ÍNDIC

E
Geometría

Capítulo Pág.

1. Polígonos ........................................................................................................................ 89

2. Cuadriláteros ................................................................................................................... 93

3. Circunferencia I ............................................................................................................... 97

4. Circunferencia II ............................................................................................................ 103

5. Cuadriláteros inscritos e inscriptibles ............................................................................... 107

6. Proporcionalidad ............................................................................................................ 113

7. Semejanza .................................................................................................................... 119

8. Repaso ......................................................................................................................... 123

B la cka m es
 Polígonos

Capítulo I
"Q"
Un comentarista deportivo narra lo siguiente: faltan 15 minutos "R"
para terminar el clásico de los clásicos y pierde el balón Sotil en
"P" por hacer una de más y la encuentra Quinteros prueba en
primera y Gol...... pea el vértice del arco "Q". Si el punto "P"
equidista 3 m de la media cancha y el lateral, siendo el terreno "P"
cuadrado de 12 m de lado. Calcular la altura del arco, si: PQ =
PR.

• Polígono Polígono no convexo

Figura formada por la unión de tres o más
segmentos de recta que tienen sus extremos
comunes dos a dos.

C a
B x y
  D
A 
z
"n" lados x2

G x1 Polígono Equiángulo
F

Elementos

vértices : A, B, C, ....
lados : AB, BC, CD, ....
ángulos internos : , , , ....
ángulos externos : x, y, z, ....
diagonal : CF, ....
diagonal media : x1x2 ....

Observación: Polígono Equilátero

• Clasificación

Polígono Convexo

c
• Polígono regular
b d

a
e
f

5
GEOMETRÌA AÑO
 Resolución:

a
a
O "n" lados
108°

R x
R a a

Por ser polígono regular:

O: 180°(n - 2)
1  interno =
n
R:
Del gráfico: n = 5
= 180°(5 - 2)
1  interno = = 108°
5
:
2a + 108° = 180°  a = 36°

Según el número de lados, los polígonos se Pero: a + x + a = 108°; reemplazando: x = 36°

denominan:
3. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono
convexo, se obtiene otro polígono con 15 diagonales
triángulo 3 lados menos. Hallar el número de lados del polígono
4 lados original.
5 lados
6 lados Resolución:
7 lados
8 lados
9 lados N° lados N° diagonales
10 lados
11 lados n (n - 3)
inicio n
12 lados 2
15 lados
16 lados (n - 2) (n - 5)
final n-2
20 lados 2

Dato:
Problemas resueltos
# diagonales inicio - # diagonales final = 15
n(n - 3) (n - 2) (n - 5)
- = 15
1. Calcular el número de lados de aquel polígono en el 2 2
cual la suma de ángulos internos es 2160°. 2 2
n - 3n - n + 7n - 10 = 30
Resolución: 4n = 40  n = 10

Nos piden "n" (número de

n° lados del polígono original
lados) Del dato: 180° (n - 2) =
2160°
 n = 12 el polígono se denomina dodecágono 4. Desde cuatro vértices consecutivos de un polígono
convexo se trazan 25 diagonales, calcular el número
2. Calcular "x", si el polígono es regular. de lados.

Resolución:
Diagonales trazadas desde 1 solo vértice

x
4 lados  1 diagonal
 2. Calcular el número de lados de aquel polígono
convexo en el cual el número de diagonales, es igual
5 lados  2 diagonales al doble del número de lados.

a) 2 b) 5 c) 6
d) 7 e) 9
"n" lados "n" lados  (n - 3) diagonales
3. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono en el cual se
Diagonales trazadas desde 1 vértice cumple que un ángulo interno es el cuádruple de su
ángulo exterior?

En el problema: a) 28 b) 35 c) 54
d) 44 e) 90

2 4. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las

1
medidas de los ángulos internos y externos es
3 3960°?

"n" lados a) 21 b) 20 c) 23
d) 24 e) 22
4
5. Si el polígono es regular, calcular "x".

1 vértice (n - 3) diagonales
2 vértices (n - 3) diagonales x
3 vértices (n - 4) diagonales
4 vértices (n - 5) diagonales
# total diagonales a) 20° b) 15° c) 60°
= 4n - 15 d) 30° e) 18°
trazados desde 4 vértices
6. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo
Del dato: 4n - 15 = 25 4n = 40 n = 10 número de diagonales es igual al doble del número
de lados?
5. En un polígono regular la relación entre la medida de
un ángulo interior y exterior es como 3 es a 2. a) 2 b) 3 c) 5
Calcular el número de lados del polígono. d) 6 e) 7

Resolución: 7. Si el pentágono es regular, calcular "x".

Del dato:
48° x

1  interior 3
1  exterior  2 , reemplazando:

180(n  2)
n 3 n2 3 a) 10° b) 11° c) 12°
     n  5
360 2 2 2 d) 13° e) 14°
n
8. Si el número de lados de un polígono se duplica, la
Problemas para la clase suma de ángulos internos aumenta en 3060°.
Calcular el número total de diagonales.
1. ¿Cuántas diagonales faltan trazar al
polígono? a) 100 b) 111 c) 119
d) 115 e) 120

9. Determinar la suma de ángulos internos de aquel

polígono que tiene tantas diagonales como número de
lados.
a) 180° b) 380° c) 540°
a) 2 b) 4 c) 6 d) 720° e) 900°
d) 8 e) 10
10.Si el ángulo central de un polígono disminuye en 5°,
el número de diagonales aumenta en 7. Calcular el Autoevaluación
número de lados del polígono original.

