble del área de una de las bases.
a
AT = AL + 2 Abase
141
En el paralelepípedo rectangular Tronco de prisma

G eometría
Es una porción de prisma limitado por una de sus bases y

un plano no paralelo a dicha base.
c
C'
B' D'
b A' E'
N P
a
M Q
AL = 2(ac + bc) R
C
AT = 2(ac + ab + bc) B
Base D
A E
3. Teorema
En el gráfico se muestra el tronco de prisma oblicuo
En un paralelepípedo rectangular el cuadrado de la
ABCDE-MNPQR.
longitud de cualquiera de sus diagonales es igual a
la suma de los cuadrados de las longitudes de las
aristas que concurren en un mismo vértice. 1. Tronco de prisma triangular oblicuo
B C A
A c
D B2 B
d a
F
G C
b
b
E a H
A' c
B1 B'
d2 = a 2 + b 2 + c 2 C'
Volumen del sólido limitado por un prisma a. Área lateral AL
1. Sólido prismático El área lateral de un tronco de prisma es igual

a la suma de las áreas de las caras laterales.
Es la unión del prisma y su interior.
2. Teorema AL = Suma de las áreas de las caras laterales
El volumen del sólido limitado por el prisma es igual

al producto del área de la base con la longitud de su b. Área total AT
altura.
El área total de un tronco de prisma es igual a
C' la suma entre el área lateral y las áreas de las
B' D' bases.
Base
A T = A L + B1 + B2
A' E'
aL
Sección h c. Volumen (V)
recta
El volumen de un tronco de prisma triangular
C
oblicuo es igual al producto entre el área de la
Matemática
B D
Base base y el promedio aritmético de las distancias
A E de los vértices de la otra base al plano que con-
tiene a la base.
3. Volumen (V)
V = Abase h
142
A 2. Tronco de prisma triangular recto
G eometría
Es una porción de prisma recto limitado por una de
B2 B sus bases y un plano no paralelo a dicha base.
h1
C A'
h3
C'
h2 B2
A' B1 B'
a
C' B' c
b
h1 + h 2 + h 3 A C
V = Abase B1
3
B
A
a. Área lateral AL
B1 B AL = Suma de las áreas de las caras laterales

h1
C
h3 b. Área total AT
h2 A T = A L + B1 + B2
A' B2 B'
C'
c. Volumen (V)
El volumen de un tronco de prisma recto es
h1 + h 2 + h 3
V = B2 igual al producto entre el área de su base y el
3
promedio entre las longitudes de las aristas la-
terales.
a+b+c
V = B1
3

Matemática
143
Helicosíntesis
G eometría
PRISMA
Superficie prismática Tipos de prisma Tronco de prisma
Prisma oblicuo Triangular recto

Generatriz
Superficie Cara (Base)
prismática B
iz B2
Directr Cara
lateral
Sección recta a
SR h b
a Sección ST Arista
transversal lateral
c
B Arista básica B1
Paralelepípedo
B
C ASL = 2pSR · a
A ASL = ∑Áreas de todas las
caras laterales
D AT = ASL + 2B
B' V = B · h = ASR · a AT = ASL + B1 + B2
C'
A' a+b+c
D'
V = B1 ·
3
Paralelepípedo rectangular, Prisma recto
rectoedro u ortoedro C'
B' D'
Base Triangular oblicuo
A' E' A
c
d
a h B2 B
Sección recta h1
b
C h3
a
C h2
AT = 2(ab + ac + bc) A' B1 B'
B Base D
C'
d2 = a2 + b2 + c 2 A E
ASL = ∑Áreas de todas las
V=a·b·c ASL = 2pbase · a caras laterales
AT = ASL + 2Abase AT = ASL + B1 + B2

V = Abase · h h1 + h 2 + h 3
V = B1 ·
Prisma regular 3
Es el prisma recto cuyas bases son
regiones poligonales regulares. A
B1
G1 B
a
SR C
b
A' B2 G c B'
2
C'
ASL = ∑Áreas de todas las

Matemática
caras laterales
AT = ASL + B1 + B2
a+b+c
V = ASR ·
3
144
Problemas resueltos
G eometría
1. La arista lateral de un prisma oblicuo triangular EMZ: EZ = l 7
mide 15 cm y está inclinada 53° respecto del plano h2
de la base, que es una región triangular equilátera de NEZ: (NZ)2 = + 7l 2
4
2 4 3 cm de lado. ¿Cuál es el volumen, en cm3, del
h2
sólido que determina este prima? NBC: (NC)2 = + 4l 2
4
Resolución
CFZ: (CZ)2 = h2 + l 2
B
Reemplazando en (1)
h2 h2
+ 7l 2 = + 4l 2 + h2 + l 2 → 2l 2 = h2
15 h 4 4
Vx
(2l)2 3 2l 2 3h
Vx = Bh = ·h=
53° 4 2
B A H
24 3 h3 3
∴ Vx =
2
h3 3
Rpta.:
Piden Vprisma = Vx. 2
Vx = Bh
3. En un paralelepípedo recto, de base rectangular
AHB (37° y 53°): BH = 12 = h
ABCD - EFGH, la diagonal FD mide 12 unidades y
2 forma, con las aristas EF, FG y BF ángulos cuyas
24 3 · 3
Vx = · 12 medidas son 60°, 45° y 60°, respectivamente. ¿Cuál
4
∴ Vx = 36 es el volumen del sólido que determina el paralelepí-
Rpta.: 36 pedo?
Resolución
2. En un prisma triangular regular, se ubican los pun- F 6 2 G
tos M y N en las aristas DF y BE, tal que AM y 45°
6 60°
CN son ortogonales. Si la altura del prisma mide h, 60°
¿cuál es el volumen del sólido determinado por el E H 6
prisma? 12
6
Vx
Resolución 3
B C
A 2l C 6 6
2l B 2l
A D
B 6 2
h Piden Vx.
Vx
Vx = (AD)(DC)(GC)
N
FGD (notable de 45° y 45°):
l M l l
D Z FG = GD = 6 2 = AD
l 2l F
2l 3 FED (notable de 30° y 60°):
2 l 7
E EF = 6 = AB = CD y ED = 6 3
EAD: AE = 6 = GC
Piden Vx.
Matemática
Vx = 6 3 (6)(6)
CZ // AM ∴ Vx = 216 2
→ mNCZ = m ÷ AM y CN = 90° Rpta.: 216 2
AC = MZ = 2l → FZ = l
NCZ: (NZ)2 = (NC)2 + (CZ)2 ... (1)
145
4. En un tronco de prisma triangular oblicuo, su base 5. En un rombo ABCD, las diagonales miden a y 2a. Si
G eometría
es una región triangular de longitudes 13 cm, 14 cm se trazan las perpendiculares AA' = 3a, BB' = 4a y
y 15 cm; las aristas laterales están inclinadas 53° CC' = a, ¿cuál es el volumen limitado por el tronco
respectivamente del plano de la base y sus longitu- de prisma A'B'C'D' - ABCD?
des suman 10 cm. ¿Cuál es el volumen, en cm3, del
Resolución
sólido que determina el tronco?
B'
Resolución
4a C'
A' a
B C
5l 3a a a
4l
2
Vx a a
2
5n 4n A D
53º 5t Piden: Vx.

15 53º
3t ∴ Vx = 2a3
14
13 Rpta.: 2a3
53º
Piden Vx.
Dato: 5l + 5n + 5t = 10
l+n+t=2
4l + 4t + 4n
Vx = B
3
4
Vx = B(l + t + n)
3
Por Herón: B = 21 · 8 · 6 · 7 = 84
4
Vx = (84)(2)
3
∴ Vx = 224
Rpta.: 224
Matemática
146
Helicopráctica
G eometría
Nivel I 3. Se tiene un prisma cuadrangular oblicuo. Si el área
de la superficie lateral es 100 y el radio de la circun-
1. En un prisma, cuyo número de aristas básicas es m,
ferencia inscrita en la sección recta es 6, calcule el
calcule la suma de las medidas de los ángulos die-
volumen del prisma.
dros determinados por las caras laterales contiguas
de dicho prisma. Resolución
Resolución
4. Dado un prisma triangular regular ABC - DEF, si

2. Se tiene un prisma triangular recto ABC - DEF. Si
CF = 3(BC), BD = 4 10 cm, calcule el volumen
el prisma se proyecta sobre un plano que contiene a
del prisma.
CF y es paralelo a AB, el área de la región que se
determina es B y AB = a. Calcule el volumen del Resolución
prisma.
Resolución
Matemática
147
Nivel II 7. En un prisma cuadrangular regular ABCD - EFGH,

G eometría
5. En el prisma recto mostrado, las bases son de regio- O es el centro de la base ABCD. Si DG2 – EO2 = 4,
nes triangulares rectangulares isósceles, además, el calcule el área de su base.
radio del cuadrante CFD es 4. Calcule el volumen Resolución
del prisma.
A B
D E
Resolución
8. En un tronco de prisma recto ABC - DEF, el trián-

gulo ABC es equilátero y los triángulos AED, CDF
y EFC son isósceles de bases AD, CF y EC, respec-
tivamente. Si BE = l, ¿cuál es el volumen del sólido
6. La diagonal de un hexaedro regular determina los determinado por el tronco de prisma?
puntos M y N en la superficie lateral de un cilindro Resolución
circular recto, cuyas bases se encuentran inscritas
en dos caras opuestas del hexaedro. Si MN = 6 m,
calcule el volumen del hexaedro.
Resolución
Matemática
148
Nivel III 11. En un prisma oblicuo ABC - DEF, cuya arista lateral
G eometría
mide 14 u, un plano que contiene a F interseca a
9. La base de un tronco de prisma triangular oblicuo
AD en el punto medio M y a EB en N, tal que los
tiene un área de 24 u2 y las aristas laterales tienen
volúmenes de los sólidos limitados por ABC - MNF
por longitudes 6 u, 8 u y 10 u, tal que estas se en-
y DEF - MNF están en relación de 5 a 3. Calcule BN
cuentran inclinadas 45° respecto a la base. Calcule
en u.
el volumen, en u3, del sólido limitado por el prisma.
Resolución
Resolución
12. La base de un paralelepípedo recto es una región

