Principios Administracion
Principios Administracion
Principios Administracion
.C
DD
LA
FI
Índice
Presentación de la materia 1
INTRODUCCIÓN 7
1. NÚMEROS NATURALES 7
1.1 Operaciones en los Naturales 8
2. NÚMEROS ENTEROS 10
OM
2.1 Operaciones en los enteros 10
3. NÚMEROS RACIONALES 13
3.1 Operaciones en los Racionales 14
4. NÚMEROS IRRACIONALES 18
.C
5. NÚMEROS REALES
5.1 Relaciones de orden en los Reales
5.2 Valor absoluto de un número real
5.3 Operaciones en .
19
19
20
21
DD
5.3.1 Potenciación 22
5.3.2 Radicación 23
5.3.3 Potencia de Exponente Negativo 24
5.3.4 Potencia de Exponente Fraccionario 25
5.3.5 Racionalización del Denominador 26
LA
7. EJERCICIOS INTEGRADORES 30
RESPUESTAS DE ACTIVIDADES Y EJERCICIOS UNIDAD N°1 33
FI
INTRODUCCIÓN 43
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 44
OM
4.6 Suma o Diferencia de potencias de igual grado 71
.C
6.3 Producto de Fracciones Algebraicas
6.4 Cociente de Fracciones Algebraicas
7. EJERCICIOS INTEGRADORES
81
82
85
DD
RESPUESTAS DE ACTIVIDADES Y EJERCICIOS UNIDAD N°2 91
INTRODUCCIÓN 109
LA
1. ECUACIONES 109
1.1 Ecuación lineal con una incógnita 112
1.2 Ecuación cuadrática con una incógnita 117
1.2.1 Ecuación de segundo grado incompleta 123
1.2.2 Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado 124
1.3 Ecuaciones fraccionarias 126
FI
3. INECUACIONES 143
3.1 Generalidades 143
3.2 Notación de Intervalos 145
3.3 Resolución de Inecuaciones 146
Presentación de la materia
La presente asignatura busca contribuir a la formación matemática
básica de un estudiante universitario, a través de la revisión de
conceptos y herramientas matemáticos adquiridos en la escuela media.
Te invitamos a ver la
presentación de
Sobre esta base se apunta a nivelar los conocimientos. La ejercitación,
Introducción a la la correcta formalización lógico-simbólica de las ideas y la transferencia
matemática en el Aula de los contenidos teóricos a situaciones problemáticas constituyen parte
Virtual de la asignatura. de la labor indispensable que se requiere para lograr cierta ductilidad en
el análisis matemático y en el manejo algebraico.
OM
Objetivos
Con esta orientación general, nos proponemos que el alumno logre los siguientes
objetivos:
.C
Rescatar los conocimientos matemáticos básicos para iniciarse en su carrera
universitaria.
Favorecer el desarrollo del razonamiento deductivo y aplicado en la
resolución de problemas.
DD
Relacionar los conceptos centrales de las distintas unidades, utilizándolos
conjuntamente en forma flexible en diferentes situaciones problemáticas.
Contenidos generales
LA
Tomo 1:
Unidad 1: Números y Operaciones Aritméticas
Unidad 2: Expresiones Algebraicas
Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Tomo 2:
FI
Metodología
Se propone un estilo de trabajo que combina la utilización del material impreso,
especialmente diseñado para esta asignatura, con la posibilidad del intercambio
entre docentes y alumnos, a través de lo que denominamos tutorías presenciales.
En las tutorías se desarrollan los temas más importantes (no la totalidad de los
contenidos), haciendo que los alumnos tengan activa participación en lo casos
planteados y consulten sus dudas.
OM
La escala de notas en las evaluaciones a utilizar y sus correspondientes valores
numéricos serán las establecidas en la ordenanza 482/09.
Adicionalmente, la promoción de la materia (directa o por examen final)
requiere no adeudar materias del secundario y haber realizado la inscripción
definitiva.
Bibliografía básica
.C
STANECKA, Nancy; RACAGNI, Josefina; MARGARÍA, Oscar; GONZÁLEZ, Mariana;
STÍMOLO, María Inés; CARO, Patricia. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 2018
DD
Bibliografía complementaria
DÍAZ Margarita, OTTONELLO Susana. Curso de Nivelación 2000. Introducción a
la Matemática. Fac. de Ciencias Económicas. U. N. C.
LA
OM
Buenos Aires.
.C
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/marco_contenidos.htm
http://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=analisis/ap_logica_ci.zip
http://hp.fciencias.unam.mx/lytc/
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm
DD
LA
FI
Objetivos específicos
Reconocer los conjuntos numéricos.
Revisar las operaciones básicas y sus propiedades.
OM
Lograr un manejo adecuado de estas operaciones.
Contenidos
Números Naturales: Operaciones en los Naturales. Números Enteros: Operaciones
.C
en los Enteros. Números Racionales: Operaciones en los Racionales. Números
Irracionales. Números Reales: Relaciones de Orden en los Reales, Valor absoluto.
Operaciones en los Reales, Potenciación, Radicación, Potencia de exponente
negativo, Potencia de exponente fraccionario, Racionalización del Denominador.
DD
Números Complejos.
Desafío 1
LA
tarjeta de crédito.
el 30% del total del viaje con Tarjeta Nexos, que excepcionalmente tenía
un descuento del 20%, sobre el monto de lo cargado a dicha tarjeta.
El resto con Tarjeta Raíces en 12 cuotas mensuales y con un recargo el
15% para todo el período.
¿Cuánto fue el costo total del Viaje de Lucas?
INTRODUCCIÓN
¿Cómo y porqué surgieron los números?
OM
En la actualidad el uso universal del sistema decimal de
números, la suma de ellos, el producto, la división, son
conocimientos matemáticos, estructurados y clasificados,
que resultan básicos para el hombre de hoy.
.C
números, por ejemplo:
Podemos observar que los números que usamos como parte de nuestra
comunicación se expresan de distinta manera (250; -3; 4,7; 2 ) y en sí mismos
pretenden simbolizar diferentes hechos, por lo que deben ser identificados y
caracterizados claramente para poder operar con ellos.
