TRABAJO Y ENERGÍA

IMPULSO I. Vimos que la ecuación fundamental de la partícula, se da por

dp … (1).
F
dt

Si conocemos la fuerza como función del tiempo, podemos integrar (1)

p t

 dp   F (t )dt … (2)
p0 t0

t
De donde p  p0   Fdt se denomina impulso I
t0

t
I   Fdt
t0

La variación del moméntum lineal I   p , es el impulso de la partícula:

I  p  p0 I  p
Este impulso, es obvio que depende de la intensidad de la fuerza. El tiempo puede ser tan
corto, pero puede determinar un gran efecto sobre la partícula, tal como sucede cuando
se acerca una partícula cargada cerca de un cuerpo ionizado con carga de igual signo que
el de la partícula, pero de módulo mucho mayor que la carga de la partícula y lo acelera
como consecuencia de la interacción.
Si la masa es constante

I  mv  mv0

La variación de la velocidad es, por consiguiente

I I
v  v0  v  v0  … (5)
m m
Determinemos la velocidad
dr
v
dt

Tendremos entonces que

dr  I 
v dr   v0   dt
dt  m

Hallemos r
r t
 
Integrando  dr    v0  I  dt
r0 t0  m
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 2

t
 I 
t
I
r  r0    v0   dt r  r0  v0 (t  t0 )   dt
t0 
m t0
m

Si el tiempo inicial es cero t0  0 cuando empieza a desplazarse r0  0 , en cuyo caso

t
I
r  v0t   dt … (6)
t0
m

TRABAJO (W)
Supongamos que se desea desplazar un cuerpo de masa m, como el de la figura, sobre la
superficie, una distancia r, para esto decimos que deseamos realizar un TRABAJO.
Este trabajo lo realiza la fuerza aplicada F. se ha atado un cable en la dirección que se
indica. La fuerza hace un ángulo  con la horizontal. La fuera tendrá una componente
horizontal que será la responsable del desplazamiento, FH , siendo:

FH  F Cos 
La fuerza vertical no la traslada, más bien trata
de levantar al cuerpo.

Definimos el trabajo (W) que realiza la fuerza F para desplazar el cuerpo de masa m
sobre la superficie, una distancia r, como el producto del módulo de la componente de
la fuerza a lo largo del desplazamiento, por la distancia desplazada.
O sea:
W  ( F Cos )r

W  Fr Cos … (7)
Es la expresión del producto escalar
W  F r … (8)
Dado que la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales.
Vemos que el trabajo es un escalar.
Sus unidades:
En el sistema SI es el JOULE.
1 joule: trabajo que realiza la fuerza de 1N al desplazar la partícula 1m.
1Joule=1Newtonx1metro
En el cgs: se denomina ERGIO:
1 ergio=1dina x1cm
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 3

1Joule=105 dinas x 102 cm=107 ergios

Si la trayectoria no es una recta y es variable, como es el caso del movimiento curvilíneo,
o la fuerza es dependiente del tiempo, o de la distancia, en cuyo cao es preferible tomar
el paso al límite y tendremos
dW  F .dr … (9)

dr  ds : elemento de arco
El trabajo es, entonces
rB

W  F .dr
rA
… (10)

Si

W = Fr Cos   Fs r

Su gráfica: Fs Vs r rA rB Fr

El trabajo se representa por el área sombreada en las figuras:

Trabajo de la fuerza variable. El trabajo

siempre se representa por el área sombreada.

Trabajo de una fuerza que varía con la distancia F=kx

Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 4

Ejemplo:

POTENCIA (P)
Es la rapidez con que se realiza un trabajo. Lo cual es igual que decir que es la relación
entre el trabajo realizado y el tiempo que tarda en efectuarse ese trabajo. ES LA
RAPIDEZ CIN QUE SE REALIZA UN TRABAJO.
W
P
t

Pero preferible es tomar el paso al límite

dW
P … (10)
dt

Sus unidades en el sistema internacional (SI)

WATT=Joule/seg
También se usa el HORSE POWER (caballo de fuerza): HP
1HP=746 Watt
En el sistema cgs no tiene un nombre definido.
Otras unidades:
KILOWWATT (Kw) =1000W =103 W
MEGAWATT (Mw)=11 000 000=106 W

En la ecuación (10), vemos que

F .dr
P
dW dW 
dt dt

Donde dr  v es la velocidad de la partícula. Por lo que podemos expresar la potencia

dt
como el producto escalar de la fuerza por la velocidad.
P  F v … (11)

Notamos que la potencia es un escalar.

Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 5

EJEMPLOS

ENERGÍA
La entendemos como la capacidad de realizar un trabajo. Tiene las mismas unidades del
trabajo.
En la naturaleza existen muchas formas de energía tales como la energía cinética (o de
movimiento), la energía potencial (o de posición), energía calorífica, energía radiante,
atómica eólica, solar, etc.
ENERGÍA CINÉTICA (EK). Es energía asociada al movimiento de la partícula. Se
define como el producto de la mitad de la masa de la partícula por el cuadrado de la
velocidad

1
Ek  mv 2 … (11)
2

Donde m es la masa de la velocidad y v es la velocidad con que se mueve.