10. Un prisma ABC - A'B'C' es intersecado por un pla-
limitada por un rombo. Si el área de la base es S1
no determinando los puntos M, N y P sobre las aris-
y las áreas de las regiones rectangulares que deter-
tas laterales AA' , BB' y CC', respectivamente, tal
minan los planos diagonales son S2 y S3, ¿cuál es el
que AM=2MA' y BN=PC'. Si el volumen del sóli-
volumen del sólido limitado por el paralelepípedo?
do limitado por el prisma es V, ¿cuál es el volumen
del sólido limitado por el tronco ABCMNP? Resolución
Resolución
Matemática
149
Helicotaller
G eometría
Nivel I 3. En un prisma cuadrangular regular ABCD - EFGH,

de altura igual a 18, sobre AE y CG se ubican los
1. En un prisma regular ABCD - MNPQ, mMBP=37º
puntos Q y P tal que mAPQ = 90º, PG = 9 y
y (MC)2 + (QC)2 = 44 u2. Calcule el volumen de
QE = 5. Calcule el volumen de dicho prisma.
dicho prisma.
Resolución
Resolución
Nivel II
2. Calcule el volumen de un prisma triangular regular
4. Se tiene un prisma regular ABC - DEF. La distancia
cuya altura mide 4 3 u y el desarrollo de su super-
del vértice A al punto medio de DO es 5 u. Si O es
ficie lateral tiene por diagonal 8 3 u.
el centro de la cara BCFE y AD = 4 u, calcule el
Resolución volumen del prisma.
Resolución
Matemática
150
5. En un prisma regular ABC - DEF, el vértice D dista Nivel III
G eometría
2 u del centro O de la cara CDEF y DO forma un
7. Se tiene un prisma triangular regular, en el cual el
ángulo de 30º con la base ABC. Calcule el volumen
inradio de la base mide 2 cm. Se trazan dos planos
del prisma.
paralelos a una arista básica y secantes a la superfi-
Resolución cie lateral limitando un sólido. Calcule el volumen
de dicho sólido si el segmento limitado por los pla-
nos secantes y contenidos en el segmento que une los
baricentros de las bases mide 6 cm.
Resolución
8. En el gráfico, ABCD es una región paralelográmica

de área 50 cm2. Si FC = 12 cm y la distancia del
punto medio de la mediana AM del triángulo AEG a
la base ABCD es 3 cm, calcule el volumen total del
sólido mostrado.
6. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, el punto C
F
dista 6 u de AG. Calcule el volumen de dicho sóli-
do. E
Resolución G
C
B
A D
Resolución
Matemática
151
Helicotarea
G eometría
Nivel I
1. Si el volumen de un prisma triangular regular es le el volumen del menor sólido determinado por
un plano secante que pasa por la base mayor del
3+3 3
, calcule la arista básica sabiendo que el trapecio y forma un ángulo de 60° con la base in-
4
ángulo formado por las diagonales de dos caras late- ferior, además, la altura del prisma mide 10 3 m.
rales que parten del mismo vértice mide 30°. A) 691 3 B) 541 3 C) 851 3
A) 3 B) 2 C) 1 D) 861 3 E) 496 3
D) 3 E) 3+1
4. Calcule el volumen de un prisma triangular recto si
2. Se tiene un triángulo cuyos lados miden AB = 8 m, el área de una de sus caras es 8 u2 y la distancia de
AC = 15 m y BC = 17 m. Por los vértices del trián- la arista lateral opuesta a esta cara es de 8 u.
gulo, se levantan perpendiculares como AA' = 7 m,
A) 64 u2 B) 48 u2 C) 8 u2
BB' = 2 m y CC' = 3 m. Calcule el volumen del
D) 32 u2 E) 16 u2
sólido de vértices A'B'C'A.
A) 100 m3 B) 110 m3 C) 120 m3
Nivel III
D) 130 m3 E) 140 m3
5. Se tiene un prisma triangular recto ABC - DEF, ade-
más en la arista CF se ubica el punto G, tal que ABG
Nivel II es equilátero, DE = 2; GF = 1 y mACD = 90º.
3. Un prisma recto tiene como bases un trape- Calcule el volumen del prisma.
cio isósceles, cuyos lados no paralelos miden
A) 2 B) 2+1 C) 2+2
13 m y cuyas bases miden 10 m y 20 m. Calcu-
D) 2 2 E) 3 2
Tarea semanal
Nivel I Nivel II
1. Calcule el volumen de un hexaedro regular ABCD- 3. En un prisma recto ABC - A'B'C', AB = 24,
EFGH si la distancia de H a GA es 2 u. AA' = 8, mABC = 90° y la longitud del segmen-
A) 2 3 u3 B) 3 2 u3 C) 5 6 u3 to cuyos extremos son los puntos medios de A'B y
B'C es 13. Calcule el volumen del prisma.
D) 4 6 u3 E) 6 6 u3
A) 820 u3 B) 760 u3 C) 720 u3
2. Si OB = 2 11 y AC = BC = 6 u, calcule el volu- D) 750 u3 E)960 u3
men del prisma recto ABC - DFE.
D E 4. En la cara HDCG de un hexaedro regular, ABCD-
A) 150 u3
EFGH, se ubica el punto M, tal que HM = MG y
B) 148 u3 mHMG = 74°. Si la arista del hexaedro mide 6,
F
C) 145 u3 calcule la distancia entre M y el centro de la cara
Q ABFE.
D) 146 u3
Matemática
O A) 6 B) 35 C) 37
A B
E) 144 u3
D) 2 10 E) 33
C
152
Nivel III
G eometría
5. Sobre las aristas AD y DC de un prisma regular
ABCD - EFGH, se ubican los puntos medios P y Q
respectivamente, siendo PQH una región regular de
área 2 3 m2. Calcule el volumen del prisma.
A) 32 m3 B) 64 m3 C) 16 m3
D) 8 m3 E) 24 m3
Helicodesafío
1. En un prisma regular ABCD - EFGH, M es punto de 4. Se tiene un prisma triangular oblicuo ABC - A'B'C',
CG. Si MG = 2(MC) y la mMHG = 45°, calcule siendo G y G' los baricentros de sus bases. La pro-
la medida del diedro determinado por una base del yección de G sobre la base A'B'C' es el punto me-
prisma y el plano que contiene a los puntos B, M y dio de C'B'. Calcule el volumen de dicho prisma si
H. GG' = 5 cm, además, el ángulo formado por GG'
3 5 con el plano de su base mide 53° y dichas bases son
A) arc tan B) arc tan regulares.
2 2
12 5 A) 54 cm3 B) 108 cm3 C) 72 3 cm3
C) arc tan D) arc tan
5 7 D) 108 3 cm3 E) 54 3 cm3
E) arc tan 15
5 5. En el gráfico, el prisma ABC - DEF es recto,
AB = BC, AC = CF = 2 2 y los triángulos ABC
2. En un prisma regular ABCDEF - A'B'C'D'E'F', el
y GHE son congruentes. Calcule el volumen del só-
ángulo entre FF' y el plano que contiene a los pun-
lido ABC - GHFD.
tos A', F' y al punto medio de CC' mide 53°. Si la
B
distancia entre BE y F'M (M: punto medio de CC')
es 12 u, calcule el volumen del prisma. C
A
A) 24 000 3 u3 B) 16 000 3 u3
13 9
H
C) 14 000 6 u3 D) 18 000 5 u3
11 9 E
G F
E) 23 000 6 u3
7 D
3. En un prisma cuadrangular regular, el segmento A) 4 2 B) 8 2 C) 16

que une el centro de una base con el punto de inter- D) 16 2 E) 8
sección de las diagonales de una cara lateral mide
4 cm y, además, forma con dicha base un ángulo que
mide 60°. Calcule el volumen de dicho prisma.
A) 64 cm3 B) 16 3 cm3 C) 64 3 cm3
D) 72 3 cm3 E) 32 3 cm3
Matemática
153
CAPÍTULO
22 CILINDRO
Objetivos
¾¾ Conoce la superficie cilíndrica y sus características.

¾¾ Conoce el cilindro, sus tipos y propiedades.
¾¾ Utiliza el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios.
Sabías que...
Cilindro de Ciro
El cilindro de Ciro es una pieza cilíndrica de arcilla que contiene una declaración en cunei-
forme acadio babilonio del rey persa Ciro el Grande (559-529 a. C.). En ella, el nuevo rey
legitima su conquista y toma medidas políticas para ganarse el favor de sus nuevos súbditos.
Data del siglo VI y fue descubierto en las ruinas de Babilonia en Mesopotamia.
Fue descubierto en 1879 por el arqueólogo asirio-británico Hormuz Rassam durante la ex-
cavación del templo de Marduk en Babilonia. Consiste en dos fragmentos, llamados A y B.
El primero permaneció en el Museo Británico desde su descubrimiento, mientras que el se-
gundo fue custodiado en la Universidad de Yale hasta su traslado al Museo Británico, donde
se encuentra actualmente.
El texto en el cilindro alaba a Ciro, muestra su genealogía y lo representa como un rey entre
un linaje de reyes. El rey babilón Nabonido, quien fue vencido por Ciro, es denunciado
como un opresor impío de la gente de Babilonia, y sus orígenes humildes se contrastan im-
plícitamente con la herencia real de Ciro. El victorioso Ciro es mostrado como un elegido
del dios babilón Marduk para restaurar la paz y el orden a los babilones.
El texto dice que Ciro fue bienvenido por la gente de Babilonia como su nuevo gobernante
y entró en paz a la ciudad. Pide también a Marduk que proteja y ayude a Ciro y a su hijo
Cambises II. Habla de Ciro como un benefactor de los ciudadanos de Babilonia quien me-
joró sus vidas, repatrió a la gente que fue desplazada y restauró templos y lugares de culto
por toda Mesopotamia y otras áreas de la región. Concluye con una descripción sobre cómo
Ciro reparó la muralla de la ciudad de Babilonia y encontró una inscripción similar puesta
allí por otro rey.
El texto del cilindro ha sido visto tradicionalmente por eruditos bíblicos como evidencia que
corrobora la política de Ciro de repatriar a la gente judía luego del cautiverio de Babilonia
(un acto que el Libro de Esdras atribuye a Ciro), ya que el texto se refiere a la restauración
de los santuarios de culto y la repatriación de los deportados. Esta interpretación es contro-
versial, pues el texto identifica solamente santuarios de Mesopotamia y no hace mención de
los judíos, Jerusalén o Judea. El cilindro también ha sido llamado el símbolo de los derechos
humanos más antiguo conocido, lo cual es una perspectiva que otros rechazan como anacro-
nista y un malentendido de la naturaleza genérica del cilindro como una declaración típica de
un monarca al comienzo de su reino.
Neil MacGregor, director del Museo Británico, ha dicho que el cilindro fue “el primer in-
tento que conocemos sobre gobernar una sociedad, un estado con diferentes nacionalidades y
credos, una nueva forma de gobernar”. El cilindro fue adoptado como un símbolo nacional
de Irán por el estado imperial que lo puso en exhibición en Teherán en el año 1971 para
conmemorar 2500 años de la monarquía iraní.
154
G eometría
Personalidades como Mohammad Reza Pahlevi (el último Sah de Irán) o la premio Nobel de la Paz iraní Shirin
Ebadi han destacado el valor humanístico del cilindro de Ciro; se le ha llegado incluso a llamar “Primera Declara-
ción de los Derechos Humanos”. En su discurso de aceptación del Premio Nobel (2003), Shirin Ebadi afirmó que el
cilindro “debería ser estudiado en la historia de los derechos humanos”. De todos modos, numerosos historiadores
han destacado que declaraciones de este tipo no eran extrañas en las tradiciones mesopotámicas, y que, si bien acaso
inusualmente generoso, el cilindro de Ciro de ninguna manera puede ser relacionado con los derechos humanos.
Matemática
155
Helicoteoría
G eometría
SUPERFICIE CILÍNDRICA
Definición Las bases son las secciones determinadas en los planos