Sin pretender ser muy rigurosos, nos proponemos repasar cada uno de los
conjuntos numéricos y recordar sus características, a partir del conocimiento que
poseemos de las operaciones básicas. Nos detendremos en las definiciones
formales de las operaciones, sus elementos y propiedades más relevantes.
Seguramente con esta base podremos abordar los temas siguientes con
mayor facilidad.
1. NÚMEROS NATURALES
En función de lo que fue el inicio en la construcción de la ciencia
matemática, se considera que los primeros números que aparecen son los que
aprendimos de muy pequeños y que hoy llamamos naturales.
OM
No tiene un último elemento.
+ .C +
u
+ + + + + + + +
DD
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ahora, formalicemos cuales son las operaciones que se definen entre los
números naturales.
LA
otro.
a+b=c suma
sumandos
a . b a a a
b veces
a.b= c producto
La suma y el producto de
factores números naturales
poseen ciertas
propiedades que
facilitan el cálculo y son
Propiedades de la suma y el producto de números naturales de importancia teórica.
¿Las recordamos?
OM
Conmutativa a+b=b+a a.b=b.a
Asociativa (a + b) + c= a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c)
Distributiva del
.C
producto con a . (b + c) = a . b + a . c
respecto a la suma.
a b= c resta o diferencia
FI
dividendo a: b= c cociente
divisor
2. NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros están formados por los naturales, el cero y los naturales
OM
precedidos por el signo menos (a los cuales llamamos "enteros negativos"). Se
los simboliza con la letra .
... , 3, 2, 1 , 0 , 1, 2, 3, ...
4 3 2 1 0 1 2 3 4
5
Observemos que:
Cada número entero, salvo el cero, consta de un signo (+ ó ) y de su
valor absoluto, que es la distancia del número al cero.
FI
dos números enteros sólo puede existir una cantidad finita de números
enteros.
En ellos no hay primer elemento, ni último elemento, por lo tanto existen
infinitos números enteros.
10
Suma de
números a+b Ejemplo
enteros:
La suma tendrá el mismo signo 5 + 7 = 12
Si a y b tienen el
de los sumandos y se suman los
mismo signo
valores absolutos (5) + (7) = 12
La suma tendrá el mismo signo 5 + 7= 2
Si a y b tienen
del mayor de los sumandos y
distinto signo
se restan los valores absolutos 5+ (7) = 2
OM
El cero sumado a izquierda ó a
derecha de un número da el
Si uno de los
sumandos es cero
mismo número, se dice que 0 es a + 0 = 0+ a = a
el elemento neutro de la
suma.
.C
2) Para multiplicar habrá que tener presente la regla de signos:
Producto de
números a.b Ejemplo
DD
enteros:
Se multiplican valores absolutos 5 . 7 = 35
a y b tienen el de los factores y el producto
mismo signo
tendrá signo positivo. (5) . (7) = 35
se multiplican valores absolutos (5) . 7 = 35
a y b tienen de los factores y el producto
LA
distinto signo
tendrá signo negativo. 5. (7) = 35
Si uno de los a.0=0
El producto es cero.
factores es cero. 0.b=0
En símbolos
a .1 = 1 . a = a
Por ejemplo:
Resolvamos 1 2 3 2 4 1 (2 3) 1 1
11
OM
1 2 3 4 1 3 1 1
1 2 3 4 1 3 1 1
(1 3 1 3) (2 4)
86
.C 2
b) 5 3 1 2 4 3 5 2 4 2 3 1
FI
f) 2 . 2 (15).(3) : (4 3) 5.2
12
OM
donde r recibe el nombre de resto, siendo a, b y c dividendo, divisor y
cociente respectivamente.
.C
Importante
Si el divisor es cero (b =
0) se dice que el
b.c+r= a cociente es
indeterminado. La
DD
división por cero no está
definida.
Esta fórmula es lo que se denomina algoritmo de la división.
Por ejemplo:
LA
7 2
El algoritmo de la siguiente división es 2.3+1= 7
1 3
FI
3. NÚMEROS RACIONALES
Observemos que todo
Una forma alternativa de representar la división de entero puede expresarse
números enteros es a través de las conocidas fracciones. como una fracción, es
a a
En una fracción , a se llama numerador y b decir a
b 1
denominador, con la condición de que b es distinto de cero para cualquier entero a.
¿porqué?
13
OM
Formas de representación de los números racionales
Fracciones
4 10 16 11
; ; ;
10 8 6 18
Números con una cantidad finita de Números que presentan cifras decimales
.C
cifras decimales. que se repiten periódicamente.
4 10 16 11
0,4 ; 1,25 2,666... 0,6111...
10 8 6 , 18
DD
Ahora repasemos como se opera con fracciones.
Suma de racionales:
a c a c a d cb
Dados dos racionales y , la suma será
b d b d b.d
Por ejemplo:
FI
4 2 4.5 2.7 34
7 5 35 35
Las propiedades enunciadas para la suma de enteros siguen siendo válidas al
operar con racionales.
8 5 8 5 13
3 3 3 3
14
3 1 6 1 7
5 10 10 10
3 3 1 35 8
1
5 5 1 5 5
Actividad 2
OM
Resuelva los siguientes ejercicios con números racionales.
3 2 2 5 1
a) d)
4 4 3 6 2
5 7 1 8
b) e) 2
.C
4 3 5 3
5 7 5 8 4
c) f)
4 3 6 3 2
DD
Producto de racionales:
a c a c a .c
Dados dos racionales y el producto será
b d b d b.d
LA
En el producto se
multiplica los
numeradores entre sí y
denominadores entre sí.
Cociente de racionales:
En el cociente se
multiplica “cruzado”
a c a c a.d
FI
a c a d
:
b d b c
15
OM
Por ejemplo:
Se realizó una compra de útiles en una librería mayorista por $3.000. A este
importe hay que agregarle el 21% del IVA, ¿cuánto es el monto a pagar de IVA?
.C 21
100
3.000 630
DD
En síntesis, se deberá pagar adicionalmente $630 en concepto de IVA.
