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    Examen Junio 2015

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    Rafael Jesus Luque Aguilar
    El documento presenta 7 problemas de análisis vectorial y estadístico. El problema 1 contiene 4 partes sobre curvatura, torsión y triedro de Frenet de una curva. El problema 2 pide calcular una integral en un triángulo. El problema 3 otra integral a lo largo de una curva. El problema 4 analiza el flujo de un campo a través de una superficie cerrada. Los problemas 5, 6 y 7 contienen varias partes sobre ajuste de modelos, probabilidades y contrastes de hipótesis.

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    Examen Junio 2015

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    Rafael Jesus Luque Aguilar
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    El documento presenta 7 problemas de análisis vectorial y estadístico. El problema 1 contiene 4 partes sobre curvatura, torsión y triedro de Frenet de una curva. El problema 2 pide calcular una integral en un triángulo. El problema 3 otra integral a lo largo de una curva. El problema 4 analiza el flujo de un campo a través de una superficie cerrada. Los problemas 5, 6 y 7 contienen varias partes sobre ajuste de modelos, probabilidades y contrastes de hipótesis.

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    ExamenJunio2015

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    Rafael Jesus Luque Aguilar
    El documento presenta 7 problemas de análisis vectorial y estadístico. El problema 1 contiene 4 partes sobre curvatura, torsión y triedro de Frenet de una curva. El problema 2 pide calcular una integral en un triángulo. El problema 3 otra integral a lo largo de una curva. El problema 4 analiza el flujo de un campo a través de una superficie cerrada. Los problemas 5, 6 y 7 contienen varias partes sobre ajuste de modelos, probabilidades y contrastes de hipótesis.

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    de 2

    Apellidos: Nombre:

     Mecánica  Electricidad  Electrónica  Diseño DNI:

    Análisis Vectorial y Estadı́stico


    Análisis Vectorial. 15 de Junio de 2015

    1. 1.2 Sea C la curva intersección de las superficies z = x2 + y 2 , x = y. Determina:

    a) La curvatura y torsión de C
    b) El triedro de Frenet de C
    2
    2. 1 Calcula la integral de f (x, y) = ey +e−y en el triángulo de vértices A(0, 0), B(1, 2) y C(0, 2).
    2
    3. 1 Calcula la integral de lı́nea del campo F (x, y, z) = [e−x , sin(y)
    y , z ln(z)] a lo largo del arco de
     2
    t
    curva σ(t) = [cos(t), 2 + sin(t), 2 + ] con t ∈ [0, 2π]
    π

    4. 1.8 Sea S la superficie cerrada de dos caras limitada por la porción de esfera x2 + y 2 + z 2 = 102
    y la porción de plano z = 6 situada en el semiplano z ≥ 6 orientada según el vector normal
    exterior. Se considera el campo
     
    F (x, y, z) = 7y , zex+z cos(x) , 3z

    Determina:
    a) El flujo del campo F a través de S
    b) El flujo en la cara plana de S
    c) El flujo en la cara esférica de S
    Apellidos: Nombre:

     Mecánica  Electricidad  Electrónica  Diseño DNI:

    Análisis Vectorial y Estadı́stico


    Estadı́stica. 15 de Junio de 2015

    5. 1.5 Data la siguiente nube de puntos, se pide:

    xi 1 1/2 1/3 x+b


    modelo M0 y =a+ modelo M1 U =c+d·T
    yi 7 8 15 x

    a) Ajusta el modelo M0 propuesto a los datos transformándolo en uno lineal M1


    b) Calcula el coeficiente de determinación del modelo M1 y compáralo con el correspondiente
    a la recta de regresión de X sobre Y de la nube de puntos original. Indicación: M1 es el
    modelo lineal U = c + d · T asociado a M0 , no es ninguna de las rectas de regresión de la
    nube de puntos.

    6. 1.5 En un almacén hay dos tipos A y B de sacos llenos de cemento, el peso de los sacos de
    tipo A se distribuye según una normal con media 30 kg y desviación tı́pica 10 kg, el peso de los
    del tipo B se distribuye según una distribución uniforme en el intervalo [20, 40] . En el almacén
    el 30 % de sacos es de tipo A y el resto de tipo B.

    a) Si se toma al azar un saco de cemento del almacén determina la probabilidad de que pese
    más de 35 kg.
    b) Sabiendo que un saco pesa más de 35 kg, calcula la probabilidad de que sea del tipo A.
    c) Si de los sacos del tipo A solo se conociese la desviación tı́pica dada, ¿cuántos sacos de tipo
    A habrı́a que pesar para poder estimar su peso medio al 99,7 % de confianza con un error
    de ±5 kg?
    7. 2 Se instalaron dos tipos de sistemas de protección para vehı́culos. Para probar estos sistemas
    los vehı́culos fueron lanzados contra un muro de cemento a 20 km por hora, resultando los
    siguientes costos de reparaciones en euros:

    Sistema de protección 1 1070 1230 1020 1740 1520 1730


    Sistema de protección 2 1480 1950 1490 1750 2210 2090

    Suponemos que los costos de reparación siguen una distribución normal y que la seguridad o
    grado de protección se mide por los costes de reparación asociados y que a mayor coste menor
    seguridad. Al nivel de significación α = 0,01, explicando el resultado de los contrastes efectuados,
    se pide:
    a) Usando solamente la información de esta muestra y las suposiciones anteriores, ¿puede
    afirmarse que ambos sistemas de protección tienen la misma varianza?
    b) Estudio posteriores realizados por los fabricantes indican que la desviación tı́pica poblacional
    del primer sistema es 290 y la del segundo es 280 euros. Utilizando esta información de los
    fabricantes, ¿puede afirmarse que ambos sistemas ofrecen distinto grado de protección?
    c) El fabricante del sistema A informa en un comunicado que la media poblacional del coste de
    reparación para los sistema de tipo A es de 2000 euros, pensamos que este dato no es cierto,
    pensamos que es menor. Con los datos muestrales anteriores, ¿puede afirmarse que la media
    del coste de repación del tipo A es menor de 2000 euros?, en este contraste no utilizaremos
    la información que ofrece el fabricante sobre la desviación tı́pica ya que sospechamos puede
    ser falsa.

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