a) 2 b) 4 c) 6 1. Calcular la medida del ángulo interior de un polígono

d) 8 e) 10 regular, cuyo lado mide 3. Si su número de
diagonales es 5 veces su semiperímetro.
11.Sean " " y " 1" los ángulos centrales de dos polí-
gonos regulares, " " y " 1" sus ángulos interiores.
a) 120° b) 160° c) 135°
Si: - 1 = m°; calcular: 1 -
d) 150° e) 130°
m
a) m - 1 b) m + 1 c) 2. La suma de los ángulos internos de un polígono vale
2
20 ángulos rectos. ¿Cuántas diagonales medias tiene
d) 2m e) m
el polígono?
12.Se tiene un polígono regular ABCDE.... de "n" lados y
a) 66 b) 55 c) 78
otro ABPQR... de (n - 2) lados, interiormente al
d) 105 e) 36
primero. Si: m CBP = 6°, calcular "n".
3. Un polígono convexo tiene 252 diagonales. Si se
a) 10 b) 12 c) 14
prolongan todos sus lados en ambos sentidos,
d) 16 e) 8
¿cuánto vale la suma de todos los ángulos en las
puntas de la estrella formada?
13.En un polígono de "n" lados, desde (n - 9) vértices
consecutivos se trazan (2n + 2) diagonales. Calcular
a) 3600° b) 2800° c) 3240°
"n".
d) 1260° e) N.A.
a) 8 b) 10 c) 12
4. Determinar el número de lados de un polígono
d) 14 e) 16
regular cuyo ángulo exterior mide 1°7'30".
14.El menor ángulo de un polígono convexo es 139° y
a) 240 b) 280 c) 320
los otros forman una progresión aritmética de razón
d) 360 e) 120
2°. Calcular el número de lados del polígono.
5. El número de lados de un polígono es igual a la
a) 10 b) 8 c) 12
mitad del número de diagonales. Calcular el
d) 14 e) 16
número de diagonales trazadas desde 3 vértices
consecutivos.
15.Calcular el mínimo valor entero que puede tomar:
a) 10 b) 11 c) 12
OA + OC + OE, si: AC CE pueden tomar su mínimo d) 13 e) 14
y
y máximo valor entero tal que existan los triángulos ABC
y CDE respectivamente, además " " es obtuso, ""
es agudo; CD = AB = 12; ED = 9 y AE = 15.

B   D

A E

a) 20 b) 21 c) 22
d) 32 e) 41
 Cuadriláteros

Capítulo II

Dos deportistas "A" y "B" compiten en el siguiente

deporte sobre las plataformas mostradas. El deportista partida
"A" lo hace con una medida diédrica de 120° y el
deportista "B" con una medida de 135°. Si los dos
parten con la misma velocidad, calcular la relación de
espacios recorridos en el plano horizontal en un mismo
intervalo de tiempo.

Cuadriláteros Paralelogramos

convexo

  B C

 

A D

Problemas resueltos
no convexo
 1. Calcular "x".

n 120°
m 100°

x 

 

Trapezoide Resolución:

Del triángulo:
120°  +  + x = 180° ........... (1)
100° Del cuadrilátero:
Trapecio
x  2 + 2 + 100° + 120° = 360°

   +  = 70° ...... (2)

B C Reemplazando (2) en (1): 70° + x = 180° x=

 BC : 110°

AD : 2. Hallar "x", si: a + b + c = 440°


A D x

b
c
a
BC // AD +=

5
GEOMETRÌA AÑO
 Resolución: Resolución:
B C
 2
3
x 2
E
F x

 
b
c A D
a
B
m n 3

2 E
Del triángulo total: x + m + n = 180° .... 3
(1) Del polígono (pentágono): 2
2
a + b + c + m + n = 180° (5 - 2) 2
 R
a + b + c + m + n = 540°
A 3
440° + m + n = 540°
m + n = 100° Debido a que es un romboide:
.......................... (2)
=
Reemplazando (2) en (1): x + 100° = 180° x=
80°  AED (isósceles)

AE = ED = x
3. Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana
en tres partes iguales, ¿en qué relación están las Se traza la ceviana BR (m  ABR = )
bases?
 BRE (isósceles) ; (BR = BE)
Resolución:

a
AE = 7  x=7

5. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares y

P Q miden 6 y 8 unidades. Calcular su mediana.
m m m
Resolución:
a
Q
b
8
Del gráfico PQ mediana
6 8
* Por base media:
a+b P
= 3m  a + b = 6m .... (I) R
2 b a
* Por segmento que une los puntos
medios de las diagonales: Se sabe:
b - a = m  b - a = 2m .... (II) a+b
2 mediana =
De "I" y "II": 2
Sumando: b = 4m ; a = 2m Recomendable formar un
trazando una paralela a
Respuestas:  b 4 a 2
a  2 ; b  4 la diagonal

4. Si ABCD es un romboide y BE = 3, EF = 2, hallar  figura sombreada es un paralelogramo.

"ED". En el PRQ (Pitágoras): a + b = 10
B C
 2 10
E  mediana = =5
2
F


A D
 Problemas para la clase a) 5 13 b) 6 13 c) 13
d) 7 13 e) 4 13
1. Si: m D = 3(m A);
m B = m C = 2(m A), hallar: m D 7. Siendo ABCD un trapecio (BC // AD), hallar: m
ADC.

B
C 4
B C

8 6
A D
A D
a) 30° b) 40° c) 70° 14
d) 100° e) 135°

2. En un trapecio el segmento de mediana a) 37° b) 53° c) 90°

comprendido entre las diagonales es 36. Si la base d) 30° e) 60°
mayor es el triple de la menor, la mediana mide:
8. Las bases de un trapecio ABCD miden 14 y 6 cm y
a) 35 b) 60 c) 72 su altura 8 cm, siendo AD la base mayor. Si "M" y
d) 70 e) N.A. "N" son los puntos medios de los lados no paralelos
de ABCD, hallar los lados no paralelos de AMND.
3. Hallar el perímetro de un trapecio isósceles de bases
2 y 4, en el que dos de sus ángulos miden "x" y "3x". a) 12 cm b) 16 c) 24
d) 8 e) N.A.

a) 2(3 + 2 ) b) 3,6 2 c) 1,8 2 9. Los lados laterales de un trapecio miden 5 y 9u.

d) 3 2 + 3 e) N.A. Calcular el máximo valor entero que puede tomar el
segmento que une los puntos medios de sus
diagonales.
4. Las bases y la mediana de un trapecio suman 6m,
a) 5 u b) 6 c) 7
hallar la mediana.
d) 8 e) 10
a) 3 m b) 2 c) 1,5
d) 1 e) F.D. 10.Se tiene un triángulo equilátero ABC de lado igual a
6 cm, en el cual se trazan las alturas AH y BI.
5. En un trapecio la relación entre el segmento que une Determinar la longitud del segmento que une los
los puntos medios de las diagonales y la mediana es puntos
3/5. Calcular la relación que existe entre las bases medios de dichas alturas.
del trapecio (base menor / base mayor)
a) 2,5 cm b) 4,5 c) 1,5
d) 3 e) 2
1 1 1 11.Si ABCD es un paralelogramo; AC = 15 y BD = 22,
a) b) c)
3 4 2 hallar
"OB + OC".
2 3
d) e)
3 4
B C

O
6. Si: AB // DC y AD // BC, mADE=m BDC, hallar "BD".

A D
E B
A
a) 17 b) 18 c) 19
24 d) 17,5 e) 18,5

D C
28
12.En la figura, hallar "EC", si: ABCD es un
romboide. Autoevaluación

E 1. En la figura, hallar "x".

