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    02 - Conjuntos y Funciones

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    Javier Bazan
    Este documento presenta varios ejercicios sobre conjuntos, relaciones y funciones para la unidad 1 de una introducción a la topología. Los ejercicios cubren la clasificación de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, operaciones con conjuntos como intersección y unión, y propiedades de relaciones como ser reflexiva, simétrica o transitiva.

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    02 - Conjuntos y Funciones

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    Javier Bazan
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    Este documento presenta varios ejercicios sobre conjuntos, relaciones y funciones para la unidad 1 de una introducción a la topología. Los ejercicios cubren la clasificación de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, operaciones con conjuntos como intersección y unión, y propiedades de relaciones como ser reflexiva, simétrica o transitiva.

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    Este documento presenta varios ejercicios sobre conjuntos, relaciones y funciones para la unidad 1 de una introducción a la topología. Los ejercicios cubren la clasificación de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, operaciones con conjuntos como intersección y unión, y propiedades de relaciones como ser reflexiva, simétrica o transitiva.

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    02 - Conjuntos y Funciones

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    Javier Bazan
    Este documento presenta varios ejercicios sobre conjuntos, relaciones y funciones para la unidad 1 de una introducción a la topología. Los ejercicios cubren la clasificación de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, operaciones con conjuntos como intersección y unión, y propiedades de relaciones como ser reflexiva, simétrica o transitiva.

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    PROFESORADO de

    UDI: INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA


    MATEMÁTICA

    UNIDAD I: CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES

    Clasificación de Funciones
    Inyectiva: f: A → B es inyectiva ↔ ∀ x1, ∀ x2 ∈ A: x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
    O equivalentemente, haciendo uso del contrarrecíproco:
    f: A → B es inyectiva ↔ ∀ x1, ∀ x2 ∈ A: f(x1) = f(x2) → x1 = x2

    Sobreyectiva: f: A → B es sobreyectiva ↔∀ y ∈ B ∃ x ∈ A / f(x) = y

    Biyectiva: f: A → B es biyectiva ↔ f es inyectiva y f es sobreyectiva

    Ejemplo: Sea f: R → R definida por: f(x) = 3x + 2


    ¿f es inyectiva?
    f(x1) = f(x2) → 3x1 + 2 = 3x2 + 2 → 3x1 = 3x2 → x1 = x2
    Luego f es inyectiva.

    ¿f es sobreyectiva? ¿∀ y ∈ R ∃ x ∈ R / f(x) = y?
    𝑦−2
    Cálculo Auxiliar: f(x) = y → 3x + 2 = y → 3x = y - 2 → 𝑥 = ∈R
    3

    𝑦−2
    Luego ∀ y ∈ R ∃ 𝑥 = ∈R/
    3
    𝑦−2 𝑦−2
    f(x) = f ( 3 ) = 3 ( )+2=y–2+2=y
    3
    Luego f es sobreyectiva.

    Finalmente, podemos concluir, que f es biyectiva.


    Observación: resalte esa expresión
    porque una vez que hallamos x debemos
    asegurar que es un elemento del
    Dominio, en este caso particular lo es
    pues y ∈ R, y además R es cerrado para
    la resta y la división.

    Ejercicio 1: Clasificar las siguientes funciones:


    1) f: R → R con f (x) = 2x + 1
    2) f: R → R con f (h) = sen (h)
    3) f: R → R con f (w) = 4 – w2
    4) f: R → R con f (x) = | x + 1 |
    𝑥−1
    5) f: Z → Q con 𝑓(𝑥) = 2

    6) f: R → [1 , ∞] con f (x) = x 2 + 1

    1
    PROFESORADO de
    UDI: INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA
    MATEMÁTICA

    Conjuntos: operaciones y propiedades


    Vamos a repasar algunos conceptos de la teoría de conjuntos, para ello deberán buscar la
    información teórica necesaria para poder resolver los siguientes ejercicios:

    Ejercicio 2:
    a) Sean los conjuntos: A = {x  Z / | x | ≤ 3} y B = {x  Z / x2 < 7}
    Obtener: A  B , A  B , A − B , B − A , A  B , P ( A − B ) , P ( B − A)
    b) Sean los conjuntos: A = {x  R / x2 – 1 = 0} y B = {x  R / | x | ≤ 1}
    Obtener: A  B , A  B , B C
    c) Sean los conjuntos: A = {x  R / | x – 0,5 | ≤ 2} y B = {x  R / | x – 1 | ≤ 1,5}
    Obtener: A  B , ( A  B)
    C

    Ejercicio 3: Demostrar que, si dos conjuntos están incluidos en un tercero, entonces su


    unión también lo está.

    Ejercicio 4: Demostrar:
    a) A   → A = 
    b) A − B = A  B C
    c) A − B = A − ( A  B) = ( A  B) − B
    d) ( A  B) − C = ( A − C )  (B − C )

    Ejercicio 5: Demostrar:
    a) A  B → ( A  C )  (B  C )
    b) A  B → ( A  C )  (B  C )

    Ejercicio 6: Demostrar:
    (
    a) A = ( A  B )  A  B C )
    b) ( A − B)  B = A  B
    c) B  A  ( A − B)  B = A

    Ejercicio 7: Sea A = {x Є N / 1< x ≤ 5} y B = {3, 4, 5}. Se define R ⊂ A x B mediante:


    xR y ↔ x+y≤5
    a) Hallar A x B
    b) Caracterizar R por extensión.

    Ejercicio 8: Sea R la relación en A = {1, 3, 5} tal que


    (a , b) ∈ R sii a < b
    a) Definir R por extensión y graficar.

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    PROFESORADO de
    UDI: INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA
    MATEMÁTICA

    b) ¿Qué propiedades (reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva) verifica R?


    c) ¿R es una relación de equivalencia o de orden?
    d) ¿R es función?
    Ejercicio 9: Para el conjunto del ejercicio anterior, si la relación es ≤ se trata de una
    relación de equivalencia o de orden.

    Ejercicio 10: Sean A = {a, b}, B = {2, 3} y C = {3, 4}. Hallar:


    a) A x (B ∪ C)
    b) (A x B) ∪ (A x C)

    Ejercicio 11: Demostrar: A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

    Ejercicio 12: ¿La inclusión entre conjuntos es una relación de equivalencia o


    de orden? Justifique.

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