Dirección General de Escuelas

Dirección de Educación Secundaria

Escuela 4-084 “Libertador Simón Bolívar”

San Martín – Mendoza – Argentina

MATEMÁTICA
1er AÑO Ciclo Básico
Profesores: Silvina Grilli, Natalia Grando, Eduardo Tejeda y Hernán Fernández

Año: 2023

Curso:

Alumno:

1
 PRIMER CUATRIMESTRE
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Z

En la mayoría de las situaciones de la vida real en las que se usan números, se utilizan
los números naturales.

Sin embargo, en algunos casos, tales como las deudas, las profundidades del mar, las
temperaturas bajo cero, los años antes del nacimiento de Cristo, etc…, se expresan como
números negativos.

La ampliación del campo numérico de los números naturales con los números negativos
nos permite definir a los números enteros.

Los números enteros forman un conjunto de números que incluyen a los números
naturales (enteros positivos), el cero y los enteros negativos.

A este conjunto lo simbolizamos con la letra Z. (Z es la primera letra de la palabra ZAHL

que en alemán significa número)

𝒁 = {… ; −𝟒 ; −𝟑; −𝟐 ; −𝟏; 𝟎 ; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; … }
Por otra parte, en Z, es posible definir la resta sin la restricción que es necesario hacer en
los números naturales: que el minuendo sea mayor que el sustraendo.

Ejemplos: 2 – 9 = -7 10 – 15 = -5

2
 Para tener en cuenta

Los enteros positivos están precedidos por el signo más, o por ningún signo.

Los números negativos están precedidos por el signo menos.

El cero no es positivo ni negativo.

ORDEN Y REPRESENTACIÓN EN LA RECTA

La representación de los números enteros es una recta a la que se le ha marcado el cero.

Se establece una unidad que debe ser representada para ubicar el resto de los números.

Los enteros positivos se ubican a la derecha del cero y los negativos a la izquierda.

Los signos + y – son los símbolos usados para indicar adición y sustracción, pero aquí
sirven para indicar la dirección del punto a partir del punto cero y no como una operación.

Para comparar números enteros sobre la recta numérica se mantiene el mismo criterio que
para comparar los números naturales.

Todo número que se encuentra a la izquierda de otro es menor que él y viceversa.

Ejemplos

𝟑<4 −1 <2

−𝟏 > −3 −3 <0 𝟎>1

3
VALOR ABSOLUTO Y NÚMEROS OPUESTOS

El valor absoluto de un número entero es la distancia que existe entre el número y el

cero, sin considerar la dirección.

Por ejemplo

Dos números son opuestos cuando tienen signos contrarios y el mismo valor absoluto, por
lo tanto se encuentran a la misma distancia del cero.

Ejemplos

+9 opuesto a -9 +3 opuesto a -3 +a opuesto -a

Propiedades de los números enteros

 El conjunto Z no tiene ni primero ni último elemento. En efecto todo número entero

tiene un antecesor y un siguiente.
 El conjunto Z es un conjunto bien ordenado. Podemos definir la relación mayor,
menor o igual.
 El conjunto Z es un conjunto discreto. Entre los números enteros no siempre existe
otro número entero.

4
 a. Representen gráficamente en la
ACTIVIDADES recta numérica y luego
completen:
1. Marquen con una cruz la
respuesta correcta

a. Afirmar que un número es negativo,

es lo mismo que decir: p está situado a la izquierda de …..

El número no es positivo m está situado a la ……………de p

El número es mayor que cero r está situado a la derecha de……

El número es menor que uno q está situado a la …………….de m

El número es menor que cero p está situado a la …………… de r

b. Coloquen <, > según

corresponda
b. La expresión simbólica de “m es un
número negativo” es:
-3 …………. 1
𝑚<1 1 …………. -9
-9 …………. –3
−𝑚 3 …………. -3
1 …………. 3
𝑚 <0

0 <𝑚 3. Escriban el anterior y el

posterior de cada número.

……….. 15 …………
……….. 0 …………
c. De las siguientes expresiones, las ……….. 99 …………
falsas son: ……….. – 2 …………
……….. 1 …………
−|−1| = 1 ……….. -100 ………..
……….. – 33 ………..
|−4 | = 4 ……….. – 1 ……….
|−55| < 0
4. Ordenen en forma
|−7 | = |+7| decreciente y marquen los
opuestos

11; -22; -28; 15; -12; 0; -3;

2. Dados los números:
𝑚 = −3 𝑝 = −9 𝑞 = 1 𝑟=3 7; -11; 12

……………………………………………
…………………………………………..

5
 5. Completen con >, < ó = según COMPARACIÓN DE LOS
corresponda NÚMEROS ENTEROS
a. 3………..5 h. -5 ……… - 1
b. 13 ……..9 i. 0 ………. - 9 Comparar dos números enteros a y
c. -1 ………-3 j. 50 …….. 16 b significa verificar que:
d. +3 ………-10 k. -18 ……. - 13 𝑎=𝑏
e. 5………..12 l. -40 …….. 0
f. -1 ……… -4 m. |−1| … … − 1 𝑎 >𝑏
g. – 100 ……. – 3 n. |3| … … . . |−3|
𝑎 <𝑏
6. Completen el cuadro
Si observamos la recta numérica
Númer Opuest Valor Anterio Siguient veremos que los números
o o Absolut r e
o x-1 x+1
asociados a sus respectivos puntos
|𝑥| están en orden creciente de
-8 izquierda a derecha. Es decir:
+6
18 a. Un número estero es menor que
-11 cualquier otro representado a su
derecha.
b. Un número entero es mayor que
7. ¿Cuál de los números dados
cualquier otro representado a su
tiene mayor valor absoluto?
izquierda.
a. – 2 y 4 ……………………..
b. – 30 y 1 ……………………….
c. 2 y – 4 ……………………….
d. 0 y – 100 ………………………. Respondan
e. 14 y – 1 ……………………….
1. ¿Cómo es cualquier número
entero positivo con respecto a
los números enteros negativos?
8. Si un termómetro está ………………………………….
marcando + 4 ° C 2. ¿Cómo es el cero con respecto
a. ¿Cuántos grados debe a todos los números enteros
disminuir la temperatura para negativos?
que el termómetro marque – 3 ………………………………….
°C? 3. ¿Cómo es el cero con respecto
b. Si la temperatura disminuye 4° a todos los números enteros
C, la nueva temperatura será: positivos?
¿positiva o negativa?
c. ¿Cuánto marcará el termómetro
si la temperatura disminuye
9°C?

6
 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Para efectuar operaciones con los números enteros debemos tener mucho cuidado con
sus signos.

Para que entendamos bien las reglas de los signos de las operaciones vamos a aprender a
caminar en la recta numérica.

Partiendo del origen, el cero, caminaremos tantas unidades como lo indique el número:

a. Para la derecha si el número es positivo.

b. Para la izquierda si el número es negativo

ADICIÓN

Representen que sucedería con los siguientes casos:

a. (+3 ) + (+2) = + 5

b. (− 2) + (− 4) = (− 6 )

c. (+ 5 ) + (−2) = +3

d. (−6) + (+ 4) = −2

e. (+ 5) + (− 5 ) = 0

7
 Los ejemplos nos sugieren la siguiente regla:

La suma de dos números enteros del mismo signo es igual a la suma de sus
valores absolutos conservando el signo.

La suma de dos números enteros de distinto signo es igual a la resta de sus

valores absolutos y el signo es el del número de mayor valor absoluto.

La suma de números opuestos es igual a cero, esto nos permite cancelarlos

cuando aparecen en una suma.

ACTIVIDADES
c. + (− 9 ) = −4
1. Resuelvan:
d. + 0 = −8
a. (− 7 ) + (+ 7) = …………………
e. (+ 13 )+ =0
b. (−9 ) + (+ 4) = ………………….
Propiedades de la suma de los números enteros
c. (− 8 ) + (− 4) = …………………

d. (−13 ) + (− 5) = ………………..
Las propiedades de la suma de los
e. (+ 4) + (− 3) = ………………… números naturales se mantienen en la
suma de los números enteros.
f. (+ 8) + (+ 3 ) = …………………
 𝑎+𝑏 = 𝑐 𝑦 𝑏+𝑎 =𝑐
g. (− 9 ) + (+ 12) = ……………….
2 + (−4) =…… (−4) + 2 = ………
h. (− 7 ) + (+ 3) = ………………..
La suma de los números enteros no se
i. (+ 3 ) + (− 3 ) = ……………….. altera cuando cambia el orden de los
sumandos.
2. Completen el cuadro con el
Esta propiedad se llama: ……………
número correspondiente:
 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 ) = 𝑚
a. (+ 8 )+ = +20
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑚

2 + ((−1 ) + 4 ) = ……..
b. (− 15 )+ = −18
(2 + (− 1) ) + 4 =……..