B C

7 2x
 4x

A D 3x
11 
  
a) 4 b) 5 c) 2
d) 1 e) 3
a) 10° b) 15° c) 20°
13.En la figura, ABCD es un rectángulo, "M" y "N" son puntos d) 25° e) 30°
medios de CD y AB respectivamente. Si: AC = 12m,
hallar "GB". 2. En un paralelogramo ABCD, m B = 135°, AD = 8 y
BD es perpendicular a CD. Hallar la distancia del
vértice
C B "C" al lado AD.

G a) 4 b) 2 c) 6
M N
d) 3 e) 5
F
D A 3. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en "A" y "D"
se traza la bisectriz interior BQ ("Q" en DC ). Si: BQ
a) 3 m b) 4,5 c) 4 = BC, DQ = 2 y BQ = 6, hallar la mediana del
d) 6 e) N.A. trapecio.

14.Según el gráfico, ABCD es un rombo. Calcular "CH", a) 5,5 b) 6,5 c) 6

si: NL + ND = 10. d) 7 e) 8

4. En un romboide ABCD (BC > AB) se traza la bisectriz

B C BF del ángulo ABC ("F" en AD), en BF se ubica un

punto "E " de modo que: EF = 3(BE), luego se
traza: EP // BC ("P" en AC). Calcular "EP", si:
N 3(BC) - CD = 12.

A 2 H a) 1 b) 2 c) 3
L D
d) 4 e) 5

a) 20 b) 10 c) 5 5. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre la diagonal BD se

d) 10 2 e) 5 2 ubica un punto "E", tal que DE = 7(BE). Halle: m
BAE.
a) 10° b) 8° c) 9°
15.Se tienen los cuadrados ABCD y DECF de modo que
d) 15° e) 12°
"F" es exterior al cuadrado ABCD. Calcular la: m
AFB.

53 37
a) b) c) 37°
2 2
d) 53° e) 45°
 Circunferencia I

Capítulo III
L

Determinar la forma de la proyección del

cubo sobre el plano "P" siendo la recta
"L" perpendicular al plano mostrado.

DEFINICIÓN: 2.

B D

Si: AB = CD

N entonces:
Q
mAB = mCD

D P
R A C
L1
O 3.
C
L2 P
R T Si: AB PQ

M O entonces: PL = LQ
A B
L
Elementos mAP = mAQ
: Arco: CD Q
Cuerda: CD
4.
Radio: OM, ON
L
Diámetro: NM
Recta tangente:
L1 O R T
Recta secante: L2 R
T
Flecha o sagita: PQ Punto Punto de
tangencia
de tangencia: (T) Centro
de circunferencia: (O)

PROPIEDADES GENERALES 5.

1. A

A B Si: AB // CD
O PA = PB
entonces: P

mAC = mBD
C D
B

5
GEOMETRÌA AÑO
• Circunferencia Inscrita a un Triángulo
Es aquella circunferencia que se encuentra en el Problemas resueltos
interior del triángulo y es tangente a cada uno de sus
lados. 1. C a l c u l a r “ x + y + z ” , s i e l p e r í m e t r o d e l ABC es 126.

B
I : Incentro
r : Inradio z
I
r

• Circunferencia Circunscrita al Triángulo

A C
Es aquella que pasa por los vértices del x
triángulo
Resolución:
R
O : Circuncentro
z z
O R : Circunradio

x y

• Circunferencia Exinscrita al Triángulo

Es aquella circunferencia que se encuentra en el x y
exterior del triángulo y es tangente a cada uno de
sus lados. 2x + 2y + 2z = 126  x + y + z = 63

2. Hallar "x", si "O" es centro.

E : Excentro
B
E
re re : Exradio

A 2x x
C
O
TEOREMA DE PONCELET Resolución:
En todo triángulo rectángulo se
cumple:

A
2x
AB + BC = AC + 2r
2x x
O

r Utilizando el punto de tangencia:

5x + 90° = 180°
B C x = 18°

3. Se tiene un triángulo rectángulo de semiperímetro

TEOREMA DE PITOT 16 cm y de inradio 4 cm. Calcular la longitud de su
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia hipotenusa.
se cumple que:
Resolución:
C
B Del dato:
AB + CD = BC + AD a+b+c
a b = 16 ; R = 4
2
R a + b + c = 32 ....... (I)
Teorema de Poncelet:
A D c a + b = c + 2R .... (II)
 Reemplazando (I) en (II):
Pero:
32 - c = c + 2(4) c = 12 Por paralelas:
a + b = x ...... (II)
4. Hallar "PC", si: AB = 9, BC = 15 y AC = x Reemplazando (II) en (I):
18.
x + x = 90°
a b x = 45°
P

B
R

Problemas para la clase

C
T A

1. En el triángulo, AB = 8; BC = 7 y AC = 6. Hallar "AM".

Resolución:

P A
x Q
R M
9 15
T 18
C C B
x - 18
x P

Por propiedad de tangentes: a) 2,5 b) 3 c) 3,5

d) 4 e) 1,5

2. Calcular la flecha de la cuerda AB, si: AB = 8cm y

r = 5cm.

x - 15 + x - 18 = 9
B
Despejando: x = 21
A
5. Calcular "x", si las circunferencias son ortogonales.

x
a) 1 cm b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

Resolución: 3. En un triángulo rectángulo de catetos: AB = 12 y

BC = 16, hallar el inradio del triángulo.

b a) 5 b) 4 c) 3
a
d) 2 e) 1
x
4. En un triángulo ABC se sabe que: AB = 8, BC = 10 y
a b AC = 12, la circunferencia inscrita determina sobre AC
el punto "M", calcular "AM".
Por ser ortogonales se forma 90°
a) 6 b) 7 c) 5
d) 3 e) 4
Del gráfico: a + x + b = 90° .... (I)
5. En el trapecio isósceles: AD = BC = 8cm. Calcular la
mediana del trapecio.
 10.Del gráfico: R = 3 y r = 1, hallar "BE".
A B
E
B C

r
R
D C
A D

a) 6 cm b) 8 c) 10
a) 3 b) 4 c) 5
d) 12 e) 14
d) 6 e) 7
6. Hallar "x", si "O" es centro.
11.Calcular el perímetro del triángulo ABC.

T
10
B
4x x
A A
O B C 4 C
1
a) 18° b) 15° c) 12° a) 10 b) 15 c) 20
d) 10° e) 9° d) 25 e) 18

7. Hallar "x", si "T" es punto de tangencia, AO = OB =

12.En la figura, hallar "AB", si: CD = 6 cm.
BP = 1.
E
T

D
x
A O B P C
B

a) 60° b) 53° c) 45°

d) 30° e) 37° A
a) 6 cm b) 8 c) 10
8. En la figura, hallar "R + r", si: AB = 15 y BC = d) 12 e) 9
8.
13.Se tiene un octógono ABCDEFGH circunscrito a una
B circunferencia, donde: AB = 1, BC = 1, CD = 1,5;
DE = 0,5; EF = 2; FG = 2,7; HA = 0,8. Hallar "GH".
r
C A a) 0,5 b) 1 c) 0,8
O d) 1,5 e) 2
R
14.La circunferencia ex-inscrita relativa a la hipotenusa
en un triángulo rectángulo tiene un radio de 9 cm.
a) 23 b) 11,5 c) 10,5 Calcular la cantidad de valores enteros que puede
d) 13,5 e) 14 tomar la hipotenusa.