Actividad 3
Resuelva
LA
5 8 2 3 5 8 1 1
c) i) :
4 5 5 4 4 5 2 4
5 6 1 2 2 1 9
d) j) : (4) : :
3 5 2 5 5 2 4
1 7 3 4 5 1
e) : k) 1 : 1
3 3 4 3 9 3
5 10 4
f) :
6 3 2
16
an = a . a . …. a
OM
n veces
.C exponente
an b
base
potencia
DD
Por ejemplo: 24 2 . 2 . 2 . 2 24 16
Como la potenciación indica el producto de n veces un mismo factor, para su
cálculo aplicaremos la regla de signos de la multiplicación. Por ejemplo:
LA
2
2 2 .2 4 Positiva Par Positivo
2 2. 2 4
2
Negativa Par Positivo
23 2.2.2 8 Positiva Impar Positivo
2 3 2 . 2. 2 8 Negativa Impar Negativo
17
Por ejemplo:
4
16 2 pues 24 = 16
OM
La introducción de los números fraccionarios soluciona el problema de la
división no exacta, pero la operación de radicación presenta un nuevo
inconveniente.
Si el resultado de la radicación se puede expresar como cociente de dos
enteros, diremos que la radicación se puede realizar en el conjunto de los
números racionales.
.C
Por ejemplo:
9 3
4 2
DD
Actividad 4
3 2
c) 3 d) 3
3 2
a) 3 b) 3
e) 16
f)
3
8 = g)
3
8 h) 1
25 49
FI
4. NÚMEROS IRRACIONALES
18
e = 2,7182818284….
OM
2 es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado igual a la
unidad.
2 1,4142135623 …
.C
como cociente de enteros.
Ahora si consideramos los distintos tipos de números revisados hasta aquí
obtenemos el conjunto numérico más importante con el cual se trabaja de
DD
manera habitual es el de los llamados números Reales.
5. NÚMEROS REALES
LA
El conjunto de los números Reales está formados por los números racionales y
los números irracionales y se denota por
Los números reales “llenan” por completo la recta numérica, por eso se la
FI
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
19
2=2
Para describir la relación de orden entre 3 y 7 usamos:
3<7
Para describir la relación de orden entre 1 y 5 :
1 > 5
OM
Estas relaciones están basadas en el orden natural de los números reales en
la recta numérica; esto es, si “a” esta a la izquierda de “b” en la recta numérica
entonces a < b, si “a” esta a la derecha de “b” en la recta numérica entonces
a > b, y si “a” y “b” están en la misma posición entonces a = b.
.C
Dados a y b, números reales, se verifica alguna de las siguientes
relaciones entre ellos:
a) " a es igual a b ", en símbolos: a = b
b) " a es menor que b ", en símbolos: a < b
DD
c) " a es mayor que b ", en símbolos: a > b
como se ve a continuación:
a b (se lee: a es menor o igual que b)
a b (se lee: a es mayor o igual que b)
si a 0 entonces a= a
si a 0 entonces a= a
Por ejemplo:
20
a. b=a.b
OM
a= a
.C
Actividad 5
DD
Calcule el valor absoluto en cada caso:
5.3 Operaciones en .
LA
21
5.3.1 Potenciación
OM
Propiedades de la potenciación En símbolos: Ejemplo:
.C
El producto de 2 o más potencias de
igual base es igual a otra potencia
de la misma base, cuyo exponente
es la suma de los exponentes de las a n . a m a nm 22. 23 2 23 25
DD
potencias dadas.
El cociente de potencias de igual
base es igual a otra potencia de la
an 25
252 23
misma base, cuyo exponente
m
a nm 22
resulta de la diferencia entre la a
potencia del numerador y la del
LA
denominador.
La potencia de una potencia es
igual a otra potencia de la misma m 2
base elevada al producto de los a n a n .m 23 23.2 26
exponentes.
22
Actividad 6
4
2 1 2 1 2
b) 1 f) (1) 43
3
2 2
OM
c)
3 .2
2 3 3 1 2 1 2
g) 43
0
66
2 2
d) 1 5 2
3 4 7
h)
4 5
. 4
.C
5.3.2 Radicación
DD
Hemos definido la operación de radicación como la operación inversa de la
potenciación.
En base a la definición calculemos las siguientes raíces:
3
8 2 porque 23 8
LA
3
8 2 porque (2)3 8
4
16 2 porque 2 4 16
FI
23
Actividad 7
7 1 8
a) 16 121 b) 2 c) 2 .
OM
4 2 5
1 32
d) e)
256 2
.C Actividad 8
2
a) 2 es igual a 2
2
Verdadero-Falso
2
b) 3 2 es igual a 32 2 2 Verdadero-Falso
LA
3 factores
¿Podemos indicar que tenemos –3 factores? ¿Qué significa el exponente
negativo?
223
2 5
2
322 2 . 2 1
2 5 3
2 2. 2 .2 .2 .2 2
24
Obtenemos:
3
1
3
2
2
OM
En símbolos:
n
1
a n
a
.C
Toda potencia de exponente fraccionario es igual al radical cuyo índice es
el denominador del exponente (m) y cuyo radicando es la base de la potencia
(a), elevada al numerador del exponente dado (n).
DD
En símbolos:
n
a m an
m
LA
Por ejemplo
3
Si tenemos 16 2 podemos expresarlo de una manera alternativa.
Por lo tanto:
16 2 2 16 3
Resolvemos:
16 2 2 16 3 4096 64
25
OM
exponente igual al numerador del exponente dado (n).
En símbolos:
n
1
a m
m
an
.C
En todos estos casos especiales de la operación de potenciación, son
aplicables las propiedades que hemos enunciado.
DD
Actividad 9
a) 5 3 b) c) 64 6
d) e) 27 3
5 64 9
Por ejemplo:
2
3
26
2 3
.
3 3
resolvemos en el numerador y denominador:
2. 3 2. 3 2 3 2 3
2 2
3. 3 3 3 3
OM
y de esta manera hemos transformado la raíz del denominador en un número
racional, obteniendo una expresión equivalente a la original.