Dadas una curva plana simple C y una recta L, no copla- paralelos por la superficie cilíndrica.
nares, se denomina superficie cilíndrica al conjunto S de La generatriz del cilindro es el segmento comprendido
todas las rectas paralelas a L que contienen a cada punto entre los planos paralelos y contenidos en la superficie
de C. cilíndrica.
A cada recta de S se le denomina generatriz y a C se le La sección recta es la región determinada en un plano
denomina directriz secante la superficie cilíndrica y perpendicular a su ge-
L neratriz.
La altura del cilindro es el segmento perpendicular a las
bases cuyos extremos pertenecen a cada una de las bases.
Clasificación de los cilindros
C 1. Cilindro recto
P A un cilindro se le denomina cilindro recto cuando
su generatriz es perpendicular a las bases.
B
Superficie cilíndrica cerrada
g h
L
B
P
Área de la superficie lateral: ASL = 2p(base) · g
P C
Área de la superficie total: AST = ASL + 2B
Volumen: V = B · h
Superficie cilíndrica abierta
2. Cilindro oblicuo
A una superficie se le denomina superficie cilíndrica ce-
A un cilindro se le denomina cilindro oblicuo cuan-
rrada si C es cerrada; en caso contrario será una superfi-
do su generatriz no es perpendicular a las bases.
cie cilíndrica abierta.
A B
Cilindro
Se denomina cilindro a la parte de la superficie cilíndrica
limitada por dos planos paralelos que son secantes a sus g SR
h
generatrices.
A Base
B B
P
Altura
Sección re Área de la superficie lateral: ASL = 2p(SR) · g
Matemática
cta
h
Área de la superficie total: AST = ASL + 2B
B Base
P Volumen: V = B · h
156
3. Cilindro circular recto o de revolución Cilindro oblicuo de sección recta circular
G eometría
A un cilindro se le denomina cilindro recto cuando
su generatriz es perpendicular a las bases.
g r
r h
360° r
r O1 O
r
P
g g=h
Área de la superficie lateral: ASL = 2prg
r O2 Área de la superficie total: AST = ASL + 2B

L
Volumen: V = Bh = pr2g
Tronco de cilindro
Área de la superficie total: AST = 2pr(r + g)
Es la porción de cilindro comprendida entre una base y
un plano secante a todas sus generatrices no paralelo a
Volumen: V = pr2h sus bases.
Anotación
Se denomina sección axial a aquella región de un plano
determinada al intersecar dicho plano con un cilindro que
contiene al eje de giro.
P P
A Tronco de cilindro recto Tronco de cilindro oblicuo
r O1
r B
1. Tronco de cilindro circular recto o de revolución
Sección
axial Es el tronco de cilindro determinado por un cilindro
circular recto y un plano no paralelo a las bases y
g
secante a las generatrices del cilindro.
r O2
D r
O2
C
g M + gm gM
e= e
Desarrollo de la superficie total 2
gm
O1 r O1
r
r O1
Área de la superficie lateral: ASL = 2pre
Área de la superficie total: AST = ASL+ B1+ B2
r O2 Volumen: V = pr2e
Matemática
O2
r La sección determinada por el plano no paralelo a
la base es una región elíptica. El segmento cuyos
extremos son los centros de las bases se denomina
eje del tronco de cilindro.
157
¾¾ Desarrollo de la superficie lateral del tronco de ci- ¾¾ Desarrollo de la superficie lateral del tronco de cilin-
G eometría
lindro circular recto dro de sección recta circular
gM gM
gm gm
gm gm
pr pr
2. Tronco de cilindro oblicuo de sección recta

pr pr
circular
Es el tronco de cilindro determinado por un cilindro
circular recto y un plano no paralelo a las bases y
secante a las generatrices del cilindro.
O2
gM
e
r
r r
gm
O1
Área de la superficie total: AST = ASL + B1 + B2
gM + g m
Volumen: V = pr2 o V = pr2e
2 Matemática
158
Helicosíntesis
G eometría
CILINDRO
Cilindro Tronco de cilindro
Superficie cilíndrica Cilindro recto Tronco de cilindro recto
B B2
L '
L
g gM
e
gm
B B1
P
P C
ASL = 2p(base) · g gM + g m
ASL = 2p(base)
2
AST = ASL + 2B
S AST = ASL + B1 + B2
V=B·h
gM + g m
S : Superficie cilíndrica V=B
2
Cilindro oblicuo
L ': Generatriz (L //L ')
gM + g m
C : Directriz B e=
2
g SR
h
Tronco de cilindro oblicuo
B
P
B2
ASL = 2p(SR) · g
gM e
AST = ASL + 2B SR
V=B·h gm
B1
V = ASR · g
gM + g m
ASL = 2pSR
2
Cilindro circular recto
de revolución AST = ASL + B1 + B2
r gM + g m
V = ASR
2
g h gM + g m
e=
2
r
Matemática
ASL = 2prg
AST = 2pr(r + g)
V = pr2h
159
Problemas resueltos
G eometría
1. Se tiene un tronco de cilindro circular recto con 2. Se tiene la siguiente figura:

AB = 8 cm como diámetro de la base y genera- O
trices AC > 2 cm y BD = 2 cm. La bisectriz del M
ángulo ACD corta a AD en E, de tal forma que
4
AE = 68. Si AC + CD = 18 cm, halle el volu-
9 N
men, en cm3, del tronco de cilindro. (UNI 2018 - II)
Resolución
C P
a
a
5k
4k – 2 Si MN = 5 u, NP = 7 u y O es el centro de la cir-
cunferencia, calcule el volumen, en u3, del cilindro
8 recto.
4k D
H
5 68 (UNI 2018 - I)
9
2
4 68
2 Resolución
E
9 O
4 4 R R M
A B
5
q
tronco Vx N
Piden V cilíndrico .
tronco gm + g M
V cilíndrico = Abase 7
2
gm = 2 cm
q
gm = AC R R P
Abase = p42 = 16p cm2

Piden Vx.
T. Pitágoras T. bisectriz Por triángulos rectángulos semejantes
(AD)2 = 22 + 82 4 7 2R 35
68 = → R2 =
AC 9 R 5 2
AD = 68 cm =
CD 5 35
5 68 Vx = pR2(MP) = p 12
→ ED = 68 cm 9
9 2
AC 5
= ∴ Vx = 210p
CD 9
T. Pitágoras Rpta.: 210p
2 2 2
(4k – 2) + 8 = (5k)
3. Si el volumen de una pirámide regular es 5 3 cm3,
→ k = 2 ∧ AC = 8 cm
donde ABC es equilátero, ¿cuál es el volumen del
Reemplazando tronco del cilindro?
tronco
V cilíndrico = 80p cm3
Rpta.: 80p O
Matemática
C
a a
A
M
B
160
Resolución Dato: las áreas de las bases son iguales; por lo tanto,
G eometría
APB es un triángulo rectángulo isósceles.
O Por teorema
tronco 3 2 8+2 45p
V cilíndrico = p × = = 11,25p
2 2 4
h Rpta.: 11,25p
C
R 3 R 5. En un cilindro de revolución de 5 cm de altura, se
A
R 3 inscribe un paralelepípedo rectangular con superfi-
B cie lateral de 250 cm2. Una de sus aristas, ubicada
Piden Vtronco del cilindro = Vx. en la base del cilindro, mide 16 cm. Calcule la ra-
zón, en cm, entre el volumen y el área lateral del
Vx = pR2h ... (1) cilindro. (UNI 2015 - I)
Dato: Vpirámide = 5 3 Resolución
1 2 3 R
R 3 h=5 3
3 4
R2 h = 20 ... (2)
(2) en (1)
∴ Vx = 20p g 5
Rpta.: 20p
B
a C
4. En la siguiente figura: R R
a 16
B A
D
Vcilindro
Piden = E.
ASL
cilindro
C
Dato: ASL = 250
8 2 paralelepípedo
2(16 + a)(5) = 250 → a = 9
D
337
ADC: (2R)2 = 92 + 162 → R =
2
pR2g R
A E= =
2pRg 2
el tronco de cilindro tiene las áreas de sus bases
337
iguales y los planos que las contienen son perpendi- ∴E=
4
culares, AB = 8 u y CD = 2 u. Halle el volumen del 337
Rpta.:
tronco de cilindro, en u3. (UNI 2016 - II) 4
Resolución
B
45°
S
4
C
1
1 P
3 1
2
Matemática
D
4
S
45°
A
Piden Vtronco del cilindro.
161
Helicopráctica
G eometría
Nivel I 3. La sección axial de un cilindro de revolución es la

1. Halle la relación entre los volúmenes de un hexaedro región ABCD, tal que AC y BD son sus generatri-
regular y un cilindro de revolución inscrito de tal ces. Si la distancia de A al centro de la base opuesta
manera que las bases del cilindro están inscritas en es 241 u y AD = 17 u, halle el área de la superficie
dos caras opuestas del hexaedro. total del cilindro.
Resolución Resolución
2. Un octaedro regular de volumen V está inscrito en 4. En un tronco de cilindro recto, el segmento que une
un cilindro de revolución de modo que dos de sus el centro de la base elíptica y un punto de la circun-
vértices opuestos son los centros de las bases del ferencia de la base circular mide 4 cm y forma con
cilindro. Halle el volumen del cilindro. el eje un ángulo de 30°. Halle el volumen del tronco
Resolución de cilindro.
Resolución
Matemática
162
Nivel II 7. En un cilindro oblicuo de sección recta circular, O
G eometría
y O' son centros de sus bases. La altura O'H biseca
5. En una región rectangular ABCD, al girar una vuel-
a una generatriz. Si el eje mayor de las bases del
ta sobre las rectas que contienen a los lados AB y
cilindro mide 2a y la longitud de altura es h, ¿cuál
BC, se obtienen dos cilindros cuyos volúmenes son
es el área lateral del cilindro?
288p u3 y 384p u3. Calcule el área, en u2, de la re-
gión rectangular ABCD. Resolución
Resolución
8. Se tiene un tronco de cilindro oblicuo de sección

6. En un cilindro oblicuo, de sección recta circular y
recta circular cuyas bases están contenidas en planos
eje OO', se incribe un hexaedro O - ABC - O', cuyas
perpendiculares. Si la relación entre el producto de
caras son regiones equiláteras. Si el volumen del só-
las longitudes de los ejes mayores de las bases del
lido determinado por el hexaedro es V, ¿cuál es el
tronco y la diferencia entre las longitudes de la ge-
volumen del sólido determinado por el cilindro?
neratriz mayor y menor es 8 u, ¿cuál es la longitud,
Resolución en u, del radio de la sección recta?
Resolución
Matemática
163
Nivel III 11. En el desarrollo de la superficie lateral de un ci-

G eometría
lindro de revolución, se inscribe una circunferencia

9. En la figura, se muestra un tronco de cilindro cir-
cuyo radio mide 2p u. Calcule el volumen, en u3,
cular recto, en el cual la base superior y la base
del sólido determinado por el cilindro de revolución.
inferior forman un diedro que mide 30°. Si el radio
de la base mide 2 u, calcule el volumen del tronco Resolución
de prisma inscrito en el tronco de cilindro, sabiendo
que una de sus aristas laterales coincide con la gene-
ratriz mayor AB.
B
C A
Resolución
12. La generatriz de un cilindro oblicuo de base circular

es congruente con el diámetro de la base. Los puntos
M y N son los centros de las bases y AB es un diá-
metro, tal que N ∈ AB. Si AM = 13 u y MB = 9 u,
¿cuál es la altura del cilindro, en u?
10. En un tronco de cilindro de sección recta circular, Resolución
los planos que contienen a sus bases determinan un
ángulo diedro cuya medida es 60° y el plano bisec-
triz de dicho ángulo diedro es perpendicular al eje
del cilindro. Si la longitud de la generatriz menor es
2 u y el radio de la sección recta mide 3 u, ¿cuál es
el volumen del sólido determinado por el tronco de
cilindro?
Resolución
Matemática
164
Helicotaller
G eometría
Nivel I 3. Se tiene un tronco de cilindro de revolución, cuya
área de la base mayor es S. Si la base mayor deter-
1. En un cilindro de revolución cuyo radio mide R, se
mina con la otra base un ángulo que mide 60° y la
inscribe un tetraedro regular, de modo que dos aris-
generatriz menor es nula, ¿cuál es el área lateral del
tas opuestas son diámetros de las bases del cilindro.
tronco de cilindro?
Calcule el volumen del sólido determinado por el
cilindro de revolución. Resolución
Resolución
2. El volumen del sólido determinado por un cilindro Nivel II

de revolución es V. Si el radio de una base mide r, 4. En un cilindro circular recto, la distancia de cual-
¿cuál es el área lateral del cilindro en función de V quier punto de la circunferencia de la base superior
y r? al centro de la base inferior es 10 u y el área lateral
es de 96 u2. Si la longitud del radio es menor que la
Resolución
longitud de la generatriz, ¿cuál es el volumen del
sólido, en u3, que determine al cilindro?
Resolución
Matemática
165
5. Halle el área lateral de un cilindro de revolución Nivel III