8
Observando los resultados obtenidos en 1. Resuelvan aplicando la
cada operación se verifica que la suma definición
de los números enteros no se altera si a. (+5) − (+9) = …….. ………..
reemplazamos algunos sumandos por su
suma parcial. b. (− 12) − (− 4 ) = ………………

Esta propiedad se llama: ……………… c. (− 20 ) − (+ 15 ) = ……………

d. (+ 14 ) − (+ 21) = ……………
 𝑎+0=𝑎 𝑏+0=𝑏
e. (− 13 ) − (− 2 ) = ……………

f. (+1 ) − (− 5) = ……………….
(−5 ) + 0 = …….. 0 + (+2) = ……..
g. (− 3) − (− 8 ) = ……………..
Observando los resultados obtenidos en
cada operación se verifica que la suma
h. (+11 ) − (− 6) = ……………..
de un número entero con el cero, da el
mismo número.
i. (+ 10 ) − (− 10 ) = ………….

j. (− 15 ) − (+ 9) = ………
Esta propiedad se llama: ……………..
2. Completen el cuadro con el
número que corresponda
SUSTRACCIÓN a. − (− 2) = 9

b. + 8− = −20
La diferencia entre dos números enteros
c. (−6)− = −12
se calcula sumando al primero
(minuendo) el opuesto del segundo
d. (−9)− =0
(sustraendo)

 e. − 0 = 22

(+𝟔) − (+ 𝟐) = (+ 𝟔) + (− 𝟐) = 𝟒 3. Calculen
a. (+ 9) + (− 11) = …………

b. (− 7 ) − (− 20) = ……..
(−𝟕) − (− 𝟑) = (− 𝟕) + (+ 𝟑) = −𝟒
c. (+ 8 ) + (− 4) = ……..

ACTIVIDADES d. (+ 13) − (+ 16 ) = ……

e. (− 6 ) − (− 14 ) = ……..

9
 …………........................................
4. Simplifiquen la expresión ......................................................
suprimiendo paréntesis
b. 3 − 8 − 6 − 4 − 1 =
a. (− 14 ) + (− 15 ) = ……… ………………………………………
………………………………………
b. (− 16 ) − (− 9 ) = ……….
c. − 12 + 13 − 5 − 9 =
c. (− 5 ) + (+ 3) = …………. ………………………………………
………………………………………
d. (+22) − (− 2 ) = ………..
d. 5 + 10 − 2 − 6 =
e. (− 7 ) − (− 16 ) = ……… ………………………………………
………………………………………

e. 13 − 7 − 5 + 9 + 6 =
SUMA ALGEBRAICA ……………………………………
…………………………………….
Suma algebraica es una combinación de
sumas y restas de números enteros. f. − 7 − 3 + 14 + 5 − 3 =
Cada número se llama término. ………………………………………
………………………………………
Ejemplo:
g. − 4 − 18 + 0 − 13 + 20 + 18 =
12 − 5 + 3 − 1 =
………………………………………
(12 + 3 ) − (5 + 1 ) = ………………………………………

h. 32 − 5 − 11 − 9 + 12 =
suma de n° positivos suma de n° negativos ………………………………………
………………………………………
15 − 6 = 9
i. − 1 − 2 − 8 + 17 − 4 =
La suma algebraica se resuelve restando
………………………………………
la suma de todos los términos positivos
………………………………………
con la suma de todos los términos
negativos.
3. Calculen las sumas algebraicas
ACTIVIDADES cancelando los números opuestos
cuando sea posible

a) − 6 + 4 + 8 + 6 =
a. − 6 + 4 + 8 − 9 − 7 =
b) – 3 − 4 − 5 + 3 + 6 =
c) − 7 + 9 − 4 − 9 + 6 + 4 =
d) 9 + 15 − 5 − 20 − 5 =

10
 Uso de paréntesis, corchetes y llaves

Cuando en un ejercicio aparecen

( ), [ ] 𝑦 { } los suprimimos usando
las siguientes reglas:
1° Se suprimen ( ) ACTIVIDADES
2° Se suprimen [ ]
3° Se suprimen { }
1. Resuelvan de la manera que crean
La regla de los signos empleada es: más conveniente:

a. 7 − (8 + 5 + 12 ) =
 Al suprimir un ( ), [ ] ó { }
precedido por un signo +, a los ……………………………………………
términos que estaban dentro de él
no se les cambian los signos.
 Al suprimir un ( ), [ ] ó { } b. 50 − 18 + [7 − (8 − 15 )] =
precedido por un signo - , a cada
término que estaba dentro de él ……………………………………………
se les cambia el signo.
c. 30 − [5 + (3 − 10 ) − 5 ] =

Ejemplo: 10 − [− 8 + (− 18 + 6)] = ………………………………………………..

Puede resolverse de dos maneras: d. 1 − { 2 + [3 − (1 − 4 ) + 4 ]} − 7 =

………………………………………………..
10 − [− 8 + (− 18 + 6)] = 2. Siendo P= 8 , calculen el valor de
las expresiones:

a. 5 − (1 − 𝑃 ) =

……………………………………………….
Suprimiendo los ( ) 𝑦 [ ] y asociando b. (8 − 𝑃 ) + 9 =
los términos positivos y negativos
entre sí. ………………………………………………

10 − [− 8 + (− 18 + 6)] = c. (4 − 𝑃 ) − (2 + 𝑃 ) + 10 =

……………………………………………..

d. − 3 − [𝑃 − 8 + (𝑃 + 3) ] =
Resolviendo las operaciones indicadas
entre ( ), [ ] y asociando ……………………………………………

11
 TRABAJO PRÁCTICO N° 1:
NÚMEROS ENTEROS- ORDEN- REPRESENTACIÓN- VALOR ABSOLUTO- ADICIÓN Y
SUSTRACCIÓN.

Fecha: ……………………. Estudiante: ………………………………………

1. En un edificio la planta baja está indicada como cero y los subsuelos con números
negativos. Completen el siguiente cuadro referido a distintas personas que utilizan el
ascensor:

SUBE EN VIAJA EN EL BAJA EN EL

EL PISO ASCENSOR PISO
-2 7 pisos hacia arriba
4 6 pisos hacia abajo
5 pisos hacia arriba 3
8 pisos hacia abajo -2
9 0
-3 7

2. Representen en la recta numérica los siguientes números enteros: -8 ; 3 ; -1 ; 5 ; 0 ; 6

3. Las siguientes son las temperaturas medias que se registraron durante una semana en
una ciudad.

Lunes: 7° Martes: -3° Miércoles: 0° Jueves: 5° Viernes : -1° Sábado: 6°

Domingo: -5°

a. Ordenen las temperaturas de mayor a menor.

b. ¿Qué diferencia hay entre la mayor y la menor temperatura? (distancia)

4. Ordenen los siguientes números en forma creciente:

-56; -7 ; -2 ; 98 ; -12 ; 123 ; -134 ; 3 .

5. Coloquen ‹ , › o = según corresponda:

-4…………-13 -6…………..3 -7..…….…….-10 -2……………0 -

98………….14 6………….-73 |24|…………0 |-5|……………..-5 |-
34|……………|34| |-7|……………|6| 0…………..|-4| 67…………|-67|

6. Coloquen V o F según corresponda:

12
  El opuesto de 6 es -6.
 El siguiente de -124 es -125.
 El módulo de 7 es -7.
 Un número entero positivo es mayor que otro si tiene mayor módulo.
 Entre dos números enteros negativos es menor el que tiene menor módulo.
 En la adición de números enteros se cumple la propiedad conmutativa.
 El elemento neutro en la adición es el 1.
 Si sumo dos números enteros negativos el resultado es positivo.

7. Resuelvan:

a) ( -10 ) + ( + 5 ) =
b) ( –1) + ( -13 ) =
c) ( + 4 ) + ( + 28 ) =
d) (-4)-(-1)=
e) ( + 3 ) - ( + 21 ) =

13
 TRABAJO PRÁCTICO N°2:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z. SUMA ALGEBRAICA.

Fecha: Estudiante:

1) Resuelvan, eliminando paréntesis cuando sea necesario:

a) 21 – 3 + 48 – 5 – 5 = g) 40+10-(35+4)–2–1-(-6)=
b) 18 + 94 – 10 + 7 = h) (6–3+5-1)+2-(-15)=
c) – 2 + 6 – 10 -10 = i) 14-(17–5+8)+(-9)=
d) – 14 + 5 – 8 + 2 = j) –12+(-5-6-4)-(7-3)=
e) – 3 + 32 – 8 – 2 = k) 4+(-1-1)+(-9+10)-17=
f) – 1 – 2 + 9 + 5 – 4 – 20 = l) 52-(32+42)+(13-5+6)=

2) LA PIRÁMIDE: Completen las siguientes pirámides desde la base hasta la cima; de

manera tal que cada ladrillo sea la suma de los otros dos en los que se apoya.

3) Resuelvan las siguientes situaciones:

a. Una persona nació en el año 123 a.C. (antes de Cristo) y murió en el año 87 a.C.
¿Cuántos años vivió?
b. Una persona que nació en el año 22 a. C. y murió en el año 13 d.C. ¿Cuántos
años vivió?
c. Supongamos que hacemos un experimento en el que logramos congelar una
sustancia que inicialmente estaba a 129 °C y la llevamos a 52°C bajo cero, ¿cuántos
grados tuvimos que enfriar la sustancia?

14
 d. La temperatura en una ciudad al amanecer era de -5°C, al mediodía subió 8°C y
en la tarde subió 4°C más; al anochecer la temperatura bajó 3°C. ¿cuál es la
temperatura al finalizar el día?
e. Juan le debía al almacenero $34, le pagó $ 50 y dejó lo que le quedaba a cuenta
a su favor, después llevó durante 3 días unas galletitas que valen $9 cada una.
Luego le pagó otros $10 ¿le debe plata Juan al almacenero?