.C
2
5
1
5
DD
3
1
multiplicamos numerador y denominador por 5
5
y resolvemos
LA
3 3 3 3
1 1 1 1
5
5 7. 5 7. 5 7. 5
7 5 5 5
.
2 3 2 3 5 1
1 1 1 5 1 1
5
5
5
. 5
5
5 5 5 5 5
FI
En general, dado:
a
m
bn
m
b mn
porque:
m
b n . m b mn m b m b
y b será el nuevo denominador
27
2 1
a) b)
18 3
2
OM
Actividad 11
a) 3 4
(5 3) 2 28. 26 21 3 27 3 8
b)
.C 102 26
3
33 23 : 22 7
2
3
7
3 2
7
3
DD
1 2
1 2 2 44
c) 1 3 (2) (1)
7
3
LA
5
52 25 1 2
0
d) 7
1
(2 3 . 3 ) 4
3 2 2
En el Aula Virtual, en la
sección “Recursos y
FI
1 2 1 2 Materiales” encontrarás
e) 2 3 5 (3) (1) 44
0 2
la resolución detallada
2 2 al ejercicio e) de esta
actividad.
28
OM
imaginaria. Es decir z es un número complejo si z = a + b i siendo a y b
números reales.Por ejemplo: 3 + 4 i , 5 + i , 7 2 8 i
.C
Por ejemplo:
Si z =3 + 4 i entonces su conjugado es z 3 4 i
Si z =7 2 8 i entonces su conjugado es z 7 2 8 i
DD
A modo de síntesis podemos resumir los conjuntos numéricos que hemos
analizados de la siguiente manera:
Naturales ()
LA
Irracionales Complejos
Imaginarios
En el Aula Virtual, en la
sección “Recursos y
Materiales” encontrarás
un resumen de la
Unidad 1.
29
Ejercicio 1
OM
b) La suma de dos números racionales es un número racional.
c) El producto de dos números racionales es un número racional.
d) El producto de dos números irracionales es un número irracional.
e) El producto de dos números reales es un número real.
Ejercicio 2
Resolviendo
.C
3 25 9
3 . 2 1
. (4 8)0 se obtiene:
DD
1 1 5 20
a) b) c) d) e) 2
3 3 3 3
Ejercicio 3
a 1 a
LA
a) un número natural;
FI
Ejercicio 4
Resolver:
b) Un viaje de egresados costó 20.000 por estudiante. Juan pagó 11/25 partes
del viaje en efectivo y el 45% en 10 cuotas iguales, pero previamente se había
entregado una seña al momento del contrato. ¿Cuánto fue lo que Juan pagó en
efectivo, cuánto pagó en cuotas y de cuánto fue la seña?
30
Ejercicio 5
2 1
a) 1 2 .3
2
53.52 2 60 (1)0 b)
(1)99 27 : 3
23 24 256
1
1
5 2 2
2
OM
9 3
Ejercicio 6
a) 0,333........ .C
está incluido en el conjunto y con si no lo está.
b) 2 ........... c)
4
...........
DD
2
1
d) 3 ......... e) ........... f) 6...........
3
Ejercicio 7
LA
irracional.
Ejercicio 8
2 3 3
a) b) 3 3
5 10 3
6 62 4.3.8 3 (3) 2 4.(2).(2)
c) d)
3.2 2.2
31
2
3
3 3 1 1
a) (1)1
9 5 2
1 1
2 3 4
5
OM
5
6
1
60
b) 3 . 2
2
6 3 2
3 1 ( 2)2 .51
5 2 3
7
.C 5 1
6 2 3.22
DD
. 4
1
c) : (7) : 32 1 . 2. 5
2 6 2
7 6
1 0
LA
En el Aula Virtual
encontrarás una
Autoevaluación que te
recomendamos realizar.
FI
32
Actividad 1
a) En este caso podemos separar en dos términos, resolver cada uno de ellos
respetando la jerarquía de las operaciones y aplicando regla de signos del
producto.
OM
2 (1).(3).(1) 3.(2).(1 2) 2 3.(1) 3.(2).(1)
1.(1) 3.2
1 6
5
b) 5
.C c) 16 d) 7 e) 3 f) 3 g) 1 h) 0
DD
Actividad 2
3 2 5
a)
4 4 4
5 7 15 28 43
LA
b)
4 3 12 12
5 7 15 28 13
c)
4 3 12 12
FI
2 5 1 453 6
d) 1
3 6 2 6 6
1 8 3 30 40 13
e) 2
5 3 15 15
5 8 4 5 16 12 1
f)
6 3 2 6 6
Actividad 3
3 2 6 5 7 35
a) b)
7 5 35 4 3 12
1 2
5 8 5 8 1
c) 2 d) 1 e)
4 5 4 5 7
1 1
33
OM
Actividad 4:
3
c) 3 27
3 2
a) 3 27 b) 3 9 d)
2
3 9
16 4 1 1
.C 8 2 82
3 3
e) f) g) h)
25 5 49 7
DD
Actividad 5
Actividad 6
4 4
2 1 1
b)
1
2
a) (5 3) 64
3 3 81
FI
3
32.23
36 2936 29
6 6 296 23 8
c) 6
66 3 . 2 3 2
(1)
2 3
15 30
1 2 2
d) e) 5(1) 3 2 4
1 1
2 2
1 4
1 2 1 2
0 47
. 4 (4)3 64
5
g) 43 1 h)
2 2
4
34
Actividad 7
7 1 1
a) 16 121 137 b) 2
4 4 2
8
1 8 5 8 1 1 1
c) 2 .
42 d) 8
2 5 2 5 256 2 2
32 32
OM
d) 16 4
2 2
Actividad 8
2
a) Podemos afirmar que 2 es igual a 22 ? FALSO.
2
2 4
.C
, pues el exponente afecta al signo menos y por lo tanto el resultado
DD
es positivo.
22 4 , pues el exponente no afecta al signo menos.