G eometría
conociendo que la sustracción de los cuadrados de

la generatriz y el diámetro de la base es 64, además, 7. En un tronco de cilindro circular recto, se inscribe
MN = 4. un tetraedro regular cuya arista mide l, tal que un
vértice es el centro de la base superior y los otros
vértices son puntos de la circunferencia de la base
inferior. Calcule el volumen del sólido determinado
por el tronco de cilindro de revolución.
N
Resolución
M
Resolución
8. Un cilindro de revolución cuyo radio mide 5 cm es

interceptado por los planos paralelos, de manera que
los ejes mayores de las elipses que se forman miden
6. En un cilindro oblicuo de base circular, la longitud 16 cm y la generatriz del cilindro oblicuo generado
de la generatriz es igual que el perímetro de la base mide 30 cm. Calcule el volumen del cilindro obli-
y determina con dicha base un ángulo que mide 45°. cuo.
Si la longitud del radio de la base es r, ¿cuál es el Resolución
volumen del cilindro oblicuo?
Resolución
Matemática
166
Helicotarea
G eometría
Nivel I
1. En un cilindro de revolución, se traza un plano 4. Calcule el volumen del cilindro circular mostrado si
que contiene a su eje y se determina el cuadrilátero se sabe que OA = 4 m y O es centro.
ABCD. Si la longitud del radio de la circunferencia
inscrita en el cuadrilátero ABCD mide r, ¿cuál es el
O
volumen del sólido determinado por el cilindro?
pr3 pr3 2pr3
A) B) C) A
3 2 3 10
D) pr3 E) 2pr3
6
2. Un cilindro de revolución se inscribe en un prisma

cuadrangular regular. Si el volumen del sólido de-
terminado por el prisma es V, halle el volumen del
A) 72p m3 B) 124p m3 C) 96p m3
sólido determinado por el cilindro.
pV pV pV D) 126p m3 E) 144p m3
A) B) C)
7 6 5
pV pV Nivel III
D) E)
4 2
5. En un cilindro oblicuo, la generatriz forma un án-
gulo de 30° con la horizontal y la altura del cilindro
Nivel II
es el triple del radio de la sección recta. Calcule el
3. En la figura mostrada, la región rectangular, al girar volumen del cilindro si el perímetro de la sección
alrededor del eje (1), genera un sólido cuyo volumen recta es 6p.
es V1 y, al girar alrededor del eje (2), genera un
V A) 96p B) 134p C) 162p
sólido cuyo volumen es V2. Halle 1 .
V2 D) 218p E) 254p
Eje 2
3a
Eje 1
A) 2:3 B) 3:1 C) 1:9

D) 1:3 E) 4:9
Matemática
167
Tarea semanal
G eometría
Nivel I
1. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro 4. Según el gráfico mostrado, calcule la razón de vo-
de revolución es una región cuadrada cuyas diago- lúmenes entre el cono, cuya base es el círculo de
nales miden 8 2 u. Calcule el área total, en u2, del centro O1 y su vértice es A y el cilindro son equiva-
cilindro de revolución. lentes.
32(p + 2) 32(2p + 1) A
A) B)
p p
32(p + 1)
C) D) 16(4p + 1)
p
O1
E) 16(2p + 1)
2. En un cilindro de revolución, se inscribe un prisma

O2
regular cuadrangular de área lateral S u2. Calcule el
área lateral, en u2, del cilindro de revolución.
A) 3 B) 2 C) 1
pS pS
A) B) C) p 2 S D) 4 E) 5
4 2 4
pS
D) p 2 S E)
2 3 Nivel III
5. En la figura, se muestra un tronco de cilindro circu-
Nivel II lar recto, donde O es centro de la base, AB = 7 cm,
3. En un cilindro oblicuo de sección recta circular, AB CD = 3 cm y AM = 3(MD). Calcule el volumen del
y CD son dos generatrices diametralmente opuestas tronco.
y BC es perpendicular a las bases. Si AB = 8 u y B
AC = 6 u, ¿cuál es el volumen, en u3, del sólido
determinado por el cilindro oblicuo?
144p 3 288p 3
A) u B) u C) 72p u3
3 5
C
288p 3
D) 36p u3 E) u
10
A D
O M
A) 110p B) 120p C) 140p

D) 110 7p E) 210p
Matemática
168
Helicodesafío
G eometría
1. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, cuya diago- 4. En la figura, se muestra un cilindro de revolución
nal mide d, se traza un cilindro de revolución cuyas cuya sección axial es una región regular. Si ABCD
circunferencias que limitan sus bases están circuns- es una región paralelográmica de área 2 19 m2,
critas a los triángulos EBD y FHC. Calcule el volu- ¿cuál es el volumen del cilindro?
men del sólido determinado por el cilindro. A
2p d3 1p d3 4p d3
A) B) C)
27 9 27 B
5p d3 2p d3
D) E)
27 9
2. En un cilindro de revolución, A es un extremo de D

una generatriz y B es el punto medio de la generatriz
diametralmente opuesta, además la mediatriz de AB C
interseca a la circunferencia de la base en el punto 20p
A) B) 8p C) 12p
C. Si AB = 10 u, ¿cuál es el volumen máximo, en 3
u3, del sólido determinado por el cilindro de revolu-
D) 16p E) 20p
ción?
103 7p 33 7p 53 7p 5. En la figura, se muestra un cilindro oblicuo de sec-

A) B) C)
3 2 4 ción recta circular y una circunferencia de diámetro
PB. Si AB = 3(BC) = 6 cm, calcule el área de la
103 6p 103 3p
D) E) sección recta del cilindro en cm2.
3 9
C E
3. En un cilindro de revolución, AB y CD son dos diá-
metros paralelos de las dos bases cuyos centros son
B
P y Q (P ∈ AB y Q ∈ CD). Si AB = AC = 2l, ¿cuál
es el área de la sección recta del cilindro oblicuo que
tiene por bases los círculos de diámetros AP y QD?
pl2 2 pl2 3 pl2

A) B) C)
5 6 4
A P
2 2
pl 5 pl 6
D) E) A) p B) 2p C) 3p
10 12
D) 4p E) 5p
Matemática
169
CAPÍTULO
23 PIRÁMIDE
Objetivos
¾¾ Conoce la definición de la pirámide, de la pirámide regular y del
tronco de pirámide.
¾¾ Conoce las propiedades, características y teoremas correspondientes
a una pirámide.
¾¾ Utiliza el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios de
geometría donde se mencione a la pirámide.
Sabías que...
El número de oro y la pirámide de Keops

Número de oro, conocido también como proporción áurea o simplemente número phi.
1+ 5
f= = 1,6180339...
2
Este número tan especial es muy famoso puesto que aparece constantemente en la naturaleza,
por ejemplo en el crecimiento de las plantas, en la formación de huracanes o en la forma
que toman ciertos moluscos. Pero la cosa no queda ahí, y es que el número de oro también
aparece mucho en resultados matemáticos sin nada que ver entre ellos.
Todo este misterio que lo rodea ha despertado el interés de artistas como Leonardo Da Vinci
y Alberto Durero, que lo han utilizado como sinónimo de belleza para proporcionar sus
obras.
Otra manifestación artística que ha hecho uso del número phi es la arquitectura. Ejemplos
de utilización de este valor son el Partenón de Atenas, la catedral de Notre Dame y la Torre
Eiffel en París o la gran pirámide de Keops en Egipto, que es la protagonista de este post.
En efecto, parece que los antiguos egipcios conocían la existencia de este valor cuando en el
año 2000 a. C. se levantó esta faraónica construcción y lo hicieron aparecer en sus propor-
ciones hasta en tres ocasiones… que sepamos.
170
G eometría
En primer lugar vamos a definir varias medidas para realizar las cuentas con más comodidad. Sea L igual al ancho
de la base de cada lado de la pirámide. En este caso, como la pirámide es de base cuadrada, los cuatro lados tienen la
misma longitud, que es L = 230 metros. También vamos a definir como A a la distancia que hay entre el punto medio
de cada lado de la base del triángulo hasta el vértice superior de la pirámide, que es A = 186,07.
Entonces ya estamos en condiciones de ver las tres relaciones:
L
Si dividimos A entre (es decir, la altura del triángulo entre la mitad de la base del triángulo) el resultado es
2
186,07
= 1,618 que es el número phi.
115
Por otra parte, si dividimos el área total de la pirámide, es decir, la suma del área de la base más las cuatro áreas
triangulares entre esas cuatro áreas triangulares, el valor resultante es también el número de oro. (Recuerde que el área
L×A
del cuadrado es L × L y el del triángulo es .
2
Por último, si dividimos la suma de las áreas de las cuatro regiones triangulares entre el área de la base cuadrada, el
resultado nuevamente es 1,618.
Esta aplicación arquitectónica del número de oro es la más antigua que se conoce hasta el momento.
Matemática
171
Helicoteoría
G eometría
SUPERFICIE PIRAMIDAL
Definición Clasificación de las Pirámides
Se denomina superficie piramidal a la unión de rectas A las pirámides se les puede clasificar de acuerdo al nú-
concurrentes en un punto fijo que contienen a todos los mero de lados que tiene su base.
puntos de una línea poligonal plana no coplanar a las rec-
tas. Dicha poligonal puede ser abierta o cerrada deter-
minando estas a la superficie piramidal abierta o en su
defecto a una superficie piramidal cerrada.
La superficie piramidal se compone de dos partes, situa-
das una a cada lado del vértice denominado hojas o man-
Pirámide Pirámide Pirámide Pirámide
tos de la superficie piramidal. triangular cuadrangular pentagonal hexagonal
Vértice
Pirámide Regular
(punto fijo)
Directriz Directriz Se denomina pirámide regular, a la pirámide cuya base
(línea Generatriz (línea
poligonal poligonal es una región poligonal regular y el pie de la altura es el
Superficie piramidal
abierta) cerrada) centro de dicha base.
V
Apotema de
En la figura se muestran a una superficie piramidal la pirámide
abierta y a una superficie piramidal cerrada.
PIRÁMIDE B C
SB O a
Definición A
Base D
Es el sólido limitado por una superficie piramidal cerrada
Centro de Apotema
de una hoja y un plano secante a dicha superficie que no de la base
la base
contiene al vértice.
Vértice Área de la superficie lateral: ASL = pbase ap
Arista Área de la superficie total: AST = ASL + B

lateral
Cara
lateral Bh
Altura Volumen: V=
3
Base Anotación
P Arista básica El pie de la pirámide coincide con el centro de su base.
Una pirámide, se denomina pirámide convexa si su inte-