4) Coloquen V o F según corresponda:

a. 2 + 9 + 5 = 5 + 2 + 9
b. 2 + 6 + 12 = ( 2 + 6 ) + 12
c. 2 + 0 = 0
d. 4 – 13 = 13 – 4

15
 ÁNGULOS- SISTEMA SEXAGESIMAL
Un ángulo es la región del plano determinada por dos semirrectas que tienen el mismo
origen.

Para nombrar un ángulo se puede utilizar una de las siguientes formas:

 aôb, se escribe el vértice en el medio

 ô se escribe sólo el vértice
 α̂ se escribe una letra griega.

Para la medición de ángulos se utiliza el sistema sexagesimal, en el cuál un giro

completo está dividido en 360 partes iguales (grado), cada grado está dividido en 60
partes iguales (minuto) y cada minuto en otras 60 partes iguales (segundo).

1 giro = 360°
1° = 60̓
1̓ = 60”
1° = 60̓ = 3600”

LEAN ATENTAMENTE LA SIGUIENTE SITUACIÓN Y RESPONDAN:

El profesor de Historia piensa organizar el acto del 25 de Mayo de la siguiente

forma:

16
  Saludo: 25’’ Si el acto no puede
superar los 45’, ¿le alcana
 Entrada de la bandera de
el tiempo?
ceremonias: 35’’ …………………………..
 Canto del himno Nacional: 5’ 20’’
¿Cuánto tiempo dura el
 Palabras a cargo de la rectora: acto que organizó el
profesor?
8´30’’
 Actuación de los estudiantes: 15´ ……………………………
 Palabras a cargo de un profesor:
6´40’’
 Retiro de la bandera de
ceremonias: 35’’

OPERACIONES CON ÁNGULOS

ADICIÓN SUSTRACCIÓN

1. Completen para que se verifique la igualdad:

+ 35° 50̓ = 73° 5̓

165° 40̓ 30” - = 149° 50̓ 10”

27° 30” + = 119° 11̓

17
2. Resuelvan:

47° 52̓ 39” + 85° 24̓ 45”=

95° 12̓ 21” – 53° 50̓ 28”=

3. Calculen mentalmente y completen las siguientes oraciones.

a) Un giro equivale a grados.

b) minuto/s equivale/n a 60 segundos.

c) 180 minuto/s equivale/n a horas.

d) segundos equivalen a 2 minutos.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Los ángulos se clasifican según su amplitud en:

 Nulos ( miden 0°)

 Agudos ( miden más de 0° y menos de 90°)
 Rectos ( miden 90°)
 Obtusos ( miden más de 90° y menos de 180°)
 Llanos ( miden 180°)
Un ángulo es cóncavo cuando es mayor que un llano. Es convexo cuando es menor.

4. Utilicen los puntitos de la trama como vértices y dibujen cada ángulo.

̂.
a. Un ángulo cóncavo ∝

b. Un ángulo convexo 𝛽̂ .

c. Un ángulo llano 𝜋.
̂

d. Un ángulo recto 𝜔
̂.

e. Un ángulo agudo 𝛿̂ .

18
f. Un ángulo obtuso 𝜇̂ .

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
Dos ángulos son complementarios cuando
la suma de sus amplitudes es igual a 90°.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
Dos ángulos son suplementarios cuando la
suma de sus amplitudes es igual a 180°.

ÁNGULOS CONSECUTIVOS:
Tienen el vértice y un lado en común.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL

VÉRTICE:
Dos ángulos son opuestos por el vértice si
tienen el vértice en común y sus lados son
semirrectas opuestas.

ÁNGULOS ADYACENTES:
Dos ángulos son adyacentes si son
consecutivos y suplementarios.

19
TEST DE COMPRENSIÓN

5. Completen con “siempre”, “ a veces” o “nunca” según corresponda.

a) Los ángulos suplementarios ………………………… son adyacentes.

b) Los ángulos adyacentes ……………………………….son suplementarios.

c) Los ángulos opuestos por el vértice…………………………. son complementarios.

d) Los ángulos consecutivos………………………………son suplementarios.

e) Los ángulos complementarios……………………………. son adyacentes

6) Respondan y expliquen las respuestas:

a) Dos ángulos suplementarios, ¿siempre son adyacentes?

b) Dos ángulos adyacentes, ¿siempre son suplementarios?
c) ¿Cuál es el complemento de de α = 30°? ¿Y el complemento de 0°?
d) ¿Cuál es el suplemento de β= 105°? ¿y el suplemento de 0°?
e) Si dos ángulos suman 90° 1̀ ¿son complementarios?
f) Si β y α son suplementarios, ¿se puede asegurar que β = α?
g) ¿Se puede calcular el complemento de un ángulo obtuso?
h) ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo recto?
i) Si dos ángulos tienen un lado en común ¿son adyacentes?
j) ¿Todos los ángulos adyacentes son suplementarios?
k) Los ángulos opuestos por el vértice, ¿siempre son suplementarios?
l) ¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes?
m) Si dos ángulos miden lo mismo, ¿se puede asegurar que son opuestos por el
vértice?

7) Escriban V (verdadero) o F (falso):

Dos ángulos son suplementarios si suman 90°.

Los ángulos adyacentes pueden ser no consecutivos.

Los ángulos opuestos por el vértice son suplementarios.

Los ángulos consecutivos tienen un vértice y un lado en común.

Los ángulos complementarios son consecutivos.

Algunos ángulos adyacentes son complementarios.

20
8) Hallen el valor de los ángulos señalados en las siguientes figuras:

21
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Y BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

La mediatriz de un segmento (Mz) es la recta perpendicular que pasa por su punto medio.
Los puntos de la mediatriz equidistan, es decir, están a la misma distancia de los
extremos del segmento.

Para trazar la mediatriz pueden seguir estos pasos:

1) Se apoya el compás en uno

de los extremos del segmento
con una abertura mayor a la
mitad del segmento y se traza
una circunferencia.

2) Se repite el procedimiento
apoyando en el otro extremo del
segmento, con la misma
abertura.

3) Se dibuja la recta que

determinan los dos puntos de
intersección de las
circunferencias.

22
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La bisectriz de un ángulo (Bz) es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Los
puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.

Para trazar la bisectriz, pueden seguir estos pasos:

1) Se pincha el compás en el vértice y se traza

un arco que corte a los dos lados del ángulo.

2) Desde las intersecciones del arco trazado y

los lados del ángulo, sin cambiar la abertura
del compás, se trazan otros dos arcos.

3) Se dibuja una semirrecta con origen en el

vértice del ángulo y que pase por el punto
común de los dos arcos trazados
ACTIVIDADES
anteriormente.
1. Respondan y expliquen las respuestas:

a) ¿Cualquier recta perpendicular a un segmento es su mediatriz?

b) La bisectriz de un ángulo, ¿lo divide en dos ángulos consecutivos?
c) ¿Se puede trazar la mediatriz de una recta?
d) ¿Se puede dividir un ángulo en cuatro ángulos iguales utilizando la bisectriz?
e) ¿Se puede trazar la bisectriz de un segmento?

2. Tracen la bisectriz de cada uno de los siguientes ángulos:

3. Tracen la mediatriz de los siguientes segmentos:

23
4. Respondan: ¿Cómo pueden dividir un segmento de 7,5 cm en cuatro segmentos
iguales usando sólo el compás y una regla no graduada?

POLIGONOS. DEFINICION Y PROPIEDADES

DEFINICIÓN: Es la región del plano limitado por tres o más rectas que se cortan dos a
dos.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO:

Vértices: a, b, c, d, e, f

Lados: ab, bc, cd, de, ef , fa,

Ángulos interiores: abˆc, bˆcd , cdˆe , dˆef , efˆa , fˆab

Ángulos exteriores: ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ˆ
POLÍGONOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

Un polígono es convexo Un polígono es cóncavo

cuando cualquier par de puntos cuando existe por lo menos un par de
pertenecientes al polígono determinan puntos pertenecientes al polígono que
un segmento incluido en el mismo. determinan un segmento no incluido en el
mismo.

Nº de lados Nombre que reciben

3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono

24
 POLIGONOS REGULARES
Definición

Un polígono regular es un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud

y cuyos ángulos tienen todos la misma amplitud.

Para todos los polígonos regulares hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices.
Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia circunscrita al polígono. El centro de
esta circunferencia es el centro del polígono.

VEAMOS ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS INTERIORES

 En todo polígono de n lados, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 * (n-2)
 Cada ángulo interior es suplementario con el exterior correspondiente

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES

 En todo polígono la suma de los ángulos exteriores es igual 360°.
 Cada ángulo exterior es suplementario con el interior correspondiente

Por lo tanto:
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO:
 En todo triángulo, la suma de las amplitudes de los ángulos interiores es igual a 180°.
 En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.
 En un triángulo escaleno, los tres ángulos son distintos.
 En un triángulo isósceles, dos ángulos son iguales.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO:

 En todo triángulo, la suma de las amplitudes de los ángulos exteriores es igual a 360°.
 En todo triángulo, cada ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior
correspondiente.
 En todo triángulo, la amplitud de un ángulo exterior es igual a la suma de las
amplitudes de los ángulos interiores no adyacentes con él.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN CUADRILÁTERO:

 La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es igual a 360º
 La diagonal de todo cuadrilátero convexo determina en él dos triángulos:

25
Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de cada uno de los triángulos es 180°; en
consecuencia, la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero que ambos triángulos
forman es 360°.