2
b) Podemos afirmar que 3 2 es igual a 32 22 . FALSO
LA
2
3 2 52 25
2
3 2 32 22
32 22 9 4 13
FI
94 9 4
Actividad 9
2 1
1 3 25
b) 64 6 26 2
3
a) 5 c) 64 6 6
125 5 9
1
2
27 3 27 3 33 3 3
3 3 1 1 1 1
d) 3 e) 27 3
64 64 4 3 3 3
4 4 3
27 2 3
36 32 9
35
Actividad 10
2 2 1 3
4
a) b)
18 3 3
2 2
OM
Actividad 11
a) 3 4
(5 3) 2 28. 26 21
3 27 3 8 12 22 22 21 81 2
1
12 0 9 2
2
.C 2 3 2
7
2
1 2
DD
102 26 3 3 7 100 64 3 3
b)
3 3
3 2 : 2 2 7 7 3 27 2 7 7
36 3
25 7
6 3
LA
5 7
57
35
FI
1 1 2 1
2 44
c) 1 3 (2) (1) 1 9 (2) 3 1
2 2 2
7 7
3
1
1 9 4.10
7
1
1 49
7
1
1 7
7
0
36
5
52 25 1 2 25 32 5
0
d) 7
1 1 1 42
3 2 2
(2 3 . 3 ) 4 3
(2 1)
7 5
1 1 16
7
15
e) 1 4 5
OM
En el Aula Virtual, en la
sección “Recursos y
Materiales” encontrarás
La resolución detallada
al ejercicio e) de esta
actividad.
Ejercicio 2
Opción b)
LA
3 25 9 3 16 3 4 1
(4 8)0 1 .1
3 . 2 1 3. 1 3 3
FI
Ejercicio 3
Opción c)
a 1 a a 1 a 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1
: a a a
a a 1 a a
2
a a
Ejercicio 4
11
a) Me queda 100 pesos de crédito. b) En efectivo: 20000 8800
25
45
En cuotas: 20000 9000
100
Seña: 20000 (8800 9000) 2200
37
2 1 1
a) 1 2 .3
2
53.52 2 60 (1)0 1 (2.3)2 5 21 1
1
1 36 .7.2
1
14
35
2
5
OM
(1)99 27 : 3 1 9 1 3 2 3 1
b) 4
23 24 256 2 256 2 4 4 4
1
1 2
5 2 2
c) 1 . 7 28 (2) 2 .23 10
9 3
.C1
2
1
2 2 2
1
DD
4 2 2
. 7. 4.7 22.23 10 . 7.2 25 10
9 3 3 3
1
2 2 2 3
36 .6 9
3 2
LA
Ejercicio 6
4 1
a) 0,333 b) 2 c) d) 3 e) f)6
FI
2 3
Ejercicio 7
38
Ejercicio 8
3 2 15 3 7
a) b) 6 c) 1 i d) i
5 3 4 4
Ejercicio 9
26 7
a) b) 9 c)
25 2
OM
.C
DD
LA
FI
39
Objetivos específicos
Conceptualizar las Expresiones Algebraicas, reconociendo su valor
instrumental en la resolución de problemas.
OM
Analizar y aplicar las operaciones entre Expresiones Algebraicas Enteras.
Comprobar el sentido y utilidad del factoreo de Expresiones Algebraicas para
simplificar el proceso de resolución de operaciones.
Contenidos
.C
Expresiones Algebraicas: Clasificación, Valor numérico. Expresiones Algebraicas
Enteras: Monomios, Polinomios, Polinomios en una indeterminada. Operaciones entre
Expresiones Algebraicas: Suma, Diferencia, Producto: Producto de Binomios
Conjugados, Potenciación, Cociente: Regla de Ruffini, Teorema del Resto,
DD
Divisibilidad entre polinomios. Factoreo de Expresiones Algebraicas: Factor Común,
Factor Común por Grupos, Trinomio Cuadrado Perfecto, Cuatrinomio Cubo Perfecto,
Diferencia de Cuadrados, Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado.
Descomposición Factorial de un Polinomio. Expresiones Algebraicas Fraccionarias,
Fracciones algebraicas equivalentes, Simplificación de expresiones algebraicas.
Operaciones con Expresiones Algebraicas Fraccionarias: Suma y resta de Expresiones
LA
Desafío 2
FI
Pablo es un corredor aficionado que se está preparando para una carrera. Para su
entrenamiento realiza una serie de circuitos de diferentes distancias: uno largo, uno
mediano y uno corto.
Ayer repitió dos veces el circuito largo, dos veces el
¿Te animás a expresar simbólicamente el recorrido de cada uno de estos cuatro días y
luego calcular el total?
42
INTRODUCCIÓN
En esta unidad nos introduciremos en una de las herramientas más poderosa de la
Matemática: el Álgebra, a la que podemos considerar como “el lenguaje de los
símbolos”.
Los primeros avances en esta
área se registran en las
civilizaciones de Babilonia y Egipto,
entre el cuarto y tercer milenio
antes de Cristo y su desarrollo
continúa hasta nuestros días.
OM
Los matemáticos pasaron de la Aritmética, que se ocupa de los números
concretos, al Álgebra cuando intentaron generalizar cálculos, esto significa realizar
operaciones donde las letras representan números.
En el siglo XVI comenzó la etapa del Álgebra Simbólica, que es la que utilizamos
.C
hoy y que nos permite expresar los enunciados en forma más breve, generalizar
situaciones y representar cantidades desconocidas.
DD
Números y letras vinculados entre sí a
través de operaciones serán los
protagonistas de esta unidad y nosotros
aprenderemos a trabajar con ellos.
LA
43
OM
Aquí podríamos estar interesados en encontrar una
expresión que nos indique la superficie de los lotes
cualesquiera sean sus dimensiones. Suponga que se nos
informa que los terrenos que se comercializan tienen
forma rectangular y que su base mide 10 mts. más que
su altura, tal como muestra la siguiente figura:
.C x
Recuerde:
La superficie de un
rectángulo se calcula
DD
como el producto de la
x +10 base por la altura.
Su perímetro está dado
¿Cómo determinamos la superficie de este lote? por la suma de sus lados.
Superficie = x (x+10)
LA
Mínimos requisitos
7
Interés = x
A un año de plazo 100
Tasa de interés anual: 7%
Intervienen números
Intervienen letras
Intervienen operaciones algebraicas
44
Expresión
Algebraica
OM
Letras Números Operaciones
.C
indeterminadas
7 7
x x producto
100 100
FI
Actividad 1
Escriba la expresión algebraica correspondiente a cada uno de los
siguientes enunciados:
Actividad 2
45
Actividad 3
OM
constantes, las indeterminadas y las operaciones involucradas.
EXPRESIÓN
CONSTANTES INDETERMINADAS OPERACIONES
ALGEBRAICA
1 2 Te invitamos a ver
x y 3y un video sobre el
6 tema en el aula
7
.C
virtual, en recursos
y Materiales de la
x 5z 5 y 2
Unidad 2.
DD
1.1 Clasificación de las Expresiones Algebraicas
Racional
Por lo menos una de las Ejemplos:
indeterminadas, figura como 1
divisor en un cociente o como 5x 3 y
Fraccionaria x
base de una potencia con
4 3 2
exponente entero negativo 2( z t v)
Recuerde:
Esta clasificación está íntimamente relacionada con la de los números pero para
clasificar las expresiones algebraicas se considera únicamente a qué tipo de
operaciones están sometidas las indeterminadas.
46
Actividad 4
EXPRESIÓN
CONSTANTES INDETERMINADAS OPERACIONES CLASIFICACIÓN
ALGEBRAICA
1 5
( )a 3x 2
2
OM
(7 st )1/ 4 7
Actividad 5
.C
Establezca la VERACIDAD O FALSEDAD de cada una de las
afirmaciones del siguiente cuadro y justifique adecuadamente.
DD
LA
FI
S(x) = x (x+10)
47
OM
El valor numérico de una expresión algebraica para x = a, es el número que se
obtiene reemplazando en la expresión la indeterminada x por a y resolviendo las
operaciones indicadas.
.C
Actividad 6
Señale la única alternativa correcta, justificando su elección.
DD
A. El valor numérico de la expresión algebraica s 5 2 s 3 3s s 2 para s = 2 es:
a) 38
b) – 26
c) 32
d) – 18
LA
16 x 4 y 8 3z
B. El valor numérico de la expresión algebraica para x =1/4,
(4 xy 8 z )
FI
y = ( – 1/2) – 1 y z = – 2 es:
a) -5/9
b) 7/2
c) 5/7
d) -2/7
e) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta.
48
2.1 Monomios
OM
En todo monomio podemos identificar un coeficiente numérico y una parte
literal.
Por ejemplo
COEFICIENTE
MONOMIO PARTE LITERAL
NUMÉRICO
p q2
.C
4 p q2 4
x3 y 2 z 1 x3 y 2 z
Ejemplo:
El grado de un monomio Está dado por el 2 4
respecto a una de sus exponente de dicha st es de grado 1 en s y
indeterminadas indeterminada 5
de grado 4 en t
FI
2.2 Polinomios
49
OM
Un polinomio es nulo cuando todos sus coeficientes numéricos son iguales a
cero.
El grado de un polinomio es igual al del monomio de mayor grado de los que
lo forman.
1
Por ejemplo, considere el polinomio 18 x3 y x 6 xy 2
3
Recuerde:
Para determinar el grado de
un polinomio, o el grado de 2 4
un polinomio respecto de una El polinomio xy 3 x 2 y 3 5 x 3 y 2 y es de grado 3 en x y de grado
de sus indeterminadas, hay 5
que reducir previamente los 4 en y.
FI
1 2
Por ejemplo, el polinomio 3 y 3 5 y y 3 y 3 7 , los términos 3y 3 y
4
3y 3 se anulan y el grado del polinomio es 2.
2 4
Por ejemplo, xy 3 x 2 y 3 5 x 3 y 2 y está ordenado de acuerdo a las
5
potencias decrecientes respecto de y.
50
2 4
Por ejemplo, xy 3 x 2 y 3 5 x 3 y 2 está ordenado de acuerdo a
5
las potencias crecientes respecto de x.
Un polinomio es completo con respecto a una de sus
indeterminadas cuando en el mismo figuran todas las potencias menores
que la de mayor exponente.
2 4
Por ejemplo, xy 3 x 2 y 3 5 x 3 y 2 y es completo respecto a x
5
pero incompleto respecto a y (falta y0 ).
OM
Identificar que un polinomio es completo, será útil para realizar la Recuerde:
operación de la división. Para que un polinomio
esté completo respecto
a una de sus
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los indeterminadas debe
términos semejantes tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. figurar también un
Decimos que: término de grado cero
para dicha
Por ejemplo,
2
P( x) x 3x 2
5
2
Q( x) x 3x 2
5
FI
51
OM
Coeficiente principal 3
Término independiente 7
Actividad 7
.C
afirmación y justifique adecuadamente.
3
está ordenado respecto de y.
g) Un polinomio completo de tercer grado tiene cuatro términos.
FI
Actividad 8
Complete el siguiente cuadro:
COEFICIENTE TÉRMINO ¿ESTÁ ¿ESTÁ
POLINOMIO GRADO
PRINCIPAL INDEPENDIENTE ORDENADO? COMPLETO?
v 3 v 3v 3 2v 2 2v 3 6
3 3
3y y 4y
2
7 x 4 4 12 x 5 x 3 2 x 2
11z 7 9 z 2 7 z 9 5
52
OM
La suma de dos o más polinomios es otro polinomio, cuyos términos son los términos
de los polinomios sumandos, reduciendo previamente los semejantes.
.C
Q ( x ) 5 x 3
7 2 3
2
x x.
2
Para efectuar su suma, es conveniente disponer los polinomios de tal manera que
DD
resulten encolumnados los términos semejantes:
Actividad 9
53
Actividad 10
OM
polinomio resultado:
a) P 6a 3 3a 2 4 ; Q 4a 3 3a 2 9
6 16 3 1
b) P a 4 x 2 2a 3 x 1 ; Q 3a 4 x 2 a x 5a 2 ; R 4 a 3 x a 4 x 2 5
5 5 4
4 3 3 1 2 16
c) P x 4 x 2 x 5 ; Q x x 2 2x3
3 2 2 5 5
.C
3.2 Diferencia o Sustracción
DD
La diferencia de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene de sumar al
minuendo, el opuesto del sustraendo.