Pirámides Semejantes
rior es un conjunto convexo en caso contrario se denomi-
Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una pirámi-
na pirámide no convexa.
V O de O - ABC, este determinará una sección MNL (sección
transversal) la cual será la base de otra pirámide O - MNL
semejante a la pirámide.
Matemática
Teorema
C L P
D Si dos pirámides son semejantes entonces los volúmenes
B E N Q
M de los sólidos determinados por las pirámides son propor-
A F T cionales a los cubos de las longitudes de los elementos
Pirámide convexa Pirámide no convexa homólogos.
172
Tronco de pirámide regular
G eometría
h Se denomina tronco de pirámide regular al tronco de pirá-
M
L mide de bases paralelas, las cuales son regiones poligona-
H les regulares y las caras laterales son regiones trapeciales
N isósceles congruentes.
C
A
S2
A B Apotema
B del tronco
Si ΔMNL // ΔABC → O - MNL ~ O - ABC C
h AT
Luego se cumple:
D E
OM NL OL h S1 q
1. = = = = ... (Distancias) O1
OA BC OC H
F
ST(O - MNP) (OM)2 (NL)2 (OL)2 h2 Área de la superficie lateral: ASL = p1 + p2 AT

2. = 2
= 2
= 2
= 2
ST(O / ABC) (OA) (BC) (OC) H
Área de la superficie total: AST = ASL + S1 + S2
V(O - MNL) (OM)3 (NL)3 (OL)3 h3
3. = 3
= 3
= 3
= 3 h
V(O / ABC) (OA) (BC) (OC) H Volumen VTP = S + S2 + S1 · S2
3 1
TRONCO DE PIRÁMIDE Teorema

Definición En toda pirámide triangular, al trazar un plano secan-
Se denomina tronco de pirámide al sólido determinado en te a las aristas laterales, se cumple que la razón de los
una pirámide por un plano paralelo a su base. volúmenes de la pirámide y la pirámide parcial es igual
a la razón del producto de las aristas laterales respecti-
vamente.
Pirámide
deficiente P
S2
Tronco Q S
de pirámide
h
R
S1
A C
P
B
h
Volumen VTP = S1 + S2 + S1 · S2
3 VP - ABC (PA)(PB)(PC)
=
VTP: Volumen del tronco de pirámide VP - QRS (PQ)(PR)(PS)
S1: Área de la base inferior

S2: Área de la base superior
Matemática
173
G eometría
174
Helicosíntesis
PIRÁMIDE
Superficie piramidal Pirámide Pirámides semejantes

OM NL OL h
Vértice = = = = ... (Distancias)
L OA BC OC H
h
Arista L
M
Cara lateral ST(O - MNP) (OM)2 (NL)2 (OL)2 h2
lateral = 2
= 2
= 2
= 2
N ST(O / ABC) (OA) (BC) (OC) H
Altura H
C
A
Base
V(O - MNL) (OM)3 (NL)3 (OL)3 h3
E = = = =
A D V(O - ABC) (OA)3 (BC)3 (OC)3 H3
B C P Arista básica B
Tipos de pirámide Tronco de pirámide

V O
Generatriz: L Pirámide
Directriz: ABCDE deficiente
Volumen del tronco de pirámide
Tronco de S2
pirámide h
C L P h VTP = S + S2 + S1 · S2
D 3 1
B E N M Q
S1
A F T
Pirámide convexa Pirámide no convexa P
Pirámide regular Tronco de pirámide regular

V
Apotema de
la pirámide S2 ASL = p1 + p2 AT
ASL = pbase ap A B Apotema
O del tronco AST = ASL + S1 + S2
B AST = ASL + B h C
a C AT
SB O h
A D E
Base D Bh q VTP = S + S2 + S1 · S2
V= S1 O1 3 1
Centro de Apotema 3
la base de la base F
Matemática
Problemas resueltos
G eometría
1. En un tronco de pirámide ABC - A1B1C1, los volú- Sn 243 6
Dato: =
menes de las pirámides B1 - ABC y A - A1B1C1 miden Vn 4
V1 y V2, respectivamente. Determine el volumen de
Sn = l 2 3
la pirámide A - CB1C1. (UNI 2019 - I)
Resolución l3 2
Vn =
A C 12
b1
l2 3 243 6
B Reemplazando: =
V1 3 4
l 2
h Vx
12
V2 8
∴l=
81
A' C'
b2 l 6
hn =
3
B'
8 6
Piden VA - CB = Vx. hn =
1C 1 243
Vx = VABC - A – VA - A – VB
1B1C1 1B1C1 1 - ABCz
∴ 81 6 hn = 16
h 1 1
Vz = b + b 2 + b1b 2 – b2h – b 1h Rpta.: 16
3 1 3 3
h 1 1 3. Calcule la medida del ángulo diedro formado por

Vz = bb = bh bh
3 1 2 3 1 3 2
una cara lateral y la base de una pirámide de base
1 1 hexagonal regular cuyo lado mide 4 cm y de área
Pero: V2 = b h y V 1 = b1h
3 2 3 lateral 48 cm2. (UNI 2017 - II)
Reemplazando: ∴ V x = V 1V 2 Resolución
V
Rpta.: V1V2
2. Sea el tetraedro regular de arista a, con a un ente-

ro positivo diferente de múltiplo de 3. Se unen los 2 ap=4
baricentros de las caras del tetraedro nuevo y así se
B
S 243 6 C
repite el proceso n veces. Si n = , donde
Vn 4 A x D
O 2
Sn y Vn son el área total y el volumen del tetrae- 2 L
F 4 E
dro, respectivamente, en el proceso n - ésimo, halle
2 3
81 6 hn, siendo hn la altura del tetraedro en el pro-
Piden x.
ceso n - ésimo. (UNI 2019 - II)
Dato: ASL = 48
Resolución
Pbase · ap = 48
12 · ap = 48 → ap = 4
l
∆EOD: equilátero
hn
OL = 2 3
VOL: notable 30° y 60°
Matemática
x = 30°
Rpta.: 30°
Sea el tetraedro de la figura en el n - ésimo proceso
Piden 81 6 hn.
175
4. En una pirámide de vértice V y arista lateral VA se 5. En una pirámide regular O - ABCD, la longitud de la
G eometría
trazan 2 planos paralelos a la base de la pirámide distancia trazada de B a OD es 4 2 u y las regiones

que intersecan a VA en M y N M ∈ VN . Calcule el AOC y ABCD tienen igual área. Determine el volu-
volumen, en u3, del tronco de pirámide determinado men de la pirámide en u3. (UNI 2016 - II)
por los planos en la pirámide si el volumen de la Resolución
VM MN NA O
pirámide es 216 u3 y = = .
1 2 3
(UNI 2019 - I)
53°
2
Resolución
P
l V1 2
4 a 2 2 2
B 53°
C
2l Vx 2 a 2
a 2 2 a
2 H
3l A a D
A B Piden Vpirámide.
Dato: S∆AOC = AABCD
C
53°
AHO es aproximado de
Piden Vx. 2
Dato: VV - ABC = 216 53°
BPD es aproximado de
Por semejanza 2
V1 3 BD = a 2 = 2 2 5→a=2 5
l
 = → V1 = 1
216 6l Luego: OH = 2 5 × 2 = 2 10
V1 3 2
1 l a (OH) 2 5 × 2 10 40 10
 = Vpirámide = = =
V1 + V x 27 3l 3 3 3
1 1 40 10
= → Vx = 26 Rpta.:
1 + Vx 27 3
Rpta.: 26
Matemática
176
Helicopráctica
G eometría
Nivel I 3. Un tronco de pirámide, de bases paralelas,, tiene
por base mayor un cuadrado de lado 2 cm. Si la al-
1. Halle el volumen de una pirámide cuadrangular re-
tura del tronco es de 3 cm y su volumen es de 7 cm3,
gular de aristas iguales si la distancia del centro de
¿cuánto mide el lado de la base menor?
la base a una arista lateral es 3 cm.
Resolución
Resolución
4. Se tiene una pirámide hexagonal regular V - ABC-

2. La pirámide P - ABC es trirrectángulo en el vértice
DEF, en la cual AB = 6 cm y NBC = 12 cm. Cal-
P. Si PA = 3 cm y PB = PC = 4 cm, halle la distan-
cule el volumen de la pirámide V - BCDE.
cia de P al plano ABC.
Resolución
Resolución
Matemática
177
Nivel II 7. En una pirámide regular V - ABC, AV = 6 u y

G eometría
mAVB = 40°, se traza un plano por A que inter-

5. En la figura, O - ABCD es un sector poligonal regu-
seca a las caras laterales de la pirámide determinan-
lar de centro O, donde OA = 12 cm y es el desarro-
do una sección de menor perímetro. ¿Cuánto mide
llo de la superficie lateral de una pirámide. Calcule
dicho perímetro en u?
el área de la superficie total de dicha pirámide.
A Resolución
30°
30°
O C
30°
Resolución
8. En una pirámide O - ABC, las caras laterales deter-

minan con la base ángulos diedros que miden 60°.
Si AB = 13 cm, BC = 15 cm y AC = 14 cm, ¿cuál
6. En una pirámide regular cuadrangular, el punto me- es el volumen, en cm3, del sólido determinado por
dio de la altura dista de una cara lateral y de y de una la pirámide?
arista lateral 3 u y 4 u, respectivamente. ¿Cuál es la
longitud de la altura de la pirámide en u? Resolución
Resolución Matemática
178
Nivel III 11. En un tronco de pirámide regular ABCD - EFGH,
G eometría
AC = 2a, EG = 3a y DH = a. ¿Cuál es el volumen
9. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuya
del sólido determinado por el tronco?
altura mide H se debe trazar un plano paralelo a
la base para que las dos figuras determinadas sean Resolución
equivalentes?
Resolución
10. En la figura mostrada, las áreas de las bases de un

tronco de pirámide son S1 y S2. ¿Cuál es el área de 12. En un tronco de pirámide regular ABCD - EFGH,
la sección paralela a las bases del tronco que dista m O es centro de la base mayor ABCD. Si AE = EO
de la base menor y n de la base mayor? y mEAO = 45°, calcule la razón de los volú-
menes entre los sólidos determinados por el tronco
S1
de pirámide regular ABCD - EFGH y la pirámide
O - EFGH.
Sx
Resolución
S2
Resolución
Matemática
179
Helicotaller
G eometría
Nivel I 3. En una pirámide regular de base cuadrada, las caras

laterales forman con la base diedros que miden 45°.
1. En una pirámide cuadrangular regular, el lado de la
Si la diagonal mide 2R, ¿cuál es el volumen del só-
base mide a. Si el área de dicha base representan los
lido limitado por la pirámide?
4
del área total, ¿cuál es la altura de la pirámide?
9 Resolución
Resolución
2. En la pirámide regular O - ABCD, la arista OA = 8 u Nivel II