9. Hallar "R", si: AB = 9 y BC = 12. a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

15.Calcular "BR", siendo: r = 4.

P
P O
A R
A B
B C T

r
a) 15 b) 16 c) 18
d) 20 e) 22 R
 a) 8 b) 4 c) 4 2 3. En la figura: CD = AB + BC. Si: AD = 18, calcular "r1 +
r2".

d) 8 2 e) 2 2 C

Autoevaluación r1 r2
B

1. Del gráfico, calcular "R".

A D
a) 6 b) 8 c) 9
6
d) 10 e) 12

4. Se tienen 2 circunferencias de manera que la

R distancia entre sus centros y los radios de cada
5 una de las circunferencias están en la relación de
37° 3, 4 y 5 respectivamente, ¿por lo tanto las
15 circunferencias serían?

a) tangentes exteriores
a) 3 b) 4 c) 5 b) secantes
d) 6 e) 8 c) tangentes interiores
d) interiores
2. Calcular "x", si "O" es centro. e) ortogonales

5. Calcular " ", siendo "P" y "Q" puntos de tangencia.

T
P

25° x
A O B C Q
°
a) 100° b) 110° c) 120° 22°30'
d) 130° e) 140°
a) 22°30' b) 45° c) 30°
d) 90° e) No esta definido
 Circunferencia II

Capítulo IV

Eje

Se tiene un rollo cilíndrico de 36 tomas el cual se

desea calcular su volumen sabiendo que el eje del
rollo mide
4 cm y cada toma ocupa un área de 12 cm2.

• ÁNGULOS EN LA 4. Interior
CIRCUNFERENCIA

1. Central
x=
x

5. Exterior

2. Inscrito


x=
2

3. Semi inscrito

x=
2 2

x + = 180º


x=
2
5
GEOMETRÌA AÑO
 Problemas resueltos Resolución:

D
1. Si: TM = OM, hallar: m MBA, "O" es centro y "M" C Del dato: calcular "x + y"
x
punto de tangencia. 125°
Por ángulo inscrito:
M y x = 90°
A B
Por cuadrilátero inscrito:
T y + 125° = 180°  y = 55°
B O A
x + y = 145°
180°
Resolución: 4. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se
trazan
las tangentes PA y PB , luego se ubica el punto "C"

)
en
el arco mayor AB. Hallar la: m HBC, si: BH  AC y
M m APB = 70°.
x
Resolución:
45° x 45°
T A
B O
A
H
OM  TM 
C 55° 70° P
TMO (isósceles)
x
Pero: OM = OB = radio
B
En el  OMB:
2x + 45° = 180° Por propiedad: a + b = 180°
x = 67°30'

2. En el gráfico: m DFE = 100° y m ACD = 30°. Hallar:

m ABD. b a

B C
A

F  = 110°
E
Por inscrito m C = 55°
D
Resolución: En el BCH: x + 55° = 90°  x = 35°

 
Por ángulo inscrito: 5. En la figura, hallar "x", si L 1 y L 2 son tangentes a la
B C m  AED = x
A 30° circunferencia.
x
30°
x
80°
F 80° Propiedad: L1
x E x
2x
80° + 30° = 2x
100° 55° = x
D
L2
3. En una circunferencia de centro "O" se inscribe x
el cuadrilátero ABCD, tal que AB es diámetro y 

m BCD = 125°. Hallar: m ADB + m DAB.
 Resolución: 4. Si "O" es centro, mBD = 30° y PC = OB, hallar: m

)
P.

D
Suponiendo para el problema "": C
L1 B
P A O

2x L2 a) 10° b) 20° c) 15°

x P d) 25° e) 30°
x
  
 5. AB y CD son dos cuerdas de una circunferencia que
se cortan perpendicularmente tal que: m BAC = 35°,
+=x hallar la medida del ángulo ABD.
la medida del ángulo en "P" es "x"
a) 70° b) 35° c) 45°
Pero por propiedad: 2x + x = 180° d) 55° e) 60°
m + n = 180° x = 60°
6. Las tangentes en "A" y "B" a una circunferencia
forman un ángulo que mide 54°. "C" es un punto
n m

)
cualquiera del menor arco AB. Hallar: m  ACB.

a) 108° b) 124° c) 126°

d) 117° e) 110°
Problemas para la clase
7. En una circunferencia se tienen los puntos

) )
consecutivos: "A", "Q", "B" y "P" tal que: mAP = 50°,
1. "D", "E" y "F" son puntos de tangencia, "M" y "N" son AB y PQ forman un ángulo de 30°. Hallar: mBQ.
)
)

puntos medios de DF y EF respectivamente y m  B =

80°, hallar "m MPN". a) 10° b) 15° c) 25°
d) 30° e) 18°
B
P 8. Si: m LAM = 90°, hallar: m KQN, siendo "K",
D E "L", "M" y "N" puntos de tangencia.

K A N
A M N C
F
L M
a) 58° b) 70° c) 40° Q
d) 65° e) 60°

2. E n el s ig ui en te g rá fi co : m EA D = a) 50° b) 60° c) 30°

d) 45° e) 40°
)

4 5° , m ADB = 80° y m DCB = 140°, hallar

"mAE".

D 9. En u n tr iá ng ul o is ós ce le s AB C (A B =
BC )
C m BFE = 32°, siendo "E" y "F" los puntos de
tangencia
sobre los lados AB y AC determinados por la
E circunferencia inscrita. Hallar: m B.

a) 42° b) 36° c) 52°

A B d) 62° e) 50°

a) 30° b) 15° c) 20° a) 30° b) 15° c) 75°

d) 40° e) 45° d) 5° e) 45°

3. En una circunferencia de centro "O", se ubican los

)

puntos consecutivos "A", "B" y "C". Si: mAB = 120° y

m OBC = 45°, hallar: m OAC.
10.Circunferencias concéntricas de centro "O",

)
m BOA = 120° y m  OBA = 20°, hallar m FG.