2 2 1
polinomios P ( x) 5 x 3 x x 8 y Q( x) 2 x 4 x 3 3 x 12 . Procedemos de la
3 5
siguiente manera:
1 3
Obtenemos el opuesto de Q(x) Q( x) 2 x 4 x 3 x 12
5
FI
54
Actividad 11
a) P 7 x 2 4 x 3 ; Q 10 x 2 7 x 2
7 7 3
b) P 0,2 y 2 y 2y3 1 ; Q y 2 y2
5 3 2
1 1 2 3
c) P = 4 a3 b2 c – 2 a2 b + a – 5 ; Q = – + a + a2 b – 5 a3 b2 c
2 3 3 2
OM
Puede suceder que en algunos casos se conozca el resultado de la operación y deba
encontrarse el polinomio minuendo o sustraendo.
Sabiendo que:
.C
despejando apropiadamente, podemos obtener:
Actividad 12
LA
10 t – 3 t – 5 t + 12
3 2
– 9 t2 – 11 t + 3
Actividad 13
1 3 2 2 1
P( x) x 3x3 5 x 4 Q( x) x R( x) x 4 x 2 x 4
5 4 3 5
y calcule:
55
El producto de dos o más polinomios, es otro polinomio que se obtiene sumando los
productos parciales que surgen de aplicar la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y reduciendo términos semejantes.
OM
Propiedad distributiva del producto respecto de la adición y de la sustracción
Propiedad conmutativa y propiedad asociativa del producto.
M(x) = 5 x2 + 3 x – 1
N(x) = 2 x – 3
.C
El producto de ambos, será:
M(x).N(x) = (5 x2 + 3x – 1).(2x – 3)
DD
donde cada uno de los términos del primer factor, se debe multiplicar por el
segundo factor.
M(x). N(x) = 10 x3 – 15 x2 + 6 x2 – 9 x – 2 x + 3
Finalmente agrupamos términos semejantes, a fin de obtener el resultado final:
FI
M(x).N(x) = 10 x3 – 15 x2 + 6 x2 – 9 x – 2 x + 3
M(x).N(x) = 10 x3 – 9 x2 – 11 x + 3
Actividad 14
56
OM
utilidad al factorizar polinomios.
(a + b) (a – b)
Efectuemos su producto:
.C (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2
Actividad 15
1 2 1
a) ( – a b c) . ( – a b2 c)
3 4
1 8 2 6
b) ( m n p ) . ( – 10 m p2)
10
1 1
c) (x3 – 2 x2 + x – 1) . (x2 + x + )
2 5
d) (1 + 5 y) .(1 – 3 y).(2 y – 1)
e) ( – 5 x3 + 2) . ( – 5 x3 – 2)
57
1 3 2 2
P( x) x 3x 3 5 Q( x) x R( x) 0,25 x 2 x 0,25
5 4 3
y calcule:
a) P(x) . Q(x)
OM
b) Q(x) . R(x)
c) P(x) .R(x)
3.3.2 Potenciación
.C
Calcular la potencia enésima de un polinomio significa multiplicar n veces dicho
polinomio por sí mismo, siendo n un número natural.
DD
Consideraremos a continuación dos casos particulares de potenciación que serán
útiles al factorizar polinomios:
Cuadrado de un binomio
(x + y) . (x + y) = x2 + xy + yx + y2
= x2 + 2 xy + y2 Recuerde:
FI
xy = yx por la propiedad
Analice cada uno de los términos del trinomio obtenido: conmutativa del
producto
Uno de sus términos es el cuadrado del primer término x2.
Otro de sus términos es el cuadrado del segundo término y2.
El término restante es el doble producto del primer término por el segundo 2xy.
Actividad 17
Desarrolle el cuadrado de los binomios dados y analice los signos del trinomio
obtenido en cada caso:
a) (a + b)2 c) ( – a + b)2
2
b) (a – b) d) ( – a – b)2
58
Cubo de un binomio
Supongamos que queremos calcular (a + b)3
Podemos desarrollarlo como:
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b)
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) (a + b)
Efectuamos el producto indicado en el segundo miembro:
OM
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
.C
El tercer término es el triple del primero por el cuadrado del segundo (3ab2).
El cubo de un binomio es igual a la suma del cubo del primer término más el triple
DD
producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Actividad 18
LA
Desarrolle el cubo de los binomios dados y analice los signos del cuatrinomio
obtenido en cada caso:
a) (2a + b)3
b) (2a – b)3
( – 2a + b)3
FI
c)
d) ( – 2a – b)3
Actividad 19
59
OM
(8 a4 b3) : (- 4 a b2) = - 2 a3 b
Se deberá dividir cada término del polinomio del dividendo, por el monomio del
divisor, respetando la regla de los signos.
.C
Por ejemplo:
(8 x6 y - 12 x5 y2 + 16 x4) : (- 4 x2) = - 2 x4 y + 3 x3 y2 - 4 x2
DD
Estudiaremos ahora la división de polinomios y, en particular, el cociente de
polinomios en una sola indeterminada.
Antes de iniciar su análisis, es necesario tener en cuenta que denominamos:
Dividir el polinomio P(x) por Q(x), implicará obtener los polinomios C(x) y R(x), de
tal forma que se verifique que el dividendo sea igual al producto del cociente por el
divisor, más el resto:
¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para dividir dos polinomios?
El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del
polinomio divisor.
El dividendo debe estar completo y ordenado, según las potencias
decrecientes de la indeterminada.
El polinomio del divisor debe estar ordenado.
60
P(x) = 3 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 2 x2 + 0 x – 1; Q(x) = x3 – 2 x + 1
1. Se divide el primer término del dividendo, por el primer término del divisor,
OM
obteniéndose así el primer término del cociente.
2. 3 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 2 x2 + 0 x – 1 x3 2 x 1
3 x2
.C
3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor, y el producto así
obtenido cambiado de signo se suma al dividendo. Se obtiene entonces, un nuevo
dividendo.