y mAOB = 33,75°. ¿Cuál es el mínimo recorrido, 4. En una pirámide O - ABC
en u, que debe realizar una hormiga que partiendo
mAOB = mBOC = mAOC = 90°
de A se desplaza sobre la superficie lateral hasta lle-
gar al punto medio de OA? Si AB = 7 u, BC = 6 u y AC = 5 u, ¿cuál es el vo-
lumen de dicha pirámide en u3?
Resolución
Resolución
Matemática
180
5. Las aristas de las bases de un tronco de pirámide Nivel III
G eometría
regular triangular miden 2 u y 6 u. Si su arista lateral
7. Las áreas de las bases de un tronco de pirámide re-
mide 4 u, ¿cuál es su volumen en u3?
gular miden 1024 u2 y 625 u2, siendo su altura 42 u.
Resolución Calcule el volumen, en u3, del sólido limitado por
la pirámide determinada por la prolongación de las
aristas laterales.
Resolución
8. La región sombreada representa el desarrollo total

de una pirámide cuadrangular regular, si ABCD es
un cuadrado y los puntos P, Q, R, S, M, N, T y L
6. En una pirámide S - ABC, AB = 13 u, BC = 14 u y son puntos medios. Si AB = 8, calcule el volumen
AC = 15 u. Si los diedros que determinan las caras del sólido determinado por dicha pirámide.
laterales con la base miden 45°, ¿cuál es el volu-
B Q C
men, en u3, del sólido limitado por la pirámide?
N
Resolución
M T
P R
A S D
Resolución
Matemática
181
Helicotarea
G eometría
Nivel I Nivel II
1. En el siguiente gráfico se muestra una región poli- 3. En una pirámide triangular regular, el inradio de la
gonal que representa el desarrollo de la superficie base mide 1 cm. Si el área lateral es el doble del área
lateral de una pirámide regular. Calcule la razón de de la base, ¿cuál es el volumen, en cm3, del sólido
las áreas de la superficie lateral y de su base. limitado por la pirámide?
148° A) 3 B) 5 C) 3
D) 4 E) 3 2
4. Las bases de un tronco de pirámide regular son

triángulos equiláteros cuyas aristas básicas miden
3 cm y 7 cm. Si su arista mide 2 2 cm, ¿cuál es el
volumen, en cm3, del área lateral?
1
A) 4 B) C) 2
2 A) 45 B) 60 C) 72
5 D) 75 E) 90
D) 3 E)
2
Nivel III
2. En una pirámide regular O - ABCD, todas sus aristas 5. En una pirámide P - ABC se traza un plano paralelo
son congruentes y el área de la sección AOC es 8 u2. a la base ABC que interseca a la arista AP en Q, de
¿Cuál es la longitud, en u, del apotema? manera que AQ = 2(QP). Si el volumen del sólido
determinado por la pirámide P - ABC es V, ¿cuál es
A) 2 3 B) 2 2 C) 5 2
el volumen del sólido determinado por el tronco de
D) 4 3 E) 3 3 pirámide determinado en la pirámide por el plano
mencionado?
26 25 28
A) V B) V C) V
27 24 25
24 20
D) V E) V
23 19
Matemática
182
Tarea semanal
G eometría
Nivel I 4. En la figura se tiene el desarrollo de la superficie
1. En una pirámide regular triangular las caras laterales lateral de una pirámide regular. Si AO = 2AB y
forman diedros de 60° con la base y las aristas bási- AB = 8 u, calcule, en u2, el área total de la pirámi-
cas tienen longitudes 6. ¿Cuál es la capacidad de la de.
O
pirámide? A
A) 162 5 B) 72 2 C) 9 3
27 3
D) E) 108 5
2
B
2. Calcule la capacidad de la pirámide cuadrangular

regular inscrita en una semiesfera de radio R. C D
1 2 3 3
A) R3 B) R C) R3 A) 4 3 3 5 + 1 B) 2 5 4 3 + 1
3 3 4
C) 3 3 2 5 + 1 D) 3 5 3+1
3 1 3
D) R3 E) R E) 3 5
5 2
Nivel II Nivel III

3. En un tetraedro regular O - ABC, cuya arista mide
12 u, se traza un plano paralelo a la cara ABC que
5. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, la
biseca a las aristas OA, OB y OC. ¿Cuál es el vo-
arista lateral mide 10 cm y los lados de las bases
lumen, en u3, del sólido limitado por el tronco de
miden 16 cm y 4 cm. Halle el área total, en cm2, del
pirámide determinado por dicho plano?
tronco de pirámide.
A) 128 3 B) 126 2 C) 125 2
A) 480 B) 592 C) 680
D) 124 3 E) 136 3
D) 720 E) 824
Matemática
183
Helicodesafío
G eometría
1. En una pirámide de base triangular, la longitud del 4. En un tronco de pirámide triangular las áreas de las
radio de la circunferencia inscrita a la base es 2 cm bases son S1 y S2. Calcule el área de la región trian-
y la longitud del radio de la circunferencia inscrita gular cuyos vértices son los puntos de inersección
a la cara lateral mide 3 cm. ¿Cuál es la longitud, en de las diagonales de las caras laterales del tronco de
cm, del apotema de la pirámide? pirámide regular.
A) 20 B) 21 C) 22 S + S2
A) S1S2 B) S 21 S 22 C) 1
2
D) 24 E) 26
S1S2
D) E) 2 S1S2
2. En una pirámide regular S - ABCD, las apotemas de S1 + S2
las caras laterales SDC y SAB son, respectivamente,
SH y SQ. Si mQSH = a y HS = l, ¿cuál es el área 5. En una pirámide cuadrangular regular la medida del
lateral de la pirámide S - ABCD? ángulo entre dos caras laterales adyacentes es 2 a.
¿En qué razón están el área de la sección diagonal de
a a a
A) 8l 2 cos B) 8l 2 sen C) 4l 2 tan la pirámide y el área lateral?
2 2 3
1 cos a 3 cos a cos a
a a A) B) C)
D) 8l 2 tan E) 4l 2 sec 4 4 2
3 3
cos a 2 cos a
3. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC = 26 u, D) E)
3 3
AC = 20 u, M, N y P son los puntos medios de los
lados AB, BC y AC, respectivamente. Represente el
desarrollo de una pirámide al plegarse por las líneas
MN, MP y NP. Calcule el volumen, en u3, del sóli-
do limitado por la pirámide.
25 119 35 119 50 119
A) B) C)
3 3 3
65 119 70 119
D) E)
3 3
Matemática
184
CAPÍTULO
24 CONO
Objetivos
¾¾ Realiza el estudio del tema de manera ordenada.

¾¾ Contextualiza el contenido del tema en el ámbito de la vida real.
¾¾ Relaciona la teoría y la práctica para un óptimo aprendizaje.
Sabías que...
Geometría en el antiguo Egipto

Cuando hablamos de matemática egipcia, y más extensamente de ciencia egipcia, incluyendo
todas sus ramas, debemos antes de nada hacer notar que a diferencia de la matemática ba-
bilónica o más tarde la griega, la egipcia es ante todo una matemática empírica. Si hay algo
que caracteriza la ciencia del antiguo Egipto es que se enseñaba a los escribas de la misma
forma que durante siglos se había aprendido. No existen demostraciones de los métodos que
se emplean, ni siquiera conocemos el origen de las fórmulas. Lo más que podemos ver son
comprobaciones, pero nunca una demostración. Los conocimientos que tenemos sobre la
matemática egipcia se basan en 2 documentos: el papiro de Moscú, y el papiro Rhind. El
primero se encuentra en un museo de la ciudad de Moscú y el segundo en el Museo Británico
de Londres. Este último debe su nombre al anticuario escocés Henry Rhind. Los papiros
están compuestos de planteamientos de problemas y su resolución. En el papiro de Moscú te-
nemos 25 y 87 en el papiro Rhind. Es de suponer que ambos tenían una intención puramente
pedagógica, con ejemplos de resolución de problemas triviales. Los papiros datan del año
1650 a. C. (Rhind) y 1800 a. C. (Moscú), pero los conocimientos que en ellos aparecen bien
podrían fecharse en torno al año 3000 a. C. El papiro Rhind es también conocido como papi-
ro de Ahmes, escriba autor de la obra y comienza con la frase: “Cálculo exacto para entrar
en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”.
El papiro de Moscú es de autor desconocido.
Entender e interpretar la aplicación de la geometría en las actividades cotidianas es muy
importante, porque el ser humano a través de la historia ha desarrollado diversas actividades
en forma manual o rústica y también de manera sofisticada que le permitió crear sus propias
herramientas según su propias necesidades, así tenemos las personas que trabajan en alfa-
rería que es el arte de elaborar objetos de barro o arcilla y, por extensión, el oficio que ha
permitido al ser humano crear toda clase de enseres y artilugios domésticos a lo largo de la
historia. En las siguientes imágenes se muestran diversos objetos que tienen la forma de un
cono y de un tronco de cono.
185
G eometría
Vaso y taza que tienen la forma

Bosque de árboles en forma de cono. de tronco de cono.
Circunferencia Círculo d2
Elipse
Parábola P F2 Plano
Elipse secante
F1
Hipérbola
d1
Parábola
Hipérbola
En la superficie cónica de revolución se generan las cónicas y también se inscribe una superficie
esférica.
Se muestra el cono de señalización de tránsito en un desperfecto mecánico, un cono de helado y

un tronco de cono tallado.
Matemática
186
Helicoteoría
G eometría
SUPERFICIE CÓNICA
Definición Desarrollo de la superficie lateral y total de un cono

Se denomina superficie cónica a la unión de rectas con- circular recto
currentes en un punto que contienen a todos los puntos B
de una línea curva plana simple no coplanar a las rectas. g
g g
P A O'
r B
Área de la superficie lateral de un cono circular recto

Teorema: El área de la superficie lateral de un cono cir-
La figura mostrada es la superficie cónica cular recto es igual al producto de las longitudes de la
circunferencia de la base y la altura del cono.
CONO V
Se denomina cono a la figura geométrica determinada por
una superficie cónica cerrada y un plano secante a todas
las generatrices que no contiene al vértice de la superficie g g
cónica.
V
A O' B
r
En el cono circular recto, la longitud del radio de la base

es r y la longitud de la generatriz es g, luego el área de la
superficie lateral es
H SL = prg
P
La figura mostrada es el cono Área de la superficie total de un cono circular recto

 Vértice: V Teorema: El área de la superficieS total de un cono cir-
L = prg
 Altura: Es el segmento VH, H es pie de la altura del cular recto es igual al semiproducto de la longitud de la
cono. base y la suma de las longitudes del radio de la base y la
generatriz del cono.
Cono circular recto o de revolución V
Se denomina cono circular recto al cono que tiene como
base a un círculo y todas las generatrices congruentes.
g g
360° V
g g g A O' B
h r
Matemática
En el cono circular recto, la longitud del radio de la base

es r y la longitud de la generatriz es g, luego el área de la
A B superficie total es
r r O'
SL = pr(g + r)
187
Volumen de un solido determinado por un cono Tronco de cono de bases paralelas