A
F
B
G O
 a) 20° b) 10° c) 18° a) 50° b) 45° c) 30°
d) 15° e) 30° d) 40° e) 35°

11.En la figura mostrada: AQ = BC, hallar

"x". Autoevaluación

B
1. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se
x trazan
las tangentes PA y PB, luego se ubica el punto "C" en

)
el arco mayor AB. Hallar la m HBC, si BH  AC y
24°
A C m APB = 70°.
Q
a) 18° b) 20° c) 25° a) 25° b) 30° c) 40°
d) 48° e) 30° d) 35° e) 45°

3   2.  ABC = 60°.
12.Si "B" es punto de tangencia, hallar:
C a l c u l a r " x " , s i m :

2  

B
A x C
B 20°


C
A D
a) 2 b) 3 c) 5
d) 4 e) 1
a) 20° b) 30° c) 40°
13.Del gráfico, calcular " + ", si los polígonos d) 50° e) 35°
sombreados son regulares.
3. En un triángulo rectángulo un cateto mide 28 m y la
suma de las medidas de su inradio y circunradio es
 de
20 m, calcular la medida del otro cateto.

a) 12 m b) 16 c) 18
d) 20 e) 24
a) 45° b) 60° c) 90° 4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8.
d) 22°30' e) 53° Tomando como diámetros dichos catetos se trazan
semicircunferencias las cuales determinan los puntos
14.En la figura: AH = HC y "A" es punto de tangencia. "E" y "F" sobre la hipotenusa, ¿cuál es la longitud de
Hallar "EF"?
"x".
a) 2 b) 1 c) 1,4
B d) 1,5 e) 0
x
5. En la figura "O1" y "O2" son centros tal que AB es
3 tangente, calcular " ".
P 
A
A H C
a) 60° b) 45° c) 30°
d) 15° e) N.A. 
O1 O2
15.Del gráfico calcular el valor de "x", siendo "F" punto
de tangencia y m AFB = 30°.
D
B
P
a) 45° b) 30° c) 34,5°
70° E d) 36° e) 37,5°
M
A x
F
B
 Cuadriláteros inscritos e
inscriptibles

Capítulo V

Q
Sobre un punto "P" de una plataforma triangular
ABC se levanta un poste para instalar el megáfono
de un circo. ¿Qué punto notable debe ser "P" para
que los
tirantes QA, QB y QC tengan la misma longitud? A B
P

• Cuadrilátero Inscrito Ejemplos:

Llamado también cuadrilátero cíclico, es aquel que
tiene sus cuatro vértices sobre una misma 1. Si: = , entonces este cuadrilátero es inscriptible
circunferencia.

Propiedades

1ra. Propiedad:
B
C

A D

2. En este caso observamos dos ángulos que miden

2da. Propiedad:
90º, entonces se cumple que: = .
B C

A D

3ra. Propiedad:

3. En este otro caso, dos ángulos opuestos son rectos,

entonces el cuadrilátero es inscriptible.

• Cuadrilátero Inscriptible
Es aquel que puede ser inscrito en una
circunferencia. Si el cuadrilátero cumple con
cualquiera de las propiedades del cuadrilátero
inscrito, será inscriptible.

5
GEOMETRÌA AÑO
 Problemas resueltos Propiedad del baricentro: AG = 2GO

 AG = 2(3) AG = 6
1. Del gráfico, calcular "x".
3. Hallar " ", si "O" es circuncentro del ABC.
x
 B

2
125°
 O

90° + 
Resolución: A C
B
x Resolución:
 E

O B
125°
2 90° +  = 2(2)
A  C
H 90° +  = 4
O
90° = 3
Por propiedad de la mariposa: 90° +  30° = 
m A C
n

a+b=m+n Por propiedad del circuncentro:

a 
b

m  BHA = 90° O
2
En el ABC: BH y
AE son alturas  el punto "O"
es ortocentro
Del gráfico: 2

x
4. En la figura, hallar "x", si: AB = BC, m BPQ = 50° y
x + 180° + 125° = 360° m BCQ = 20°.

x = 55° B
125°

Q
2. En un triángulo ABC con diámetro BC se traza una P
x
semicircunferencia que contiene al baricentro "G" de
dicho triángulo. Calcular "AG", si: BC = 6.

Resolución: A C
O
B
Resolución:
3
O B
3
G
3 Q
50°
P
C x
A M
20°
Del dato "G" pertenece G : baricentro
50°
a la semicircunferencia BM : mediana A C
O
AO : mediana
 Problemas para la clase
Debido a que el APQC está
inscrito: m  ACQ = 50°
1. Calcular " ", siendo "I" incentro del
Por ser  ABC isósceles (AB = BC) ABC.
m  BAC = 70°
B
Por inscrito: 3
I 3
70° + x = 180°  x = 110°
A C
5. En la siguiente figura: m EGF = 80°, hallar m D.
a) 30° b) 18° c) 45°
B
d) 60° e) 20°
D
F 2. Si "O" es circuncentro del triángulo PQR, hallar "x".
C Q
G
E
70°
A O

80° x
Solución: P R

B  a) 100° b) 130° c) 140°

 d) 120° e) 135°
+ D
2 x
F 3. Dar el valor de verdad de las siguientes
C 80° +
G 2 afirmaciones: I. El incentro equidista de los vértices
 E
del triángulo.
A II. El ortocentro de un triángulo equidista de los
lados del triángulo.
III. En el triángulo obtusángulo el baricentro es un
punto exterior al triángulo.
Por inscrito se conoce:
a) FFV b) VVF c) VFV
m CED =  + 
2 d) VFF e) FFF
Por interior, m BFD.
4. Del gráfico, calcular "x", siendo "K" circuncentro del
B  ABC.
 +
2 D B
C F


40°
A K

A 50° x
C
Conclusión:
El FDEG es inscriptible: 80° + x = 180° x=
100° a) 30° b) 45° c) 60°
d) 35° e) 40°

 + D
5. En un triángulo ABC de baricentro "G" siendo: BG =
2 x
F AC, hallar la m AGC.

a) 90° b) 45° c) 60°

d) 75° e) 120°
80°  +
G 2
E
6. Del gráfico calcular "x", siendo ABCD un
cuadrado. a) 8 b) 4 c) 4 2
B C d) 2 2 e) 4 3

13.Las prolongaciones de las alturas en un triángulo

x acutángulo ABC intersectan a la circunferencia
circunscrita en los puntos "M", "N" y "P". ¿Qué punto
A notable es el ortocentro del triángulo ABC respecto al
D E
triángulo MNP?

a) 30° b) 45° c) 15° a) circuncentro b) baricentro c) ortocentro

d) 22°30' e) 60° d) incentro e) excentro

7. En un triángulo ABC: m A = 74° y m C = 36°, 14.En la figura, calcular "x".

sien- do I : incentro y K : circuncentro. Calcular: m
 KAI.

a) 17° b) 27° c) 18° 30°

d) 19° e) N.A.

8. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 18. 40° x

Hallar la distancia del baricentro al circuncentro. 30°

a) 4 b) 8 c) 9 a) 10° b) 15° c) 20°

d) 3 e) 6 d) 25° e) 30°

9. En un triángulo acutángulo ABC el B mide 72° y su 15.Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia y
ortocentro es "O". Si la m AOC = 3 , hallar sean los puntos C', B' y A' los puntos medios de los
el complemento de "". arcos AB, BC y CA respectivamente. ¿Qué punto
notable es el incentro del triángulo A'B'C'?
a) 36° b) 72° c) 54°
d) 45° e) 56° a) ortocentro b) incentro
c) circuncentro d) baricentro
10.Si "E" es el excentro del triángulo ABC y AB = 18, e) excentro
BC = 13 y AC = 10, hallar "QC".
Autoevaluación
B
E
1. Del gráfico, calcular "x".
A C Q
x
a) 20,5 b) 16,5 c) 18,3
d) 10,5 e) 18,5
45°
11.Del gráfico: BH = AC. Calcular " ", siendo H : 4k 3k
ortocentro y K : circuncentro.

B a) 30° b) 37°30' c) 53°

d) 37° e) 22°30'

2
2. Calcular "x", si "I" es incentro del ABC.
H K
B
A C x
a) 9° b) 8° c) 12° I
d) 15° e) 18°
x
A C
12.En u na c ir cu nf er en ci a se t ra za n la s cu er da s
perpendiculares AC y BD. Si: AB = 8, hallar "BH", siendo
H : ortocentro del triángulo a) 40° b) 60° c) 26°
BCD. d) 15° e) 30°
3. Calcular " ", si "K" es circuncentro del ABC. a) 21,5 m b) 16 c) 17,5
d) 21 e) 19
B
5. Si: AB = BC, AM = MC, calcular la m MRC.

B
K
 R
A C
H 
A C
a) 90° b) 45° c) 22°30' K M
d) 60° e) 15°

4. En un triángulo rectángulo la distancia del baricentro a) 20° b) 45° - c)

al circuncentro es 3,5m. Calcular la longitud de la d) 90° - e) 22°30' +
hipotenusa.
 Proporcionalidad

Capítulo VI

60°

c a
x
Calcular "x" en función de "a", "b" y "c" si b
los sólidos mostrados son semejantes.

• Teorema de Thales • Teorema de la Bisectriz

Tres o más rectas paralelas, determinan sobre dos o
más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes • Bisectriz Interior
son proporcionales.

a m
a b b = n
A P
L1

B Q L2
m n

C R L3
• Bisectriz Exterior

Si: L1 // L2 // L3 a m
b = n
a
b
AB PQ
=
BC QR

Observación: n
m

B Problemas resueltos

P Q 1. En la figura: AB // CD , determinar "AC".

C

A C A

Si: PQ // AC

BP BQ
= B
PA QC
D
5
GEOMETRÌA AÑO
 Resolución: 3. Hallar "CR - AR", si: AB = 5, BC = 7 y AC = 6.

B
C 

A C
R

B
Resolución:
D
Por paralelas: AB // CD
Teorema de la bisectriz:
x-2 4-x B
5k AR
x+1 = 7-x  7k = RC
2
7x - 14 - x + 2x = 4x - x + 4 - x
2 7 me piden: RC - AR = 2k
5
x=3 pero: 12k = 6
5k 7k k = 0,5
Reemplazando: AC = 4 - x = 1 A C
R RC - AR = 1
6

2. Si: BP // RQ y AB // PR , calcular "x".

PE  EG
4. Calcular: , si: "G" es baricentro del PQR.
B PE

P
R

G
A C E 
P Q 
x 2 3 Q R

Resolución: Resolución:

B P
G : baricentro
R 2b
G PG 2
E  b =
 GM 1
A C Q R
P Q M
x 2 3
En el PEG : teorema de la bisectriz exterior
En el triángulo sombreado:
teorema de Thales PE PM 3b 3k
  PE 
EG GM b   EG 1k
BR 2
= ....... (1)
RC 3
PE  EG 3k  k 4
Me piden:  
PE 3k 3
AB // PR :

BR x 5. En la figura: PQ // MN, 5(AP) = 3(PB), MC = 4(BM),

 ........ (2)
RC 5 AQ = 6 y NC = 12. Calcular "QN".
2 x 10
(1) = (2) :   x 
3 5 3
 B B

M 


P A C
R
A C
Q N a) 10 b) 6,5 c) 2
d) 5 e) 3
Resolución:
3. Hallar "CP", si: AC = 12 y AB = 3BC.
B
L B
M 
5k 
4L
P
3k A C P
A Q C
E N
6 12 a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 12
Ubicando los datos en el gráfico:
Se traza: BE // PQ // MN 4. En la figura: m ABE=m EBD=m DBC = 45°, AD = 5
teorema Thales: y
EC = 12, calcular "AC".
3k = 6 QE = 10 B
5k QE
teorema Thales:
4L = 12 NE = 3
L NE A D C
E

 QN = QE + EN QN = 13 a) 2 b) 10 c) 12
d) 8 e) 15

Problemas para la clase 5. Calcular "QC", si: AP = 5 y PQ = 3.

AB 2
1. En la figura:  ; si: DE = 3, calcular: "2EF", si:
BC 5
  
L 1 // L 2 // L 3 .
A P Q C

A D a) 4,5 b) 6 c) 6,5
L1
d) 8 e) 7
B E
L2
6. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF,
C F luego por "F" se traza FQ // AB ("Q" en BC), la
L3
bisectriz de l án gu lo F QC i nt er se ct a a AC
e n "R ". S i : FR = a y RC = b, calcular "AF".

a) 7,5 b) 8 c) 10
d) 15 e) 12 a b
a) (a  b) b) ab c) (a  b)
b a
2. Calcular "AR", si: AB = 10, BC = 14 y AC = 2
12. ab a
d) e)
(a  b) (a  b)
7. Si: AB = 4, BC = 3, CD // EH . Hallar "CH", si: HF = 11.Se tiene un triángulo rectángulo ABC. Se traza la
4,5 y L1 // L2 // L 3 . altura BH y la bisectriz del ángulo HBA, calcular
"BC" si la bisectriz intersecta a AC en "P" y 2AB =
3BH, AP = 6 y HC = 7.
A D L1
a) 8 b) 10 c) 11
B E d) 12 e) 15
L2