ACTIVIDADES

1. Calculen la medida del ángulo B de los siguientes polígonos.

a) b)

c) d)

e) f)

2. Calculen la medida de los ángulos desconocidos de los siguientes polígonos.

a) b)

26
c) d)
3. Calculen el valor del ángulo B del siguiente cuadrilátero:

27
 EXPRESIONES DECIMALES FINITAS
Una expresión decimal es un número cuya parte” no entera” se expresa mediante el uso
de la coma.

1,489

parte entera parte decimal

Las expresiones decimales se clasifican en finitas y periódicas.

 Las expresiones decimales finitas son las que tienen una cantidad finita de cifras
decimales.
Ejemplos: 0,23 5,4967 1,7

 Las expresiones decimales periódicas tienen una cantidad infinita de cifras

decimales, en la parte decimal se pueden repetir todas o algunas cifras en forma
indefinida.
Ejemplos: 8,3 0,67 1,356

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A resolver!!!!!!!!!:

a) Un ciclista tiene que recorrer un circuito de 782,35 km en tres etapas. El primer

día recorre 207,15 km y el segundo día 392 km ¿cuánto le falta recorrer el tercer
día?

b) Un quintero obtuvo 523,78 kg de frutas. Apartó 245 kg para fabricar dulce, le

dio a su hermano 80,5 kg y lo que le quedaba lo vendió a $7 el kg. ¿Cuánto
dinero obtuvo por la venta?

c) Ana y Martín decidieron juntar sus ahorros para comprarle un regalo a su

madre. Ana tiene ahorrado $367,50 y Martín $98 menos. Compraron una
remera de $ 215,90 y una caja de bombones de $ 76,50 ¿cuánto dinero les
sobró?

28
 PERÍMETRO

Medir una longitud significa compararla con otra considerada unidad de medida.

PERÍMETRO:
El perímetro de una figura es igual a la suma de las medidas de todos sus lados. Para
calcular el perímetro, todos los lados deben estar expresados en la misma unidad de
medida.
La única excepción a esta regla es el cálculo del perímetro de la circunferencia, cuya
fórmula es 𝜋. 𝑑, donde π=3,14 y d representa el valor del diámetro de la circunferencia.

Resuelvan el siguiente desafío

Nicolás y Sofía resolvieron el siguiente problema:

LA FIGURA ESTÁ FORMADA POR DOS TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS, CADA LADO
DEL TRIÁNGULO MÁS PEQUEÑO MIDE 5 CM Y EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO MÁS
GRANDE MIDE 24 CM. CALCULEN EL PERÍMETRO DE TODA LA FIGURA.

29
Solución de Nicolás Solución de Sofía
Perímetro del triángulo menor = Lado del triángulo mayor =
5 . 3 cm = 15 cm 24 cm : 3 cm = 8 cm
Perímetro de la figura = Perímetro de la figura =
15 cm + 24 cm = 39 cm 8 cm . 2 + 5 cm . 2 + (8 cm – 5
cm) =29 cm

¿Quién resolvió el problema correctamente?

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por
63 cm de alto. ¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar? Si la
moldura cuesta a 7,2 euros el metro, calcula el precio de dicho marco.
2. "Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los
animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide 50 m. de largo y 20 m. de
ancho": ¿cuántos metros de alambre necesita?
3. A n a s e h a m o nt a d o e n e l c a b a l l o q u e e st á a 3. 5 m d e l c e n t r o d e u n a
p l a t af o r m a q u e g i r a y s u am ig a L a u r a s e h a m o n t a d o e n e l l eó n q u e
e s t a b a a 2 m d e l c en t r o. C a l c u l a r e l c am i n o r e c or r i d o po r ca d a u n a
c u a n d o l a p l a t af o r m a h a d a d o 5 0 vu e l t as .
4. L a r u e d a d e u n c am i ó n t i e n e 9 0 c m d e r a d i o . ¿ C u á n t o h a r ec o r r i do
e l c a m i ó n c u a n d o l a r u e d a h a d a d o 1 0 0 vu e l t a s ?
5. Obtener el perímetro de la piscina cuya figura es la siguiente :

30
ESCUELA N° 4-084 LIBERTADOR SIMÓN BOLÍVAR CICLO LECTIVO: 2018

ESPACIO CURRICULAR: MATEMÁTICA PROFESOR:………………………..

ALUMNO:……………………………………………………………………………………CURSO:………………………………

TALLER: UNIDADES DE LONGITUD Y PERÍMETRO

Resolver las siguientes situaciones:

1) Una persona hace un recorrido en tres etapas: en la primera etapa recorre 166km.
En la segunda 125,9 dam y en la tercera etapa recorre 18,63 hm ¿cuántos km
recorrió en total?

2) Se quiere alambrar el contorno de un campo rectangular de 265 m de largo y 1,68

hm de ancho ¿cuántos metros de alambre se necesitan para rodearlo con tres
vueltas?

3) ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un triángulo equilátero, si su perímetro es

de 42 cm?
4) ¿Cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles, si su perímetro es de
117 cm y el lado desigual mide 43 cm?
5) Si el lado de un triángulo equilátero mide 25 cm, ¿en cuánto hay que aumentar dicho
lado para que el perímetro de un nuevo triángulo sea de 93 cm?

6) Maxi entrena con su bicicleta en un campo de deportes con las medidas del gráfico
siguiente. Su entrenador le dice que tiene que andar, sin parar, 12 km para estar
preparado para una competencia que habrá pronto. ¿Cuántas vueltas tiene que dar
al campo de entrenamiento para estar preparado?
50 m

80 m

31
 MULTIPLICACIÓN

Recordamos que multiplicar es sumar 1. Resuelvan

números iguales a. (+5). (−2) = ………………..
Ejemplo: a.b = a + a + a
b. (−8). (+2) = ………………..
factores b veces
c. (+2). (−1) = ………………..
5.3 = 5+5+5
d. (−1). (1) = ……………………
3 veces
e. 0. (−4) = ……………………
Para completar todas las posibilidades
que se dan en la multiplicación con f. (+3). (−7). (+2) =………………
números enteros observamos:
g. (−4). (−2). (−2) =………………
(+8) . (+2) = +16
h. (−7). (−2). 0 = ………………..
(-8) . (-2) = +16
i. (+2). (+3). (+4) = ………………
Si los números enteros tienen igual signo
j. (+1). (−10). (−1) = …………….
el resultado es positivo, es decir:

+ .+ = + 2) Completen el cuadro con el

número que corresponda.
− .− = +
Luego,
a. . (−5) = −56
(+8).(+2) = +16
b. (− 8) . = +25
(-8).(-2) = +16

Si los números enteros tienen igual signo c. (+4) . = +36

el resultado es positivo, es decir:
d. 0. =0
+ .− = −

− .+ = − e. . (+10) = −150

¿Qué pasa si un factor fuera

cero?.........................................................
Propiedades de la multiplicación de los
a.0=0
números enteros
-3 . 0 = 0

Cualquier número multiplicado por Las propiedades de la multiplicación de

cero, da cero. los números naturales se mantienen en

32
  𝑎 .𝑏 = 𝑐 𝑦 𝑏 .𝑎 = 𝑐 (−7). 3 + (−7).9 =……..

(−9). 15 = ……… Observando los resultados obtenidos en

15. (−9) =……
cada operación se verifica que el
La multiplicación de los números enteros producto de una suma algebraica por un
no se altera cuando cambia el orden de número entero, es igual a la suma
los factores. algebraica de los productos de cada
término por dicho número.
Esta propiedad se llama: …………
Esta propiedad se llama: ………………
 𝑎. (𝑏 . 𝑐 ) = 𝑚

(𝑎 . 𝑏). 𝑐 = 𝑚 ACTIVIDADES

7. ((−3 ). 9 ) = ……..
1. Apliquen propiedad distributiva
(7. (− 3) ). 4 =…….. y calculen:

Observando los resultados obtenidos en

cada operación se verifica que la k. 2. (−5 − 1) =
multiplicación de los números enteros …….. ………..
podemos asociar los factores de modos
diferentes sin alterar el producto. l. (− 6). (3 − 7 + 2 ) =
…….. ………..
Esta propiedad se llama: ………………
m. (− 9 − 3 + 1 + 0 ). (−4) =
…….. ………..
 𝑎 .1 = 𝑎 𝑏. 1=𝑏
n. (− 5 + 1 + 7 ). 8 =
…….. ………..

(−15 ). 1 = …….. (−4) .1 = …….. 2. Si m es un número entero

Observando los resultados obtenidos en

a. ¿Qué relación hay entre m y
cada operación se verifica que la suma
m.(-1)?
de un número entero con el uno, da el
b. ¿Y entre m y m.1?
mismo número.

Esta propiedad se llama: ……………..

DIVISIÓN
 𝑎. (𝑏 + 𝑐 ) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
Como estamos trabajando en el conjunto
𝑎. (𝑏 − 𝑐) = 𝑎. 𝑏 − 𝑎. 𝑐 Z vamos a considerar solamente las
(−7). (3 + 9 ) = …….. divisiones exactas (resto= cero), es decir,

33
aquellas en que el dividendo es múltiplo 3: 0 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 porque no hay
del divisor. número que multiplicado por cero sea
igual a 3
La división está definida como la
operación inversa de la multiplicación. −5: 0 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 porque no
Ejemplo: hay número que multiplicado por cero
a:b=c a = b .c sea igual a -5

cociente 𝑎: 0 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 porque no

hay número que multiplicado por cero
divisor sea igual a 𝑎
dividendo
Cuando el divisor es cero, el
cociente no existe.

