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Matematicas - Capitulo 04 - Funciones
Matematicas - Capitulo 04 - Funciones
Matematicas - Capitulo 04 - Funciones
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Capı́tulo 4. Funciones.
Definición de RELACION
aRb ⇐⇒ (a, b) ∈ R
• Dominio de R:
Dom(R) = {a ∈ A : ∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R}
• Recorrido de R:
Rec(R) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}
Ejemplos. De relaciones.
aRb ⇐⇒ a + b ≤ 5, a ∈ A, b ∈ B.
R = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (3, 1)}, Dom(R) = A, Rec(R) = B.
• R definida por:
aRb ⇐⇒ a + b ≤ 1, a, b > 0
∀ x ∈ A, ∃ ! y ∈ B : (x, y) ∈ R
f : A −→ B, x 7−→ y = f (x)
A DOMINIO de f A = Dom(f )
B CODOMINIO de f B = Cod(f )
R GRAFICO de f Gr(f ) = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}.
Ejemplos.
f (x) = x2 − 1, x ∈ R.
f −1 (Y ) = {x ∈ A : y = f (x), y ∈ Y } = {x ∈ A : f (x) ∈ Y }.
1) Su dominio es Dom(f ) = {x : y = x2 − 1 ∈ R} = R.
2) Su Recorrido es:
f −1 ([0, 2]) = {x ∈ R : y = x2 − 1, 0 ≤ y ≤ 2}
= {x ∈ R : 0 ≤ x2 − 1 ≤ 2}.
≤ x2 − 1 ≤ 2 ⇐⇒ 1 ≤ x2 ≤ 3 ⇐⇒ |x| ≥ 1 y
Ahora, 0
√
|x| ≤ 3. En consecuencia,
√ √
f −1
([0, 2]) = [− 3, −1] ∪ [1, 3].
T T
• f (X X̃) ⊆ f (X) f (X̃)
T T −1
• f (Y Ỹ ) = f (Y ) f (Ỹ )
−1 −1
• f −1 (f (X)) ⊇ X
Funciones 11 . FCFM. UdeC.
Funciones
Función Sobreyectiva
f (A) = B ⇐⇒ ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : f (x) = y
: R −→ R, f (x) = x2 − 1, del
Por ejemplo, la función f
ejemplo 1) no es sobreyectiva, pues f (R) = [−1, +∞[6= R.
Son equivalentes:
1. La función f : A −→ B es inyectiva.
2. ∀y ∈ f (A), ∃ ! x ∈ A : f (x) = y .
3. ∀x1 , x2 ∈ A : f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 .
4. ∀x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
5. ∀ y ∈ f (A): la ecuación f (x) = y tiene solución única en A.
f : A → B no es inyectiva
⇐⇒ ∃ x, a ∈ A : x 6= a ∧ f (x) = f (a).
La función f del ejemplo 1) no es inyectiva. En efecto,
∃ x = −2, a = 2 ∈ R : x 6= a ∧ f (−2) = f (2).
∀y ∈ B, ∃ ! x ∈ A : f (x) = y
Igualdad de Funciones
Funciones crecientes
Nota.
Si ∀x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) se dice que f es
monótona creciente (no decreciente).
Análogamente, si ∀x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
diremos que f es monótona decreciente (no creciente).
Proposición.
Sean
f : Dom(f ) ⊂ R −→ R, g : Dom(g) ⊂ R −→ R y
X = Dom(f ) ∩ Dom(g).
Se definen las funciones:
• Suma
• Producto
• Cuociente
Sean
f : Dom(f ) ⊆ R −→ R, g : Dom(g) ⊆ R −→ R y
X= x ∈ Dom(f ) : f (x) ∈ Dom(g) .
g◦f :X −→ R
x 7−→ g ◦ f (x) = g(f (x))
Función Inversa
definida por:
tal que
2
√
De donde se tiene que x = y − 1 ⇐⇒ y = x − 1. Es decir,
la función inversa es
√
f −1
: [−1, +∞[, −→ [0, +∞[, x 7→ f −1
(x) = x − 1.
• ∀ x ∈ Rec(f ) : f (f −1 (x)) = x,
∀ y ∈ Dom(f ) : f −1 (f (y)) = y .
• Si una función f admite inversa entonces, ésta es única.
• Sean g : A → B y f : B → C dos funciones
inversibles. Entonces f ◦ g : A → C es inversible y se
tiene que:
(f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .