CN Mate2023 033255

CI CLO D E N IVE LACI Ó N
I NTRO D U CC I Ó N
A LA
MATE MÁTI CA
2023
COMPILADORA
Nancy Stanecka
AUTO RE S
Nancy Stanecka / Josefina Racagni
Oscar Margaría / Mariana González
María Inés Stímolo / Patricia Caro
Introducción a la Matemática 2023 / Nancy Stanecka ... [et al.] ; adaptado por Nancy
Stanecka ; coordinación general de Nancy Stanecka. - 2a ed. - Córdoba : Editorial de
la Facultad de Ciencias Económicas, 2022.
Libro digital, PDF - (Manuales)
Archivo Digital: descarga

ISBN 978-987-8257-02-0
1. Números. 2. Aritmética. 3. Álgebra. I. Stanecka, Nancy, adapt.

CDD 510.712
............................................................................................
Copyright Facultad de Ciencias Económicas

Universidad nacional de Córdoba
Bv. Enrique Barros s/n, Ciudad Universitaria X5000HRV
Córdoba, Argentina
............................................................................................
Licencia Creative Commons 4.0 internacional No Comercial.
............................................................................................
El proceso de revisión de calidad, originalidad y pertinencia disciplinar de los textos

contenidos en el presente material ha sido desarrollado por
referentes académicos y académicas que no pertenecen a la Editorial.
II
AUTO RI DA D E S F C E
DECANA
Dra. Catalina Lucía Alberto
VICEDECANO
Dr. Ricardo Luis Descalzi
S E C R E TA R I O G E N E R A L
Dr. Facundo Quiroga Martínez
S U B S E C R E TA R I A G E N E R A L
Cra. Mariana Guardiola
E D ITO RI A L F C E
E Q U I P O E D ITO R I A L
Raúl Alberto Diez
Carla Fernández
Santiago Guerrero
Nicolás Ladydo
Paula Quiñones
CO N S E J O E D ITO R
Esp. Liliana Salerno, Dra. Claudia B. Peretto, Dra. Carina M. Borrastero,
Bibl. Lucas S. Yrusta, Dra. Carola Jones
CO N SEJ O ASE S O R ACAD ÉM I CO

Dra. Leticia E. Tolosa, Lic. Sergio V. Barone, Dr. Juan M. Bruno,
Esp. Norma Bertoldi
M A Q U E TA C I Ó N
Raúl Alberto Diez
III
ÍNDICE
ÍNDICE
Presentación 1
Capítulo 1
Números y operaciones aritméticas 5
Introducción 5
1. Números naturales 6
1.1. Operaciones en los naturales 7
2. Números enteros 8
2.1. Operaciones en los enteros 9
3. Números racionales 11
3.1. Operaciones en los racionales 12
4. Números irracionales 16
5. Números reales 16
5.1. Relaciones de orden en los reales 17
5.2. Valor absoluto de un número real 17
5.3. Operaciones en 18
5.3.1. Potenciación 18
5.3.2. Radicación 20
5.3.3. Potencia de exponente negativo 21
5.3.4. Potencia de exponente fraccionario 21
5.3.5. Racionalización del denominador 22
6. Los números complejos 24

7. Ejercicios integradores 25
Respuestas a las actividades y ejercicios Capítulo 1 27
Respuestas de ejercicios integradores 30
Capítulo 2
Expresiones algebraicas 33
Introducción 33
1. Expresiones algebraicas 34
1.1. Clasificación de las expresiones algebraicas 36
1.2. Valor numérico de una expresión algebraica 37
2. Expresiones algebraicas enteras 38

2.1. Monomios 39
2.2. Polinomios 40
V
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA
2.3. Polinomios en una indeterminada 42
3. Operaciones entre expresiones algebraicas 43

3.1. Suma o adición 43
3.2. Diferencia o sustracción 44
3.3. Multiplicación o producto 46
3.3.1. Producto de binomios conjugados 47
3.3.2. Potenciación 48
3.4. División o cociente 50
3.4.1. Teorema del resto 53
3.4.2. Divisibilidad entre polinomios 54
4. Factorización de expresiones algebraicas 54

4.1. Factor común 55
4.2. Factor común por grupos 55
4.3. Trinomio cuadrado perfecto 56
4.4. Cuatrinomio cubo perfecto 57
4.5. Diferencia de cuadrados 58
4.6. Suma o diferencia de potencias de igual grado 58
5. Descomposición factorial de un polinomio 60

6. Expresiones algebraicas fraccionarias 64
6.1. Simplificación de expresiones algebraicas 65
6.2. Suma y resta de fracciones algebraicas 66
6.3. Producto de fracciones algebraicas 68
6.4. Cociente de fracciones algebraicas 68
Respuesta de ejercicios integradores 83
Capítulo 3
Ecuaciones e inecuaciones 87
Introducción 87
1. Ecuaciones 88
1.1. Ecuación lineal con una incógnita 90
1.2. Ecuación cuadrática con una incógnita 95
1.2.1. Ecuación de segundo grado incompleta 101
1.2.2. Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado 102
1.3. Ecuaciones fraccionarias 103
2. Sistemas de ecuaciones lineales 106

2.1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 106
3. Inecuaciones 114
3.1 Generalidades 114
3.2 Notación de Intervalos 116
3.3 Resolución de Inecuaciones 117
VI
ÍNDICE

1º Autoevaluación 133
Soluciones 1º autoevaluación 134
Capítulo 4
Lógica simbólica y teoría de conjuntos 139
Introducción 139
1. Concepto de conjunto, notación y representación 140
2. Conjuntos especiales 143
2.1. El conjunto universal o referencial 143
2.2. Conjunto vacío 144
2.3. Conjunto unitario 144
3. La lógica simbólica y el uso del lenguaje 144

4. Conectivos y operaciones lógicas 145
4.1. Negación 148
4.2. Conjunción lógica 149
4.3. Disyunción lógica 150
4.4. Disyunción exclusiva 150
4.5. Condicional 151
4.6. Bicondicional 154
5. Empleo de más de un conectivo lógico 155

5.1. Clasificación de las proposiciones compuestas 157
5.2. Equivalencia lógica 158
6. Funciones proposicionales 159

6.1. Cuantificadores 161
6.1.1. Cuantificador existencial 161
6.1.2. Cuantificador universal 162
6.2. Negación de los cuantificadores 163
7. Operaciones entre conjuntos 166

7.1. Complementación 166
7.2. Intersección entre conjuntos 167
7.3. Unión de conjuntos 169
7.4. Diferencia entre conjuntos 171
7.5. Diferencia simétrica 172
8. Relaciones entre conjuntos 173

8.1. Igualdad de conjuntos 173
8.2. Inclusión – Subconjuntos 174
9. Conjuntos ordenados 177

9.1. Par ordenado y producto cartesiano 177
VII

Capítulo 5
Relaciones y funciones 195
Introducción 195
1. Relaciones 196
2. Relación inversa 201
3. Relaciones funcionales 203
4. Dominio natural 209
5. Clasificación de funciones 210
Respuesta a las actividades y ejercicios Capítulo 5 219
Capítulo 6
Funciones especiales 227
Introducción 227
1. Función lineal 228
1.1. Pendiente o coeficiente angular 230
1.2. Ordenada al origen 232

1.3. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 234
2. Función cuadrática 237

2.1. Significado de los parámetros 240
3. Función exponencial 244

3.1. Definición y características de la función 245
4. Función logarítmica 249

4.1. Definición y características de la función 250
5. Razones trigonométricas 256

5.1. ¿Qué es la trigonometría? 256
5.2 ¿Qué son las razones trigonométricas? 257
5.3 Sistemas de medición de ángulos 259
5.4. Funciones trigonométricas 261
5.4.1. Seno 262
5.4.2. Coseno 264
5.4.3. Tangente 265
VIII
ÍNDICE
5.4.4. Relaciones recíprocas 266
5.4.5. Definición y características de las funciones trigonométricas 267
5.4.6. Funciones trigonométricas de ángulos complementarios 268
5.4.7. Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios, que

270
difieren en , opuestos y congruentes
5.4.8. Representación gráfica de las funciones trigonométricas 270

Respuesta a las actividades y ejercicios Capítulo 6 278
2º Autoevaluación 296
Soluciones a la 2º autoevaluación 298
IX
X
PRESENTACIÓN
PRESENTACIÓN
Introducción a la Matemática busca contribuir a la formación matemática

básica de un/a estudiante universitario/a, a través de la revisión de
conceptos y herramientas matemáticos adquiridos en la escuela media.
Sobre esta base, se apunta a nivelar los conocimientos. La ejercitación, la
correcta formalización lógico-simbólica de las ideas y la transferencia de los Invitamos a ver la
presentación de
contenidos teóricos a situaciones problemáticas constituyen parte de la
Introducción a la
labor indispensable que se requiere para lograr cierta ductilidad en el Matemática en el
análisis matemático y en el manejo algebraico. Aula Virtual.
Objetivos
Con esta orientación general, nos proponemos que cada estudiante logre
los siguientes objetivos:
Revisar, en forma ordenada, los aprendizajes logrados en el nivel medio.

Rescatar los conocimientos matemáticos básicos para iniciarse en su
carrera universitaria.
Favorecer el desarrollo del razonamiento deductivo y aplicado en la
resolución de problemas.
Relacionar los conceptos centrales de los distintos capítulos,
utilizándolos conjuntamente, en forma flexible, en diferentes situaciones
problemáticas.
Contenidos generales
Capítulo 1: Números y operaciones aritméticas

Capítulo 2: Expresiones algebraicas
Capítulo 3: Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 4: Lógica simbólica y Teoría de Conjuntos
Capítulo 5: Relaciones y funciones
Capítulo 6: Funciones especiales
Metodología
Se propone un estilo de trabajo que combina la utilización del material

impreso, especialmente diseñado para esta asignatura, con la posibilidad del
intercambio entre docentes y estudiantes, a través de lo que denominamos
tutorías presenciales.
El material impreso es el eje de esta propuesta: contiene el basamento

teórico que requiere cada tema con explicaciones en detalle,
ejemplificaciones, actividades de aprendizaje y ejercitación adicional con
respuestas, cuyo seguimiento por parte de cada estudiante permitirá́
detectar errores, clarificar dudas y realizar una autoevaluación.
1
En las tutorías, se desarrollan los temas más importantes (no la totalidad de

los contenidos), haciendo que cada estudiante tenga activa participación en
los casos planteados y consulte sus dudas.
Sistema de evaluación
Para alcanzar la regularidad se requiere la aprobación, con nota de 4

(cuatro) o más, de dos evaluaciones parciales, pudiendo ser recuperada solo
una de ellas por ausencia o aplazo.
Aquellos/as alumnos/as que cumplan con el requisito de aprobar los dos

primeros parciales con nota no inferior a 6 (seis) en cada uno de ellos,
alcanzarán la promoción directa de la asignatura.
En caso de no aprobar dos parciales o no asistir a los mismos, el/la

alumno/a accederá a la categoría de libre.
Quienes no estén promocionados deberán rendir un examen final, cuya

calificación será aprobado o reprobado.
La escala de notas en las evaluaciones a utilizar y sus correspondientes

valores numéricos serán las establecidas en la ordenanza 482/09.
Adicionalmente, la promoción de la materia (directa o por examen final)

requiere no adeudar materias del nivel secundario y haber realizado la
inscripción definitiva.
Bibliografía básica
Stanecka, Nancy; Racagni, Josefina; Margaría, Oscar; González, Mariana;

Stimolo, María Inés; Caro, Patricia (2018). Introducción a la Matemática.
Bibliografía complementaria
Alonso, Raquel; Carranza, Susana. Matemática 7 (EGB) (1998). Editorial

Santillana.
Buteler, Diana y otros. Matemática I y Matemática IX. Editorial Santillana.

Buenos Aires.
Díaz, Margarita; Ottonello. Susana (2000). Curso de Nivelación.

Introducción a la Matemática. FCE. UNC.
Duarte, Betina. Matemáticas para ingresar a la Universidad. Editorial

Granica. Buenos Aires.
Englebert, Pedemonti, Semino. Matemática III. Editorial A-Z. Buenos Aires.
Etchegoyen, Susana. Matemática I (Polimodal) (1999). Editorial Kapeluz.

Buenos Aires.
Kaczor, Pablo; Shiaposchink, Ruth; Franco, Eleonora y otros. Matemática I

(Polimodal) (1999). Editorial Santillana. Buenos Aires.
2
PRESENTACIÓN
Kisbye, Patricia; Sayago, Silvina; Stanecka, Nancy; Vargas, Laura (2006).

Elementos de Matemática. Curso Preuniversitario. UNC.
Latorre, María; Spivak, Laura; Kaczor, Pablo y otros. Matemática VIII y IX

(EGB) (1998). Editorial Santillana. Buenos Aires.
Mustafá, Cristina; Stanecka, Nancy; Pendito, María Inés; Margaría, Oscar;

Montero, Laura; Baraldi, Ruth; Caro, Patricia; Stimolo, María Inés (2007).
Curso de Nivelación. Notas complementarias. Introducción a la
Matemática. FCE. UNC.
Ottonello, Susana; Díaz, Margarita; Lima de Castellao, Sonia; Mustafá,

Cristina; Caro, Patricia; Stanecka, Nancy (2007). Curso de Nivelación.
Introducción a la Matemática. FCE. UNC.
Rojo, Armando; Sánchez, Silvia; Greco, Mario. Matemática III (1996).

Editorial Ateneo. Buenos Aires.
Seveso de Larotonda, Julia. Matemática VII, VIII y IX (EGB). Editorial

Kapeluz. Buenos Aires.
Varela, Leopoldo y Foncuberta. Matemática Dinámica III. Editorial

Kapeluz. Buenos Aires.
Vázquez de Tapia, Nelly; Tapia de Bibiloni, A. Matemática III. Editorial

Estrada. Buenos Aires.
Páginas de Internet consultadas
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/marco_contenidos.h
tm
http://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=analisis/ap_logica
_ci.zip http://hp.fciencias.unam.mx/lytc/
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm
3
4
Capítulo 1
NÚMEROS Y
OPERACIONES
ARITMÉTICAS
Desafío 1
La mamá de Lucas sabía que el viaje de egresados
de su hijo tenía un costo de $80.000 pagando de
contado. En base a sus posibilidades presupuesta-
rias, decidió entregar la cuarta parte del total y pa-
gar el resto con tarjeta de crédito.
Sin embargo, como no tenía saldo suficiente en
una, tuvo que recurrir al pago con dos tarjetas, de
acuerdo al siguiente esquema:
El 30 % del total del viaje con Tarjeta Nexos, que excepcionalmente tenía
un descuento del 20 % sobre el monto de lo cargado a dicha tarjeta.
El resto, con Tarjeta Raíces, en 12 cuotas mensuales y con un recargo del 15
% para todo el período.
¿Cuánto fue el costo total del viaje de Lucas?
Como se puede observar, nos encontramos
con un pequeño problema relacionado con
la economía familiar. Sería muy bueno que
pudiéramos resolverlo ahora o, quizás, sería
mejor avanzar en la revisión de todos los te-
mas de este capítulo y luego ver qué simple
resulta responder a este desafío.
Introducción
¿Cómo y porqué surgieron los números? En su necesidad de contar objetos,
el hombre primitivo creó una aritmética no formal contando, en principio, con
los dedos de la mano o utilizando piedras pequeñas.
Mucho tiempo después, en las culturas
orientales –caldea, egipcia, china e india–,
aparecieron los primeros elementos mate-
máticos expuestos de manera transmisible.
En la actualidad, el uso universal del sistema
decimal de números, la suma de ellos, el
5
producto y la división son conocimientos matemáticos, estructurados y cla-

sificados, que hoy resultan básicos para la humanidad.
Para representar cantidades y medidas, es habitual trabajar con números, por
ejemplo:
Natalia recibió 250 mensajes en WhatsApp en menos de una hora.
La temperatura mínima fue de -3 grados centígrados.
Se estima que la inflación, en el último semestre, será del 4,7 %.
El perímetro de la circunferencia es 2 por radio.
Podemos observar que los números que usamos como parte de nuestra co-
municación se expresan de distinta manera (250; -3; 4,7; 2 ) y, en sí mismos,
pretenden simbolizar diferentes hechos, por lo que deben ser identificados y
caracterizados claramente para poder operar con ellos.
Sin pretender gran rigurosidad, nos proponemos repasar cada uno de los con-
juntos numéricos y recordar sus características, a partir del conocimiento que
poseemos de las operaciones básicas. Nos detendremos en las definiciones
formales de las operaciones, sus elementos y propiedades más relevantes.
Seguramente con esta base podremos abordar los temas siguientes con ma-
yor facilidad.
1. Números naturales
En función de lo que fue el inicio en la construcción de la ciencia matemática,
se considera que los primeros números que aparecen son los que aprendimos
en la infancia y que hoy llamamos naturales.
Los números naturales son los que usamos para contar o enumerar y se
los simboliza con la letra ℕ.
ℕ = {1, 2, 3, …, n, n + 1, …}
Observemos que el conjunto de los números naturales:

Tiene un primer elemento, el uno (1).
Cada natural (excepto el 1) se puede obtener agregando uno (1) al número
natural anterior.
No tiene un último elemento.
¿Cómo simbolizarías el número natural anterior a n?
6
NÚMEROS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS
Podemos representar gráficamente a los naturales en una recta, con-

siderando un segmento de referencia fijo u, que servirá para separar
un natural del inmediato siguiente, comenzado con el número 1.
+ + + + + + + + + +
1+ 2 3 4 5 6 7 8 9
Ahora, formalicemos cuáles son las operaciones que se definen entre los nú-
meros naturales.
1.1 Operaciones en los naturales
La suma o adición de dos números naturales a y b es otro número natural

a + b que se obtiene de agregarle a uno de ellos tantas unidades como
represente el otro.
Cada uno de los números que intervienen en la suma se llama sumando y el

número que los reúne o agrupa se denomina suma.
a+b=c suma
sumandos
La multiplicación o producto de dos números naturales a y b es otro nú-

mero natural a b que se obtiene de sumar uno de ellos tantas veces como
indique el otro.
a b=a+a+…+a
b veces
Cada uno de los números que intervienen en la multiplicación se llama factor
y el número que resulta se denomina producto.
a b=c producto
factores
Propiedades de la suma y el producto de números naturales
PROPIEDAD SUMA PRODUCTO

La suma y el pro-
Conmutativa ducto de números
a+b=b+a a b=b a
naturales poseen
ciertas propiedades
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) que facilitan el
cálculo y son de im-
Distributiva del producto portancia teórica.
a (b + c) = a b+a c
con respecto a la suma ¿Las recordamos?
7
En los naturales también podemos definir otras operaciones:

La resta o sustracción como la operación inversa de la suma:
a b=c si y solo si b+c=a
Entre los números que intervienen en la resta habrá que diferenciar entre el
minuendo, el sustraendo y la diferencia o resta.
a–b=c resta o diferencia
minuendo sustraendo
¡Tengamos cuidado! La división o cociente como la operación inversa del producto:
La resta y la división
no gozan de las pro- a: b = c si y solo si b c=a
piedades conmutativa
y asociativa. Cada uno de los números que intervienen en la división recibe un nombre.
Habrá que diferenciar entre el dividendo, el divisor y el cociente.
dividendo a: b = c cociente
divisor
En el conjunto de los naturales, podemos sumar y multiplicar sin problemas,
dado que el resultado de sumar o multiplicar números naturales es otro nú-
mero natural.
Pensemos qué ocurre en los siguientes casos:
3 5=? 3 3=?
Pero cuando restamos
dos naturales, ¿la dife- La imposibilidad de obtener diferencias como estas en el conjunto de los nú-
rencia es siempre un meros naturales hace necesaria la creación de un nuevo conjunto de números.
natural? Surgen así los denominados números enteros.
2. Números enteros
Los números enteros están formados por los naturales, el cero y los na-
turales precedidos por el signo menos (a los cuales llamamos “enteros
Los números enteros
negativos”). Se los simboliza con la letra ℤ.
vienen a dar solución a
la resta de números na- ℤ = {⋯,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,⋯}
turales, en el caso en el
que el minuendo es Al igual que en los números naturales, podemos representar los enteros so-
menor o igual al sus-
bre una recta en la que se elige un punto como origen, identificándolo con el
traendo, pero, además,
estos números nos número cero. Luego, usando un segmento como unidad de referencia, se
ayudarán a representar ubica el resto de los números enteros, estableciendo que los números positi-
temperaturas, deudas, vos están a la derecha de ese origen, mientras que los negativos se ubican a
pérdidas, etc. la izquierda.
8
+ + + + + + + + +
4 3 2 1 0 1 2 3 4
5
Observemos que:
Cada número entero, salvo el 0 (cero), consta de un signo (+ o ) y de su
valor absoluto, que es la distancia del número al 0.
Cada entero tiene asociado su correspondiente opuesto, que está repre-
sentado por el mismo número natural, pero con signo diferente. Por ejemplo,
4 es el opuesto de 4, 3 es el opuesto de 3.
El conjunto de los números enteros es discreto, esto significa que entre
dos números enteros solo puede existir una cantidad finita de números en-
teros.
En ellos no hay primer elemento, ni último elemento, por lo tanto, existen
infinitos números enteros.
2.1 Operaciones en los enteros
Las operaciones que hemos definido en los naturales y sus propiedades si-
guen siendo válidas al trabajar con enteros. Repasemos cómo operar con es-
tos números.
1) Para sumar números enteros habrá que considerar:
SUMA DE NÚMEROS
ENTEROS
a+b EJEMPLOS
La suma tendrá el mismo signo 5 + 7 = 12

Si a y b tienen el mismo
de los sumandos y se suman los
signo ( 5) + ( 7) = 12
valores absolutos.
La suma tendrá el mismo signo 5+7=2
Si a y b tienen distinto
del mayor de los sumandos y se
signo 5 + ( 7) = 2
restan los valores absolutos.
El cero sumado a izquierda o a de-
Si uno de los recha de un número da el mismo
a+0=0+a=a
sumandos es 0 número, se dice que 0 es el ele-
mento neutro de la suma.
2) Para multiplicar habrá que tener presente la regla de signos:

PRODUCTO DE NÚME-
ROS ENTEROS
a b EJEMPLOS
Se multiplican valores absolutos

a y b tienen el mismo 5 7 = 35
de los factores y el producto ten-
signo
drá signo positivo.
( 5) ( 7) = 35
Se multiplican valores absolutos

a y b tienen ( 5) 7 = 35
de los factores y el producto ten-
distinto signo 5 ( 7) = 35
drá signo negativo.
Si uno de los factores es a 0=0
El producto es 0.
0 0 b=0
9
3) Si multiplicamos un número entero a izquierda o a derecha por 1 (uno), se

obtiene el mismo número. Se dice que 1 es el elemento neutro del producto.
En símbolos:
a 1=1 a=a
Ahora, veamos cómo, a partir de lo recordado anteriormente, es posible ob-
tener el resultado de operaciones combinadas.
Por ejemplo, resolvamos:
1 ‒ {2 ‒ [3 + (2 ‒ 4 + 1) ‒ (2 ‒ 3) +1]} ‒ 1
Para resolver, habrá que tener presente lo siguiente:
Un signo menos delante de un paréntesis corchete o llave nos indica que
estamos multiplicando por ( 1).
Los signos más (+) y menos ( ) separan términos.
Salvo que existan paréntesis corchetes o llaves, hay que multiplicar y divi-
dir primero y luego sumar o restar (jerarquía de las operaciones).
La regla de signos también se aplica a la división.
Este ejercicio se puede desarrollar de distintas formas. Optaremos por supri-
mir primero los paréntesis, luego los corchetes y, finalmente, las llaves, res-
petando lo que nos indica el signo que los precede y, luego, asociando los
valores de acuerdo a si son positivos o negativos.
1 ‒ {2 ‒ [3 + (2 ‒ 4 + 1) ‒ (2 ‒ 3) +1]} ‒ 1 = 1 ‒ {2 ‒ [3 + 2 ‒ 4 + 1 ‒ 2 + 3 +1]} ‒ 1
= 1 ‒ {2 ‒ 3 + 4 ‒ 1 ‒ 3 ‒ 1} ‒ 1
=1‒2+3‒4+1+3+1‒1
= (1 + 3 + 1 + 3) ‒ (2 + 4)
=8‒6
=2
Actividad 1
Resolver las siguientes operaciones con números enteros:

a) [‒2 + (‒1) ( ‒3)] ( ‒1) + 3 (‒2) (1 ‒ 2) =
b) ‒5 ‒ {3 ‒ [1 + 2 ‒ 4 ‒ (3 ‒ 5 + 2) + 4] + 2 ‒ 3 + 1} =
c) [(‒3)(‒1)(‒2) + 5 2] [(‒2)(‒1) + 2] =
d) ‒2 [2 + (‒3) (‒1) (‒4) + 5 2] ‒ (4 + 3) =
e) (‒1)( ‒3)( ‒1) + (‒4)(‒2) + (5 ‒ 3)(‒1) =
f) ‒[2 2 + (‒15)(‒3)] : (4 + 3) + 5 2 =
g) (‒1)( ‒7) + 20 : [(‒1) + (‒4)] + (5 ‒ 3) : (‒1) =
h) 3 + {(5 + 4) : [3 (4 : 4) + 4 (‒6) + 24](‒1)} =
En , podemos sumar, restar y multiplicar sin inconvenientes.
Pero… ¿Qué podemos afirmar sobre la división?
10
En general, para dividir recurrimos a un esquema como el siguiente:
a b
Tengamos en cuenta…
r c
Al dividir dos enteros, el
cociente no es necesa-
riamente un número en-
donde r recibe el nombre de resto, siendo a, b y c dividendo, divisor y cociente
tero.
respectivamente.
Pensemos qué ocurre
Se puede observar que, entre los elementos de la división, se verifica la sien los siguientes casos:
guiente igualdad: 3:5=? 8:3=?
b c+r=a
Esta fórmula es lo que se denomina algoritmo de la división.

Importante
Si el divisor es 0 (b = 0),
Por ejemplo, el algoritmo de la siguiente división es
se dice que el cociente
es indeterminado. La
2 3+1=7 división por 0 no está
definida.
7 2
1 3
Si el resto es 0, se dice que la división es exacta, y entonces el cociente de la

división pertenece al conjunto de los enteros. Pero cuando la división no es
exacta, debemos recurrir a una nueva extensión del campo numérico, incor-
porando los números fraccionarios a los enteros. Esto dio lugar a los denomi-
nados números racionales.
3. Números racionales
Una forma alternativa de representar la división de números enteros es a tra-
vés de las conocidas fracciones.
Observemos que
a todo entero puede
En una fracción , a se llama numerador y b denominador, con la condición
b expresarse como una
de que b es distinto de 0, ¿por qué? fracción, es decir
Los números enteros junto a los fraccionarios conforman el conjunto de los para cualquier
números racionales. entero a.
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como un co-
ciente de enteros con denominador distinto de 0. Se los simboliza con la
letra ℚ.
a
/a b b 0
b
Otra forma de representar a los racionales es como números decimales con

una cantidad finita de cifras decimales o con infinitas cifras decimales, pero
periódicas.
11
En el siguiente cuadro, resumimos las formas de representación y algunos

ejemplos de números racionales:
Formas de representación de los números racionales
Fracciones
4 10 16 11
; ; ;
10 8 6 18
Números con una cantidad Números que presentan cifras deci-

finita de cifras decimales. males que se repiten periódicamente.
4 10 16 11
0,4 ; 1,25 2,666... , 0,6111...
10 8 6 18
Ahora repasemos cómo se opera con fracciones.
3.1 Operaciones en los racionales
Suma de racionales:
a c a c ad cb
Dados dos racionales y , la suma será
b d b d bd
Por ejemplo:
4 2 4 5 2 7 34
7 5 35 35
Las propiedades enunciadas para la suma de enteros siguen siendo válidas al

operar con racionales.
Otros ejemplos nos serán útiles para recordar variantes en la forma de operar:
Si tenemos fracciones con el mismo denominador, el resultado será otra
fracción del mismo denominador, cuyo numerador resulta de la suma de los
numeradores de las fracciones dadas:
8 5 8 5 13
3 3 3 3
Al sumar dos fracciones de distinto denominador, se puede tomar como

denominador al mínimo común múltiplo entre b y d.
3 1 6 1 7
5 10 10 10
Todo número entero se puede pensar como un cociente de enteros.

3 3 1 3 5 8
1
5 5 1 5 5
Actividad 2
Resolver los siguientes ejercicios con números racionales:

3 2 5 7
a) b)
4 4 4 3
12
5 7 1 8
c) e) 2
4 3 5 3
2 5 1 5 8 4
d) f)
3 6 2 6 3 2
Producto de racionales:
a c a c a c
Dados dos racionales y , el producto será
b d b d b d En el producto se mul-
tiplican los numerado-
res entre sí y denomi-
nadores entre sí.
Cociente de racionales: En el cociente se mul-
tiplica “cruzado”.
a c a c a d
Dados dos racionales y , el cociente será :
b d b d b c
De la última definición, surge que podemos pensar a la división de números
racionales como un producto invirtiendo la fracción divisora, es decir:
a c a d
:
b d b c
Propiedad de existencia de elemento inverso
El producto de números racionales cumple con todas las propiedades men-

cionadas para el caso de los números enteros, pero, además, para cada racio-
a b a b
nal con a ≠ 0 existe su inverso tal que 1.
b a b a
A partir de esto, se deduce que, en el producto de fracciones, se pueden sim-
plificar numeradores con denominadores.
Por ejemplo:
3
2
9 7 8 9 7 8 3 7 2 42
4 3 5 4 3 5 5 5
1 1
Una aplicación muy común de las fracciones lo constituye el cálculo de por-

centajes.
Un determinado porcentaje es la parte de un todo y se denota con el símbolo
%. La idea en que se basa es que el total está dividido en 100 partes.
Por ejemplo: Se realizó una compra de útiles en una librería mayo-

rista por $3.000. A este importe hay que agregarle el 21 % del IVA,
¿cuánto es el monto a pagar de IVA? Para responder, observemos
que el 21 % de 3.000 se puede calcular como:
21
3.000 630
100
En síntesis, se deberá pagar adicionalmente $630 en concepto de IVA.
13
Actividad 3
Resolver:
3 2 g) ¿Cuánto es el 35 % de 200 y cuánto es
a)
7 5 el 8 % de 400? (Recordar que, para obte-
Invitamos a ver un vi-
ner un porcentaje, se debe multiplicar por
deo sobre el tema en 5 7
b) una fracción).
el Aula Virtual en Re-
cursos y Materiales 4 3 h) Entre tres hermanos deben repartirse
de la Unidad 1. $1.200. El primero se lleva 7/15 del total;
5 8 el segundo, 5/12 del total; y el tercero, el
c)
4 5 resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada
uno?
5 6 1 2 3 5 8 1 1
d) i) × × + : =
3 5 2 5 4 4 5 2 4
1 7 2 2 1 9
e) : j) : ( 4) : :
3 3 5 5 2 4
5 10 4 3 4 5 1
f) : k) 1 : 1
6 3 2 4 3 9 3
Las operaciones ya definidas de adición, sustracción, multiplicación y división

están presentes también al trabajar con los números racionales, pero aún po-
demos incorporar a nuestra revisión dos operaciones más: la potenciación y
la radicación.
Dado un número racional a y un número natural n, llamamos potencia

enésima de a al número que se obtiene de multiplicar a por sí mismo tan-
tas veces como indique n.
an = a a … a
n veces
Esta expresión se lee “a elevado a la n”. El número a se denomina base y n
recibe el nombre de exponente.
exponente
an = b potencia
base
Por ejemplo: 24 2222 24 16
Como la potenciación indica el producto de n veces un mismo factor, para su

cálculo aplicaremos la regla de signos de la multiplicación. Por ejemplo:
3 3
1 1 1 1 1 1
14
Veamos qué ocurre al efectuar el cálculo de otras potencias:
POTENCIA BASE EXPONENTE RESULTADO
22 2 2 4 Positiva Par Positivo

2
2 2 2 4 Negativa Par Positivo
23 222 8 Positiva Impar Positivo

3
2 2 2 2 8 Negativa Impar Negativo
Si bien no hemos realizado una demostración formal, podemos observar que

la potencia solo es negativa cuando la base es negativa y el exponente im-
par. Esta observación se puede generalizar a cualquier potencia.
Asociada a la potencia, definimos su operación inversa, la que recibe el nom-
bre de “radicación”.
Dado un número racional a y un n natural, llamamos raíz enésima de a al

número b que, elevado a la n nos da a, exceptuando el caso en el que
a < 0 y n par.
En símbolos:
n
a b bn a
Donde es el operador radical, a es el radicando y n es el índice de la raíz.

4
Por ejemplo: 16 2 pues 24 = 16
3 3
( 1) 1 pues 1 1
La introducción de los números fraccionarios soluciona el problema de la di-

visión no exacta, pero la operación de radicación presenta un nuevo inconve-
niente.
Si el resultado de la radicación se puede expresar como cociente de dos ente-
ros, diremos que la radicación se puede realizar en el conjunto de los números
racionales.
9 3
Por ejemplo:
4 2
Actividad 4
Calcular las siguientes potencias y raíces:

3 2
a) 33 b) 32 c) 3 d) 3
16 3 3 1
e) f) 8= g) 8 h)
25 49
Pero esto no siempre es posible:

Un número con infinitas cifras decimales no periódicas no puede ser
15
transformado en un cociente de enteros.

Las raíces no exactas como 2 no se pueden expresar como un cociente
de enteros y, por lo tanto, no es un número racional.
Estas observaciones nos llevan a definir un nuevo conjunto numérico: los nú-
meros irracionales.
4. Números irracionales
Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como
un cociente de enteros y su expresión decimal es infinita no periódica.
Ejemplos de algunos números irracionales:
Número que corresponde a la relación entre el perímetro de una circun-

ferencia y su diámetro:
= 3,1415926535…
Número e base de los logaritmos naturales o neperianos:
e = 2,7182818284…
2 es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado igual a la unidad:

2 1,4142135623 …
Podríamos seguir dando ejemplos de números irracionales, pero lo impor-
tante es saber que lo que los caracteriza es que no pueden expresarse como
cociente de enteros.
Ahora, si consideramos los distintos tipos de números revisados hasta aquí,
obtenemos el conjunto numérico más importante con el cual se trabaja de
manera habitual: el de los llamados números reales.
5. Números reales
El conjunto de los números reales está formado por los números racio-
nales y los números irracionales y se denota por ℝ.
Los números reales “llenan” por completo la recta numérica, por eso se la
llama recta real. A cada punto de la recta le corresponde un número real; y a
cada número real, un punto en la recta.
3 3 4
2 2
3 2 1 0 1 2 3 4 ...
16
Antes de continuar con las operaciones, y como complemento de los concep-

tos ya enunciados, revisemos las relaciones de orden en los reales y el con-
cepto de valor absoluto.
5.1. Relaciones de orden en los reales
La idea de comparación en Matemática exige rigurosidad y establece, entre

otras cosas, lo que se da en llamar relaciones de orden en el conjunto de los
números reales.
Recordemos cuál es la simbología utilizada para expresar la relación de orden
entre dos números:
Para describir la relación de orden entre 2 y 2 usamos: 2 = 2
Para describir la relación de orden entre 3 y 7 usamos: 3 < 7
Para describir la relación de orden entre 1 y 5: 1 > 5
Estas relaciones están basadas en el orden natural de los números reales en
la recta numérica. Esto es: si a está a la izquierda de b en la recta numérica,
entonces a < b; si a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces
a > b; y si a y b están en la misma posición, entonces a = b.
Diremos entonces que: Dados a y b, números reales, se verifica al-

guna de las siguientes relaciones entre ellos:
a) a es igual a b, en símbolos: a = b
b) a es menor que b, en símbolos: a < b
c) a es mayor que b, en símbolos: a > b
En términos matemáticos, en el primer caso estamos frente a una igualdad,

mientras que en los otros dos casos se habla de desigualdades.
También habrá desigualdades que involucran la posibilidad de igualdad como
se ve a continuación:
a b (se lee: a es menor o igual que b)
a b (se lee: a es mayor o igual que b)
5.2. Valor absoluto de un número real
Como ya adelantamos al introducir los números enteros, el valor absoluto

de un número a puede interpretarse como la distancia de a al origen en la
recta numérica. Pero demos otra versión del concepto de valor absoluto.
El valor absoluto de un número a se denota a y se define:

si a 0 entonces a = a
si a 0 entonces a = a
Por ejemplo:
4 = 4; pues 4 es mayor que 0.

5 = ( 5) = 5; pues 5 es menor que 0.
17
Por cualquiera de las dos vías conceptuales, se observa que el valor absoluto
de un número es un valor no negativo.
Veamos las propiedades del valor absoluto:
El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolu-
tos de los factores. En símbolos:
a b = a b
Un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto. En símbolos:
a = a
El valor absoluto de la suma es menor o a lo sumo igual que la suma de los
valores absolutos. En símbolos:
a+b a + b
Actividad 5
Calcular el valor absoluto en cada caso:

a) 7 = b) 9 = c) 0 = d) 3 5 = e) 3 5 =
5.3. Operaciones en
Hemos definido los conjuntos numéricos y las operaciones algebraicas resca-

tando la terminología matemática apropiada para cada una de ellas. Las ope-
En este capítulo y en
los restantes será de raciones definidas en los racionales se extienden al conjunto de los números
gran utilidad conocer reales.
las propiedades de las
operaciones, motivo
El siguiente cuadro resume las propiedades que se tienen presentes al sumar
por el cual nuestro o multiplicar números reales.
próximo objetivo será
PROPIEDADES SUMA PRODUCTO
recordarlas y revisar
su modo de aplica- Conmutativa a+b=b+a a b=b a
ción.
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c)
0 es el neutro de la suma: 1 es el neutro del producto:

Elemento
para todo a real para todo a real
neutro
a+0=0+a=a a 1=1 a=a
Para cada a real Para cada real a 0
Elemento
1 1
simétrico a +( a) = ( a) + a = 0 a a=1
a a
Distributiva a (b + c) = a b + a c
Notemos que la propiedad distributiva vincula las dos operaciones.

Las operaciones de potenciación y radicación de números reales requieren de
un estudio más detallado.
5.3.1. Potenciación
Anteriormente definimos esta operación y sus elementos. A continuación,

18
analizaremos algunas propiedades importantes a aplicar en la resolución de

operaciones en donde se incluye la potenciación:
PROPIEDADES DE LA
EN SÍMBOLOS EJEMPLO
POTENCIACIÓN
Es distributiva respecto del pro- n 2
a b an bn 2 3 22 22
ducto.
n 3
Es distributiva con respecto a la a an 8 83
división. 2 23
b bn
El producto de dos o más poten-
cias de igual base es igual a otra
potencia de la misma base, cuyo
an am an m 22 23 22 3
25
exponente es la suma de los ex-
ponentes de las potencias da-
das.
El cociente de potencias de igual
base es igual a otra potencia de
la misma base, cuyo exponente an 25
an m
25 2
23
resulta de la diferencia entre la a m
22
potencia del numerador y la del
denominador.
La potencia de una potencia es
igual a otra potencia de la m 2
an an m
a3 a3 2
26
misma base elevada al producto
de los exponentes.
¿Qué sucede con el 0 en la operación de potenciación? Aquí damos un resu-

men. Intentemos analizar el porqué de cada afirmación:
Toda potencia de base 0 y exponente distinto de 0 es igual a 0. En símbo-
los: 0n 0 , para n distinto de 0.
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. En símbo-
los: a0 1 , para a distinto de 0.
El 0 como base y exponente, es decir, o0, no está definido.
Actividad 6
Resolver aplicando propiedades cuando corresponda:

3
2 32 23
a) 5+3 c)
66
4 3
2
2 5
b) -1 d) 1
3
0
2 2
1 1
e) 5 1 3 g) 43
2 2
2 2 7
1 1 4
f) -1 43 h) 4
2 2 4
5
19
5.3.2. Radicación
Definimos la operación de radicación como la operación inversa de la poten-

ciación. En base a ello, calculemos las siguientes raíces:
3
8 2 porque 23 8
3 3
8 2 porque 2 8
4
16 2 porque 24 16
4
16 no tiene solución dentro de los reales porque no existe ningún nú-
mero real que, elevado al exponente cuatro, dé como resultado un número
negativo. Este caso será, como veremos luego, el motivo para crear un nuevo
conjunto de números.
Establezcamos, a continuación, algunas propiedades de la radicación:
PROPIEDADES
EN SÍMBOLOS EJEMPLO
DE LA RADICACIÓN
Es distributiva respecto del n n n

ab a b 4 .9 4. 9
producto.
n 3
Es distributiva con respecto a a 3 512 512
n
a la división. b n
b 8 3
8
La raíz de índice m de la raíz

enésima de un número real a
m n n.m 3 23
es igual a la raíz de índice a a 64 64 6
64
m.n de dicho número.
Estas propiedades pueden ser ejercitadas a través de la siguiente actividad.
Actividad 7
Resolver aplicando propiedades cuando corresponda:
7 1 8
a) 16 121 b) 2 c) 2+ =
4 2 5
1 32
d) e)
256 2
Actividad 8
Establecer la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones y justificar

adecuadamente:
a) (- 2)2 es igual a - 22 Verdadero-Falso
b) (3 + 2)2 es igual a 32 + 22 Verdadero-Falso
c) La radicación es distributiva respecto de la suma Verdadero-Falso
20
5.3.3. Potencia de exponente negativo
Sabemos que 23 2 2 2 8 , pero… ¿qué ocurre si tenemos 2 3

?
3 factores
¿Podemos indicar que tenemos 3 factores? ¿Qué significa el exponente ne-
3
gativo? Para responder estos interrogantes, observemos que 2 puede ser
pensado como un cociente de potencias de igual base:
3 22
2
25
Si expresamos las potencias como productos y luego simplificamos:
3 22 2.2 1
2
2 5
2. 2 .2 .2 .2 23
Obtenemos:
3
3 1
2
2
Este procedimiento se puede generalizar y, entonces, afirmamos que toda po-
tencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia tal que:
la base es la inversa de la base de la potencia dada.
el exponente es positivo y de igual valor absoluto que el exponente de la
potencia dada.
n
n 1
En símbolos: a
n
5.3.4. Potencia de exponente fraccionario
Toda potencia de exponente fraccionario es igual al radical cuyo índice es el

denominador del exponente (m) y cuyo radicando es la base de la potencia
(a), elevada al numerador del exponente dado (n). En símbolos:
n
am m
an
3
Por ejemplo: Si tenemos 162 , podemos expresarlo de una manera al-
ternativa. El exponente fraccionario nos está indicando que 16 está
sometido a la operación de potenciación con exponente 3 (el numera-
dor de la fracción) y a la operación de radicación de índice 2 (el deno-
minador de la fracción).
Por lo tanto:
3
162 2
163
Resolvemos:
3
2
162 163 4096 64
¿Qué sucede si el exponente es, además de fraccionario, negativo?
21
1
9 2
Por ejemplo:
5
Resolvemos:
1 1
9 2 5 2 5 5 5
5 9 9 9 3
En general, toda potencia de exponente fraccionario y negativo es igual a la

recíproca del radical, cuyo índice es el denominador del exponente fracciona-
rio (m) y cuyo radicando es la base de la potencia (a) elevada a un exponente
igual al numerador del exponente dado (n). En símbolos:
n
1
a m
m
an
En todos estos casos especiales de la operación de potenciación, son aplica-
bles las propiedades que hemos enunciado.
Actividad 9
Resolver los siguientes ejercicios:

1 3
2 1 2
3 3 27 3 4 2
a) 5 b) c) 64 6 d) e) 27 3
f)
5 64 9
5.3.5. Racionalización del denominador
Al resolver algunas operaciones, el resultado puede contener una raíz en el

denominador.
2
Por ejemplo:
3
Podemos proponernos transformar la raíz del denominador en un número ra-

cional, obteniendo una fracción equivalente. En esto consiste la “racionaliza-
ción del denominador”.
¿Cómo hacemos, en nuestro ejemplo, para transformar la fracción de manera
que en el denominador se presente un número racional?
Primero, multiplicamos numerador y denominador por 3:

2 3
3 3
Resolvemos en el numerador y denominador:
2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 2 2 3
3 3
22
Y, de esta manera, hemos transformado la raíz del denominador en un nú-

mero racional, obteniendo una expresión equivalente a la original.
7
Veamos otro ejemplo:
2
5 1
5
3
1
Multiplicamos numerador y denominador por 5
5
Y resolvemos:
3 3 3 3
1 1 1 1
5
7 5
7 5
7 5
7 5 5 5 5
2 3 2 5 1
5 1 5 1 5 1 5 1 5 1
5
5 5 5 5 5
En general, dado:
a
m n
b
Para racionalizar el denominador, debemos multiplicar numerador y denomi-
nador por:
m m n
b
porque:
m n m m n m m
b b b b
y b será el nuevo denominador.
Actividad 10
Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:

2
a)
18
1
b)
3
2
Actividad 11
Resolver los siguientes ejercicios combinados:

3 4 3
a) (5 3)2 28 2 6
2 1
3 27 8
2 3 2
102 26 3 3 7
b)
33 23 : 22 7 7 3
23
2
1 2 2 1 44
c) 1 3 2 1
7 3
5
2 5 2
5 2 1
d) 70 1
23 3 2
32 4
2
0 1 2 2 1 44
e) 2 3 5 3 1
2 2
Nuestro trabajo se desarrollará casi exclusivamente sobre el conjunto de los

números reales, pero, como anticipamos, puede ocurrir que nos encontremos
En el Aula Virtual, en con una raíz de índice par y radicando negativo. Por ejemplo, hemos observa-
la sección “Recursos y 4
Materiales” se en- mos que 16 no está definida dentro de los reales.
cuentra la resolución
Para dar solución a la radicación en este último caso, se recurre a los llamados
detallada al ejercicio
e) de esta actividad. números imaginarios y, con ellos, a los complejos.
6. Los números complejos

La unidad imaginaria se simboliza i y tiene la propiedad de que elevada al
cuadrado da 1. Observemos que, de acuerdo a la definición:
2
i2=-1 ⟺ 1 i
De esta manera, podremos expresar el resultado de cualquier raíz cuadrada
de un número negativo. Son ejemplos de ello:
16 16 1 4i 15 15 1 15 i
Como consecuencia de la aparición de los números imaginarios, se combinan

linealmente números reales y números imaginarios, y así surgen los números
complejos.
Un número se dice complejo si resulta de la suma de una parte real y otra
imaginaria. Es decir, z es un número complejo si z = a + b i, siendo a y b nú-
meros reales. Por ejemplo:
3+4i, 5+i, 7 2 8i
Finalmente, diremos que dos números se dicen complejos conjugados si po-
seen la misma parte real y sus correspondientes partes imaginarias son de
signo contrario. Si z denota un número complejo, su conjugado se simboliza
z . Por ejemplo:
Si z = 3 + 4 i, entonces su conjugado es z 3 4i
Si z = 7 2 8 i, entonces su conjugado es z 7 2 8i
A modo de síntesis, podemos resumir los conjuntos numéricos que hemos

analizados de la siguiente manera:
24
Naturales ( )
Cero (0) Enteros ( )
Opuestos de
Racionales ( )
los Naturales
Fraccionarios Reales ( )
En el Aula Virtual, en
Irracionales Complejos la sección “Recursos y
Materiales”, se en-
cuentra un resumen
Imaginarios del Capítulo 1.
7. Ejercicios integradores
Proponemos resolver los siguientes ejercicios que pretenden integrar todo lo
aprendido en este capítulo.
Ejercicio 1
I. En un curso de 60 estudiantes, el 55 % tiene buenas notas, el 35 % tiene

notas regulares y el resto malas notas. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron ma-
las notas?
II. En un colegio hay elecciones para el centro de estudiantes. Por Juan vota-
ron 280 estudiantes, por Karina votaron 125 y por Antonio, 95. ¿Qué porcen-
taje obtuvo Juan del total de los votos?
Ejercicio 2
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

a) La suma de dos números reales es un número real.
b) La suma de dos números racionales es un número racional.
c) El producto de dos números racionales es un número racional.
d) El producto de dos números irracionales es un número irracional.
e) El producto de dos números reales es un número real.
Ejercicio 3
3 25 9
Resolviendo ( 4 8)0 se obtiene:
3 2 1
1 1 5 20
a) b) c) d) e) 2
3 3 3 3
25
Ejercicio 4
Resolver:
a) Me informan que he consumido 4/9 del crédito en mi celular. Si pagué por
$180, ¿cuánto es el crédito en pesos que aún me queda?
b) Un viaje de egresados costó $20.000 por estudiante. Juan pagó 11/25 par-
tes del viaje en efectivo y el 45 % en 10 cuotas iguales, pero previamente se
había entregado una seña al momento del contrato. ¿Cuánto fue lo que Juan
pagó en efectivo, cuánto pagó en cuotas y de cuánto fue la seña?
Ejercicio 5
Resolver aplicando propiedades cuando sea posible:

1 0
a) 1 22 32 53 5 2
2 60 1
99
1 27 : 3
b) 3 4
2 2 256
1
1 2
5 2 2 2
c) 1 7 28 2 23 10
9 3
Ejercicio 6
Completar las siguientes expresiones, indicando con el símbolo si el nú-

mero está incluido en el conjunto y con si no lo está.
4
a) 0,333........ b) 2 ........... c) ...........
2
1
d) 3 ......... e) .......... f) 6...........
3
Ejercicio 7
Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificar:

a) La suma de dos números naturales es siempre un número natural.
b) La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural.
c) El cociente entre dos números enteros es siempre un número entero.
d) Existen infinitos números enteros entre el 5 y el 25.
e) Existen infinitos números racionales entre 1 y 1.
3
f) La raíz cuadrada de todo número natural impar es siempre un número irra-
cional.
Ejercicio 8
Obtener el resultado en cada caso. Se pueden dejar indicado los números

irracionales y debe racionalizarse el denominador de ser necesario.
26
2 3 3
a) b) 3 3
5 10 3
2
6 62 4 3 8 3 3 4 2 2
c) d)
32 22
Ejercicio 9
Resolver los siguientes ejercicios:

2
3
3
9 5 3 1 1
a) 1 1 2
1 2 3 4
1
5
1 5
6 60
3
b) =
2 2
6 2 1 3 2
3 1 2 5
5 2 3
7 5 1 62 3 22 1
c) : 7 : 32 1 2 5 4
2 6 2 71 60
1 3
25 4
2 4 . 44 50 1
7
d) 1
2
:
16 5 3
2.34 2
3
2
3 En el Aula Virtual se
3 encuentra una Auto-
5 3 1 1
e) 2 evaluación que reco-
1 2 3 4 mendamos realizar.
1
5
Respuestas a las actividades y

ejercicios Capítulo 1
Actividad 1
a) En este caso, podemos separar en dos términos y resolver cada uno de ellos
respetando la jerarquía de las operaciones y aplicando regla de signos del pro-
ducto.
2 1 3 1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1
1 1 32
1 6 5
27
b) - 5 c) 16 d) – 7 e) 3 f) 3 g) 1 h) 0
Actividad 2
3 2 5 2 5 1 4 5 3 6
a) d) 1
4 4 4 3 6 2 6 6
5 7 15 28 43 1 8 3 30 40 13
b) e) 2
4 3 12 12 5 3 15 15
5 7 15 28 13 5 8 4 5 16 12 1
c) f)
4 3 12 12 6 3 2 6 6
Actividad 3
1 2
3 2 6 5 7 35 5 8 58
a) b) c) 4 5 2
7 5 35 4 3 12 4 5
1 1
1 9
d) 1 e) f)
7 4
35 37
g) 200 70 h) Primer hermano: i)
100 7 10
70 es el 35 % de 200. 1200 560
15
8 Segundo hermano: 1
400 32 j)
100 5 4
1200 500
32 es el 8 % de 400. 12
Tercer hermano: k) 1
1200 560 500 140
Actividad 4
3 2 3 2
a) 3 27 b) 3 9 c) 3 27 d) 3 9
16 4 3
-8 = -2
3
8= 2 1 1
e) = f) g) h)
25 5 49 7
Actividad 5
a) 7 = 7 b) 9 =9 c) 0 = 0 d) 3 5 =2 e) 3 5 = 2
Actividad 6
4 4
2 1 1
a) (5 3)2 64 b) 1
3 3 81
3
3
32 23 36 29 36 29 5
2 30
c) 2 9 6
2
3
8 d) 1 1 1
6 6
3 2
6
36 26
28
2 2
e) 5 1 3 2 4
2 2 4
1 1 1
f) 1 4 3
1 26 22 4
2 2 2
0 7
2 2
1 1 3 4 3
g) 4 1 h) . 4 4 64
2 2 4
5
Actividad 7
7 1 1
a) 16 121 137 b) 2
4 4 2
8
1 8 5 8 1 1 1
c) 2 4 2 d) 8
2 5 2 5 256 2 2
32 32
e) 16 4
2 2
Actividad 8
a) Podemos afirmar que (- 2)2 es igual a - 22. FALSO,

(- 2)2 = 4, pues el exponente afecta al signo menos y, por lo tanto, el resultado
es positivo.
- 22 = - 4, pues el exponente no afecta al signo menos.
b) Podemos afirmar que (3 + 2)2 es igual a 32 + 22. FALSO
2
3 2 52 25
32 22 9 4 13
c) La radicación es distributiva respecto de la suma. FALSO

Por ejemplo: 9 4 9 4
Actividad 9
2 1
1 3 25 6
a) 5 3
b) c) 646 6
64 26 2
125 5 9
1
3 2
27 3 27 33 33 3 1 1 1 1
d) 3 3 e) 27 3
64 64 4 3 3
43 4 3
272
3
3 6 2
3 9
3 3
3 2 6 3
4 2 9 3 3 3 27
f)
9 4 2 2 2 8
29
Actividad 10
3
2 2 1 4
a) b)
18 3 3
2 2
Actividad 11
22 22 2 1
3
(5 3)2 28 2 1
3 4 6 12
a) 2 3 27 8 81 2
12 1 7
0 9 2
2 2
2 3 2 1 2
102 26 3 3 7 100 64 3 3
b)
33 23 : 22 7 7 3 27 2 7 7
36 3 6 3 57
25 7 5 7 35
2
1 2 1 44 1 2
c) 1 32 2 1 1 9 2 32 1
7 3 7
1
1 9 4 10
7
1 1
1 49 1 7 0
7 7
5 5
2 5 2
5 2 1 25 32
d) 70 1 1 1 42
3
2 3 2 2
3 4 3
2 1
En el Aula Virtual, 5
en la sección “Recur- 7
1 1 16 15
sos y Materiales”, 7
encontrarán la reso-
lución detallada al
ejercicio e) de esta e) 1 4 5
actividad.
Respuestas de ejercicios integradores

Ejercicio 1
I. 6 alumnos obtuvieron malas notas.

II. Juan obtuvo el 56 % de los votos.
Ejercicio 2
Opción d) La afirmación: El producto de dos números irracionales es un nú-

mero irracional es falsa. Por ejemplo: 3 3 3 (3 no es número irracional).
30
Ejercicio 3
Opción b)
3 25 9 0 3 16 3 4 1
4 8 1 1
3 2 1 3 1 3 3
Ejercicio 4
a) Me quedan 100 pesos de crédito.

11 45
b) En efectivo: 20.000 8.800 En cuotas: 20.000 9.000
25 100
Seña: 20.000 (8.800 9.000) 2.200
Ejercicio 5
1 1
0 2
a) 1 22 32 53 5 2
2 60 1 1 2 3 5 2 1 1
1 1 2
1 36 7 2 14
35 5
99
1 27 : 3 1 9 1 3 2 3 1
b)
2 3
2 4
256 2 4
256 2 4 4 4
1
1 2
5 2 2 2
c) 1 7 28 2 23 10
9 3
1
1 2 1
4 2 2 2 2 2 2
7 4 7 2 2 3
10 7 2 25 10
9 3 3 3
1
2 2
2 3
36 6 9
3 2
Ejercicio 6
4 1
a) 0,333 b) 2 c) d) 3 e) f) 6
2 3
Ejercicio 7
a) Verdadera. Para cada par de números naturales, la suma se define como:

agregar al primero tantas unidades como indique el segundo y, por definición
de los naturales, el resultado será otro natural.
b) Falsa, por ejemplo 3 3 = 0.
c) Falsa, por ejemplo 3 : 2 = 1,5.
31
d) Falsa, podemos enumerar y contar una cantidad finita de números enteros

entre el 5 y el 25.
e) Verdadera, pues entre dos racionales siempre existe otro racional, por
ejemplo (1/3 + ½); luego, entre este último y 1 podremos encontrar otro ra-
cional, sumando ambos y dividiendo por 2 y así sucesivamente deducimos
que existen infinitos números racionales entre 1/3 y 1.
f) Falsa, por ejemplo, la raíz cuadrada 1 es un número racional.
Ejercicio 8
3 2 15 3 7
a) b) 6 c) 1 i d) i
5 3 4 4
Ejercicio 9
26 7 1 1
a) b) 9 c) d) e)
25 2 4 25
32
Capítulo 2
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Desafío 2
Una pareja de atletas se está preparando para una carrera. Para su entrena-
miento alterna entre una serie de circuitos de diferentes distancias: uno
largo, uno mediano y uno corto.
Ayer repitieron dos veces el circuito largo, dos
veces el mediano y una vez el corto.
Hoy recorrieron un tercio del largo y dos veces el
mediano.
Mañana correrán una vez y media el corto y cua-
tro veces el largo.
Finalmente, pasado mañana su recorrido será:
una vez el circuito largo, tres veces el mediano y
dos veces el corto.
¿Nos animamos a expresar simbólicamente el recorrido de cada uno de es-
tos cuatro días y luego calcular el total?
Introducción
Este capítulo nos introducirá en una de las herramientas más poderosa de la
Matemática: el Álgebra, al que podemos considerar como “el lenguaje de
los símbolos”.
Los primeros avances en esta área se

registran en las civilizaciones de Babi-
lonia y Egipto, entre el cuarto y tercer
milenio antes de Cristo, y su desarro-
llo continúa hasta nuestros días.
Los matemáticos pasaron de la Aritmética, que se ocupa de los números

concretos, al Álgebra cuando intentaron generalizar cálculos, lo cual signifi-
ca realizar operaciones donde las letras representan números.
En el siglo XVI, comenzó la etapa del Álgebra Simbólica, que es la que utili-
zamos hoy y que nos permite expresar los enunciados en forma más breve,
generalizar situaciones y representar cantidades desconocidas.
33
Números y letras vinculados entre sí

a través de operaciones serán los pro-
tagonistas de este capítulo y nosotros
aprenderemos a trabajar con ellos.
Veamos qué opina este personaje al respecto…
Posiblemente, nos encontremos en una posición parecida a la del personaje

anterior. Sin embargo, al finalizar este capítulo estaremos familiarizados con
las expresiones algebraicas y podremos realizar operaciones entre ellas.
1. Expresiones algebraicas
No son pocas las ocasiones en las que nos
encontramos con la necesidad de expresar
enunciados en forma más breve, generalizar
situaciones o representar cantidades desco-
nocidas.
Consideremos los siguientes avisos:
Aquí podríamos estar interesados en encon-
trar una expresión que nos indique la superfi-
cie de los lotes cualesquiera sean sus dimen-
siones. Supongamos que se nos informa que
los terrenos que se comercializan tienen for-
ma rectangular y que su base mide 10 m más
que su altura, tal como muestra la siguiente
figura:
Recordar: La superfi-
cie de un rectángulo ¿Cómo determinamos la superficie de este lo-
se calcula como el
x te?
producto de la base
por la altura. Su Superficie = x (x+10)
perímetro está dado
por la suma de sus x +10
lados.
34
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En este segundo aviso, podríamos preguntar-

nos:
¿Cómo representar, de manera general, el “in-
terés” a pagar para importes diferentes de prés-
tamos, a un año de plazo?
7
Interés = x
100
En la expresión anterior, x simboliza el “importe del préstamo”, según el

caso.
Observemos los segundos miembros de las expresiones obtenidas. ¿Cuáles
son sus características?
Intervienen números.
Intervienen letras.
Intervienen operaciones algebraicas.
Estas expresiones se llaman expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica es toda combinación de números, expresados

por letras, o por letras y cifras, vinculadas entre sí mediante las opera-
ciones de suma, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación.
En las expresiones algebraicas podemos identificar:

Expresión
algebraica
Letras Números Operaciones
Se denominan Suma, resta,

Se denominan
constantes o coe- producto, divi-
variables o in-
ficientes de la sión, potencia,
determinadas
indeterminada radicación
En los ejemplos anteriores tenemos:

EXPRESION
CONSTANTES INDETERMINADAS OPERACIONES
ALGEBRAICA
x (x + 10) 1 y 10 x Suma y producto

7 7
x x Producto
100 100
35
Actividad 1
Escribir la expresión algebraica correspondiente a cada uno de los siguientes

enunciados:
a) La suma de dos números consecutivos.
b) El cuadrado de un número, disminuido en 3.
c) El cuadrado de la suma de dos números.
d) El doble de la edad de una persona, hace tres años.
e) La diferencia de los cubos de un número natural y el siguiente.
Actividad 2
En cada uno de los siguientes enunciados, establecer la veracidad o falsedad

de la afirmación y justificar adecuadamente.
a) La expresión algebraica que corresponde a la diferencia de los cuadrados
de dos números es (x y )2 .
b) La mitad de la diferencia entre dos números puede expresarse algebrai-

x
camente como y.
2
c) x 1/2 y 1/2 es la expresión algebraica que corresponde a la suma de las

raíces cuadradas de dos números.
Actividad 3
Completar el siguiente cuadro identificando, en cada expresión algebraica,

las constantes, las indeterminadas y las operaciones involucradas.
EXPRESION
ALGEBRAICA
Les invitamos a ver 1 2
un video sobre el x y 3y
6
tema en el aula
virtual, en recursos 7
y Materiales del x 5z5 y 2
Capítulo 2.
1.1. Clasificación de las expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas pueden clasificarse de acuerdo a las operaciones

a las que están sometidas las letras que en ellas figuran:
36
Las indeterminadas están Ejemplos:

sometidas a las operaciones 2
4pq
de adición, sustracción,
Entera 1
multiplicación y potencia- 18x 3 y x
ción con exponente entero 3
Racional
no negativo. 18z4 z2 z
Por lo menos una de las
Ejemplos:
indeterminadas figura como
1
Fraccionaria
divisor en un cociente o 5x 3 y
como base de una potencia x
con exponente entero nega- 2(z4 t3v) 2
tivo.
Por lo menos una de las Ejemplos:

indeterminadas se encuentra 1
sometida a operaciones de 5 x y
Irracional 2
radicación o potenciación
con exponente fraccionario. 3a1/2 6b 9c2
Actividad 4
Completar el siguiente cuadro:

EXPRESION
CONSTANTES INDETERMINADAS OPERACIONES CLASIFICACIÓN
ALGEBRAICA
1
a 5
3x 2
2
1/4
7st 7
1.2. Valor numérico de una expresión algebraica
Consideremos el ejemplo de los lotes dado al comenzar el capítulo. Según el

anuncio, los terrenos que se comercializaban eran de forma rectangular y su
superficie (S) estaba dada por la siguiente expresión:
S(x) = x (x + 10)
¿Cuál será la superficie del lote si se sabe que x = 15 m? Para determinarla,
procedemos de la siguiente manera:
Reemplazamos en S a x por 15 S(15) = 15 (15 +10)
S(15) = 15 25
Resolvemos las operaciones indicadas
S(15) = 375
Hemos calculado el valor numérico de la expresión algebraica S para x = 15.
37
El valor numérico de una expresión algebraica para x = a es el número

que se obtiene reemplazando en la expresión la indeterminada x por a y
resolviendo las operaciones indicadas.
Actividad 5
Seleccionar la alternativa correcta:

a 1 a
El resultado del siguiente cálculo : a , siendo a un número
a a 1
entero mayor que 1, es:
a) un número natural;
b) un número entero negativo;
c) un número fraccionario, no entero;
d) un número irracional;
e) no se puede establecer ninguna conclusión.
Actividad 6
Señalar la única alternativa correcta, justificando la elección:

A. El valor numérico de la expresión algebraica s5 2 s3 3 s s2 para s = 2
es:
a) 38
b) 26
c) 32
d) 18
e) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta.
16x 4 y 8 3z
B. El valor numérico de la expresión algebraica para x = 1/4,
(4 xy 8z)
y = (– 1/2) – 1 y z = – 2 es:
a) 5/9
b) 7/2
c) 5/7
d) 2/7
e) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta.
2. Expresiones algebraicas enteras

Consideremos nuevamente los ejemplos de expresiones algebraicas enteras:
Los operadores + y –
son los que separan 1
términos. 4pq2 18x 3 y x 18z4 z2 z
3
38
¿Qué cantidad de términos tiene cada una de las expresiones anteriores?

Como podemos observar, las expresiones algebraicas pueden tener un solo
término o más de uno. Esto permite clasificarlas en monomios y polinomios.
2.1. Monomios
Un monomio es aquella expresión algebraica entera que tiene un solo

término, es decir, que las indeterminadas están vinculadas solamente
por las operaciones de multiplicación y potenciación con exponente
entero no negativo.
En todo monomio, podemos identificar un coeficiente numérico y una par-

te literal.
Por ejemplo:
COEFICIENTE
MONOMIO PARTE LITERAL
NUMÉRICO
4pq2 4 p q2
x3 y 2z 1 x 3 y 2z
Es muy importante, para realizar operaciones con monomios, identificar la

parte numérica y la literal. Esta última también nos permite determinar el
grado de un monomio:
Está dado por la suma Ejemplo:

El grado de un 2 4
de los exponentes de
monomio st es de grado 5
las indeterminadas. 5
Ejemplo:
El grado de un mono- Está dado por el ex- 2 4
mio respecto a una de ponente de dicha in- st es de grado 1 en s y
5
sus indeterminadas determinada.
de grado 4 en t
Además, podemos indicar que:

Dos o más monomios son homogéneos cuando tienen el mismo grado.
2 4
Por ejemplo, st ; 3x 2 y 3 ; 5 p5 son monomios homogéneos de
5
grado 5.
Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte lite-
ral.
2 4
Por ejemplo, st ; 3st 4 ; 5 st 4 son monomios semejantes.
5
39
2.2. Polinomios
Un polinomio es aquella expresión algebraica entera en la que las inde-

terminadas están vinculadas solamente por las operaciones de suma,
resta, multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo.
En definitiva, un polinomio puede definirse como una suma algebraica
de monomios.
Algunos polinomios reciben nombres particulares según el número de mo-

nomios no semejantes que lo forman. Así decimos que un polinomio es un:
Binomio cuando resulta de la suma de dos monomios.
Trinomio cuando está constituido por tres monomios.
Cuatrinomio en caso de tener cuatro monomios.
Polinomio de cinco, seis, …, n términos si tiene más de cuatro monomios.
Los conceptos que veremos a continuación serán utilizados al realizar ope-
raciones entre polinomios:
Un polinomio es nulo cuando todos sus coeficientes numéricos son igua-
les a 0.
El grado de un polinomio es igual al del monomio de mayor grado de los
que lo forman.
1
Por ejemplo, consideremos el polinomio 18x 3 y x 6xy 2 ,
3
TÉRMINOS DEL POLINOMIO

1
18x 3 y x 6xy 2
3
GRADO 4 1 3
por lo tanto, el polinomio es de grado 4.

El grado de un polinomio respecto a una de sus indeterminadas está da-
do por el mayor exponente con que figure esa indeterminada.
2 4
El polinomio xy 3x 2 y 3 5 x 3 y 3 y es de grado 3 en x y de grado 4 en y.
5
Para determinar el gra-
do de un polinomio o el
grado de un polinomio 1 2
Por ejemplo, el polinomio 3y 3 5y y 3y 3 7 , los términos 3y 3
respecto de una de sus 4
indeterminadas hay que
reducir previamente los y 3y 3 se anulan y el grado del polinomio es 2.
términos semejantes, si
los hubiera.
Un polinomio está ordenado según las potencias decrecientes de una
indeterminada cuando el exponente de la misma en cada término es menor
o igual que en el anterior.
40
2 4
Por ejemplo, xy 3x 2 y 3 5 x 3 y 2 y está ordenado de acuerdo a
5
las potencias decrecientes respecto de y.
Para que un polino-

Un polinomio está ordenado según las potencias crecientes de una inde- mio esté completo
terminada cuando el exponente de la misma en cada término es mayor o respecto a una de
igual que en el anterior. sus indeterminadas
debe figurar también
un término de grado
2 4 cero para dicha inde-
Por ejemplo, xy 3x 2 y 3 5 x 3 y 2 está ordenado de acuerdo a las terminada.
5
potencias crecientes respecto de x.
Un polinomio es completo con respecto a una de sus indeterminadas

cuando en el mismo figuran todas las potencias menores que la de mayor
exponente.
2 4
Por ejemplo, xy 3x 2 y 3 5 x3y 2 y es completo respecto a x,
5
pero incompleto respecto a y (falta y0).
Identificar que un polinomio es completo será útil para realizar la operación

de la división.
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los términos
semejantes tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Decimos
que:
P(x) es opuesto a Q(x) si P(x) = – Q(x).
Por ejemplo,
2 2
P( x ) x 3x 2 5 x3 1 Q(x) x 3x 2 5 x3 1
5 5
P(x) y Q(x) son polinomios opuestos.
Dos binomios son conjugados cuando se diferencian únicamente en un

signo.
Por ejemplo,
2 2
P (x ) x 3x 2 Q(x ) x 3x 2
5 5
P(x) y Q(x) son binomios conjugados.
41
2.3. Polinomios en una indeterminada
Se llama polinomio de grado n en la indeterminada x a toda expresión

algebraica entera de la forma P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn, siendo
a0, a1, a2, .... ,an números reales y n un número que pertenece a los ente-
ros no negativos.
Observemos el siguiente polinomio en x y analicemos:

2 2
7 3x 4 x
5
¿Cuál es coeficiente del término de mayor grado?
2 2
7 3 x4 x
5
Dicho coeficiente se llama coeficiente principal.
¿Cuál es el término de grado cero, es decir, aquel en el que no figura la inde-

terminada?
2 2
7 3 x4 x
5
Dicho término se llama término independiente.
Recordar que:
x0 = 1 Por lo tanto:
POLINOMIO
2 2
7 3x 4 x
5
COEFICIENTE PRINCIPAL 3
TÉRMINO INDEPENDIENTE 7
Actividad 7
En cada uno de los siguientes enunciados, establecer la VERACIDAD O

FALSEDAD de la afirmación y justifique adecuadamente.
a) 5 es un monomio de grado cero.
b) La indeterminada de mayor grado de un monomio determina el grado del
mismo.
3 3
c) 2x 2z2 ; 3x 3z ; xz constituyen monomios no homogéneos de grado 4.
7
d) El polinomio 3x 4 y 3x 4 y 2 2x 4 y 6xy x 4 y es de grado 4 respecto a x.
e) La indeterminada de mayor grado de un polinomio determina el grado
del mismo.
1 2
f) 5x 4 y 3 x y 2xy 5 está ordenado según las potencias decrecientes de
3
x, pero no está ordenado respecto de y.
g) Un polinomio completo de tercer grado tiene cuatro términos.
42
Actividad 8
Completar el siguiente cuadro:

COEFICIENTE TÉRMINO ¿ESTÁ ¿ESTÁ
POLINOMIO GRADO
PRINCIPAL INDEPENDIENTE ORDENADO? COMPLETO?
v3 v 3v3 2v2 2v3 6
3 3
3y y 4y
2
7 x 4 4 12 x 5x 3 2 x 2
11 z7 9 z2 7 z9 5
3. Operaciones entre expresiones

algebraicas
Desde nuestros días en la escuela primaria hasta hoy, de una u otra manera,
hemos estado en contacto permanente con los números. Repasamos, en el
Capítulo 1, las operaciones que pueden realizarse en cada conjunto numéri-
co y las propiedades inherentes a cada una de ellas. No obstante… ¿las ope-
raciones pueden realizarse solamente entre números? Veremos que con
expresiones algebraicas también podemos sumar, restar, multiplicar y divi-
dir. A continuación, desarrollaremos cada una de estas operaciones en par-
ticular.
3.1. Suma o adición
La suma de dos o más polinomios es otro polinomio, cuyos términos

son los términos de los polinomios sumandos, reduciendo previamente
los semejantes.
Por ejemplo, consideremos los polinomios P(x) 5x 4 4x 2 2x 1 y

7 2 3
Q(x) 5x 3 x x.
2 2 Si los polinomios no
están completos, el
Para efectuar su suma, es conveniente disponer los polinomios de tal mane- coeficiente corres-
ra que resulten encolumnados los términos semejantes: pondiente al tér-
mino que falta se
P(x) = 5 x4 + 4 x2 –2x +1 considera igual a 0.
3 2
Q(x) = –5x 7/2 x 3/2 x
P(x) + Q(x) = 5x4 – 5 x3 + 1/2 x2 – 1/2 x + 1
43
Analicemos en el caso anterior:

¿Cuál es el grado de los polinomios sumandos?
¿Cuál es el grado del polinomio suma?
Actividad 9

de la afirmación y justificar adecuadamente:
a) La suma de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejan-
te a los dados, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los mono-
mios dados.
b) El grado de la suma de dos polinomios de igual grado es siempre igual al
grado de los polinomios sumandos.
c) La suma de dos o más monomios no semejantes es un polinomio cuyos
términos son los monomios dados.
d) El grado de la suma de dos polinomios de distinto grado está dado por la
suma de los grados de los polinomios sumandos.
e) Si a un polinomio cualquiera P(x) se le suma su opuesto – P(x), se obtie-
ne el polinomio nulo.
f) La suma de polinomios cumple la propiedad conmutativa, pero no la
propiedad asociativa.
Actividad 10
Dados los siguientes polinomios, obtener la suma y determinar el grado del

polinomio resultado:
a) P 6a3 3a2 4 ; Q 4a3 3a2 9
6 4 2 16 3 1 3 2
b) P a x 2a3 x 1 ; Q 3a4 x 2 a x 5a2 ; R 4a3 x ax 5
5 5 4
4 3 3 1 2 2 16
c) P x 4x2 x 5 ;Q x x 2x 3
3 2 2 5 5
3.2. Diferencia o sustracción
La diferencia de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene de

sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
Consideremos, por ejemplo, que se desea obtener la diferencia entre los

2 2 1 3
polinomios P(x) 5x 3 x x 8 y Q(x) 2x 4 x 3x 12 . Procedemos
3 5
de la siguiente manera:
44
Obtenemos el 1 3
Q(x) 2x 4 x 3x 12
opuesto de Q(x) 5
P(x) = + 5 x3 2/3 x2 + x 8
Realizamos la suma Q(x) = 2 x4 + 1/5 x3 3x 12
entre P(x) y - Q(x)
2 x + 26/5 x3
4
2/3 x2 2x 20
Analicemos en el ejemplo anterior:

¿Cuál es el grado del polinomio minuendo y del polinomio sustraendo?
¿Cuál es el grado del polinomio resta?
Actividad 11
Dados los siguientes polinomios, obtener la diferencia y determinar el grado

del polinomio resultante:
a) P 7x 2 4 x 3 ; Q 10x2 7x 2
7 7 3 2
b) P 0,2 y 2 y 2y 3 1 ; Q y 2 y
5 3 2
1 1 2 3
c) P = 4 a3 b2 c – 2 a2 b + a–5 ; Q = – + a + a2 b – 5 a3 b2 c
2 3 3 2
Puede suceder que, en algunos casos, se conozca el resultado de la opera-

ción y deba encontrarse el polinomio minuendo o sustraendo.
Sabiendo que:
Minuendo Sustraendo = Resta,
despejando apropiadamente, podemos obtener:
Minuendo Resta = Sustraendo
Resta + Sustraendo = Minuendo
Actividad 12
Completar el siguiente cuadro en base a los datos suministrados:
MINUENDO SUSTRAENDO RESTA
4 x2 y + 6 x 3 x2 y 8x+4
10 t3 3 t2 5 t + 12 9 t2 11 t + 3
Actividad 13
Considerar los siguientes polinomios:

1 3 2 2 1 4
P( x ) x 3x 3 5x 4 Q(x) x R(x ) x 4x2 x
5 4 3 5
45
y calcular:
a) P(x) + Q(x) + R(x)
b) P(x) – R(x)
c) P(x) – Q(x) + R(x)
d) R(x) + Q(x) –P(x)
3.3. Multiplicación o producto
El producto de dos o más polinomios es otro polinomio que se obtiene

sumando los productos parciales que surgen de aplicar la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma y reduciendo términos
semejantes.
Para calcular el producto de polinomios aplicaremos:

Producto de potencias de igual base.
Regla de los signos para el producto.
Propiedad distributiva del producto respecto de la adición y de la sustrac-
ción.
Propiedad conmutativa y propiedad asociativa del producto.
Por ejemplo, se desean multiplicar los siguientes polinomios:
M(x) = 5 x2 + 3 x – 1 N(x) = 2 x – 3
El producto de ambos será:
M(x) N(x) = (5 x2 + 3 x – 1) (2 x – 3)
donde cada uno de los términos del primer factor se debe multiplicar por el
segundo factor.
M(x) N(x) = 5 x2 (2 x – 3) + 3 x (2 x – 3) – 1 (2 x – 3)
Aplicando propiedad distributiva y operando, resulta:
M(x) N(x) = 10 x3 – 15 x2 + 6 x2 – 9 x – 2 x + 3
Finalmente agrupamos términos semejantes, a fin de obtener el resultado
final:
M(x) N(x) = 10 x3 – 15 x2 + 6 x2 – 9 x – 2 x + 3
M(x) N(x) = 10 x3 – 9 x2 – 11 x + 3
Analizar en el caso anterior:

¿Cuál es el grado de M(x) y N(x)?
¿Cuál es el grado del polinomio producto?
46
Actividad 14

a) El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente
es igual al producto de los coeficientes de los factores, y la parte literal es el
producto de las indeterminadas de los factores.
b) Dados los polinomios B(x) y C(x), el resultado obtenido es igual si se
efectúa el producto de la forma B(x) C(x) que si se lo efectúa de la forma
C(x) B(x).
c) Si el polinomio P(x) es de grado m y el polinomio Q(x) es de grado n, el
grado del polinomio producto m n.
3.3.1. Producto de binomios conjugados
A continuación, analizaremos un caso particular del producto, que será de

utilidad al factorizar polinomios.
Consideremos los siguientes binomios conjugados:
(a + b) (a – b)
Efectuemos su producto:
(a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2
– ab y ab son monomios opuestos y, por lo tanto, se reducen.
¿Qué resultó?
(a + b) (a – b) = a2 – b2
La expresión final es a2 – b2, es decir, una diferencia de cuadrados.
El producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los

cuadrados de sus términos.
Actividad 15
Obtener los siguientes productos:

1 2 1
a) a bc a b2 c
3 4
1 8 2 6
b) m n p 10 m p2
10
1 1
c) x3 2 x x 1 x2 x
2 5
d) (1 + 5 y) (1 – 3 y) (2 y – 1)
e) (– 5 x3 + 2) (– 5 x3 – 2)
47
Actividad 16
Considerar los siguientes polinomios:
1 3 2 2
P( x ) x 3x 3 5 Q(x ) x R(x ) 0,25x 2 x 0,25
5 4 3
y calcular:
a) P(x) Q(x)
b) Q(x) R(x)
c) P(x) R(x)
3.3.2. Potenciación
Calcular la potencia enésima de un polinomio significa multiplicar n

veces dicho polinomio por sí mismo, siendo n un número natural.
Consideraremos, a continuación, dos casos particulares de potenciación que

serán útiles al factorizar polinomios:
Cuadrado de un binomio
Dada la expresión (x + y)2, sabemos que la misma es equivalente a

(x + y) (x + y).
Resolvemos el producto planteado:
(x + y) (x + y) = x2 + xy + yx + y2
= x2 + 2 xy + y2
xy = yx por la propie-
dad conmutativa del Analicemos cada uno de los términos del trinomio obtenido:
producto.
Uno de sus términos es el cuadrado del primer término x2.
Otro de sus términos es el cuadrado del segundo término y2.
El término restante es el doble producto del primer término por el segun-
do 2 xy.
El cuadrado de un binomio es igual a la suma de los cuadrados de cada

uno de los términos más el doble producto del primer término por el
segundo.
Actividad 17
Desarrollar el cuadrado de los binomios dados y analizar los signos del tri-
nomio obtenido en cada caso:
a) (a + b)2 b) (– a + b)2
c) (a – b)2 d) (– a – b)2
48
Cubo de un binomio
Supongamos que queremos calcular (a + b)3

Podemos desarrollarlo como:
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b)
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) (a + b)
Efectuamos el producto indicado en el segundo miembro:
(a + b)3 = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3

Y, sumando los términos semejantes, nos queda:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Veamos las características que reúne la expresión obtenida:
Es un cuatrinomio, es decir, está formada por cuatro términos.
El primero y el último término son cubos (a3 y b3).

El segundo término es el triple del cuadrado del primero por el segundo
(3a2b).
El tercer término es el triple del primero por el cuadrado del segundo
(3ab2).
El cubo de un binomio es igual a la suma del cubo del primer término más
el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple
del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo tér-
mino.
Actividad 18
Desarrollar el cubo de los binomios dados y analizar los signos del cuatri-
nomio obtenido en cada caso:
a) (2a + b)3 c) (– 2a + b)3
b) (2a – b)3 d) (– 2a – b)3
Actividad 19

AFIRMACIÓN V/F JUSTIFICACIÓN

2
a 3a a3 9a2 a6
b x2 + 49 + 7x = (7 +x)2
2
c 2y 3 2y 9
49
AFIRMACIÓN V/F JUSTIFICACIÓN

3
1 1 3
d t 5 t2 = t 125 t6
2 8
e x3 – 6x2+ 18x – 27 = (– 3 + x)3
3.4. División o cociente
¿Cómo se obtiene el resultado de la división entre dos monomios?

El coeficiente surge del cociente entre el coeficiente del dividendo y el coefi-
Cuando se dividen ciente del divisor, la parte literal se obtiene como el cociente de potencias
potencias de igual de igual base, como vemos en el siguiente ejemplo:
base, se obtiene una
potencia con la mis- (8 a4 b3) : ( 4 a b2) = 2 a3 b
ma base, elevada a la
diferencia de los ¿Cómo se divide un polinomio por un monomio?
exponentes. Se deberá dividir cada término del polinomio del dividendo por el monomio
del divisor, respetando la regla de los signos.
Por ejemplo:
(8 x6 y 12 x5 y2 + 16 x4) : ( 4 x2) = 2 x4 y + 3 x3 y2 4 x2
Estudiaremos ahora la división de polinomios y, en particular, el cociente de
polinomios en una sola indeterminada.
Antes de iniciar su análisis, es necesario tener en cuenta que denominamos:
P(x) al dividendo o polinomio dividendo.
Q(x) al divisor o polinomio divisor.
C(x) al cociente o polinomio cociente.
R(x) al resto o polinomio resto.
Dividir el polinomio P(x) por Q(x) implicará obtener los polinomios

C(x) y R(x), de tal forma que se verifique que el dividendo sea igual al
producto del cociente por el divisor, más el resto:
P(x) = C(x) Q(x) + R(x)
Esta última igualdad se denomina algoritmo de la división.

¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para dividir dos polino-
mios?
El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del
polinomio divisor.
El dividendo debe estar completo y ordenado, según las potencias decre-
cientes de la indeterminada.
El polinomio del divisor debe estar ordenado.
50
Revisaremos ahora, a partir de un ejemplo, los pasos para efectuar la divi-

sión de polinomios, que son similares a los que aplicamos para dividir nú-
meros.
Dividamos el polinomio P(x) = 2 x2 + 3 x5 – 1 por el polinomio

Q(x) = x3 – 2 x + 1.
La división es posible ya que el polinomio dividendo es de quinto grado,
mientras que el polinomio divisor es de tercer grado.
El dividendo completo y ordenado, y el divisor ordenado resultan:
P(x) = 3 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 2 x2 + 0 x – 1; Q(x) = x3 – 2 x + 1
1. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divi-
sor, obteniéndose así el primer término del cociente.
2. 3 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 2 x2 + 0 x – 1 x 3 2x 1
3 x2
primer término del cociente

3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor, y el producto
así obtenido cambiado de signo se suma al dividendo. Se obtiene, entonces,
un nuevo dividendo.
3 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 2 x2 + 0 x – 1 x 3 2x 1
– 3 x5 + 6x3 – 3 x2 3 x2
6x3 – x2 –1
4. Se reiteran los pasos 1. y 2. tantas veces como sea necesario, hasta que el
dividendo se transforme en un polinomio de grado menor que el del divisor,
o bien, en polinomio nulo.
3 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 2 x2 + 0 x – 1 x 3 2x 1
– 3 x5 + 6 x3 – 3 x2 3 x2 + 6
6 x3 – x2 + 0 x – 1
– 6 x3 + 12 x – 6 cociente
2
– x + 12 x – 7 resto
Debido a que el trinomio – x2 + 12x – 7 es de grado menor que el divisor

x3 – 2x + 6, no podemos continuar con la división.
Resulta entonces que:
El cociente es la expresión C(x) = 3 x2 + 6
El resto es la expresión R(x) = – x2 + 12 x – 7
Analicemos en el caso anterior:
¿Cuál es el grado del polinomio dividendo y del polinomio divisor?
¿Cuál es el grado del cociente?
A partir del ejemplo planteado y resuelto anteriormente, ¿cómo haríamos
para reconstruir el polinomio dividendo considerando el algoritmo de la
51
división? Obtengámoslo:
x 3 2x 1 3x 2 +6 x 2 12 x 7
3x 5 6x 3 6x 3 12x 3x 2 6 x2 12 x 7
3x 5 2x 2 1
Actividad 20
Realizar las siguientes divisiones:

1 3 8 1
a) x y : x2 y 8
25 5
1 12 2 7 1 5
b) t t t : 3 t5
3 3 9
c) 5 x 6 x 4 2 x 2 2 : x 2 3 2x
1 1 1
d) y 3 y2 y : y
2 4 3
e) 2 x 3 6 x 5 4 3x : x 2 3 x
f) 36 a6 6 a3 18 a5 12 a4 : 3 a 6 a2
Actividad 21
Completar el siguiente cuadro en base a los datos suministrados:

DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESTO
3 x 3 10 x 5 x2 3 x 4 x 1
2 t + t2 – 3 6 t2 – 12 t + 44 – 129 t + 134
2 x4 – 3 x3 + 10 x2 – 17 x + 3 2x – 3 0
Actividad 22

a) El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es igual
al cociente de los coeficientes de los monomios dados, y la parte literal es el
cociente de las indeterminadas de los monomios dados.
b) Dados los polinomios B(x) y C(x), el resultado obtenido es igual si se
efectúa el cociente de la forma B(x): C(x) que si se lo efectúa de la forma
C(x) : B(x).
1
c) El cociente (–4 a b2) : (8 a4 b3) da como resultado 3
, que es una
2a b
expresión algebraica entera.
52
d) El cociente entre un polinomio y un monomio es otro polinomio cuyos

términos son el cociente de cada término del polinomio dividendo por el
monomio divisor.
e) Si el polinomio P(x) es de grado m y el polinomio Q(x) es de grado n, el
grado del polinomio cociente es m : n.
3.4.1. Teorema del resto
Muchas veces interesa conocer solo el resto de una división, no el cociente.

En esos casos, el teorema que veremos a continuación resulta de gran utili-
dad, puesto que permite conocer el resto de un cociente de polinomios, sin
tener que efectuar la división.
El resto de dividir un polinomio de grado n por otro de la forma x a es

el valor numérico del polinomio dividendo, para x igual a a cambiado de
signo. Es decir,
R(x) = P( a)
Por ejemplo, para determinar el resto del cociente entre

P(x) = (x2 + 2 x3 – 7 – 18 x) y Q(x)= (x – 3) seguimos estos pasos:
Determinamos el opuesto de a a=3
Reemplazamos en P(x) a x por

R(x) = P(3) = (3)2 + 2 (3)3 7 18 (3)
(–a)
Resolvemos las operaciones

R(x) = P(3) = 2
indicadas
Actividad 23

a) El resto de dividir (4 x + 5 x3 – 3x2 – 1) por (x – 3) es R(x) = 163.
b) Para aplicar el Teorema del Resto, el polinomio del dividendo debe estar
completo y ordenado.
c) El resto de dividir (5 t3 + 2) por (t + 2) es 42.
Actividad 24
En base a los datos de la siguiente tabla y aplicando el Teorema del Resto,

determinar el valor de a en cada caso:
DIVIDENDO DIVISOR RESTO VALOR DE a
x2 + x – 1 x–2 a
–4x–3 x–a 7
53
x3 – 9 x–3 a
x4 – 5 x + a x–1 0
3.4.2. Divisibilidad entre polinomios
Hemos visto que, si llamamos P(x) al polinomio dividendo, Q(x) al divisor y

C(x) al cociente, se verifica que
P(x) = C(x) Q(x) + R(x)
donde R(x) es el resto de la división. No obstante, hay casos en que R(x) es
igual a 0, es decir, la división es exacta.
Un polinomio P(x) es divisible por otro Q(x) cuando existe un poli-

nomio C(x) tal que P(x) = C(x) Q(x), es decir, R(x) = 0.
Actividad 25
Responder y justificar:
a) ¿El polinomio 2x 3 3x 2 x 4 es divisible por x 1 ?
b) ¿El polinomio 6a2 3a 3 es divisible por 1 a ?
4. Factorización de expresiones algebraicas

En ocasiones, al operar algebraicamente es conveniente presentar las distin-
tas expresiones algebraicas como el producto de dos o más factores. Este
procedimiento, que nos permite transformar una suma algebraica en un
producto, se denomina factorización o factoreo.
FactorIzar una expresión algebraica es expresar la misma como el pro-

ducto de dos o más factores.
En este capítulo estudiaremos distintos casos, los cuales se resumen en el

cuadro siguiente:
CASOS DE FACTORIZACIÓN
FACTOR TRINOMIO DIFERENCIA DE

COMÚN CUADRADO CUADRADOS
PERFECTO
FACTOR COMÚN CUATRINOMIO SUMA O DIFERENCIA
POR GRUPOS CUBO PERFECTO DE POTENCIAS DE
IGUAL GRADO
54
4.1. Factor común
Analicemos el siguiente ejemplo:
P(x)= 4x3 + 2x2 – 6 x m

¿Hay factores que están presentes en todos los términos? Para responder a
este interrogante, tengamos presente que el polinomio P(x) puede expre-
sarse como:
P(x)= 2 2 x x x+2 x x–2 3 x m
Vemos que 2 y x se repiten en todos los términos. A estos factores se los
llama factores comunes.
Podemos escribir entonces P(x) = 2 x (2 x2 + x –3 m)
Se extrae factor común cuando todos los términos del polinomio tienen
un mismo factor numérico y/o literal, es decir, cada término de dicho
polinomio es divisible por el mismo monomio.
En este caso, el polinomio original puede ser expresado como el produc-
to de ese monomio (que será el máximo común divisor de todos los
términos) por el cociente que resulta de dividir el polinomio dado por el
monomio extraído como factor común.
Actividad 26
Identificar cuáles de estas expresiones tiene un factor común y transformar-

las, si es posible, en multiplicación:
2 4 1 3 4 2
a) 6 x + 5 b) y y y
9 6 3
c) z2 + 3z d) 3 t 2 15 t 4 6 t3
e) 10 x3 + 7 f) 10 x2 z – 9 z + 4 x y
4.2. Factor común por grupos
Consideremos el siguiente polinomio:
3 5
P x a 6 ab b 10 b2
2 2
¿Es posible identificar algún factor común a todos los términos?
Se extrae factor común por grupos cuando en el polinomio existen gru-

pos de igual número de términos, cada uno de los cuales tiene un factor
común y, al extraerlo, la expresión obtenida en cada grupo es la misma.
En el ejemplo anterior, podemos descomponer a P(x) en dos grupos de dos

términos cada uno, que tienen un factor común.
55
3 5
P x a 6 ab b 10 b2
2 2
factor común: 3a factor común: 5b
Extraemos factor común en cada grupo:

1 1
P x 3a 2b 5b 2b
2 2
1
factor común: 2b
2
En cada uno de los términos obtenidos, está presente la misma expresión, la

cual extraemos como factor común y nos queda:
1
P x 3a 5b 2b
2
Cuando agrupemos y extraigamos factor común, debemos hacerlo de

manera tal que quede la misma expresión para poder, de esta manera,
seguir factorizando.
Actividad 27
Factorear las siguientes expresiones:
a) 3 x3 – 3 x – 1 + x2 d) 18 p3 + 4 a p2 – 9 b p – 2 a b
b) y3 + y2 + y + 1 e) m2 + a m – b m – ab
1 5 2 2
c) 20 s – 10 st – 60 + 30 t f) 3 a7 + a b – a6 b – 6 a2 b3 – b5 + 2 a b4
3 3
4.3. Trinomio cuadrado perfecto
Cuando estemos en presencia de un trinomio, podremos verificar si se trata

de un trinomio cuadrado perfecto y puede ser factorizado como el cuadrado
de un binomio. Para ello, se debe cumplir que dos de sus términos sean
cuadrados perfectos y, una vez determinadas las bases de los mismos, com-
probaremos si el término restante es el doble producto de estas bases.
Por ejemplo:
x2 + 20 x + 100 = (x + 10)2
(x)2 (10)2
2 x 10
56
El factoreo de un trinomio cuadrado perfecto consiste en encontrar el

binomio que, elevado al cuadrado, nos reproduzca el trinomio dado.
Es importante aclarar que no es necesario que los términos que componen

el trinomio cuadrado perfecto se encuentren ordenados. Si el polinomio se
expresa:
20 x + 100 + x2
igualmente se puede factorizar aplicando este caso de factorización.
Actividad 28
Factorizar, cuando sea posible, las siguientes expresiones:
x2 12 x + 25 64 + y2 + 16 y
x2 3x+9 y2 – 12 y z + 36 z2
a2 b 2 + 1 + 2 a b
4.4. Cuatrinomio cubo perfecto
Cuando nos encontramos con un cuatrinomio, podremos verificar si se trata

de un cuatrinomio cubo perfecto. Para ello analizamos si reúne las caracte-
rísticas que nos permitirán su factoreo como el cubo de un binomio:
¿Dos de los términos son cubos? ¿Cuáles son las bases?
¿Los términos restantes reúnen las características dadas? ¿Uno es el triple
del cuadrado del primero por el segundo y el otro el triple del primero por el
cuadrado del segundo?
Por ejemplo: 8 b3 + 12 b2 a c + 6 a2 b c2 + a3 c3 = (2 b + a c)3
(2b)3 (ac)3
3(2b)2ac 3(2b)(ac)2
El factoreo de un cuatrinomio cubo perfecto consiste en encontrar el

binomio que elevado al cubo reproduzca el cuatrinomio dado.
Actividad 29
Factorizar como el cubo de un binomio:

4 6 2 8 9
a) 8 x3 – 36 x2 y + 54 x y2 – 27 y3 d) b6 + 23 b4 + a b + a
3 27
b) x3 – 9x2 y + 27 xy2 – 27 y3 e) – 27b3 – 27b2 – 9b – 1
1 3 3 2 3 1 3 27 3 9 2 8 3
c) b + b c+ b c2 + c f) – a + a c – 2 a c2 + c
8 16 32 64 8 2 27
57
4.5. Diferencia de cuadrados
Cuando al factorizar nos encontremos con una resta de monomios, podre-

mos verificar si sus términos son cuadrados.
Veamos un ejemplo:
2x2 – 9 = 2x 3 2x 3
Toda diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la

diferencia de las bases.
¡Importante!
No debemos con-
fundir la diferencia
a2 b2 (a b)2
de cuadrados con el
cuadrado de una
diferencia. Actividad 30
Factorear las siguientes expresiones:

25 4 2 4 2 4
a) a b – x y c) 9x2 – 144
4 9
b) – 64 + x6 d) 592 – 582
Actividad 31

a) x2 + 6 x + 9 = (x – 3)2 c) (x – y)2 = (x – y) (x + y)
b) x2 – y2 = (x – y) (x – y) d) 100 – x4 = (10 + x) (10 – x)
c) – x2 + y2 = (x – y) (x + y) e) x4 – 10 x2 + 25 = (x2 – 5)2
d) x4 – 16 = (x2 + 4) (x2 – 4) h) x3 – 6 x2 = x3 (x – 6)
4.6. Suma o diferencia de potencias de igual grado
Este caso de factoreo consiste en transformar en producto expresiones de la

forma:
x n + an Suma de potencias de igual grado
xn - an Diferencia de potencias de igual grado
siendo n un número natural.
58
Para ello, debemos determinar si la expresión dada es o no divisible por

x a.
Aplicando el Teorema del Resto, podemos verificar que:
(x + a) si n es impar
n n
x + a es divisible por
(x a) nunca
(x + a) si n es par
xn - an es divisible por
(x a) siempre
Una vez que determinamos que la expresión es divisible por x a, proce-

demos a efectuar la división. Por ejemplo, si queremos factorizar el binomio
x4 – 16, podemos reescribirlo como x4 – 24. Como vemos, se trata de una
diferencia de potencias de igual grado, de exponente par y, por lo tanto, es
divisible tanto por la suma como por la diferencia de sus bases.
Dividimos por la diferencia de las bases:
(x4 – 16) : (x – 2) = (x3 + 2 x2 + 4 x + 8)
Dividimos por la suma de las bases
(x4 – 16) : (x + 2) = (x3 – 2x2 + 4x – 8)
Si observamos los resultados obtenidos, podemos deducir una regla prácti-
ca para calcular el cociente:
El primer término del cociente es el primer término del binomio elevado a
un exponente de un grado menor (x3).
El segundo es el producto del primer término del binomio elevado a una
potencia de un grado menor que el anterior por el segundo elevado a una
potencia de exponente uno (x2 2).
En el tercer término, el exponente de la primera componente disminuye en
una unidad y el de la segunda componente aumenta en una unidad (x 22).
En el último término, el exponente de la primera componente es 0 y el de
la segunda aumenta en una unidad (x0 23).
Con respecto a los signos del cociente:
cuando se divide por (x a) los signos del cociente son

todos positivos
cuando se divide por (x + a) los signos del cociente son

alternados
Resumiendo:
Dado el polinomio xn an, se procede del siguiente modo:

a) Si es divisible por (x + a), se halla el cociente y el factoreo resulta el pro-
ducto del cociente por (x + a).
59
b) Si es divisible por (x – a), se halla el cociente y el factoreo resulta el pro-

ducto del cociente por (x – a).
c) Si es divisible por (x + a) y (x – a), habrá dos formas distintas de factori-
zar.
d) Si el polinomio dado no es divisible por (x + a) ni por (x – a), no puede
ser factoreado como (x a) por otro polinomio.
En nuestro ejemplo tenemos:
x4 – 16 = (x – 2) (x3 + 2 x2 + 4 x + 8)
x4 – 16 = (x + 2) (x3 – 2 x2 + 4 x – 8)
Observemos que, en cualquiera de estos dos casos, es posible seguir facto-
rizando. ¿Qué caso se aplicaría?
Actividad 32
Factorizar las siguientes expresiones:

27 3 3
a) 81 y4 – z4 c) a6 – 1 e) a x – 125 z3
64
b) b5 – 32 d) x6 z3 + b6 c3
Actividad 33
Factorizar por completo las siguientes expresiones e indicar el o los casos de

factoreo que aplica.
a) x2 z2 – 4 z2 + x4 – 4 x2
b) x3 – 27
1 4 2 3 1 1 2 1
c) a – a b + a2 b2 – a3 + a2 b – a b2
5 5 5 5 5 5
d) a4 – b4
e) 400 a6 + 400 a4 b + 100 a2 b2
f) 1 + m5
g) x3 + 2 x2 y + x y2 + 2 x2 + 4 x y + 2 y2
h) x3 – 6 x2 + 12 x – 8
5. Descomposición factorial de un polinomio

Factorizando un polinomio de grado n en una indeterminada, es posible
llegar a lo que se conoce como descomposición factorial, la cual se basa en
el concepto de raíz de un polinomio y en el Teorema Fundamental del Álge-
bra.
60
Comencemos enunciando el concepto de raíz de un polinomio:
Dado un polinomio P(x) en una indeterminada, un valor a es raíz o 0

del polinomio si el valor numérico de P(x) para ese valor es 0.
x = a es raíz de P(x) sí y sólo si P(a) = 0
Por ejemplo,
3 es raíz de P(x) = x3 – 3x2 + x – 3
dado que: P(3) = (3)3 – 3(3)2 + 3 – 3

P(3) = 27 – 27 + 3 – 3
P(3) = 0
Por otro lado, el Teorema Fundamental del Álgebra afirma que un poli-
nomio de grado n en una indeterminada tal como:
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
tiene exactamente n raíces: x1, x2, ..., xn
Así, la descomposición factorial consistirá en factorizar al polinomio en el

producto del coeficiente principal por n binomios de la forma (x – xi), sien-
do xi = x1, x2, ..., xn las raíces, del polinomio.
Formalmente:
Todo polinomio de grado n en una indeterminada puede ser expresado
como:
P(x) = an (x – x1) (x – x2)...(x – xn)
donde an es el coeficiente principal y x1, x2, ..., xn son las raíces del poli-
nomio.
Sin embargo, no siempre es fácil determinar las raíces de un polinomio.

¿Vemos algunos ejemplos?
1) Un polinomio de primer grado tiene una raíz y es fácil encontrarla. Con-
sideremos la siguiente situación:
P(x) = 3 x + 8
Para encontrar la raíz, como es el valor de la indeterminada que hace 0 al
polinomio, igualamos a 0 y despejamos x.
3x+8=0
3x=–8
8
x=– 3
61
Dado que el coeficiente principal es 3 y la raíz es – 8/3, la descomposición

factorial de P(x) será:
8
P x 3 x
3
Coeficiente principal Diferencia entre x y la raíz de P(x)
2) Veamos cómo encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado, en

primer lugar, factorizando. Analicemos los siguientes ejemplos:
a) Q(x) = 3x2 – 3
Extraemos 3 como factor común:
Q(x) = 3(x2 – 1)
Dado que (x2 – 1) es una diferencia de cuadrados, nos queda:

Q(x) = 3 (x + 1) (x – 1)
y esta es la descomposición factorial del polinomio Q(x).
El coeficiente principal es 3 y las raíces son: x1 = – 1 y x2 = 1.

b) En el siguiente polinomio
R(x) = 2x2 – 2x – 4
Extraemos 2 como factor común:
2 (x2 – x – 2)
Dentro del paréntesis nos queda una expresión en la que no hay un factor
común. ¿Podemos aplicar entonces factor común por grupos? No, para apli-
carlo nos hacen faltan cuatro términos. Una solución es sumar y restar el
mismo monomio para que la expresión no se altere. Observemos que lo que
hemos realizado es un simple artificio algebraico:
2 (x2 – x – x + x – 2) = 2 (x2 + x – 2x – 2)
2 [x (x + 1) – 2 (x + 1) = 2 (x – 2) (x + 1)
Resulta entonces que:
R(x) = 2 (x – 2) (x + 1)
El coeficiente principal es 2 y las raíces son x1 = 2 y x2 = – 1.

c) Consideremos ahora el polinomio
S(x) = 3x2 + 5x + 2
Realizamos un artificio algebraico, descomponiendo el término 5x en 3x+2x:
S(x) = 3x2 + 3x + 2x + 2
S(x) = 3x (x + 1) + 2 (x + 1)
S(x) = (x + 1) (3x + 2)
62
Como el binomio (3x + 2) no es de la forma (x – xi), debemos extraer 3 co-

mo factor común y nos queda:
2
S(x) = 3 x 1 x
3
El coeficiente principal es 3 y las raíces son x1 = – 1 y x2 = – 2/3.
Para encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado también

podemos aplicar la fórmula:
bb2 4ac
x
2a
donde a es el coeficiente principal, b es el coeficiente del término de
primer grado y c es el término independiente.
El doble signo + que precede al radicando nos indica la existencia de
dos raíces que pueden ser reales y distintas entre sí, reales e iguales o
números complejos.
Cabe aclarar que, aunque esta fórmula permite encontrar las raíces de un
polinomio de segundo grado, se trata de un cálculo auxiliar que puede em-
plearse para encontrar su descomposición factorial, pero no la considera-
mos un caso de factorización.
3) Pensemos: ¿cómo determinamos las raíces de un polinomio de grado
mayor a dos, por ejemplo, Q(x) = 2x3 – 18x?
Podemos extraer 2x como factor común y nos queda:
Q(x) = 2 x (x2 – 9)
Las raíces del binomio (x2 – 9) son x1 = 3 y x2 = – 3, pero este polinomio es

de grado tres y, por lo tanto, ¡debe tener tres raíces!
¿Qué otro valor de x le da a Q(x) un valor numérico de cero?
Si x = 0 nos queda:
Q(0) = 0
La descomposición factorial de Q(x) será entonces:
R(x) = 2 x (x – 3)(x +3)
Analicemos:
Si conocemos la descomposición factorial de un polinomio, ¿podemos re-
construirlo?
Sí, conociendo la descomposición factorial, podemos obtener el polinomio
efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes.
Supongamos, por ejemplo, que queremos encontrar el polinomio P(x) de
segundo grado, cuyas raíces son x1 = 1; x2 = 5 y el coeficiente principal es – 3.
La descomposición factorial del polinomio será entonces:
P(x) = – 3 (x – 1) (x – 5)
Efectuando las operaciones indicadas, obtenemos:
P(x) = – 3x2 + 18x – 15
63
Actividad 34
Dados los siguientes polinomios, obtener la descomposición factorial de los

mismos:
a) 3x2 – 75
b) x3 – 4x
c) 3x2 + 6x + 3
d) 12 +7x
Actividad 35
Reconstruir cada uno de los polinomios en los siguientes casos:

a) P(x) es de grado tres. Se sabe que sus raíces son 1, 3 y –2 y que el valor
numérico del polinomio en 2 es 2.
b) Q(x) es de tercer grado, el coeficiente de x3 es –1, Q(4) = 0 y dos de sus
5
raíces son 3 y .
2
c) R(x) = x2 +3x – b y se sabe que una de sus raíces es –2.
Actividad 36
Completar el siguiente cuadro en base a los datos:

COEFICIENTE DESCOMPOSICIÓN
POLINOMIO RAÍCES
PRINCIPAL FACTORIAL
1 2, – 3
2 (x – 2) (x + 3)
–3 2, – 3
x2 + 5x – 6
3x3 – 9x2 – 12x + 36 2, – 2, 3
–2 0, 1, – 1
2
3x + 3x – 18
6. Expresiones algebraicas fraccionarias

En esta sección trabajaremos con expresiones algebraicas fraccionarias,
también llamadas fracciones algebraicas o expresiones algebraicas raciona-
les, cuyo tratamiento presenta gran semejanza con el de las fracciones nu-
méricas que ya conocemos.
Se llama fracción algebraica al cociente entre dos polinomios P y Q, es

P
decir, a la expresión siendo Q 0.
Q
64
Actividad 37
En los siguientes ejercicios con múltiples alternativas, señalar la única alter-

nativa correcta justificando la elección.
x 8
1) En la fracción algebraica debe verificarse que:
x 2 25 ¡Importante!
No debemos con-
a) x 5 b) x 5 fundir la diferencia
c) x 0 d) x 5 de cuadrados con
el cuadrado de una
e) x 8
diferencia.
2) ¿Cuál de las siguientes expresiones está definida para cualquier valor de
la indeterminada x?
4 x2 4
a) b)
x 5 8
8 x 2
c) d)
x x2 9
4x
e)
(x 2)(x 2)
6.1. Simplificación de expresiones algebraicas
La finalidad de simplificar expresiones algebraicas es obtener fracciones

algebraicas equivalentes más sencillas y, de esta manera, facilitar los cálcu-
los en las distintas operaciones.
Si en una fracción algebraica factorizamos su numerador y su denomi-

nador, podremos simplificar los factores del numerador y del denomi-
nador que sean idénticos.
Veamos algunos ejemplos:
x 2 x 2 x 2 1
a)
x 3
4x x(x 2
4) x(x 2)(x 2) x(x 2)
3x 6 3(x 2) 3
b)
7x 14 7(x 2) 7
x 3 27 (x 3)(x 2 3x 9) (x 2 3x 9)
c)
x 2 6x 9 (x 3)2 (x 3)
Actividad 38
Simplificar las siguientes expresiones algebraicas fraccionaras:

x2 1 2x 14
a) b) 2
x2 x x 14 x 49
65
x 2 3x 2 3x 2 6ax 3a2 x 3 5x 2
c) d)
x2 4 6x 2 6ax x 3 25x
x 3 x 2 x 2 y xy xy 2 y2 x 3 x 2 x 2 y xy xy 2 y2
e) f)
x4 xy 3 x4 xy 3
x 4 a4
g)
x 3 x 2a xa2 a3
6.2. Suma y resta de fracciones algebraicas
Pueden presentarse dos situaciones:
1. Suma o resta de fracciones algebraicas de

igual denominador.
2. Suma o resta de fracciones algebraicas de

distinto denominador.
Para el primer caso:

La suma de dos o más fracciones algebraicas de igual denominador es
otra fracción algebraica, que tendrá el mismo denominador que los su-
mandos y, como numerador, la suma de los numeradores de los suman-
dos.
P R P R
(P, Q y R son polinomios)
Q Q Q
La diferencia entre dos fracciones algebraicas de igual denominador

es otra fracción algebraica, que tiene como denominador el mismo que
las fracciones dadas y, como numerador, la diferencia entre el numerador
del minuendo y el numerador del sustraendo.
M S M S
= (M, N y S son polinomios)
N N N
Analizar los siguientes ejemplos:
2 3 x x 2 2 3 x x 2 2 3 x x 2 2x 3
a)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
3 x 4x2 2 (3 x) (4 x 2 2) 3 x 4x2 2 4x2 x 1

b)
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x
66
Para el segundo caso:
Procedemos de la siguiente manera:

1. Factorizamos los denominadores de las fracciones algebraicas dadas.
Calculamos el mínimo común denominador (m.c.d.) tomando los facto-
res primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.
2. Obtenemos fracciones algebraicas equivalentes de igual denomina-
dor.
3. Efectuamos las operaciones indicadas en el numerador.
4. Reducimos términos semejantes.
Repasaremos ahora los pasos mencionados a partir de los siguientes ejem-

plos:
2x 3x
a) Consideremos la suma
(x 1)2 x 2 1
1. Factorizamos los de- (x +1)2 = (x +1) (x +1)

nominadores y calcula-
(x2 –1) = (x +1) (x – 1)
mos el mínimo común
denominador (m.c.d.) m.c.d. = (x +1)2 (x – 1)
2. Obtenemos fracciones 2 x (x 1) 3x (x 1)
algebraicas equivalentes
(x 1)(x 1) (x 1) (x 1)(x 1)(x 1)
de igual denominador
3. Efectuamos las 2x 2 2 x 3x 2 3x
operaciones indicadas 2
x 1 x 1
en el numerador
4. Reducimos términos 5x 2 x
2
semejantes x 1 x 1
x 3 3x
b) En el caso de la diferencia 2 2
tenemos:
x 6x 9 x 9
x 3 3x x 3 x 3 3x x 3
1. 2.
2 x 3 x 3 2
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
x 2 6x 9 3x 2 9x 2x 2 15x 9
3. 4.
2 2
x 3 x 3 x 3 x 3
67
6.3. Producto de fracciones algebraicas
El producto de dos o más fracciones algebraicas es otra fracción alge-

braica que tiene como numerador el producto de los numeradores de
los factores y, como denominador, el producto de los denominadores de
los factores.
M R MR
= (M, N, R y S son polinomios)
N S NS
Veamos un ejemplo:
3x 2 9x 5x 2 20 3x x 3 5 x2 4
2
3x 2 18x 27 x 2
2
3 x 2 6x 9 x 2
3x x 3 5 x 2 x 2 5x x 2
=
2 2 x 3 x 2
3 x 3 x 2
6.4. Cociente de fracciones algebraicas
El cociente entre dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica

que se obtiene multiplicando la fracción algebraica dividendo por la
recíproca de la fracción algebraica divisor.
M R M S MS
: = (M, N, R y S son polinomios)
N S N R NR
Consideremos el siguiente ejemplo:

2
3x 2 9x 5x 2 20 3x 2 9x x 2
:
Invitamos a ver un 3x 2 18x 27 x 2
2
3x 2 18x 27 5x 20
video sobre el tema
2
en el Aula Virtual, en 3x x 3 x 2
Recursos y Materiales •
del Capítulo 2. 3 x 2 6x 9 5 x 2 4
2
3x x 3 x 2 x x 2
2 5 x 3 x 2
3 x 3 5 x 2 x 2
Actividad 39

4x 6
a) El resultado de la operación es 2.
2x 3 2x 3
68
2x 4 2x 2
b) 2
x 2 x 2
1 x3 4x 1
c) x da como resultado
x 2 x2 4 x 2
x 4 16 4x x 2 2x x 2
d) El resultado del producto es
x2 4 4 x 2x 4 2x 8x
4 2 x 2
2
x 4 16 3x 2 12x 12 2 x 4
e) : =
x2 4x 4 6x 12 x 2
x2 2 2x 1 x 4
f) da como resultado
x 2
4x x 2
2x x 1 x 1
2
x5 1 6x 6 2 x 1
g) El resultado de : es
3x 5 3x 4 3x 3 3x 2 3x 4 x 2 4 9x
2
x4 1 9x 3 x 1
h) : =
7x 2 7 21x 7 3
4 x 12
x2 9 16
i) da como resultado
x 3 x 2 2
x 3
4x 8
x (x z)
j) El valor numérico de para x = 5 , y = 2 y z = 20
(x y )(x y )
3
es
5
Actividad 40
En los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones indicadas, factorizando

y simplificando cuando sea conveniente:
a 6 a3 x 2 1 7x 2 7x 7
a) 1 d) :
a2 3a 9 a3 27 x2 x x 1 14 x 2 14
1
1
3 x 3 4 x 12 r 2
b) e)
x x 2 3x x 2 6x 9 x3 8 2x 3 4 x 2 En el Aula Virtual, en la
2 4 3 2 sección “Recursos y
x 4 2x 4x 8x Materiales”, encontra-
2 3 remos la resolución
2 2 2 2 z v 2 detallada al ejercicio f)
x 5x ax 5a x a 4 z 6zv 9v 4 4
c) x 5 f) : de esta actividad y un
x 2
25 10x x a
3
8z3 27 v3 4 z 6v resumen del Capítulo 2.
69
y 2 9 6y
2y 2 18
g)
1 3
y
2 2
y2 3y 4 y 12
Proponemos resolver los siguientes ejercicios que pretenden integrar todo
lo aprendido en este capítulo.
Ejercicio 1
En una caja hay x monedas. Encontrar una expresión algebraica que repre-
sente cuántas monedas quedan si se sacan las dos terceras partes y se aña-
de el triple de las que había al principio. Identificar, en la expresión algebrai-
ca obtenida las constantes, las indeterminadas y las operaciones que las
vinculan.
Ejercicio 2
Escribir el polinomio que representa el perímetro correspondiente al rectán-

gulo pintado en la siguiente figura:
3 3
2x
Ejercicio 3
Dados los siguientes polinomios:

P(x) = 3x2 – 2 Q(x) = 5/2 bx2 – 2
donde b es una constante.
¿Qué valor debe asumir b para que estos polinomios sean idénticos?
Ejercicio 4
Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios:

a) P (z) 3,1 z 5 5,5 para z = – 1
2 3 1 2 1
b) Q(x ) x x 2 para x
3 5 5
c) R( y ) 3 2,1y 1,5y 2 para y = 0,30
d) T (s) s5 2s3 3s s2 para s = 2
70
Ejercicio 5
Dadas las siguientes expresiones:

x 2 x 5 ; x 3 x 2
a) Obtener su suma.
b) Analizar: ¿la suma obtenida es un polinomio? Justificar la respuesta.
Ejercicio 6
En un jardín cuya área está representada por la expresión: 3 x2 + 15, se ha

construido una pileta con un área que responde a la expresión: x2 – 4, y el
resto se ha sembrado con césped. ¿Cuál es la expresión algebraica que re-
presenta el área sembrada?
Ejercicio 7

nativa correcta justificando la elección.
i) El polinomio 2 y4 + 2 y3 – 5 y2 – 2 y + 3 es el producto de:
a) (y 2 1) (2 y 2 2 y 3) b) (y 2 1) ( 2 y 2 2 y 3)
c) ( y 2 1) (2 y 2 2 y 3) d) ( y 2 1) ( 2 y 2 2 y 3)
e) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta
3
ii) Al resolver la operación a5 1 , el resultado es:
a) a15 + 3 a10 + 3 a5 + 1 b) (a15 – 1)
c) – a15 + 3 a10 + 3 a5 – 1 d) a15 – 3 a10 + 3 a5 – 1
h) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta
Ejercicio 8
Resolver:
a) (x 5)2 3x (x 2 4) (x 5)(x 5)
b) (x 2 1)(x 2 1) 5x 2 (x 2) x 2 (x 2 5x )
c) 2 (2x 2 6x ) (2x 3)2 (x 3 2)(x 3 2)
Ejercicio 9

GRADO DEL
COCIENTE DIVISOR DIVIDENDO
DIVIDENDO
7 – y6 – 3 y2 + 2 y 3 – 4
71
Ejercicio 10
a) Multiplicando (x 3 2x 1) por cierto binomio se obtiene

5 3 2
(x 3x x 2x 1) . ¿Cuál es ese binomio?
b) De la división entre cierto polinomio y (x 2 3x 5) surge el cociente
(2x 2 x ) . ¿Cuál es ese polinomio?
c) Multiplicando cierto polinomio por el binomio (3x 1) se obtiene
(3x 4 x 3 6x 2 5x 1) . ¿Cuál es ese polinomio?
Ejercicio 11
El polinomio (6x 2 7x 20) corresponde al área de este rectángulo. ¿Qué

polinomio corresponde a su altura?
3x + 4
Ejercicio 12
Señalar cuál es el valor de b en cada caso. Justificar la respuesta.

VALOR
POLINOMIO DATOS
DE b
P(x) 2x 4 3bx 1 P(x) es divisible por (x – 2)
Q (x ) 3(x b )(x 5) La suma de las raíces es igual a 3
S(x ) 2x 2 4x b El resto de dividir S(x) por (x – 3) es 1
Ejercicio 13
Completar los siguientes trinomios para que sean trinomios cuadrados per-
fectos.
a) x2 + ... + 400 b) x2 + 81 + ...
c) 25 + ... + x2
Ejercicio 14
Factorear por completo las siguientes expresiones e indicar el o los casos de

factoreo que aplica.
1 2 4 4
a) b a 4c 2 cba2 e) 5w 5z3 xy wz2 25xyz
9 3
9 8 2 4 1 6 125 3 125
b) ba x y bz f) x
4 9 64 27
c) 49xy 35z2 xy 14 x 4 yz g) 64a6 b6
d) 36xy 2 8y 3 27 x 3 54 x 2 y
72
Ejercicio 15

GRADO DEL COEFICIENTE
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL RAÍCES
POLINOMIO PRINCIPAL
1
5 x 1 x x 3 x 2
4
1
x 3 x 3 x 5
3
Ejercicio 16
Dado el polinomio: P(x)= ax2 + 5x – 33 se conoce que una de las raíces es 3.

Determinar:
a) ¿Cuál es el valor de a?
b) ¿Cuál es el valor de la otra raíz?
Ejercicio 17
Determinar la descomposición factorial de cada uno de los siguientes poli-

nomios:
1 5
a) P(x) = x 2 x 2
3 3
b) Q(x) = 2x3 10x2 12x
Ejercicio 18
Establecer la veracidad o falsedad de cada una de estas igualdades y justifi-

car adecuadamente la respuesta.
4 x 2 36 2x x 2 1
a) 4 x 3 x 1
x2 4x 3
x3 8 x 4 16 2 x2 4 x 2
b)
x2 4 x 2 2x 4 6 ( 2)2
Ejercicio 19
Resolver previos factoreo y simplificación.

1 2
bx b2 x 2 b2 x 4x 4 x 3 x2 x 1 x 1
a) : b) 2
x 2 2xb b2 x b x 4 1 4 x 2 8x
25 4 1 3 25 2 10 1
x x 2 2x 1 x x 2x 2 2 x x
16 1 4 4 4 4
c) x2 d) :
2 5 2 4 x 4 3x 3 2x 2 5x 1
3
x x 1
4
73
Ejercicio 20
Resolver las siguientes expresiones algebraicas, previo factorización y sim-

plificación.
12 6 3x 2 6x x 2 x 3 x 2 x 3x 3
a) 3 d)
3x 2 12 3x 6 9x 3 x 1 x 3 25x 2 81
x 3x x 1 12 x 3 x2 9
b) e) :
En el Aula Virtual se x2 2x 1 x 1 x 3
2 3 x 2 2x 3 x 1 x 3 x 2 2x 1
encuentra una Autoeva-
x x 3 27 x 2 3x
luación que recomenda- c) :
mos realizar. x 2 9 2x 2 6x 18 x 2 6x 9

Actividad 1
a) x (x 1) d) 2(x 3)
2
b) x 3 e) x 3 (x 1)3
c) (x y )2
Actividad 2
a) FALSO. La expresión algebraica que corresponde a la diferencia de los

cuadrados de dos números es x 2 y 2 .
b) FALSO. La mitad de la diferencia entre dos números puede expresarse
x y
algebraicamente como .
2
c) VERDADERO. La expresión algebraica x 1/2
y 1/2 corresponde a la suma
de las raíces cuadradas de dos números, ya que se verifica que
x 1/2 x ; y 1/2 y.
Actividad 3
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
1 2 1 x, y Diferencia–Producto-
x y 3y ,3
6 6 Potenciación
7 Adición–Producto-
7, 5, 1 x, y, z
x 5z5 y 2 Cociente- Potenciación
74
Actividad 4
EXPRESIÓN
CONSTANTES INDETERMINADAS OPERACIONES CLASIFICACIÓN
ALGEBRAICA
Adición–
1 1 Expresión
a 5
3x 2 ,3 Producto-
a, x algebraica
2 2 Cociente-
fraccionaria
Potenciación
Adición– Expresión
1/4
7st 7 4 s, t Producto- algebraica
7, 7
Radicación irracional
Actividad 5
Opción c)
a 1 a a 1 a 1 a2 1 a2 1 a2 1
: a a a
a a 1 a a 2 a a
a
Como a es un número entero mayor que 1, el resultado es un número frac-
cionario.
Actividad 6
A. Si reemplazamos en la expresión s por 2 nos queda:

(2)5 + 2 (2)3 – 3 2 + (2)2 = 18
Por lo tanto, la respuesta correcta es la alternativa d).
B. La respuesta correcta es la alternativa c) 5/7.
Actividad 7
a) VERDADERO. Es una expresión algebraica entera en la que la indeter-

minada está elevada al exponente cero.
b) FALSO. El grado de un monomio está dado por la suma de los exponen-
tes de las indeterminadas.
c) FALSO. Constituyen monomios homogéneos de grado 4.
d) FALSO. Luego de reducir términos semejantes, el mayor exponente con
el que figura la indeterminada x en la expresión es 3, el grado del polinomio
en la indeterminada x es 3
e) FALSO. El grado de un polinomio está dado por el mayor grado de los
monomios que lo forman.
f) VERDADERO. Está ordenado según las potencias decreciente de x por-
que el exponente de la misma en cada término es menor o igual que en el
anterior. No está ordenado respecto de las potencias crecientes ni decre-
cientes de y.
g) VERDADERO. Un polinomio completo de tercer grado tiene un término
de grado tres, un término de segundo grado, un término de grado uno y un
término independiente.
75
Actividad 8
COEFICIENTE TÉRMINO ¿ESTÁ ¿ESTÁ
POLINOMIO GRADO
PRINCIPAL INDEPENDIENTE ORDENADO? COMPLETO?
v 3 v 3v 3 2v 2 2v 3 6 2 2 6 No Sí
3 3 3
3y y 4y 3 0 No No
2 2
7 x 4 4 12x 5x 3 2x 2 4 7 4 No Sí
11 z 7 9 z2 7 z9 5 9 7 5 No No
Actividad 9
a) VERDADERO. Por ejemplo, -6 x4 y + 8 x4 y = 2 x4 y.

b) FALSO. El grado de la suma de dos polinomios de igual grado es menor o
igual al grado de los polinomios sumandos.
c) VERDADERO. Dados los monomios 6x4y y 8 x2y4, la suma de los mis-
mos es el polinomio 6x4y + 8 x2y4
d) FALSO. El grado de la suma de dos polinomios de distinto grado es igual
al grado del polinomio de mayor grado de los sumandos.
e) VERDADERO. P(x) + [– P(x)] = 0.
f) FALSO. La suma de polinomios cumple la propiedad conmutativa y la
propiedad asociativa.
P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
[P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)]
Actividad 10
GRADO DEL POLINOMIO

SUMA
RESULTADO
a) 10 a3 + 5 Grado 3
89 4 2 46 3
b) a x a x 5 a2 – 6 Grado 6
20 5
2 3 22 2 9
c) x x 2x+ Grado 3
3 5 5
Actividad 11
GRADO DEL POLINOMIO

DIFERENCIA
RESULTADO
a) 17 x2 11 x + 5 Grado 2
14
b) 1,3 y2 + y 2 y3 + 1 Grado 3
15
7 2 1 14
c) 9 a3 b2 c a b a Grado 6
2 6 3
76
Actividad 12
MINUENDO SUSTRAENDO RESTA
3 x2 y – 2 x + 1 4 x2 y + 6 x – 3 x2 y 8x+4
10 t3 – 3 t2 – 5 t + 12 10 t3 + 6 t2 + 6 t + 9 – 9 t2 – 11 t + 3
Actividad 13
26 4 14 2 4 3
a) P(x) + Q(x) + R(x) = x 3x 3 x x
5 3 5 4
24 4 6
b) P(x) – R(x) = x 3x 3 4x 2 x
5 5
26 4 10 2 4 3
c) P(x) – Q(x) + R(x) = x 3x 3 x x
5 3 5 4
24 4 14 2 6 3
d) R(x) + Q(x) – P(x) = x 3x 3 x x
5 3 5 4
Actividad 14
a) VERDADERO. Por ejemplo, 3 x3 y z4 2 y4 z2 = 6 x3 y5 z6.

b) VERDADERO. El producto de polinomios cumple la propiedad
conmutativa.
c) FALSO. El grado del polinomio producto es igual a la suma de los
grados de los polinomios factores (por resultar un producto de poten-
cias de igual base, se suman los exponentes).
Actividad 15
1 3 3 2
a) a b c
12
b) m9 n2 p8
3 4 1 3 9 2 3 1
c) x5 x + x x x
2 5 10 10 5
d) 30 y3 + 19 y2 – 1
e) 25 x6 4
Actividad 16
143 3 10 2 3 15
a) P(x) Q(x) = 2x 5 x x x
60 3 20 4
1 4 2 3 17 2 3 3
b) Q(x) R(x) = x x x x
6 3 48 4 16
3 4 3 29 2 101 5
c) P(x) R(x) = x 5 3x 4 x x x
4 5 20 20 4
77
Actividad 17
a) (a + b)2 = a2 +2ab + b2 c) ( a + b)2 = a2 2ab + b2

b) (a b)2 = a2 2ab + b2 d) ( a b)2 = a2 +2ab + b2
Actividad 18
a) (2a + b)3 = 8a3 + 12 a2 b + 6 a b2 + b3

b) (2a b)3 = 8a3 12 a2 b + 6 a b2 b3
c) ( 2a + b)3 = 8a3 + 12 a2 b 6 a b2 + b3
d) ( 2a b)3 = 8a3 12 a2 b 6 a b2 b3
Actividad 19
a) FALSO. Resolviendo la expresión (–3 a – a3) 2, se obtiene como resultado

9 a2 + a6 + 6 a4.
b) FALSO. El resultado de elevar el binomio (7 + x) al cuadrado es
x2 + 49 + 14x.
2
c) FALSO. Al resolver la expresión 2 y 3 , se obtiene como resultado
2 y2 + 9 +6 2 y.
1
d) FALSO. Si se eleva al cubo la expresión t 5 t 2 , se obtiene
2
1 3 15 4 75 5
t 125 t6 t t .
8 4 2
e) FALSO. El resultado de elevar al cubo el binomio ( 3 + x) es
x3 9x2 + 27x 27.
Actividad 20
1
a) Cociente = x
5
1 2 2 1
b) Cociente = t 7 t
9 9 27
c) Cociente = 6 x2 12 x + 44 Resto = 129 x + 134
3 5 3
d) Cociente = y 2 y Resto =
2 4 8
e) Cociente = 6 x3 + 6 x2 10 x 28 Resto = 5 x + 80
f) Cociente = 6 a4 2 a2
Actividad 21
3x 3 10x 5 x 2 3x 4 x 1 3 x3 – x + 9 4
78
6 t4 + 2 t2 5t + 2 2 t + t2 – 3 6 t2 – 12 t + 44 – 129 t + 134
2 x4 – 3 x3 + 10x2 – 17 x + 3 x3 + 5 x 1 2x – 3 0
Actividad 22
a) VERDADERO. Por ejemplo, 80 t z12 : 20 t z10 = 4z2.

b) FALSO. La división de polinomios no cumple la propiedad conmutativa.
1
c) FALSO. El resultado es , pero se trata de una expresión algebraica
3
2a b
fraccionaria.
d) VERDADERO. Por ejemplo,
1
100 a5 b + 10 a4 b2 + a2 b2 : 10 a b2 =10 a4 b-1 a a3
10
e) FALSO. El grado del polinomio cociente es la diferencia entre el grado del
dividendo y el grado del divisor.
Actividad 23
a) FALSO. El resto de dividir (4 x + 5 x3 – 3x2 – 1) por (x – 3) es R(x) = 119.

b) FALSO. Para aplicar el Teorema del Resto no es necesario que el polino-
mio dividendo esté completo y ordenado.
c) FALSO. El resto de dividir (5 t3 + 2) por (t + 2) es 38.
Actividad 24
x2 + x – 1 x–2 a 5
–4x–3 x–a 7 5/2
x –9
3
x–3 a 18
x4 – 5 x + a x–1 0 4
Actividad 25
a) El resto de dividir 2x 3 3x 2 x 4 por x 1 es
R(x) = 2 ( 1)3 3 ( 1)2 ( 1) + 4 = 0. Por lo tanto, sí es divisible.

b) El resto de dividir 6a2 3a 3 por 1 a es 6. Por lo tanto, no es
divisible.
Actividad 26
a) No tiene factor común. b) z (z + 3)
79
c) No tiene factor común. e) 3t2 (1 -5t2 + 2t)

1 2 2 1
d) y 2 y y 4 f) No tiene factor común.
3 3 2
Actividad 27
a) (x + 1) (x - 1) (3 x + 1) d) (9 p + 2 a) (2 p2 - b)
b) (y2 + 1) (y + 1) e) (m + a) (m - b)
c) 10 (2 - t) (s - 3) f) 3 a2 1 b2 ab a5 2b3
3
Actividad 28
a) No es trinomio cuadrado perfecto. d) (ab + 1)2

b) (8+ y)2 e) (y – 6z)2
c) No es trinomio cuadrado perfecto
Actividad 29
3 3
a) 2 x 3 y d) x 3 y
3 3
1 1 2 3
b) b c e) b2 a
2 4 3
3
3 3 2
c) 3b 1 f) a c
2 3
Actividad 30
5 2 2 5 2 2
a) a b x y2 a b x y2 c) (x3 + 8) (x3 - 8)
2 3 2 3
b) 9 (x - 4) (x + 4) d) (59 + 58) (59-58)
Actividad 31
a) FALSO. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) FALSO. x2 – y2 = (x – y) (x + y)
c) FALSO. – x2 + y2 = (y – x) (y + x)
d) VERDADERO. x4 – 16 = (x2 + 4) (x2 – 4)
e) FALSO. (x – y)2 = (x2 –2xy + y2)
f) FALSO. 100 – x4 = (10 + x2) (10 – x2)
g) VERDADERO. x4 – 10x2 + 25 = (x2 – 5)2
h) FALSO. x3 – 6x2 = x2 (x – 6) o bien x4 – 6x3 = x3 (x – 6)
80
Actividad 32
a) 81 y4 z4 = (3 y - z) (27 y3 + 9 y2 z + 3 y z2 + z3)
81 y4 z4 = (3 y + z) (27 y3 9 y2 z + 3 y z2 z3)
b) b5 32 = (b 2) (b4 + 2 b3 + 4 b2 + 8b + 16)
c) a 6 1 = (a - 1) (a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1)
a6 1 = (a + 1) (a5 a4 + a3 a2 + a 1)
d) x6 z3 + b6 c3 = (x2z + b2c) (x4 z2 x2z b2c + b4 c2)
27 3 9 2 2 15
e) a3 x3 - 125 z3 = a x 5z a x a x z 25 z2
64 4 16 4
Actividad 33
a) (x 2) (x + 2) (z2 + x2) e) 100 a2 (2 a2 + b)2

b) (x 3) (x2 + 3 x + 9) f) (1 + m) (1 m + m2 m3 + m4)
1
c) a (a b)2 (a – 1) g) (x + y)2 (x + 2)
5
d) (a b) (a + b) (a2 + b2) h) (x 2)
Actividad 34
12
a) 3(x 5) (x + 5) c) 7 x
7
b) x (x + 2) (x 2) d) 3(x + 1) (x + 1)
Actividad 35
a) Sabiendo que las raíces del polinomio son 1, 3 y 2, podemos establecer

que su descomposición factorial responde a la siguiente estructura:
P(x) = a (x 1) (x 3) (x +2) (*) y como P(2) = 2 tenemos que
1
2 = a (2 1) (2 3) (2 + 2). Por lo tanto, a = . Reemplazando a por su
2
1 3 2 5
valor en (*) y operando se obtiene que: P(x) = x x x 3
2 2
9 2 11
b) Q(x) = x3 x x 30
2 2
c) R(x) = x 2 3x 2
Actividad 36
POLINOMIO RAÍCES
PRINCIPAL FACTORIAL
x2 + x - 6 1 2, – 3 (x – 2) (x + 3)
81
POLINOMIO RAÍCES
PRINCIPAL FACTORIAL
2x + 2x - 12
2
2 2, -3 2 (x – 2) (x + 3)
-3x - 3x + 18
2 – 3 2, – 3 -3(x – 2) (x + 3)
x2 + 5x – 6 1 -6, 1 (x + 6) (x - 1)
3x3 – 9x2 – 12x + 36 3 2, – 2, 3 3(x – 2)(x + 2)(x – 3)
– 2x3 + 2x – 2 0, 1, – 1 -2x (x – 1) (x + 1)
3x2 + 3x – 18 3 -3, 2 3 (x – 2) (x + 3)
Actividad 37
x 8
i) En la fracción algebraica debe verificarse que:
x2 25
En el Aula Virtual, en d) x 5 para no anular el denominador
la sección Recursos y
Materiales, encontra- ii) ¿Cuál de las siguientes expresiones está definida para cualquier valor de
remos la resolución de la indeterminada x?
uno de estos polino-
x2 4
mios. b)
8
Actividad 38
x 1 x 1 x 1
a) c) e) g) x + a
x x 2 x(x y )
2 x x a
b) d) f)
x 7 x 5 2x
Actividad 39
a) VERDADERO
2x 4 4x
b) FALSO. 2
x 2 x 2
c) VERDADERO
x 4 16 4x x 2 2x x 2
d) FALSO.
x 2
4 4x 2x 4 2x 4 8x 2 x 2
e) VERDADERO
x2 4 2x 1 x 2
f) FALSO.
x 2
4x x 2
2x x 1 x(x 1)
g) VERDADERO
x4 1 3x 1 x2 1
h) FALSO. :
7x 2 7 7 x 7/3 3
i) VERDADERO
5
j) FALSO.
3
82
Actividad 40
1 6 x a 4
a) b) c) d)
a 3 x (x 3) x a x
r 1 8
e) f) g) y + 4
r 2 2z 3v

Ejercicio 1
2
La expresión algebraica sería x x 3x . Constantes: 1, 2/3 y 3. Indetermi-
3
nada: x. Operaciones: adición, sustracción, multiplicación. Si consideramos
10
la expresión reducida x , constante: 10/3, Indeterminada: x, operación:
3
multiplicación.
Ejercicio 2
El perímetro de un rectángulo está dado por la suma de sus lados.

(2x 6) + (2x 6) + x + x = 6x 12
Ejercicio 3
b = 6/5
Ejercicio 4
a) P ( 1) 8,6 c) R (0,30) 3,495

1 149
b) Q d) T (2) 18
5 75
Ejercicio 5
a) 7 x 3
b) El resultado obtenido no es un polinomio, puesto que la indeterminada
se encuentra afectada por un exponente no entero, sino fraccionario (radi-
cación).
Ejercicio 6
El área sembrada surge de la diferencia de ambas expresiones: 2 x2 + 19
83
Ejercicio 7
i) El polinomio 2 y4 + 2 y3 – 5 y2 – 2 y + 3 es el producto de:

c) (y2 1) (2y2 2y 3)
1. Al resolver la operación (a5 – 1)3 el resultado es:
d) a15 – 3 a10 + 3 a5 – 1
Ejercicio 8
a) –3 x3 + 2 x2 + 2 x c) x6 + 5
b) 10 x3 – 10 x2 – 1
Ejercicio 9
GRADO DEL
COCIENTE DIVISOR DIVIDENDO
DIVIDENDO
7 – y6 – 3 y2 + 2 y3 – 4 2 y9 + 3 y8 + 4 y6 + 14 y3 21 y2 28 9° grado
Ejercicio 10
5 3 2
a) De acuerdo al enunciado x 3 2x 1 . P(x) = x 3x x 2x 1 , por lo
5 3 2 3
que P(x)= x 3x x 2x 1 : x 2x 1 . Efectuando la división, obte-
nemos el binomio buscado P(x) = x 2 1 .

2 2
b) De acuerdo al enunciado P(x): x 3x 5 = 2x x , por lo que
2
P(x) = x 3x 5 2x2 x . Efectuando el producto, obtenemos el polino-
mio buscado P(x) = 2x 4 7x 3 13x2 5x .

c) P(x) = x 3 2 x 1
Ejercicio 11
Denotemos P(x) al polinomio que representa la altura.

El área de un rectángulo se obtiene del producto de su base por su altura. Es
decir, (3x + 4) P(x) = (6x2 7x 20) .
2
Por lo tanto, P(x) = 6x 7x 20 : 3x 4 2x 5 .
Ejercicio 12
POLINOMIO DATOS VALOR DE b

4
P(x) 2x 3bx 1 P(x) es divisible por (x – 2) 11/2
Q (x ) 3( x b )( x 5) La suma de las raíces es igual a 3 2
2 El resto de dividir S(x) por (x – 3) es 1 5
S(x ) 2x 4x b
84
Ejercicio 13
a) x2 + 40 x + 400 b) x2 + 81 + 18 x c) 25 + 10 x + x2
Ejercicio 14
2
1 2 3 4 2 1 3 3 4 2 1 3
a) ba 2c b) b a xy z a xy z
3 2 3 2 3
3
c) 7 xy 7 5z2 2 x 3z d) 2y 3x
x 1 x2 x 1
e) w 5 zxy 5 z 5 z f) 125
4 3 16 12 9
g) 2a b 2a b 4a2 2ab b2 4a2 2ab b2
Ejercicio 15
DESCOMPOSICIÓN GRADO DEL COEFICIENTE

RAÍCES
FACTORIAL POLINOMIO PRINCIPAL
1
5 x 1 x x 3 x 2 4 1, 1/4, 3, 2 5
4
1
x 3 x 3 x 5 3 3, 3 5 1/3
3
Ejercicio 16
a) a = 2 b) x2 = 11/2
Ejercicio 17
1
a) P(x) = (x 6)(x 1) b) Q(x) = 2 x ( x 3)( x 2)
3
Ejercicio 18
4 x 2 36 2x x 2 1
a) VERDADERA. 4 x 3 x 1
x2 4x 3
Trabajamos sobre el primer miembro utilizando los casos de factoreo:
2 2
4 x2 9 x 1 4 x 3 x 3 x 1
4 x 3 x 1
x 2 3x x 3 x 1 x 3
Dado que, operando algebraicamente, el primer miembro es igual al segun-
do, hemos comprobado la igualdad.
b) VERDADERA.
85
Ejercicio 19
b
a) c) 1
(x b)(x b)
x 2 5x 1 x 1
b) d)
8x x2
Ejercicio 20
2
a) b) 0
x 2 x
1 1
c) d)
2 5x 9
x 1
e)
x 3
86
Capítulo 3
ECUACIONES E
INECUACIONES
Desafío 3
El siguiente problema fue propuesto para que lo resolvieran estudiantes de
la escuela primaria en China.
Se quiere saber cuál es la altura de la mesa, basándonos en la información que
nos presenta la siguiente imagen:
Mientras lo pensamos, revisemos este capítulo, que seguramente nos pro-

veerá de todas las herramientas para su resolución.
Introducción
Si analizamos el siguiente chat de WhatsApp,
podremos observar que José y su amigo tienen
una mirada distinta de la misma realidad.
Posiblemente, nos podría interesar conocer con
cuánto dinero cuenta cada uno de ellos. Este pro-
blema no será difícil de resolver, tendremos que
estar atentos a los conceptos y explicaciones que
se presentan en esta revisión sobre ecuaciones,
las que constituyen el tema central del capítulo.
La matemática surgió por la necesidad del hom-
bre de resolver problemas concretos, de dife-
rente naturaleza, y para los que a menudo exis-
ten formas alternativas de resolución.
En general, distintas culturas, desde la antigüe-
dad intentaron dar solución a situaciones coti-
dianas a través del uso de ecuaciones.
El siguiente esquema resume los temas que desarrollaremos en este capítulo:
87
Ecuaciones Inecuaciones
Planteo
Clasificación
Resolución
Lineales Sistemas lineales

Cuadráticas
Fraccionarias
Clasificación
1. Ecuaciones
Habitualmente escuchamos o leemos frases como las siguientes:
“El gasto público del Estado nacional aumentó este año un 18 % respecto al
año anterior”.
“El total de contribuyentes adheridos al plan de pagos propuesto por la
AFIP, las últimas tres semanas, ascendió a 25.300”.
“Dos tercios de los trabajadores del sector gastronómico se encuentran re-
gistrados”.
“El índice Nikkei de Japón cerró en 2 % respecto al día anterior”
En cada una de ellas se expresan relaciones de igualdad entre cantidades co-
nocidas y cantidades desconocidas.
Nuestro objetivo será expresar matemáticamente situaciones como éstas, a
través de lo que se denominan ecuaciones.
Por ejemplo:
EXPRESIÓN SIGNIFICADO DE LAS IN-

SITUACIÓN
SIMBÓLICA CÓGNITAS
El gasto público del Estado “x” simboliza el gasto público
18
nacional aumentó este año un y = x+ x del año anterior e “y” el gasto
100
18 % respecto al año anterior público del año actual
El total de contribuyentes ad- “x”, “y” y “z” representan la
heridos al plan de pagos pro- cantidad de contribuyentes
puesto por la AFIP, las últi- x y z 25.300 adheridos al plan de pagos en
mas tres semanas, ascendió a cada una de las tres últimas
25.300 semanas
“y” simboliza los trabajadores
Dos tercios de los trabajado- del sector gastronómico y “x”
2
res del sector gastronómico se x y la cantidad de esos trabajado-
3
encuentran registrados res que se encuentran regis-
trados
donde “y” representa el índice
El índice Nikkei de Japón ce-
2 Nikkei de Japón al cierre de
rró en –2 % respecto al día an- y x x
100 hoy y “x” representa el índice
terior
al cierre del día anterior
88
ECUACIONES E INECUACIONES
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se veri-

fica para ciertos valores de las letras a las que denominamos incógnitas.
En una ecuación podemos identificar:

Primer Segundo
miembro miembro
2 x2 x 3
Incógnita Término
Coeficiente
independiente
Actividad 1
Expresar en lenguaje algebraico cada una de las siguientes frases, definiendo

claramente la o las incógnitas:
a) El número de empleados del área de producción de una empresa es el do-
ble del número de empleados administrativos.
b) El precio de venta de un artículo es de $540 y se obtiene de agregarle a su
precio de compra un 25 %.
c) La edad de Claudio es igual al cuadrado de la suma de las edades de sus 2
hijas, más cinco años.
d) Del total de operaciones de venta realizadas en un comercio en un día, un
tercio se realizaron con tarjeta de débito, el 20 % de las restantes con tarjeta
de crédito y 240 operaciones se realizaron en efectivo.
e) El producto de tres números naturales consecutivos es igual a 336.
Como vemos, las ecuaciones nos permiten representar problemas a través de

expresiones algebraicas, para encontrar su solución.
Resolver una ecuación significa encontrar los valores de las incógnitas que
verifican la igualdad.
Las raíces o soluciones de una ecuación son aquellos valores de las

incógnitas que satisfacen la ecuación planteada.
Por ejemplo, si consideramos la ecuación:

x 3 7
Luego de observarla unos instantes y pensando ¿cuál es el número que su-

mado a 3 nos da 7?, podremos deducir que el único valor que sumado a 3 nos
da como resultado 7 es 4, es decir, podemos afirmar que x 4
Esto se expresa como "4 es la solución de la ecuación x 3 7 " o "4 es la raíz

de la ecuación x 3 7 "
89
Actividad 2
Establecer si los valores indicados son solución de las ecuaciones propuestas:

VALOR EL VALOR PROPUESTO,
ECUACIÓN
PROPUESTO ¿ES RAÍZ?
a) 5x 1 2x 8 3
2 4
b) 2x 2 4x
3 3
u 2 6 u
c) 1 2
3u 1 u 1
1 7
d) x 2x 2 4 x
4
2
3(3x 4) 2 2
e)
2 x 3
En ciertas ecuaciones, no será posible determinar la solución o raíz a través

de una simple observación. Por ejemplo, ¿podemos identificar las raíces de
las siguientes ecuaciones solo observándolas?
1 1 4 3x 4 4
2x 2 3 7 x ; 5x 24 x ; 15x
2 3 3 7x 5
Necesitaremos algunas herramientas y estrategias para encontrar dichas raí-

ces. Para ello, puede sernos de utilidad reconocer distintos tipos de ecuacio-
nes.
Si observamos las igualdades anteriores, podemos notar que cada una de

ellas tiene una sola incógnita, representada en este caso por la letra x, y de
acuerdo con su estructura recibirán distintos nombres, como ecuaciones li-
neales, cuadráticas, fraccionarias, logarítmicas, trigonométricas, etc. Nuestro
objetivo inmediato será analizar cómo plantear y resolver tres clases de ellas:
las ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas y las ecuaciones fraccio-
narias.
1.1. Ecuación lineal con una incógnita
Analicemos la siguiente situación:

El Departamento de Marketing de una empresa tiene asignado un presu-
puesto de $80.000 para gastar en publicidad el próximo semestre. Se decide
invertir $25.000 en la elaboración un comercial para radio y el resto se utili-
zará en la contratación con las estaciones de radio. Si estas cobran $10 el se-
gundo de publicidad, ¿cuántos segundos de publicidad radial podrán contra-
tarse para el próximo semestre?
El primer paso para resolver un problema es analizar detenidamente la situa-
ción, identificando las incógnitas y los datos.
En la situación planteada, tenemos una única incógnita que se encuentra
90
especificada en la pregunta: ¿Cuántos segundos de publicidad radial podrán

contratarse para el próximo semestre?
Una vez identificada la incógnita la representamos con una letra, por ejemplo:
x : segundos de publicidad radial a contratar en el próximo semestre
Ahora debemos traducir al lenguaje algebraico cuál es su relación con los da-
tos.
Como cada segundo de publicidad radial tiene un costo de $10, el importe
total se obtendrá de multiplicar ese valor por la cantidad de segundos, que
simbolizamos anteriormente con x, y que expresamos de la siguiente manera:
10 x
Además, debemos considerar el costo de producir el comercial que tiene un

valor de $25.000, que se agrega al costo de la publicidad radial:
10 x 25.000
Si el Departamento de Marketing dispone $80.000 que quiere utilizar total-

mente resulta que:
10 x 25.000 80.000
esta ecuación es la que representa algebraicamente el problema planteado y

que nos permitirá determinar el número de segundos de publicidad radial
que podrán contratarse.
La ecuación que hemos obtenido se denomina lineal y se define de la si-

guiente manera:
Una ecuación lineal o de primer grado en una variable “x” es aquella que
puede ser expresada de la siguiente forma:
ax b 0
donde “a” y “b” son constantes y “a” es distinto de cero.
Una vez obtenida la ecuación, el siguiente objetivo será resolverla para en-
contrar la solución del problema.
La idea es transformar la ecuación lineal, a través de operaciones algebraicas,
en otra más simple de resolver, pero que admite las mismas raíces que la
ecuación original.
¿Qué operaciones son posibles de realizar para obtener ecuaciones más sim-
ples?
Podemos:
1. Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma ex-
presión.
2. Multiplicar o dividir ambos miembros de la igualdad por una constante
no nula.
En particular, si queremos dar solución al problema planteado, debemos re-

solver la ecuación:
10x 25.000 80.000
91
Como el objetivo es encontrar el valor de x, debemos tratar de "aislar" a x de

algún modo, y esto es lo que normalmente llamamos “despejar x”.
Considerando una de las operaciones que indicamos anteriormente, pode-
mos sumar en ambos miembros de la igualdad el término ( 25.000):
10x 25.000 ( 25.000) 80.000 ( 25.000)
resolviendo las operaciones indicadas en cada miembro de la igualdad nos

queda:
10x 55.000
hemos obtenido una ecuación más sencilla pero aún no hemos encontrado el
valor de la incógnita.
Podemos ahora dividir por 10 ambos miembros de la igualdad:
10x 55.000
10 10
simplificamos numerador con denominador en cada miembro de la igualdad
10 x 55.00 0
10 10
Finalmente:
x 5.500
Esto nos permite afirmar que el Departamento de Marketing podrá contra-

tar 5.500 segundos de publicidad radial.
Ahora, debemos verificar que el resultado obtenido satisfaga la ecuación
planteada y la pregunta original del problema.
En la ecuación:
10x 25.000 80.000
Remplazamos a x por 5.500:

10(5.500) 25.000 80.000
Resolvemos:
80.000 80.000
Y verificamos que 5.500 es la solución de la ecuación planteada.
Siempre es muy importante expresar la respuesta al interrogante plan-

teado en el problema a resolver.
Para resolver una ecuación lineal, la hemos transformado a través de opera-

ciones algebraicas, en otras más simples de resolver. Todas las ecuaciones
que se obtienen en este proceso son equivalentes entre sí.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas raíces o soluciones.
Por lo general, para encontrar el valor de x, se usan reglas tales como:

"Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro", "Lo
que está multiplicando pasa dividiendo". etc. Estas reglas no son del todo
92
incorrectas ya que, en cierta medida, constituyen una forma abreviada de las

operaciones enunciadas, el problema está en la forma indiscriminada o
errónea en que se las utiliza.
Actividad 3
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 8x 1 x 3 2x 4 x 2 b) 3x 6 3 2 x 2x
1 5 2z 3 3 5 2z
c) 3x 5 2x 4 d) z z
2 2 4 2 4
x x 1 x 2 3 2u 3 2 5u u
e) f) 1
5 2 5 4 4 2
1 1 2
g) (2y + 1)+ y = (1 -2y)- 4
3 2 5
Para plantear un problema algebraicamente seguimos una serie de pasos que

es importante tener presente:
Podemos:
1. Leer el problema las veces que sea necesario hasta comprender su enun-
ciado.
2. Identificar los datos (valores y operaciones) y la/s incógnita/s del pro-
blema. Representar esta última con una letra (sin son más, utilizar una le-
tra por cada incógnita).
3. Expresar algebraicamente la relación existente entre los datos y las in-
cógnitas, a través de una ecuación.
Actividad 4
Plantear y resolver los siguientes problemas:

a) El volumen de una pileta es de 200 cm3 e inicialmente había 1/8 del volu-
men total. Si se incorporan 3/5 del volumen total, ¿cuántos cm3 faltan para
llenar la pileta?
b) Una empresa dedicada a la venta de ropa para niños tiene sucursales en la
provincia de Córdoba, Santa Fe y Buenos Aires. ¿Cuál es el total de sucursa-
les si una tercera parte están en Córdoba, un 25 % de las restantes están en
Santa Fe, y en la provincia de Buenos Aires hay un total de 18 sucursales?
c) Una concesionaria ofrece a la venta un auto 0km con el siguiente plan de
pagos: una entrega inicial del 40 % del valor del auto, 2/3 del resto a pagar en
cuotas, y el resto, $46.000, al momento de la entrega del auto. ¿Cuál es el
precio del auto?
d) Se vende un producto a $776 por unidad perdiendo el 3 % de lo que costó.
¿Cuál fue el precio de costo unitario?
Para cada una de las ecuaciones que resolvimos en las actividades 3 y 4,
93
hemos encontrado una raíz o solución y esta ha sido siempre única. Pero
puede suceder que en el proceso de resolución nos encontremos con situa-
ciones diferentes.
Analice la siguiente ecuación:
3(2x 5) 8 6x 7
Aplicamos propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma

algebraica en el primer miembro:
6x 15 8 6x 7
Operamos en el primer miembro:
6x 7 6x 7
Sumamos –6 x en ambos miembros:

6x 7 ( 6x) 6x 7 ( 6x )
Cuando resolvemos
una ecuación y en ese Resolvemos:
proceso llegamos a 7 7
una identidad, pode-
mos afirmar que la Hemos llegado a una identidad, es decir que cualquier valor que demos a x
ecuación se verifica será solución de la ecuación. En este caso el resultado obtenido indica que la
para cualquier valor de
ecuación tiene infinitas soluciones.
la incógnita.
Por ejemplo, podemos afirmar que 2 es solución de esta ecuación ya

que, remplazando a x por 2 y resolviendo nos queda:
322 5 8 62 7
3 4 5 8 12 7
3 8 12 7
5 5
Pero también es solución x = 1/3:

1 1
3 2 5 8 6 7
3 3
2 15 8 2 7
5 5
También puede suceder que al resolver una ecuación, nos encontremos con
otro tipo de situación.
Por ejemplo:
1 1
4x 6 7 16x
2 4
Resolvemos las operaciones indicadas en el segundo miembro de la igualdad:
1 7 16
4x 6 x
2 4 4
Simplificamos y operamos:
1 17
4x 4x
2 4
94
Sumamos en ambos miembros – 4 x

1 17
4x 4x 4x 4x
2 4
Resolvemos y obtenemos:
1 17
2 4 Cuando resolviendo
una ecuación llega-
En este caso el resultado obtenido indica que la ecuación no tiene solución mos a una contradic-
ción, no existe nin-
Resumiendo, una ecuación lineal puede tener: gún valor de la incóg-
1. Una única solución. nita que verifique la
igualdad planteada.
2. Infinitas soluciones.
3. Ninguna solución.
Actividad 5
a) 2 8x 1
5 4x b) 2x 7 2 x 1 9
4 2
c)
1
x 3 x
1 5x 1 d) 5 5 x 3 8
x 6 2
1
x 3
2 6 2 6 3 4
1.2. Ecuación cuadrática con una incógnita
Analicemos el siguiente problema:

Una empresa fabricante de calzado debe ampliar su planta de producción y
para ello necesita un terreno rectangular de 80 m2. ¿Cuáles son las dimensio-
nes del lote, si el largo debe ser mayor al ancho en 2 metros?
Representemos gráficamente el lote:
La información que tenemos es:
x +2
El lote tiene una superficie de 80 m2

La superficie de un rectángulo se obtiene multiplicando el largo por el an-
cho.
Nuestras incógnitas son el largo y el ancho del lote. Designamos con:
x = ancho del lote y = largo del lote
Pero si sabemos que la longitud del largo es 2 metros mayor que el ancho,
podemos expresar que y = x + 2
Entonces:
Superficie = x (x + 2)
95
Dado que la superficie es 80 m2, obtenemos la siguiente ecuación:

x x 2 80
Si la resolvemos, podremos encontrar la longitud del largo y del ancho del

lote.
Comencemos aplicando propiedad distributiva en el primer miembro
x 2 2x 80
o en forma equivalente:
x 2 2x 80 0
En uno de los términos x está elevada al cuadrado, por lo cual esta ecuación
no es lineal, sino que la denominamos cuadrática.
Una ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable x es aquella

que puede ser expresada de la siguiente forma:
a x2 + b x + c = 0
donde “a”, “b” y “c” son constantes y “a” es distinta de cero.
En el caso de la ecuación:
x 2 2x 80 0
Observamos que es cuadrática y sus constantes son:
a 1 b 2 c 80
Se establece la condición de que a 0 , ya que si a 0 , la ecuación se trans-
forma en una ecuación lineal.
Sin embargo, las constantes b y c pueden asumir el valor cero. Veamos los
siguientes ejemplos:
1 2
x 6x 0 , en este caso, c 0
4
3x 2 17 0 , aquí el valor de b 0
En base a los ejemplos podemos observar que esta clase de ecuación tiene
por requisito que la variable o indeterminada, “x”, se presente elevada al cua-
drado, pudiendo estar o no presentes la potencia uno o la cero.
Actividad 6
A partir de las siguientes ecuaciones, identificar los valores de a, b y c, com-

pletando el cuadro:
ECUACIÓN a b c
a) 2x 2 3 4x
8
b) 2x 3x 2 7 x
3
96
ECUACIÓN a b c
12
c) 5x x 2 3 x 2x 2
5
d) 3x x 2 2 7x x 2 3x 3x 3
Actividad 7
Clasificar las siguientes ecuaciones en lineales o cuadráticas:

2 2
a) 3x 1 2x 9x 2 5 b) x 5 3 x2 1
2
2 2x 4 x x 1
c) x 2 7x 5 x d) 5
8 2
x 2 x x 1 3x 2
e) 1
3 2
Ya hemos identificado y caracterizado una ecuación cuadrática o de segundo

grado, nuestro próximo paso será resolverla.
Para ello, aplicaremos la siguiente fórmula, que se obtiene de despejar el va-
lor de x en la expresión general de la ecuación cuadrática:
b b2 4ac
x
2a
Observemos que:
Es necesario identificar en la ecuación los valores de a, b y c y remplazarlos.
El signo indica que hay que realizar dos cálculos: por separado se debe
sumar y restar el resultado de la raíz, lo que nos dará dos valores. Estos po-
drán ser distintos o iguales, números reales o complejos.
Para nuestro problema, ya identificamos los valores de a, b y c (1, 2 y 80,
respectivamente), por lo tanto, ahora los remplazamos en la fórmula, de la
siguiente manera:
2 22 4 1 80
x
21
Resolvemos la operación de potencia y los productos del radicando y del de-
nominador:
2 4 320
x
2
Restamos en el radicando:
2 324
x
2
Resolvemos la raíz cuadrada de 324:
2 18
x
2
97
Para continuar, debemos considerar que es necesario sumar y restar 18, por
lo tanto, tendremos dos resultados distintos:
2 18 2 18
x1 x2
2 2
Resolviendo:
16 20
x1 8 x2 10
2 2
Decimos que la ecuación x 2 2x 80 0 tiene dos raíces o soluciones: 8 y

10.
Si remplazamos en la ecuación x por cada uno de estos valores tenemos:

2
82 2 8 80 0 10 2 10 80 0
64 16 80 0 100 20 80 0
Efectivamente los valores 8 y 10, verifican la igualdad.
Para algunos problemas, como el que estamos analizando, solo será conside-
rada una de las soluciones, la de valor positivo, ya que no es relevante en este
caso asignar una longitud negativa para determinar la superficie del terreno.
Por lo tanto, indicaremos que las dimensiones del lote serán:
Ancho = 8 metros Largo = 8 + 2 = 10 metros
No es casualidad tener dos raíces pues estamos frente a una expresión alge-
braica entera de segundo grado, sin embargo, veremos a continuación que
pueden presentarse otros casos.
Si analizamos la fórmula de cálculo de las soluciones de una ecuación cuadrá-

tica:
b b2 4ac
x
2a
observaremos que en la misma está involucrada una raíz cuadrada, con ello
el valor y la naturaleza de las raíces dependerán del valor del radicando
b2 4 a c , el cual se denomina discriminante.
¿Por qué es importante su valor? Porque el resultado que arroje determinará

el tipo de raíces de la ecuación.
Puede suceder que el discriminante sea positivo, negativo o nulo.
Analicemos cada caso:
a) b2 4 a c 0 En este caso obtendremos dos raíces reales y distintas.
98
Veamos un ejemplo:
2x 2 4 x 30 0
2
( 4) 4 4 2 30
x
22
4 256
x
4
4 16
x
4
4 16 4 16
x1 x2
4 4
Resolviendo:
x1 3 x2 5
b) b 4 ac 0
2
En este caso obtendremos dos raíces reales e iguales
Ejemplo:
x 2 6x 9 0
Remplazamos en la fórmula de cálculo:

2
6 6 4 19
x
2 1
resolvemos en el radicando y en el denominador:
6 36 36
x
2
al resolver el radicando, nos arroja como resultado 0, cuya raíz es también 0
6 0
x
2
Por lo tanto:
6 0
x
2
al sumar 0, obtenemos una única solución, que en este caso es 3, y ese es el
valor de ambas raíces:
6
x 3
2
x1 3 y x2 3
c) b2 4 a c 0 En este caso obtendremos dos raíces complejas y entre

sí conjugadas.
99
Ejemplo:
1 2
x 3x 9 0
2
Remplazamos los valores de a, b y c:
2 1
3 3 4 9
x 2
1
2
2
resolvemos:
3 9 18 3 9
x x
1 1
Como la raíz cuadrada de número negativo no tiene solución en el conjunto
de los números reales, debemos recurrir a los números complejos para obte-
ner el valor de las raíces de este tipo de ecuaciones.
Recordemos: dos Dado que:

números se dicen 9 3i
complejos conjuga-
dos si poseen la Las raíces de esta ecuación son:
misma parte real y
sus partes imagina- x1 3 3 i x2 3 3 i
rias son opuestas.
Actividad 8
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

5 2 15 45
a) x 2 2x 3 0 b) x x 0
4 2 4
2 2
c) 2x 4 x 3 d) x 2 4 x 8 0
3
e) x x 1 x 3 x 2 f) 3x 2 x 5 4x 3
2 2 5
g) x 2 2 x 1 x 2 h) x x x 1
3 3
x2 2 1
i) x j) x 2 6x 55
3 3 3
Actividad 9
Dada la ecuación 2x 2 bx 2 0 y sabiendo que el discriminante es 0, obte-

ner el o los valores de b
Actividad 10

a) Las raíces de la ecuación x 2 7 x 6 0 , son reales y distintas.
100
1 2 25
b) La ecuación x 5x 0 , tiene 2 raíces reales e iguales.
2 2
c) La ecuación x 2 2x 5 , tiene 2 raíces complejas y entre si conjugadas.
1 2 1 1
d) La ecuación x x 0 , tiene 2 raíces reales y distintas.
3 3 12
1.2.1. Ecuación de segundo grado incompleta
Ya afirmamos que el coeficiente del término principal de una ecuación cua-

drática debe ser no nulo ( a 0 ) pero, b o c si pueden asumir el valor cero. En
estos casos podemos aplicar la fórmula general sin inconvenientes, pero es
posible utilizar otras expresiones más sencillas:
1. CUANDO c 0 2. CUANDO b 0
La ecuación, en este caso, se expresa La ecuación, en este caso, se ex-

de manera general: presa de manera general:
ax 2 bx 0 ax 2 c 0
y se la denomina ecuación cuadrática y se la denomina ecuación cuadrá-
incompleta en el término indepen- tica incompleta en el término de
diente. primer grado
Si factoreamos en el primer miembro Las raíces pueden obtenerse de la
la ecuación anterior se puede expre- siguiente expresión:
sar como: c
x(a x b) 0 x
a
y para que se verifique la igualdad de la cual obtenemos:
debe ocurrir que x = 0 o (ax + b) = 0. c c
De esto se deduce que las soluciones x1 x2
a a
son:
b
x1 0 x2
a
Importante: en estos casos (1 y 2) puede utilizarse también la fórmula

general, que permitirá llegar al valor de las raíces de estas ecuaciones in-
completas. La ventaja de estas expresiones es que los cálculos son más
sencillos.
Actividad 11
a) 3x 2 5x 0 b) 4 x 2 10 26
c) x 2 x d) 25x 2 4 0
101
1.2.2. Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado
También es posible demostrar dos propiedades que verifican las raíces o so-
luciones de cualquier ecuación cuadrática.
Estas propiedades son:
Propiedad 1
La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al cociente
entre el opuesto del coeficiente del término de primer grado y el coefi-
ciente del término de segundo grado. Simbólicamente:
b
x1 x2
a
Propiedad 2
El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al cociente
entre el término independiente y el coeficiente del término de segundo
grado. Simbólicamente:
c
x1 x2
a
Veamos un ejemplo:
Dada la ecuación:
2x 2 6x 4 0
Donde:
a 2, b 6 y c 4
Y sus raíces son:

x1 2 y x2 1
Comprobemos que efectivamente se cumplen las propiedades:
b 6
x 1 x2 2 1 3 y 3 , se verifica la Propiedad 1
a 2
c 4
x1 x2 2 1 2 y 2 , se verifica la Propiedad 2
a 2
Actividad 12
Si la ecuación: 3x 2 b x 2 1 0 , tiene como raíces dos números que suma-

dos dan como resultado 6, ¿cuál es el valor de b?
Actividad 13
Si sabemos que 3 es una de las raíces de la ecuación: ax 2 5x 33 , obtener el

valor de a y de la otra raíz.
102
Actividad 14
Si contamos con la siguiente información de una ecuación cuadrática:

a 3 b 15 x1 4
determinar el valor de c y de la otra raíz.
Actividad 15
Completar la ecuación 2x 2 bx c 0 , determinando los valores de b y c, sa-

biendo que la suma de sus raíces es 2 y el producto es 4.
Actividad 16
En el siguiente ejercicio con múltiples alternativas, señalar la única alternativa

correcta, justificando la elección.
Si la ecuación ax 2 bx c 0 tiene como término independiente el valor 6 y
las raíces son x1 1 y x2 3 , los coeficientes a y b son:
a) a 2, b 2 b) a 2, b 8
c) a 2, b 8 d) a 8, b 8
1.3. Ecuaciones fraccionarias
Analicemos el siguiente problema:
“Un grupo de amigos contrata un ómnibus para viajar a un casamiento. El

importe total a pagar al propietario del ómnibus es $400, sin importar la
cantidad de pasajeros. Si deciden viajar 10 personas más de las inicialmente
interesadas, el precio para cada pasajero disminuye en $2. ¿Cuál es la
cantidad de pasajeros interesados originariamente?”
Definimos la incógnita:
x = número de amigos que iban a viajar originariamente.
Sabiendo que el importe total a pagar es $400, podemos indicar que el costo
por cada pasajero, ascendía a:
400
x
Al agregarse 10 pasajeros, el mismo costo se distribuye en más personas:

400
x 10
Por último, el ahorro individual debido al incremento en el número de pasa-

jeros es de $2, por lo tanto:
400 400
2
x x 10
103
Para resolver igualamos a cero:

400 400
2 0
x x 10
Obtenemos mínimo común denominador y resolvemos la suma algebraica:
400 x 10 400x 2x x 10 2x 2 20x 4000
0 0
x x 10 x x 10
Cuando en el planteo o en el proceso de resolución de un problema, arriba-

mos a una expresión como la anterior, estamos frente a una ecuación fraccio-
naria, que podemos caracterizar de la siguiente manera:
Una ecuación fraccionaria en una variable x es aquella que puede ser

expresada de la siguiente forma:
P (x )
0
Q( x )
donde P(x) y Q(x) son polinomios en x y Q(x) es distinto del polinomio
nulo.
Si observamos nuevamente la ecuación obtenida:
2x 2 20x 4000
0
¡Atención! x x 10
El valor de x que anula
al estar igualada a cero, es suficiente que el numerador del primer miembro
el numerador no debe
anular el denomina-
sea igual a “0”.
dor, ya que, en el con- Por lo tanto, bastará con encontrar las raíces de la ecuación cuadrática:
junto de los números
reales la división por 0 2x 2 20x 4000 0
no tiene solución.
que son:
x1 50 x2 40
Antes de afirmar que estas son soluciones de la ecuación fraccionaria, es ne-

cesario verificar que no anulen el denominador x (x + 10)
Remplazamos a x por x1
50( 50 10) 0
Hacemos lo mismo para x2

40 40 10 0
Así ambos valores son solución para la ecuación.

En este caso, y dada la naturaleza de nuestro problema, descartamos la solu-
ción -50 y podemos indicar que la cantidad de pasajeros que originalmente
integraban el contingente era de 40.

6 x 2 3
x 2
2x x 2 x
104
3
Igualamos a 0, restando en ambos términos :
x
6 x 2 3
0
x 2
2x x 2 x
Y resolvemos:
6 x x 2 3 x 2
0
x x 2
6 x 2 2x 3x 6
0
x x 2
x2 x
0
x x 2
Si analizamos el numerador observamos que tiene por raíces los valores 0 y

1.
Por otra parte, resulta que si x = 0 el denominador se anula:

0 0 2 0
Concluimos que únicamente 1 es solución de la ecuación fraccionaria plan-

teada.
Otra forma de trabajar con la ecuación:
x2 x
0
x x 2
es obteniendo factor común x en el numerador y denominador, y luego sim-

plificando:
x x 1
0 Aprovechando nues-
x x 2 tros conocimientos de
factoreo, hemos en-
Resolvemos la ecuación lineal del numerador, de donde surge que: contrado la misma so-
lución que al trabajar
x 1 0 x 1
con la ecuación cua-
Y este valor no anula al denominador. drática.
Para resolver una ecuación fraccionaria seguimos los siguientes pasos:

1. Igualamos la ecuación a 0.
2. Operamos hasta llegar a un único cociente de expresiones algebraicas.
3. Factorizamos y simplificamos, de ser posible, en el numerador y deno-
minador.
4. Determinamos la o las raíces del numerador.
5. Verificamos que dichas raíces no anulen el denominador. El valor de x
que anule el denominador, no será solución de la ecuación.
Actividad 17
105
2x 2 5x 3x b) x 6 2
a) 2
2
4x 1 2 x 1 x 1 4 x x 1 4 x
x2 1 d) 5 3
2
c) 1
x 1 x 1 x 1
3x 4 3x 5 12
e)
x 2 x 4 2
x 2x 8
Una vez visto el video, invitamos a identificar los pasos seguidos en el mismo
para la resolución de este tipo de ecuaciones.
Invitamos a ver un Pasos para resolver una ecuación fraccionaria:

video sobre el tema
1. ………………………………………………………………………………………………………………
en el Aula Virtual,
en recursos y Mate- …………………………………………………………………………………………………………………
riales del Capítulo 3. 2. ……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
3. ……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
4. ……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
Actividad 18
Plantear y resolver el siguiente problema:

¿Cuál es el número real, tal que su inverso más el cuadrado de su inverso es
igual a 6?
Actividad 19
7
27x
3 7 2
Resolver la siguiente ecuación:
1 5x 1
5x x x
3 3
Reflexionar: ¿cuál es o cuáles son las raíces de esta ecuación?
2. Sistemas de ecuaciones lineales

2.1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Al iniciar el capítulo planteamos el siguiente diálogo:

“Entre los dos tenemos $600”.
“Sí, pero yo tengo el triple que vos”.
Para determinar cuánto dinero tiene cada uno de los personajes, es posible
plantear una ecuación, simbolizando con x lo que posee de uno de ellos, y en
106
consecuencia el dinero correspondiente al otro se puede expresar como 3 x

(el triple).
De esta manera:
x 3x 600
Es decir, arribamos a una única ecuación con una incógnita.