G eometría
Teorema: El volumen de un sólido cónico es igual a un Se denomina tronco de cono de bases paralelas al tronco
tercio del producto del área de la base y la longitud de la de cono cuyas bases están contenidas cada uno en planos
altura del cono. paralelos.
V
A B
A' B'
S
H
En el cono mostrado, la base es una región plana y la En la figura se muestra un tronco de cono de bases pa-
longitud de la altura es h, luego el volumen del sólido ralelas.
determinado por el cono es
1 Tronco de cono circular recto o de revolución
V= S h
3 B
Se denomina tronco de cono circular recto, al tronco de
cono cuyas bases paralelas son círculos y las generatrices
Volumen de un solido determinado por un cono
son congruentes entre si.
circular recto
Teorema: El volumen de un sólido cónico es igual a un A r O B
tercio del producto del área de la base y la longitud de la
altura del cono.
g g
V
A' O' B'

h R
A B Desarrollo de la superficie lateral

r O' y total de un tronco de cono circular recto
En el cono circular recto, la longitud del radio de la base A' B'
es r y la longitud de la altura es h, luego el volumen del
O r
solido determinado por el cono es:
r B
A O
1
V= pr2 h R
3
g g O'
Tronco de cono A' O'

R B'
Se denomina tronco de cono a la figura geométrica deter-
minada por un cono y un plano no paralelo a la base del La figura mostrada es el desarrollo de la superficie total
cono, secante a todas las generatrices del cono. del tronco de cono de revolución.
V
Área de la superficie lateral de un tronco de cono
En la figura se circular recto
A
Matemática
B
muestra un tronco
Teorema: El área lateral de un tronco de cono circular
de cono de bases no
recto es igual al producto de la semisuma de las longitu-
paralelas.
des de las bases y la longitud de la generatriz del tronco
A' B' de cono.
188
A B Volumen del sólido determinado por un tronco de

r
G eometría
O
cono
Teorema: El volumen del sólido determinado por un
g g tronco de cono de bases paralelas es igual a un tercio del
producto de la longitud de la altura y la suma de las áreas
de las bases más la media geométrica de las mismas.
A' O' B' P
A S B
R
En el tronco de cono circular recto, la longitud del radio h

de las bases miden R y r, la longitud de la generatriz es g,
luego el área de la superficie lateral es
A' S'
SL = p(R + r)g H B'
Área de la superficie total de un tronco de cono La figura mostrada es el tronco de cono de bases para-
circular recto lelas.
h
Teorema: El área total de un tronco de cono circular V= S + S' + S SS'
3
recto es igual a la suma de las áreas de las bases y la su-
perficie lateral del cono.
Volumen del sólido determinado por un tronco de
A r O B
cono circular recto
A r O B
g SL g
A' O' B'

R
A' O' B'
En el tronco de cono circular recto, la longitud del radio R
de las bases miden R y r, la longitud de la generatriz es g,
luego el área de la superficie total es La figura mostrada es el tronco de cono circular recto, las
longitudes de los radios de las bases son R y r, la longitud
ST = SL + pR2 + pr2 de la altura es h, luego
ph 2
V= R + r2 + Rr
3
Matemática
189
G eometría
190
Helicosíntesis
SUPERFICIE CÓNICA
Superficie cónica Cono Cono circular recto o de revolución Desarrollo de la superficie lateral y Área de la superficie lateral
total de un cono circular recto del cono circular recto
360° V
V
V B
g
g g g g g
h V
r
P
A B g g A O' B
H r r O' r
P
El cono circular recto de revolución es generado Cono circular recto, longitud del radio de la
A r O' B base es r, longitud de la generatriz es g, luego:
por el triángulo rectángulo al girar una vuelta
La figura mostrada es la superficie cónica La figura mostrada es el cono. alrededor de la recta L, la longitud del radio de
la base es r y las longitud de la generatriz es g. SL = prg
Área de la superficie total Volumen del sólido Volumen del sólido determina- Tronco de cono de bases Tronco de cono de bases Tronco de cono circular
del cono circular recto determinado por un cono do por el cono circular recto no paralelas paralelas recto o de revolución
V V V V
A B A r O B
g g A
h B g g
S A' B'
A O' B H A B A' O' B'
r r O' A' B'
R
Cono circular recto, longitud del radio de la La base del cono es una región plana Cono circular recto, longitud del radio de
base es r, longitud de la generatriz es g, luego: y la longitud de la altura es h, luego: la base es r y la longitud de la altura es h. Tronco de cono de bases Tronco de cono de bases
no paralelas. paralelas.
1 1
SL = pr(g + r) V= S h V= pr2 h
3 B 3
Volumen del sólido determinado Volumen del sólido determinado por

Desarrollo de la superficie lateral y total Área de la superficie lateral de Área de la superficie total del por el tronco de cono un tronco de cono circular recto
del tronco de cono circular recto un tronco de cono circular recto tronco de cono circular recto
A S P B A r O B
A r O B A r O B
A' B'
h
O r g g g g
SL
A r B A' S'
O H B' A' O' B'
R A' O' B' A' O' B' R
g g R R
O' Tronco de cono circular recto, los radio
Tronco de cono circular recto, longitud Tronco de cono circular recto, longitud del La figura mostrada es el tronco
de las bases miden R y r, longitud de la
A' O' del radio de las bases miden R y r, radio de las bases miden R y r, longitud de de cono de bases paralelas.
R B' generatriz es h.
longitud de la generatriz es g. la generatriz es g.
h ph 2
SL = p(R + r)g V= S + S' + S SS' V= R + r2 + Rr
ST = SL + pR2 + pr2 3 3
Matemática
Problemas resueltos
G eometría
1. El volumen de un cono de revolución es 36p cm3. Se Resolución
inscribe un triángulo equilátero ABC en la base del Graficamos
cono. El triángulo ABC está circunscrito a una cir-
R
cunferencia cuyo círculo es base de un cilindro recto
inscrito en el cono. Calcule el volumen del cilindro h
en cm3. (UNI 2019 - I) 2
h R
Resolución
h
Nos piden Vcilindro. 2
Dato: Vcono de revolución = 36p
R
Piden el volumen común de los conos, es decir, el

h volumen de los dos conos pequeños mostrados.
2 2
R R 1p R h 1p R h
→ Vcomún = · + ·
3 2 2 3 2 2
h h h pR2h
∴ Vcomún =
2R 12
60°
R R pR2h
R 60° Rpta.:
60° 12
3. Un cono se llama equilátero si la generatriz mide
Sabemos que Vcilindro = pR2 · h (1) igual que el diámetro en la base. Calcule el volu-
En la base observamos men, en cm3, de un cono equilátero si la longitud
del radio de la esfera inscrita es 3 cm.
60° (UNI 2017 - II)
R
Resolución
R
2R R Cono equilátero
60° 60°
2R R3 3p
R 3 V=
3
Del daro Vcono = 36p
R
p(2R)2 · (2h)
= 36p
3 En el problema tenemos
27
→ R2 · h (2)
2
Luego reemplazamos (2) en (1)
27p
∴ Vcilindro =
2 O'
27p r
Rpta.: 60°
2 3
A 30° O
3 R
Matemática
2. Se tiene dos conos rectos de la misma altura h y

bases del mismo radio R. Si el vértice de cada uno O'OA: R = 3
está en el centro de la base del otro cono, ¿cuál es el R3 3p
volumen común, en u3, de los conos? (UNI 2018 - II) Vx =
3
∴ Vx = 9 3p
Rpta.: 9 3p
191
4. En un cono truncado está inscrita una esfera cuyo 5. El volumen de un cono de base circular de radio R y
G eometría
6 altura L es igual al volumen de un cubo de arista 2R.

volumen es igual a del volumen del cono trunca-
13 R
Calcule , donde r es el radio de la circunferencia
do. Determine la medida del ángulo formado por la r
generatriz del cono y su base interior. menor del tronco de cono de altura R, obtenido del
(UNI 2017 - II) cono de base circular. (UNI 2017 - II)
Piden la medida del ángulo entre AB y la base del Volumen de un cono
cono (q). h
pR2h
6 V=
Dato: Vesfera = · Vcono R 3
13
a a A
a
R H
r r
ab
2R
O R= b
R
R R
q
2 2R 2R
q
q b 2 q
B R
b Nos piden .
r
Del dato Dato: Vcono = Vcubo
4 6 p2R pR2L pL
pR3 = · a2 + b2 + ab → = (2R)3 → R =
3 13 3 3 24
→ 10R2 = 3 a2 + b2 (*)
En el cono (que no menciona si es recto) se aplica
En el AOB: R2 = ab semejanza de triángulos.
Reemplazando en (*) R L
=
a b 10 r L–R
+ =
b a 3
R L
a b 1 → =
→ + = +3 r pL
b a 3 L–
24
Y como a < b → a = 1 y b = 3 R 24
∴ =
El AOB es notable. r 24 – p
24
q Rpta.:
→ = 30° 24 – p
2
∴ q = 60°
Rpta.: 60°
Matemática
192
Helicopráctica
G eometría
Nivel I 3. En un cono de revolución la generatriz mide g, la
altura mide h y la distancia del centro de la base a
1. La intersección de una superficie cónica circular
una generatriz es d. Calcule el volumen del cono.
recta con un plano determina una parábola si
a. el plano de intersección es perpendicular al eje Resolución
de la superficie cónica.
b. el plano de intersección forma con el eje del
cono un ángulo mayor que el ángulo de aber-
tura formado por una generatriz y el eje de la
superficie cónica.
c. el plano de intersección forma con el eje un
ángulo menor que el ángulo que forma una ge-
neratriz con el.
d. el plano de intersección es paralelo a una gene-
ratriz de la superficie cónica.
e. el plano de intersección pasa por el vértice y
paralelo a la base.
Resolución
4. En la figura, T y E son puntos de tangencia,

OT = 3 u y OL = 1 u. Si el volumen del cono de
revolución generatriz EP es V, ¿cuál es el volumen
del cono de revolución de generatriz ED?
2. En un cono de revolución el área de la superficie D
total es 20p cm2 y la generatriz mide 8 cm. Calcule
la longitud, en cm, del radio de la base del cono.
Resolución P
LO
E F
T
Resolución
Matemática
193
Nivel II 7. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de

G eometría
revolución de generatriz 5 u es un sector circular

5. Un cono de revolución está inscrito en un hexaedro
cuyo ángulo mide 216°. Calcule el volumen, en u3,
regular cuya arista mide a, el vértice del cono per-
del sólido determinado por el cono.
tenece a una cara y su base está en la cara opuesta.
¿Cuál es el volumen del sólido limitado por el cono? Resolución
Resolución
8. En la figura, mLCD = 2(mGHD), LB = BC,

