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Practica Primer Parcial de Algebra
Practica Primer Parcial de Algebra
Practica Primer Parcial de Algebra
Editado por
La Paz Bolivia
2023
Índice general
1. Lógica 3
1. Proposiciones y Conectivos Lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Equivalencia Lógica y Leyes Lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. Citcuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Razonamiento deductivo válido y Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4. Cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Conjuntos 11
1. Denición y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Álgebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
Capítulo 1
Lógica
1. Proposiciones y Conectivos Lógicos
1. Determina cuales de las siguientes frases son proposiciones:
(h) xy = yx
(i) Hoy es lunes si y solo si mañana es martes
2. Lee con cuidado el siguiente párrafo: Çaía una espesa lluvia. Juan se despertó y lanzó un gemido
½Aj,. . . aj,. . . el colegio! Se levantó de la cama y se sentó en una silla. Oyó la bocina de un auto o
el silbato de un policía. Entonces se estremeció. Por causa del frio o del miedo. Estaban haciendo
tanto ruido. Repentinamente se le iluminó la cara. ½Qué bien! Se había acordado de algo. Las
clases no empiezan hoy, sino mañana."
(a) Redacta una lista de las proposiciones simples del párrafo leído.
(b) En base a las proposiciones anteriores, haz una lista de proposiciones compuestas.
3. Sea p :Hace frío y q :Está lloviendo. Describir con un enunciado verbal las siguientes proposiciones:
(a) ∼ p. (e) ∼ q →∼ p.
(b) p ∨ q.
(f ) ∼ p ∨q .
(c) q ∧ p.
(d) p → q. (g) p ↔∼ q .
4. Sabemos que p∨ ∼ q es enunciado falso. Usa esta información para proporcionar los valores de
verdad de:
3
(a) p∧q (c) q∧p
(b) p→q (d) p∨q
Resp.- F, F
8. Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados:
9. Sabiendo que ∼ (r → p) es una proposición verdadera, hallar el valor de verdad de las proposi-
ciones:
11. Determinar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones e indicar cuales son contradicciones.
(a) (∼ p∨ ∼ q) → p ≡ p
(b) [(p →∼ q) ∧ (∼ q ∨ p)]∨(∼ p∧ ∼ q) ≡∼ q ∧ p
(c) [(∼ q →∼ r)∧ ∼ (∼ p ∨ r)] → (p∧ ∼ r) ≡ T
(d) (p ∨ ∼ q) ∧ (∼ p →∼ q) ≡ p∨ ∼ q
(a) No es verdad que, las rosas son rojas implica que las violetas son azules.
(d) No es verdad que, las rosas son rojas si y solo si las violetas son azules.
2.1. Citcuitos
16. Escriba la proposición asociada a cada una de los siguientes circuitos y simplicar, representar la
proposición simplicada como un circuito.
a)
p r
p q
b) q
p q p q
p
q
q p
c)
p q p
p q p q
q
q q
p
d)
p p
p
p q
q
q q
q
p p
e)
p q p
p
p
q
q
p
p
f) r p
p
p
p
r
r
(a) {s ∧ p, q∨ ∼ r, s → r} ⊢∼ s ∧ t.
(b) {t → r, r →∼ s, t} ⊢ ∼ s.
(c) {∼ q ∨ s, ∼ s, ∼ (r ∧ s) → q} ⊢ r.
(a) {r →∼ t, s → r, s} ⊢∼ t.
(b) {a → (b ∧ d), b ∧ d → c, a} ⊢ c.
(c) {∼ p →∼ q, ∼ p, ∼ q → r} ⊢ r.
(c) Esta ley será aprobada en esta sesión si y solo si es apoyada por la mayoría. Es apoyada por
la mayoría o el gobernador se opone a ella. Si el gobernador se opone a ella, entonces será
pospuesta en las deliberaciones del comité. Por lo tanto, est ley será aprobada en esta sesión
o será pospuesta en las deliberaciones del comité.
(d) Un líquido es un ácido si y solo si colorea de azul el papel de tornasol rojo. Un líquido colorea
de azul el papel de tornasol rojo si y solo si contiene iones de hidrógeno libres. Por lo tanto,
un líquido es un ácido si y solo si contiene iones de hidrógeno libres.
(a) {s →∼ t, t, ∼ s → r} ⊢ r. (f ) {t → r, r →∼ s, t} ⊢ ∼ s.
(b) {p → s, ∼ s, ∼ p → t} ⊢ t.