No obstante, también podríamos haber definido dos incógnitas, donde cada
una de ellas es el importe que corresponde a cada uno de los personajes:
x y 600
En este caso hemos obtenido una ecuación lineal con dos incógnitas, donde x
representa el dinero que tiene el personaje 1 e y el importe que tiene el per-
sonaje 2.
Una ecuación lineal con dos incógnitas es aquella que tiene la siguiente
estructura:
ax by c
donde a, b y c son constantes, con a y b distintas de 0.
Si solo planteamos esta ecuación, x e y, pueden asumir distintos valores que

verifican la igualdad.
Por ejemplo:
x 220 y 380
O también:
x 25,50 y 574,50
Cada una de estas soluciones es una solución particular. Podemos encontrar

infinitas soluciones, debido a que tenemos dos incógnitas y hemos conside-
rado una única ecuación. Para obtener una solución general se despeja una
Cualquier solución
de las variables en función de la otra, esto es despejamos “x” en términos de particular se ob-
“y” o “y” en términos de “x”. tiene dando a “x”
un valor arbitrario.
En nuestro caso, despejamos “y” obteniendo la solución general:
y 600 x para todo x
Pero si tenemos en cuenta que un personaje le dice al otro:

“Sí, pero yo tengo el triple que vos”
ésto significa que hay una nueva ecuación a considerar:
y 3x
Por lo tanto, ya no tenemos una ecuación, sino que necesitamos utilizar dos
a los fines de expresar algebraicamente toda la información del problema, el
planteo correspondiente será:
x y 600
y 3x
Esto es lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales, en este caso

de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya definición es la siguiente:
107
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, responde a

la forma
ax by e
cx dy f
donde a, b, c, d, e, y f son constantes.
¿Cómo obtenemos la solución de un sistema de ecuaciones?

Para ello se han implementado numerosos métodos. Nosotros aplicaremos
uno de ellos, denominado Método por Sustitución.
El método por sustitución consiste en despejar de cualquiera de las ecuacio-
nes, una de las incógnitas, para luego sustituirla en la otra ecuación, obte-
niendo una ecuación lineal con una única incógnita, la cual una vez resuelta
nos permite obtener el valor de la otra incógnita mediante el simple reem-
plazo en alguna de las ecuaciones dadas.
Por ejemplo, consideremos el sistema del ejemplo anterior
x y 600
y 3x
en la segunda ecuación ya tenemos despejado el valor de y.

y 3x
Reemplacemos el segundo miembro de esta igualdad en la primera ecuación

por la incógnita y:
x 3x 600
Sumamos en el primer miembro:

4 x 600
obtendremos
600
x x 150
4
Para dar respuesta a nuestro interrogante también debemos encontrar el va-

lor de y, sustituyendo ahora en la segunda ecuación:
y 3x
y 3 150
y 450
Podemos afirmar, entonces, que el primer personaje tiene $150 y el otro

$450. En este ejemplo hemos encontrado una única solución a nuestro pro-
blema. La solución se puede expresar como un par ordenado, de la siguiente
forma:
(x, y) = (150, 450)
Al tener solución, se dice que el sistema es compatible, y al ser una única se
dice que es compatible determinado.
108
Un sistema de ecuaciones lineales se dice compatible determinado

cuando posee una única solución.
1
x 5y 3
2
2
3x y 4
3
En primer lugar, despejamos el valor de x en la primera ecuación, realizando
las siguientes operaciones:
Restamos 5y en ambos miembros de la igualdad:
1
x 5 y 5y 3 5y
2
y resolvemos en el primer miembro:
1
x 3 5y
2
multiplicamos por 2 en ambos miembros:
1
2 x 2 3 5y
2
simplificamos en el primer miembro y distribuimos en el segundo:
1
2 x 6 10y
2
de esta manera hemos despejado el valor de x en términos de y:
x 6 10y
Luego, sustituimos x, en la segunda ecuación, por la expresión que acabamos
de obtener:
2
3x y 4
3
x 6 10y
y entonces obtenemos una nueva ecuación:

2
3 6 10y y 4
3
En esta nueva ecuación tenemos una sola incógnita, y, por lo tanto, puede ser
resuelta como una ecuación lineal con una incógnita:
En primer lugar, distribuimos el 3 en el primer término del primer miembro:
2
18 30y y 4
3
restamos 18 en ambos miembros de la igualdad:
2
18 30y y 18 4 18
3
109
y resolvemos en ambos miembros:

2
30y y 22
3
En el primer miembro extraemos y como factor común:
2
30 y 22
3
resolvemos la suma:
90 2 88
y 22 y 22
3 3
3
multiplicamos ambos miembros por
88
3 88 3
y 22
88 3 88
simplificamos y resolvemos en cada miembro:

3
y
4
De esta manera hemos obtenido el valor de una de las raíces. Sustituimos
ahora en:
x 6 10y
el valor de y que acabamos de determinar:

3
x 6 10
4
simplificamos y multiplicamos:
15
x 6
2
resolvemos la resta:
3
x
2
Por lo tanto, podemos indicar que el sistema de ecuaciones:
1
x 5y 3
2
2
3x y 4
3
3 3
tiene solución y esta solución es única x , y = ,
2 4
Actividad 20
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
110
3 1
x 3y 1 2x y 2 x y
a) b) c) 2 2
3x 3y 1 0 x y 1 1
x 2y 3
2
Actividad 21
Plantear y resolver los siguientes problemas, sin olvidar definir las variables:
a) Dos empresas cordobesas han exportado 250 máquinas. Si la empresa A
vendió 12 máquinas más que la B, ¿cuánto es el total de máquinas exportadas
por cada empresa?
b) Una empresa tiene 18 empleados entre administrativos y operarios. El
sueldo de cada administrativo es $600 y el de cada operario es $700 y el total
pagado en sueldos del mes fue $12.100 ¿Cuántos administrativos y cuántos
operarios tiene la empresa?
c) Una empresa de transporte compró 4 colectivos modelo T y 2 modelo P,
con un costo total de 290 (miles de pesos). Un mes después compró 5 mo-
delo T y 1 modelo P abonando 295 (miles de pesos). ¿Cuál es el precio de
cada modelo en miles de pesos?
d) Un fabricante de alimentos para cerdos mezcla dos ingredientes, A y B,
para obtener el producto, en una proporción de tres kilogramos del primero
por un kilogramo del segundo. Si el precio de A es de $40 por kilo y el de B es
de $30. ¿Cuántos kilogramos de cada ingrediente deben adquirirse si se
cuenta con $4.500?
e) La cantidad de tractores vendidos por una fábrica en el año 2007 fue un
20 % mayor que en el año 2006. Se conoce que el total de los dos años
representa el triple del número de tractores vendidos en el año 2006, menos
100. Determine la cantidad de tractores vendidos en los años 2006 y 2007.
f) Una persona invierte $30.000 durante 6 meses, una parte en bonos y el
resto en acciones. Al final del plazo, los bonos redituaron un 4 % de ganancia,
y aunque las acciones arrojaron una pérdida del 5 %, el inversor obtuvo una
ganancia de $390. ¿Cuánto invirtió en bonos y cuánto en acciones?
Puede suceder que algunos sistemas de ecuaciones tengan más de una solu-
ción o que no la tengan.
3x 7 y 16
7 4
y 4 x
3 3
Al resolver un sistema, es más sencillo despejar aquella variable que tenga en

alguna de las ecuaciones coeficiente igual a 1, (siempre que ello sea posible)
como sucede con x en la segunda ecuación. Comenzamos allí,
7 4
y 4 x
3 3
111
despejamos el valor de x:
7 16
x y
3 3
Luego sustituimos x en la primera ecuación y operamos:

7 16
3 y 7y 16
3 3
Cuando en el proceso
de resolución hemos 7 16
3 y 3 7 y 16
considerado todas las 3 3
ecuaciones y llegamos a
una identidad, diremos 7 y 16 7 y 16
que el sistema tiene in-
finitas soluciones. 7y 7y 0
0y 0
Como podemos observar, cualquier valor de y verifica esta igualdad, pues

cualquier número multiplicado por 0 da por resultado 0 y esto indica que
estamos en presencia de un sistema que admite infinitas soluciones. Llama-
remos a este tipo de sistema compatible indeterminado.
Un sistema de ecuaciones lineales se dice compatible indeterminado

cuando posee infinitas soluciones.
En este caso, existen infinitos pares ordenados que son soluciones del sis-
tema. Para determinarlos podemos darle a la incógnita y un valor cualquiera
y determinar el valor de x, a través de
7 16
x y
3 3
En particular, si y asume el valor 3, x será:
7 16 16 37 37
x 3 x 7 x por lo tanto, ; 3 es una solución.
3 3 3 3 3
Si y asume el valor 1, x será:

7 16 7 16
x 1 x por lo tanto, 3; 1 es una solución.
3 3 3 3
37
Estos dos pares, ; 3 y 3; 1 son dos de los infinitos pares de números
3
reales que son solución de este sistema de ecuaciones.
Recordando la expresión que obtuvimos al despejar x, podemos plantear la
solución general de este sistema como:
7 16
y ; y donde y
3 3
Alternativamente, es posible expresar la solución general en términos de x:

16 3
x ; x donde x
7 7
112
En este caso le daremos valores reales a x y determinaremos los valores de y

que permitan formar pares de solución del sistema de ecuaciones.
Actividad 22
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1
3x y 1 y 2x y 2
3
a) 2 1 b)
x y 1 1 1
3 3 x y
2 12 2
Por último, analicemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1
x 8y 5
2
3 3
24 y x
2 2
Despejamos el valor de x en la primera ecuación:
x 2 5 8y x 10 16y
Sustituimos en la segunda ecuación:

3 3
24 y 10 16y
2 2
Resolvemos:
3 3 Cuando en el proceso
24 y 15 24 y 0y 15
2 2 de resolución de un
sistema de ecuacio-
Como podemos observar no existe valor de y que verifique esta igualdad, con nes arribamos a una
lo cual el sistema no admite solución y se denomina incompatible. contradicción, el sis-
tema no admite solu-
Un sistema de ecuaciones lineales se dice incompatible cuando no posee ción.
solución.
En resumen, podemos clasificar cualquier sistema de ecuaciones, de acuerdo

al tipo de solución obtenido de la siguiente manera:
Determinado
(una única solución)
Sistema Compatible
(Tiene solución)
Indeterminado
Sistema de (infinitas soluciones)
Ecuaciones
Sistema Incompatible
(No tiene solución)
Actividad 23
Resolver y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones:
113
5 1 5
1 x y
2 x 5y 29 7x y 2 2 4 2
a) b) 2 c)
2 x 5y 1 1
2x 5y 14 5x y 5
2
Actividad 24
Analizar el siguiente problema e indicar la alternativa correcta en cada caso:

Hace 10 años, Fabián tenía el doble de la edad de Marianela. En la actualidad
su diferencia es solo de 6 años. Si indicamos con x la edad de Fabián e y a la
edad de Marianela:
I. El planteo del problema en ecuaciones debe ser:
1 1
x y x 10 y 10
a) 2 b) 2
x y 6 x y 6
x 10 2 y 10 x 10 2 y 10
c) d)
x 6 y x 6 y
II. Una vez resuelto el problema, podemos indicar que las edades son:
a) Fabián 22 años y Marianela 16 años
b) Fabián 12 y Marianela 6
c) El problema tiene infinitas soluciones
d) El problema no tiene solución
3. Inecuaciones
3.1. Generalidades
Es común que en nuestra vida cotidiana nos expresemos haciendo uso de

afirmaciones parecidas a las siguientes:
“En el parcial de Introducción a la Matemática voy a obtener por lo menos
un 7”.
“El número de alumnos inscriptos al curso de nivelación es superior a
2.000”.
“Gastaré a lo sumo $100 en un nuevo pantalón”.
“El candidato a Intendente ganó con un porcentaje mayor al 40 % de los
votos”.
“Voy a tardar entre 30 y 45 minutos en llegar”.
Estas y otras situaciones más complejas que relacionan cantidades conocidas
y desconocidas pueden ser expresadas a través del uso de inecuaciones:
114
EXPRESIÓN
SITUACIÓN INCÓGNITAS
SIMBÓLICA
En el parcial de Introducción a “x” es la calificación del parcial

la Matemática voy a obtener x 7 de Introducción a la Matemá-
por lo menos un 7 tica
El número de alumnos ins- “x” es el número de alumnos

criptos al curso de nivelación x 2000 inscriptos al curso de nivela-
es superior a 2.000 ción
El candidato a Intendente
“x” es el porcentaje de votos
ganó con un porcentaje mayor x 40%
obtenido por el candidato
al 40 % de los votos
Voy a tardar entre 30 y 45 mi- 30 x 45 “x” es la cantidad de minutos

nutos en llegar que tardaré en llegar
Gastaré a lo sumo $100 en un

x 100 “x” es el precio del pantalón
nuevo pantalón
Podemos observar que en todas estas expresiones simbólicas se presentan

relaciones de desigualdad.
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se

verifica para algunos valores de sus letras, a las que denominamos incóg-
nitas
Al igual que en el caso de ecuaciones, nuestro objetivo será plantear adecua-

damente inecuaciones y determinar el conjunto de valores de las incógnitas
que verifican la desigualdad, y que se denomina conjunto solución.
Para poder encontrar el conjunto solución de una inecuación será necesario
conocer el conjunto de referencia.
Analicemos el primer ejemplo:
“En el parcial de Introducción a la Matemática voy a obtener por lo menos un

7”.
¿Cuáles son las soluciones posibles?
Las calificaciones que pueden obtenerse son 7, 8, 9 y 10, por lo tanto, el con-
junto de soluciones es:
{7, 8, 9, 10}
En este caso se trata de un subconjunto que pertenece al conjunto de los
números naturales.
Otro de los ejemplos expresa: “Voy a gastar a lo sumo $100 en un nuevo pan-
talón”.
El precio no necesariamente asumirá el valor de un número natural, puede,
por ejemplo, ser $44,99. Tampoco será un precio negativo, y difícilmente nos
lo den en forma gratuita, por lo tanto, podríamos afirmar que el precio del
pantalón (x) será:
0 x 100
115
En este caso no podemos enumerar todos los precios posibles ya que estamos
proponiendo como solución un subconjunto de los números reales y,
recordemos, es imposible enumerarlos correlativamente.
Cuando debamos indicar el conjunto solución de una inecuación, y la misma
corresponda al conjunto de los números naturales, la solución podrá expre-
sarse enumerando todos los elementos:
{7, 8, 9, 10}
o dejando indicado de la siguiente manera:
{2001, 2002, 2003, …}

Dejamos puntos sus-
pensivos cuando el Cuando el conjunto solución corresponda a un subconjunto de los números
conjunto sea lo sufi- reales, no es posible expresarlo de la misma manera que para los números
cientemente grande o
naturales. En estos casos deberemos utilizar la notación de intervalos.
imposible de comple-
tar su enumeración.
3.2. Notación de Intervalos
Los intervalos se clasifican en intervalos cerrados, intervalos abiertos e inter-

valos semiabiertos.
Dados dos números reales a y b, y donde a < b, se define el intervalo

cerrado [a, b] como el subconjunto formado por todos los números reales
que sean mayores que a, incluyendo al valor a, y a su vez, menores que b,
incluyendo el valor b.
Por ejemplo:
Para describir los números reales que cumplen la condición: 1 x 4 el in-

tervalo cerrado correspondiente es [ 1, 4].
El intervalo [a, b] incluye los valores de a y b.
Dados dos números reales a y b, y donde a < b, se define el intervalo

abierto (a, b) como el subconjunto formado por todos los números reales
que sean mayores que a y menores que b.
Por ejemplo:
Para describir los números reales que cumplen la condición:

1 x 4
el intervalo abierto correspondiente es ( 1, 4)

Al intervalo (a, b] se lo denomina intervalo semiabierto por izquierda ya que
no incluye el valor de a, e incluye el valor de b.
Al intervalo [a, b) se lo denomina intervalo semiabierto por derecha ya que
incluye el valor de a, y no incluye el valor de b.
116
3.3. Resolución de inecuaciones
Para encontrar el conjunto solución de una inecuación con una sola incógnita
elevada a la potencia uno, seguiremos un procedimiento similar al realizado
para obtener la solución o raíz de una ecuación lineal, intentaremos encontrar
expresiones más sencillas a través de operaciones algebraicas.
Para resolver una inecuación, las operaciones que podremos realizar son:
1. Sumar algebraicamente a los miembros de la desigualdad la misma
expresión.
2. Multiplicar o dividir a los miembros de la desigualdad por una cons-
tante no nula.
Si el factor o el divisor es un número negativo, deberá invertirse el sen-
tido de la desigualdad.
Analicemos la siguiente inecuación:

x 3 8
Para despejar x debemos eliminar el 3 del primer miembro. Para ello restamos
3 en ambos miembros:
x 3 3 8 3
x 5
Es posible graficar el conjunto solución y dado que hay una sola incógnita nos
bastará con señalar este conjunto sobre la recta real.
Usando x = 5 de referencia, remarcaremos todos los puntos a la izquierda del
valor 5. Destaquemos que para indicar que 5 no pertenece a este conjunto se
suele usar un paréntesis, como se ve en el siguiente gráfico.
| )
0 5
Es decir que la solución está dada por todos los números reales menores que
5. Si utilizamos la notación de intervalos, en este caso la solución es una se-
mirrecta que puede expresarse como un intervalo abierto que simbolizamos:
,5

2x 7 13 4x
Restamos 7 en cada miembro de la inecuación, obteniendo:

2x 6 4x
Sumamos 4x en cada miembro:

2x 6
Dividimos por 2 en ambos términos:
x 3
117
El conjunto solución de esta ecuación está formado por todos los números
reales mayores que 3.
En la recta:
| (
0 3
En notación de intervalo se simboliza 3,
Por último, analicemos la siguiente inecuación:

8 3x 4
Restamos 8 en ambos miembros:

3x 12
Dividimos por -3 en ambos miembros. Al dividir por un número negativo, se
altera el sentido de la desigualdad:
x 4
Gráficamente:
| ]
0 4
También puede expresarse con el intervalo: ,4
Actividad 25
Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

x
a) 1 2x 2x 5 b) 5 3 2x
2
x 1 x 4 2 3x
c) 2 x d)
2 3 3
Para resolver las siguientes actividades, recordemos la relación entre el valor

del discriminante y las soluciones de una ecuación de segundo grado.
Actividad 26
Determinar el valor de b, para que la ecuación 4 x 2 bx 1 0 no tenga solu-

ción real.
Actividad 27
En el siguiente ejercicio con múltiples alternativas, señalar la única alternativa

correcta, justificando la elección.
Para que la ecuación ax2 4x 3 0 , tenga dos soluciones reales y distintas,

el valor de a debe ser:
118
4 4
a) a b) a
3 3
4
c) a 4 d) a
3
En algunas situaciones, al plantear dos inecuaciones, es posible arribar a una

desigualdad que las involucre simultáneamente. Veamos el siguiente pro-
blema:
La factura del servicio domiciliario de gas natural está dividida en un abono
fijo de $130 y el resto se determina de acuerdo al consumo, a razón de $3,10
por m3 consumido. ¿Cuál será el consumo de una familia, si esta paga impor-
tes mensuales comprendidos entre $223 y $905?
Si definimos a x como el consumo mensual de gas en m3, podemos expresar
que:
223 130 3,10x 905
Donde el importe total de la factura se obtiene de sumar el abono más el

consumo por su precio unitario:
130 3,10x
En este caso, el símbolo indica que el importe de la factura puede asumir

esos valores indicados como valores extremos.
Para resolver, restamos 130 en todos los miembros de la desigualdad:
93 3,10 x 775
Dividimos por 3,10

30 x 250
Con esta información podemos afirmar que el consumo de gas la familia se

encuentra entre los valores 30 m3 y 250 m3.
Siendo el intervalo, cerrado en este caso, el siguiente:
30, 250
Actividad 28
Plantear el siguiente problema, encontrar la solución y expresar en notación

de intervalo:
Una empresa se dedica a la fabricación de una línea de detergentes para el
hogar. En el proceso de producción se incurre en un costo diario de $500 para
iniciar el proceso y $0,80 por litro de detergente fabricado. Si el gerente de
finanzas de la empresa ha establecido que se gaste diariamente entre $1.000
y $1.200 en dicha producción ¿cuáles son los litros de detergente que se po-
drán producir?
Inecuaciones y valor absoluto
Es posible plantear inecuaciones utilizando el valor absoluto de un número y

expresando el conjunto de soluciones como un intervalo.
119
Comencemos con un ejemplo sencillo:

x 4
Recordando el concepto de valor absoluto visto en el Capítulo 1, podemos

afirmar que, la inecuación propuesta corresponde a todos los x cuya distancia
al 0 es menor o igual que 4.
Gráficamente corresponde a un segmento de longitud 4 a la izquierda del “0”
unido a otro segmento de la misma longitud a la derecha del “0”.
[ | ]
-4 0 4
Este segmento de recta se puede describir como:

4 x 4
Finalmente, podemos expresarlo como intervalo:

4, 4
También es posible encontrarnos con un planteo como el siguiente:

x 4
Esto indica que son los números reales cuya distancia al “0” es mayor o igual
a 4. Para este tipo de situaciones será necesario plantear dos inecuaciones:
x 4 ó x 4
Lo que indica que x debe satisfacer una condición o la otra, pero no ambas
condiciones simultáneamente.
En estos casos también necesitamos utilizar la unión de dos intervalos para
expresar el conjunto solución:
, 4 4,
Analicemos otro ejemplo:
Un relevamiento realizado en una empresa autopartista indica que el nivel

de ausentismo anual del personal varía de acuerdo a la siguiente expresión:
x 4
2
3 3
Donde x representa la cantidad de inasistencias por empleado por año. En

base a esta información se quiere determinar entre que valores se encuentra
el nivel de ausentismo del personal.
Para obtener la solución, expresemos la condición planteada como una
inecuación con tres miembros:
4 x 4
2
3 3 3
120
Operamos:
2 x 10
3 3 3
2 x 10
Podemos indicar que la cantidad de inasistencias por empleado por año varía
entre 2 y 10.
En notación de intervalos:
2, 10
Actividad 29
Resolver y expresar en notación de intervalos:

Un estudio estadístico revela que el nivel de ventas x de una pequeña em-
presa (expresado en miles de unidades), tiene una variación anual dada por
la siguiente expresión:
x
1,5 1
2
¿Bajo esta condición, entre que valores varía el nivel de ventas anualmente?
b) Una revista médica establece que los niveles de colesterol en sangre x son
considerados anormales cuando cumplen la siguiente condición:
x 180
4
5
Se desea determinar explícitamente los niveles de colesterol en sangre que

se consideran anormales.
c) Un investigador informa que los cálculos efectuados en un experimento,
están sujetos a errores de medición “x” (expresados en milímetros), que va-
rían de acuerdo a la siguiente expresión:
x
0,5 1
4
¿Bajo esta condición, entre que valores varían los errores de medición?
Actividad 30
Resolver las siguientes inecuaciones, que involucran valor absoluto:

a) 3 x - 2 < 5 b) 2 x + 2 < 8
x 4
c) 3 x < 0 d) 2
5
Actividad 31
Resolver las siguientes inecuaciones:

a) x + 2 > 5 b) 5 x - 2 > 8
121
2x 1
c) 3 x > 0 d) 3
2
Finalmente, establezcamos como resolver inecuaciones donde la incógnita

está elevada al cuadrado.
Sea, por ejemplo, la inecuación:
x2 < 9
En situaciones como estas, debemos trabajar de manera semejante a como
procedimos con valor absoluto, es decir teniendo en cuenta que existen tanto
valores positivos como negativos que verifican la desigualdad.
Si nos preguntamos ¿Qué valores de x elevados al cuadrado son menores que
9?
Resultará que x debe cumplir la condición:
x 9
pero también es necesario que:

x 9
Ambas condiciones pueden expresarse de manera simultánea:
9 x 9
Finalmente, los valores de x que verifican la inecuación están reflejados en la

siguiente condición:
-3 < x < 3
Cuya expresión en notación de intervalos es:
3, 3
Podríamos preguntarnos qué sucede si la expresión es:

x2 9
En tal caso corresponderá considerar que:
x 9 ó x 9
que al resolver podemos expresar como:

x 3 ó x 3
O en notación de intervalo:
, 3 3,
Actividad 32
En el Aula Virtual, en la
Resolver las siguientes inecuaciones:
sección Recursos y Ma-
teriales, encontraremos
a) (x + 1)2 < 16 b) (2 x )2 81
un resumen del capí-
2 2
tulo. c) (2x - 2) 64 d) (3 x –3 ) > 25
122
Proponemos resolver los siguientes ejercicios que pretenden integrar todo lo
aprendido en este capítulo.
Ejercicio 1

1 x2 1 3
a) b) 2 x 1 x 1 x2 3 x 1 x 2 3
x 3 x 2
9 x 3
x x x
c) x 2 8x 0 d) a b c;
bc ca ab
(a, b y c constantes)
1 1 x 1 x 1
e) 0 f) x 2
x x 1 x 2
x 2
x 2 x 1 1
g) 1 3x
3 3 h) 2 2x 4 1 x
2 2 2
i) 2x 2 8 j) x 2 8x 9 0
2 2 4 15x x 2 l) 2 x 2 1 3x 5 4 x 2 2x 2
k)
2x 1 2x 1 4x 2 1
Ejercicio 2

a) Un ganadero compró 1.000 vacas a $150 cada una. Vendió 400 obte-
niendo una ganancia del 25 %. ¿A qué precio deberá vender las restantes si la
utilidad promedio del lote completo debe ser del 30 %?
b) Del total de ventas del día de ayer en un supermercado, un 25 % se cobra-
ron con tickets de compra, 2/3 del resto con tarjetas de débito y $22.000 en
efectivo ¿A cuánto ascendió el importe de venta total?
c) Una empresa compró 4 taladros y 2 amoladoras por $1.400. Otra empresa
compró en el mismo comercio 5 taladros y una 1 amoladora por $1.300. ¿Cuál
es el precio de un taladro y cuál el de una amoladora?
d) Nicolás tiene en su billetera igual cantidad de billetes de $5 que de billetes
de $20 y quiere comprarse un pantalón. Si usa todos los billetes de $20 le
sobran $30 y si usa solamente los billetes de $5 le faltan $75. ¿Cuántos bille-
tes de $5 tiene? ¿Cuál es el precio del pantalón?
e) Cuando construyó su casa, el propietario tenía 30 años. Dentro de 2 años,
la edad del propietario será el triple de la antigüedad de la casa. ¿Cuántos
años tiene el propietario hoy?
123
Ejercicio 3
Resolver y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones:

1 1
2x 3y 5 x y 2
2x y 4 3 4
a) b) 3 c)
2x 1 5y x y 3 1 1
2 x y 7
4 2
Ejercicio 4
Resolver:
La producción de carne vacuna estimada para el corriente año en Argentina
(expresada en miles de toneladas) está dada por la siguiente expresión:
x 80 < 37
Siendo x la producción de carne vacuna estimada (en miles de toneladas),
determinar el intervalo dentro del cual variará la producción.
Ejercicio 5
Resolver y expresar a través de la notación de intervalos:
a) (3 x + 3)2 144 b) (2 x + 1)2 49

1 x 2x 8
c) 4 x 1 d) 3 1
2 2 3
3x 5
e) 2 1
3
Ejercicio 6
Completar:
a) Si la ecuación ax 2 2x 2 0 , posee dos raíces reales e iguales a 2, el
valor de a es ………………..
b) En la ecuación 2x 2 bx 3 0 , una de sus raíces es igual a 1, y el valor de
b es ………………..
c) En la ecuación x 2 5x c 0 una de sus raíces es igual a 2, y el valor de c
es ………………..
Ejercicio 7
Completar:
a) Para que la ecuación ax2 6x 9 0 tenga dos raíces complejas y conjuga-
das, a debe ser ………………..
b) Para que la ecuación 2x 2 x c 0 tenga dos raíces reales e iguales, c
puede asumir valores ………………..
124
c) Para que la ecuación 2x 2 bx 2 0 tenga dos raíces complejas, b debe

asumir valores ………………..
d) Para que la ecuación x 2 bx 9 0 tenga dos raíces reales y distintas, b
puede asumir valores ………………..
Ejercicio 8

a) A un grupo de 22 personas se les asignan 70 tareas. Las tareas se han cla-
sificado en dos categorías: A y B. Debido a esto se las han repartido de modo
tal que cada persona del grupo tiene asignado o 4 tareas de categoría A o 2
de categoría B, cubriendo exactamente el total. ¿Cuántas tareas de cada ca-
tegoría se les ha asignado al grupo?
b) José‚ cobró por cierto trabajo el doble de lo que tiene su esposa María
ahorrado, pero si le da $10 a su esposa tendrá $6 más que el total de María.
¿Cuánto cobró José‚ y cuánto tenía ahorrado María?
c) Una entidad de educación privada ha invertido en los últimos tiempos
$18.000 anuales entre publicidad televisiva y gráfica. Para el próximo año se
considera que debe reducirse lo asignado a TV. de modo que el gasto en el
mismo disminuya un 10 %. Dado que la publicidad gráfica, ha tenido muy
buena respuesta se piensa intensificarla, con un aumento en su costo igual al
5 %. Se conoce que se gastará un monto total de $17.400. ¿De cuánto será la
inversión en cada tipo de publicidad para el próximo año?
d) Dos choferes de colectivos especiales, se disponían a empezar un viaje ha-
cia el mismo destino. El primero dijo al segundo: Si trasbordaras 5 pasajeros
a mi vehículo, mi colectivo llevaría el doble de pasajeros que el tuyo, en cam-
bio si te cediera 5 pasajeros llevaríamos la misma cantidad. ¿Cuántos pasaje-
ros llevaba cada colectivo?
Ejercicio 9

de la afirmación y justificar adecuadamente.
a) La ecuación (x – 4)2 – (x –2)2 = 0 es equivalente a la ecuación –12 x = –36.
2x 1
b) La ecuación tiene por raíces los valores 3 y 0.
x 2
2x x 1
x
c) La solución a la inecuación 1,5 1 en notación de intervalos se puede
2
expresar como [ 3; 3]
d) En un local de ventas se ha ocupado la cuarta parte de su superficie con
estanterías y la tercera parte con vitrinas y mostradores. Si la superficie libre
es inferior en 100 m2 a la superficie ocupada, entonces la superficie del salón
es de 600 m2.
125
Ejercicio 10

nativa correcta, justificando la elección.
6x 3 2x 1
I) Resolviendo la ecuación , se obtiene:
x 3 x2 3x x
a) Una única solución
b) Ninguna solución.
c) Dos soluciones.
d) Infinitas soluciones.
e) Todas las afirmaciones anteriores son incorrectas.
II) La ecuación x2 + b x + 4 = 0 no tiene raíces reales si y solo si:
a) b ( , 4)
b) b ( 4, 4)
c) b [ 4, 4]
d) |b| ≥ 4
e) |b| = 4
Ejercicio 11
a) Se conoce que uno de los lados de un predio rectangular mide 20 metros

menos que el doble del otro lado. La diagonal que lo atraviesa mide 50 m.
En el Aula Virtual
se encuentra una Con esta información, indicar la longitud de cada lado. (Si se tiene dificultad
Autoevaluación para resolver este ejercicio, recordar el teorema de Pitágoras).
que recomenda-
mos realizar.
b) Dentro de tres años, la edad de Romina será la mitad del cuadrado de la
edad que tenía hace 9 años. ¿Cuál es la edad de Romina hoy?
Respuestas a las actividades

y ejercicios Capítulo 3
Actividad 1
ENUNCIADO EXPRESIÓN SIMBÓLICA INCÓGNITA

a) El número de em- x número de em-
pleados del área de pleados del área de
producción es el doble producción
x 2y
del número de em- y número de em-
pleados administrati- pleados administrati-
vos vos
b) El precio de venta
de un artículo es de
25
$540 y se obtiene de x x 540 x precio de compra
agregarle a su precio 100
de compra un 25 %
126
ENUNCIADO EXPRESIÓN SIMBÓLICA INCÓGNITA

c) La edad de Claudio x edad de Claudio
es igual al cuadrado de y edad de una de las
2
la suma de las edades x y z 5 hijas de Claudio
de sus 2 hijas, más cin- z edad de la otra
co años hija de Claudio
d) Del total de opera-
ciones de venta reali-
zadas en un comercio
en un día, un tercio se
1 20 1 x número de opera-
realizaron con tarjeta
x x x x 240 ciones de venta reali-
de débito, el 20 % de 3 100 3
zadas
las restantes con tar-
jeta de crédito y 240
operaciones se realiza-
ron en efectivo
e) El producto de tres
números naturales
x x 1 x 2 336 x es un número
consecutivos es igual natural
a 336
Actividad 2
a) si b) no c) no d) si e) si
Actividad 3
3 11
a) x b) x = 0 c) x d) z = 1
19 4
e) x = 2 f) u 1 g) y 2
Actividad 4
1 3 3
a) 200 200 x 200 , x = 55 cm c) 230.000
8 5
1 25 1
b) x x x 18 x , x = 36 d) 800
3 100 3
Actividad 5
a) No tiene solución b) Infinitas soluciones

c) Infinitas soluciones d) No tiene solución
Actividad 6
a b c
a) 2 4 3
127
a b c
8
b) 3 9
3
37
c) 1 3
5
d) 3 3 0
Actividad 7
Cuadráticas: c) y e) Lineales: a), b) y d)
Actividad 8
a) x1 1 y x2 3 b) x1 x2 3
7
c) x1 1 y x2 d) x1 2 2 i y x2 2 2 i
3
9 17 9 17 3 1
e) x1 y x2 f) x1 y x2
4 4 2 3
3 3 10 10
g) x1 1 i y x2 1 i h) x 1 2 y x2 2
3 3 2 2
i) x1 x2 1 j) x1 5 y x2 11
Actividad 9
|b| = 4
Actividad 10
a), b), c) V d) F
Actividad 11
5
a) x 1 0 x2 b) x1 2 x2 2
3
2 2
c) x1 0 x2 1 d) x 1 x2
5 5
Actividad 12
b 18
Actividad 13
11
a 2 y x2
2
128
Actividad 14
c 12 y x2 1
Actividad 15
2x 2 4 x 8 0
Actividad 16
Opción b)
Actividad 17
1
a) x b) x1 2 x2 4
4
c) x 0 d) x1 0 x2 4
e) No tiene solución
Actividad 18
1 1
Planteo: 6
x x2
1 1
Soluciones: x 1 ,x
2 2 3
Actividad 19
Cuando en el proceso de resolución de una ecuación fraccionaria igualada a

0 obtenemos una constante distinta de 0 en el numerador y un polinomio en
el denominador, la ecuación no tiene solución, pues ningún valor de x verifi-
cará la ecuación planteada.
Actividad 20
1
a) x 0 y b) x 3 y 4 c) x 2 y 1
3
Actividad 21
a) x = Número de máquinas exportadas por la empresa A

y = Número de máquinas exportadas por la empresa B
x y 250
x y 12
La empresa A exportó 131 máquinas y 119 la empresa B
b) x = Número de empleados administrativos
y = Número de operarios
129
x y 18
600 x 700 y 12.100
5 empleados administrativos y 13 operarios.
c) Precio del modelo T = $50.000; Precio del modelo P = $45.000
d) A 90 kg y B 30 kg
e) Año 2006 = 125; Año 2007 = 150
f) $21.000 en bonos y $9.000 en acciones
Actividad 22
2 1
a) Sistema compatible indeterminado y ; y para todo y
3 3
b) Sistema compatible indeterminado x ; 6 6 x para todo x
Actividad 23
a) Sistema incompatible
1
b) x y y 3
2
1
c) Sistema compatible indeterminado; (x, y) = 1 y; y
10
Actividad 24
I. c) II. a)
Actividad 25
16
a) ,1 b) ,
5
5 3
c) , d) ,
3 2
Actividad 26
4<b<4
Actividad 27
Opción d)
Actividad 28
1.000 0,80x 500 1.200

625, 875
130
Actividad 29
a) 1.000, 5.000 b) , 160 200, c) 2, 6
Actividad 30
7
a) 1, b) 5, 3 c) d) 14, 6
3
Actividad 31
6
a) , 7 3, b) , 2,
5
5 7
c) ,0 0, d) , ,
2 2
Actividad 32
9 9
a) 5, 3 b) ,
2 2
2 8
c) , 3 5, d) , ,
3 3

Ejercicio 1
a) x1 1 y x2 5 b) x 2 c) x1 0 y x2 8
1
d) x abc e) x f) x 3
3
g) Infinitas soluciones h) No tiene solución i) x1 2 y x2 2
9
j) x1 1 y x2 9 k) x1 0 y x2 15 l) x
7
Ejercicio 2
a) $200 b) $88.000
c) Taladro = $200 d) x = número de billetes de $5
Amoladora = $300 y = número de billetes de $20
x y
e) 43 años
5x 75 20y 30
x, y 7,7
El precio del pantalón es $110
131
Ejercicio 3
7 1
a) x, y ; b) sistema incompatible c) x , y 12; 8
4 2
Ejercicio 4
43.000, 117.000
Ejercicio 5
a) 5, 3 b) , 4 3,
2
c) , d) 1, 2
7
14 8
e) , ,
3 3
Ejercicio 6
1
a) a b) b 5 c) c 6
2
Ejercicio 7
1
a) a 1 b) c
8
c) 4 b 4 d) b 6 o b 6
Ejercicio 8
a) 52 tareas A y 18 tareas B
b) José cobró $52 y María $26
c) $9.000 publicidad televisiva y $8.400 de publicidad gráfica
d) 35 y 25 pasajeros
Ejercicio 9
a) Verdadera
b) Falsa. La ecuación tiene una única solución
c) Falso, el intervalo es 1, 5
d) Verdadera
Ejercicio 10
I) Opción a)
II) Opción b)
132
Ejercicio 11
a) La longitud de uno de los lados es de 30 m y la del otro 40 m.

b) Romina tiene 15 años.
1º Autoevaluación
Aquí encontraremos ejercicios mezclados de los temas a evaluar en el primer
parcial. Al final, hallaremos los detalles de las correspondientes resoluciones.
Esperamos que sea de mucha utilidad.
1) Resolver:
1
2 5 3
82 1 1 1 2 1 2
a) 2 2
2 2 4
2 2 0
1 3 5 4 8
b) 3
27 4 20
5
2) Sabiendo que la diferencia entre dos polinomios es igual a: 2x3 – x2 + 4x +5
y que el minuendo es igual a x5 –2x3 + 3x2 – 2x, obtener el polinomio sus-
traendo.
3) Resolver previo factorización y simplificación:
5p2 3p 8 x 3 125
2x 2 10x 50 5px 25p 3x 15

4) Encontrar la descomposición factorial del polinomio:
q x 6 x 3 6 x 2 12 x
5) Resolver la siguiente ecuación lineal:
x 2 x 1
x
3 2
6) Plantear y resolver el siguiente problema:
El ganador de la lotería invirtió el 40 % de lo ganado en un negocio, el 50 %
del resto lo gastó en esparcimiento. Si luego de efectuar estos movimientos
observa que aún le queda $90.000, ¿cuál fue el monto ganado en la lotería?
7) Resolver la siguiente ecuación fraccionaria:
6 x 2 3
x 2x x 2 x
2
8) Plantear y resolver el siguiente problema:

Un piloto novato lleva acumulados 600 minutos de vuelo en 15 viajes. Los
vuelos de práctica realizados son de dos tipos, los de tipo A de 60 minutos y
los de tipo B de 30 minutos. Con esta información será posible determinar
cuántos vuelos de cada tipo ha realizado el piloto.
133
Soluciones 1° autoevaluación
1)
a) En el primer término, resolvemos el radicando, aplicando propiedades de
la potenciación:
8
2 5 2 5 8
8 2 1.
1 1 1 1 1 1 1 8 1
. 8 . . 8
2 2 2 2 2 2 2 2
En el segundo término empleamos otra de las propiedades de la potenciación:
3
2
2 26 64
En el tercer término, resolvemos:

1 1
1 2 1 8 2 9 9 3
2
4 4 4 4 2
Finalmente:
1
2 5 3
82 1 1 1 2 1 2 1 3
2 2 64 62
2 2 4 2 2
b) Resolvemos cada uno de los términos:
3 1 1
Primer término:
27 3
2 2 10 6 4
3 5 15 15 4 5 4 1 1
Segundo término:
4 4 4 15 4 3 4 3
5 5 5
En el tercer término, al tratarse de una potencia de exponente 0 y base dis-
tinta de 0, el resultado es 1:
0
4 8
1
20
Por lo tanto:
2 2 0
3 1 3 5 4 8 1 1
1
1 1 3 1
27 4 20 3 3 3 3
5
2) En ocasiones puede ser conveniente darles nombre a los polinomios, por

ejemplo, en este caso llamemos M(x) al polinomio minuendo, S(x) al sus-
traendo y D(x) a la diferencia donde: M x x 5 2 x 3 3x 2 2 x , S(x) es des-
conocido y D x 2x 3 x2 4x 5 .
Sabemos, de acuerdo al enunciado, que:
M x S x D x
Como nuestro objetivo es determinar S(x), procedemos a despejar de la ex-
presión anterior:
134
S x D x M x S x M x D x
Una vez que tenemos claro cómo obtener S(x), procedemos a reemplazar a
M(x) y a D(x):
S x x 2x 3x 2 2 x
5 3
2x 3 x 2 4x 5
Efectuamos la suma algebraica de los monomios semejantes y obtenemos el
polinomio sustraendo.
S x x5 4x3 4 x 2 6x 5
3) Leemos la consigna y luego observamos las expresiones involucradas para

ver si es factible su factoreo.
En el numerador y en el denominador de la primera fracción es posible sacar
factor común. Mientras que en la segunda fracción podemos aplicar el 6º caso
de factoreo al numerador, y en el denominador factor común por grupos.
p(5p 3) 8(x 5) (x 2 5x 25)
2(x2 5x 25) 5p(x 5) 3(x 5)
A continuación, simplificamos (por ejemplo, 8 puede ser simplificado con 2,
al igual que la expresión (x2 + 5x +25) que está tanto en el numerador como
en el denominador)
4
p (5p 3) 8 (x -5) (x 2 5x 25)
2 (x 2 5x 25) 5p (x 5) 3(x 5)
Completamos el factoreo del denominador y obtenemos la siguiente expre-

sión:
4( x 5)
p(5p 3)
(5p 3)( x 5)
Simplificamos las expresiones equivalentes, que están tanto en el numerador
como en el denominador, obteniendo finalmente el resultado
4 (x - 5)
p (5p 3) 4p
(5p 3) (x 5)
4) Encontrar la descomposición factorial de un polinomio consiste en reex-

presar al mismo como un producto de la forma:
q x a x x1 x x 2 ... x xn
Donde n es el grado del polinomio, “a” es el coeficiente del término de mayor
orden y x1, x2, ..., xn son las raíces del polinomio.
Para obtener la descomposición factorial podemos usar los casos de factoreo.
q x 6 x 3 6 x 2 12 x
Sacamos factor común 6x:
q x 6x x 2 x 2
A continuación, podemos implementar un artificio algebraico que nos permi-
tirá aplicar a posteriori otro caso de factoreo.
Observemos que x puede escribirse como 2x–x:
q x 6x x 2 2 x x 2
Este artificio permite factorear por grupos como sigue:

q x 6x x2 x 2x 2
135
q x 6x x x 1 2 x 1
q x 6x x 2 x 1
Esta última expresión corresponde a la descomposición factorial del polino-
mio dado.
Como detalle adicional veamos la concordancia entre la expresión hallada y
la forma general de la descomposición factorial. Para ello escribimos
q x 6 x 0 x 2 x 1
Como debe ser estamos en presencia de un polinomio donde:
El coeficiente del término de mayor orden es 6 (corresponde al “a” de la forma
general).
Hay tres factores que son binomios, y de su observación podemos obtener
las raíces del polinomio las cuales son x1 = 0, x2 = -2, x3 = 1
Otra alternativa de resolución: tener presente cuál es el valor del coeficiente
de mayor orden, encontrar las raíces y luego reemplazar en la estructura ge-
neral de la descomposición factorial.
5)
x 2 x 1
x
3 2
Obtengamos el denominador común en el primer miembro
2(x 2) 3(x 1)
x
6
Aplicamos propiedad distributiva
2x 4 3x 3
x
6
Operamos y multiplicamos ambos miembros por 6 de donde surge
5x 1 6x
x 1
6) Planteo:
Definamos la incógnita x = monto ganado en la lotería
Pasemos al lenguaje matemático la información que nos da el enunciado:
El 40 % de lo ganado se puede expresar como 0,40 x
El 50 % del resto será 0,50 (x 0,40 x)
Y aún le queda $90.000
Como el agregado de estos items nos da el total ganado, la ecuación que re-
fleja adecuadamente este problema es:
x = 0,40 x + 0,50 (x 0,40x) + 90.000
Ahora resolvamos
x 0,40x 0,50 . 0,60x 90.000
x 0,70x 90.000
0,30x 90.000
x 300.000
Concluimos que el monto ganado en la lotería fue de $300.000
7) Factoreamos el denominador del primer término del primer miembro:
Efectuamos el siguiente pasaje de términos:
6 x 2 3 6 x 2
0
x(x 2) x 2 x x(x 2) x 2
136
Sacamos común denominador

6 x( x 2) 3( x 2)
0
x (x 2)
Operamos en el numerador
6 x 2 2 x 3x 6
0
x (x 2)
x2 x
0
x(x 2)
Ahora un cociente es igual a 0 si el numerador es igual a “0” y el denominador
es distinto de “0”, por ello calculamos las raíces del numerador las cuales son
x1 = 1 ; x2 = 0
¡Como 0 anula el denominador, 0 no puede ser raíz de la ecuación fracciona-
ria!
Concluimos que la única solución es x1 = 1.
8) Llamemos
“x” a la cantidad de vuelos de tipo A realizados por el piloto.
“y” a la cantidad de vuelos de tipo B realizados por el piloto.
Dado que se tiene un total de 600 minutos la ecuación que correspondiente
es:
60 x + 30 y = 600
Por otro lado, la cantidad total de vuelos realizados por el piloto es de 15.
Algebraicamente podemos expresar esta condición a través de la ecuación
x + y = 15
Debemos encontrar los valores de x e y que satisfagan ambas condiciones
60 x + 30 y = 600
x + y = 15
Para resolver el sistema despejemos “y” de la segunda ecuación:
y = 15 x
reemplazamos en la primera ecuación:
60 x + 30 (15 x) = 600
la cual es una ecuación de primer grado con una incógnita, que sabemos re-
solver.
Apliquemos propiedad distributiva:
60 x + 30 15 30 x = 600
operemos algebraicamente:
30 x + 450 = 600
y despejemos:
30 x = 600 450 x = 150/30 x=5
Para dar respuesta a nuestro interrogante, también debemos encontrar el va-
lor de y.
Como vimos, para que se verifique la segunda ecuación "y" debía ser igual a
15 x y dado que x = 5, resulta el valor de y es 10.
Así, la respuesta al problema planteado será: el piloto ha realizado 5 vuelos
de 60 minutos y 10 vuelos de 30 minutos.
137
138
Capítulo 4
LÓGICA SIMBÓLICA
Y TEORÍA DE CONJUNTOS
Desafío 4
En una de las aulas de la Facultad de Ciencias Económicas, se ha formado
un nuevo grupo de estudiantes. Son seis: Rocío, Pedro, Laura, Gabriela,
Lucas y Santino. Nacieron en ciudades diferentes y vienen desde ellas. Ro-
cío es de Chubut y Pedro es salteño. Lucas no proviene del sur del país. Con
la ayuda del siguiente gráfico, te invitamos a tratar de deducir de qué región
proviene cada integrante. Los contenidos de este capítulo nos ayudarán a
encontrar las herramientas necesarias para completar el esquema.
Estudiantes
Reg. Noroeste Reg. Centro Reg. Sur
Varón Mujer Varón Mujer Varón Mujer
Varón Mujer Varón Gabriela Varón Mujer
Introducción
En la vida cotidiana, cuando conversamos es muy común que “argumente-
mos”, que intentemos convencer a otros de que “tenemos razón”, ya que
nuestra conclusión deriva de algo aceptado por ellos. Sin embargo, pocas
veces nos detenemos a pensar en el lenguaje que utilizamos y la forma en
que establecemos esos argumentos.
A veces, se producen malos entendidos sencillamente por la ambigüedad en
el uso de las palabras; mucho menos se nos ocurre “formalizar” lo que de-
cimos, simplemente nos comunicamos.
139
La lógica es el estudio de los argumentos que preservan la verdad y de allí

la importancia de su aprendizaje.
En la ciencia en general, y en Matemática en particular, es necesario utilizar
un lenguaje común, códigos establecidos, buscando expresarnos con clari-
dad y sin equívocos. Por lo que es necesario ponernos de acuerdo respecto a
la precisión del lenguaje y la simbología a utilizar para simplificar enuncia-
dos y esquemas de razonamiento.
La Teoría de Conjuntos también contribuye a organizar el conocimiento
científico, considerando que es posible tomar una colección o conjunto de
objetos que comparten una característica común y considerarlo como un
todo.
1. Concepto de conjunto, notación y

representación
Al buscar un concepto de conjunto, nos damos cuenta de que no es posible
dar una definición precisa de este término. Palabras como colección,
reunión, agrupación y otras de significado similar se han utilizado para in-
tentar describir a los conjuntos, pero no podemos considerarlas como una
definición, ya que se trata simplemente de un reemplazo de la palabra con-
junto.
En general, la idea de conjunto se tiene, intuitivamente, clara. Cualquiera de
nosotros comprende sin mayor dificultad lo que significa “un conjunto de
personas”, “un conjunto de números”, etc. Esta idea se encuentra a un nivel
tan elemental, que podemos aceptarla como concepto primitivo, esto es no
definido.
En general, los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas y se repre-

sentan a través de los denominados Diagramas de Venn (curvas simples
cerradas).
Por ejemplo:
Observando al conjunto A, podemos notar que sus elementos son los inte-
grantes originales del grupo The Rolling Stones.
140
LÓGICA SIMBÓLICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS
A
Brian Jones
Mick Jagger
Keith Richards
Bill Wyman Charlie Watts
Ian Stewart
En ocasiones, podremos simbolizar a los elementos de los conjuntos por

letras minúsculas.
Cuando un elemento forma parte de un conjunto, decimos que pertenece al
conjunto y representamos esta relación de pertenencia mediante el símbolo
, como se indica a continuación:
La expresión x ∈ A se lee como “x es un elemento del conjunto A”, o

bien, “x pertenece al conjunto A”.
Por su parte x A se lee como “x no es un elemento del conjunto A” o
“x no pertenece al conjunto A”.
En nuestro ejemplo:
Mick Jagger A Paul McCartney A
Existen dos formas de definir conjuntos
Por extensión Por comprensión
Decimos que un conjunto está definido por extensión o enumeración si

se mencionan explícitamente todos sus elementos.
Podemos definir el conjunto A enumerando los elementos que lo forman:

A = {Brian Jones, Mick Jagger, Keith Richards, Bill Wyman, Ian Stewart,
Charlie Watts}
Un conjunto está definido por comprensión cuando mencionamos una Representamos a los
conjuntos con letras
propiedad o característica que comparten todos sus elementos. mayúsculas e inclui-
mos a sus elementos, o
También es posible definir al conjunto A enunciando la característica que la característica o pro-
comparten sus elementos, de este modo: piedad que ellos com-
parten, entre llaves.
A = {Integrantes originales de la banda The Rolling Stones} Observemos que los
elementos que cum-
En este caso, diremos que el conjunto está definido por comprensión. plan con esta propie-
dad pertenecen al
Definamos el siguiente conjunto: conjunto y aquellos
B = {2, 3, 4, 5, 6} que no la posean, no.
141
Observando los elementos del conjunto B, notamos que está formado por
los números naturales mayores que 1 y menores que 7, por lo que podemos
definir a este conjunto por comprensión como:
B = {x ℕ / 1 < x < 7}
Es importante tener en cuenta que un conjunto está determinado con

solo saber cuáles son los elementos que lo integran, esto significa que:
1. No se admite la repetición de elementos.
2. El orden en que aparecen los elementos del conjunto no es importan-
te.
3. Dado un elemento cualquiera, solo hay dos posibilidades: pertenece
o no pertenece al conjunto.
La definición de un conjunto por extensión es posible y práctica cuando el

conjunto tiene un número finito y pequeño de elementos, en estos casos
puede ser de interés conocer la cantidad de elementos del conjunto.
Se llama “cardinal de A” y se denota como n(A), o alternativamente

#(A), al número de elementos de A.
Para los ejemplos anteriores tendremos:

n (A) = 4 n (B) = 5
Cuando el conjunto tiene infinitos elementos, no es posible enumerarlos
¡Recordemos! uno a uno. Sin embargo, en ocasiones podremos simbolizar algunos conjun-
El cardinal de A solo tos de este tipo en una forma similar, nombrando algunos de sus elementos
está definido si A es
y utilizando puntos suspensivos en el sentido de indicar “y así sucesivamen-
un conjunto finito.
te”.
Por ejemplo:
ℕ = {x/x Números Naturales} o bien ℕ = {1, 2, 3, 4, …}
Actividad 1
Establecer si los siguientes conjuntos son finitos o infinitos:

A = {Las rectas paralelas a una dada}
N = {Las letras de nuestro alfabeto}
B = Los números naturales múltiplos de 10
M = {Las rectas que pasan por tres puntos no alineados}
S = {Los países de América Central
F = Las materias que integran el plan de estudios de la carrera de Econo-
mía
C = Los granos de arena del Océano Pacífico}
H = {Los números reales mayores que 1 y menores que 2
142
2. Conjuntos especiales
2.1. El conjunto universal o referencial
En determinadas situaciones es importante definir el conjunto de interés a

considerar como marco de referencia a partir del cual se construyen los de-
más conjuntos.
Por ejemplo, consideremos el conjunto C que representa los meses

del año en que se entregan las calificaciones trimestrales para el nivel
secundario:
C = {junio, septiembre, noviembre}

Podremos notar que el conjunto universal estaría dado por los meses del
año académico, que se extiende de marzo a diciembre. Los meses de enero y
febrero estarían fuera del universo.
Llamamos conjunto universal (U) al formado por todos los elementos

de una determinada área de interés, que es usado como marco de refe-
rencia para definir otros conjuntos dentro de él.
Al conjunto universal se lo suele representar con un rectángulo para distin-

guirlo de los diagramas correspondientes a los demás conjuntos.
U b
C
f
g
c
j
d e
h i a
Para el caso del ejemplo anterior, tendríamos:

Siendo:
U = {Meses del año académico (nivel medio)}
C = {Meses de entrega de calificaciones trimestrales}
y los elementos representados en el diagrama:
a = Marzo b = Abril c = Mayo d = Junio
e = Julio f = Agosto g = Septiembre h = Octubre
i = Noviembre j = Diciembre
Observemos que los elementos a, b, c, e, f, h y j, si bien forman parte del
universo considerado, no pertenecen al conjunto C.
Dentro de la definición de un conjunto, puede estar implícitamente deter-
minado el conjunto universal.
143
Por ejemplo, en el caso del siguiente conjunto:
B = {x ℕ/1 < x < 7}

de la misma definición del conjunto se deduce que el referencial está for-
mado por los números naturales.
2.2. Conjunto vacío
Supongamos ahora el siguiente conjunto definido dentro del universo de los

meses del año:
D = {x/x son los meses del año cuyo nombre termina en “a”}
Si intentáramos definir el conjunto D por extensión, nos daríamos cuenta
que ningún elemento del universo cumple con la característica que lo define.
Al conjunto que no posee elementos lo llamamos conjunto vacío y lo desig-
namos con el símbolo .
El conjunto vacío es aquel que está caracterizado por una propiedad

que ningún elemento del universo cumple.
2.3. Conjunto unitario
Consideremos ahora el siguiente conjunto definido dentro del mismo uni-

verso que el ejemplo anterior:
E = {x/x son los meses de 28 días}
En el caso de E, al definirlo por extensión, notaremos que existe un solo
elemento que cumple con esa condición (febrero) y, como está formado por
un único elemento, lo llamamos conjunto unitario.
3. La lógica simbólica y el uso del lenguaje