Observemos los ejemplos.

a. (+12): (+4) = +3 ⇔ (+12) = (+4). (+3)

ACTIVIDADES
b. (−12): (−4) = +3 ⇔ (−12) = (−4). (+3)
c. (+12): (−4) = −3 ⇔ (+12) = (−4). (−3)
d. (−12): (+4) = −3 ⇔ (−12) = (+4). (−3) 1. Calculen los cocientes:

es decir: a. (+15): (−3) = ….................

b. (−48): (+12) = …………..

+∶+=+

−∶−=+ c. (+35): (−7) = ……………..

+∶−=− d. 0: (+7 ) = ………………….

−∶+=−
e. (−15): (+1)=……………….
Si los números enteros tienen igual
f. (−90): (−10) = …………….
signo, el resultado es positivo. Si los
números enteros tienen distintos signos,
el resultado es negativo. g. (−8): (−8) = ……………….

¿Qué pasa cuando el dividendo es cero? h. (−50): (+5) = ………………

0: (+3) = 0 ⇔ 0 = (+3). 0 i. (+9): (+9) = ………………...

0: (−5) = 0 ⇔ 0 = (−5). 0
0: 𝑎 = 0 ⇔ 0 = 𝑎. 0 2. Completen el cuadro con el
Cuando el dividendo es cero, el número que corresponda:
cociente siempre es cero. ¿Qué pasa
cuando el divisor es cero?

a. ∶ 24 = −1

34
b. (−4 8) : = 4
c. (−7 + 3): (−2)=
c. 20: = −4
……………………………………….
d. (−36): (−3) =
……………………………………….
……………………………………….
e. ∶3=0
……………………………………….

3. Encuentren: d. 5.8 − (−4): 4 + 3. (−5) + 12: (−4) =

a. La mitad de 50 ……………………………………….
……………………………………….
b. La tercera parte de 24 ……………………………………….
……………………………………….
c. La quinta parte de (-125)
e. (15 − 4.3): (−3) − 4. (−5) − 18: (−9) =

CALCULOS COMBINADOS ……………………………………….

……………………………………….
……………………………………….
……………………………………….
Observen el ejercicio resuelto como
modelo y luego operen las
expresiones numéricas:

(−12): (−6) − (−5). (+2) − (−8 + 2): (−3) =

+2 − (−10) − (−6): (−3) =

+2 + 10 − 2 = 10

a. 20: 5 − 3 =

……………………………………….
……………………………………….
……………………………………….
……………………………………….

b. −5 + 7.3 − 4: 2 =

……………………………………….
……………………………………….
……………………………………….
……………………………………….

35
 SEGUNDO CUATRIMESTRE

LENGUAJE ALGEBRAICO

Para comenzar…

El hombre utiliza palabras, sonidos, símbolos, imágenes y gestos, entre otros, para dar a
conocer sus ideas. Todos estos elementos forman parte de los distintos lenguajes de la
comunicación.

La matemática usa un lenguaje particular llamado simbólico, que permite expresar

mediante símbolos especiales los enunciados, fórmulas y relaciones.

Ahora vamos a continuar con la siguiente actividad.

En el dibujo se muestra un diseño formado por hexágonos amarillos que rodean a otros
de color azul dispuestos en forma horizontal.

Por ejemplo, para rodear un hexágono azul se necesitan seis hexágonos amarillos.

1. Completen la tabla con la cantidad de hexágonos amarillos que se necesitan para

rodear n hexágonos azules.

HEXÁGONOS HEXÁGONOS
AZULES (n) AMARILLOS

36
 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

2. Indiquen cuál de las siguientes fórmulas permite encontrar la cantidad de hexágonos

amarillos que se necesitan para rodear n hexágonos azules.

4𝑛 4𝑛 + 2 4𝑛 − 2

3. Utilicen la fórmula anterior para encontrar la cantidad de hexágonos azules que se

pueden rodear con 210 hexágonos amarillos.

El lenguaje coloquial está formado por las distintas palabras del idioma (en nuestro caso
el castellano) y puede ser oral o escrito.

El lenguaje simbólico o algebraico está formado por números, símbolos y letras que
permiten escribir operaciones y relaciones de la matemática. En este lenguaje las letras
se utilizan para representar números.

Cuando entre una letra y un número o entre dos letras no se indica una operación, se
debe interpretar que existe un signo de multiplicación.

También contamos con estos símbolos…

> "mayor que" ≥ "mayor o igual"

< "menor que" ≤ "𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙"

Λ “y” ⇒ “𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠”

37
Observen el siguiente cuadro para poder diferenciar el lenguaje coloquial del simbólico.

LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE SIMBOLICO

Un número disminuido cuatro unidades x-4
El siguiente de un número x+1

El anterior de un número x-1

El doble de un número 2. x
El triple de un número 3. x
El cuádruple de un número 4. x
El producto entre dos números a.b
El cociente entre dos números m:n
La diferencia entre el cuadrado de un X2 - 52
número y el cuadrado de 5.
Un número es mayor o igual a 3 y menor o 𝑥 ≥3𝛬𝑥 ≤7
igual que 7

Completen el cuadro para ver si han entendido algo de lenguaje coloquial y

simbólico.

LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE SIMBÓLICO

El doble de un número, más el siguiente
de dicho número.
La mitad del siguiente de un número, más
la tercera parte del anterior.
El producto entre el doble de un número y
su consecutivo
El anterior del doble de un número
La suma entre un número y cinco

Respondan y expliquen las respuestas.

38
a. El siguiente de un número, ¿cómo se expresa en lenguaje simbólico?

b. ¿Cómo se traduce 𝑥 2 al lenguaje coloquial?

OPERACIONES

5𝑎+7𝑏

3𝑚 − 2𝑚

Las expresiones algebraicas son las que combinan números con letras a través de
operaciones. En muchos casos no nos interesa saber el valor de la letra.

Para sumar o restar expresiones algebraicas es imprescindible agrupar términos

semejantes, es decir, los que tienen la misma letra.

Ejemplo:

 3𝑎+5𝑎 = 8𝑎

 7𝑎+3𝑏−5𝑎−𝑏 =

(7 𝑎 − 5 𝑎 ) + (3 𝑏 − 𝑏 ) =

2𝑎 + 2𝑏

Resuelvan:

a. 13𝑥 + 2𝑥 − 5𝑥 = ……………………

b. 5𝑚 + 2𝑎 − 𝑚 + 4𝑎 = ………………

c. 8𝑥 + 5𝑦 + 4𝑦 − 2𝑥 = ……………….

d. 4𝑥 + 7𝑥 − 𝑥 = ………………………

e. 8𝑏 − 5𝑏 + 3𝑏 = ……………………

ECUACIONES

39
Una ecuación es siempre una expresión algebraica.

Podemos usar los siguientes pasos para resolver ecuaciones:

1. Resolver los términos semejantes en cualquier miembro de la ecuación.

2. Si hay sumas y restas indicadas, usar las operaciones inversas para deshacerlas.

3. Si hay multiplicaciones o divisiones indicadas en el término variable, usar operaciones

inversas para encontrar el valor de la variable.

4. Comprueben, sustituyendo dicho valor en la ecuación dada para ver si la satisface.

Ejemplo 1:

3x + 2x +5 = - 7 – 8

5x + 5 = - 15 reducir términos semejantes

5x = - 15 – 5 transponer (restar 5 en ambos miembros)

5x = - 20 reducir

x = - 20 : 5 transponer (dividir por 5 ambos miembros)

x=-4

Verificación: 3x+2x+5=-7–8

3 . (- 4) + 2 . ( - 4 ) + 5 = - 7 – 8

- 12 – 8 + 5 = - 7 – 8

- 15 = - 15

Ejemplo 2:

6 x + 2 x + 15 = 2 x – 3

8 x + 15 = 2 x – 3 reducir términos semejantes

8 x – 2 x + 15 = - 3 transponer ( restar 2 x a ambos miembros)

6 x + 15 = - 3 reducir

6 x = - 3 – 15 transponer (restar 15 a ambos miembros)

6 x = - 18 reducir

x = - 18 : 6 transponer (dividir por 6 a ambos miembros)

40
 x=-3

Verificación: 6 x + 2 x + 15 = 2 x – 3

6 . ( - 3) + 2 . (- 3 ) + 15 = 2 . (- 3 ) – 3

- 18 – 6 + 15 = - 6 – 3

-9=-9

ACTIVIDADES

1. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen

a. 2 x + 8 = - 18

b. 4 x + 14 = 26

c. 6x – 17 = 7

d. 3 x + 5 x = - 34 + 10

e. 7 x + 8 x + 30 = - 45

f. 7 x + 5 – x = 8 + 3

41
g. 6 x + 7 – 3 x – 2 x = - 1

h. 1 + 4 x – 2 x = 13 – 6

i. 7 x + 5 x = 12 . (- 10 )

j. – 5 x + 12 + 8 x = 15

2. Observen el ejercicio resuelto como modelo. Aplicamos propiedad distributiva:

4.(x+1)=3x–2

4x+4 =3x–2

4x–3x=-2–4

x = -6

Verificación:

4 . ( - 6 + 1 ) = 3 . ( - 6) – 2

4 . ( - 5 ) = - 18 – 2

- 20 = - 20

Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen:

a. 3 x = x + 16

42
b. x + 4 x – 8 = 4 + 2 x

c. 3 . ( 5 + 2 x ) = 5 x + 5

d. 16 + 4 x = 10 x – 20

e. 4 . ( x + 1 ) = - 12

f. 2 . ( 10 + 4 x ) = 2 . ( x + 4 )

3. Resuelvan los siguientes problemas planteando ecuaciones

a. Estoy pensando en un número que sea igual al doble de si mismo menos 1, ¿Cuál es el
número?

b. Cuando se combinan hidrógeno y oxígeno para formar agua, el peso del oxígeno es 8
veces el del hidrógeno. ¿Cuántos gramos de oxígeno hay en 126 gramos de agua?

c. Dos libros tienen juntos 280 páginas. Si uno de ellos tiene 48 páginas más que el otro,
¿cuántas páginas tiene cada uno?

d. La suma de dos números consecutivos da 43. ¿Cuáles son los números?

e. Un kiosquero reparte 290 revistas en 3 lugares distintos. En el local más grande deja 50
revistas más que en los otros dos locales. ¿Cuántas revistas entrega en cada caso?

f. Tobías vive a un cierto número de cuadras de la escuela. Si a éste número se le suman

3 cuadras, entonces la distancia es de 17 cuadras. ¿A cuántas cuadras de la escuela vive
Tobías?

43
 Ángulos. Sistema sexagesimal

Multiplicación y división

Multiplicación de un División de un
ángulo por un ángulo por un
número natural número natural

27° 19´ 45° 22´ 2

.3 22´ 41´´
-
81° 57´ 44° + 60°

1° 82 ´
0´

Actividades

1. Respondan y expliquen las respuestas.

a. ¿Cuántos minutos hay 600´´? ¿Y en 1200´´?

b. ¿Cuánto mide la mitad de 75°?

c. ¿Cuánto mide la tercera parte de 60° 31´?

2. Resuelven

a. 25° 17´38´´ : 2 = ……………………….

b. 143° 32´48´´ . 6 = ………………………

c. 28° 42´15´´ . 4 = ………………………..

d. 103° 52´ 25´´ . 6 = ……………………..

e. 108° 15´´ : 3 = …………………………

f. 103° 28´ 15´´ = ………………………..

3. Resuelvan los siguientes cálculos combinados

a. 38° 17´ - 15° 20´ 25´´ : 5=

b. 2 . 108° 8´´ + 48´ 27´´=

44
c. 208° 46´´ : 7 - 19° 58´´=

4. Tengan en cuenta el valor de los ángulos y resuelvan.

̂ = 137° ;
∝ 𝛽̂ = 102° 17´ 23´´ ;

𝜔
̂ = 15° 47´´

̂ + 2 . 𝛽̂ =
̂− 𝜔
a. ∝

̂ + 𝛽̂ ) + 𝛼̂ ∶ 4 =
b. 5 . (𝜔

45
46
 ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Para medir una superficie se debe elegir una unidad de medida y determinar la cantidad
de veces que entra en esa superficie. Las medidas de superficie o cuadradas sirven
para medir extensiones consideradas en dos dimensiones: largo y ancho.

Se llama área a la cantidad de veces que entra en esa superficie la unidad de medida
elegida

FÓRMULAS DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS

47
Para calcular el área del paralelogramo pueden seguir estos pasos:

Se expresa todo en la misma unidad,

0,3 dam
0,3 dam = 3m
7m
Área del patalelogramo: 7m . 3m

Area del paralelogramo: 21 m2

TEST DE COMPRENSIÓN

Respondan y expliquen las respuestas:

1. ¿Cuánto mide el área de un cuadrado de 1 m de lado?

2. ¿Es cierto que 1 m2 representa lo mismo que 1 m?
3. ¿Cómo se realiza el pasaje de m2 a cm2 ?

ACTIVIDADES

1. Completen las siguientes equivalencias:

a) 9 m2 = cm² e) 90,5 darn² = dm2

b) 6 m2 = dm² f) 2,5 hm² = cm²
c) 3,4 hm² = km2 g) 5 dm2 = mm²
d) 36 dam²= km2 h) 7,5 hm2 = darn²

2. Hallen el área coloreada de las siguientes figuras:

a)

48
b)

5cm

0,8 dm

c)

5m

d)

e) 5 dam

70m

11dam

f)

49
 g) 6 hm
.

1,8 dam

3. Rodeen con color la respuesta correcta:

a) ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 9 cm2 de área?

1,2 dm 36 cm 12 cm2

b) Si en un rectángulo, la medida de la base y de la altura son números

consecutivos y su perímetro es 18 cm, ¿cuál es su área?

81 cm2 20 cm2 90 cm2

c) ¿Cuál es el perímetro de un círculo cuya área es 7,065 dm2?

7,065 dm 9,42 dm 14,7 m

d) Si la base y la altura de un paralelogramo son iguales a las de un triángulo

de área 15 cm2¿cuál es su área?

50
 30 cm2 7,5 cm2 ninguna de las anteriores

4. Calculen:

a) La base de un rectángulo de área 30 cm2 y altura 6 cm.

__________________________________________________________

b) La base de un triángulo de área 12 cm2 y altura 3 cm.

c) La diagonal mayor de un rombo de 60 dm2 de área y diagonal menor 10 dm

___________________________________________________________

5. Resuelvan las situaciones problemáticas dadas a continuación:

a) Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m 2. Hemos de embaldosarlo

con baldosas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman baldosas de 25 X 25).
 ¿Cuántas baldosas son necesarias?
 Si la caja de 8 baldosas cuesta $180. ¿Cuánto dinero le costaran?
 Si la bolsa de pegamento alcanza para 25 𝑚 2 ¿Cuántas bolsas debe
comprar?
 Si la bolsa de pegamento cuesta $ 220 ¿Cuánto hay que gastar?
 ¿Cuánto le costará la mano de obra si se cobra el embaldosado a razón
de $ 68 el 𝑚2 ?

b) Se quiere empapelar el cuarto de Carlitos que tiene un piso de 4m de largo y 3m

de ancho. Las paredes son de 2,5m de alto. Además la puerta es de 2m de alto y
1m de ancho; su ventana mide 1,20m por 1m. Si cada rollo de papel mide 10m
de largo por 0,7m de ancho.
 ¿cuántos rollos tiene que comprar?
 ¿Cuánto dinero tiene que gastar si cada rollo cuesta $ 98?
 ¿Cuánto le costará la mano de obra si se cobra el empapelado a razón de
$ 22 el 𝑚2 ?

c) Se desea colocar cerámica en el piso de una habitación de 3,5 m por 2,4 m- Si las
cerámicas son cuadradas de 20 cm de lado, ¿cuántas se necesitan?

51
d) Se tiene que embaldosar el patio interior de un edificio con baldosas cuadradas
de 30 cm de lado. El patio es rectangular y sus medidas son 10 m por 12 m.
¿Cuántas baldosas se necesitarán?

e) Una vela triangular de una barca se ha estropeado y hay que sustituirla por otra.
Para confeccionar la nueva vela nos cobran 21 euros por m2. ¿Cuánto costará esa
nueva vela si debe tener 8 m de alto y 4 m de base?

f) E n e l c e n t r o d e u n j a r d ín c u a d r a d o de 1 5 0 m d e l a d o ha y u n a
p i s c i n a t am b i é n c ua d r a d a , d e 2 5 m d e l a r g o. C a l c u l a e l ár e a d e l
j a r d ín .

g) U n a zo n a b o s c o s a t i e n e f or m a d e t r a p ec i o , c u ya s b a s e s m id e n
1 2 8 m y 9 2 m . L a an c h u r a d e l a zo n a m i d e 4 0 m . S e c o n st r u ye
u n p a s e o d e 4 m d e a n c h o p e r p e n d ic u l a r a l a s d o s b as e s .
C a l c u l a e l á r e a d e l a zo n a a r b o l a d a q ue q u e d a .

h ) C a l c u l e n l a c a n t i d a d d e p i n t ur a n ec e s ar i a p a r a p i n t a r l a f ac h a d a
d e e s t e e d if i c i o s a b ie n d o q u e s e g a st a n 0 . 5 k g d e p i nt u r a p or m 2 .

i ) H a l l e n e l á r e a d e l a s i g u i e nt e f ig ur a :

52
 POTENCIACIÓN

¿Quién gana?

Los casilleros muestran la puntuación de un juego en el que participaron tres amigas.

Gana quien tenga más puntaje. Completen:

Amigos Operación Puntaje

Soledad 5+2
Ana 5 .2
Carolina 52

Ganó ………………………..

Se observa que:

 La suma aumenta la cantidad que tenemos.

 La multiplicación la hace crecer un poco.
 La potenciación muchísimo más.

Recuerden que:

Una potencia es una multiplicación reiterada de factores iguales.

