Resumen Modulo 1 Analisis

lOMoARcPSD|12129459
Resumen Módulo 1 Análisis
Herramientas Matematicas 2 (Universidad Siglo 21)
StuDocu is not sponsored or endorsed by any college or university

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)
lOMoARcPSD|12129459
ANÁLISIS
MÓDULO 1
Relación entre dos magnitudes, crean funciones que sirven para analizar estas situaciones y permiten predecir
cómo va a ser su evolución.
1) Funciones
El análisis matemático es una herramienta que nos permite dar respuesta a distintas situaciones problemáticas
de variadas ramas de las ciencias, y no solo de las ciencias llamadas duras; además, nos da la posibilidad de
obtener respuestas a futuro (modelos de predictibilidad).
Con esta herramienta, se espera que el profesional adquiera competencias importantes, como la de obtener
información relevante y organizada, y la de entrenar el razonamiento lógico.
En su novela Ojalá fuera cierto, el escritor francés Marc Levy escribió: “—Porque mientras se calcula, mientras
se analizan los pros y los contras, la vida pasa y no ocurre nada.”
Hagamos que la vida ocurra más fácilmente con la adquisición del manejo del análisis matemático.
Relaciones y funciones
Una relación es una correspondencia que asocia elementos de un conjunto A (conjunto de partida), con
elementos del conjunto B (conjunto de llegada). Una función es una relación que asocia a cada uno de los
elementos del conjunto de partida uno y solo un elemento del conjunto de llegada.
En símbolos:
f:A→B
f:x →y
f (x) = y
Dominio: El dominio de una relación es el subconjunto del conjunto de partida formado por los elementos que
están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada. El dominio de una función debe coincidir con
A (no puede haber elementos que no estén relacionados con ningún elemento).
Imagen: La imagen de la relación R es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que
están relacionados con algún elemento del dominio de la relación. La imagen de una función coincide con el
concepto de imagen de una relación. La imagen de una función es un subconjunto de B o es B (el conjunto de
llegada).
Una función es una herramienta que permite vincular dos variables diferentes:
Una función f:A→B relaciona todos los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B.
Simbólicamente lo escribimos así: y=f(x).
Variable dependiente y: su valor depende del valor que asuma x. Toma valores del conjunto de llegada.
Variable independiente x: es un elemento cualquiera del conjunto A. Toma valores del conjunto de salida.
Formas de representar las funciones

De acuerdo a cómo se presenta la información, tenemos que saber analizarla:
Tablas: Se relacionan dos variables mediante una tabla de doble entrada.
Gráficos: Las funciones se pueden representar mediante un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje x
(eje de las abscisas) se representan los elementos del conjunto de partida (variable independiente). En el eje y
(eje de las ordenadas) se representan los elementos del conjunto de llegada (variable dependiente).
Fórmulas: Una función se puede representar mediante una fórmula f(x)=y (se lee “efe de x es igual a y”), que
significa que y es igual al resultado de las expresiones matemáticas que utilizan a x.

lOMoARcPSD|12129459
Dominio de las funciones reales

Cuando una función real viene dada por su fórmula, encontrar su dominio es determinar para qué valores de la
variable x tiene sentido esa fórmula.
Dominio de funciones polinómicas:
Función de la forma: F(x)=a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + a4xn-3 + …. + a1x + a0
El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de todos los números reales R, pues a cualquier
número se lo puede elevar a una potencia natural o se lo puede sumar o restar a otro número. Es decir, que la
fórmula tiene sentido para todo valor de x. Ejemplo: Dom f =R.
Dominio de funciones racionales:
Función y=f(x) de la forma: donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Por ejemplo, Dom f=R-{4}
Dominio de funciones irracionales:

Si la función y=f(x) es una función irracional, por ejemplo: entonces, el dominio son todos
los números reales mayores o iguales a cero; es decir,
Esto es porque la fórmula tiene sentido para los valores positivos o cero.
Recordemos que no existen en los números reales las raíces de índice par de un número negativo.
Dominio de funciones por partes:

Se caracterizan por tener diferente formulación en diferentes partes del dominio. Es importante tener cuidado
de no definir para un punto dos valores distintos, porque dejaría de ser una función.
Tipos de funciones
A simple vista, podemos analizar ciertas características de las funciones con tan solo ver la forma que tiene su
representación gráfica:
Función constante: Una función f se dice constante en un intervalo I=(a,b) ⊆ Dom f , si para todo x en el
intervalo I se verifica f (x) = c donde c es un número real.
Función creciente: Una función f se dice creciente en un intervalo I=(a,b) ⊆ Dom f si para x1 , x2 en el intervalo
I se verifica: si x1 < x2 entonces f( x1 )< f( x2).
Función decreciente: Una función f se dice decreciente en un intervalo I=(a,b) ⊆ Dom f , si para x1, x2 en el
intervalo I se verifica: si x1 < x2 entonces f( x1) > f( x2).
Operaciones entre funciones
Suma: Si f y g son dos funciones, definimos la suma entre dos funciones como:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
Resta: Si f y g son dos funciones, definimos la resta entre dos funciones como:
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
Multiplicación: Si f y g son dos funciones, definimos la multiplicación entre dos funciones como:
(f . g)(x)=f(x).g (x)
División: Si f y g son dos funciones, definimos la división entre dos funciones como:

lOMoARcPSD|12129459
Composición: Si f y g son dos funciones, definimos la composición entre dos funciones como:
(f ° g)(x)=f(g(x))
Esta operación no es conmutativa; es decir, no es lo mismo componer f con g que g con f.
Por ejemplo:
Dadas las funciones f(x)=1+x y g(x)=x2, si hacemos (f ° g)(x)=f(x2) = 1+x2
Pero si hacemos (g ° f)(x)=g(1+x)=(1+x)2
Con lo cual vemos que son funciones diferentes.
2) Función Lineal
Una de las relaciones funcionales más sencillas es la que asocia dos variables en forma lineal. Si dos variables
describen gráficamente una recta, nos encontramos con lo que llamamos función lineal. En una línea recta, es
importante analizar la inclinación y algún punto de paso de la recta que sea interesante para su estudio.
Llamamos función lineal a una función f:R→R que verifica: f(x)=ax+b, donde a y b son números reales,
llamados parámetros de la función, siendo a≠0, ya que si a=0 tendríamos la función constante.
Pendiente y ordenada al origen: En la función lineal f(x)=ax+b, a recibe el nombre de pendiente y b se llama
ordenada al origen. La pendiente tiene que ver con la inclinación de la recta y puede asumir valores positivos o
negativos. La ordenada al origen es el punto de corte con el eje “y”, y puede ser positivo, negativo e, incluso,
cero.
Función lineal creciente y decreciente: Si la pendiente de la recta es positiva, diremos que la función lineal es
creciente; es decir, a medida que aumentan los valores de x aumentan los valores de y. Si la pendiente es
negativa, diremos que la función es decreciente; es decir, a medida que los valores de x aumentan, disminuyen
los valores de y.
Características gráficas:
x: es la raíz o cero de la función, corresponde al punto (x, 0). Es el punto donde la función corta el eje x.
b: es la ordenada al origen, corresponde al punto (0, b). Es el punto donde la función corta el eje y.
α: es el ángulo de inclinación que forma la recta con el eje x. Este ángulo está relacionado con la pendiente de
la recta de la siguiente manera: a=tan α
Determinación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos:

Sean los pares ordenados (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente de la recta y=ax+b se calcula como:
Determinación de la ordenada al origen de una recta:
La ordenada al origen de una recta y=ax+b que pasa por un punto (x 1,y1) se calcula (una vez obtenida la
pendiente) despejando b de la expresión, del siguiente modo: y1=ax1+b
Raíz de una función lineal:
Sea la función lineal f(x)=ax+b, la raíz o cero se calcula obteniendo el valor de x en la siguiente ecuación:
0=ax+b
Rectas paralelas:
Dos rectas se dicen paralelas si tienen la misma pendiente.
Rectas perpendiculares:
Dos rectas se dicen perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Sus pendientes son opuestas
e inversas.