Cuando nos servimos del lenguaje cotidiano para enunciar hechos o descri-
bir situaciones, lo hacemos de diversas formas: a través de preguntas, dan-
do órdenes, expresando deseos o haciendo afirmaciones.
Para definir objetos o elementos matemáticos y demostrar propiedades,
definiciones o teoremas, sin embargo, es necesario un lenguaje preciso. La
Lógica Simbólica colabora en la construcción de este tipo de lenguaje y nos
será de gran ayuda, entre otras cosas, para formalizar adecuadamente la
teoría de conjuntos.
Esta disciplina se ocupa de enunciados u oraciones que son verdaderos o
falsos, a los que llamamos “proposiciones”.
Por ejemplo, ante la expresión “El país ha experimentado un aumen-

to importante de sus exportaciones”, es posible decir si es verdadero
o falso. Mientras que, en una interrogación, una exclamación o una
144
orden no tiene sentido preguntarse si estas expresiones son verda-

deras o falsas.
Una proposición es un enunciado u oración declarativa de la que se

puede decir si es verdadera o si es falsa.
Importante: Al afirmar
que una proposición
Analicemos las siguientes expresiones:
es verdadera o falsa,
1. ¿Quién puede ayudarme? estamos dando lo que
2. ¡Siéntese aquí! se conoce como su
“valor de verdad”.
3. La música barroca es típica del siglo XVI.
4. ¿Qué hora es?
5. ¡Que rico café!
6. El trece es un número primo.
Solo las expresiones 3 y 6 son oraciones enunciativas o declarativas, pues
podemos decir si son verdaderas o falsas, por lo tanto, son proposiciones.
Para identificar a las proposiciones se suelen utilizar las letras p, q, r, s, etc.
Actividad 2
Analizar las siguientes expresiones lingüísticas y decir cuáles son proposi-

ciones:
1. ¡Qué manera de expresarte!
2. La ciudad de Florianópolis se encuentra en una isla.
3. ¿Estamos preparados para el parcial de Matemática?
4. El rubro Bienes de Uso pertenece al Pasivo de una empresa.
5. El aumento del nivel de precios está siendo contenido por el gobierno.
6. El conjunto de los números racionales es infinito.
7. ¡Espero conseguir entradas para el concierto del fin de semana!
4. Conectivos y operaciones lógicas

Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas. Si se unen
una o varias proposiciones simples con un término de enlace, se forma una
proposición compuesta. El vínculo se establece a través de palabras como
“y”, “o”, “no”, “si..., entonces”, “si y solo si”, que llamamos “conectivos lógi-
cos” y que están asociados a igual número de operaciones lógicas.
Los conectivos lógicos son partículas lógicas que nos permiten relacio-
nar dos o más proposiciones simples para formar proposiciones com-
puestas, o modificar una única proposición dada.
Por ejemplo, tenemos las siguientes proposiciones:
p: Ale terminó el secundario. q: Ale se inscribió en Ciencias Económicas.
145
A partir de estas proposiciones simples, se pueden construir proposiciones

compuestas usando distintos conectivos lógicos, tales como:
Ale terminó el secundario y se inscribió en Ciencias Económicas.
El conectivo "no"
puede modificar
Ale terminó el secundario o se inscribió en Ciencias Económicas.
una sola proposi- Si Ale terminó el secundario, entonces se inscribió en Ciencias Económi-
ción, mientras que cas.
los otros conecti-
vos vinculan dos o Ale no terminó el secundario.
más proposiciones.
Utilizaremos los siguientes conectivos y operaciones lógicas, que leemos y
simbolizamos como lo muestra el cuadro:
TABLA DE CONECTIVOS Y OPERACIONES LÓGICAS

CONECTIVO COMO SE LEE OPERACIÓN
“y” Conjunción
“o” Disyunción inclusiva
“o…, o” Disyunción exclusiva
“si p entonces q” Condicional
“no” Negación
“p si y solo si q” Bicondicional
Analicemos algunos enunciados, sus proposiciones simples y los conectivos

utilizados en ellos.
PROPOSICIONES EXPRESIÓN EN
ENUNCIADO CONECTIVO
SIMPLES SÍMBOLOS
p: los números enteros son racio-

Los números enteros
nales
y los fraccionarios y p q
q: los números fraccionarios son
son racionales.
racionales
Las inversiones son r: las inversiones son públicas

o r s
∨
públicas o privadas. s: las inversiones son privadas
El último balance de t: el último balance de la empresa

la empresa “La Lógi- “La Lógica SA” arrojó pérdidas
o t u
∨
ca SA” arrojó pérdi- u: el último balance de la empresa

das o ganancias. “La Lógica S.A.” arrojó ganancias
Si la figura ABCD es p: la figura ABCD es un rectángu-

un rectángulo, en- lo Si…,
p q
tonces tiene dos q: la figura ABCD tiene dos lados entonces
lados iguales. iguales
La figura ABCD es r: la figura ABCD es un cuadrilá-

un cuadrilátero si y tero
sí y solo si r s
solo si tiene cuatro s: la figura ABCD tiene cuatro
lados. lados
146
Atención:
Cuando la palabra “no” se encuentra contenida en una proposición,
puede pasar inadvertido que se trata de una proposición compuesta.
Otra forma de emplear el conectivo lógico “y” en el lenguaje corrien-
te es utilizando la palabra “pero” o una coma (“,”), en vez del término
de enlace “y”. Por ejemplo: Fui al centro, pero no encontré lo que busca-
ba.
Cuando utilizamos el conectivo “o”, pueden darse dos situaciones:
por ejemplo, si decimos “las inversiones son públicas o privadas”, el
término de enlace indica que las inversiones pueden tener el carácter de
públicas, de privadas o ser mixtas (con participación pública y privada);
mientras que si decimos “Carlos es el padre de Manuel o su hijo”, la
proposición plantea situaciones excluyentes, es decir que, si ocurre una,
es imposible que ocurra la otra.
Para cada una de las operaciones lógicas, nos interesa conocer el valor de
verdad de la proposición compuesta resultante, que se determina a partir
del valor de verdad de las proposiciones simples que la componen.
Una tabla de verdad permite determinar el valor de verdad de una proposi-
ción compuesta para las distintas alternativas de valores de verdad de las
proposiciones simples involucradas.
Una proposición simple es verdadera o es falsa. Por ello, su tabla de verdad
consta de 2 valores posibles.
p
V
F
Si hay dos proposiciones p y q, tendremos que tener en cuenta cuatro posi-

bles combinaciones de valores de verdad, que mostramos en la siguiente
tabla:
p q
V V
V F
F V
F F
Puede darse que ambas sean verdaderas; o bien, que p verdadera y q falsa;
puede que p sea falsa y q verdadera, o que ambas sean falsas.
Hemos observado que, si tenemos una sola proposición, contamos con dos
posibles valores de verdad; y si son dos proposiciones las que se vinculan,
hay cuatro posibilidades; si son tres las proposiciones simples, tendremos
ocho posibilidades; en general, si se vinculan n proposiciones, habrá 2n posi-
bilidades.
Actividad 3
Presentar las ocho posibilidades para la vinculación de tres proposiciones.
147
Las operaciones lógicas con las que trabajaremos son:

OPERACIÓN
CONECTIVO
LÓGICA
Conjunción
Disyunción
Disyunción exclusiva
Condicional
Negación
Bicondicional
Para cada operación lógica, presentaremos su correspondiente tabla de ver-

dad.
Actividad 4
Para los siguientes enunciados:

a) Identificar las proposiciones simples intervinientes.
b) Determinar a través de qué conectivo se vinculan.
c) Expresar en símbolos.
1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.
2. La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
3. La cantidad demandada de un bien aumenta si y solo si baja su precio*.
4. Los empleos son formales o precarios.
5. Ana estudia o trabaja en la Facultad de Ciencias Económicas de la UNC.
Invitamos a ver un 6. Si el sol es una estrella, tiene luz propia.
video sobre el tema
en el Aula Virtual en 7. Las personas económicamente activas están ocupadas o desocupadas.
Recursos y Materiales
del Capítulo 4.
8. Si un número es entero, entonces es racional.
9. Mario es inteligente, pero distraído.
*Suponiendo constantes las otras variables que influyen en la demanda.
4.1. Negación
Dada la siguiente proposición:

p: Ale es ingresante a Ciencias Económicas.
La negación de p será “No es cierto que Ale es ingresante a Ciencias Eco-
nómicas”, o bien “Ale no es ingresante a Ciencias Económicas”, y se simboli-
za: p.
La negación de una proposición p es la proposición que se obtiene an-

teponiendo a la dada: “Es falso que...”, o bien precediéndola de la pala-
bra “no”. En símbolos se expresa: p.
148
Si p es una proposición verdadera, su negación resultará falsa. La siguiente

es su tabla de verdad:
p
F V
V F
Actividad 5
Sean:
p: “5 es divisor de 12”.
q: “2 es un número primo”.
Enunciar la negación de p y de q y analizar el valor de verdad de cada una de
ellas.
4.2. Conjunción lógica
Analicemos esta operación lógica mediante un ejemplo:

p: “La pizza nació en el antiguo Egipto”.
q: “La pizza es una comida conocida mundialmente”.
La proposición compuesta conjunción de p con q que simbolizamos p q se
enuncia: “La pizza nació en el antiguo Egipto y es una comida conocida
mundialmente”.
La conjunción o producto lógico de dos proposiciones simples p y q es

la proposición compuesta que se obtiene uniendo a ambas en el orden
dado, mediante el conectivo lógico “y”.
Si buscamos en el listado de personas preinscriptas para ingresar a la Facul-

tad de Ciencias Económicas, podremos observar si Ale se encuentra entre
quienes se han inscripto para ingresar a la Facultad. Si Ale efectivamente se
encuentra en el listado y tiene la constancia de aprobación de todas las ma-
terias del nivel secundario, ambas proposiciones serán verdaderas, y resul-
tará coherente afirmar que el enunciado compuesto también lo es. Si conti-
nuamos asumiendo que Ale se encuentra entre quienes se han inscripto
para ingresar a la Facultad, pero adeuda alguna materia del nivel secundario,
entonces la conjunción resultará falsa.
¿Qué opinamos respecto al valor de verdad de la proposición compuesta de
este ejemplo si, en cambio, consideramos que Ale no se encuentra entre los
inscriptos para ingresar a estudiar Ciencias Económicas?
Para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la proposición
compuesta p q, se muestra en la siguiente tabla:
p q
V V V La conjunción solo es
verdadera cuando am-
V F F
bas proposiciones son
F F V verdaderas.
F F F
149
4.3. Disyunción lógica
Como ya lo hemos mencionado, asociado al conectivo “o” está la operación

lógica “disyunción”. La palabra “o” tiene en la vida diaria un sentido ambi-
guo, ya que puede tener un sentido inclusivo o exclusivo.
Según sea el tipo de proposiciones simples que se vinculen, tendrá sentido
hablar de disyunción con sentido incluyente o con sentido excluyente, como
veremos en el punto siguiente.
La disyunción o suma lógica de las proposiciones p y q es la proposi-

ción compuesta que se obtiene uniendo dos proposiciones simples me-
diante el conectivo “o” con sentido incluyente.
En símbolos, se indica: p q
Busquemos ahora la proposición compuesta p q utilizando las proposicio-

nes del ejemplo del punto 4.2. y pensemos cuál será su valor de verdad. La
disyunción de p y q será “Ale es ingresante a Ciencias Económicas o tiene
aprobadas todas las materias del nivel secundario”. En cuanto al valor de
verdad de estos enunciados, ¿qué podemos decir?
Verifiquemos la validez de la respuesta con la siguiente tabla de verdad
correspondiente a la disyunción de p con q, donde p y q son dos proposi-
ciones cualesquiera.
p q
V V V
La disyunción es V V F
falsa solo cuando
F V V
ambas proposicio-
nes son falsas. F F F
4.4. Disyunción exclusiva
Dadas las siguientes proposiciones simples:

p: “Carlos es el padre de Manuel”.
q: “Carlos es el hijo de Manuel”.
La proposición compuesta “Carlos es el padre de Manuel o su hijo” es una
disyunción exclusiva, ya que es imposible que una misma persona sea el
padre y el hijo de otra: “o” es el padre “o” es su hijo. Coloquialmente no es
necesario utilizar las dos “o”, el significado del enunciado nos permite, en
general, distinguir entre la disyunción inclusiva de la exclusiva.
La disyunción exclusiva de las proposiciones p y q es la proposición

compuesta que se obtiene uniendo ambas proposiciones simples, me-
diante el conectivo “o”, con sentido excluyente.
En símbolos, se indica p q.
150
Decimos “Ocurre p, o q, pero no ambos”. Por ello, su tabla de verdad es la

siguiente:
p q La disyunción exclusiva
es verdadera cuando
V F V las proposiciones con-
V V F sideradas tienen distin-
F V V to valor de verdad.
F F F
Actividad 6
¿De qué tipo de disyunción se trata en cada uno de los siguientes enuncia-
dos? Fundamentar en todos los casos la respuesta.
a) “Los contratos de provisión no serán renovados en caso de incumplimien-
to parcial o transferencia de fondo de comercio del prestador”.
b) “En las próximas vacaciones iremos al Calafate o a la costa de Brasil”.
c) “La Sudamérica colonial dependía de la exportación de productos agríco-
las o minerales”.
d) “La ciudad de Babilonia fue conquistada hacia el año 1225 a. C. por los
asirios o por los caldeos”.
e) “En Sudamérica podemos encontrar una gran variedad de especies de
pájaros o de reptiles”.
f) “Los pingüinos son originarios del Polo Norte o del Polo Sur”.
4.5. Condicional
Cuando hablamos de los distintos conectivos lógicos, vimos que “Si..., en-
tonces…” es el término de enlace que usamos para expresar una condición.
Por ejemplo, sean:
p: “Papá me presta el auto esta noche”.
q: “Esta noche te paso a buscar para ir a la fiesta”.
La proposición compuesta p q se traduce lingüísticamente: “Si papá me
presta el auto esta noche, entonces te paso a buscar para ir a la fiesta”.
Al enunciado p se le llama antecedente, y a q, consecuente. La estructura
de este enunciado compuesto nos permite expresar los condicionales de
varias maneras diferentes. Algunas de las formas más comunes de hacerlo
son:
“Si p, entonces q”
“Si p, q”
“q, si p”
“q siempre que p”
Expresemos la proposición anterior de distintas maneras:
“Si papá me presta el auto esta noche, entonces te paso a buscar para ir a la
fiesta”.
151
“Si papá me presta el auto esta noche, te paso a buscar para ir a la fiesta”.
“Te paso a buscar para ir a la fiesta, si papá me presta el auto esta noche”.
“Te paso a buscar para ir a la fiesta, siempre que papá me preste el auto
esta noche”.
Para encontrar la tabla de verdad del condicional, analicemos la proposición
de nuestro ejemplo. ¿Cuál será el valor de verdad de esta proposición com-
puesta, teniendo en cuenta las distintas alternativas acerca del valor de ver-
dad de p y de q? Si es verdad que papá me presta el auto esta noche y ver-
daderamente paso a buscar a mi amigo para ir al cine, es fácil darnos cuenta
de que el enunciado compuesto es verdadero. Si es verdad que papá me
presta el auto y, pese a ello, no paso a buscar a mi amigo para ir al cine, el
condicional es falso, porque habiéndose cumplido la condición, resulta
inadmisible que el consecuente sea falso. Si papá no me presta el auto, pue-
do decir que me veo liberado del compromiso de pasar a buscar a mi amigo,
y podemos considerar verdadero al condicional, independientemente de que
lo pase a buscar o no; esto es lo que significa conceder al condicional el “be-
neficio de la duda”. En síntesis, si no se cumple la condición, consideramos
verdadero el condicional independientemente que la consecuencia sea ver-
dadera o falsa.
La tabla de verdad correspondiente a esta operación es la siguiente:
p q
El condicional solo es V V V
falso cuando el ante- V F F
cedente es verdadero
F V V
y el consecuente es
falso. F V F
Veamos otros ejemplos:
“Si 2 x 2 = 7, entonces Mendoza es la capital de la Argentina”.

“Si 2 x 2 = 4, entonces Mendoza es la capital de la Argentina”.
Si nos guiamos por la tabla de verdad, resulta que el primer condicional es
verdadero y el segundo es falso. Esto pasa porque, en general, no exigimos
ningún tipo de conexión entre las proposiciones intervinientes en un condi-
cional.
Relación de Implicación – Razonamientos
En ocasiones, las proposiciones simples que intervienen en la formación del

El condicional es condicional sí están relacionadas, y además existe una relación del tipo cau-
lógicamente verda- sa-efecto entre ellas. Cuando existe este tipo de relación y el condicional es
dero cuando el con-
lógicamente verdadero (del análisis de las proposiciones simples intervi-
secuente se deduce
lógicamente del nientes, resulta que el enunciado compuesto es verdadero), se dice que
antecedente. existe “implicación” y, en este caso, la expresión se denota como p q y se
lee como “p implica q”.
La relación de implicación es la base de los razonamientos en Matemática.
152
Un razonamiento es una sucesión de proposiciones (premisas) cuyo

propósito es la implicación de otra proposición (conclusión), de mane-
ra tal que, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión tam-
bién es verdadera. Si esto no ocurre, se ha cometido un error en alguna
parte del proceso de razonamiento.
El siguiente ejemplo, que posiblemente resulte conocido, clarifica lo ante-

rior: “Si todos los seres humanos son mortales y Sócrates es un ser humano,
entonces Sócrates es mortal”. Esta proposición es verdadera sin ninguna
duda. Que “Sócrates es mortal” se deduce de la conjunción de las proposi-
ciones:
“Todos los hombres son mortales” y “Sócrates es hombre”
Ambas constituyen las premisas de este razonamiento, en tanto que “Só-
crates es mortal” es la conclusión a la que se arriba.
Un razonamiento es válido si y solo si, siempre que las premisas sean

verdaderas, lo es también la conclusión.
Recordemos una importante observación de Kemeny: “La relación de impli-

cación tiene una estrecha afinidad con el enunciado condicional, pero es
importante no confundirlos. El condicional es un nuevo enunciado cons-
truido a partir de dos enunciados dados, mientras que la implicación es
una relación entre los dos enunciados”.
Si p implica q deberá cumplirse que:

“p es condición suficiente para q”
y
“q es condición necesaria para p”.
Veamos estas condiciones en un ejemplo:
Sean p: “n es un número múltiplo de cuatro” y q: “n es un número par”;

p q será: “Si n es un número múltiplo de cuatro, entonces es par”.
El hecho de ser n un número múltiplo de cuatro, es suficiente para que
también sea par. Veamos que no es necesario que sea múltiplo de cuatro
para que sea par.
También decimos “ser número par” es condición necesaria para ser “múlti-
plo de cuatro” (aunque no suficiente).
Otra expresión para p q es
“p solo si q”
En nuestro ejemplo: “Un número es múltiplo de cuatro solo si es par”.
Pensando en el ejemplo previo, es necesario ser mortal para ser parte del
género humano, pero no suficiente; y el hecho de ser un ser humano es su-
ficiente para saber que también se es mortal, aunque no es necesario serlo
(hay muchos mortales que no son seres humanos).
153
4.6. Bicondicional
Esta operación está estrechamente relacionada con el condicional. El prefijo

“bi” indica, en este caso, que el condicional actúa dos veces: p q y al mis-
mo tiempo q p.
El bicondicional de p con q es la proposición compuesta que simboli-

zamos con p q, y que obtenemos uniéndolas mediante las palabras
“si y solo si”.
La tabla de verdad de p q es la siguiente:

p q
V V V
El bicondicional es ver-
dadero cuando p y q
V F F
tienen el mismo valor de F F V
verdad. F V F
El conectivo bicondicional p q se lee “p si y solo si q” y afirma que si p es

verdadero, entonces q es verdadero, y si p es falso, entonces q también lo es.
Veamos el siguiente ejemplo:
“La cantidad demandada de un bien aumenta si y solo si bajan sus precios”.

Si la cantidad demandada aumenta y los precios bajan, el bicondicional es
verdadero. Si la cantidad demandada no aumenta y los precios no bajan,
sigue siendo verdadero. Pero puede suceder que bajen los precios (q verda-
dera) y no aumente la cantidad demandada (p falsa); o viceversa, la canti-
dad demandada aumenta (q verdadera) sin que baje su precio (p falsa).
Para estos casos, el bicondicional es falso.
Relación de equivalencia
Si q es deducible (lógicamente) de p y, a su vez, p es deducible (lógicamen-

te) de q, decimos que p qyq p. Esto establece una relación entre p y q
llamada equivalencia, que se simboliza p q y en la que se cumple que:
p es condición necesaria y suficiente para q
y
q es condición necesaria y suficiente para p.
Por ejemplo, sean:
p: “10 es múltiplo de 5”
y
q: “existe un número entero que multiplicado por 5 da como resultado 10”
p q: “10 es múltiplo de 5 si y solo si existe un número entero que multi-
plicado por 5 da como resultado 10”.
154
5. Empleo de más de un conectivo lógico

Hasta aquí hemos trabajado vinculando a través de conectivos lógicos, a lo
sumo dos proposiciones simples, para formar enunciados compuestos. Sin
embargo, a menudo nos encontraremos con otros enunciados o proposicio-
nes más complicados que requieren el uso de varios conectivos lógicos.
Por ejemplo, sean:
p: Pedro tomó el vuelo de las 8 h.

q: El asistente de Pedro llegó a tiempo al aeropuerto.
La proposición (p q) se lee: “No es cierto que Juan tomó el vuelo de las
8 h y su asistente llegó a tiempo al aeropuerto”.
¿Cómo construimos la tabla de verdad de cualquier proposición compuesta?
Para hacerlo, al igual que en el caso de las operaciones aritméticas, seguire-

mos un procedimiento en el que es importante respetar el siguiente orden:
Conjunción / Condicional /
Negación
Disyunción Bicondicional
Es decir que la negación debe resolverse antes que las demás operaciones y
así sucesivamente, siendo el bicondicional la última operación lógica a re-
solver.
En ocasiones nos encontraremos con la presencia de paréntesis, corche-

tes, etc. Estos signos pueden alterar el orden dado.
Por ejemplo, si la proposición compuesta es:

p q r
deberemos obtener, en primer lugar, la conjunción de p con q. Esta proposi-
ción (compuesta) será el antecedente del condicional.
En cambio, si lo que se quiere es obtener la conjunción de p con la proposi-
ción compuesta q r, deberemos escribirlo así: p (q r).
Por ejemplo, para construir la tabla de verdad de la proposición p

q, el procedimiento es el siguiente:
El paso 1 consiste en asignar los posibles valores de verdad a las proposicio-

nes simples intervinientes. En el ejemplo:
p q
V V
V F
F V
F F
155
El paso 2 es construir la tabla de verdad de p.

p q
F V V
F V F
V F V
V F F
El paso 3 (el último en este ejemplo) es efectuar la disyunción entre “no p” y

“q”.
p q
F V V V
F V F F
V F V V
V F V F
La última columna obtenida, resaltada en negrita, nos da la tabla de verdad

del enunciado compuesto.
En los ejemplos y actividades que siguen, veremos enunciados más comple-
jos.
Para no equivocarnos respetemos estas sencillas reglas:
Ante la presencia de paréntesis, corchetes, etc., trabajaremos de

adentro hacia afuera.
La última columna a construir debe corresponder a la tabla de verdad
de la proposición compuesta solicitada.
Construyamos la tabla de verdad de la proposición:

(p q):
(p q)
F V V V
F V V F
F F V V
V F F F
3 1 2 1
Ahora construyamos la tabla de verdad de la proposición:

[(p q) q] p
[(p q) q] p
V V V F F V V F V
V F F F V F V F V
F V V F F V V V F
F V F V V F V V F
1 2 1 3 2 1 4 2 1
En la columna demarcada con el número 4 se obtienen los valores de verdad

de la proposición compuesta presentada. La última fila de esta tabla nos
marca el orden en que se deben resolver las operaciones lógicas involucra-
das.
156
Actividad 7
En los siguientes enunciados:

a) Señalar las proposiciones simples que intervienen.
b) Simbolizar las mismas y los conectivos que las vinculan.
c) Construir la tabla de verdad de la primera y, para la última, construir su
tabla de verdad para el caso particular en que el antecedente de esta propo-
sición es falso.
1) “Si el candidato defiende los derechos civiles, ganará las elecciones depar-
tamentales y llegará a la presidencia”.
2) “Si los contenidos del seminario son buenos y el docente da calificaciones
justas, vale la pena inscribirse en él”.
3) “Es falso que para el concierto del fin de semana haya que vestir ropa
formal y el costo de la entrada sea de $200”.
4) “El vuelo de Jorge se retrasó, y solo llegará a horario a la junta con la Co-
misión Directiva si toma un taxi hasta el centro, o reprograma la reunión
con el Gerente de personal”.
5) “El lunes y el martes no tendremos reparto a domicilio en el restaurante”.
6) “Si las autoridades no mejoran las condiciones para el sector, los empre-
sarios mantendrán las medidas de fuerza y no pagarán los impuestos.”
Actividad 8
Dadas las proposiciones compuestas:

p q
(p q)
a) Construir sus respectivas tablas de verdad.
b) Compararlas.
5.1. Clasificación de las proposiciones compuestas
De acuerdo a los resultados de la tabla de verdad, las proposiciones com-

puestas pueden clasificarse en tautología, contradicción o contingencia.
Dadas las siguientes proposiciones:
p q y p q
Si las vinculamos mediante el conectivo bicondicional y construimos su ta-
bla de verdad, obtendremos:
(p q) p q
V V V V F V V V
La proposición com-
V F F V F V F F puesta es siempre
F V V V V F V V verdadera.
F V F V V F V F
157
Cuando una proposición compuesta resulta verdadera independiente-

mente de los valores de verdad de las proposiciones simples intervi-
nientes, se dice que es una tautología.
Por otra parte, observemos la tabla de verdad de la siguiente proposición

compuesta:
[( p q) q] q
[( p q) q] q
La proposición com- F V V V V V F F V
puesta es siempre F V V F F F F V F
falsa.
V F V V V V F F V
V F F F F F F V F
Cuando una proposición compuesta resulta falsa independientemente

de los valores de verdad de las proposiciones intervinientes, se dice que
es una contradicción.
Finalmente, observemos la tabla de verdad de la proposición compuesta

bicondicional:
p q
p q
La proposición com-
puesta, en algunos V V V
casos, es verdadera y, V F F
en otros, falsa.
F F V
F V F
Cuando una proposición compuesta resulta en algunos casos verdadera

y en otros falsa, se dice que es una contingencia.
5.2. Equivalencia lógica
¿Qué podemos decir de los resultados obtenidos en la actividad 8? Cuando

dos expresiones tienen el mismo significado o valor de verdad, decimos que
son equivalentes. Precisamente este último es el sentido que tiene la equi-
valencia lógica.
Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen

idénticas tablas de verdad.
Las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes:

(p q) (q p) con p q
En efecto, veamos las tablas de verdad de una y otra:
(p q) (q p)
V V V V V V V
V F F F F V V
F V V F V F F
F V F V F V F
158
p q
V V V
V F F
F F V
F V F
Construyendo cada tabla de verdad de acuerdo al orden establecido para

los conectivos vinculantes, podemos observar que los valores de verdad de
los dos enunciados compuestos son idénticos para los mismos valores de
verdad de las proposiciones simples intervinientes.
Si vinculamos dos proposiciones equivalentes mediante el conectivo bicon-
dicional, el enunciado compuesto será una tautología. Por lo tanto, otra
forma de ver que dos proposiciones son lógicamente equivalentes es vincu-
lándolas a través de un bicondicional.
En lógica proposicional, las Leyes de De Morgan son un par de reglas de
inferencia que permiten expresar en forma válida cómo afecta una negación
a las conjunciones y disyunciones y se pueden expresar como:
La negación de la conjunción equivale a la disyunción de las negaciones:

(p q) p q
La negación de la disyunción equivale a la conjunción de las negaciones:
(p q) p q
Actividad 9
Dadas las proposiciones:

p: “La institución lanzará nuevos cursos de perfeccionamiento”.
q: “La institución evaluará a sus profesionales”.
Expresar:
a) El enunciado coloquial y simbólico de la conjunción de la negación de la
primera con la negación de la segunda.
b) La negación en símbolos de la proposición obtenida en a) usando la Ley
de De Morgan.
c) La traducción de la negación al lenguaje coloquial.
6. Funciones proposicionales
Consideremos ahora las siguientes proposiciones:
1. “Gustavo es licenciado en Administración”.
2. “Álvaro es licenciado en Administración”.
3. “Enrique es licenciado en Administración”.
Estas proposiciones tienen una característica en común: “ser licenciado en
Administración”. Esto puede reescribirse como “x es licenciado en Adminis-
tración”, donde “x” es una variable que representa un sujeto indeterminado.
159
La expresión “x es licenciado en Administración” no puede considerarse co-

mo una proposición, ya que no es en sí misma ni verdadera ni falsa. Aquí la
variable “x” toma valores dentro de un conjunto, llamado conjunto de refe-
rencia. Estas expresiones reciben el nombre de funciones proposicionales.
Si una oración declarativa contiene una variable que, al ser reemplaza-

da por un elemento cualquiera de un determinado conjunto de referen-
cia, se convierte en proposición, se denomina función proposicional.
Comúnmente se usan las últimas letras del alfabeto (x, y, w, z) para deno-
tar las variables y se utiliza la siguiente notación: p(x), q(y), r(z), etc. para
identificar funciones proposicionales.
Cuando en una función proposicional se sustituye la variable por algún ele-
mento de su conjunto de referencia y la misma se convierte en proposición,
algunos elementos de este conjunto harán que la proposición resultante sea
verdadera y otros la harán falsa.
El conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de referencia

de una función proposicional p(x) que la hacen verdadera se denomina
conjunto de verdad o conjunto solución de p(x) y se denota como P.
Observemos que podemos definir un conjunto por comprensión utilizando

funciones proposicionales. La función proposicional elegida describe los
atributos o propiedades que definen al conjunto.
Por ejemplo:
P ={x/p(x)} donde P = {x/x ∈ ℕ ˄ x – 2 < 10}

En el presente ejemplo podemos identificar:
a) Función proposicional, p(x): x - 2 es menor que 10
b) Conjunto de referencia: ℕ
c) El conjunto solución de p(x) es P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Veamos ahora otro ejemplo:
P ={x/p(x)} donde P {x/x ∈ ℕ ˄ x < 1}
Podemos redefinir al
conjunto vacío como En el presente ejemplo podemos identificar:
aquel que está carac-
terizado por una
a) Función proposicional, p(x): x es menor que 1
función proposicio- b) Conjunto de referencia: ℕ
nal que se convierte
en proposición falsa c) El conjunto solución de p(x) es
cualquiera sea el
valor de , o bien Este ejemplo nos presenta un caso particular de lo expresado, donde el con-
aquel definido por junto solución de una función proposicional es el conjunto vacío.
una contradicción.
Actividad 10
Encontrar el conjunto solución de las siguientes funciones proposicionales,

cuyo conjunto de referencia es el de los números naturales:
160
a) p(x): 7x – 1 = 0
b) p(y): y +3 ≤ 9
c) p(z): z + 4 < 10
Al igual que las proposiciones, las funciones proposicionales pueden negar-
se y también combinarse con otras funciones proposicionales o proposicio-
nes simples por medio de los conectivos lógicos.
6.1. Cuantificadores
Cuando trabajamos con funciones proposicionales como las presentadas en

el punto anterior, a menudo deseamos indicar cuántos elementos del co-
rrespondiente conjunto de referencia cumplen con la propiedad expresada.
Un cuantificador es una palabra o frase que indica cuántos objetos o

elementos de un determinado conjunto cumplen con cierta propiedad.
Generalmente, podemos identificar dos maneras de convertir una función

proposicional en proposición:
Reemplazando la variable contenida en ella por un elemento determinado
de su conjunto de referencia.
Utilizando cuantificadores.
Cuando la afirmación resultante esté referida a algunos elementos del con-
junto, trabajaremos con el llamado cuantificador existencial. En cambio,
cuando queremos afirmar que una proposición es válida para todos los ele-
mentos del universo, trabajaremos con el cuantificador universal.
6.1.1. Cuantificador existencial
El símbolo “ ” se llama cuantificador existencial afirmativo y se lee “exis-

te”. Lo empleamos para cuantificar la función proposicional escribiendo en
símbolos de la siguiente forma:
x U/p(x)
Esta expresión simbólica se lee: “Existe al menos una x que pertenece al
conjunto de referencia (U), tal que p(x) es verdadero”.
Por ejemplo, si:
U = ℤ y p(x): x es un número natural

La expresión:
x ℤ /p(x)
se lee: “Existe al menos un x que pertenece a los enteros tal que es natural”.
Esta estructura es algo flexible, pudiendo expresarse en lenguaje usual de
otras maneras, tales como:
“Hay números enteros que son números naturales”.
“Existen números enteros, tales que son números naturales”.
161
“Algún número entero es un número natural”.

“Algunos números enteros son números naturales”.
La expresión x/ p(x) es verdadera si y solo si por lo menos una

de las proposiciones, que se consiguen al sustituir x por los ele-
mentos del universo donde está definida p(x), es verdadera.
6.1.2. Cuantificador universal
El símbolo “ ” se denomina cuantificador universal afirmativo y se lee “pa-

ra todo”. Lo empleamos para cuantificar la función proposicional escribien-
do en símbolos de la siguiente forma:
x U: p(x)
Esta expresión simbólica se lee: “Para todo x que pertenece al conjunto de
referencia (U), p(x) es verdadero”.
Por ejemplo, si:
U = ℕ y p(x): x es un número entero

La expresión:
x ℕ : p(x)
se lee: ”Para todo x que pertenece a los naturales se cumple que x es un
número entero”.
Al igual que en el caso del cuantificador existencial, podemos expresar esto
en lenguaje usual de otras maneras, tales como:
“Todo número natural es un número entero”.
“Cualquier número natural es un número entero”.
“Cada número natural es un número entero”.
“ x : p(x)” es verdadera si y solo si son verdaderas todas las pro-

posiciones que se obtienen al reemplazar la variable x por cada uno
de los elementos pertenecientes al conjunto donde está definida
p(x).
Actividad 11
Encontrar el valor de verdad de la siguiente expresión definida en ℝ:
x ℝ : x2 > 0
162
En síntesis:
Una expresión cuantificada universal o existencialmente es una nueva
proposición cuyo valor de verdad se establece de la siguiente manera:
La proposición “ x / p(x)” es verdadera cuando hay al menos un valor
de x en su conjunto de referencia que haga verdadera la proposición
p(x) y será falsa si no existe un solo elemento de tal conjunto que veri-
fique p(x).
La proposición “ x : p(x)” es verdadera si la proposición p(x) se veri-
fica para todos los elementos del conjunto de referencia y falsa si al
menos un elemento la hace falsa.
6.2. Negación de los cuantificadores
Cuando negamos funciones proposicionales cuantificadas, es muy común

confundirnos al momento de expresar coloquialmente la negación y deter-
minar su valor de verdad. Pensemos por un momento en la proposición:
“Algunos números negativos son números naturales”.
¿Cómo expresaríamos su negación? Negar que existe un número negativo
que sea natural es equivalente a afirmar que todos los números negativos
son no naturales.
Quizás nos veremos tentados a decir que la negación de este enun-

ciado es:
“Algunos números negativos no son números naturales”.
¡Pero esta forma de negar tal enunciado es incorrecta!
Consideremos la función proposicional:

p(x): x > x > x + 1
definida en el conjunto de los números naturales y cuantificada como:
x ℕ / p(x)
Su negación será:
“No es cierto que existe un número natural, tal que x > x + 1”.
En símbolos:
x ℕ /x > x + 1
Esto es equivalente a decir:
“Para todo número natural se verifica que x ≤ x + 1”.
En símbolos:
x ℕ/x>x+1 x:x≤x+1
Esto, a su vez, es equivalente a:
x ℕ/x>x+1 x : (x > x + 1)
163
En los dos ejemplos vemos que:
La negación de un cuantificador existencial es equivalente a un cuanti-

ficador universal respecto de la función proposicional negada.
Podemos establecer que, en general, la negación de un cuantificador exis-

tencial se expresa en símbolos de la siguiente manera:
x ℕ / p(x)] x : p(x)
Veamos ahora qué ocurre en el caso del cuantificador universal.
Dado el enunciado:
“Todo número natural es un número entero”.
Podríamos pensar que su negación en lenguaje coloquial será:

“Ningún número natural es un número entero”.
Sin embargo, esto nuevamente es incorrecto.
Negar la proposición todo número natural es un número entero es equiva-

lente a afirmar que existe al menos un número natural que no es entero.
Dada la función proposicional:

z + 4 < 10
definida en el conjunto de los números naturales y cuantificada como:
z ℕ: z + 4 < 10
Su negación será:
“No es cierto que para todo número natural z + 4 < 10”.
En símbolos:
z ℕ: z + 4 < 10]
Esto equivale a decir:
“Existen algunos números naturales que no verifican z + 4 < 10”
z ℕ: z + 4 < 10] ⇔ z / z + 4 10
En los dos ejemplos vemos que:
La negación de un cuantificador universal es equivalente a un cuantifi-

cador existencial respecto de la función proposicional negada.
Podemos establecer que, en general, la negación de un cuantificador univer-

sal se expresa en símbolos de la siguiente manera:
x ℕ: p(x)] x / p(x)
Algunas de las formas más comunes de negar funciones proposicionales
cuantificadas son:
164
Proposición original Negación

Algunos... Todos… no (Ningún)
Todos… Algunos.... no
En símbolos, podemos resumir la negación de los cuantificadores como:
~ [ x /p(x)] x :~ p(x)
~ [ x : p(x)] x/ ~ p(x)
Actividad 12
Expresar en símbolos los siguientes enunciados, negarlos y establecer el

valor de verdad de su negación:
1) Toda sustancia es líquida.
2) Hay mamíferos invertebrados.
3) Alguien no es perfecto.
4) No hay objetos sólidos.
Actividad 13
Dada la siguiente expresión: “Toda expresión algebraica irracional posee la

indeterminada sometida a la operación de radicación”, determinar:
a) La función proposicional correspondiente.
b) La forma simbólica de la expresión dada.
c) La negación de la expresión dada.
d) La retraducción al lenguaje coloquial de la negación.
e) El valor de verdad de la negación. Justificar la respuesta.
Actividad 14
Dada la expresión de la primera fila, completar la tabla:
“Alguna diferencia de polinomios no es un

Proposición
monomio”
Variable y función proposicional
Expresión en símbolos
Negación en símbolos
Retraducción al lenguaje colo-
quial de la negación
Valor de verdad de la negación.
Justificar la respuesta
165
7. Operaciones entre conjuntos

Así como los conectivos lógicos definen “operaciones” entre proposiciones,
también es posible definir operaciones entre conjuntos. Estas operaciones
tienen estrecha relación con las operaciones lógicas ya estudiadas. A conti-
nuación, estudiaremos las siguientes operaciones entre conjuntos: comple-
mentación, unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica, como así
también la relación existente entre ellas y las operaciones lógicas respecti-
vas.
7.1. Complementación
En el conjunto universal de estudiantes que se inscribieron para ingresar a la

Facultad en el año 2008, podemos definir el siguiente conjunto:
A = {estudiantes que se inscribieron nacidos/as en la ciudad de Córdoba -
Capital}
Otro conjunto que podemos definir es el formado por los/as inscriptos/as
nacidos/as en otras localidades (fuera de Córdoba Capital). A este nuevo
conjunto se lo llama complementario de A o complemento de A y se simbo-
liza A’.
En general definimos:
El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los

elementos del referencial o universal que no pertenecen al conjunto A.
Al complemento de A lo representamos gráficamente como la zona som-

breada del siguiente diagrama de Venn:
De la definición podemos deducir que la operación de complementación

de conjuntos está vinculada con la negación lógica de una función pro-
posicional.
A puede ser definido como el conjunto solución de la función proposi-
cional:
p(x) : x es un/a estudiante nacido/a en la ciudad de
Córdoba - Capital.
Mientras que el conjunto solución de la negación de la función proposi-
cional:
p(x): x es un/a estudiante nacido/a fuera de la ciudad de
Córdoba - Capital
define el complemento de A.
166
Propiedades de la complementación:
El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío. Recíprocamen-

te, el complemento del conjunto vacío es el conjunto universal. En símbolos:
U= '=U
El complemento del complemento de un conjunto es el conjunto original.
Simbólicamente:
(A’)’= A
Actividad 15
a) Si el conjunto B está formado por los números naturales y el conjunto

universal son los enteros, ¿cuál es el complemento de B ?
b) Determinar el complemento de los siguientes conjuntos:
A = x /x ℕ 2x 16
2
B = x /x ℕ x =5
C = x /x ℕ x es múltiplo de 2
7.2. Intersección entre conjuntos
Definamos ahora la operación intersección de dos conjuntos:
Sean A y B dos conjuntos, definimos el conjunto “A intersección B” co-

mo aquel cuyos elementos pertenecen a A y a B, que denotaremos por
A B.
En símbolos: A B x / x A x B
En el siguiente diagrama de Venn, podemos ver la intersección de dos con-

juntos cualesquiera A y B en la región sombreada:
En el conjunto de estudiantes que se inscribieron para ingresar en la Facul-

tad de Ciencias Económicas, definimos los siguientes conjuntos:
P = {x /x es estudiante procedente de la ciudad de Córdoba}
Q = {x /x es estudiante que trabaja}
La intersección de los conjuntos P y Q se expresa como:
P Q = {x /x es estudiante procedente de la ciudad de Córdoba y que tra-
baja}
167
Recordando que las funciones proposicionales pueden utili-

zarse para definir conjuntos por comprensión y pueden vin-
cularse mediante el uso de los conectivos lógicos, podemos
deducir, que la operación de intersección de conjuntos está
vinculada con la conjunción de dos funciones proposiciona-
les.
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de
la proposición q(x), entonces el conjunto P Q es el con-
junto solución de p(x) q(x).
Consideremos ahora los siguientes conjuntos:

V = Estudiantes inscriptos varones
M = Estudiantes inscriptas mujeres
¿Cuál es la intersección de los conjuntos V y M ?
Cuando la intersección entre dos conjuntos es el conjunto vacío se dice

que los conjuntos son disjuntos.
Propiedades de la intersección
La intersección goza de las siguientes propiedades:

1) Asociativa: (A B) C=A (B C)
2) Conmutativa: A B =B A
3) La intersección de un conjunto cualquiera A con el conjunto vacío es el
conjunto vacío: A =
4) La intersección de un conjunto cualquiera A con su complemento es el
conjunto vacío: A A' =
5) La intersección del conjunto Universal con un conjunto cualquiera A es
dicho conjunto A : A U = A
Actividad 16
Dados los siguientes conjuntos:

A = {x /x ℕ x 6} C = {2, 4, 6, 8, 10} D = 1, 3, 5}
B = {1, 3, 5, 7, 9} U = {x /x ℕ x ≤ 10}
Encontrar:
a) A B; b) B D; c) A C; d) C D; e) A D; f) B C
Actividad 17
Dados los conjuntos:

A = {x /x = 2n n ℕ} y B = {z/z = 4n n ℕ}
a) Definir en forma coloquial (lenguaje corriente) el conjunto A y el conjun-
to B.
168
b) Encontrar su intersección.
Actividad 18

A = {x / x ℕ 2 x 8};
B = {z / z ℕ z=2x 1 x A}
a) Definir por extensión los conjuntos A y B.
b) Encontrar su intersección.
7.3. Unión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, definimos la unión entre ellos como:
La unión de A con B que representamos A B es el conjunto formado

por los elementos que pertenecen a A o a B.
En símbolos: A B = {x /x A x B}
Gráficamente, la unión de dos conjuntos A y B se representa por el área

sombreada:
Para los conjuntos ya definidos:

P = {x /x es estudiante procedente de la ciudad de Córdoba}
Q = {x /x es estudiante que trabaja}
La unión de los mismos se expresa como:
P Q = {x /x es estudiante procedente de la ciudad de Córdoba o que
trabaja}
El conjunto unión está formado por quienes proceden de la ciudad de Cór-
doba o quienes trabajan, teniendo en este caso el conectivo “o” sentido in-
cluyente, es decir que, dentro del conjunto, están también los que reúnen
ambas condiciones.
Al igual que en la intersección de conjuntos, es posible relacionar la unión
con una operación lógica: la disyunción con sentido incluyente.
La operación de unión de conjuntos está vinculada con la disyun-

ción inclusiva de dos funciones proposicionales.
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la
proposición q(x), entonces P Q es el conjunto solución de la
proposición “p(x) q(x)”.
169
Propiedades de la Unión
a) Asociativa: (A B) C=A (B C)
b) Conmutativa: A B=B A
c) La unión de un conjunto cualquiera A con el conjunto vacío es el mismo
conjunto A:
A =A
d) La unión de un conjunto cualquiera A con su complemento es el conjun-
to universal:
A A’ = U
e) La unión del universal con un conjunto cualquiera A es el conjunto uni-
versal:
A U=U
Actividad 19
Con los conjuntos de la Actividad 16, calcular:

A B A D A C B D B C C D
Actividad 20

A = x/x = 3n n ℕ
B = {z/z = 6 n n ℕ
a) Definir en forma coloquial (lenguaje corriente) el conjunto A y el conjun-
to B.
b) Encontrar su unión.
Actividad 21

A = x/x ℕ 1≤x 6
B = z/z ℕ z = 2x + 1 x A
a) Definir por extensión el conjunto A y el conjunto B.
b) Encontrar su unión.
Actividad 22
Dado el siguiente conjunto:

M = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}
y las funciones proposicionales:
p(x): x 1 0
q(x): x 2 1 0
a) Formar la conjunción y la disyunción de las funciones proposicionales.
170
b) Hallar el conjunto solución de las componentes y el conjunto solución de

las dos funciones proposicionales compuestas.
7.4. Diferencia entre conjuntos
Dados A y B, definimos:
La diferencia de A con B que representamos A - B es el conjunto forma-

do por los elementos de A que no pertenecen a B.
A - B = {x/x A x B}
Gráficamente se representa como muestra la figura siguiente:
Considerando los conjuntos P y Q ya definidos, la diferencia entre ellos está

formado por las personas inscriptas que proceden de la ciudad de Córdoba,
pero no trabajan.
La diferencia entre conjuntos está vinculada con la función pro-

posicional compuesta p(x) q(x). Si P es el conjunto solución
de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces
P Q es el conjunto solución de la función proposicional com-
puesta p(x) q(x).
Si A y B son disjuntos, entonces A - B = A.
Recordemos:
Actividad 23 Cuando A y B son
disjuntos:
a) Completar los siguientes enunciados de modo que sean verdaderos: A B=
La diferencia U - A es igual a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La diferencia A - U es igual a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Teniendo en cuenta la definición de diferencia:
¿Se considera que A – B = B – A ? Justificar la respuesta.
Representar estas operaciones en diagramas de Venn.
Actividad 24
Con los conjuntos de la Actividad 16, calcular:

A–C A–B C–A B–A
Representar estas operaciones en diagramas de Venn.
171
7.5. Diferencia simétrica
Definamos ahora la operación “diferencia simétrica” entre dos conjuntos.
La diferencia simétrica entre A y B que simbolizamos A B es el con-

junto formado por los elementos de A que no pertenecen a B o los de B
que no pertenecen a A.
La diferencia simétrica A B puede definirse como la unión de (A - B) con

(B - A).
A B = x/x A x B x B x A
Gráficamente:
Para el conjunto de estudiantes que se inscribieron para ingresar a la Facul-

tad en el año 2008, definimos los conjuntos:
R = {estudiantes que estudiarán Economía}
S = {estudiantes que estudiarán Administración}
P Q = {estudiantes que estudiarán solamente Economía o solamente
Administración}
La diferencia simétrica entre conjuntos está vinculada con la dis-

yunción excluyente de dos funciones proposicionales. Si P es el
conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición
q(x), entonces P Q es el conjunto solución de la proposición
p(x) q(x).
Actividad 25
a) Tratar de expresar la diferencia simétrica como la diferencia entre dos

conjuntos. Para acompañarlo en la resolución, aquí va una ayuda: el sus-
traendo es: A B
b) Con los conjuntos de la actividad 16:
A B A C
Actividad 26
Definir la región sombreada como operación entre los conjuntos represen-

tados.
172
a) b)
Actividad 27
En los diagramas de Venn, sombrear:

a) (A - B) (B C)
b) (A - B) C
Actividad 28
Dados los conjuntos de número reales representados por los siguientes

intervalos:
A = [2, 4]; B = (1, 3] y C = [3, 5)
Obtener:
a) A B d) A B
b) (A B) C e) C A
c) A B C f) (A B) (C A)
8. Relaciones entre conjuntos

Cuando dos conjuntos se comparan entre sí, pueden definirse distintas re-
laciones, entre las que consideraremos la relación de igualdad y la de inclu-
sión, esta última en sentido amplio y estricto.
8.1. Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si todos los elementos de A

son elementos de B y todos los elementos de B son elementos de A.
173
Simbólicamente:
A=B ( a A a B b B b A)
Analicemos si los siguientes conjuntos son iguales. Dados:
A = {3, 5} B = {x /[(x 3)(x 5) = 0] }
El conjunto A está definido por extensión y B por comprensión. Para ver si
son iguales, debemos redefinir el conjunto B, haciéndolo por extensión.
Recordemos que un producto es nulo si por lo menos uno de los factores es
nulo.
En la expresión (x 3) (x 5) hay dos factores:
(x 3) y (x 5)
Para que se anule el primero, x debe ser 3; para que se anule el segundo, x
debe ser 5. Por lo tanto, para que se anule el producto, x debe ser 3 “o” 5 (“o”
inclusive).
De modo que el conjunto B, redefinido por extensión, es:
B = {3, 5}
Es decir que ambos conjuntos son iguales.
La igualdad entre conjuntos puede expresarse como una equiva-

lencia lógica entre dos funciones proposicionales.
Actividad 29
Determinar si los siguientes conjuntos son iguales:

a) A = {x/x ℕ x2 < 10}
B = {1, 2, 3
C = {x/x ℕ x < 4}
b) A = {y/y ℕ 2y < 16}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
8.2. Inclusión – Subconjuntos
Sea U el conjunto de estudiantes que se inscribieron para ingresar en la

Facultad de Ciencias Económicas en el año 2008, podemos definir los si-
guientes conjuntos:
M = personas inscriptas que proceden de la ciudad de Córdoba
G = personas inscriptas que proceden de la ciudad de Córdoba y son ba-
chilleres con orientación en Gestión
En los conjuntos definidos, todo elemento de G es un elemento del conjun-
to M y esto puede expresarse como:
G es subconjunto de M
G está incluido en M
M incluye a G
174
Las tres proposiciones anteriores tienen el mismo significado.

En general, para dos conjuntos cualesquiera A y B:
El conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si y solo si todos los

elementos de A también lo son de B.
En símbolos:
A está incluido en B a A a B
Con esta definición, todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A está in-
cluido en A. Si se contempla esta posibilidad, la inclusión se dice que es
amplia y la denotamos:
A B
Por lo contrario, si B contiene elementos que no pertenecen a A, se dice
que A está incluido estrictamente en B y se simboliza:
A B
En nuestro ejemplo, podemos definir la inclusión amplia entre el conjunto G
y M, en símbolos G M, ya que existe la posibilidad de que toda persona
inscripta que procede de la ciudad de Córdoba sea Bachiller con orientación
en Gestión, en cuyo caso se cumpliría la igualdad entre los conjuntos.
La inclusión amplia nos permite dar otra definición de igualdad entre con-
juntos:
A=B A B B A
En otras palabras, dos conjuntos son iguales si cada uno es subconjunto del
otro.
Es conveniente destacar que todo conjunto es subconjunto del

universal y que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier con-
junto.
Observemos que, cuando trabajamos dentro del conjunto universal de los

números reales, los subconjuntos pueden adoptar la estructura particular
de intervalos. Por ejemplo, A = [ 2, 5], B = ( 1, ), C = ( , 4] son algunos
de los infinitos subconjuntos que posee el conjunto de los números reales.
Actividad 30
Para los conjuntos de la actividad 29 Punto b y teniendo en cuenta los con-

ceptos tratados:
Invitamos a ver un
Determinar si entre A y B hay relación de inclusión. video sobre el tema
Si se observa esa relación, identificar de qué tipo es, justificando la respues- en el Aula Virtual,
en Recursos y Mate-
ta.
riales del Capítulo 4.
Actividad 31
Analizar los siguientes conjuntos definidos por comprensión:

A = Conjunto de los enteros positivos menores que 11.
175
B = Conjunto de los enteros positivos impares menores que 11.

C = {x/x ℤ x 4 = 6}
U = ℤ (números enteros)
En base a ese análisis:
a) Siempre que sea posible, definir los conjuntos por extensión.
b) Identificar relaciones de subconjuntos entre ellos.
Actividad 32
Indicar si existe relación de igualdad o de inclusión entre los siguientes con-

juntos:
A = {x/x (x 1) = 0}
B = {x/x ℤ 2 < x < 2}
C = {x/x ℝ x + 3 = 4}
A manera de resumen: Cuando dos conjuntos no son iguales, se pueden

presentar dos tipos de situaciones, tal como se observa en las siguientes
ilustraciones:
1) A y B son diferentes, pero tienen elementos en común:
U U U
A B
A B B A
a) A B b) A B B A c) B A A B
2) Cuando A y B son diferentes y además no tienen elementos en común,
decimos que A y B son conjuntos disjuntos.
A B
Resumen de la relación entre la lógica simbólica y la teoría de conjuntos
Para resumir la relación existente entre las operaciones lógicas y las opera-
ciones entre conjuntos, nos valdremos de los siguientes conjuntos y funcio-
nes proposicionales
Dados dos conjuntos A y B cualesquiera y dos funciones proposicionales:
p(x): x pertenece al conjunto A
q(x): x pertenece al conjunto B
176
Podemos resumir las principales operaciones lógicas y entre conjuntos co-

mo sigue:
A=B A B A’ A B A-B
p(x) q(x) p(x) q(x) ~p(x) p(x) q(x) p(x) ~q(x)
Álgebra proposicional y álgebra de conjuntos
En la siguiente tabla se presentan las mismas propiedades en el álgebra de

conjuntos y en el álgebra de proposiciones, considerando en cada caso las
operaciones y simbologías apropiadas.
Álgebra de proposiciones Álgebra de conjuntos
A A' U
A A'
Ley de Leyes de
~ ~p p A' '
A
complemento complemento
U'
'
U
'
Leyes de
~ p q ~p ~q Leyes de
A B A' B'
de Morgan ~ p q ~p ~q de Morgan A B
'
A' B'
9. Conjuntos ordenados
Al introducir la idea de conjunto como concepto primitivo, dijimos que el
orden en que se enumeran los objetos carece de importancia. Ahora trabaja-
remos con ciertos casos en los que el orden en que están dispuestos los
elementos sí tiene importancia.
9.1. Par ordenado y producto cartesiano
Dados el conjunto A, se llama par ordenado al conjunto formado por

dos elementos del conjunto A ordenados según un criterio que esta-
blece cuál es el primer elemento y cuál el segundo.
(a, b) será un par ordenado y (b, a) será otro, en general distinto del
primero.
En el par (a, b), a se denomina primera componente del par y b segunda

componente.
Dos pares ordenados son iguales si se verifica que las correspondientes

componentes lo son. En símbolos:
(a, b) = (c, d) a=c b=d
177
Producto cartesiano de A con B
Con el concepto de par ordenado, podremos definir:
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano o conjunto produc-

to de A por B es un conjunto formado por todos los posibles pares or-
denados (a, b) cuya primera componente pertenece al conjunto A y la
segunda al conjunto B.
Los elementos son pares ordenados, es decir, interesa el orden.

Sean A = {1, 2, 3 y B = 2, 4, 6, 8
A x B = (1, 2); (1, 4); (1, 6); (1, 8); (2, 2); (2, 4); (2, 6); (2, 8); (3, 2); (3, 4); (3, 6);
(3, 8)
Del mismo modo, podríamos determinar B x A.
Número de elementos del producto cartesiano
Los conjuntos A x B y B x A tienen igual cantidad de elementos; en el ejem-

plo planteado, poseen 12.
En general, si:
n(A) = na y n(B) = nb
entonces:
n(A x B) = n(B x A) = na x nb
El número de elementos del conjunto producto cartesiano es el produc-

to del número de elementos de cada conjunto.
Actividad 33
Considerar el valor de verdad de la siguiente proposición:

“El producto cartesiano A x B es igual al producto cartesiano de B x A”.
Justificar la respuesta.
El producto cartesiano puede definirse entre los elementos de un mismo
conjunto A, y se simboliza A x A = A 2.
Si A = 2, 4, 6}
A x A = (2, 2); (2, 4); (2, 6); (4, 2); (4, 4); (4, 6); (6, 2); (6, 4); (6, 6)}
n(A x A) = (na)2
¿Y si intentamos definir todos los subconjuntos posibles de A x A? Real-
mente son muchos subconjuntos. ¿Cuántos? ¡512! Interroguémonos acerca
de cómo los encontraríamos. Como guía, tengamos en cuenta:
¿Cuántos pares puede tener cada subconjunto?
Recordemos: si el ¿Ninguno?
producto cartesiano ¿Uno?
tiene k pares todos
los subconjuntos ¿Cuántos subconjuntos de un solo par?
posibles son 2k. ¿Cuántos subconjuntos de dos pares?
178
El producto cartesiano puede ser generalizado para más de dos conjuntos.