(g) {∼ q ∨ s, ∼ s, ∼ (r ∧ s) → q} ⊢ r.
(c) {s → (p ∨ q), s, ∼ p} ⊢ q .
(d) {p ∧ r, p → s, r → t} ⊢ s ∧ t. (h) {v →∼ p, p∧ ∼ t, s → t, q → u, s ∨ (q ∧
(e) {s ∧ p, q∨ ∼ r, s → r} ⊢ q ∧ p. r)} ⊢ u∧ ∼ v .
(a) Si voy en auto a mi trabajo, entonces llegaré cansado. Yo no voy en auto a mi trabajo. Por
lo tanto no llegaré cansado. Resp.- No es válido.
(c) Si lo intento con ahínco y tengo talento, me convertiré en músico. Si me convierto en músico,
entonces seré feliz. Luego si no voy a ser feliz, entonces no intentaré con ahínco o no tengo
talento. Resp.- Es válido
(a) Si el abanico estaba funcionando entonces los ladrones estuvieron en la cocina y activaron el
interruptor. Si nadie vio la luz encendida, entonces no activaron el interruptor. O nadie vio
la luz encendida o quien la vio no quiso involucrarse. El abanico estaba funcionando.Resp.-
.Quien vio la luz no quiso involucrarse
(b) Antonio dice la verdad o Marta estaba en el parque con María. Si Marta estaba en el parque
con María, entonces llego tarde a la cita. Si Marta llego tarde a la cita, entonces ella no vio
al ladrón. Resp.- Antonio dice la verdad o Marta vio al ladrón.
(c) Si Rosa fue al teatro, entonces Raúl no fue. Si Raúl no fue al teatro, entonces Javier tampoco
fue. Si Javier tampoco fue al teatro, entonces la obra no vale la pena. La obra si vale la pena
o Adrián no la verá. Rosa fue al teatro. Resp.- Adrián no la verá.
(d) Todos los abogados son ricos. Los poetas son caprichosos. Marcos es abogado. Ningún capri-
chosos es rico.
(e) Los niños son ilógicos. No se desdeña a quien puede domar un cocodrilo. Las personas ilógicas
son desdeñadas.
24. Considera las siguientes hipótesis: Si aprendo inglés o francés, entonces me desenvolveré bien en
Canadá. Si aprendo alemán, entonces no me desenvolveré bien y mi viaje será un fracaso. No me
desenvolveré bien en Canadá. ¾Cuál de las siguientes conclusiones puede inferirse de las hipótesis
dadas?
Res.- (c)
4. Cuanticadores
En general consideramos que los conjuntos son nitos.
(a) Todos los genios son despistados. Resp.- Si p(x) : x es genio y q(x) : x es despistado. Tenemos
∀x : p(x) → q(x).
(b) Ningún número real es solución de la ecuación x2 + 1 = 0 .
(c) Algunos matemáticos son lósofos.
(e) Para todo número real x, existe un número real y tal que su producto es igual a 1
(f ) Ningún triángulo isósceles es escaleno.
26. Sea A = {1, 2, 3} determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y negarlas.
(c) Si n 3
es impar, entonces n es impar . (l) Si a no divide a bc, entonces a no divide a
(d) Si a 2
es impar, entonces a +3a+5 es impar b.
. (m) Si 4 no divide a a2 , entonces a es impar.
a|3b3 − b2 + 5b 4 ̸ |(n2 + 2)
(i) Si n es un número entero, entonces
(o) Si n es un entero,entonces 4|n2 o 4|(n2 − 1)
n2 + 3n + 4 (p) Si a|b y a|(b2 − c) entonces a|c.
Conjuntos
1. Denición y notación
1. ¾Cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas?. Donde A = {a, b, 1, 2, 3}, B = {1, a, b, c, , 4}.
11
(c) C = {an : an = 4n + 1, n ∈ Z}.
(d) D = {an : an+1 = 3an + 2, a1 = 2, n ∈ Z}.
(e) E = {x ∈ Z : x2 − 2x − 15 < 0}.
(f ) F = {x ∈ Z : 1 ≤ |x − 1| < 5}.
6. Dado que U = {1, 2, 3, ..., 10} y A = {3, 9, 10} , B = {1, 2, 6, 7}, C = {2, 5, 7, 9}. Ubicarlos en un
Diagrama de Venn conveniente.