BC = HD = 5 m, BQ = QA, AD = 7 m y CH = 1 m.
Calcule, en m3, el volumen del sólido determinado
entre los dos troncos de cono de revolución.
6. En un cono de revolución, el radio de la base tiene B
L C
longitud r y la generatriz mide g. ¿Cuál es la lon-
gitud del radio de la sección paralela a la base cuya H
área sea igual al área lateral del tronco de cono?
O
P G
Resolución
D
A
Resolución
Matemática
194
Nivel III 11. En el cono de revolución donde el ángulo formado
G eometría
por sos generatrices opuestas es 74°, la suma de las
9. En un cono de revolución de diámetro AB su gene-
distancias trazadas desde un punto de un diámetro a
ratriz mide k m y el ángulo que forman dos gene-
las generatrices que pasan por el extremo del diáme-
ratrices opuestas es 60°. Calcule, en m, el menor
tro es 4 m. Calcule, en m3, el volumen del cono.
camino para ir de A hasta B por la superficie cónica.
10. En el cono de revolución donde la altura y radio de 12. Un cateto de una región triangular rectangular isós-
la base miden 12 m y 5 m, respectivamente, se ins- celes mide a. Calcule el volumen del sólido de re-
cribe un cilindro de revolución de volumen máximo. volución que se genera cuando gira alrededor de la
Calcule, en m3, el volumen limitado entre el cono y hipotenusa.
el cilindro. Resolución
Resolución
Matemática
195
Helicotaller
G eometría
Nivel I
1. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las 3. Al desarrollar la superficie lateral de un cono de
siguientes proposiciones. revolución se obtiene un semicírculo. ¿Cuál es la
medida del ángulo que determinan dos generatrices
a. Existe un cono en el cual la generatriz y el diá-
diametralmente opuestas del cono?
metro de la base son congruentes. ( )
Resolución
b. En todo cono circular recto, la longitud de la
altura es menor que la longitud del radio de la
base. ( )
c. La base de todo cono oblicuo es un círculo.
( )
Resolución
Nivel II
4. En un cono de revolución, el área de la base es
2. En un cono circular recto, la mediatriz de una gene-
A1 u2, el área de una sección axial es A2 u2. Calcule
ratriz contiene al centro de la base. Si una generatriz
el volumen, en u3, del cono.
mide 8 cm, ¿cuál es el área de la superficie lateral,
en cm2, del cono? Resolución
Resolución
Matemática
196
5. Los radios de las bases de un tronco de cono de Nivel III
G eometría
revolución miden 1 cm y 3 cm. Si el área de la su-
7. Sea T el vértice de un cono circular recto, el punto
perficie lateral es igual a la suma de las áreas de
O es el centro de su base. Desde el punto B exte-
sus bases, ¿cuál es el volumen, en cm3, del sólido
rior a su base y coplanar, se traza BQ tangente a la
determinado por el tronco de cono?
base, siendo Q el punto de tangencia. Si TO = 8 cm,
Resolución OQ = 6 cm y BO = 10 cm, ¿cuál es la distancia, en
cm, de Q al segmento TB?
Resolución
6. Un cono de revolución, cuya altura mide h es inter-

secado por un plano paralelo a la base, determinán- 8. En un cono de revolución de volumen V, se inscribe
2 un cilindro de revolución cuyo radio de la base mide
dose un tronco de cono de volumen igual a del
3 la mitad del radio de la base del cono. Calcule el
volumen del cono. ¿Cuál es el valor de A luego de volumen del sólido determinado por el cilindro.
calcular la longitud de la altura del tronco de cono y
3 Resolución
obtener 3 – A h?
3
3
Resolución
Matemática
197
Helicotarea
G eometría
Nivel I 4. En la Panamericana, cerca de Casma, se ha formado

1. De un disco de cartulina de radio R = 4 cm se corta una duna en forma de tronco de cono de revolu-
un sector circular de ángulo central q. Con la parte ción. Las longitudes de las circunferencias son 4p m
restante del disco, uniendo los bordes cortados se y 2p m (ver figura). Halle el volumen de la duna en
forma un cono. Si el ángulo en el vértice del cono metros cúbicos.
construido mide 60°, determine cuánto mide el án-
gulo q.
A) 90° B) 115° C) 120°
10 m
D) 135° E) 180°
2. De un disco de cartulina de radio 6 cm se corta un

sector circular de ángulo central q = 120°. Con
la parte restante, uniendo los bordes, se forma un
cono. Determine el coseno del ángulo en el vértice A) 3p B) 5p C) 7p
del cono construido. D) 10p E) 11p
2 1
A) 0 B) C)
2 2
Nivel III
1 1
D) E) 5. Una pirámide de base cuadrada y un cono tienen el
5 9
vértice común O, la base de la pirámide está inscrita
en la base del cono. Halle el volumen comprendido
Nivel II
entre las caras de la pirámide y la superficie del cono
3. Si una esfera de radio r cm se inscribe en un cono si el lado del cuadrado mide 2 m y la generatriz del
circular recto equilátero, cuyo radio de la base mide cono 9 m.
R cm, ¿cuál es la razón entre dichos volúmenes, res-
4 5 (p – 2) 3 8 5 (p – 2) 3
pectivamente? A) m B) m
3 3
5 4 1
A) B) C)
9 9 3 13 5 (p – 2) 3 6 5 (p – 2) 3
C) m D) m
2 1 3 5
D) E)
9 9 8 5 (p – 2) 3
E) m
5
Matemática
198
Tarea semanal
G eometría
Nivel I Nivel II
1. La altura de un cono circular recto mide 15 cm y el 3. En un cono recto de 6 cm de radio y 8 cm de altura
radio de su base 8 cm. Se taladró un agujero cilín- se traza un plano paralelo a su base de modo que
drico de diámetro 4 cm en el cono a lo largo de su el área del círculo que se determina en el plano sea
eje, resultando un sólido como el que se muestra en igual al área lateral del tronco de cono determinado.
la figura. Calcule el volumen de ese sólido. Calcule la altura del tronco de cono en cm.
A) 8 – 2 11 B) 8 – 2 10 C) 8 – 2 9
D) 8 – 2 8 E) 8 – 2 7
4. En un cono circular recto la generatriz mide 12 cm

y una cuerda de la circunferencia de la base mide
16 cm. Si la distancia del centro de dicha circunfe-
rencia a la cuerda es 4 cm, ¿cuál es el volumen del
cono en cm3?
640p 641p 642p
A) B) C)
A) 240p cm3 B) 360p cm3 C) 260p cm3 3 3 3
D) 264p cm3 E) 270p cm3 643p 644p
D) E)
3 3
2. Se tiene un cono circular recto de volumen V y lon-
gitud de la altura H. La superficie lateral de este Nivel III
cono se interseca por dos planos paralelos a la base 5. Considere un embudo compuesto por un tronco de
que trisecan a la altura H obteniéndose conos parcia- cono de altura 12 cm y radios de sus bases 5R cm y
les de volumen V1 y V2, respectivamente (V2>V1). R cm y un cilindro de radio R cm y altura 5 cm. Si
a el embudo puede contener 129p cm3 de agua, halle
Si V = aV1 + bV2, calcule el cociente , sabiendo
b R, en cm.
que a – 2b = 12.
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
A) 8 B) 9 C) 10
D) 2 E) 2,5
D) 11 E) 12
Matemática
199
G eometría
Helicodesafío
1. Los diámetros de la base de un tronco de cono de 4. El volumen del sólido determinado por un cilindro
revolución miden 22 y 4 unidades, respectivamente. de 600 m3 y la longitud de su diámetro es igual a su
Calcule la longitud del radio, en unidades, de la base altura. Calcule el volumen, en m3, del sólido de-
de un cilindro de revolución que tiene la misma altu- terminado por el cono de revolución inscrito en el
ra y el volumen equivalente al tronco del cono dado. cilindro.
A) 6 B) 7 C) 8 A) 200 B) 300 C) 350
D) 9 E) 10,5 D) 400 E) 450
2. El ángulo de desarrollo de un cono circular recto 5. Al desarrollar la superficie lateral de un cono de re-
mide 120°. Si la altura del cono mide 4 cm, ¿cuánto volución se obtiene un semicírculo de área 36p cm2.
mide el radio del cono, en cm? Calcule la longitud, en cm, del radio de la base del
cono.
1
A) B) 3 C) 5 3 A) 2 2 B) 3 2 C) 4 2
2
D) 6 2 E) 8 2
D) 8 E) 2 3
3. Calcule el volumen del sólido determinado por un

cono de revolución, el área de la superficie lateral es
A y la distancia del punto medio de la altura a una
de sus generatrices es igual a h.
Ah Ah
A) Ah B) C)
3 2
Ah 2Ah
D) E)
4 3
Bibliografía y cibergrafía
¾¾ MOISE, Edwin; DOWNS, Floys. Geometría moderna. Fondo Educativo Interamericana. Edición 1970.
¾¾ HELFGOTT, M. Geometría plana. Editorial Escuela Activa S.A. Lima, Perú. 1992.
¾¾ VEGA Villanueva, Flavio. Matemática moderna 4. Editorial Colegio Militar Leoncio Prado. 1961.
¾¾ VEGA Villanueva, Flavio. Geometría moderna.
Matemática
200

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CAPÍTULO

Dadas una recta y una poligonal (abierta o cerrada), no 1. Clasificación

Las bases son las regiones poligonales paralelas con- C

La sección transversal de un prisma es la región deter- C'

Dos aristas paralelas de un paralelepípedo que no perte- Área de la superficie de un prisma

En el paralelepípedo rectangular Tronco de prisma

Es una porción de prisma limitado por una de sus bases y

Volumen del sólido limitado por un prisma a. Área lateral AL

1. Sólido prismático El área lateral de un tronco de prisma es igual

El volumen del sólido limitado por el prisma es igual

A 2. Tronco de prisma triangular recto

B1 B AL = Suma de las áreas de las caras laterales

Superficie prismática Tipos de prisma Tronco de prisma

Prisma oblicuo Triangular recto

AT = ASL + 2Abase AT = ASL + B1 + B2

ASL = ∑Áreas de todas las

53º 5t Piden: Vx.

4. Dado un prisma triangular regular ABC - DEF, si

Nivel II 7. En un prisma cuadrangular regular ABCD - EFGH,

8. En un tronco de prisma recto ABC - DEF, el trián-

12. La base de un paralelepípedo recto es una región

Nivel I 3. En un prisma cuadrangular regular ABCD - EFGH,

5. En un prisma regular ABC - DEF, el vértice D dista Nivel III

8. En el gráfico, ABCD es una región paralelográmica

3. En un prisma cuadrangular regular, el segmento A) 4 2 B) 8 2 C) 16

¾¾ Conoce la superficie cilíndrica y sus características.

Definición Las bases son las secciones determinadas en los planos

Clasificación de los cilindros

Área de la superficie total: AST = ASL + 2B

Área de la superficie total: AST = ASL + 2B

3. Cilindro circular recto o de revolución Cilindro oblicuo de sección recta circular

r O2 Área de la superficie total: AST = ASL + 2B

Área de la superficie total: AST = ASL+ B1+ B2

lindro circular recto dro de sección recta circular

2. Tronco de cilindro oblicuo de sección recta

Área de la superficie lateral: ASL = 2prg

Área de la superficie total: AST = ASL + B1 + B2

Cilindro Tronco de cilindro

Superficie cilíndrica Cilindro recto Tronco de cilindro recto

1. Se tiene un tronco de cilindro circular recto con 2. Se tiene la siguiente figura:

Abase = p42 = 16p cm2

Nivel I 3. La sección axial de un cilindro de revolución es la

Nivel II 7. En un cilindro oblicuo de sección recta circular, O

8. Se tiene un tronco de cilindro oblicuo de sección

Nivel III 11. En el desarrollo de la superficie lateral de un ci-

lindro de revolución, se inscribe una circunferencia

12. La generatriz de un cilindro oblicuo de base circular

2. El volumen del sólido determinado por un cilindro Nivel II

5. Halle el área lateral de un cilindro de revolución Nivel III

conociendo que la sustracción de los cuadrados de

8. Un cilindro de revolución cuyo radio mide 5 cm es

2. Un cilindro de revolución se inscribe en un prisma

A) 2:3 B) 3:1 C) 1:9

2. En un cilindro de revolución, se inscribe un prisma

A) 110p B) 120p C) 140p

2. En un cilindro de revolución, A es un extremo de D

103 7p 33 7p 53 7p 5. En la figura, se muestra un cilindro oblicuo de sec-

pl2 2 pl2 3 pl2

El número de oro y la pirámide de Keops