Por ejemplo, en el caso de tres conjuntos A, B y C, lo definimos como:
Producto cartesiano de A con B con C :

Es un conjunto formado por todas las posibles ternas ordenadas En el Aula Virtual, en
(a, b, c) cuya primera componente pertenece al conjunto A, la segunda
Materiales, se encuen-
al conjunto B y la tercera al conjunto C. tra un resumen del
Su número de elementos es: n(A xB x C) = na x nb x nc Capítulo 4.

Ejercicio 1
Definir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:

a) A = {x/x ℕ x es par x > 4}
b) B = {x/x ℕ x < 0}
c) D = {x/x ℤ |x | 2}
Una pista: Si se encuentran dificultades para resolver los planteos c), pre-
guntarse cuáles son los enteros cuya distancia al 0 es menor o igual que 2.
Ejercicio 2
Definir por comprensión los siguientes conjuntos:

a) A = {6, 12, 18, 24, ...}
b) B = { 2, 2}
Ejercicio 3
Sean los conjuntos:

A = {x/x ℕ x es par 5 < x < 13}
B = {x/x ℕ x es divisor de 12}
C = {x/x ℕ x es múltiplo de 6 x 19}
a) Definir por extensión A, B y C.
b) Encontrar el conjunto A - C.
c) Determinar el conjunto B (A C).
Ejercicio 4
Dada la proposición compuesta:

~ (p q) r
¿Cuál será su valor de verdad si se sabe que p es falsa y r verdadera?
Ejercicio 5
Sean: A = x x x m, m natural
2
179
B= x x x n, n natural x 9
6
a) Determinar A'.
b) Obtener (A B).
Ejercicio 6
a) Definir por extensión los siguientes conjuntos:

A = {x/x ℕ x < 3 x = 5}
B = {x/x ℕ 5x 5 10}
b) Obtener A x B y B x A.
Ejercicio 7
¿Qué deberá ocurrir para que la proposición “¿Si la empresa se vende, a los
empleados se les asignarán nuevas tareas o se los despedirá” sea falsa?
Ejercicio 8
Dada la proposición compuesta: “Si el libro de Matemática y el de Conta-

bilidad están en el primer estante, el de IEUyE no está guardado en la
biblioteca o se encuentra en otro estante”, y siendo:
p: el libro de Matemática está en el primer estante;
r: el libro de IEUyE está guardado en la biblioteca.
a) Enunciar las proposiciones simples que faltan.
b) Expresar simbólicamente.
Ejercicio 9
Si:
A = {estudiantes que cursan Matemática I}
B = {estudiantes que cursan Principios y Estructura de la Economía}
C = {estudiantes que cursan Introducción a la Administración}
a) Esquematizar la situación en un diagrama de Venn adecuado, sombrear
el conjunto (A C) B y expresar en lenguaje coloquial el resultado obte-
nido.
b) En otro gráfico similar, sombrear el conjunto (A C) B y expresar en
lenguaje coloquial el resultado obtenido.
Ejercicio 10
Siendo p y q dos proposiciones simples unidas de la siguiente manera “si q,

entonces p”, indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
a) si q es falsa, la proposición compuesta será falsa.
b) p es el antecedente de la proposición compuesta y q su consecuente.
c) la proposición será falsa independientemente del valor de verdad de q.
d) q recibe el nombre de antecedente de la proposición compuesta y p el
de consecuente.
e) p es deducible lógicamente de q.
180
Ejercicio 11
Definir el complemento del intervalo ( 2, 4) siendo el universal el intervalo

cerrado [ 8, 8].
Ejercicio 12
Considerar los conjuntos:

A = {x/x ℝ 2 < x < 7}
B = {x/x ℝ 4 < x + 1 < 4}
Resolver:
a) ¿Cuál es el conjunto universal en este caso?
b) ¿Se pueden definir A y B por extensión? ¿Por qué? Encontrar una forma
alternativa de definición de estos conjuntos.
c) Obtener A' en notación de intervalo y B ' por comprensión.
d) Obtener A B, A B, A B y A B (en notación de intervalos).
Ejercicio 13
Sea p(x) una función proposicional definida sobre un conjunto A, ¿cuál de

las siguientes afirmaciones es correcta?
a) Para saber si p(x) es una proposición hay que reemplazar la variable x
por un elemento de A y construir su tabla de verdad.
b) p(x) se convierte en proposición, reemplazando la variable x por cual-
quier elemento de A.
c) p(x) no será una proposición para los elementos de A que la hacen falsa.
d) p(x) será una proposición solamente para los elementos de A que la
hacen verdadera.
e) Ninguna de las afirmaciones es correcta.
Ejercicio 14
Dada una función proposicional p(x) definida sobre un conjunto B, y la

afirmación
“ x B : p(x)”, ¿cuándo será verdadera la negación de la proposición
enunciada?
Ejercicio 15
Dada la proposición:
“Todo polinomio de la forma x2 a2 es divisible por x + a”
Enunciar:
a) p(x).
b) Enunciado simbólico.
c) Negación de la proposición.
d) Retraducción al lenguaje coloquial y valor de verdad de la negación. Justi-
ficar la respuesta.
181
Ejercicio 16
Dadas:
En el Aula Virtual se x = árbol
encuentra una Auto- p(x) = x pierde sus hojas en invierno
evaluación que reco- Escribir el enunciado simbólico de “Algunos árboles no pierden sus hojas en
mendamos realizar.
invierno”, su negación en símbolos y la retraducción al lenguaje coloquial de
la negación.

Actividad 1
A = Conjunto infinito
N = Conjunto finito
B = Conjunto infinito
M = Conjunto sin elementos
S = Conjunto finito
F = Conjunto finito
C = Conjunto finito
H = Conjunto infinito
Actividad 2
1. ¡Qué manera de expresarte! NO ES proposición.

2. La ciudad de Florianópolis se encuentra en una isla. ES proposición.
3. ¿Estamos preparados para el parcial de matemática? NO ES proposición.
4. El rubro Bienes de Uso pertenece al Pasivo de una empresa. ES proposi-
ción.
5. El aumento del nivel de precios está siendo contenido por el gobierno. ES
proposición.
6. El conjunto de los números racionales es infinito. ES proposición.
7. ¡Espero conseguir entradas para el concierto del fin de semana! NO ES
proposición.
Actividad 3
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
182
Actividad 4
1. “En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano”.

a) p = En el hemisferio sur, julio es un mes de verano
b) El conectivo lógico que interviene es “no” (~)
c) ~p
2. “La suma y el producto de dos números naturales es otro natural”.
a) p = La suma de dos números naturales es otro número natural
b) q = El producto de dos números naturales es otro número natural
c) El conectivo lógico que interviene es “y” ( )
d) p q
3. “La cantidad demandada de un bien aumenta si y solo si baja su precio”.
a) p = La cantidad demandada de un bien aumenta
b) q = El precio de un bien baja
c) El conectivo lógico que interviene es “si y solo si” ( )
d) p q
4. “Los empleos son formales o precarios”.
a) p = Los empleos son formales
b) q = Los empleos son precarios
c) El conectivo lógico que interviene es “o” con sentido exclusivo ( )
d) p q
5. “Ana estudia o trabaja en la Facultad de Ciencias Económicas de la
UNC”.
a) p = Ana estudia en la Facultad de Ciencias Económicas de la UNC
b) q = Ana trabaja en la Facultad de Ciencias Económicas de la UNC
c) El conectivo lógico que interviene es “o” con sentido inclusivo ( )
d) p q
6. “Si el sol es una estrella, tiene luz propia”.
a) p = El sol es una estrella
b) q = El sol tiene luz propia
c) El conectivo lógico que interviene es “si, entonces” ( )
d) p q
7. “Las personas económicamente activas están ocupadas o desocupadas”.
a) p = Las personas económicamente activas están ocupadas
b) q = Las personas económicamente activas están desocupadas
c) El conectivo lógico que interviene es “o” con sentido exclusivo ( )
d) p q
8. “Si un número es entero, entonces es racional”.
a) p = Un número es entero
b) q = Un número es racional
c) El conectivo lógico que interviene es “si, entonces” ( )
e) p q
9. “Mario es inteligente, pero distraído”.
a) p = Mario es inteligente
b) q = Mario es distraído
c) El conectivo lógico que interviene es “y” ( )
e) p q
183
Actividad 5
~ p = 5 no es divisor de 12. La negación es verdadera

~ q = No es cierto que 2 es un número primo. La negación es falsa.
Actividad 6
a) Disyunción inclusiva.
b) Disyunción exclusiva.
c) Disyunción inclusiva.
d) Disyunción exclusiva.
e) Disyunción inclusiva.
f) Disyunción exclusiva.
Actividad 7
1) “Si el candidato defiende los derechos civiles, ganará las elecciones depar-
tamentales y llegará a la presidencia”.
a) p = El candidato defiende los derechos civiles.
q = El candidato ganará las elecciones departamentales.
r = El candidato llegará a la presidencia.
b) p (q r)
c)
p (q r)
V V V V V
V F V F F
V F F F V
V F F F F
F V V V V
F V V F F
F V F F V
F V F F F
2) “Si los contenidos del seminario son buenos y el docente da calificaciones

justas, vale la pena inscribirse en él”.
a) p = Los contenidos del seminario son buenos.
q = El docente da calificaciones justas.
r = Vale la pena inscribirse en el seminario.
b) (p q) r
3) “Es falso que para el concierto del fin de semana haya que vestir ropa
formal y el costo de la entrada sea de $200”.
a) p = Para el concierto del fin de semana hay que vestir ropa formal.
q = El costo de la entrada es de $200.
b) ~ (p q)
4) “El vuelo de Jorge se retrasó y solo llegará a horario a la junta con la Co-
misión Directiva si toma un taxi hasta el centro, o reprograma la reunión
con el Gerente de Personal”.
184
a) p = El vuelo de Jorge se retrasó.

q = Jorge llegará a horario a la junta con la Comisión Directiva.
r = Jorge se toma un taxi hasta el centro.
s = Jorge reprograma la reunión con el Gerente de Personal.
b) p [(r s) q]
5) “Ni el lunes ni el martes tendremos reparto a domicilio en el restaurante”.
a) p = El lunes tendremos reparto a domicilio en el restaurante.
q = El martes tendremos reparto a domicilio en el restaurante.
b) ~ p ~q
6) “Si las autoridades no mejoran las condiciones para el sector, los empre-
sarios mantendrán las medidas de fuerza y no pagarán los impuestos”.
a) p = Las autoridades mejoran las condiciones para el sector.
q = Los empresarios mantendrán las medidas de fuerza.
r = Los empresarios pagarán los impuestos.
b) ~ p (q ~ r)
c)
~ p (q ~ r)
F V V V F F V
F V V V V V F
F V V F F F V
F V V F F V F
Actividad 8
a)
~ p ~ q
F V F F V
F V V V F
V F V F V
V F V V F
~ (p q)
F V V V
V V F F
V F F V
V F F F
b) Las tablas obtenidas son iguales.
Actividad 9
a) Enunciado coloquial: “La institución no lanzará nuevos cursos de perfec-

cionamiento ni evaluará a sus profesionales”.
Enunciado simbólico: ~ p ~ q
b) ~ (~ p ~ q) p q
185
c) “La institución lanzará nuevos cursos de perfeccionamiento o evaluará a

sus profesionales”.
Actividad 10
1 1 1
a) x ; ; P=
7 7 7
b) P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) P = {1, 2, 3, 4, 5}
Actividad 11
a) El 0 al cuadrado es 0, por lo tanto, la proposición es falsa.
Actividad 12
1) Toda sustancia es líquida.

x = sustancia; p(x): x es líquida. x : p(x)
~ [ x : p(x) ] x/ ~p(x) ; La negación es verdadera, “existen sustancias no
líquidas”.
2) Hay mamíferos invertebrados.
x = mamífero; p(x): x invertebrado. x /p(x)
~ [ x /p(x ) ] x :~ p(x) ; La negación es verdadera, “Ningún mamífero es
invertebrado”.
3) Alguien no es perfecto.
x = persona (Alguien es un pronombre indefinido que significa “una persona
cualquiera sin ninguna determinación”); p(x): x es perfecto. x/ ~p(x)
~ [ x/ ~p(x) ] x : p(x) ; La negación es falsa, no es cierto que “todos son
perfectos”.
4) No hay objetos sólidos.
x = objeto; p(x): x es sólido. En símbolos es: ~ [ x /p(x) ] x :~ p(x)
~ [ x :~ p(x) ] x /p(x) ; La negación es verdadera, “existen objetos sóli-
dos”.
Actividad 13
“Toda expresión algebraica irracional posee la indeterminada sometida a la

operación de radicación”.
a) x = Expresión algebraica irracional; p(x) = x posee la indeterminada so-
metida a la operación de radicación.
b) x : p(x)
c) ~[ x : p(x) ] x/ ~p(x)
d) “Algunas expresiones algebraicas irracionales no poseen la indeterminada
sometida a la operación de radicación”.
O bien: “No es cierto que toda expresión algebraica irracional posee la inde-
terminada sometida a la operación de radicación”.
186
La negación de la expresión dada es falsa porque, por definición de expre-

sión algebraica irracional, todas ellas deben tener al menos una de sus inde-
terminadas sometida a la operación de radicación o su equivalente, “poten-
cia de exponente fraccionario”.
Actividad 14
Proposición “Alguna diferencia de polinomios no es un monomio”

Variable y función pro- x = diferencia de polinomios
posicional p(x) = x es un monomio
Expresión en símbolos x/ ~p(x)
Negación en símbolos ~ [ x : ~ p(x) ] x /p(x)
Retraducción al lengua- “Toda diferencia de polinomios es un monomio”.
je coloquial de la nega- O bien: “No es cierto que alguna diferencia de poli-
ción nomios no es un monomio”.
Valor de verdad de la La negación es falsa, ya que una diferencia de polino-
negación. Justificar la mios cualquiera puede dar como resultado un mono-
respuesta mio u otro polinomio.
Actividad 15
a) El complemento de B son los números enteros menores o iguales que 0.

Podemos definir B’ por extensión como:
B’ = {0, 1, 2, 3, …}
b) a' = {x/x ℕ x 8}
B' = ℕ;
C' = {x/x ℕ x = 2n 1 n ℕ }
Actividad 16
a) A B = 1, 3, 5}
b) B D = {1, 3, 5}
c) A C = {2, 4}
d) C D =
e) A D = 1, 3, 5}
f) B C =
Actividad 17
a) El conjunto A es el conjunto de los números naturales pares. El conjunto

B es el conjunto de los números naturales múltiplos de 4.
b) A B = B puesto que el conjunto de los múltiples de 4 es un subconjun-
to del conjunto de los números pares.
Actividad 18
a) A = {3, 4, 5, 6, 7}
187
b) B = {5, 7, 9, 11, 13}

c) A B = {5, 7}
Actividad 19
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} B D = {1, 3, 5, 7, 9} = B
A D = {1, 2, 3, 4, 5} = A B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = U
A C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} C D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
Actividad 20
a) A es el conjunto de los números naturales múltiplos de 3.

B es el conjunto de los números naturales múltiplos de 6.
b) A B=A
Actividad 21
a) A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {3, 5, 7, 9, 11}
b) A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11}
Actividad 22
a) Conjunción: " p(x) q(x)" : " x 1 0 x 2 1 0"

Disyunción: " p(x) q(x)" : " x 1 0 x 2 1 0"
b) Solución de p(x): x 1 P 1
Solución de q(x): x 1 1 Q 1,1

Solución de " p(x) q(x)" : C P Q 1
Solución de " p(x) q(x )" : D P Q 1,1
Actividad 23
1.)
a) La diferencia U - A es igual a A’.
b) La diferencia A - U es igual a .
2.) A B no es igual a B A ya que A B es el conjunto formado por los
elementos de A que no pertenecen a B, en tanto B A es el conjunto for-
mado por los elementos de B que no pertenecen a A.
Actividad 24
A – C = {1, 3, 5} A - B = {2, 4} C – A = {6, 8, 10} B - A = {7, 9}
188
Actividad 25
1) A B = (A B) (A B)
2) A B = {2,4, 7, 9} A C = {1, 3, 5, 6, 8, 10}
Actividad 26
a) (A B) (C B) (A C)
b) C - B
Actividad 27
Actividad 28
a) A B = (1, 4] d) A B = [2, 3]
b) (A B) C = (1, 3) e) C A = (4, 5)
c) A B C = {3} f) (A B) (C A) = [2, 3] (4, 5)
Actividad 29
a) Definición por extensión de A y C :

A = {1, 2, 3}
C = 1, 2, 3}
Dado que B = {1, 2, 3 podemos concluir que A = B = C
b) Como 2 y debe ser menor que 16, la definición por extensión de A es:
189
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
El número 8 pertenece al conjunto B pero no a A, como para que exista
igualdad entre conjuntos debe cumplirse que A = B a A a B, en
este caso A ≠ B.
Actividad 30
Los conjuntos a tener en cuenta son:

A = {y/y ¥ 2y < 16} y B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
a) La definición por extensión de A es: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Dada la definición de la relación de inclusión entre conjuntos, podemos
decir que A B.
b) La relación observada es de inclusión estricta, ya que 8 B 8 A.
Actividad 31
a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = 1, 3, 5, 7, 9
C = {10}
b) B A, es decir que B es un subconjunto de A.
C A, es decir que C es un subconjunto de A.
Observar que todos estos conjuntos están incluidos en .
Actividad 32
La definición por extensión de los conjuntos a considerar es:

A = {0, 1} B = 1, 0, 1 C = {1}
Las relaciones observadas entre ello son:
A B es decir que A es un subconjunto de B.
Por otra parte, C A y C B. Gráficamente:
B
C -1
1
0
A
Actividad 33
La proposición es falsa. Los elementos del conjunto A xB son los pares or-
denados, tales que su primera componente pertenece a A y su segunda
componente pertenece a B, y los elementos del conjunto B x A son los pares
ordenados, tales que su primera componente pertenece a B y su segunda
componente pertenece a A.
190

Ejercicio 1
a) A = {6, 8, 10, ...}

b) B = { }
c) D = { 2, 1, 0, 1, 2}
Ejercicio 2
a) A = {x/x ℕ x es múltiplo de 6}
b) B = {x/x ℝ x2 = 4} o B = {x/x ℤ |x | = 2}
Ejercicio 3
a) A = {6, 8, 10, 12}; B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; C = {6, 12, 18}

b) A C = {8, 10}
c) B (A C) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Ejercicio 4
Si p es falsa y r verdadera, la proposición compuesta será falsa, si q es ver-

dadera:
~ (p q) r
F F V V F V
V F F F V V
Ejercicio 5
a) A’ = {x/x = 2k 1, k ℕ}
b) A B = { 6 }
Ejercicio 6
a) A = {1, 2, 5}
B = {1, 2, 3}
b) A x B = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (5,1); (5,2); (5,3)}
B x A = {(1,1); (1,2); (1,5); (2,1); (2,2); (2,5); (3,1); (3,2); (3,5)}
Ejercicio 7
La proposición será falsa si la empresa es vendida y no se asignan nuevas

tareas a los empleados ni se los despide.
Ejercicio 8
a) q: el libro de IEU y E se encuentra en otro estante.
191
s: el libro de Contabilidad está en el primer estante.

b) (p s) (~r q).
Ejercicio 9
a) b)
Ejercicio 10
La alternativa correcta es la d).
Ejercicio 11
Gráficamente:
[ ] [ ]
-8 -2 4 8
En símbolos: [( 2, 4)]' = [ 8, 2] [4, 8]
Ejercicio 12
a) El conjunto universal es el conjunto de números reales.

b) Dado que son subconjuntos del conjunto de los números reales, con una
cantidad infinita no numerable de elementos, no es posible definir este con-
junto por enumeración de sus elementos. La forma alternativa de definición
es a través de la notación por intervalos.
A = (2, 7) B = ( 5, 3)
c) A' = ( , 2] [7, )
B' = {x/x ℝ |x + 1| 4}
d) A B = ( 5, 7)
A B = (2, 3)
A B = [3, 7)
A B = [3, 7) ( 5, 2]
Ejercicio 13
La alternativa correcta es la b).
192
Ejercicio 14
Basta con que la afirmación sea falsa para uno de los elementos de B, para
que su negación sea verdadera.
Ejercicio 15
a) x : polinomio de la forma x2 a2;

p(x): x es divisible por “x + a”
b) x : p(x)
c) ~ x : p(x ) x / p(x )
d) La negación de la proposición es falsa, dado que cualquier polinomio de
la forma x2 a2 es divisible tanto por la suma de sus bases como por la di-
ferencia de las mismas, es decir que la proposición original es verdadera (en
caso de duda, consultar el 5º caso de factoreo).
Ejercicio 16
Enunciado simbólico: x : ~ p(x)

Negación en símbolos: ~ [ x :~ p(x)] x /p(x)
Expresión coloquial de la negación: “Todos los árboles pierden sus hojas en
invierno”. Proponemos interrogarse sobre el valor de verdad de la proposi-
ción original y su negación.
193
194
Capítulo 5
RELACIONES
Y FUNCIONES
Desafío 5
Mónica fue a dar un paseo con su coche. Durante el paseo, un gato se cruzó
delante del coche. Mónica frenó de golpe y esquivó al gato. Ligeramente
afectada, Mónica decidió volver a casa. El gráfico siguiente es un registro
simplificado de la velocidad del coche durante el paseo.
Te proponemos que reflexiones acerca de los siguientes interrogantes:

¿Cuál fue la velocidad máxima del coche durante el paseo?
¿Qué hora era cuando Mónica frenó de golpe para evitar atropellar al ga-
to?
Aproximadamente, ¿a qué velocidad se desplazaba Mónica a las 9:07 h?
¿El camino de vuelta a casa de Mónica fue más corto que la distancia reco-
rrida desde su casa al lugar donde ocurrió el incidente con el gato? ¿Qué
podríamos deducir a partir del gráfico?
*Problema extraído de educalab.es del Instituto Nacional de Evaluación
Educativa, España. Preguntas de las pruebas PISA liberadas.
Introducción
Intuitivamente la palabra relación induce la idea de correspondencia o aso-
ciación entre dos elementos. Por ejemplo, el gerente de cierto centro co-
mercial desea analizar el comportamiento de la demanda diaria de entradas
al complejo de cines y, para ello, construyó la siguiente tabla:
195
Días de la Entradas
semana vendidas
Lunes 600
Martes 1450
Miércoles 1545
Jueves 4000
Viernes 2000
Sábado 2600
Domingo 1650
Vemos que, a cada día de la semana, se le asignó el total de entradas vendi-

das ese día. Esto es lo que se denomina una relación binaria, porque expre-
sa una relación entre elementos de dos conjuntos.
Frases como “es fabricado por”, “es hijo de”, “es la capital de”, “es el doble
de”, etc. constituyen reglas de correspondencia que dan origen a relaciones
entre los elementos de dos conjuntos.
En este capítulo definiremos las componentes de una relación, la relación
inversa, veremos las formas posibles de representación gráfica y destacare-
mos aquellas relaciones que cumplen con ciertas condiciones particulares,
denominadas relaciones funcionales.
1. Relaciones
Dados dos conjuntos A y B, una relación de A en B es una regla de co-
rrespondencia que vincula elementos del conjunto A con elementos del
conjunto B, y la simbolizaremos:
r:A B
El conjunto A recibe el nombre de alcance de la relación, y el conjunto B
recibe el nombre de rango de la relación
Para ejemplificar, consideremos los siguientes conjuntos A y B:
A = {Fahrenheit, Faraday, Biro, Alexander Bell, Thomas Edison, Gutemberg}

B = {Termómetro, Transformador, Bolígrafo, Teléfono, Lamparita eléctrica,
Fonógrafo, Telescopio}
Definamos la relación de A en B “es inventor de”.
Una forma de visualizar esta relación es utilizando lo que se conoce con el
nombre de diagrama de Venn.
Los diagramas de Venn están formados por dos conjuntos, uno de partida y
otro de llegada, cuyos elementos se relacionan a través de segmentos diri-
gidos (flechas), como se muestra a continuación:
196
RELACIONES Y FUNCIONES
“es inventor de”

A B
Fahrenheit Termómetro
Faraday Transformador
Biro Bolígrafo
Teléfono
Alexander Bell
Lamparita eléctrica
Thomas Edison
Fonógrafo
Gutenberg Telescopio
También podemos representar los elementos relacionados a través del con-

junto formado por los correspondientes pares ordenados:
Observemos que el
{(Fahrenheit, Termómetro); orden en que aparecen
(Faraday, Transformador); las componentes de los
pares ordenados tiene
(Biro, Bolígrafo); que ver con la regla es-
(Alexander Bell, Teléfono); tablecida. Si cambiamos
el orden, la regla no es la
(Thomas Edison, Lamparita eléctrica); misma, sino que será
(Thomas Edison, Fonógrafo)} “fue inventado por”. ¡El
orden es importante!
Utilizando la notación de conjunto por comprensión, expresamos la rela-
ción r: “es inventor de” como
r (x , y )/ x A, y B x es inventor de y
Por otro lado, se puede ver que no todos los elementos del conjunto A es-
tán relacionados con los elementos del conjunto B. Gutemberg no fue in-
ventor de los objetos que se incluyen en el segundo conjunto, y el telesco-
pio no fue inventado por alguna de las personas del primer conjunto. Este
tipo de situaciones nos lleva a considerar los elementos de dos subconjun-
tos que forman parte de la relación, que denominaremos dominio e imagen
de la relación, gráficamente:
“es inventor de”

A B
Fahrenheit Termómetro
Faraday Transformador
Biro Bolígrafo
Teléfono
Alexander Bell
Thomas Edison Fonógrafo
D(r)
Im(r)
Gutenberg Telescopio
197
Dominio de una relación r, que designaremos con Dom(r), es el con-

junto formado por las primeras componentes de los pares ordenados
que verifican la relación. Sus elementos son llamados argumentos.
Imagen de una relación r, que designaremos con Im(r), es el conjunto
formado por las segundas componentes de los pares ordenados que
verifican la relación. Sus elementos son llamados imágenes.
Esquemáticamente, una relación entre dos conjuntos puede representarse

como sigue:
Veamos otro ejemplo utilizando conjuntos numéricos:
Dados los siguientes conjuntos:
A 1,2,3 B 1,4,9,15
Consideremos la relación d: A B siendo d (x , y )/ y x2
Obtengamos el producto cartesiano entre A y B:

A xB (1,1); (1,4); (1,9); (1,15); (2,1); (2,4); (2,9); (2,15); (3,1); (3,4); (3,9); (3,15)
Elijamos los pares que cumplen con la relación d propuesta:
d (1,1); (2,4); (3,9)

Al tratarse de números, la relación puede ser representada gráficamente en
un sistema de coordenadas cartesianas, formado por dos líneas rectas per-
pendiculares, que sirven de referencia en un plano y que dividen al mismo
en cuadrantes: 1º (I), 2º (II), 3º (III) y 4º (IV).
Una de ellas, la línea horizontal, es conocida como eje de las abscisas o eje
de las x, en tanto que la línea vertical se llama eje de las ordenadas o eje de
las y; la intersección de ambas es el origen del sistema.
y Eje de las ordenadas
II I
y (x, y)
Un par ordenado de
Eje de las abscisas
números representa
un punto en el plano; y
recíprocamente, cada 0 x x
punto del plano repre-
senta un par ordenado. Origen del sistema de coordenadas
III IV
198
y
En un sistema de coordenadas cartesia-
nas, grafiquemos los tres pares ordenados
15 que cumplen con la relación d:
9 Definamos los conjuntos: alcance, rango,

dominio e imagen de esta relación:
4 Alcance = A Rango = B
1 Dom(d ) 1,2,3
0 1 2 3 x Im(d ) 1,4,9
2
Observemos que:
El dominio es un subconjunto del alcance.
El conjunto imagen es un subconjunto del rango.
Consideremos ahora la misma relación d, pero definida en el conjunto de los
números reales.
Esto se simboliza:
d x, y ,y y = x2
Ahora, el conjunto alcance y rango son los números reales, por lo tanto, ¡son
infinitos puntos! Y en la relación d, ¿cuántos pares podemos definir? Tam-
bién infinitos, ya que a todo número real se le puede calcular su cuadrado.
Esto significa que, para cada x en los reales que se elija, existirá un y con el
cual estará relacionado.
Aunque lo intentásemos, no sería posible en este caso definir al conjunto d
por extensión. Sin embargo, podríamos bosquejar su gráfica de trazo conti-
nuo en un sistema de ejes cartesianos como el siguiente:
18
16
14
12
En este gráfico quedan repre- 10
sentados los infinitos puntos 8
6
que cumplen con la relación. 4
2
0
-4 -2 0 2 4
199
Finalmente, obtenemos los conjuntos dominio e imagen:

Dom d x x Im d y y 0
Expresándolos en intervalos:
Dom d , Im d 0,
Observemos que en este caso:
La definición de los conjuntos involucrados tiene que ser por comprensión.
¿Por qué?
El dominio coincide con el conjunto de los números reales, pero el conjun-
to imagen es un subconjunto de los reales.
Actividad 1
Sean los conjuntos:

A = {4, 5, 7, 8, 11}
B = {2, 3, 4, 6}
y la relación definida de A en B: “x es múltiplo de y”.
a) Obtener el producto cartesiano A x B.
b) Determinar el conjunto relación y graficar.
c) Definir alcance, dominio, rango e imagen de esta relación.
d) Establecer si hay o no relación de inclusión estricta entre: dominio y al-
cance por un lado e imagen y rango por otro.
Actividad 2
Sea la relación definida en el conjunto de los números naturales (ℕ):

g = {(x, y)/y = x +2}
a) Graficar en un sistema de ejes cartesianos la relación g.
b) Definir alcance y dominio de la relación.
c) Definir rango e imagen de la relación.
Actividad 3
Dados los conjuntos que se enuncian a continuación, y las relaciones defini-

das en cada caso:
a) Definir la relación por extensión.
b) Identificar alcance y rango de la relación.
c) Encontrar dominio e imagen.
1- A = {−4, −2, 0, 2, 4}; g = {(x, y)/ x A y A y = − x}
2- B = {1, 2, 3, 4, 5}; r = {(x, y)/ x B y B y = 2 (x − 3)}
Actividad 4
En la siguiente relación, definir dominio e imagen:

t: ℝ ℝ ≥ 0 ; t = {(x, y)/ y =½ x + 1}
200
Actividad 5
Para cada una de las siguientes relaciones representadas gráficamente, de-

terminar alcance, rango, dominio e imagen.
r1
P r2
S
a y
18
2
b 1 1
0 x
c 1 2 3
5 -1
d 20
e 25
r3 r4
y y
-3 x 5 x
2. Relación inversa
En el punto anterior apuntamos que el orden en que está dada una relación
es importante. Volvamos a la relación r presentada en el punto 2, “es inven-
tor de”, donde señalamos que, si cambiábamos el orden de los pares orde-
nados, se definía una nueva relación “fue inventado por”. Esta relación se
denomina relación inversa de la relación r, y la podemos expresar como el
conjunto:
r 1
(x , y )/ x B, y A x fue inventado por y
Gráficamente:
201
“fue inventado por”

B A
Termómetro Fahrenheit
Transformador Faraday
Bolígrafo
Biro
Teléfono
Alexander Bell
Fonógrafo Thomas Edison
Telescopio Gutemberg
Dom Im
De donde se deduce que:
Dom r 1
= {Termómetro, Transformador, Bolígrafo, Teléfono, Lamparita
eléctrica, Fonógrafo}
Im r 1
= {Fahrenheit, Faraday, Biro, Alexander Bell, Thomas Edison}
Si comparamos estos conjuntos con el dominio e imagen de la relación r,

podemos afirmar que:
Dom r 1
= Im (r) Im r 1
= Dom (r)
Dada una relación r: A B, llamaremos relación inversa de r a otra

-1
relación, r : B A, tal que (y, x) r -1, sí y solo si (x, y) r.
Encontremos la inversa para la relación d establecida entre los conjuntos

numéricos:
A = 1,2,3 B 1,4,9,15
Definamos la relación inversa como d : B -1
A siendo
d 1
(x , y )/ y x
Expresemos el conjunto por extensión d 1

(1,1)(4,2)(9,3) siendo el
Dom(d 1 ) 1,4,9 Im(d 1 ) 1,2,3
Gráficamente
y
3
2
1
0 1 4 9
x
202
Actividad 6
Para cada una de las relaciones definidas en las actividades 1 a 4, encontrar

la relación inversa y definir su dominio e imagen.
3. Relaciones funcionales
Existen relaciones con características particulares, que llamaremos relacio-
nes funcionales, aplicaciones o simplemente funciones. Las funciones son
de gran utilidad en casi todas las ramas del conocimiento, pues nos permi-
ten formular representaciones simplificadas de problemas reales, y para
analizar, estudiar y predecir el comportamiento de diversos fenómenos.
Una relación de A en B es una función de A en B si y solo si se cumplen las
siguientes condiciones:
1) Cada elemento de A tiene imagen en B.
2) La imagen de cada elemento de A es única.
La primera condición nos indica que todo elemento del alcance es elemen-
to del dominio y, como tal, tiene su correspondiente imagen en un elemen-
to de B, es decir, el alcance es igual al dominio.
La segunda condición nos dice que todo elemento del alcance tiene una y
solo una imagen.
Veamos un ejemplo:
Dados los conjuntos: T 2,3,4 y S 3,4,5,6,7,8,9
Consideremos la relación f: T S siendo f (x , y )/ y 2x
Definamos f por extensión y grafiquemos la relación utilizando los diagra-

mas de Venn y un sistema de ejes cartesianos.
f (2,4)(3,6)(4,8)
y
S
T 3 8
2 4 6
3 5 4
4 6
7
0
8 x 1 2 3 4 x
2
El conjunto Dom(f) definido por extensión es Dom(f ) 2,3,4 Notación:
Comparemos los conjuntos T y Dom(f). Ambos tienen los mismos elemen- f(2) = 4, y se lee “f en
2 es igual a 4” o “4 es
tos, entonces T = Dom(f), todos los elementos del primer conjunto son imagen de 2”.
argumentos.
203
Ahora observemos con más atención los elementos del conjunto T. Al ar-
gumento 2 le asignamos la imagen 4. Esto se puede expresar como f(2) = 4,
es decir, 4 es el único elemento con el cual se corresponde el argumento 2. Y
así con el resto de los argumentos.
Toda relación que cumple con las condiciones enunciadas se llama función.
Una función f: A B (se lee: “f de A en B”), es una regla de asignación

que a cada elemento “x” que pertenece a A le asigna uno y solo un ele-
mento “y” en B.
Analicemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. Dados los conjuntos, A 1,2,3,4,5 y B 1,2,3,4,5,6,7,8
Definimos la relación
f1 (x , y )/ y x 2 (1,3);(2,4);(3,5);(4,6);(5,7)
A B
1 1
2
2 3
4
3
5
4 6
7
5
8
Al elemento 1 del conjunto A le asignamos el 3 que pertenece al conjunto B,

esto se puede expresar como f1(1) = 3, del mismo modo f1(2) = 4, f1(3) = 5,
f1(4) = 6 y f1(5) = 7.
Esta relación es función porque asigna a cada elemento de A un único ele-
mento del conjunto B.
Ejemplo 2. Considerando los mismos conjuntos del ejemplo 1, definamos la
siguiente relación f2 (x , y )/ y x 2 (3,1);(4,2);(5,3)
A B
1 1
2
2 En este ejemplo el dominio no coincide
3
3 4 con el alcance, ya que no existe una ima-
5 gen para 1 y 2. No se cumple la primera
4
6
5 7 condición, f2 no es función.
8
204
Ejemplo 3. Ahora la relación se define como:
f3 (x , y )/ x es múltiplo de y
(1,1);(2,1);(2,2);(3,1);(3,3);(4,1);(4,2);(4,4);(5,1);(5,5)
B
A
1 f3 no es función, porque no se
1
2 cumple la segunda condición que a
2 3
cada elemento le corresponde una
4
3
5 única imagen. En este caso, el ar-
4 6 gumento 4 tiene tres imágenes, ya
7 que f3(4) = 1, f3(4) = 2 y f3(4) = 4.
5
8
Ejemplo 4. Dada la relación:
f4 (x , y )/ x es multiplo impar de y (1,1);(3,1);(3,3);(5,1);(5,5)
A B
1 1
2 f4 no es función, en este caso ningu-
2 3 na de las dos condiciones se cum-
3 4
5
ple, los argumentos 2 y 4 no tienen
4 6 imágenes y el argumento 3 tiene dos
5 7 imágenes f4 (3) = 1 y f4(3) = 3.
8
Actividad 7
Decidir si las siguientes relaciones son o no funciones:
1. t: A ℕ A = {4}
t = {(x, y) /y x + 2}
2. g: C D C = {l, 2, 3} D = {0, 3, 8}
g = {(x, y) / y x2 1}
En problemas reales, habitualmente las relaciones están definidas sobre

conjuntos de números reales o subconjuntos de estos números.
Consideremos la relación dada como ejemplo al inicio de esta sección, pero
definida en el conjunto de los números reales.
f: ℝ ℝ f (x , y )/ y 2x
205
Calculando algunos pares ordenados que verifiquen la función, podremos

arribar a que su representación gráfica, en un sistema de ejes cartesianos, es
la siguiente:
4 Nos preguntamos: ¿es fun-

3 ción?
2 Dom (f) = ℝ por lo tanto se
1 cumple la primera condición.
0 A cada argumento le corres-
-4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 ponde una única imagen, se
-2
cumple la segunda condición.
-3
Concluimos que esta relación
-4
es función.
Regla práctica:
En un gráfico cartesiano, una
relación es función si, trazando
líneas paralelas al eje de las orde-
0 x nadas en el alcance definido,
estas cortan siempre a la gráfica y
en un único punto.
A partir de la definición de función, analizar por qué funciona esta regla

práctica.
Actividad 8
Dados los siguientes gráficos que representan relaciones definidas en el

conjunto de los números reales, decidir cuáles se ajustan a la definición de
función.
a) b) c) d)
Actividad 9
Analizar las siguientes gráficas y responder si constituyen una función. Jus-

tificar.
1. Considerar la relación de ℝ ℝ
206
I) y II y
x x
2. Considerar la relación de [− 2, 2] [− 2, 2]
I) y II) y
2 2
−2 2 x −2 2 x
−2 −2
III) y IV) y
2 2
−2 2 x −2 2 x
−2 −2
Actividad 10
Sea la función f: [ 8; 8] ℝ dada por f(x) = x2 + 1, averiguar:
1. f(4) 2. f( 1) × f(1) 3. f(2) / f( 2) 4. f(1) + f(5) 5. f( a)
Cada elemento del dominio recibe el nombre de argumento. La letra “x”

representa los posibles valores que asumen estos argumentos y se la
denomina también variable independiente.
Para cada valor de x se obtiene un valor de y, por lo cual se dice que “y”
es la variable dependiente o que y es función de x.
Una aplicación práctica de funciones:
Gastón, recién egresado del secundario, consigue un empleo como vende-

dor en un negocio. El empleador le ofrece un sueldo mensual mínimo de
$9.000 y una comisión por cada unidad vendida de $150. Además, le infor-
ma que la capacidad de almacenamiento del negocio es de 50 unidades.
207
Gastón desea encontrar una expresión algebraica que relacione las cantida-
des vendidas con el monto total a percibir en concepto de sueldo.
El sueldo, que simbolizaremos con S, tiene una parte fija de $9.000, y otra
que depende de la cantidad vendida q; en otras palabras, es función de la
cantidad vendida. Para obtener el sueldo mensual, sumaremos a los $9.000
de mínimo la comisión unitaria por la cantidad de unidades vendidas.
La función que representa el sueldo mensual se puede expresar como:
S(q) = 9000 + 150 q
Si se quiere calcular el sueldo a fin de mes para una determinada cantidad
de unidades vendidas, por ejemplo, 30 unidades, se evalúa la función en
q=30 obteniendo:
S (30) = 9000 + 150 × 30 = 9000 + 4500 = 13500
y si no tiene venta:
S (0) = 9000 + 150 × 0 = 9000
Analicemos cuáles son el dominio y la imagen en este caso: Como el pro-
ducto se vende por unidad, la variable independiente solo podrá asumir
valores enteros no negativos y deberá ser como máximo de 50, pues esta es
la capacidad de almacenamiento del negocio. En símbolos:
Dom(S) = {0, 1, 2, ..., 50} o por comprensión
Dom(S) x/x 0 x 50
El sueldo tiene un “piso”: $ 9000, y asume valores

9000 + 150 q con q = 0, 1, 2, ..., 50
Im(S) = {9000, 9150, 9300, ...,16500 o
Im(S) y/y 9000 y 16500
Representemos gráficamente la función sueldo:

La variable independiente, en este caso q, la representamos en el eje de abs-
cisas; la dependiente S, en el eje de ordenadas; y la gráfica de la función es el
conjunto de puntos, pares ordenados que se encuentran en el primer cua-
drante: (0,9000), (1,9150), (2,9300), etc.
20000
15000
Sueldo
10000
5000
0
0 10 20 30 40 50 60
Cantidades vendidas
208
4. Dominio natural
y Hay relaciones que están definidas naturalmen-

te para cualquier valor real, por ejemplo:
h x, y y 20 3 x
En esta función, cualquiera sea el valor de x, el
valor de y pertenece al conjunto de los reales.
Por lo tanto: Dom (h) = Im (h) = ℝ
x
Pero esto no ocurre siempre.
Consideremos la siguiente relación, definida en el conjunto de los números
reales.
f x, y y x+2
¿Cuál es el dominio de esta relación?

Debemos determinar los valores de x para los cuales esta función esté defi-
nida. Recordemos que la raíz cuadrada de un número negativo no es un
número real, por lo que el dominio serán todos los números reales tales que
x +2 0.
Despejando, resulta:
Dom f x y x 2 o escrito como intervalo [ 2, )
Considerando el conjunto de los números reales como alcance, la relación

no es función; para que lo sea, será necesario definir como alcance al conjun-
to de los números reales mayores o iguales a –2.
Es decir f: ℝ ≥ -2 ℝ es función.
La raíz cuadrada de un número puede ser un valor negativo o positivo, pero
en este caso se han considerado únicamente los resultados no negativos (el
0 y los números positivos). La imagen será, entonces, el subconjunto de los
números reales no negativos:
Im f y y y 0 o escrito como intervalo [0, )
Su gráfica es la siguiente
0
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
209
Dominio natural es el mayor conjunto de números reales donde se

cumplen las condiciones para que la relación sea función.
Analicemos otra situación: g 1

x, y y
x 2
Vemos que la relación está definida en términos de un cociente. Recorde-

mos que la división por 0 no está definida; por lo tanto, tendremos que ex-
cluir del alcance de la función el valor – 2, pues este anula el denominador.
Para que sea una función, el alcance se define x x x 2
El dominio coincide ahora con el alcance, entonces g: ℝ − { −2} ℝ es fun-
ción.
Para determinar el conjunto imagen, observemos que el numerador es 1, y
en el único caso en que el cociente da 0 es cuando el numerador es 0, por lo
que la imagen de g es el conjunto de los números reales distintos de 0.
Im g y y y 0 o bien Im g ,0 0,
La gráfica de esta función es:
Actividad 11
Hallar el dominio natural de las siguientes funciones:
1 x
a) f1 (x ) b) f2 (x )
x 2
4 x 3
1
1
c) f3 (x ) 2 x d) f 4 (x )
x 1
Te invitamos a ver un
video sobre el tema
5. Clasificación de funciones
en el Aula Virtual, en
Recursos y Materiales Existen algunas características importantes en ciertas funciones que mere-
del Capítulo 5. cen ser destacadas y nos permiten clasificarlas como:
Funciones inyectivas
Funciones sobreyectivas o suprayectivas
Funciones biyectivas
210
Una función es inyectiva si a argumentos distintos del dominio le co-

rresponden imágenes distintas. En símbolos:
f es inyectiva x1 x2 f(x1) ≠ f(x2).
Dicho de otra forma, si argumentos distintos comparten la misma imagen,

la función no es inyectiva.
A B B
A
a 1 1
a
b 2 2
b
c 3 3
c
d 4 4
d
5 5
Función Inyectiva Función NO Inyectiva
f(c) = f(d)
Sea la función f (x) x , el dominio natural de esta función es ℝ ≥ 0, pues

la raíz cuadrada no está definida para números negativos.
Para saber si esta función es inyectiva, nos preguntamos: ¿pueden dos ar-
gumentos tener la misma imagen?
Consideremos dos argumentos x1 y x2. Si ellos tuviesen la misma imagen
f(x1) = f(x2), entonces:
2
x1 x2 x1 x2 x1 x2
Podemos concluir que si x1 ≠ x2, entonces f(x1) ≠ f(x2). De acuerdo con la

definición, esta función es inyectiva.
Regla práctica:
Grafiquemos la función, para lo cual obtenemos algunos puntos que verifi-
Para determinar gráfi-
can la relación como se muestra en la siguiente tabla: camente si una fun-
ción es inyectiva, se
4 trazan líneas horizon-
tales en el rango defi-
x x 3 nido. Si cada una de
estas rectas corta a lo
0 0
2 sumo una vez la gráfi-
1 1 ca, significa que hay un
4 2 1 solo argumento rela-
9 3 cionado con esa ima-
0 gen, por lo tanto, es
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 una función inyectiva.
Consideremos la relación d: ℝ ℝ definida en el punto 2,

d (x , y )/ y x 2
. Esta relación cumple con las condiciones para ser fun-
ción, pero ¿es una función inyectiva? No, porque un mismo número es ima-
211
gen de dos argumentos distintos, como se puede observar en el gráfico, 4 es

imagen de 2 y -2
18
16
14
12 Función NO Inyectiva
10
8 f(-2) = f(2)
6
4
2
0
-4 -2 0 2 4
18
16
14
12
10 Aplicando la regla práctica: en este
8 caso, como las rectas horizontales
6
cortan a la función en dos puntos, no
4
es inyectiva.
2
0
-4 -2 0 2 4
Actividad 12
Para cada una de las siguientes gráficas, analizar si es función y, en caso de

serlo, si es inyectiva:
a) y b) y
x x
Actividad 13
Decidir si las siguientes funciones son inyectivas:
a) f: ℝ ℝ f(x) = −½ x + 2 b) g: ℝ ℝ g(x) = 2 x2+ 1
Una función es sobreyectiva si el conjunto imagen es igual al rango. En

símbolos f es sobreyectiva: Im (f) = Rango (f)
Es decir, una función será sobreyectiva si todos los elementos del conjunto
de llegada son imágenes de algún argumento.
212
A B A B
a 1
a 1
b 2
b
2
c 3
c
3
d 4
d
Función no sobreyectiva
Función sobreyectiva
Imagen ≠ Rango
Analicemos nuevamente la función f: ℝ ≥ 0 ℝ ≥ 0, f (x) x según lo

que analizamos anteriormente, todos los números reales no negativos tie-
nen imagen y esta será también un número real no negativo, por lo que el
rango es igual a la imagen.
Im (f) = Rango = [0,∞)
Para la función d: ℝ ℝ, d(x) = x2

El rango de esta función está formado por los números reales, pero el con-
junto imagen son los reales mayores o iguales a 0. Considerando entonces
que Im (d) ≠ Rango (d), esta función no es sobreyectiva.
La función d: ℝ ℝ no es inyectiva ni sobreyectiva.
Actividad 14
Dados los siguientes gráficos:

a) Señalar cuál representa una relación funcional inyectiva, de los reales o
un subconjunto de él, en los reales. Justificar
I) y 50 II) y
0
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
x
x 1
-50
III) IV) y
y
x 0 x
213
b) Señalar cuál representa una relación funcional sobreyectiva, de los reales

en los reales. Justificar.
I) II) y
y
1
x x
III) y IV) y
1
0,5
1 x −1 1 x
Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Si una función es biyectiva, se establece una relación biunívoca entre el al-

cance y el rango: todo elemento del dominio tiene su imagen en el rango y
todo elemento del rango es imagen de algún elemento del dominio.
El siguiente esquema gráfico puede ayudarnos a comprender la clasificación
de funciones. En cada caso, observemos el comportamiento del conjunto
imagen:
Únicamente cuando Para cada ejemplo, observemos las inversas. Para las funciones que no son
una función es bi- inyectivas o no son sobreyectivas, las relaciones inversas que le correspon-
yectiva su inversa es den no son funciones.
también función.
Las inversas para los ejemplos considerados en el gráfico anterior son:
214
Consideremos la función:
f: ℝ ℝ f (x , y )/ y 2x
Su representación gráfica en un sistema de ejes cartesianos es la siguiente:

4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
Corresponde a una función biyectiva.

Podemos obtener su función inversa. Para ello, observemos el siguiente
cuadro:
PASOS A SEGUIR PARA
EJEMPLO
ENCONTRAR LA INVERSA
Despejar la variable y
Si y 2x entonces x
independiente. 2
Intercambiar la x por la y, y la y x 1
y f 1
(x , y )/ y x
por la x. 2 2
En este caso, el gráfico de la función inversa será:

4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
Actividad 15
Considerar f: ℝ ℝ y determinar la función inversa de f(x) = −½ x + 2
215
Actividad 16
Siendo C = - 1, 0, 1, 2} D = {0, 1, 2,3}

Clasificar la siguiente función f: C D, f = (- 1,0) (0,1) (1,2) (2,3)}
Actividad 17
Clasificar las siguientes funciones definidas en el conjunto de los

números reales:
En el Aula Virtual, en
Materiales se encuen-
tra un resumen del
Capítulo 5.
Ejercicio 1
Dados los conjuntos A y B, y la relación definida de A en B, en cada caso:

c) Encontrar dominio e imagen de la relación.
1- A = {x /x es un número natural par menor que 7}; B = {y/y ℕ y 6}
r = {x, y) / y = x/2 x A y B}
2- A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 4}
C = {(x, y)/ “x es el cuadrado de y” x A y B}
Ejercicio 2
Expresar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando su elec-

ción:
Dada la relación r = {(x, y) / x ℤ y ℕ y = 3 x 9} podemos afirmar
que su dominio es {x / x ℤ x 3}
Ejercicio 3
Dados los conjuntos y relaciones, graficar en cada caso la relación:

1) Conjunto: ℕ; relación: r = {(x, y)/ x + y = - 4 x; y ℕ }
2) Conjunto ℕ0 ; relación: t = {(x, y)/y = 9 - 2x x; y ℕ0}
Donde ℕ0 representa al conjunto formado por los números naturales y el 0.
216
Ejercicio 4
Dados los siguientes conjuntos y relaciones, en cada caso:

c) Encontrar dominio e imagen de la relación.
d) Definir la relación inversa.
1- r (A x A) A = {x/(x + 2) (x - 4) (x + 5) (x - 3) = 0
[(x, y) R x y
2 t (A x A) A = {x/(x + 2) (x + 4) (x + 5) (x + 3) = 0
[(x, y) t y=x 1
Ejercicio 5
Dados los siguientes conjuntos y relaciones, responder si es relación fun-

cional. Justificar.
a) A = {4, 5 ; B = 3, 3, 4
R: A B; r= (4, 3); (5, 3); (5, 4)
b) C = 2, 1); D = 2, 1, 2} r: D C; r = (1, 2); ( 2, 1)}
c) C = { 2, 1 ; D = 2, 1, 2 r: D C; r = {(2, 1); ( 2, 1); (1, 2)
d) B = {¼, ½, 1, 2};
r B x B; r = (1, 1); (½, 2); (¼, 1); (2, 2); (¼, 2)
e) C = 3, 2, - 1, 1, 2, 3 ; r CxC
r = ( 1, 1); (2, 1); ( 2, 2); ( 3, 3); (1, 1); (2, 2); (3, 3)
Ejercicio 6
Dadas las siguientes gráficas, determinar en cada caso si representan la grá-

fica de una función f: D ℝ
a) y b)
D = [−1, 1] y D=ℝ
1
−1 1 x x
−1
c)
d) y
y D=ℝ
D = [−2,2] 2
−2 2 x x
−2
217
e) y f)
D=ℝ y D=ℝ
1
1
−2 2 x
−2 2 x
g) y h) y
D=ℝ D=ℝ
1 x x
1
Ejercicio 7
Una función definida por partes o tramos es una función cuya definición
cambia dependiendo de los valores que asuma la variable independiente
(x). La siguiente es una función de este tipo definida de ℝ en ℝ.
x 3 si x 2
f (x ) x 2
2 si 2 x 3
2x 1 si x 3
Evaluar la función, en la parte que corresponda, para encontrar:
1. f( 1) 2. f(3) 3. f( 2) 4. f( 50)
Ejercicio 8
Dados los siguientes conjuntos y relaciones, responder:

a) ¿Es relación funcional? Justificar.
b) En caso afirmativo, establecer si es invectiva y/o sobreyectiva y justificar.
1- A = 4, 5 ; B = - 3, 3, 4
r: B A r 3, 4 ; 3, 5 ; 4, 5
2- A = r 1 , 1 , 1 ,1 ; AxA
4 4 2
r 1 ,1 ; 1 , 1 ; 1 , 4 ; 1, 1
4 4 2
Ejercicio 9
Dados los siguientes conjuntos y relaciones, en cada caso:

218
b) Encontrar dominio e imagen de la relación.

c) Graficar la relación.
d) Establecer si esta relación es función y justificar.
e) En caso afirmativo, decir si es inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva.
f) Encontrar la relación inversa y decir si es función.
1- A = {Números naturales impares menores que 8 ;
B = {x/x ℕ 1 x 4}
r: B A r = {(x, y)/y = 2x + 1 x B y A
2- A = ℕ; B = ℕ; f: A B; f(x) = x2 + 1
Ejercicio 10
Dadas las siguientes relaciones, en cada caso responder:

a) ¿Es una relación funcional? Justificar.
b) Si es función, determinar dominio e imagen. En el Aula Virtual se
2 encuentra una Auto-
1- r = {(x, y)/y 3=x x; y ℝ
evaluación que reco-
2- r = {(x, y)/y x+1 x; y ℝ mendamos realizar.
Respuesta a las actividades y

Actividad 1
a) A x B = {(4,2) (5,2) (7,2) (8,2) (11,2) (4,3) (5,3) (7,3) (8,3) (11,3) (4,4)
(5,4) (7,4) (8,4) (11,4) (4,6) (5,6) (7,6) (8,6) (11,6)}
b) Llamando h al conjunto relación “x es múltiplo de y”:
h 4, 2 ; 8, 2 ; 4, 4 ; 8, 4
0 4 8 x
2
c) El alcance es el conjunto A y el rango el conjunto B.
d) Dom(h) = {4,8)
e) Im(h) = {2,4}
f) El dominio es subconjunto propio del alcance y la imagen lo es del rango.
219
Actividad 2
a)
25
20
15
y
10
5
0
0 5 10 15 20
x
b) El alcance y el dominio están dados por el conjunto de los números natu-

rales. En símbolos: Dom(g) = ℕ
c) El rango es el conjunto de los números naturales y el conjunto imagen es
el conjunto de los números naturales mayores o iguales que 3.
Im(g) = {x/x ℕ x 3}
Actividad 3
1- Obtengamos el conjunto A x A y luego seleccionamos los pares ordena-

dos que cumplen con la relación:
A x A = {(−4, −4), (−4, −2), (−4, 0), (−4, 2), (−4, 4), (−2, −4), (−2, −2),
(−2, 0), (−2, 2), (−2, −4), (0, −4), (0, −2), (0, 0), (0, 2), (0, 4),
(2, −4), (2, −2), (2, 0), (2, 2), (−2, 4), (4, −4), (4, −2), (4, 0),
(4, 2), (−4, 4)}
g = {(−4, 4), (−2, 2), (0, 0), (2, −2), (4, −4)}
Alcance = Dom(g) = Rango = Im(g) = A
2- B x B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}
r = {(4, 2), (5, 4)}
Alcance = B Dom (r) = {4, 5}
Rango = B Im (r) = {2, 4}
Actividad 4
Dom(t) = [−2, ∞) Im(t) = [0, ∞)
Actividad 5
Relación Alcance Rango Dominio Imagen

r1 P S {a, b, c, e} {1, 5, 18, 20, 25}
r2 ℕ ℤ {1, 2, 3} {−1, 1, 2}
r3 ℝ ℝ ℝ ≥ −3 ℝ
r4 ℝ ℝ [0, 5] [0, 8]
220
Actividad 6
En la actividad 1
h-1: B A h-1: “x es divisor de y”
h-1 = {(2, 4) (2, 8) (4, 4) (4, 8) , Dom(h-1) = {2, 4} Im(h-1) = {4, 8)
En la actividad 2
g −1
: ℝ ℕ
Puede definirse como g−1 = {(y, x)/y = x + 2}, en este caso se invierte el or-
den del par ordenado indicando que los valores de y corresponden al alcance
y los valores de x al rango.
Otra manera es con el mismo par ordenado cambiando el nombre de las
variables en la ecuación g −1 = {(x, y) / x = y + 2}
Donde despejando y resulta: g −1 = {(x, y) / y = x − 2}
Cualquiera de las expresiones anteriores es correcta y los conjuntos domi-
nio e imagen son iguales a:
Dom(g −1) = {x/x ℕ x 3} e Im(g −1) = ℕ
En la actividad 3
g = {(x, y)/ x
−1
A y A x = −y}; Dom(g−1) = Im(g −1) = A
r−1 = {(x, y)/ x A y A y = ½ (x + 6)}; Dom(r−1) = {2, 4}
Im(r−1) = {4, 5}
En la actividad 4
t−1: ℝ ≥ 0 ℝ; t−1 = {(x, y)/ y = 2 (x −1)}; Dom(t−1) = [0, ∞); Im(t−1) = [−2, ∞)
Actividad 7
1. La relación no es función. En el Aula Virtual, en

2. La relación no es función. la sección Recursos y
Materiales se encuen-
tra la resolución de la
Actividad 8 actividad 7.
a) La gráfica se ajusta a la definición de función: Todo número real tiene su

correspondiente en un real y solo uno.
b) No es función porque cada real positivo tiene dos imágenes.
c) No es función. El dominio de la relación es el número 4, que tiene por
imágenes todos los números reales.
d) Sí es función. El dominio es el conjunto de los números reales y la imagen
es el número 2. Todos los pares de la función tienen como segunda compo-
nente el número 2.
Actividad 9
1.
I) Es función (verifica ambas condiciones).
II) No es función (a un mismo argumento le corresponden distintas imáge-
nes).
221
2.
I) Es función (verifica ambas condiciones).
II) No es función (a un mismo argumento le corresponden distintas imáge-
nes).
III) No es función (no verifica ninguna de las condiciones).
IV) Es función (verifica ambas condiciones).
Actividad 10
f(4) = 17 f(-1) × f(1) = 4 f(2) / f(-2) = 1 f(1) + f(5) = 28 f(-a) = a2 + 1
Actividad 11
Dom(f1) = ℝ −{−2, 2}; Dom(f2) = [0; ∞); Dom(f3) = (− ∞; 2]; Dom(f4) = ℝ
Actividad 12
a) Es función inyectiva.
b) Es función no inyectiva.
Actividad 13
a) Es función inyectiva.
b) Es función no inyectiva.
Actividad 14
a)
I) y II) Funciones no inyectivas.
III) y IV) Funciones inyectivas.
b)
I) Función sobreyectiva.
II) Función no sobreyectiva. Conjunto imagen = {1}
III) Función no sobreyectiva. Conjunto imagen = (−∞; 1]
IV) Función no sobreyectiva. Conjunto imagen = [0; ∞)
Actividad 15
f-−1(x)= −2 x + 4
Actividad 16
La función f es biyectiva.
Actividad 17
a) La función es no inyectiva y no sobreyectiva.

b) La función es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto, biyectiva.
222
c) La función es no inyectiva y no sobreyectiva.