Ejemplo:

𝟐𝟓 = 𝟐 . 𝟐 . 𝟐 . 𝟐 . 𝟐 5 veces

= 32

Simbólicamente

exponente

𝑎𝑛 = 𝑏 potencia con 𝑛 > 0

base

Además:

𝑎0 = 1

𝑎1 = 𝑎

Regla de los signos de la potenciación de números enteros

53
 La potenciación de un número entero
con exponente par es siempre un
número positivo
Ejemplo:
(+ 𝟑)𝟐 = (+ 𝟑 ) . (+ 𝟑 )
= +𝟗
𝟐
(− 𝟑) = (− 𝟑 ) . (− 𝟑 )
= +𝟗

La potencia de un número entero con

exponente impar tiene siempre el
mismo signo de la base
Ejemplo:
(+ 𝟐 )𝟑 = (+ 𝟐) . (+ 𝟐) . (+ 𝟐)
=𝟖
(− 𝟐 )𝟑 = (− 𝟐 ) . (− 𝟐 ) . (− 𝟐)
= −𝟖

Regla práctica:

(+ 𝑎 )𝑃𝑎𝑟 = + la potencia de un
exponente par es
(− 𝑎 ) 𝑃𝑎𝑟 = + siempre un n° +

(+ 𝑎 ) 𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟 = + la potencia de un
número entero con
(− 𝑎 )𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟 = − con exponente
Impar tiene siempre
el mismo signo de
la base

ACTIVIDADES

1. Escriban cada expresión en forma de potencia:

a. (− 6) . (− 6 ) . (− 6 ) =

b. (+ 8 ) . (+ 8 ) . (+ 8 ) . (+ 8 ) =

c. (– 11 ) . (− 11 ) =

d. (– 1 ) . (− 1 ) . (− 1) . (− 1 ) . (− 1 ) =

e. (+ 5 ) . (+ 5 ) . (+ 5 ) . (+ 5 ) =

54
f. 𝑎 . 𝑎 . 𝑎 =

2. Completen la tabla:

x Cuadrados Cubos
perfectos perfectos
1
-1
2
-2
3
-3
4
-4
5
-5
6
-6

3. Calculen:

a. (+ 8) 3 =

b. (– 9 ) 2 =

c. (– 100 )1 =

d. 70 =

e. 15 =

f. (– 10 ) 3 =

g. − (− 3 ) 4 =
2
h. − 5 =

i. – 72 =

j. (− 8) 2 =

Propiedades de la potenciación en Z

 Distributiva

I. Con respecto a la adición

55
 (4 + 9 + 2 )2 42 + 92 + 22
= 152 = 16 + 81 + 4
= 225 = 101

( 4 + 9 + 2 )2 ≠ 42 + 92 + 22

Observando los resultados obtenidos en cada columna podemos afirmar que la potenciación de números
enteros no es distributiva con respecto a la adición.

II Con respecto a la sustracción

(9 − 5 )2 = 42 9 2 − 52
= 16 = 81 − 25 = 56

( 9 − 5 )2 ≠ 92 − 52

Observando los resultados obtenidos en cada columna podemos afirmar que la potenciación de números
enteros no es distributiva con respecto a la sustracción

III. Con respecto a la multiplicación

( 2 . 4 . 5 )2 = 402 22 . 42 . 52
= 1600 = 4 . 16 . 25
= 1600

( 2 . 4 . 5 )2 = 22 . 42 . 52

Observando los resultados en cada columna podemos afirmar que la potenciación de números enteros sí es
distributiva con respecto a la multiplicación.

IV. Con respecto a la división

( 9 ∶ 3 )2 = 32 92 : 32 = 81 ∶ 9
=9 =9

( 9 ∶ 3 )2 = 92 ∶ 32

Observando los resultados en cada columna podemos afirmar que la potenciación de números enteros sí es
distributiva con respecto a la división.

56
Producto de potencias de igual base

25 . 22 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2 ) . (2 . 2 )
5 veces 2 veces
= 27

El producto de potencias de igual

base es otra potencia de la misma base,
cuyo exponente es la suma de los
exponentes de las potencias dadas.

𝒂𝟓 . 𝒂𝟐 = 𝒂 𝟓+𝟐
= 𝒂𝟕

Cociente de potencias de igual base

𝟑 . 𝟑 .𝟑 .𝟑
𝟑𝟒 ∶ 𝟑 𝟑 =
𝟑 .𝟑 .𝟑

=3
El cociente de potencias de igual
base es otra potencia de la misma base,
cuyo exponente es la diferencia de los
exponentes de las potencias dadas.

𝑎4 ∶ 𝑎3 = 𝑎 4−3
= 𝑎1

Potencia de exponente 0

¿Qué sucede al aplicar la propiedad cuando m y n son iguales?

𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑛

Ejemplo:

25 25 32
25
= 25−5 25
= 32

20 = 1 =1

20 = 1

Toda potencia elevada a la cero nos da1

Potencia de otra potencia

57
 𝟑
(𝟓𝟐 ) = (𝟓𝟐 ) . (𝟓𝟐 ) . (𝟓𝟐 )
= (𝟓 . 𝟓 ) . (𝟓 . 𝟓 ) . (𝟓 . 𝟓)
= 𝟓𝟔

La potencia de otra potencia da por

resultado otra potencia de la misma
base cuyo exponente es el producto de
los exponentes dados.

(𝑎2 )3 = 𝑎 2 .3
= 𝑎6

ACTIVIDADES

1. Apliquen propiedad distributiva cuando sea posible:

a. (2 + 3 − 8 )2 =……………………..

b. (2 𝑎 ) 2 =…………………………….

c. (– 1 . 5 )3 =………………………….

d. (5 − 3 + 1 )4 =………………………

e. (7 𝑚3 )2 =……………………………

2. Expresen por medio de una única potencia:

a. (− 9 )2 . (− 9 )3 =………………….

b. (– 1)7 . (− 1 )1 . (− 1)5 =………….

c. (10)3 ∶ (10)2 =…………………….

d. (– 12 ) 8 ∶ (− 12 )6 =…………….

e. [(− 3)5 ]2 =………………………..

f. (86 )3 =……………………………..

g. 𝑎7 ∶ 𝑎2 = ………………………….

h. 𝑎4 . 𝑎3 ∶ 𝑎 = …………………………..

𝑎 2 . 𝑎4
i. 𝑎3
= ……………………………….

𝑎 4 .𝑏 4
j. 𝑎2 . 𝑏 3
=……………………………..

3. Separen en términos y resuelvan:

58
a. 3 . 2 + 4 . 22 − 6 . (3 − 1)3 =

b. 4 . (6 − 8 )2 + 4 . (− 1 )0 − 23 . 2 ∶ 22 =

c. 2 + 4 . [(− 1)2 ]5 − 57 ∶ 55 =

d. [(8 − 13 + 2 )3 ∶ 3 + 2 ]2 =

e. [(5 . 3 ) ∶ (− 5 ) ]2 − [− 32 + 4 (− 2)2 ]=

RADICACIÓN

Encuentren el valor de “a” en las siguientes expresiones:

𝑎2 = 81 𝑎 = ⋯ ….

𝑎3 = −125 𝑎 = ⋯ ….

Para encontrar “a” en las expresiones dadas, debimos pensar:

¿Qué número al cuadrado es 81?

¿Qué número el cubo es -125?

…. Es decir, debimos encontrar la base de la potencia.

Esto representa la operación inversa de la potenciación llamada radicación y se simboliza así:

𝑎 = √81
3
𝑎 = √−125

59
 Cuando el índice es 2, no se escribe.
𝑛
√1 = 1 toda raíz de radicando 1 es igual a 1.

REGLA DE LOS SIGNOS DE LA RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La raíz de índice par de un número

entero positivo tiene dos soluciones,
positiva y negativa.

La raíz de índice impar de un número

positivo da por resultado un número
positivo.

Ejemplos:

√25 = ∓5 (+5)2 = 25
2
(−5) = 25
3
√+27 = +3 (+3)3 = 27

La raíz de índice impar de un número

negativo da por resultado un número
negativo.

Ejemplo:
3
√−8 = −2 (−2)3 = −8

La raíz de índice par de un número

negativo no es posible en Z.

Ejemplo:

√−4 = ningún n° entero elevado a

exponente par da por resultado un n°
negativo.

REGLA PRÁCTICA:

60
 𝑝𝑎𝑟
√𝑎 = ∓ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟
√−𝑎 = 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
√+𝑎 = +
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
√−𝑎 = −

… la raíz lleva el signo del radicando sin

tener en cuenta el índice.

ACTIVIDADES

1. Calculen y completen la frase:

a. √𝟒𝟗 =………..porque……………=49

𝟑
b. √𝟖 =……….. .porque……………

𝒄. √−𝟏𝟎𝟎 =…….porque……………

𝟑
d. √−𝟔𝟒 =……...porque……………

𝟓
e. √𝟑𝟐 =………..porque……………

f. √𝟏𝟒𝟒 =………porque……………

𝟓
𝒈. √−𝟏 =……….porque……………

2. Calculen en cada caso el valor del

a. √ = 𝟐

b. √ 𝟗 =𝟑

c. √ +𝟔𝟒 =𝟖

61
 d. √ 𝟏𝟔 =𝟐

e. √ −𝟏𝟐𝟖 = −𝟐

𝟑
f. √ = −𝟓

3. Escriban “positivo” o “negativo” sin efectuar los cálculos.

𝟒
a. √𝟔𝟐𝟓 =……………….
𝟑
b. √−𝟑𝟒𝟑 =……………..

c. √𝟏𝟔𝟗 =……………….
𝟑
𝒅. √−𝟏𝟎𝟎𝟎 =……...........
𝟓
e. √𝟑𝟏𝟐𝟓 =………………
𝟒
f. √−𝟐𝟓𝟔 =………………
𝟓
𝒈. √−𝟏𝟎𝟐𝟒 =…………….