Supongamos que se desea realizar un trabajo para trasladar la masa m constante una
distancia r, la fuerza incrementa su velocidad desde v1 hasta v2 (o la velocidad varía).

El trabajo es dW  F .dr . Si la fuerza es paralela al desplazamiento ( F r )

dv
dW  m dr
dt

siendo dr , el módulo de la velocidad. Por lo que

dt

dW  mvdv
De donde
v2
1 1
W  m  vdv  mv22  mv12
v1
2 2

Los términos de la energía cinética

1
Ek1  mv12 energía cinética en el punto 1
2

1
Ek 2  mv22 energía cinética en el punto 2.
2

Por lo cual
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 6

W  Ek 2  E k 1 W  Ek … (12).
El trabajo es la variación de la energía cinética.
Si tomamos una fuerza tangencial en el movimiento curvilíneo se obtendrá el mismo
resultado.

TRABAJO EFECTUADO POR UNA FUERZA CONSTANTE EN MAGNITUD

Y EN DIRECCIÓN
Supongamos que un cuerpo se mueve en la trayectoria curva, acelerada sólo por su peso.
Está sujeta tan sólo a la acción de su peso

Sus vectores

W   mgj
r1  x1i  y1 j
r2  x2 i  y2 j

El trabajo que realiza cuando se desplaza del punto P1 al punto P2 es

r2

W   F .dr  F .(r2  r1 )
r1

En función de sus coordenadas

W  mgj . ( x2i  y2 j )  ( x1i  y 1 j ) 

W  mg ( y1  y 2 ) … (13)

El trabajo depende sólo de la diferencia de alturas. No depende de la trayectoria. Tan

sólo de la posición.
El trabajo es

W  mg ( y 2  y1 )
Si llamamos
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 7

E p1  mgy1 Energía potencial en el punto 1

E p 2  mgy2 Energía potencial en el punto 2

Es la energía potencial en cada punto debido a la aceleración de la gravedad, con

respecto a las alturas y1 e y2 . Depende solamente de la altura (posición con respecto al
eje x. El trabajo es el negativo de la variación de la energía potencial.

W  E p1  E p 2  ( E p 2  E p1 )

W  E p

Energía Mecánica (E). La constituyen la energía cinética y la energía potencial. La

energía total mecánica es la suma de las dos energías.
Energía total mecánica: energía cinética + energía potencial

ET  Ek  E p … (15)

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

Tomemos las ecuaciones (12) y (14) e igualémoslas:

W  Ek  E p

De donde tenemos

Ek 2  Ek1  E p1  E p 2

Acomodando:

Ek1  E p1  Ek 2  E p 2 … (16)

En esta ecuación, vemos que la energía total (1) es igual a la energía total (2)

ET 1  ET 2
Si tomaríamos la energía en un tercer punto tendremos que

ET 1  ET 2  ET 3  ...  cons tan te

Vemos que la energía total de la partícula se conserva.
La fuerza aplicada, hemos visto que es constante en módulo y en dirección y como se
conserva la energía, se denominan FUERZAS CONSERVATIVAS.
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 8

m  1Kg H  10m v 0  0

ET  Ek  E p
E0  Ek 0  E p 0  (1/ 2)mv 20  mgH  mgH  1x9,8 x10  98 J
Si cae 1m : h  1m
v y 2  2 gy  2(9,8) x1
ET  (9,8)  9,8 x9  98

H=10m
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 9

Gradiente de energía potencial

dW=F.dr = -dEp
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 10
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 11
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 12

W  Fr Cos
F  12 N  r  7 m
a )  0  W  Fr Cos   12 x7 xCos 0  84 J
b)  60º  W  Fr Cos 60  12 x7 xCos 60  42

c)W  12x7Cos90  0

d )12x7Cos145  68,8J

e) -84J

m  1200kg   5º

v  36 Km / h  36000m / 3600seg  10m / s

P?
F ?
F  1200 x9,8) Sen5º  0
La fuerza
F  1200 x9,8 xSen5º  1024,95 N
La potencia
P  F  v  Fv  1025 x10  10250Watts
Para el trabajo
P  W / t  W  Pt
t  5 x60  300s
W  Pt  10250 x300 Joules
W  31075000 Joules
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 13

a)
F  kr

   F .dr

Ep
r
 dE
0
p    Fdr   k  rdr
0

kr 2
Ep  
2

k
b) F 
r2
Ep
k r
 dE   Fdr  
0
p  r2
dr

1 1 
r
dr k
E p  k   k  k /r
r

r 


r2 r
Manuel Antonio Tapia Silva Trabajo y energía 14
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