Ejercicio 1
1- a) R = (2, 1); (4, 2); (6, 3)

b) Alcance = A Rango = B
c) Dom(R) = 2, 4, 6 ; Im = 1, 2, 3
2- a) C = (1, 1); (4, 2)
b) Alcance = A Rango = B
c) Dominio = {1, 4}; Imagen = {1, 2
Ejercicio 2
FALSO, el 0 no está incluido dentro de los números naturales, por lo tanto:

Dom(r) = {x/x ℤ x < 3}
Ejercicio 3
1) Si: x + y = 4 definida en los números naturales despejando: y = x 4

La relación es:
ℝ = (5, 1); (6, 2); (7, 3); (8, 4); ........
El gráfico será:
2)
Ejercicio 4
1- A = x/(x + 2) (x 4) (x + 5) (x 3) = 0 [(x, y) ℝ x y]
a) Primero, se define el conjunto A por extensión: A = 2, 4, 5, 3
223
La relación, estará formada por los pares ordenados del conjunto producto
A x A que cumplan la condición, por lo tanto:
r = {( 2, 2); ( 2, 5); (4, 2); (4, 5); (4, 3); (4, 4); ( 5, 5); (3, 2);
(3, 5); (3, 3)}
b) Alcance = A Rango = A
c) Dominio = A Imagen = A
d) La relación inversa, definida por comprensión, será:
r -1 = (x, y)/(x, y) AxA x y ; ó: r -1 = (y, x)/(y, x) AxA y x
La relación inversa, definida por extensión, será:
-1
r = {( 2, 2); ( 5, 2); ( 2, 4); ( 5, 4); (3, 4); (4, 4); ( 5, 5); ( 2, 3);
( 5, 3); (3, 3)}
2- a) t = ( 2, 3); ( 3, 4); ( 4, 5)
b) Alcance = A Rango = A
c) Dominio = 2, 3, 4 Imagen = 3, 4, 5
d) r -1 = (x, y)/y = x + 1 ; r -1 = {( 3, 2); ( 4, 3); ( 5, 4)}
Ejercicio 5
a) Tenemos los conjuntos A = {4, 5 ; B = 3, 3, 4 ; y la relación r: A B,

r = (4, 3); (5, 3); (5, 4)
Para que la relación sea relación funcional, debe verificar dos condiciones:
1°) Que el dominio sea igual al alcance.
2°) Que cada elemento del dominio tenga una sola imagen.
En la relación planteada, hay un elemento, el 5, que tiene como imagen el 3
y el 4; es decir, no se cumple la segunda condición. Por lo tanto, no es fun-
ción.
b) No es función, ya que el dominio no es igual al alcance.
c) Es relación funcional, ya que: el dominio es igual al alcance, y cada ele-
mento del dominio tiene solo una imagen (verifica las dos condiciones).
d) No es relación funcional, ya que: el elemento ¼ está relacionado con 1 y
con 2.
e) No es función: hay un elemento que tiene dos imágenes.
Ejercicio 6
a) No es función. b) No es función.
c) No es función. d) Sí es función.
e) No es función. f) Sí es función.
g) No es función. h) Sí es función.
Ejercicio 7
1. f( 1) = 1 2. f(3) = 7 3. f( 2) = 2 4. f( 50) = 47
224
Ejercicio 8
1- Los conjuntos A = 4, 5 ; B = - 3, 3, 4} y la relación r: B A,

r = {(3, 4); ( 3, 5); (4, 5) ;
a) Es relación funcional, ya que el dominio es igual al alcance, y cada ele-
mento del dominio tiene única imagen.
b) Una relación funcional es inyectiva si a argumentos distintos, le co-
rresponden distintas imágenes. En este caso, el -3 y el 4 tienen como imagen
al 5; en consecuencia, no es inyectiva.
Una relación funcional es sobreyectiva si la imagen es igual al rango. En este
caso, el 4, y el 5 son imagen de algún elemento del dominio; es decir que la
imagen = A; en consecuencia, es sobreyectiva.
2- a) Es función, ya que el dominio es igual al alcance, y cada elemento del
dominio tiene única imagen.
b) No es inyectiva, ya que, a argumentos distintos, le corresponden la
misma imagen (el 1).
No es sobreyectiva, ya que la imagen es distinta del rango.
Ejercicio 9
1-
A = Números naturales impares menores que 8
B = x/x ℕ 1 x 4
y la relación r: B A; y = 2 x + 1
En primer lugar, definimos los con-

juntos por extensión:
A = 1, 3, 5, 7}; B = {1, 2, 3
a) r = (1, 3); (2, 5); (3, 7)

b) Dominio = B Imagen = 3, 5, 7
d) Es función, ya que el dominio es igual al alcance, y cada elemento del
dominio tiene imagen única.
e) Es inyectiva, ya que a argumentos distintos, le corresponden distintas
imágenes.
No es sobreyectiva, ya que el conjunto imagen es distinto del rango.
Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva. En este caso, al
no cumplir la condición de ser sobreyectiva, no es biyectiva.
f) Para encontrar la relación inversa, partimos de: y = 2x + 1 despejando x:
x=½y-½
Expresamos en función de x (variable independiente):
y=½x-½
225
r -1 = (x, y)/y = ½ x - ½ ; r -1: A B

No es relación funcional porque el dominio de:
r -1 = 3, 5, 7 es distinto del conjunto A.
2- a) 56
f = (x, y))/x; y ℕ y = x2 + 1
f = (1, 2); (2, 5); (3, 10); (4, 17); (5, 26); .....
b) Dominio = A = ℕ
Imagen = 2, 5, 10, 17, 26 ......
Imagen = {y/y = x2 + 1 x ℕ
c)
d) Es función (misma justificación anterior).

e) Es inyectiva; no sobreyectiva; no biyectiva (misma justificación anterior).
f) f 1
x, y y x 1 x; y No es función ya que no todos los ar-
gumentos que pertenecen a los números naturales tienen imágenes natura-
les.
Ejercicio 10
1- a) Es relación funcional, ya que el dominio es igual al alcance, y cada ele-

mento del dominio tiene imagen única.
b) Dominio = ( ∞, ∞) o también ℝ
Imagen = [3, ∞) o también ℝ 3
2- a) No es relación funcional, ya que a un valor cualquiera de x le corres-
ponden infinitas imágenes.
226
Capítulo 6
FUNCIONES
ESPECIALES
Desafío 6
Dos amigos conversan acerca de los planes de
telefonía celular que tienen contratados:
Alex: Yo pago por mes $1.000 de abono y
tengo 7GB libres. Cada GB extra lo pago a
$100.
Brian: En cambio, en el mío, el abono es
$600 y tengo 4GB libres. Cada GB extra me
cuesta $110.
¿Te animás a plantear la relación funcional entre el importe pagado (y) y los
GB utilizados por período (x) para Alex y Brian?
Luego, te invitamos a responder las siguientes preguntas:
¿Cuánto gasta cada uno si consumen en total 8 GB mensuales?
¿Cuántos GB debe consumir cada uno en total para que ambos abonen el
mismo importe en un mes?
Introducción
De acuerdo a lo visto en el capítulo anterior, mediante una función asignamos

a cada valor de una variable independiente un único valor de otra variable
dependiente. Así, el concepto de función tiene asociada la idea de dependen-
cia y está presente en situaciones cotidianas, por ejemplo:
El gasto mensual en electricidad depende del número de kilo-

vatios-hora consumidos en el mes.
El tiempo utilizado por un auto para recorrer la

distancia entre dos ciudades depende de la ve-
locidad del móvil.
El costo de enviar una encomienda depende de su peso.
227
La nota en un examen depende del tiempo destinado

al estudio.
En este capítulo analizaremos aquellas funciones de mayor uso o aplicación

en las ciencias económicas. A continuación, se muestra de manera esquemá-
tica una síntesis de los temas que desarrollaremos.
Funciones
Lineal Cuadrática Exponencial Logarítmica Trigonométrica
¿Cuál es su expresión analítica?
¿Cuál es su gráfica?
¿Cuál se emplea para representar

cada problema?
1. Función lineal
Analicemos el siguiente enunciado:
Un flete privado transporta cargas en la provincia de Córdoba, cobrando un
arancel fijo de $3.000 y, además, $50 por cada kilómetro recorrido. ¿Es posi-
ble encontrar la expresión general de una función que relacione el costo de
transporte con la cantidad de kilómetros recorridos?
Para responder a este interrogante, debemos tener presente que el costo to-
tal de transporte se compone del monto destinado al pago del arancel fijo
más el costo del total de los kilómetros recorridos.
Si denominamos y al costo de transporte y x a la cantidad de kilómetros reco-
rridos, podemos expresar el costo total en función de los km. recorridos me-
diante la siguiente función:
y 3.000 50x
Una función puede
expresarse también Calculemos el costo de transporte para distintas distancias. Por ejemplo,
como: y = f(x) para 10, 20, 30, 40, 50 y 60 km recorridos, reemplazamos a x en la expresión
anterior por cada uno de esos valores, generando la siguiente tabla:
228
FUNCIONES ESPECIALES
x y
10 3.500
20 4.000 Cada par de valores
30 4.500 corresponde a un
punto en el plano.
40 5.000
50 5.500
60 6.000
Al graficar estos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas, observa-

remos que ellos están alineados. Estos no son los únicos puntos de la función,
ya que tanto la cantidad de kilómetros recorridos, como el costo de trans-
porte de carga son variables que se representan por números reales, y pode-
mos unir los puntos a través de una recta asumiendo que el comportamiento
de la relación será la misma para cualquier otro par (x, y).
Observemos la gráfica:
Costo de transporte
y
8000
6000
Costo
4000
2000
0
0 10 20 30 40 50 60 70
x
Km recorridos
En ella podemos notar que:

La representación gráfica de esta función es una línea recta.
Corta al eje de las ordenadas en $3.000.
A medida que aumentan los kilómetros recorridos aumenta el costo del
transporte.
Funciones como la obtenida anteriormente se denominan lineales, más pre-
cisamente:
Una función : ℝ → ℝ se dice que es lineal cuando responde a la siguiente

estructura: f (x ) ax b o y ax b , con a y b constantes.
Como vemos, una función lineal está caracterizada por la presencia de dos
constantes a y b, donde a se denomina pendiente y b ordenada al origen.
a Pendiente
y ax b
b Ordenada al origen
De acuerdo a esta estructura, para cada número real x se tiene una única y
diferente imagen y, y recíprocamente, por lo cual concluimos que, en general,
tanto el dominio como la imagen de una función lineal es el conjunto de los
números reales.
Dom(f) = ℝ Im(f) = ℝ
229
Cuando se trabaja con problemas de la vida cotidiana, el dominio y la imagen

deberán ajustarse a la realidad. Para el caso de nuestro ejemplo, no tiene sen-
tido considerar valores negativos de x. Solo podemos recorrer distancias no
negativas, entonces el dominio es:
Dominio: x / x x 0
Por otro lado, los elementos que pertenecen a la imagen corresponden a los
posibles costos de transporte los cuales son mayores o iguales a $3.000, de
donde se deduce que:
Imagen: y / y y 3000
En síntesis, el dominio y la imagen han sido restringidos para adecuarse a la

situación problemática particular.
Actividad 1
Señalar cuáles de las siguientes expresiones son funciones lineales.

1
a) y 5x2 3 b) y x 5 c) y 2x 5
2
d) y 4 3x e) y x1/2 3 f) y 4x3 10
Actividad 2
Despejar y e indicar si las fórmulas obtenidas corresponden a funciones li-

neales:
x y
a) 3x 2 y 2 b) 1
2 2
y 1
c) 4 x 3 d) x y
2 3
1.1. Pendiente o coeficiente angular
Hemos visto en el ejemplo del flete que, por cada 10 km recorridos, el costo
de transporte aumenta en $500. Si consideramos los pares ordenados
(10, 3500) y (20, 4000), podemos expresar el valor del cambio relativo entre
ellos como:
cambio en y 4.000 3.500
= = 50
cambio en x 20 10
De la misma manera, si elegimos otro par de puntos cualesquiera que perte-
necen a la función, encontraremos siempre el mismo valor, en este caso 50.
Este coeficiente es lo que previamente hemos llamado pendiente o coefi-
ciente angular.
230
La pendiente de una recta mide la variación de la variable y por cada au-

mento unitario de la variable x. Dados dos puntos cualesquiera (x1, y1) y
(x2, y2), puede obtenerse como:
y2 y 1
a
x2 x1
¡Investiguemos algo más sobre la pendiente! En el caso en estudio observa-

mos que la pendiente asume un valor positivo y por tal motivo cuando x au-
menta, también aumenta y, decimos entonces que la función es creciente.
Pero... no siempre la pendiente es positiva.
Pensemos en el siguiente ejemplo: una pileta tiene una capacidad de 300 li-
tros y desagota 50 litros por hora. Si queremos representar la cantidad de
agua que queda en la pileta (y) luego de cierto tiempo transcurrido (x), la
expresión que representa esta relación funcional es:
y 300 50x
Observemos su gráfica:
La función lineal es decreciente, es decir que, a medida que el tiempo trans-

curre, la cantidad de litros de agua en la pileta va disminuyendo, lo que se
pone de manifiesto en su pendiente negativa igual a 50.
Analicemos otra situación: la relación que existe entre el precio del boleto de
colectivo urbano en cierta ciudad (y) con respecto a los kilómetros recorridos
(x). El precio del boleto es siempre el mismo, cualquiera sea la cantidad de
kilómetros. Es decir que y = 15. En esta función lineal, la pendiente es igual a
0. La gráfica es una recta paralela al eje de las abscisas, se trata de una función
constante.
231
Precio del boleto en función de los km

recorridos
Precio del boleto

20
15
10
0
-5 0 5 10 15
Km recorridos
Resumamos en el siguiente cuadro el significado de la pendiente:

y = a x+ b
a>0 Función creciente
a<0 Función decreciente
a=0 Función constante
1.2. Ordenada al origen
Si estamos en presencia de una función lineal y = a x+ b, cuando la valuemos

en x = 0 obtendremos que y = b, es decir que la recta cortará al eje de las
ordenadas en el valor b.
En el ejemplo del flete, observamos que la recta corta al eje de las ordenadas
en 3.000, lo cual se interpreta como el costo del viaje sin haber recorrido ki-
lómetro alguno.
Podemos concluir que:
La ordenada al origen, b, indica el punto donde una recta corta al eje de las
ordenadas.
y
Según el signo de la ordenada al origen,
será el punto de corte al eje de las y.
b>0
x Si la ordenada al origen es positiva, la
recta corta al eje de las ordenadas por en-
cima del eje de las x.
232
Si la ordenada al origen es negativa, la recta

corta al eje de las ordenadas por debajo del
eje de las x.
x
Observemos:
b<0
En el siguiente gráfico, ¿cuál es el punto de corte de la recta con el eje de las

ordenadas?
y
b=0
En este caso, la recta pasa por el punto (0,0), es decir que corta en el origen
del sistema.
Actividad 3
Indicar la pendiente y ordenada al origen de cada función:

a) 6x 3y 7 0
b) 2 x y 6
c) 3y x
d) 2 y 0
x y
e) y
3
Actividad 4
Completar la tabla y representar gráficamente la función:

ORDENADA AL
FUNCIÓN PENDIENTE
ORIGEN
y 2x 3
-1 2
1/3 -5
233
Actividad 5
Asociar cada una de las siguientes funciones con el gráfico que la repre-
senta.
y 2x 4 y 2x 4 y 3x 3 y 3x 3
a) b)
y 8 y 8
6 6
4 4
2 2
0 0
-2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-2 -2 x
x
-4 -4
-6 -6
-8 -8
c) d)
y 12
y 12
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0
-6 -4 -2 0 2 4 -4 -2 -2 0 2 4 6
-2 x
x
-4 -4
-6 -6
-8 -8
1.3. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
A partir de dos puntos en un plano, se puede encontrar la forma funcional de

una recta que pasa por los mismos.
Observando el gráfico, podemos afirmar que los puntos (2, 3) y (0, 2) perte-
necen a la recta y, por lo tanto, son pares (x, y) que verifican una función lineal
de la forma y ax b .
y
5
0
-6 -4 -2 0 2 4 6 x
-1
234
Para determinar los valores de las constantes a y b, podemos plantear un sis-

tema de ecuaciones, donde reemplazamos los valores de x y de y por los que
corresponden a los puntos mencionados.
1
3 a(2) b 3 a(2) b a
2
2 a(0) b
2 b
De esta manera, llegamos a que a = ½ y b = 2.

Entonces:
1
y x 2
2
es lo que se denomina ecuación de la recta y representa la expresión analítica
de la función lineal graficada.
Actividad 6
Resolver:
a) Dada la recta y 2 x 1 , indicar si el punto representado por el par (- 2, 4)
pertenece a la misma.
b) Obtener la ecuación de la recta cuya pendiente es - 2 que pasa por el
0punto (- 1, 3).
c) Graficar las rectas de los incisos a) y b).
Actividad 7
Dadas las siguientes gráficas, encontrar la ecuación de la recta de cada una

de ellas.
a) b)
y y
3,5 14
3 12
2,5 10
8
2
6
1,5
4
1
2
0,5
0
0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-6 -4 -2 0 2 4
-2 x
-0,5 x -4
-1 -6
Actividad 8
Encontrar las funciones lineales a las que pertenecen los siguientes puntos e
indicar pendiente y ordenada al origen en cada una de ellas:
a) A = (2; 5) B = ( 2; 1)
b) A = ( 1; 4) B = (3; 2)
c) A = (2; 5) B = ( 1; 3)
235
Actividad 9
5x 1
Dada la función f (x )
5
a) Indicar su pendiente y ordenada al origen.
b) Encontrar el punto de corte al eje de abscisas.
Actividad 10
Resolver:
a) Se sabe que cuando el precio de una determinada marca de zapatillas es
de $1.000 se venden 500 pares por mes; y cuando el precio es de $2.000 se
venden 200 pares por mes. Encontrar la función de demanda, conociendo que
responde a la forma de una función lineal.
b) Se sabe que la función de demanda de cierto producto corresponde a una
forma lineal y se ha obtenido la siguiente información sobre su venta en el
último mes:
PRECIO CANTIDAD
POR UNIDAD VENDIDA
5 110
6 100
En base a esta información:

1) Encontrar la función de demanda.
2) Analizar si la función es creciente o decreciente, ¿por qué?
Actividad 11
x y
A partir de la expresión 1 , completar:
-5 4
Ecuación explícita de la recta
¿La función es creciente?
Justificar
Punto de corte en el eje de las
abscisas
Punto de corte en el eje de las
ordenadas
Actividad 12
Conociendo que f x ax b , definida en el conjunto de los números

reales, completar el siguiente cuadro y graficar la función, utilizando los datos
planteados:
EL INTERVALO PARA EL CUAL LA
f 2 f 0 LA FUNCIÓN ES
FUNCIÓN ES NEGATIVA ES
3 -1
236
2. Función cuadrática
No siempre la relación entre dos variables es lineal, sino que en muchas oca-
siones su expresión analítica y su gráfica responden a otras características.
Trabajemos con el siguiente ejemplo:
Una empresa dedicada a la elaboración y a la refinería de azúcar posee la si-
guiente función de beneficio:
y 50 x 2 5.200 x 20.000
donde la variable y representa el beneficio obtenido luego de fabricar y ven-

der x toneladas de azúcar.
Eligiendo convenientemente algunos pares (x, y) que pertenecen a la función,
encontraremos que su gráfica es:
x y
20 64.000
40 108.000
60 112.000
80 76.000
Beneficio mensual
y
120000
80000
Beneficio
40000
0
-20 0 20 40 60 80 100 120 140
-40000 x
-80000
Cantidades
Si observamos con detenimiento esta curva, vemos que:

El beneficio aumenta a medida que se venden más toneladas, es decir es
creciente hasta un cierto punto, que se denomina vértice y luego es decre-
ciente.
El vértice indica el punto donde se obtiene el beneficio máximo.
Corta al eje de abscisas en dos puntos.
Corta al eje de ordenadas en 20.000 .
Es una curva abierta, simétrica, con ramas hacia abajo.
Este tipo de curva se denomina parábola y con distintas variantes constituye
la representación gráfica de lo que se denomina función cuadrática.
237
Una función : ℝ → ℝ, es cuadrática cuando las variables x e y se rela-

cionan a través de la siguiente expresión: y ax 2 bx c o
2
f (x ) ax bx c , siendo a, b y c constantes reales con a 0.
Como vemos, una función cuadrática está caracterizada por la presencia de

tres constantes a, b y c, que se denominan parámetros.
En general:
Para cada número real x podemos obtener a través de la expresión funcional
una única imagen y, por lo cual concluimos que el dominio de una función
cuadrática es el conjunto de los números reales.
Dom(f) = ℝ
Y si nos concentramos en los valores del eje de ordenadas que están relacio-
nados con valores del dominio deduciremos que la imagen corresponde a un
subconjunto de los reales delimitado por la ordenada del vértice (yv) que de
acuerdo al sentido de las ramas será:
Im f yv ó Im f yv
Realicemos un análisis completo de la función cuadrática en base al ejemplo

propuesto.
1. El término independiente, c, que es igual a 20.000, es la ordenada al
origen y representa la pérdida que la empresa tiene, cuando no fabrica y
vende tonelada alguna de azúcar, situación que es posible, debido a que tiene
costos fijos que afrontar. La función, entonces, corta al eje de las ordenadas
en el punto (0; 20.000).
2. Los puntos (4; 0) y (100; 0) pertenecen a la función y son las coordenadas

Recordar de corte de la parábola en el eje de las abscisas. Estos puntos son las raíces
de la función. Para hallarlos se puede aplicar la solución general de una ecua-
b b2 4ac
xi ción de 2º grado.
2a
5200 52002 4( 50)( 20000)
x
2( 50)
x1 4 y x2 100
Por lo tanto, los puntos (4; 0) y (100; 0) pertenecen a la función y son las
coordenadas de corte de la parábola en el eje de las abscisas.
3. El vértice de la parábola, el cual denotaremos como xv, será un valor del
dominio que está ubicado entre las raíces, a la misma distancia de cada una
de ellas, podemos calcularlo como:
x1 x2
xv
2
o bien usando la fórmula:
b
xv
2a
238
por dicho vértice se puede trazar una línea vertical que divide a la función en
dos partes iguales a esta línea se la denomina eje de simetría.
5.200
Para nuestro ejemplo: xv 52
2 ( 50)
Si reemplazamos este valor en la función, obtenemos:
yv 50 (52)2 5.200 (52) 20.000

yv 115.200
El punto (52; 115.200) es el vértice de la parábola.
Es decir que el máximo beneficio que la empresa obtendrá es de $115.200 si

fabrica y vende 52 toneladas.
4. El dominio de esta función está formado por el conjunto de los números
reales, que representan las cantidades de azúcar que la empresa vende.
Dom x x x 0
5. La Imagen será el conjunto de números reales menores o iguales al má-

ximo beneficio que puede obtener:
Im y y x 115.200
Para realizar un análisis similar al anterior y poder aplicar adecuadamente

las fórmulas, habrá que identificar los parámetros a, b y c de la expresión
y ax 2 bx c
Actividad 13
Dada la función y + 2 x2 7 x ; (x, y) x
a) Obtener las coordenadas de los puntos de corte a ambos ejes.

b) Encontrar las coordenadas del vértice.
c) Determinar el dominio y la imagen de la función.
d) Indicar el o los intervalos del dominio donde la función es negativa.
Actividad 14
Responder si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando:

“La función: y – 2 = –x2 corta al eje de las ordenadas en (–2)”
Actividad 15
Si f(x) = x2 + b x + c (donde b y c son desconocidos) y se verifica que f(0) = 2

y f(1) = 0, entonces: f(x) = ........................... (justificar).
239
2.1. Significado de los parámetros
Vamos a analizar la importancia que tienen los parámetros en la representa-

ción gráfica de la función cuadrática.
Comencemos con el coeficiente del término de segundo grado, ¿qué pasa
cuando cambia a?
Grafiquemos las funciones y = x2 e y = –x2
y = x2 a>0 y = – x2 a<0
x y x y
-2 4 -2 -4
-1 1 -1 -1
0 0 0 0
1 1 1 -1
2 4 2 -4
y y
9 3
8
1
7
6 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3
x
5
-3
4
3 -5
2 -7
1
0 -9
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Hemos graficado dos funciones cuadráticas para dos casos particulares: a = 1

y a = –1 donde b = c = 0
Comparemos ambas gráficas:
Cuando el coeficiente a asume valores positivos, las ramas de la parábola
son ascendentes, cuando asume valores negativos, sus ramas son descenden-
tes.
Las gráficas cortan en el punto (0, 0), que corresponde al vértice de la pa-
rábola (c = 0).
El eje de simetría coincide con el eje de las ordenadas (b = 0).
¿Qué sucede si es c el término que cambia?
Si consideramos c 0, siendo a > 0 y b = 0, graficamos las siguientes funcio-
nes:
y = x2+2 c>0
x y y
-2 6
-1 3
0 2
1 3
2 6
x
240
y = x2-2 c<0
x y y
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
x
Podemos observar que:

Al cambiar el valor de c la parábola se desplaza, hacia arriba cuando c > 0,
y hacia abajo si c < 0.
El valor de c indica el punto de corte de la gráfica con el eje de las ordena-
das.
En este caso, como b = 0, el valor de c coincide con las coordenadas del
vértice de la parábola.
b
Por último, analicemos como afecta a la gráfica el valor de b. xv
2a
Vimos que la abscisa del vértice de la parábola se calcula como un cociente
que relaciona los valores b y a.
Si a y b tienen el mismo signo (ambos positivos o negativos), la xv es ne-
gativa, y eso significa que la gráfica de la parábola va a estar desplazada hacia
la izquierda del eje de las ordenadas.
Si a y b tienen distinto signo, la xv es positiva, y eso significa que la gráfica
de la parábola va a estar desplazada hacia la derecha del eje de las ordenadas.
Grafiquemos las siguientes funciones y observemos lo indicado precedente-
mente:
y = x2 +2x +3 a > 0, b > 0 y = x2 – 2x + 3 a > 0, b < 0
x y x y
-2 3 -2 11
-1 2 -1 6
0 3 0 3
1 6 1 2
2 11 2 3
y y
14
12 14
12
10
10
8
8
6
6
4 4
2 2
0 0
-5 -4 -3 -2 -1 -2 0 1 2 3 x -3 -2 -1 -2 0 1 2 3 4 5 x
-4 -4
Finalmente, si b = 0, la parábola no estará desplazada. ¿Por qué?
241
Resumiendo, podemos decir que:
> 0, la parábola posee ramas ascendentes.

a < 0, la parábola posee ramas descendentes.
= 0, nunca puede serlo, por definición.
Si tiene igual signo que a, entonces xv es negativo, lo
que se traduce en un desplazamiento del eje de sime-
tría hacia la izquierda del eje de las ordenadas.
Si tiene distinto signo que a, entonces xv es positivo, lo
b
que se traduce en un desplazamiento de la parábola
hacia la derecha del eje de las ordenadas.
y ax 2 bx c
Si es igual a 0, el eje de simetría no está desplazado, es
decir coincide con el eje de las ordenadas.
> 0, la gráfica de la función corta al eje de las ordena-
das en su tramo positivo, es decir, sobre el eje de las
abscisas.
c < 0, la gráfica de la función corta al eje de las ordena-
das en su tramo negativo.
= 0, la gráfica corta en el origen del sistema de ejes
cartesianos.
Actividad 16
Si a < 0, b < 0 y c > 0, uno y solo uno de los siguientes gráficos puede repre-
sentar la función cuadrática. ¿Cuál es?
y y
a) b)
x x
y
y
c) d)
x x
Actividad 17
Dadas las siguientes funciones, realizar sus gráficas aproximadamente:

a) y = ax2 para a > 0
b) y = ax2 + bx para a > 0 y b > 0
2
c) y = ax + c para a > 0 y c > 0
242
Actividad 18
Determinar las coordenadas del vértice de cada una de las siguientes funcio-
nes. Indicar si hay un máximo o un minino en cada caso.
3 1
a) y = -2x 2 x b) y = 5x 2 20
2 4
Actividad 19
Dada la función: f ( x ) ( x 3)( x - 1) definida en el conjunto de los números

reales:
a) Graficar la función.
b) Determinar el dominio y la imagen de la misma.
Actividad 20
Una empresa industrial dedicada a la fabricación de envases de plástico, po-

see la siguiente función de costos para fabricar su producción mensual de x
unidades de producto.
y 100 x 2 400x 300
Graficar la función.
Actividad 21
1 2
La oferta de cierto artículo está dada por la función q(x ) x 10 ,
40
donde x es el precio unitario.
Completar los siguientes pares para que pertenezcan al gráfico de la función:
P(0, …) P(2, …) P(…, 40)
Actividad 22
Dada la función cuadrática f(x) = x2 + 2x – 3, definida en los números reales,

y los datos expresados en el cuadro siguiente:
LA ORDENADA DEL LA ABSCISA DEL
VÉRTICE ES
f(0) VÉRTICE ES
LAS RAÍCES SON
Actividad 23
Para un equipo electrónico, la función de oferta es cuadrática y los pares (1,

21), (2, 59) y (0, 3) pertenecen a la gráfica de la función. Sabiendo que las
primeras componentes de los pares representan precios y la segunda es can-
tidad ofrecida, determinar la forma analítica de la función de oferta.
243
Actividad 24
En el siguiente cuadro se presenta información sobre una función cuadrática

determinada. Utilizar estos datos para completarlo:
LAS RAÍCES LA ORDENADA LA ORDENADA LA ABSCISA DEL

LA FUNCIÓN ES
SON AL ORIGEN ES DEL VÉRTICE ES VÉRTICE ES
x1 = -1
15
x2 = 5
Actividad 25
Encontrar la función cuadrática correspondiente a la siguiente gráfica carte-

siana:
3. Función exponencial
Algunos escenarios de la realidad presentan comportamientos que no pue-
den ser modelados de forma lineal. Por ejemplo: organismos especializados
de las Naciones Unidas estudian el rápido crecimiento de la población mun-
dial desde antes de 1950. Observando su evolución concluyeron que, si bien
entre 1650 y 1850 el crecimiento poblacional siguió un comportamiento li-
neal aumentando 250 millones cada 100 años, entre 1850 y 1950 aumentó
de 1.000 millones a 2.000 millones, dando lugar a la llamada explosión po-
blacional, y estudios de alrededor de 1950 estimaban que para el año 2000
superaría los 5.000 millones. La reproducción de ciertas bacterias es otro
ejemplo de un fenómeno que no se comporta linealmente.
En estos casos es necesario intentar una modelización más apropiada, parti-
cularmente considerando que el fenómeno responde a una relación de tipo
exponencial, esto significa una potencia de base constante, donde la variable
independiente es el exponente o parte de un exponente.
También podemos citar ejemplos en el ámbito de la economía y la adminis-
tración, como el crecimiento del capital colocado a interés, la evolución del
producto bruto nacional o el decrecimiento del valor de ciertos activos, entre
otros.
244
3.1. Definición y características de la función
Consideremos la función f(x) = 2x.

En esta función la base de la potencia es fija, mientras que el exponente es
variable.
Si asignamos distintos valores a la variable x, obtendremos los correspon-
dientes valores de y que nos permitirán visualizar gráficamente la función,
como se muestra a continuación:
y
x
18 y=2
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-6 -4 -2 0 2 4 6 x
Observando la gráfica, podemos concluir que:

La función es creciente. Para valores de x menores que 0 crece lentamente,
y para valores de x mayores que 0 sigue creciendo de manera más rápida.
No corta al eje de las abscisas.
Corta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).
Esto será así para cualquier función cuya base sea un valor mayor a 1, por
lo que diremos que estamos ante una función exponencial creciente.
Consideremos ahora una función de la forma f(x) = (1/2)x y grafiquemos:
y 18
y = (1/2)x
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-6 -4 -2 0 2 4 6 x
Observamos que: Invitamos a ver un vi-

La función es decreciente, a medida que x se acerca a 0 decrece rápida deo en el aula virtual, en
mente, y cuando x asume valores mayores que 0 decrece más lentamente. Materiales y Recursos
del Capítulo 6.
No corta al eje de las abscisas.
Corta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).
245
Estas mismas características las observamos en cualquier otra función que

responda a la forma y ax cuya base esté comprendida entre 0 y 1.
Una función f : se dice que es exponencial cuando responde a la

siguiente estructura: f (x ) a x o y ax , con a > 0 y a 1, siendo a una
constante.
Esta función está definida en el conjunto de los números reales, por lo tanto,
su dominio es:
Dom f
Pero la imagen de la función asume solo valores reales positivos, entonces:

Im f >0
Analicemos esta función:

a >1
y
18
16
14
12
10 ¿En qué intervalos la
¿Es inyectiva? 8
función es positiva?
6
¿Es sobreyectiva? 4 ¿Se trata de una
2 función creciente?
0
-6 -4 -2 0 2 4 6 x
Sí, es inyectiva porque a distintos argumentos corresponden distintas imá-

genes.
No es sobreyectiva, ya que su imagen es el intervalo (0, ), que es un
subconjunto de los números reales.
Es positiva en ( , ).
La función es creciente ya que a medida que x aumenta el valor de la fun-
ción también aumenta.
El análisis anterior puede ser repetido con algunos cambios. Proponemos in-
tentar completar el siguiente esquema:
0<a<1
y
18
16
14
12
10 ¿En qué intervalos la
8
¿Es inyectiva? función es positiva?
6
¿Es sobreyectiva? 4
¿Se trata de una
2
0 función creciente?
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
246
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
Dijimos que la variable independiente x figura como exponente, mientras

que la base es la constante a, la cual debe ser un valor positivo y distinto de
uno. ¿Qué sucede si la base a asume el valor 1? La función sería una constante
igual a 1, puesto que 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1.
Actividad 26
Dada la siguiente función y 3x
a) Graficar.
b) Determinar el dominio e imagen de la misma.
c) Se afirma que dicha función es inyectiva, ¿por qué?
Hemos establecido que la función exponencial tiene la estructura y a x . Sin
embargo, podemos afirmar que, al sumar o multiplicar ax por una constante,

obtenemos otras variantes de la función exponencial. Por ejemplo, y ax b
ó y ka x son funciones exponenciales; estas estructuras también serán mo-
tivo de análisis en esta sección.
Trabajemos con el siguiente ejemplo. Se trata de la función: y 3x 2 . Ob-

servemos su gráfica:
12
y
10
6
y 3x 2
4
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x
Se trata de una función creciente, que corta al eje de las ordenadas en el

punto (0, 3) y se hace asíntota a y = 2. ¿Por qué se ha desplazado la función
hacia arriba? El motivo es haber sumado a 3x la constante 2. Su imagen ha
cambiado, ahora está formada por los > 2.
247
Actividad 27
Dadas la siguiente función y 2x 2 :

a) Graficar.
b) Determinar dominio e imagen.
c) ¿En qué punto se interseca con el eje de las abscisas?
d) ¿En qué punto se interseca con el eje de las ordenadas?
e) Comparar con el gráfico de y 2x .
Actividad 28
La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial del tipo y 3x b
y
9
-1 0 x
-4 -2 2 4
-3
a) Determinar el valor de b y explicitar cuál es la función que corresponde a

este gráfico.
b) Determinar la imagen.
Actividad 29
Dadas las siguientes funciones, identificar cuáles de ellas son exponenciales:

a) f (x) x5 b) y 73
c) y 73x d) g(x) a2x ; a constante, a > 0; a 1
x
1
e) h(x) 2 f) f (t) 5at ; a constante, a > 0; a 1
5
Actividad 30
x
1
Dada la función y c , y sabiendo que el punto ( 2, 6) pertenece a la
2
misma:
a) Determinar el valor de c.
b) Graficar.
248
Actividad 31
Encontrar la función exponencial correspondiente, si se conoce que la base es

igual a (1/3) y corta al eje de las ordenadas en el valor y = 1.
Actividad 32
Encontrar la función exponencial de la forma y kax , conociendo que el

3
punto 1, pertenece a la función y k = 4.
2
Por último, vamos a considerar una función de amplia aplicación en las áreas
de estadística, biología y particularmente en matemática financiera, ya que
interviene en la formación de capitales o montos, nos referimos a la función
exponencial que tiene como base al número e.
El número e es un nú-
y ex mero irracional cuyo
valor es 2,718281…
Su gráfica es:
y
8
7
6
5
4
y ex
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
Observamos que se trata de una función exponencial creciente, ya que e > 1.
4. Función logarítmica
La Agencia Córdoba Solidaria está tratando de calcular las horas de trabajo
que deberían realizar los asistentes sociales que debe contratar para procesar
las solicitudes de ayuda económica.
Un grupo de expertos en eficiencia estiman que el costo (C) promedio de
procesar una solicitud es una función de la cantidad de horas de trabajo de
los asistentes sociales (x). En concreto, la función que han encontrado los
expertos para el problema de la Agencia es:
C x 5ln x 60
donde x representa la cantidad de horas de trabajo y C el costo de cada soli-
citud de asistencia económica que recibe esta Agencia.
249
Gráficamente:
y
60
50
40
30
20
10
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
x
Por disposiciones legales vigentes en materia laboral, la Agencia dispone

como máximo de 180 horas de trabajo mensuales, con lo que podemos defi-
nir el dominio como:
D x x 0<x 180
Para estos valores de x, el costo de procesamiento de las solicitudes será:

Im CC 34,04 C<
Para x = 180, C = 34,04, mientras que cuando x tiende a 0, la función tiende

a infinito.
Si la Agencia decide afectar diez horas de trabajo de estos profesionales, el
costo de procesamiento es:
C 5ln(10) 60
C $48,49
Por otro lado, si presupuesta para el próximo año, un gasto de $45 por solici-
tud de ayuda económica. ¿Cuántas horas serán necesarias para cumplir con
sus programas solidarios?
45 5ln x 60
x 20,09 horas
Es decir que se deberá afectar aproximadamente 20 horas de trabajo para po-
der cumplir con el presupuesto para el próximo año.
4.1. Definición y características de la función
¿Recordamos a qué llamamos logaritmo?
El logaritmo de base a de un número x es el exponente al que se debe

elevar la base, para obtener dicho número. En símbolos:
log a (x ) y ay x
250
Por ejemplo:
log3 (9) = 2 pues 32 = 9
log2 (1/4) = -2 pues 22 = 1/4
log5 (1) = 0 ⇔ 50 = 1
Este concepto nos permite definir una nueva función: la función logarítmica.
Una función : ℝ → ℝ se dice que es logarítmica cuando responde a la

siguiente estructura: f (x ) loga x o y loga x , con a > 0 y a 1, siendo
a una constante.
De acuerdo a la definición de logaritmo, vemos que está íntimamente ligado

al concepto de función exponencial, pues si y ax , su inversa será x a y , lo
que es equivalente a y log a x .
En base a lo anterior, es importante destacar que:
y loga x es la función inversa de la función y ax
Dado que la función exponencial f(x) = ax, definida de > 0, es bi-

yectiva, podemos asegurar que su inversa también es una función.
La base a siempre es constante, positiva y distinta de 1.
Para obtener la gráfica de esta función, es aconsejable que los valores que
demos a la variable x sean potencia de la base, esto permitirá obtener los va-
lores de y de forma casi directa.
Consideremos el ejemplo y log2 x y grafiquemos la función:
x y y
2(-2) = 0,25 2
2(-1,5) = 0,35 1,5
2(-1) = 0,5 1
2 (0)
=1 0
x
2(0,5)
= 1,41 0,5
2(1) = 2 1
2 =4(2)
2
En la gráfica podemos observar que:

La función es creciente, para valores de x comprendidos entre 0 y 1 crece
rápidamente y para valores de x > 1 sigue creciendo más lentamente.
No corta al eje de las ordenadas, haciéndose asíntota al mismo.
Corta al eje de las abscisas en el punto (1, 0).
251
Dijimos que se trata de la función inversa de la exponencial, entonces, para

este caso en particular, se verifica que:
f (x ) 2 x f 1 (x) log2 x
Si graficamos ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos ob-

servamos lo que expusimos en el capítulo anterior, que los puntos de una de
las gráficas son el reflejo de la otra a través de la recta x = y.
Consideramos ahora, una función de la forma y log(1/2) x , con base a < 1,

obtenemos los valores de las coordenadas de algunos de sus puntos:
x y
(1/2) (-2)
=4 2
(1/2)(-1) = 2 1
(1/2) = 1(0)
0
(1/2)(0,5) = 0,70 0,5
(1/2)(1) = 0,50 1
(1/2)(2) = 0,25 2
Y la graficamos
y
2,5
2
1,5
y log(1/2) x
1
0,5
0
-0,5 0 1 2 3 4 5
-1 x
-1,5
-2
-2,5
Observamos que se trata de una función:

Decreciente, para valores x comprendidos entre 0 y 1 decrece rápida-
mente, y cuando x >1 sigue decreciendo más lentamente.
No corta al eje de las ordenadas, haciéndose asíntota a él.
Corta al eje de las abscisas en (1,0).
252
Considerando que no existen logaritmos de números negativos, como tam-

poco del número 0, podemos concluir que x puede asumir solo valores posi-
tivos, por lo tanto, el dominio de la función es:
Dom(f) = ℝ > 0
También podemos afirmar que cualquier número real forma parte de la ima-
Invitamos a ver un vi-
gen (¿por qué?). Por lo tanto:
deo en el aula virtual,
Im(f) = ℝ en Materiales y Re-
cursos del Capítulo 6.
Analicemos su clasificación
a>1
y
3
1
¿En qué intervalos la
función es positiva?
0
0 1 2 3 4 5
¿Es inyectiva?
-1 x
¿Se trata de una ¿Es sobreyectiva?
-2
función creciente?
-3
Sí es inyectiva, pues a distintos argumentos le corresponde distinta ima-

gen.
Sí es sobreyectiva, ya que su imagen coincide con el rango.
Es positiva en (1, ).
La función crece a media que x aumenta, en forma rápida hasta x = 1 y en
forma más lenta para valores de x > 1.
¿Podemos realizar el mismo análisis para esta función?
0<a<1
y
2,5
¿Es inyectiva, conside- 2

1,5
rando como Alcance el ¿En qué intervalos
1
conjunto de los números 0,5 la función es posi-
reales positivos? 0 tiva?
0 1 2 3 4 5
-0,5
¿Es sobreyectiva, consi- x
-1 ¿Se trata de una
derando como rango al -1,5
función decre-
conjunto de los números -2
ciente?
-2,5
reales?
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
Si bien hemos establecido que la función logarítmica tiene la estructura

y loga x podemos afirmar que al sumar o multiplicar log a x por una cons-
tante obtenemos otras variantes de la función logarítmica, por ejemplo
y loga x b o y k loga x son funciones logarítmicas. Estas estructuras
también serán motivo de análisis en esta sección.
253
Actividad 33
Dadas las siguientes funciones, identificar cuáles de ellas son logarítmicas:
a) f (x ) 202 x b) y 3 log8 x
c) f (t) log t d) g(x ) 2 log a x 2 ; a constante, a > 0; a 1
e) h(x ) 8 log(1/5) x f) y log e x
Actividad 34
Dadas la siguiente función y log3 x
a) Graficar.
b) Determinar dominio e imagen de la misma.
c) Se afirma que dicha función es inyectiva, ¿por qué?
d) ¿Cómo restringe el rango para que sea sobreyectiva?
¿Qué ocurre si a la función se le suma algebraicamente una constante? Vea-
mos el siguiente ejemplo: y 3 log3 x
y
6
5
4
3
2
1/27
1
0
x
-1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-3
Puede observarse que, si bien conserva la forma de la gráfica general, ahora

se ha trasladado hacia la izquierda, siendo el punto de corte al eje de las abs-
cisas (1/27; 0), sin cortar nunca al eje de las ordenadas.
Actividad 35
Dadas la siguiente función y 2 log(1/2) x

a) Graficar.
b) Determinar las coordenadas de corte al eje de las abscisas.
Actividad 36
La siguiente gráfica corresponde a una función logarítmica de la forma

y log 4 x b
254
6
y
5
0
0 1 2 x
-1
-2
1/16
-3
a) Determinar el valor de b.
b) Determinar el dominio y la imagen de la función.
Actividad 37
Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justifi-

cando la elección:
a) Si log(1/2) n 3 , entonces n (1/8) = 0
b) La función y (log2 x ) 1 asume valores negativos para x < 0.

c) Si la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, entonces
x
log2 x 2
Habíamos mencionado, como un caso particular, la función exponencial

y ex , donde su base es mayor a uno. Su inversa tiene una notación especial:
y loge x ln(x)
Este logaritmo especial se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural, en

honor a John Neper (1550–1617), un matemático escocés que trabajó en la
creación de los logaritmos.
Su gráfica presenta la siguiente forma:
255
Es importante tener en cuenta que los logaritmos gozan de ciertas propieda-

des, que enunciamos a continuación:
ENUNCIADO EN SÍMBOLOS
a) El logaritmo en base a de un producto

loga (x y) loga x loga y
es igual a la suma de los logaritmos.
b) El logaritmo en base a de un cociente
es igual a la diferencia entre el logaritmo log a (x / y ) loga x loga y
del dividendo y el logaritmo del divisor.
c) El logaritmo en base a de una poten-
cia es igual al exponente por el loga- log a ( x y ) y log a x
ritmo de la base.
d) El logaritmo de uno (1) en cualquier
loga 1 0
base es igual a cero (0).
e) El logaritmo natural del número e es
loge e ln e = 1
igual a uno (1).
5. Razones trigonométricas
5.1. ¿Qué es la trigonometría?
La trigonometría se ocupa de estudiar las relaciones entre los lados y ángulos

de un triángulo rectángulo, y es muy útil para la resolución de problemas de
cálculo de distancias, superficies y volúmenes, entre otros, como por ejem-
plo, la altura de montañas, torres y árboles, el ancho de los ríos, lagos, etc. La
palabra “trigonometría” es de origen griego y proviene de los vocablos tri
(tres), gono (ángulo) y metría (medida).
En este punto veremos en qué consisten las razones trigonométricas, la rela-
ción de las mismas con los ángulos y su representación gráfica, y las emplea-
remos en situaciones de distinta índole.
Una situación problemática
El campo de aplicación de la trigonometría es amplio, pudiendo ser de utili-

dad para resolver problemas de la vida diaria. A modo de ejemplo, valga el
siguiente:
Un grupo de aficionados al trekking, emprende desde hace varios años, la as-
censión al cerro Champaquí. En una oportunidad, después de recorrer 1.200
metros a alguien se le ocurrió preguntar a qué altura se encontraban respecto
del punto de partida, Villa Alpina. Lo único que sabían era que ascendían,
¡dificultosamente! por un sendero que tenía -a la vista - una pendiente que
formaba un ángulo de aproximadamente 30º con la línea del horizonte.
¿Les servía para algo ese dato? Haciendo uso de conocimientos de trigono-
metría, el cálculo es relativamente sencillo.
256
Antes de encontrar la respuesta, revisemos algunos conceptos. Comenzare-

mos con las razones trigonométricas.
5.2. ¿Qué son las razones trigonométricas?
Comencemos por dibujar un ángulo α de 30º, con vértice A. Luego, desde un

punto C ubicado en uno de sus lados, tracemos la perpendicular al otro lado.
Así queda formado el triángulo rectángulo ABC.
A α
B
Donde:
el lado A C es la hipotenusa del triángulo,
el lado B C se denomina cateto opuesto (al ángulo α),
el lado A B se denomina cateto adyacente (al ángulo α).
Hallemos la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hi-
potenusa.
Supongamos que BC = 15 mm y AC = 30 mm
Es decir que, bajo este supuesto, la razón entre estos lados del triángulo es:
BC 15
0,5
AC 30
Ahora elijamos distintos puntos y por cada uno de ellos tracemos la perpen-
dicular al otro lado.
G
E
C
A
α
B D F
Para cada triángulo rectángulo obtenido, ¿cuál es la razón entre la longitud

del cateto opuesto y la hipotenusa?
Como los triángulos ABC, ADE y AFG tienen un ángulo común y los lados
correspondientes son proporcionales, se puede ver que:
¡Todas estas razones
BC DE FG dan el mismo resul-
0,5
AC AE AG tado!
Entonces, en cualquier triángulo rectángulo con uno de sus ángulos de 30º la

razón entre las longitudes del cateto opuesto y la hipotenusa del triángulo es
0,5.
257
Esta razón se denomina seno de 30º y la denotaremos como sen 30º = 0,5. La
misma depende solo del valor del ángulo y no de los lados del triángulo.
Surge así naturalmente la definición del seno de un ángulo:
El seno de un ángulo α, es el cociente entre la longitud del cateto opuesto

al ángulo α y la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo corres-
pondiente. En símbolos:
cateto opuesto
sen
hipotenusa
¿Podremos usar este resultado para dar respuesta al problema del ascenso al
cerro Champaquí?
El objetivo era determinar a qué altura del cerro se encontraba el grupo.
Teníamos como datos la distancia que habían recorrido, 1.200 metros, y que
el ángulo de ascenso era aproximadamente de 30º. Visualicemos geométri-
camente la situación usando un triángulo:
1200 m
x
α
Ya sabemos que el cociente entre la altura alcanzada (x) y la distancia reco-

rrida (1.200 m) es igual al seno de 30º, de este modo:
x
sen 30º
1200
Concluimos que la al- Reemplacemos el valor del seno y despejemos x

tura a la que se en-
cuentra el grupo, res-
x = 0,5 . 1200 x = 600
pecto al punto inicial, Al comienzo hablamos de “las razones trigonométricas”. ¿Imaginamos otros
es de 600 metros
cocientes que podamos obtener de forma similar al anterior?
aproximadamente.
Formalmente, en total son seis las razones de interés.
Las tres más utilizadas son: seno, coseno y tangente. Y otras tres, cosecante,
secante y cotangente, son las recíprocas de las razones anteriores respecti-
vamente. Las fórmulas de cálculo se presentan en la siguiente tabla:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PRINCIPALES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Cateto opuesto BC Cosecante Hipotenusa AC

Seno de α sen cosec
Hipotenusa AC de α Cateto opuesto BC
Coseno de Cateto adyacente AB Secante de Hipotenusa AC

cos sec
α Hipotenusa AC α Cateto adyacente AB
Tangente Cateto opuesto BC Cotangente Cateto adyacente AB

tg cotg
de α Cateto adyacente AB de Cateto opuesto BC
258
Actividad 38
Considerar un triángulo rectángulo como el de la figura, y averiguar el valor

del seno de .
5 cm
3 cm
Actividad 39
Se desea saber la longitud mínima que debe tener una escalera de bomberos,
para llegar a la parte más alta de un edificio de 20 metros de altura, sabiendo
que por razones de seguridad la misma debe formar un ángulo de 60º con el
piso.
a) Ubicar los datos en el esquema.
3
b) Si se nos informa que el sen 60º = , ¿cuál es la longitud de la escalera?
2
Actividad 40
Utilizar las definiciones de las razones trigonométricas anteriores para com-

pletar cada igualdad.
D
sen = sen =
cos = cos =
F
E tg = tg =
5.3. Sistemas de medición de ángulos
La unidad de medida de ángulos que hemos utilizado hasta ahora es el grado

(sistema sexagesimal). Sin embargo, existen otros sistemas de medición de
ángulos, entre ellos el sistema radial cuya unidad de medida es el radián.
¿Qué es un radián?
Consideremos un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, las mismas

determinan cuatro ángulos rectos. Dibujemos una circunferencia con centro
en el origen del sistema de coordenadas, de este modo la circunferencia
259
describe un ángulo central de cuatro rectos que sumados dan 360º sexagesi-
males.
Si tomamos la longitud del radio y la transportamos sobre la circunferencia,
el ángulo correspondiente a esa longitud de arco (igual al radio), recibe el
nombre de radián.
Radio
Arco
Un radián es la me-
dida del ángulo cen-
1 Radián
tral correspondiente a
un arco de circunfe-
rencia igual al radio de
la misma.
Como sabemos, la longitud de la circunferencia es igual a 2 r donde r es el

valor del radio, como consecuencia de ello, una circunferencia describe un
ángulo de 2 radianes.
Por lo tanto, el ángulo central de 360º en el sistema sexagesimal equivale a
2 radianes en el sistema radial.
Además, si 360º equivalen a 2 radianes, entonces 180º equivalen a radia-
nes.
Estas relaciones nos permiten pasar de un sistema a otro a través de una sim-
ple regla de tres.
Por ejemplo, ¿a cuántos radianes equivalen 45ºsexagesimales?
El razonamiento es:
Si 180º equivalen a radianes
45º equivalen a x radianes
45º π π
por lo tanto: x = radianes x= radianes
180º 4
π
Concluimos que 45º sexagesimales equivalen a radianes.
4
De idéntica forma, podríamos haber efectuado el razonamiento para cual-
quier ángulo de G grados, obteniendo que:
Gº π
Gº equivalen a radianes
180º
π
Recíprocamente, ¿a cuántos grados sexagesimales equivalen radianes?
4
El razonamiento es:
Si radianes equivalen a 180º
π
radianes equivalen a xº
4
260
π / 4 180º
por lo tanto: x = radianes x = 45º
π
Con ello se verifica la equivalencia establecida anteriormente.
Así, para cualquier ángulo de radianes, se obtiene:
180º
α radianes equivalen a grados
π
Actividad 41
Completar el siguiente cuadro (de acuerdo con las relaciones entre los dos
sistemas de medición de ángulos).
SISTEMA SISTEMA
RADIAL SEXAGESIMAL
2
270º
150º
3 /4
90º
/4
2 /6
30º
En adelante, trabajaremos con ambos sistemas de medición de ángulos.
5.4. Funciones trigonométricas

Invitamos a ver un
video sobre la cir-
Hemos partido de las razones trigonomé- cunferencia trigono-
RAZONES métrica (también lla-
TRIGONOMÉTRICAS
tricas para los ángulos agudos de un trián-
mado círculo trigo-
gulo rectángulo. nométrico) en el
aula virtual, en Ma-
Vamos ahora a extender estas definicio- teriales y Recursos
nes a cualquier ángulo a partir de la circun- del Capítulo 6.
RELACIONES ferencia trigonométrica, generando así las
TRIGONOMÉTRICAS relaciones trigonométricas.
Veremos también que las relaciones trigo-

nométricas son funciones, aunque algu-
nas de ellas con ciertas restricciones de
FUNCIONES dominio. Estableceremos propiedades y
TRIGONOMÉTRICAS
analizaremos sus gráficos.
261
Las razones trigonométricas: seno, co-

seno, tangente, etc. pensadas origina-
y riamente sobre los ángulos agudos de
un triángulo rectángulo, se pueden
hacer extensivas al caso de cualquier
ángulo. ¿Cómo hacerlo?
- x
Para ello, consideremos nuevamente
un sistema de coordenadas cartesia-
nas.
Dibujemos una circunferencia con centro en el origen del sistema de coorde-

nadas y radio . ¡En la circunferencia podemos representar todos los ángu-
los!
Así los ángulos positivos se miden en sentido antihorario y los negativos en
sentido horario.
Tracemos una semirrecta con ex-
y
tremo fijo en el centro de coorde-
nadas; la cual determina un án-
P(x, y) gulo . Llamemos P(x, y) al punto
de corte de la semirrecta con la cir-
cunferencia.
x
Si trazamos un segmento perpen-
dicular al eje de abscisas desde del
punto P(x, y), queda formado un
triángulo rectángulo.
Cuando = 1, es decir el radio de la circunferencia es unitario, la denomina-

mos circunferencia trigonométrica. En ella vamos a representar cada una de
las razones estudiadas.
5.4.1. Seno
El seno del ángulo α, según su definición, se puede expresar como el cociente

entre la ordenada del punto P(x, y) y el radio, . En símbolos:
ordenada de P(x, y )
sen
Si consideramos una circunferencia trigonométrica con radio unitario, en-

tonces el seno es igual a la ordenada.
ordenada de P(x, y ) y
sen = y
1
En la circunferencia trigonométrica, el seno del ángulo es igual a la orde-

nada del punto P(x, y) , que surge de la intersección de la semirrecta con
la circunferencia.
262
Veamos gráficamente cómo queda determinado el triángulo asociado a dis-

tintos ángulos:
P(x,y)
P(x,y) P(x,y)
Para los distintos ángulos, debemos respetar el signo indicado por

los catetos de estos triángulos, observemos que para la función
seno esta generalización implica respetar el signo de la ordenada
del punto P(x, y) cuando el radio es unitario.
De aquí en más, consideraremos siempre una circunferencia trigonométrica.