Propiedades de la radicación de los números

enteros
.

 Uniforme: si a ambos miembros de una igualdad de números enteros se le extrae la raíz de igual
índice (siempre que sea posible), se obtiene otra igualdad.
𝒏
𝒂 =𝒃 ⇒ 𝒏√𝒂 = √𝒃

 Cancelativa:
𝒏 𝒏
√𝒂 = √𝒃 ⇒ 𝒂 = 𝒃

 Distributivas:

I. Con respecto a la adición

√𝟏𝟔 + 𝟗 = √𝟐𝟓 √𝟏𝟔 + √𝟗 = 𝟒 + 𝟑

=𝟓 =𝟕

62
 √𝟏𝟔 + 𝟗 ≠ √𝟏𝟔 + √𝟗

Observando los resultados obtenidos en cada columna podemos afirmar que la radicación de
números enteros no es distributiva con respecto a la adición.

II Con respecto a la sustracción

√𝟏𝟎𝟎 − 𝟔𝟒 = √𝟑𝟔 √𝟏𝟎𝟎 − √𝟔𝟒 = 𝟏𝟎

−𝟖
=𝟔
=𝟐

√𝟏𝟎𝟎 − 𝟔𝟒 ≠ √𝟏𝟎𝟎 − √𝟔𝟒

Observando los resultados obtenidos en cada columna podemos afirmar que la radicación de
números enteros no es distributiva con respecto a la sustracción

III. Con respecto a la multiplicación

√𝟗. 𝟒 = √𝟑𝟔 √𝟗. √𝟒 = 𝟑. 𝟐

=𝟔 =𝟔

√𝟗. 𝟒 = √𝟗. √𝟒

Observando los resultados en cada columna podemos afirmar que la radicación de números enteros sí
es distributiva con respecto a la multiplicación.

IV. Con respecto a la división

63
 √𝟏𝟎𝟎: 𝟐𝟓 = √𝟒 √𝟏𝟎𝟎: √𝟐𝟓 = 𝟏𝟎: 𝟓

=𝟐 =𝟐

√𝟏𝟎𝟎: 𝟐𝟓 = √𝟏𝟎𝟎: √𝟐𝟓

Observando los resultados en cada columna podemos afirmar que la radicación de números enteros sí
es distributiva con respecto a la división.

Recíprocas de la distributiva

I. Con respecto a la multiplicación

𝟑 𝟑 𝟑
√𝟓. √𝟐𝟓 = √𝟓. 𝟐𝟓
𝟑
= √𝟏𝟐𝟓

=𝟓

II. Con respecto a la división

√𝟖𝟎: √𝟐𝟎 = √𝟖𝟎: 𝟐𝟎

= √𝟒

=𝟐

Raíz de otra Raíz

𝟑 𝟑.𝟐
√√𝟕𝟐𝟗 = √𝟕𝟐𝟗 =

𝟔
√𝟕𝟐𝟗

= 𝟑

La raíz de otra raíz es una raíz cuyo índice es el producto de los

índices de las raíces dadas.
𝟑
√√𝒂 = 𝟑.𝟐√𝒂 = 𝒂 𝟔

64
 Simplificación de índices y exponentes

 √𝟒𝟐 = 𝟒

𝟒
 √𝟏𝟔𝟐 = √𝟏𝟔 = 𝟒

𝟑 𝟐
 √(−𝟑)𝟔 = (−𝟑)𝟐 = 𝟗

Si el índice de una raíz y el exponente del radicando tienen un factor común, ambos pueden
simplificarse dividiendo por dicho factor.

Caso particular:
𝟒 𝟒 𝟒
√(−𝟑)𝟒 = √𝟖𝟏 = 𝟑 √(−𝟑)𝟒 = −𝟑

No se puede simplificar cuando la raíz es de índice par y el radicando negativo.

ACTIVIDADES

1. Resuelvan de dos formas diferentes cuando sea posible:

a) √𝟗 ∙ 𝟏𝟎𝟎 =

b) √𝟏𝟒𝟒 + 𝟐𝟓 =

c) √𝟏𝟔𝟗 − 𝟏𝟒𝟒 =

d) √𝟐𝟓 − 𝟗 =

e) √𝟐𝟓 ∙ 𝟏𝟔 =

2. Apliquen propiedades de radicación:

a) √√𝟖𝟏 =

𝟑
b) √ √𝟔𝟒 =

c) √𝟖𝟏 ∙ 𝟒𝟗 =

d) √(𝟗 + 𝟏𝟔) ∙ 𝟒 =
𝟑
e) √𝟏𝟎𝟎𝟎: (−𝟖) =

65
 f) √𝟐 ∙ √𝟐 =

g) √𝟖 ∙ √𝟐 =

h) √𝟐𝟕: √𝟑 =

i) √𝟐𝟎 ∙ √𝟓 =
𝟑 𝟑
j) √𝟐 ∙ √𝟒 =

k) √𝟔 ∙ √𝟑 ∙ √𝟐 =

l) √√𝟐𝟕 ∙ 𝟒√𝟑=

3. Indiquen Verdadero(V) o Falso(F)

𝟑 𝟓
a. √√𝟑𝟐 = √𝟑𝟐

b. √𝟒. √𝟐𝟓 = √𝟒. 𝟐𝟓

𝟒
c. √(−𝟖𝟏)𝟐 = √−𝟖𝟏

d. √𝟏𝟎𝟎 − √𝟑𝟔 = √𝟏𝟎𝟎 − 𝟑𝟔

e. √𝟏𝟖. √𝟐 = √𝟏𝟖. 𝟐

f. √(−𝟏)𝟐 = √(𝟏)𝟐

OPERACIONES COMBINADAS

En los cálculos en los que intervienen todas las operaciones, el orden de prioridades en la resolución de las
mismas es el que se indica:

 Paréntesis
 Potenciación y radicación
 Multiplicación y división
 Suma y resta

Ejemplo: (1 − 2 ) . 2 − √25 + 3 . (− 2)2 =

(− 2) . 2 − √25 + 3 . 4 =

12 − ( 4 + 5 ) =

12 − 9 =

=3

66
Resuelvan separando en términos.

a. 25 ∶ 8 + 4 ∶ 70 =

b. √36 ∶ 3 − 1 =

3
c. (15 − 3 ) ∶ 4 − √− 8 + 9 . 8 =

3
d. (− 4 )3 ∶ 8 + (− 6 )2 . (− 1 ) + √− 27 =

3
e. (– 2 )3 + √−1 − (− 4 )3 − √144 =

6 3
f. . (− 3)2 .8 + √64 − √−1000: 2 − 6 .2

ECUACIONES

Ejemplos

3
√𝑥 − 3 = 2
3
√𝑥 = 2 + 3 @ Sumamos 3 a
ambos miembros
aplicando el elemento
3 3 opuesto.
( √𝑥 ) = 53 @ Elevamos ambos
miembros por 3

𝑥 = 125

67
 Verificación:

…………………………………..

…………………………………..

(2𝑥)3 + 5 = −3 @ Aplicar el
elemento opuesto
(2𝑥)3 = − 3 − 5
en ambos
miembros.

@ Extraemos raíz
3 3 cúbica a ambos
√(2𝑥)3 = √8 miembros y
simplificamos.

2𝑥 = −2 @ Dividimos por 2
ambos miembros.
𝑥 = −2 ∶ 2
𝑥 = −1

Verificación:

…………………………..

………………………….

Actividades

1. Resuelvan y verifiquen

a. √𝑥 − 4 = 5

b. √5 + 5 = 8

c. √𝑥 + 2 = 6

d. 𝑥 3 − 8 = 19

e. (𝑥 − 1 )2 = 16

f. 3𝑥 2 − 2 = 25

g. (4 𝑥 )3 + 12 = −52
3
h. √𝑥 ∶ 4 = −1 − 1

2. Busquen en el cuadro expresión simbólica que corresponde a cada oración.

a. El cuadrado del doble del anterior de a

b. El doble del cuadrado del anterior de a

68
c. La raíz cuadrada del doble del anterior de a.

d. El doble de la raíz cuadrada del anterior de a.

e. El anterior del doble de la raíz cuadrada de a.

f. El anterior del doble del cuadrado de a.

g. El doble del cuadrado del siguiente de a

h. La mitad de la raíz cuadrada del anterior de a.

2
√2 . ( 𝑎 − 1) [√2 . ( 𝑎 − 1)]

2 . √𝑎 − 1 2. (𝑎 − 1 )2

2 . 𝑎2 − 1 √𝑎 − 1 ∶ 2

2. √𝑎 − 1 2 . (𝑎 + 1)2

3. Escriban la ecuación y resuélvanla

a. El triple del opuesto de un número es igual al cubo de tres. ¿Cuál es el número?

b. El producto entre un número y la raíz cuadrada de ciento veintiuno es igual a setenta y siete. ¿Cuál es el
número?

c. El triple de la suma entre el cuadrado de un número y el opuesto de cinco es igual a treinta y tres. ¿Cuál es
el número?

d. El cubo de un número disminuido en tres unidades es igual a veinticuatro. ¿Cuál es ese número?

e. La suma entre el cuadrado de un número y el opuesto de doscientos seis es igual al doble de cincuenta y
nueve. ¿Cuál es ese número?

69