C F 12.Sobre los lados AC y BC, se ubican los puntos "M" y

L3
H "P" respectivamente de tal manera que MP // AB.
AM = a y MC = b. Luego se traza PN // BM. ("N"
en AC). Calcular "MN".
a) 6 b) 7,5 c) 9
d) 7 e) 5 ab
a) b) ab
ab
8. En la figura, MN // AC ; AB  6, AC = 14. Calcular
ab
"MN". c) 2
a  ab  b
2 d)
2
B 2 
a b
e)
ab
M N

 13.En un triángulo ABC, se ubica el incentro "I" sobre la

A  C
bisectriz BM, de tal manera que: 3IB = 2BM.
Calcular "AC", si: AB + BC = 24.

a) 4 b) 4,2 c) 4,8 a) 6 b) 8 c) 10
d) 5 e) 5,4 d) 12 e) 16

9. En el gráfico mostrado L1, L2, L3 y L4 son rectas para- 14.En un triángulo ABC, se trazan las cevianas interiores
lelas. Hallar "y - x". AM,BN y CL concurrentes en "P", de tal manera que:
 PB 
5AL = 2AB y 9BM = 5BC. Calcular:  
L1  PN
x+1 x+y
L2 3
3 7,5 a) 1 b) c) 2
L3 2
y 2(x + y) 11 8
L4 d) e)
4 3

15.En la figura, hallar "AN", si: AC = 18.

a) 2 b) 2,5 c) 4
d) 3 e) 1
B
10.En la figura BC = 15. Hallar "DC", si "G" es
baricentro del triángulo ABC y "L" es paralela a "AB". L  M

B 
A N C
D
a) 6 b) 8 c) 9
G C d) 10 e) 12
A
L

a) 12 b) 10 c) 9
d) 7,5 e) 8
 3. Hallar "EM", si BM es mediana, BD = 3, DE = 2,
Autoevaluación
siendo:
AB 1

1. Si en el triángulo ABC de la figura DE // AC , BC 3
entonces el triángulo es:
B

B D
x-1 1
 E
D E A   
C
5 x+3 M
A C
a) 1 b) 3 c) 2,5
a) escaleno b) isósceles d) 4 e) 3
c) rectángulo d) equilátero
e) isósceles rectángulo 4. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en "C" se
traza la bisectriz exterior BE de tal manera que: EC -
AC = 4.
2. En la figura: L 1 // L // L // L . Si: BC.CD = 225 y Calcular "AC", si: AB =15 y BC = 9.
2 3 4

AB a) 12 b) 11 c) 10
NR.RS = 256, hallar:
MN d) 9 e) 8

5. Del gráfico "T" punto de tangencia, calcular "x".

A M
T
B N
5
C R
D S
2

x

16 15 15
a) b) c)
15 16 8
a) 7 b) 10 c) 10
8
d) e) N.A. 14
15 d) e)
7 5
 Semejanza

Capítulo VII
• Criterios de Semejanza ABC ~ MNT

1er. Caso: Si tienen dos ángulos de igual

medida. a b c = H =K K Razón de semejanza
m = n = t h

Problemas resueltos

1. Hallar "PQ", si: PQ // AC

2 do . C a s o : Si tienen dos lados respectivamente
B
proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos
lados de igual medida. 2
P Q
6
a.k

a A 12 C

Resolución:
b b.k

3er. Caso: Si tienen sus tres lados respectivamente B

proporcionales. 2  Por ser paralelas el
   PBQ  ABC
P Q
x
6 x 2
=  x=3
12 8
a c  
a.k c.k A 12 C

b b.k 2. Si ABCD es un cuadrado, calcular "x", siendo: AP =

PB.
• Semejanza de Triángulos B C
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres
ángulos congruentes y las longitudes de sus lados P 6
homólogos respectivamente proporcionales. x

Lados Homólogos: Se denominan así a los lados que A D

se oponen a ángulos congruentes, en triángulos
semejantes. Resolución:
T

C
B C Por ángulos alternos internos:
n
h
m  APR  RCD
3 6-x
P R 6 =
  x 6 x
b a
H M N 3 Las bases son proporcionales a
t 
A D sus alturas respectivamente
6 x = 4
A B
c

5
GEOMETRÌA AÑO
3. Del gráfico, calcular "x". 5. Un triángulo tiene por lados 20, 26 y 30cm, ¿cuáles
son los lados de otro triángulo semejante de 114 cm
de perímetro?
2a
x
8 Resolución:

 a
 semejantes

20k 26k
26
20
Resolución:
30 30k

B perímetro = 114
 20k + 26k + 30k = 114

2a x
8 k= 3
P 2
 a
 los lados del triángulo semejante son:
A Q C  20k = 30cm
26k = 39cm
Completando ángulos en los triángulos 30k = 45cm
sombreados se concluye que:
 ABP  BQC
Problemas para la clase
2a = 8 x = 12
3a x
1. Calcular "x".

4. En el triángulo ABC mostrado, hallar "x". B

Q R
A
x
x A C
P S
9 x 4
4

C a) 4 b) 5 c) 6
B 10
2 d) 7 e) 8

2. Dado un trapecio de bases: BC = 2 y AD = 17. Se

Resolución:
traza
MN paralelo a las bases ("M" y "N" en AB y CD
respectivamente). Calcular "MN", si: 3MB = 2MA.
A
x a) 15 b) 13 c) 12
 d) 11 e) 8
P
4 3. En la figura "O" es centro de la semicircunferencia.
CP = 8; DP = 2; AB = 8, calcular "PB".
 
B C
E
B
2 10 D
P
Convenientemente sea: mB = , m  BCP = 
A C
O
ABE BPC

4 12 a) 1 b) 2 c) 3
=  x=2 d) 4 e) 5
2 4+x
4. Hallar el lado del cuadrado mostrado en la figura en
función de la base "b" del triángulo sobre el cual 10.Según el gráfico: BC // OD y OD = 2AB, calcular
descansa y de la altura "h" relativa a dicha base. "BC", si: AD = 4 u.

h A

C
b

2bh 2bh bh O B
a) b) c)
b  2h 2b  h bh
a) 2 2 u b) 3 c) 5
bh bh
d) e) d) 2 e) 1
bh b  2h
11.En un triángulo ABC la distancia de "B" a MN // AC es
5. Los lados de un triángulo miden 18, 24 y 36 5/7 de la altura BH. Si los lados del triángulo son:
unidades.
Hallar el menor lado de un triángulo semejante cuyo AB = 7, AC = 5 y BC = 9, hallar el perímetro del
perímetro es 65 unidades. triángulo
MBN.

a) 16 u b) 10 c) 15
d) 20 e) N.A. 147
a) 21 b) c) 15
5

6. En un triángulo ABC se traza la ceviana AP de modo 14

d) e) N.A.
que: m BAP = m  BCA, BP = 5 y PC = 7, calcular 5
"AB".
12.En la figura: AB = 2 y BC = 8; calcular "BH".
a) 16 b) 4 15 c) 57 C
B Q
d) 4 5 e) 8 3 A
H
7. En la figura mostrada, hallar "AM". P

B C

4 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
A D
M 13.En la figura mostrada: R.r = 4, calcular: (AQ) . (BQ).
8
A B
a) 1 b) 2 c) 1,5
d) 2,5 e) N.A.