10. Considere los siguientes conjuntos A = {a, b, c, d, e}, B = {a, b, f, g}, C = {d, e, g, i} y el conjunto
universa lU = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. Calcule:
11. Dar ejemplos y hacer el diagrama de Venn para mostrar las siguientes armaciones:
14. Si A =] − 5, 3[, B = [2, 5], C =] − 3, 3[ son intervalos de la recta real, gracar en la recta y
determinar:
(a) Ac , A ∪ B , A ∩ B ∩ C , A − B , A − C
(b) A△B .
(c) (Ac ∪ B c ∪ C c )c . Resp.- [2, 3[
(d) [(A − B) ∪ C c ]c △(A ∩ B ∩ C). Resp.- ∅.
3. Álgebra de conjuntos
15. Demostrar: (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C).
19. Simplicar:
{[(A − B c ) ∪ (B c − A)] − B} ∪ {B − [(A ∩ B) ∪ (A ∪ B)c ]}
Resp.- Ac .
20. Simplicar:
{[(Ac − B) ∪ (B c − Ac )]c ∩ [A△(Ac ∪ B)c ]}△(B − A)c
Resp.- Bc.
21. Simplicar:
{[(Ac ∩ B)△(A − B)c ] ∩ [(A − B)c − (A ∪ B)]}△Ac
Resp.- B − A.
22. Simplicar:
[(A ∪ B c )△(B − A)]c ∪ [(A ∩ B)c − (B − A)]
Resp.- Bc.
4. Cardinalidad
33. Demuestre que: η(A − B) = η(A) − η(A ∩ B).
38. Sean los conjuntos A y B , tales que A∆B tiene 15 elementos y A∪B tiene 25 elementos. ¾Cuántos
elementos tiene A ∩ B ?.
η[(A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c ]
Resp.- 37.
η[(A△B) ∩ (A ∩ B c )c ]
Resp.- 6.
A B C
Si η[B ∩ (A ∪ C)]c = 10, η[B ∩ (A ∪ C)] = 14; η[(A ∪ C) − B] = 10, ¾cuántos elementos hay en
[Ac − (B ∪ C)]c y en [(A ∪ C)c ∩ B] ?. Resp.- 22, 0
42. Sabiendo que: A ⊆ C , B ⊆ C , η(C) = 100, η(A ∪ B) = 70, η(A ∩ B) = 20 y η(B) − η(A) = 2
Hallar:
Resp.- 26, 24
43. Dados los conjuntos A y B , tales que A∪B tiene 18 elementos y A∩B tiene 7 elementos. ¾Cuántos
elementos tiene A∆B ?. Resp.- 11
44. De 33 personas que viajaron a Europa (solo a Francia, Inlaterra y Suiza), 15 visitaron Francia,
16 visitaron Inglaterra, 16 visitaron Suiza, 5 visitaron Francia y Suiza, 5 visitaron Inglaterra y
Suiza, y 2 los tres países.
(b) 165, automóvil y televisor, 120 automóvil y casa. 190 casa y televisor.
Determinar
46. Según una encuesta: Toman Coca Cola y Pepsi 1/3 de los que solo toman Pepsi y 1/2 de los que
toman Coca Cola . Toman otras bebidas diferentes tantos como los que toman solo una de las
mencionadas. Si el número de encuestados es 495 ¾Cuántos toman solo Pepsi o solo Coca Cola?.
Resp.- 110
47. El cajero de una panadería presenta un reporte con la nalidad de justicar su continuación en
el puesto. Le dijo al propietario: de los 500 clientes que tuvimos el día de ayer 281 compraron
pan francés, 196 compraron pan francés y tolete, 87 compraron pan integral y tolete, 143 francés
e integral, 36 personas compraron los tres tipos de panes. Le despidieron. ¾Porqué?. Resp.- Lo
despidieron.
48. 13. Una mesera tomo una orden de 38 hamburguesas: 18 con cebolla, 23 con mostaza y 29 con
salsa de tomate. De estas, 3 tenían solo mostaza y 8 solo salsa; 9 de las hamburguesas tenían solo
mostaza y salsa y 5 los 3 ingredientes. Realice un diagrama de Venn y responda:
49. En la secretaría de una Unidad Educativa, se dispone de la siguiente información sobre 60 estu-
diantes: 20 estudian Química, 25 Historia, 15 Francés y Química, 20 Historia y Francés, 5 Química
e Historia, 18 Francés, Química e Historia. Determina el número de alumnos que:
5. Producto cartesiano
50. Sean A = {1, 2, 3}, B = {2, 3} determinar
(a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (c) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
(b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (d) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)