¿Cuál es el signo y que valores puede asumir la relación sen en cada cua-
drante?
Si α I cuadrante, entonces 0 α sen α 0
Cuando 0, la ordenada es también

0 sen 0º = 0.
A medida que el valor de va aumen-
tando, acercándose al valor , la orde-
nada es cada vez mayor hasta llegar a ser
1 en Sen 90º = 1.
Si α II cuadrante, entonces α sen α 0
La ordenada sigue siendo positiva, pero

decreciente hasta que en asume el
valor 0 Sen 180º = 0
Si α III cuadrante, entonces α 3 /2 sen α 0
Asume valores negativos, sigue decre-

ciendo, hasta alcanzar su mínimo valor
( 1) para 3 /2 Sen 270º = 1
Si α IV cuadrante, entonces 3 2 sen 0
Finalmente vuelve a crecer desde ( 1)

hasta alcanzar el valor 0 en 2 Sen
360º = 0
263
Después de este análisis, podemos afirmar que:
1 sen 1
5.4.2. Coseno
El coseno del ángulo se puede expresar como el cociente entre la abscisa

del punto P(x, y) y el radio = 1.
abscisa de P(x, y) x
cos = x
1 1
En la circunferencia trigonométrica el coseno del ángulo es igual a la abs-

cisa del punto P(x, y) , que surge de la intersección de la semirrecta con
la circunferencia.
¿Cuál es el signo y qué valores puede asumir la relación cos α en cada cua-
drante? Utilizando las mismas figuras de la relación sen α, y analizando en
cada cuadrante el cos α, se pueden extraer las siguientes conclusiones.
Podemos afirmar que:
Si α I cuadrante 0 < cos α < 1 cos 0º = 1, cos 90º = 0

Si α II cuadrante 1 < cos α < 0 cos 180º = 1
Si α III cuadrante 1 < cos α < 0 cos 270º = 0
Si α IV cuadrante 0 < cos α < 1 cos 360º = 1
En resumen:
sen α > 0 sen α > 0
α ( , ) y α (0, )
cos α < 0 cos α > 0
sen α < 0 sen α < 0

α ( ,3 ) α (3 2 , )
cos α < 0 cos α > 0
Antes de continuar con las otras relaciones trigonométricas, vamos a referir-

nos a un punto de gran importancia.
264
Recordemos el Teorema de Pitágoras:
Pitágoras demostró que: en todo triángulo rectángulo, la suma de los

cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Aplicando este teorema al caso particular del triángulo contenido en la
circunferencia trigonométrica resulta, la relación fundamental de la tri-
gonometría:
sen2 + cos2 =1
Esta relación es válida cualquiera sea el ángulo . ¿Cuándo usar esta relación?
Por ejemplo, supongamos que sen = 3/5 y pertenece al segundo cua-
drante. ¿Cómo obtener el cos ? Despejamos cos de la relación fundamen-
tal, de donde resulta:
cos = 1 sen2 α
Reemplazando el valor del seno y recordando que el coseno de un ángulo que

pertenece al segundo cuadrante, es negativo, se tiene:
2
cos = 1 3/5
Finalmente, operando obtenemos:

cos = 4/5
A partir de la relación fundamental, conociendo el seno de un ángulo y el cua-
drante al cual pertenece es posible obtener el coseno de dicho ángulo, o a
partir del coseno es posible encontrar su seno.
Actividad 42
De forma similar a la expuesta anteriormente, deducir la fórmula general para

el cálculo del sen a partir del conocimiento del cos .
Actividad 43
a) Si sen = 0,2, calcular los posibles valores para cos e indicar a qué cua-
drantes puede pertenecer el ángulo .
b) Si cos = 2/3, calcular los posibles valores para sen e indicar a qué
cuadrantes puede pertenecer el ángulo .
c) ¿Existe algún ángulo para el cual sen = 3/2? ¿Por qué?
5.4.3. Tangente
La tangente del ángulo se puede expresar como el cociente entre la orde-

nada del punto P(x, y) y la abscisa del mismo punto. En símbolos:
ordenada de P(x , y ) y
tg
abscisa de P(x , y ) x
265
dividiendo numerador y denominador por el radio se obtiene:

y/ sen α
tg
x/ cos α
La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno del

ángulo. Por lo que el signo de la relación tangente en cada cuadrante depende
del signo de las relaciones seno y coseno.
La tg α será:
Si I cuadrante tg 0 tg 0º = 0, tg 90º no está definida

Si II cuadrante tg <0 tg 180º = 0
Si III cuadrante tg 0 tg 270º no está definida
Si IV cuadrante tg <0 tg 360º = 0
Podemos afirmar que:

tg
Si el objetivo es determinar el valor de la tg ; conociendo, al igual que antes,

que sen = 3/5 y que pertenece al segundo cuadrante, una alternativa vá-
lida sería calcular el coseno (cálculo ya efectuado) y luego utilizar el hecho de
sen
que tg surge del cociente
cos
En síntesis:
3/5
tg =
4/5
3
tg =
4
Actividad 44
Si cos = 1/3, calcular los posibles valores para tg e indicar a qué cuadran-
tes puede pertenecer el ángulo .
5.4.4. Relaciones recíprocas
Las relaciones recíprocas son:

1 1
Relación cosecante cosec
ordenada de P(x,y) sen
1 1
Relación secante sec
abscisa de P(x,y) cos
abscisa de P(x , y ) 1
Relación cotangente cotg
ordenada de P(x , y ) tg
266
Si se tiene el valor de una de las relaciones trigonométricas y el cua-

drante al que pertenece el ángulo, entonces se puede obtener cual-
quiera de las otras relaciones trigonométricas.
Actividad 45
Analizar detenidamente el signo y los valores que asume la cosecante, la se-

cante y la cotangente de un ángulo en los distintos cuadrantes, teniendo en
cuenta que son recíprocas de las relaciones seno, coseno y tangente respecti-
vamente.
Así como hemos encontrado una fórmula para expresar el seno en términos
del coseno, se pueden deducir fórmulas que relacionan cualquier par de rela-
ciones trigonométricas.
Actividad 46
Sabiendo que cos = 1/2 y que pertenece al tercer cuadrante, obtener el

valor de las restantes relaciones trigonométricas del ángulo .
Actividad 47
Identificar el valor de verdad (V- F) de las siguientes afirmaciones:

a) “La cosecante de un ángulo , perteneciente al primer cuadrante, vale 2/3.”
b) “Si pertenece al cuarto cuadrante sec < 0 y tg < 0”.
2 2
c) “sec cosec = 1, para todo valor de ”.
d) “Si cotag > 0 y cos < 0, entonces pertenece al tercer cuadrante.
Actividad 48
a) Sabiendo que cosec 2 y que el ángulo pertenece al tercer cuadrante,

calcular el valor del sen , el cos y la cotg .
b) Si sen 2/5 y el ángulo pertenece al segundo cuadrante, calcular el
valor del cosec , el cos y la cotg .
c) Conociendo que cos 1/6 y que el ángulo pertenece al primer cua-
drante, determinar el valor del sen , la tg y la cosec .
5.4.5. Definición y características de las funciones trigonométricas
¿Por qué es función la relación y = sen ?

La relación seno asocia a cada ángulo un único valor real (cada tiene una
y solo una imagen), motivo por el cual es una relación funcional.
Dado que el valor de un ángulo es un número real y el seno de un ángulo es
un número comprendido entre 1 y 1, podemos establecer una corresponden-
cia entre el conjunto de los números reales y el intervalo [ 1, 1].
267
f: 1, 1 f (x) sen x
a cada ángulo x le corresponde un único número real entre 1 y 1.
El mismo análisis es válido para la relación coseno, por lo tanto, la relación
y cos x es función.
f: 1, 1 f (x) cos x
Las restantes relaciones trigonométricas son también relaciones funcionales,
pero con ciertas restricciones de dominio.
Asociada a cada función se tiene lo que se denomina su co-función y recípro-
camente. Las mismas se resumen en el siguiente cuadro:
Función Co–función
trigonométrica trigonométrica
y = sen y = cos
y = tg y = cotg
y = sec y = cosec
Cuando estudiamos en geometría los ángulos, nos enseñaron relaciones en-

tre ellos, y así definimos ángulos complementarios, suplementarios, etc. En
este punto veremos cuál es la relación de las distintas funciones trigonomé-
tricas considerando las relaciones entre los ángulos. Comencemos con los án-
gulos complementarios
5.4.6. Funciones trigonométricas de ángulos complementarios
“Dos ángulos son complementarios cuando sumados forman un ángulo

recto”.
Se puede demostrar que la función trigonométrica de un ángulo es igual a la

co-función de su complementario.
Por ejemplo: y π/2
sen 0º = cos 90º A

sen 30º = cos 60º
B
sen 60º = cos 30º A’ B’ x
sen 90º = cos 0º
sen 135º = cos -45º
Actividad 49
Investigar:
a) ¿Cuál es el ángulo complementario de 60º; 135º; 240º; 315º?
268
b) ¿En qué cuadrante se encuentra el complementario de un ángulo que está

en el segundo cuadrante? ¿Y si el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante?
c) ¿Qué significa gráficamente un ángulo negativo?
Actividad 50
a) Sabiendo que sen 1/2 y que el ángulo pertenece al primer cuadrante,

calcular la cotangente del ángulo complementario.
b) Si cosec = 4 y perteneciente al primer cuadrante, ¿cuál es el valor de la
tangente de su complementario?
c) Conociendo que pertenece al cuarto cuadrante y cos = 2/3, calcular
tg( 2 .
Actividad 51
A partir de la definición de las funciones trigonométricas, la relación funda-

mental de la trigonometría, la propiedad de los ángulos complementarios y
los valores del seno de los ángulos notables, completar el siguiente cuadro:
Función 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
Seno 0 1/2 2/2 3/2 1 0 1 0
Coseno
Tangente IMPORTANTE: Los

resultados a los que
Cotangente se arribe en la Activi-
dad 51 serán útiles en
Secante el resto del capítulo.
Cosecante
Actividad 52
Completar el cuadro definiendo las proposiciones correspondientes y expre-

sando en forma simbólica la siguiente afirmación:
“El coseno de un ángulo es igual al seno de su complemen-

Expresión
tario si y solo si el ángulo pertenece al primer cuadrante”.
Proposiciones
simples
Expresión en símbolos
Matemáticamente, la
expresión planteada,
¿es verdadera o falsa?
Justificar.
269
5.4.7. Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios, que difieren

en , opuestos y congruentes
Para la interpretación de las propiedades que se darán a continuación, la cir-

cunferencia trigonométrica será de mucha ayuda. Concentremos nuestra
atención en lo que se muestra gráficamente:
Al igual que en los ángulos complementarios, veamos cómo se comportan las
funciones trigonométricas para otras relaciones entre ángulos.
ÁNGULOS ÁNGULOS QUE ÁNGULOS

ÁNGULOS OPUESTOS
SUPLEMENTARIOS DIFIEREN EN CONGRUENTES
Dos ángulos son suple- Son aquellos cuya dife- Son ángulos que asu- Dos ángulos son con-
mentarios cuando suma- rencia es igual a 180º men el mismo valor, gruentes cuando difie-
dos dan un ángulo llano pero distinto signo ren en k giros
El suplementario del án- y difieren en El positivo se mide Cada giro está dado
gulo es el ángulo 180º . en sentido antihorario, por 2 radianes, enton-
180º y el negativo en ces k giros se simboli-
sentido horario zará 2k
y y y y
A’ A A
A A
π- π+ +2π
B A’ B B
B’ x B x - x x
A’
B’
Se prueba que: Se prueba que: Se prueba que: Se ve que:

sen (180º ) = sen sen ( + ) = sen sen ( )= sen sen ( + 2k ) = sen
cos (180º )= cos cos ( + ) = cos cos ( ) = cos cos ( + 2k ) = cos
tg (180º )= tg tg ( + ) = tg tg ( )= tg tg ( + 2k ) = tg
5.4.8. Representación gráfica de las funciones trigonométricas
Función seno
Para graficar la función seno, tendremos que integrar los conceptos anterio-
res y representarlos en un sistema de coordenadas cartesianas. Cuando ha-
blamos de la relación seno, concluimos que:
El sen 0º 0.
En el primer cuadrante, esto es entre 0 y , el seno es positivo y creciente
alcanzando su máximo valor en .
Luego en el segundo cuadrante, entre y , sigue siendo positivo pero
decreciente hasta que en asume el valor 0.
Ya en el tercer cuadrante asume valores negativos, sigue decreciendo,
hasta alcanzar su mínimo valor ( 1) para 3 /2.
Finalmente, en el cuarto cuadrante vuelve a crecer desde 1 hasta alcanzar
el valor 0 en 2 .
Además...
270
Dada la propiedad del seno de ángulos congruentes, los valores que se

obtengan en el intervalo [0, 2 ], se irán repitiendo en forma periódica, por
tal motivo se dice que es una función de período 2 .
Todo esto nos permite afirmar que la representación gráfica de la función
seno es la siguiente:
¿En qué intervalos la función es ¿Es inyectiva?
positiva? No, pues a distintos argumentos le
Es positiva, entre otros, en los corresponde la misma imagen, por
intervalos (0, !) y (2! , 3!) ejemplo, para x = 0, x = , x = 2 ,
etc.... se observa que sen x = 0
¿Para qué valores de x la fun- ¿Es sobreyectiva, considerando

ción alcanza su máximo valor? como rango al conjunto de los nú-
La función alcanza su máximo meros reales?
valor, “1”, entre otros, en los No, su recorrido es el intervalo
puntos [ 1, 1] el cual es un subconjunto
x = 3 2, x = 2, x = 5 2. del rango.
¿Cómo podemos restringir el alcance de manera que la función seno sea

inyectiva?
Una de las posibilidades es restringir el alcance al intervalo [ 2, 3 2]
donde resulta que a argumentos distintos corresponden imágenes distintas.
Es decir, en dicho intervalo la función es inyectiva. Habrá que tener presente
que existe infinitos intervalos donde esto ocurre.
¿Será posible redefinir el alcance o el rango para que la función seno sea
sobreyectiva?
Para que la función seno sea sobreyectiva, el recorrido debe coincidir con el
rango, por ello deberíamos restringir el rango al intervalo [ 1, 1].
Otra cuestión de interés es analizar que modificaciones produce en el gráfico

un cambio en la estructura de la función seno. Para ello, sugerimos resolver
la siguiente actividad:
Actividad 53
a) Graficar y = 3 sen x.
b) Comparar con el gráfico de la función y = sen x, ¿qué se puede deducir?
c) Graficar y = sen (x/2)
d) Comparar con el gráfico de la función y = sen x, ¿qué se puede deducir?
Función coseno
¿Cuál es el gráfico correspondiente a la función coseno? Nuevamente, un

análisis similar al efectuado en el caso de la función seno hará posible arribar
a un gráfico como el que sigue:
271
Actividad 54
En base al gráfico de la función y = cos x, responder justificando la respuesta.

a) ¿Es una función inyectiva?
b) ¿Es sobreyectiva, considerando como rango al conjunto de los números
reales?
c) ¿En qué intervalos la función es negativa?
d) ¿En qué intervalos la función es creciente?
e) ¿Para qué valores de x la función alcanza su mínimo valor?
Para analizar la incidencia de una modificación en la estructura de la función

coseno, sugerimos la siguiente actividad:
Actividad 55
a) Graficar y = cos x.
b) Comparar con el gráfico de la función y = cos x, ¿qué se puede deducir?
c) Graficar y = cos (2x)
d) Compare con el gráfico de la función y = cos x, ¿qué se puede deducir?
Función tangente
¿Cuál es el gráfico correspondiente a la función tangente? Primero veamos

para qué valores está definida esta función, esto es cuál es el dominio. Al es-
tudiar tangente trigonométrica, vimos qué surge del cociente entre el seno y
el coseno del ángulo.
¡Recordemos que
sen
la división por 0 tg
no está definida! cos
Para aquellos valores de x, por ejemplo, en ! /2, en /2, en 3 /2, en 5 /2,

etc., donde el cos x sea 0, este cociente no existe, por lo tanto: el dominio de
la función tangente está dado por los números reales, salvo aquellos valores
de x donde cos x es 0.
Entre ! /2 y 0 como el seno es negativo y el coseno es positivo, la tangente
resulta negativa.
272
tg 0º = 0
Entre 0 y /2, como el seno y el coseno son positivos, la tangente es posi-
tiva.
Se puede ver que en el intervalo completo ( /2, /2), a medida que x
aumenta la tangente trigonométrica de x aumenta.
La situación se repite en los intervalos de longitud , anteriores y poste-
riores al ( /2, /2). Se dice que la función tangente es una función periódica
de período .
La gráfica de la función tangente es la siguiente:
- - /2 /2
0 x
Actividad 56
a) Investigar si la función tangente es inyectiva.

b) ¿Es sobreyectiva?
Actividad 57
Expresar si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas,

justificando la elección:
V F
a) Si cos = 4/5 y π/2 < < π,
entonces tg = 3/4
b) Si cosec = 4/3 y V F
(π, 3/2 π)
7
entonces sec
4 7
c) Si sen = 2/3 y es del cuarto V F
cuadrante
5
entonces cotg
2
En el Aula Virtual,
d) Si cos = ¾ y (0, π/2) V F en la sección Recur-
sos y Materiales se
entonces cotg 3 7 encuentra un resu-
men del Capítulo 6.
273
Ejercicio 1
Una empresa fabrica cierto producto, tiene como costo mensual fijo (alquiler
del local, mantenimiento de máquinas, etc.) $500 mensuales y además $5
por cada kg de producto fabricado.
a) ¿Cuál es la función que representa el costo mensual total de la empresa?
b) ¿Cuál será el costo total mensual si se fabrican 1.500 kg de producto?
c) ¿Qué significa la pendiente en este caso?
d) ¿Qué significa la ordenada al origen en este caso?
e) Si la capacidad instalada permite fabricar 2.500 kg de producto por mes.
¿Cuál será el dominio y la imagen de la función de costo total mensual?
Ejercicio 2
Una empresa compra un equipo por $200.000 y estima su vida útil en diez
años sin valor de recupero. Suponer depreciación constante y proponer una
función para el valor residual del equipo depreciado según el tiempo transcu-
rrido.
Ejercicio 3
Deducir la fórmula de la función lineal correspondiente a la recta del gráfico

siguiente, indicando su pendiente y ordenada al origen.
f(x)
f(x)
Ejercicio 4
Graficar las siguientes funciones y comprobar su forma con los signos de los
coeficientes:
a) f (x) 2x 2 3x 1
b) f (x) x 2 8x 16
c ) f (x ) x 2 2x 2
Ejercicio 5
Dada la siguiente función x ( x 1) = 2+y

a) Determinar el dominio y la imagen.
274
b) Determinar intervalos de dominio para el/los cual/es la función es posi-

tiva.
Ejercicio 6
Dada la función cuadrática: f(x) = x2 + 2 x 3, definida en los números reales,

completar el cuadro, justificando.
LA ORDENADA LA ABSCISA DEL LAS RAÍCES SON
f(0)
DEL VÉRTICE ES VÉRTICE ES x1 x2
Ejercicio 7
El costo total de q paquetes de yerba está dado por la siguiente función:

C 100.000 1.500 q 5 q2
¿Cuántos paquetes de yerba deberán fabricarse a los efectos de minimizar el
costo total?
Ejercicio 8
Una empresa dedicada a la venta de productos por catálogo considera que

las utilidades que se obtengan dependen de que existan más vendedores por
zona, ya que así se incrementaría el nivel de ventas.
La función de beneficios es: B 15x 2 500x 1.500 , donde x es el número
de vendedores asignados por zona.
a) ¿Cuántos vendedores harán máximo el beneficio?
b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada?
Ejercicio 9
Dada la función y log2 x 2 , determinar:

a) ¿En qué punto interseca su gráfico al eje de las abscisas?
b) ¿En qué punto se interseca con el eje de las ordenadas
Ejercicio 10
Dada la función y log(1/2) x 1 :

a) Graficar.
b) Determinar el dominio y la imagen.
c) ¿Es sobreyectiva? ¿Por qué?
Ejercicio 11
a) ¿Qué valor debe asumir a para que el par (-2, 24) pertenezca a la función
y ax 1 ?
275
b) Completar los siguientes pares para que pertenezcan a la función:

P1 (0, ……) P2 (2, ………)
Ejercicio 12
Al poner a prueba una nueva máquina, se comprobó que el rendimiento de

nafta r (en km/litro) está relacionado con la velocidad v (en km/hora) me-
diante la siguiente función cuadrática:
r(v) = 2 v (20 v )
a) Completar la tabla:
v (km/hora) r (km/litro)
200
b) Calcular a qué velocidad el rendimiento es máximo y determinar dicho
rendimiento.
c) ¿Entre qué valores de la velocidad la función asume valores positivos?
Ejercicio 13
Sea la siguiente función:

C h 5 log 2 h 45
a) Completar la tabla:
h C(h)
4
b) ¿Qué valor debe tener h para que C(h) sea igual a 20?
Ejercicio 14
Dada la función y x2 bx c y sabiendo que: f 0 3, f 1 f 3 0

Indicar:
Las coordenadas del vértice de la parábola
El intervalo para el cual la función asume valores negativos
276
Ejercicio 15
Utilizar los valores de los lados del siguiente triángulo rectángulo para obte-
ner las correspondientes razones trigonométricas de los ángulos y .
C
8
6
A
10 B
Ejercicio 16
Si el sen x = 0,75
a) ¿Cuál es el valor de sec( x)?
b) Determinar a qué cuadrantes puede pertenecer el ángulo x.
Ejercicio 17

a) Determinar la superficie de un terreno rectangular de 10 metros de ancho,
conociendo que el ángulo que forma la diagonal con el lado citado es de 60º.
b) Una escalera de 5 metros de largo está apoyada sobre el piso y en la pared
de un edificio. La escalera forma con el piso un ángulo de 45º. Calcular a qué
altura del piso se encuentra el extremo de la escalera que se apoya en la pared.
Ejercicio 18
Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando la

respuesta:
a) El coseno de un ángulo del primer cuadrante, es 4/3.
b) La tangente de un ángulo de 90º, puede valer 1
1
c) Si cos , entonces el ángulo pertenece al segundo cuadrante.
4
Ejercicio 19
Un aviador despega con un ángulo ascendente de 30º respecto de la pista. La

altura del avión después de haber volado 3.000 metros en forma ascendente
es:
a) 2.598 metros
b) 3.000 metros
c) 1.500 metros
d) 1.732 metros
e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta
277
Ejercicio 20
Observar el siguiente gráfico, realizar los cálculos correspondientes e indicar

a qué función lineal corresponde.
y
Ejercicio 21
En una empresa, se estableció la relación existente entre gasto de publicidad

y volumen de ventas. Cuando no se efectúa publicidad, el nivel de ventas as-
ciende a $4.000; por otra parte, por cada peso gastado en publicidad las ven-
En el Aula Virtual se en- tas aumentan en $10.
cuentra una Autoeva- a) Encontrar la función que relaciona el volumen de ventas con el gasto en
luación que recomen- publicidad.
damos realizar.
b) Definir el dominio y la imagen.
Respuesta a las actividades y

Actividad 1
Son funciones lineales:

1
b) y x 5 c) y 2x 5 d) y 4 3x
2
Actividad 2
3
a) y x 1 (si) b) y x 2 (si)
2
1
c) y 8x 6 (si) d) y x (no)
3
Actividad 3
7
a) y 2x pendiente: 2 ordenada al origen: 7/3
3
278
b) y 2x 6 pendiente: 2 ordenada al origen: 6

1
c) y x pendiente: 1/3 ordenada al origen: 0
3
d) y 2 pendiente: 0 ordenada al origen: 2
1
e) y x pendiente: 1/2 ordenada al origen: 0
2
Actividad 4
ORDENADA AL
FUNCIÓN PENDIENTE
ORIGEN
a) y 2x 3 2 3
b) y x 2 1 2
c) y (1/3)x 5 1/3 5
a) b) c)
y y y
6 4 4
3
4
2 2
2 1
0 0
-1 0 1 2 3 4 0 5 10 15 20 25 30
0 x
-3 -2 -1 0 1 x
-1
x
-2 -2
-2
-3
-4 -4 -4
Actividad 5
a) y b) y
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0
-2 -1 0 1 2 3 4 -4 -2 0 2 4
-2 x -2 x
-4 -4
-6 -6
-8
-8
y 3x 3 y 3x 3
c) y d) y
12 12
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2 x -2 x
-4 -4
y 2x 4 y 2x 4
279
Actividad 6
a) y 2 x 1 ¿( 2, 4) pertenece a la función?
y 2( 2) 1; y ( 4) 1; y 3
El punto no pertenece a la función.
b) y a x b ; a 2 1, 3 pertenece a la función;
y 2x b 3 ( 2)( 1) b; 3 2 b; b 1
y 2x 1
c)
y = -2x + 1 y = 2x + 1
y
Actividad 7
1 4
a) y x 2 b) y x 4
2 3
Actividad 8
3
a) y x 2 pendiente: 3/2 ordenada al origen: 2
2
1 7
b) y x pendiente: 1/2 ordenada al origen: 7/2
2 2
8 1
c) y x pendiente: 8/3 ordenada al origen: 1/3
3 3
Actividad 9
5x 1 5 1 1
a) f (x ) f (x ) x f (x ) x ; La pendiente es a = 1 y la
5 5 5 5
1
ordenada al origen es b .
5
1 1 1
b) 0 x x ; El punto de corte al eje de abscisas es ,0 .
5 5 5
Actividad 10
a) Datos: Los puntos: (1.000; 500) y (2.000; 200) y sabiendo que la
280
demanda responde a una función lineal: q ap b

Formamos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
500 = 1.000 a + b
200 = 2.000 a + b
despejando b en una de ellas: b = 5.000 – 1.000 a (1)
reemplazando en la otra: 200 = 2.000 a +500 – 1000 a a= 3/10
reemplazando en (1), b = 800
3
La función es: q p 800
10
b)
1) La función es q(x) = -10x + 160
2) La función es decreciente ya que a < 0
Actividad 11
4
Ecuación explícita de la recta y 4 x
5
¿La función es creciente? Justificar Si, ya que a > 0
Punto de corte en el eje de las abscisas ( 5, 0)
Punto de corte en el eje de las ordenadas (0, 4)
Actividad 12
EL INTERVALO PARA EL CUAL

f (2) f (0) LA FUNCIÓN ES
LA FUNCIÓN ES NEGATIVA ES
3 1 f(x) = 2x - 1 , 12
Actividad 13
a) (0, 0) y (7/2, 0)
b) (7/4, 49/8)
c) Dominio =
Imagen: [ 49/8, )
d) La función es negativa en el intervalo (0, 7/2)
La función es positiva en el intervalo ( , 0) # (7/2, )
Actividad 14
Es falsa, ya que:
y 2 x2
y x2 2
corta al eje de las ordenadas en el valor 2.
281
Actividad 15
f (x) x2 3x 2
Actividad 16
Opción c)
Actividad 17
y
6
a) Como a es positivo las ra-
5
mas son ascendentes. En este
4
caso, tanto b como c valen 0. 3
Si b = 0, el eje de simetría coin- 2
cide con el eje de las ordenadas 1
y si c = 0, entonces la parábola 0
x
pasa por el origen del sistema. -3 -2 -1 0 1 2 3
y6
b) Como a es positivo las ramas
5
son ascendentes. En este caso, b 4
es positivo, por eso la parábola 3
está desplazada hacia la iz- 2
quierda. 1
Como c es 0, la parábola pasa 0
x
por el origen del sistema. -2 -1
-1
0 1 2
c) Como a es positivo las ramas y

6
son ascendentes. Como b es 5
igual a 0, el eje de simetría de la 4
parábola coincide con el eje de 3
las ordenadas. 2
Como c es positivo, la gráfica 1
corta al eje de las ordenadas en 0

x
su tramo positivo. -2 -1 0 1 2
Actividad 18
a) (3/8 , 1/32) Esta función presenta un máximo.

b) (0, 20) Esta función presenta un mínimo.
Actividad 19 y
10
8
a) f (x) x2 2x 3 6
b) D = 4
Imagen = [ 4, ) 0
-5 -3 -1
-2
1 3 x
-4
-6
282
Actividad 20
a) Graficamos esta función, donde el costo es la variable dependiente y la

cantidad producida es la variable independiente:
Costos
y
2000
1500
Costo Total
1000
500
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 x
-500
Cantidades Producidas
En este gráfico, vemos que cuando no hay producción, es decir x = 0, los cos-
tos son de $300, lo que significa que existen costos fijos que hay que afrontar,
independientemente del nivel de producción.
Si observamos con detenimiento esta curva, se trata de una función cuadrá-
tica con las siguientes características:
Tiene ramas hacia arriba, es decir los costos disminuyen hasta un cierto
punto y luego comienzan a aumentar a medida que las cantidades producidas
aumentan.
Posee un punto mínimo, que coincide con x = 2.
La gráfica corta al eje de las abscisas en dos puntos.
b) El tramo de la función que nos interesa, es aquella que tiene un significado
económico. Tanto las cantidades producidas como los costos no pueden ser
negativos, por lo tanto, el dominio y la imagen restringidos para este caso,
son:
Dom x x x 0 Im= y y y 300
Actividad 21
5 18
P 0, P 2, P 30, 40
2 5
Actividad 22
LA ORDENADA LA ABSCISA DEL

f(0) LAS RAÍCES SON
DEL VÉRTICE ES VÉRTICE ES
4 3 1 x1 = 1; x2 = 3
283
Actividad 23
a) f (x) 10x2 8x 3
Actividad 24
LAS RAÍCES LA ORDENADA LA ORDENADA LA ABSCISA DEL

LA FUNCIÓN ES
SON AL ORIGEN ES DEL VÉRTICE ES VÉRTICE ES
x1 = -1
15 f(x) = -3x2 + 12x + 15 27 2
x2 = 5
Actividad 25
1 2 1
f (x) x x 1
8 4
Actividad 26
a)
y
y = 3x
b) Dominio: , Imagen: >0

c) La función es estrictamente creciente, por lo tanto, a argumentos distin-
tos le corresponden imágenes distintas. En consecuencia, es inyectiva.
Actividad 27
a)
y
8
y 2x 2
6
4
2
0
-1 -2 0 1 2 3 4x
-4
b) Dominio: Imagen: > 2

c) (1, 0)
d) (0, 1)
284
e) Observamos que la función exponencial tiene la misma forma, pero des-

plazada hacia abajo 2 unidades, ya que se restaron 2 unidades a la función del
inciso a).
y = 2x y = 2x - 2
Actividad 28
a) b = 2, y 3x 2
b) > 2
Actividad 29
Las funciones exponenciales son: c); d); e) y f)
Actividad 30
a) c = 2
b) y
5
4
3
2
1
0
x
-2 -1 0 1 2
Actividad 31
x
1
y 2
3
La función se traslada en 2 unidades hacia abajo, cortando al eje de las orde-
nadas en el valor ( 1), haciéndose asíntota a ( 2).
Actividad 32
x
8
y 4
3
285
Actividad 33
Son logarítmicas las funciones: b), c) (de base 10 que no es necesario indicar),
d), e) y f) (de base el número e).
Actividad 34
a)
y
5
4
3 y log3 x
2
1
0
-10,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00
x
-2
b) Dom = ℝ > 0 Im = ℝ
c) La función es estrictamente creciente, por lo tanto, a argumentos distintos,
le corresponden imágenes distintas. E consecuencia, es inyectiva
d) Es sobreyectiva, porque la imagen es igual al rango, es decir el conjunto de
los números reales.
Actividad 35
a) y
3
0
0 0,25 0,5 0,75 1 x
-1
-2
-3
b) La coordenada de corte al eje de las abscisas es (x, y) = (0,25; 0)
Actividad 36
a) b = 2
Dom = > 0 Im =
Actividad 37
3
1
a) Falso, ya que 23 8
2
b) Falso, ya que la función asume valores negativos para 0 < x < 2
c) Falso, ya que si la función es y log2 x , entonces su inversa es y = 2x
286
Actividad 38
cateto opuesto 3
sen sen
hipotenusa 5
Actividad 39
altura del edificio

sen 60º
L 20
3 20 20.2 40 3 m
L
2 L 3 3
60º
Actividad 40
D sen = EF/DF sen = DE/DF

α
cos = DE/DF cos = EF/DF
β F tg = EF/DE tg = DE/EF
E
Actividad 41
Sistema Sistema
radial sexagesimal
2 360º
3 /2 270º
180º
5 /6 150º
3 /4 135º
/2 90º
/4 45º
2 /6 60º
/6 30º
Actividad 42
sen 1 cos2
Actividad 43
1 2 6
a) Si sen cos . El ángulo puede pertenecer al primer o
5 5
segundo cuadrante.
287
2 5
b) Si cos sen . El ángulo puede pertenecer al segundo o
3 3
al tercer cuadrante.
3
c) No, no existe ángulo , para el cual sen = ya que el seno varía entre
2
1 y 1.
Actividad 44
1
Si cos tg 2 2 . El ángulo puede pertenecer al segundo o al
3
tercer cuadrante.
Actividad 45
Relaciones 1º cuadrante 2º cuadrante 3º cuadrante 4º cuadrante

Cosecante + +
Secante + +
Cotangente + +
Actividad 46
3 3 2 3
sen tg 3 cot g sec 2 cos ec
2 3 3
Actividad 47
a) Falsa. Porque el seno no puede ser mayor que 1 en el 1° cuadrante.

b) Falsa. Porque sec > 0
c) Falsa. sen2 cos2 1 por la relación fundamental
d) Verdadera.
Actividad 48
1 3
a) sen cos cot g 3
2 2
5 21 21
b) cos ec cos cot g
2 5 2
35 6 35
c) sen tg 35 cosec
6 35
Actividad 49
a) El complementario de ∃%= 60º es el ángulo de 30º

El complementario de & = 135º es el ángulo de 45º
288
El complementario de ∋ = 240º es el ángulo de 150º

El complementario de ( = 315º es el ángulo de 225º
b) El complemento de un ángulo que está en el segundo cuadrante está en el
cuarto cuadrante y si el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante su com-
plementario también pertenece al tercer cuadrante.
c) Gráficamente un ángulo negativo se obtiene girando en el mismo sentido
que las agujas del reloj tantos grados como indique el valor absoluto del án-
gulo.
Actividad 50
3 2 5
a) cot g b) tg 15 c) tg
2 3 2 2 5
Actividad 51
Función 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
Seno 0 12 2 2 3 2 1 0 1 0
Coseno 1 3 2 2 2 12 0 1 0 1
No No
Tangente 0 3 3 1 3 0 0
existe existe
No No No
Cotangente 3 1 3 3 0 0
existe existe existe
2 3 No No
Secante 1 2 2 1 1
3 existe existe
No 2 3 No No
Cosecante 2 2 1 1
existe 3 existe existe
Actividad 52
“El coseno de un ángulo es igual al seno de su complemen-

Expresión
tario si y solo si el ángulo pertenece al primer cuadrante”.
p: El coseno de un ángulo es igual al seno de su comple-

Proposiciones
mentario.
Simples
q: El ángulo pertenece al primer cuadrante.
Expresión en símbolos p q
Matemáticamente la expre- La expresión anterior es falsa, pues el coseno de un ángulo

sión planteada... ¿es Verda- es igual al seno de su complementario siempre, es decir
dera o Falsa? Justifique no importa a que cuadrante pertenezca el ángulo.
289
Actividad 53
a)
b) Comparando ambos gráficos se observa un comportamiento similar, aun-

que la imagen de la segunda función es el intervalo ) 3; 3∗.
c)
d) En este caso se observa que la función tiene la misma forma que y = sen x.
La diferencia está dada por la periodicidad, vemos que se ha ampliado el pe-
ríodo a 4!.
Actividad 54
a) No es una función inyectiva, pues a argumentos distintos le corresponde

la misma imagen.
b) Como la imagen de esta función es el intervalo ) 1; 1∗, considerando como
rango al conjunto de los números reales resulta que la función no es sobre-
yectiva.
c) La función es negativa, entre otros en los siguientes intervalos:
d) ( 3 /2, /2) ; ( /2,3 /2)
e) La función es creciente, entre otros, en los siguientes intervalos:
f) ( ,0) ; ( ,2 )
g) Alcanza su mínimo valor ( 1) entre otros en x ; x ; x 3
Actividad 55
a) y = -cos x
290
b) Se observa que las imágenes positivas han pasado a ser negativas y recí-
procamente, las imágenes negativas han pasado a ser positivas.
c) y cos (2 x)
d) Como puede observarse ha cambiado la periodicidad de la función. En este
caso el período ha disminuido a .
Actividad 56
a) La función tangente no es inyectiva, podemos encontrar infinitos valores

de x a los cuales le corresponde la misma imagen.
b) Es sobreyectiva, pues su recorrido es el conjunto de los números reales.
Actividad 57
3 4 7
a) Falso, tg b) Falso, sec
4 7
3 7
c) Verdadero d) Falso, cot g
7

Ejercicio 1
a) y 500 5x
b) y 8000
c) La pendiente significa cuánto aumenta el costo total mensual, por kilo-
gramo de
producto elaborado.
d) La ordenada al origen representa los gastos fijos mensuales ($500).
e) Dominio de la función: [0, 2500]. Imagen de la función: [500, 13000].
Ejercicio 2
y 200000 20000 x
Ejercicio 3
Función: y 2x 1 Pendiente = 2 Ordenada al origen = 1
291
Ejercicio 4
y
a) a > 0, entonces las ramas son 12
ascendentes; 10
b < 0, al ser de distinto signo 8
que a, el vértice de la parábola es 6
positiva y está desplazada hacia 4
la derecha; 2
0
c > 0, tiene ordenada al origen -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2
positiva.
b) a > 0, entonces las ramas son y

20
18
ascendentes; 16
14
b > 0, por lo tanto, la parábola 12
10
está desplazada hacia la iz- 8
quierda; 6
4
c > 0, la ordenada al origen es 0

2
positiva. -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
c) a < 0, entonces las ramas son y

descendentes. 6
b > 0, por lo tanto, la parábola 4
2
está desplazada hacia la derecha. 0
x
c < 0, la ordenada al origen es -3 -2 -1
-2
0 1 2 3 4
-4
negativa. -6
-8
-10
Ejercicio 5
a) Dom = ; Im = ( , 9/4]
b) La función es positiva en ( 2, 1).
Ejercicio 6
LA ORDENADA DEL LA ABSCISA DEL LAS RAÍCES SON

f(0)
VÉRTICE ES VÉRTICE ES x1 x2
̶4 ̶3 ̶1 1 ̶3
Ejercicio 7
Para minimizar el costo se deberán fabricar 150 paquetes de yerba.
Ejercicio 8
a) El vértice está en el punto (16,667, 2.666,67), es decir que cerca de 17

vendedores se necesitan para maximizar la función beneficio de la empresa.
b) La utilidad máxima esperada es de $2.666,67.
292
Ejercicio 9
a) Para determinar el corte al eje de las abscisas, hacemos y = 0; por lo tanto,

1
log2 x 2 x
4
b) No corta al eje de las ordenadas, dado que log2 0 no está definido (es
asíntota a dicho eje)
Ejercicio 10
a)
y
2
1
x
0
0 2 4 6 8
-1
-2
b) Dom = >0 Im =
c) Si, dado que la imagen es igual al conjunto de los números reales.
Ejercicio 11
1x
a) y 1 b) P1(0, 0) P2(2, 24/25)
5
Ejercicio 12
a)
v (km/hora) r (km/litro)
5 150
10 200
b) Para v=10 se obtiene el rendimiento es máximo que es de 200.
c) La función asume valores positivos en el intervalo (0, 20).
Ejercicio 13
a)
h C(h)
1 45
4 35
b) Si se desea que el C sea igual a 20, el valor de h será 32.
293
Ejercicio 14
Al tener como dato que, cuando x = 0, la función asume el valor 3, nos está
indicando el punto de corte en el eje de las ordenadas, y que corresponde al
valor del término independiente. Por lo tanto, c = -3.
Para determinar el valor de b, podemos aplicar la propiedad de las raíces:
b
x1 x2
a
Conocemos el valor de las raíces y de a, remplazamos:
b
1 3 b 2
1
Con los valores de a, b y c, podemos indicar que la función cuadrática es
y x2 2x 3
Para determinar la abscisa del vértice, podemos aplicar alguna de las si-
guientes fórmulas:
b x 1 x2
xv o xv
2a 2
En este caso contamos con la información para resolver con cualquiera de
las dos expresiones:
2 1 3
xv 1 o xv 1
2.1 2
Remplazamos en la función para determinar la ordenada del vértice:
2
yv 1 1 2 1 3 4
y
Resultando que las coordenadas del

vértice de la parábola es el par orde-
nado 1, 4 .
Para determinar el intervalo para el

x
cual la función asume valores negati-
vos, puede sernos de utilidad la gráfica
de la función:
Si observamos en el eje de las abscisas, la gráfica corta en el 3 y 1 (las raíces),
indicándonos que para esos valores la imagen es 0.
Para los valores mayores a 3 y hasta 1 (sin incluirlo), su imagen es negativa.
Por ejemplo, el valor 1 tiene como imagen el 4.
Por ello, podemos afirmar que en el intervalo 3, 1 la función asume valores
negativos
Ejercicio 15
3 5 4 5
sen sec sen sec
5 4 5 3
4 5 3 5
cos cosec cos cosec
5 3 5 4
3 4 4 3
tg cot g tg cot g
4 3 3 4
294
Ejercicio 16
a) Por funciones trigonométricas de ángulos opuestos: sec( ) sec .

1 7
Además sec . Despejando cos 1 (3/ 4)2
cos 4
4 7 4 7
sec (- ) sec
7 7 7
b) Primer o segundo cuadrante, ya que en ellos, la función es positiva.
Ejercicio 17
a) Superficie: 173,20 m2
b) Altura: 3,53 m
Ejercicio 18
a) Falso. Dado que 4/3 > 1 y la función coseno asume valores en el intervalo
1, 1
b) Falso. No está definida
c) Falso. No puede pertenecer al segundo cuadrante, ya que, en éste, el co-
seno es negativo.
Ejercicio 19
Opción c)
Ejercicio 20
y
f(x) = a x + b
(0; 1) + f(x) # b = 1
f(x) = a x 1 # 0 = a (1/2) 1
1 = a (1/2) # 2 = a
# f(x) = 2 x 1
(1/2; 0) + f(x)
x
(0; 1) + f(x)
Ejercicio 21
a) x : gasto de publicidad b) Si es función

y : volumen de ventas
y = f(x)= 4000+10 x
c) Dom(f) = [0, ∞) Im(f)= [4000, ∞)
295
2° Autoevaluación
Aquí encontraremos ejercicios mezclados de los temas a evaluar en el se-
gundo parcial. Al final, hallaremos los detalles de las correspondientes reso-
luciones. Esperamos que este sea de mucha utilidad.
1) Expresar en símbolos la siguiente proposición, definiendo previamente las
proposiciones simples involucradas:
“No es posible obtener una política monetaria independiente si existe libre
movimiento de capitales, pero se fija el tipo de cambio”
2) Siendo p, q y r tres proposiciones simples, si se conoce que p es verdadera,

realizar la tabla de verdad de la proposición compuesta:
(p q) ( q ! r)
3) Dada la proposición “Todas las expresiones algebraicas son racionales”,

completar adecuadamente el cuadro.
“Todas las expresiones algebraicas son
Expresión coloquial
racionales”
Función proposicional
Expresión simbólica
Negación en símbolos y su
retraducción al lenguaje
coloquial
4)
En base al siguiente gráfico, sombrear la región C’ – (A B)
U
B
A C
5) Una familia destina $10.000 para gastar en sus vacaciones. Se estima que
gastarán $500 en cada uno de los días que transcurren de sus vacaciones.
Indicar:
a) La relación entre los días transcurridos (x) y el importe que va quedando
disponible para gastar (y).
b) El importe disponible (y) cuando ya han transcurrido 4 días.
c) La cantidad de días que deben transcurrir hasta que el fondo disponible
para gastar se agote.
d) Dominio e imagen de la relación.
6) Considerando la relación definida en 3, 3 3, 3 que se observa en

el siguiente gráfico, responder:
296
a) ¿Cuál es la imagen de 1 y de
3?
b) ¿Cuál/es elemento/s del do-
minio tienen como imagen el va-
lor 2?
c) ¿La relación es función? ¿Por
qué?
d) Si es función, ¿es biyectiva?
¿por qué?
7) Se conoce que existe una relación lineal entre el número de unidades pro-
ducidas en una empresa y el costo total de producción. Sabiendo que si se
producen 50 artículos el costo total es de $200, mientras que si la producción
es de 70 unidades el costo total es de $240.
a) Determinar la función que relaciona el número de unidades producidas (x)
con el costo total de producción (y).
b) Especificar cuál es la pendiente y cuál la ordenada al origen.
8) La función f(x) = –2 x2 + 2 x + k corta al eje de las abscisas en x1 = 2, se

solicita:
Determinar el valor de k.
Indicar el otro punto de corte con las abscisas
Determinar las coordenadas del vértice.
9) Dada la función:
y ax 3
Y sabiendo que el par ordenado (-2, 1) pertenece a la función:
a) Determinar el valor de a.
b) Realizar la representación gráfica.
c) Indicar dominio e imagen de la función.
10) Indicar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa,

justificando la respuesta:
a) Si el ingreso de una empresa se mide en función de unidades vendidas (q)
de la siguiente manera:
Iq 8x2 1600 q
El número de unidades a vender para maximizar el ingreso es 200.
1
b) Dada la función y 3 x , el par 2, pertenece a la gráfica de la función.
9
1 1
c) El par 3, pertenece a la función y log 3 x .
2 2
5 5
d) La función y 2x asume valores positivos para x .
4 8
297
Soluciones 2° autoevaluación
1) Dada la proposición
“No es posible obtener una política monetaria independiente si existe libre
movimiento de capitales, pero se fija el tipo de cambio”
Definamos las proposiciones simples involucradas
p: Es posible obtener una política monetaria independiente.
q: Existe libre movimiento de capitales
r: Se fija el tipo de cambio
La proposición dada es equivalente a decir “Si existe libre movimiento de ca-
pitales, pero se fija el tipo de cambio, no es posible obtener una política mo-
netaria independiente”
Teniendo presente que el “pero” actúa como la conjunción “y” mientras que
la coma está significando un “entonces” podemos expresar la proposición en
símbolos como:
(q r) p
2) Sea la proposición compuesta:

(p q) ( q r)
Cuando existen 3 proposiciones simples hay 8 combinaciones posibles de va-
lores de verdad para las proposiciones involucradas, pero como en este caso
se conoce que p es verdadera esas posibilidades se restringen a 4.
A continuación, se realiza la tabla de verdad, las posibles alternativas se re-
gistran con el referente (1) y luego operamos de acuerdo a las reglas lógicas
de los conectivos correspondientes.
(p q) ( q r)
F V V V V F V F F V
F V V V V F V V V F
V V F F V V F V F V
V V F F V V F V V F
(3) (1) (2) (1) (4) (2) (1) (3) (2) (1)
¡Observemos que esta proposición es una tautología!
3)
“Todas las expresiones algebraicas son
Expresión coloquial
racionales”
X: expresión algebraica
Función proposicional
P(x): x es racional
Expresión simbólica x: p(x)
Negación en símbolos y [ x: p(x)] x / p(x)

su retraducción “Algunas expresiones algebraicas no son
coloquial racionales”
4) En primer lugar, observemos que C’ (el complemento de C) son todos los

elementos del universal que no pertenecen a C.
Podemos visualizar gráficamente C’ como la zona sombreada
298
Mientras que A B está constituido por los elementos que pertenecen al con-
junto A ó al conjunto B.
Como el conjunto C’ – (A B) está formado por los elementos de C’ que no

pertenecen a la unión de A con B, deberemos extraer de C’ los que forman
A B.
Con ello la solución corresponde a la siguiente región sombreada:
5) a) Siendo
x = cantidad de días transcurridos
y = importe disponible para gastar
Como el fondo inicia con $10.000 disponibles el primer día, y va disminu-
yendo en $500 por cada día que transcurra, podemos expresar la relación en-
tre x e y a través de la siguiente fórmula
y 10.000 500x
b) Remplazamos a x por el número 4:
y 10.000 500(4)
y 10.000 2.000 8.000
Luego de haber transcurridos 4 días, se han gastado $2.000 y el importe dis-
ponible se ha reducido a $8.000.
c) En este caso se debemos determinar la cantidad de días (x) que deben
transcurrir para que el fondo disponible se agote, es decir, y = 0:
y 10.000 500x
0 10.000 500x
x 20
299
A los 20 días se agotará el fondo disponible para gastar.

a) Considerando las características de las variables con las cuales trabaja-
mos:
Dom 0, 1, 2, 3,..., 20 Im 0, 500, 1.000, 1.500,..., 10.000
6) a) Para determinar cuál es la imagen de -1, debemos observar en la gráfica

el elemento con el cual está relacionado en el eje de las ordenadas, en este
caso: el 2. Por lo tanto, el par ordenado (-1, 2) pertenece a la relación.
En el caso del 3, al cortar la gráfica el eje de las abscisas en ese valor, significa
que la imagen es “0”, o que la relación “se anula” para ese valor. Por lo tanto,
el par ordenado ( 3, 0) pertenece a la relación.
b) Como podemos observar en el

gráfico, el valor 2, correspondiente
al eje de las ordenadas, es imagen
del conjunto de valores compren-
didos en el intervalo 1, 2 , ade-
más de x = 1.
c) La relación representada gráficamente es función, ya que cada uno de los

elementos del alcance, el intervalo 3, 3 , tiene imagen y esta es única.
d) La función no es biyectiva. No es inyectiva pues elementos del rango son
imagen de más de un argumento. Por ejemplo, y tal como vimos en el inciso
b), el 2 es imagen del 1 y de los valores comprendidos en el intervalo 1, 2 .
Tampoco es sobreyectiva ya que elementos del rango, el intervalo de valores
comprendidos en el intervalo 3, 0 , no son imagen de ningún argumento.
7) Datos: (x1, y1) = (50, 200) y (x2, y2) = (70, 240)

Sean x: número de unidades producidas y C(x): Costo Total de producción
a) Función lineal: C(x) = a . x + b
y y 2 y1 240 200
x CT a= 2
x x 2 x1 70 50
x1 = 50 y1 = 200
b = 200 – (2) . (50) = 100
x2 = 70 y2 = 240
300
b) La pendiente es 2 y la ordenada al origen es 100.

La función es C(x) = 2 x + 100
8) Si tenemos la función f(x) = –2 x2 + 2 x + k que corta al eje de las abscisas

en x1 = 2, entonces
ENUNCIADO JUSTIFICACIÓN
2
0 = - 2 (2) + 2 (2) + k
El valor de
k= 8-4
k es: 4
k= 4
Utiliza Utiliza Utiliza
b b2 4 a c c b
Su gráfico corta x1 x2 x1 x2
a a
también al eje de 2a
4 2
abscisas en 2 36 2 6 2 x2 x2
2 2
x2 = – 1 4 4 x2 1 x2 1
x1 2 y x 2 -1
Utiliza Utiliza Ordenada del Vértice

xv
b x1 x2 f xv 2 x v2 2 x v 4
Su gráfico xv
2a 2 2
posee un vértice 1 1 1
2 2 1 f 2 2 4
en: xv xv 2 2 2
2 2 2
1 9
(xv, yv) = , 1 1 1 9
2 2 xv f
xv 2 2 2
2
9) a) A partir de la función enunciada y el par correspondiente a la función,

podemos remplazar de la siguiente manera:
2
1 a 3
Despejamos:
2 1 1
4 a 4 a
a2 2
b) Podemos determinar el punto de corte en el eje de las ordenadas reempla-
zando x por 0:
y a0 3 1 3 2
c) Evaluamos en otros valores de la función y podemos construir la gráfica:
y
x y
-4 13
-3 5
-2 1
-1 -1
0 -2
1 -5/2
2 -11/4 x
3 -115/4
d) Observando la gráfica podemos afirmar que:

Dom = ℝ Im = 3, . La gráfica se hace asíntota al valor 3.
301
10) a) Para determinar el punto para el cuál el ingreso se hace máximo debe-
mos determinar la abscisa del vértice:
b 1600
qv 100
2a 2 8
Por lo tanto, la afirmación es FALSA, la cantidad que maximiza el ingreso es
100.
x
b) Reemplazamos x por el valor 2en la función: y 3
2
2 1 1
y 3
3 9
1
Así, el par 2, pertenece a la función y la afirmación es VERDADERA.
9
c) Remplazamos a x en la función por el valor 3:
1
y log3 3
2
Despejamos:
1 1 3
y log3 3 log3 3 31 3 y 1
2 2 2
3
El par que corresponde es 3 , . La afirmación es FALSA.
2
5
d) A partir de: y 2x
4
Debemos buscar el valor de x para el cual la función se anula:
5 5
0 2x x
4 8
5
Es decir, el par , 0 pertenece a la función, y como ésta es creciente ya
8
5
que a > 0, la función es positiva para valores de mayores a .
8
También es posible justificar de otra manera: la función es positiva si y > 0,
entonces:
5 5 5
2x 0 2x x
4 4 8
La afirmación es VERDADERA.
302
SEGUNDA EDICIÓN
Impreso en Córdoba, Argentina
Noviembre 2022

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6. Los números complejos 24

2. Expresiones algebraicas enteras 38

2.3. Polinomios en una indeterminada 42

3. Operaciones entre expresiones algebraicas 43

4. Factorización de expresiones algebraicas 54

5. Descomposición factorial de un polinomio 60

2. Sistemas de ecuaciones lineales 106

3.3 Resolución de Inecuaciones 117

4. Ejercicios integradores 123

3. La lógica simbólica y el uso del lenguaje 144

5. Empleo de más de un conectivo lógico 155

6. Funciones proposicionales 159

7. Operaciones entre conjuntos 166

8. Relaciones entre conjuntos 173

9. Conjuntos ordenados 177

10. Ejercicios integradores 179

1.2. Ordenada al origen 232

2. Función cuadrática 237

3. Función exponencial 244

4. Función logarítmica 249

5. Razones trigonométricas 256

5.2 ¿Qué son las razones trigonométricas? 257

5.3 Sistemas de medición de ángulos 259

5.4. Funciones trigonométricas 261

5.4.1. Seno 262

5.4.2. Coseno 264

5.4.3. Tangente 265

5.4.4. Relaciones recíprocas 266

5.4.5. Definición y características de las funciones trigonométricas 267

5.4.6. Funciones trigonométricas de ángulos complementarios 268

5.4.7. Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios, que

6. Ejercicios integradores 274

Introducción a la Matemática busca contribuir a la formación matemática

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Capítulo 1: Números y operaciones aritméticas

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Díaz, Margarita; Ottonello. Susana (2000). Curso de Nivelación.

Duarte, Betina. Matemáticas para ingresar a la Universidad. Editorial

Englebert, Pedemonti, Semino. Matemática III. Editorial A-Z. Buenos Aires.

Etchegoyen, Susana. Matemática I (Polimodal) (1999). Editorial Kapeluz.

Kaczor, Pablo; Shiaposchink, Ruth; Franco, Eleonora y otros. Matemática I