lOMoARcPSD|12129459
3) Función Cuadrática
Llamamos función cuadrática a una función f :R→R que verifica: f(x)=ax 2+bx+c, donde a, b y c son números
reales, llamados parámetros de la función y a≠0.
Su gráfica es una parábola:
Vértice: el punto del vértice (x v; yv) se calcula con la

siguiente fórmula:
Raíces: las raíces o ceros de la función se calculan

resolviendo la ecuación cuadrática ax 2 + bx +c = 0 con
la fórmula:
Las raíces corresponden a los puntos de corte con el

eje x.
Ordenada al origen: es el punto de corte con el eje y. Corresponde al par ordenado (0; c).
Discriminante: algebraicamente se puede determinar si una parábola tiene o no puntos de corte con el eje x,
es decir, si tiene o no raíces. Llamamos discriminante D de la función cuadrática f (x) = ax2+bx+c a: D=b2-4.a.c
 Si D>0 la parábola tiene dos raíces reales distintas.
 Si D<0 la parábola no tiene raíces reales.
 Si D=0 la parábola tiene dos raíces reales iguales.
Análisis de parámetros
Los coeficientes de la función cuadrática a, b y c se llaman parámetros de la función y, al igual que en la

función lineal, tienen su interpretación en la gráfica de la función.
Coeficiente cuadrático a:

lOMoARcPSD|12129459
Coeficiente lineal b:
Término independiente c:

lOMoARcPSD|12129459
4) Funciones Trigonométricas
Algunas de las funciones que representan comportamientos periódicos son las funciones trigonométricas, de
las cuales nos detendremos en las más conocidas: seno, coseno y tangente.
Las funciones trigonométricas pueden pensarse, en un círculo de radio 1, como la proyección del radio vector
sobre los ejes del sistema de coordenadas.
De alguna manera, cualquier curva en un determinado intervalo, en concreto aquellas que representan
comportamientos periódicos, puede representarse por una combinación de estas funciones. Esa forma de
modelización se conoce como series de Fourier y permite aproximar un gráfico cualquiera.
Función seno: f(x)=sen(x)
f(x)=A.sen(dx+b)+c
Función coseno: f(x)=cos(x)

lOMoARcPSD|12129459
f(x)=A.cos(dx+b)+c
Función tangente: f(x)=tan(x)

lOMoARcPSD|12129459
¿Cuál es la diferencia entre la función seno y coseno? Las curvas de ambas funciones son muy similares, la
diferencia entre ellas es, simplemente, un desplazamiento de una con respecto a la otra.
La función seno se obtiene a partir de la función coseno desplazada en

Resumen Modulo 1 Analisis

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Resumen Modulo 1 Analisis

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Resumen Modulo 1 Analisis

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

lOMoARcPSD|12129459

Resumen Módulo 1 Análisis

Herramientas Matematicas 2 (Universidad Siglo 21)

StuDocu is not sponsored or endorsed by any college or university

Formas de representar las funciones

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)

Dominio de las funciones reales

Dominio de funciones polinómicas:

Función de la forma: F(x)=a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + a4xn-3 + …. + a1x + a0

Dominio de funciones racionales:

Función y=f(x) de la forma: donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Dominio de funciones irracionales:

Dominio de funciones por partes:

Operaciones entre funciones

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)

Determinación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos:

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)

Su gráfica es una parábola:

Vértice: el punto del vértice (x v; yv) se calcula con la

Raíces: las raíces o ceros de la función se calculan

Las raíces corresponden a los puntos de corte con el

 Si D>0 la parábola tiene dos raíces reales distintas.

 Si D<0 la parábola no tiene raíces reales.

 Si D=0 la parábola tiene dos raíces reales iguales.

Los coeficientes de la función cuadrática a, b y c se llaman parámetros de la función y, al igual que en la

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)

Función seno: f(x)=sen(x)

Función coseno: f(x)=cos(x)

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)

Función tangente: f(x)=tan(x)

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)

La función seno se obtiene a partir de la función coseno desplazada en

Downloaded by Sasha Cabezas (sashacabezas@gmail.com)

También podría gustarte