Q r
8. Dibuje el triángulo rectángulo ABC recto en "B". Sobre
BC se toma el punto "P" y se traza PH perpendicular a R
AC . Si: AB = 5; AC = 15; PH = 3, calcular "PC".

a) 8 b) 2 c) 10 a) 2 b) 8 c) 16
d) 12 e) 16
d) 4 2 e) 8 2
9. Da do u n pa r a le lo gr am o AB CD t
al q ue : 14.Del gráfico, calcular "x", si: BC = 25 y TC = 4AT.
5AB = 4BC. En AC se ubica el punto "P", calcular la
B
distancia de "P" a AB, si la distancia a AD es 2.

a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3 x

A T C
 a) 3 b) 3 2 c) 5 2 a) 4 b) 3 2 c) 2 3
3
d) 5 e) d) 3 e) 2 5
4

3. En un triángulo ABC se traza la ceviana AP de modo

15.Del gráfico, AC = 2QE y "H" es ortocentro del
ABC, hallar "x" que: m BAP = m BCA, BP = 2 y PC = 6. Calcular
"AB".
Q

B a) 3 2 b) 2 3 c) 15
E
d) 4 e) 8
H
x
A C
4. En un trapecio ABCD (BC // AD), "M" es el punto
medio
de CD. Si: m BAM = m CDA y BC = 7, AD = 25.
a) 30° b) 62° c) 22,5°
Calcular "AM".
d) 26,5° e) 18,5°
a) 18 b) 20 c) 24
Autoevaluación d) 154 e) 21

1. Calcular "x" si los triángulos ABC, CDE, ERK son AB

5. Calcular , si: BE = 3 y BD = 2
equiláteros. BC

B B
D 
R  C


A D
C E K
9 x 4 A E 

a) 6 b) 6 2 c) 3 2 3 27 11
a) b) c)
8 8 17
d) 12 e) 4 3
23 8
d) e)
2. Calcular "x" si la figura sombreada es un cuadrado y 18 27
ab = 12.

a x b
 Repaso

Capítulo VIII

)
5. En la figura, mAB + mCD = 150°, hallar "x" (O y O'
Problemas para la clase
centros de las semicircunferencias).

1. Calcular "x". A B C D
r
x
O r O'

40° x

a) 110° b) 105° c) 115°

d) 90° e) 108°
a) 110° b) 120° c) 130°
d) 140° e) 150° 6. Los ángulos adyacentes a la base mayor de un
trapecio miden 45° y 30°. Si las bases del trapecio
miden 5 cm y
(7 + 2 3 ) cm, hallar el perímetro del trapecio.
)

2. Calcular "x", si: mPQ = 60°.

Q
a) 2(4  3  2 ) cm
P
x b) 4  2 3  2 2

c) 2(8  3  2 )
O
d) 8  3  2
a) 30° b) 60° c) 90°
d) 120° e) 80° e) N.A.

3. En la figura mostrada, hallar el ángulo "x" sabiendo 7. En la figura "I" es incentro del triángulo ABC. Si: DC
que "O" es el centro de la circunferencia. "A" es = 7, calcular "ID".
punto de tangencia, AB = AC y la m BOC = 42°. B

B
I
A O
x A C

C D

a) 2 b) 3 c) 5
a) 78° b) 78,5° c) 79° d) 9 e) 7
d) 79,5° e) 80°
8. Dadas dos circunferencias de radios 8 y 4, la
4. En la figura, si: m APC = 22°, hallar la diferencia circunferencia menor tiene su centro en la
circunferencia mayor. Calcular la distancia entre el
)
)

entre la medida de los arcos AC y BF.

punto de intersección de la tangente común con la
recta que une los centros y el centro de la
A circunferencia mayor.
B a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
C D F P
9. Se tiene el paralelogramo ABCD, exteriormente se
construyen los triángulos equiláteros ABP y BCQ.
a) 22° b) 33° c) 44° C a l c u PDQ.
l a r : m

d) 66° e) 88°
a) 90° b) 160° c) 60°
d) 30° e) 50°

5
GEOMETRÌA AÑO
10.En cierto polígono se cumple que la suma de sus
ángulos exteriores y centrales es 2160°, calcular su a) 6 b) 12 c) 12
ángulo exterior. d) 36 e) 26
a) 15° b) 78° c) 30°
d) 60° e) 65° 16. En un cuadrado ABCD de centro "O", se ubica en CD
el punto "R", por "O" se traza una recta perpendicular
11.En la figura mostrada: 3BP = 2PC y AH = 6, calcular a AR que intersecta a BC en "P". Calcular "CR", si: BP
"AQ". = 4.
a) 2 b) 2 2 c) 4 2
H B
P d) 8 e) 2 3
A
17. En un triángulo ABC, su ortocentro es el de su
triángulo ortico o pedal.
Q
C
a) incentro b) circuncentro
c) baricentro d) excentro
a) 3 b) 4 c) 5 e) ortocentro
d) 6 e) 7
18.Hallar "x".
12.Hallar "x".

B

5°
 82°
x
14
10 3°
3°
A 6 C x R
a) 10° b) 11° c) 15°
d) 13° e) 18°
a) 5 b) 10 c) 15
d) 16 e) 20 19.En un paralelogramo ABCD se toma el punto medio
"M"
13.Calcular "PB", si: OP = 2 y 3AC = de CD y sobre BM se toma el punto "E" tal que la
4DE. m DEM = m MBC. Si la m EAD = 75°, calcular la
m ADE.
C
D
E
a) 37,5° b) 45° c) 60°
d) 30° e) 75°
A O P B
)

a) 3 b) 10 c) 4 20.Del gráfico, calcular "x", si: mPB = 70°. "A", "B" y

d) 4,5 e) 6 "T" son puntos de tangencia.

A
14.Se tiene un rectángulo ABCD inscrito en una
circunferencia en el cual la prolongación de DA T
B x
intersecta a la tangente trazada por "B" en el punto
"P". Calcular "CD", si: PD = 12 y (PB)(AC) = 36.

a) 1 b) 2 c) 3 P
d) 4 e) 6
a) 55° b) 45° c) 30°
15.Del gráfico calcular "x", si: R1 = 2, R2 = 3, R3 = 1, d) 37° e) 60°
son inradios de los respectivos triángulos
sombreados.

x
R1 R2
R3