DD
3 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 2 x2 + 0 x – 1 x3 2 x 1
– 3 x5 + 6x3 – 3 x2 _______ 3 x2
6x3 – x2 – 1
4. Se reiteran los pasos 1. y 2. tantas veces como sea necesario, hasta que el
LA
3 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 2 x2 + 0 x – 1 x3 2 x 1
– 3 x5 + 6x3 – 3 x2 _______ 3 x2 + 6
FI
6x3 – x2 + 0x – 1
– 6x3 + 12x – 6
– x2 +12x – 7 cociente
resto
2
Debido a que el trinomio – x +12x –7 es de grado menor que el divisor
x3 – 2x + 6 no podemos continuar con la división.
61
x3 -2 x 1 . 3x 2 +6 - x 2 12 x - 7
3 x 5 6 x3 6 x3 12 x 3 x 2 6 x 2 12 x 7
3x5 2 x 2 1
OM
Actividad 20
1 3 8 1
a)
b)
(
25
.C
x y ): ( x2 y8)
1 12 2 7
3 3
5
1
( – t + t – t5) : ( – 3 t5)
9
DD
c) ( – 5 x + 6 x + 2 x + 2) : (x2 – 3 + 2x)
4 2
1 1 1
d) (y3 – y2 + y + ) : (y + )
2 4 2
e) (2 x3 + 6 x5 – 4 + 3x) : (x2 + 3 – x)
LA
Actividad 21
FI
4 3 2
2 x – 3 x +10x – 17 x + 3 2x – 3 0
Actividad 22
62
OM
3.4.1. Regla de Ruffini
.C
calcularlos sin emplear la metodología descripta anteriormente. Para estos casos
disponemos de una regla de uso práctico, conocida como Regla de Ruffini, que exige
el empleo de una tabla en la que se colocan ordenadamente los coeficientes de los
polinomios que intervienen en la operación.
DD
Desarrollaremos ahora, a partir de un ejemplo, cuáles son los pasos para aplicar
la Regla de Ruffini.
Suponga que se desean dividir los siguientes polinomios en x:
1 0 – 4 – 1 Coeficientes del
dividendo
Opuesto de a
– 3
1 0 – 4 – 1
– 3
Primer coeficiente
del cociente 1
63
1 0 –4 –1
Coeficientes del – 3 – –3 9 – 15
polinomio 1 –3 5 – 16 Resto
cociente
OM
coeficientes del polinomio cociente, en este caso son las constantes 1, ( – 3) y 5, por
lo cual resulta:
C(x) = x2 – 3 x + 5
Y el resto:
R(x) = – 16
.C
Actividad 23
DD
Obtenga el cociente y el resto de las siguientes divisiones, aplicando la Regla de
Ruffini:
a) ( – 4 x + 2 – 2 x3 + 5 x2) : (x – 3)
b) (5 y4 – 3 y + 2 y2 + 6) : (y – 2)
c) ( – 2 x4 + 3 x3 + x – 4 x5) : ( x + 1)
LA
Actividad 24
1 3 1
a) La división (m + 2 m – m2 + 2) : (m – ) no puede resolverse aplicando
2 2
Regla de Ruffini porque el término numérico del divisor (a) no es un número
entero.
b) La regla de Ruffini es aplicable en cualquier operación de cociente de
polinomios.
c) La división (x2 + 3x + 1) : (x2 – 1) puede resolverse aplicando Regla de Ruffini.
64
R(x) = P( a)
Determinamos el opuesto de a -a = 3
OM
Reemplazamos en P(x) a x por (–a) R(x) = P(3) = (3)2 + 2.(3)3 -7 -18 . (3)
.C
Actividad 25
Actividad 26
x3 – 9 x – 3 a
x4 – 5 x + a x – 1 0
Hemos visto que, si llamamos P(x) al polinomio dividendo, Q(x) al divisor y C(x)
al cociente, se verifica que
65
Actividad 27
OM
4. FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En ocasiones, al operar algebraicamente, es conveniente presentar las distintas
expresiones algebraicas como el producto de dos o más factores. Este procedimiento,
.C
que nos permite transformar una suma algebraica en un producto, se denomina
factorización o factoreo.
CASOS DE FACTORIZACIÓN
¿Hay factores que están presentes en todos los términos? Para responder a este
interrogante tengamos presente que el polinomio P(x) puede expresarse como:
P(x)= 2 . 2 . x . x . x + 2 . x . x – 2 . 3 . x. m
vemos que 2 y x se repiten en todos los términos. A estos factores se los llama
factores comunes.
66
2
Podemos escribir entonces P(x) = 2 x (2 x + x –3 m)
Se extrae factor común cuando todos los términos del polinomio tienen un mismo
factor numérico y/o literal, es decir, cada término de dicho polinomio es divisible
por el mismo monomio.
En este caso el polinomio original puede ser expresado como el producto de ese
monomio (que será el máximo común divisor de todos los términos) por el cociente
que resulta de dividir el polinomio dado por el monomio extraído como factor
común.
OM
Actividad 28
a) 6x + 5
b) z2 + 3z
c)
d)
2
9
2 .C
10x3 + 7
1
– y4 y3 y 2
6
4
4
3
3 t 15t 6t 3
DD
e)
f) l0x2z – 9z + 4xy
3 5
P x a 6ab b 10b 2
2 2
Se extrae factor común por grupos cuando en el polinomio existen grupos de igual
número de términos, cada uno de los cuales tiene un factor común y, al extraerlo, la
3 5
P x a 6ab b 10b 2
2 2
67
factor común: 1 2b
2
OM
En cada uno de los términos obtenidos, está presente la misma expresión, la cual
extraemos como factor común y nos queda:
1
P x 3a 5b 2b
2
Cuando agrupe y extraiga factor común, debe hacerlo de manera tal que le quede la
misma expresión para poder, de esta manera, seguir factorizando.
.C
Actividad 29
DD
Factoree las siguientes expresiones:
a) 3x3 – 3x – 1 + x2
b) y3 + y2 + y + 1
LA
Por ejemplo:
x2 + 20x + l00 = (x + 10)2
(x)2 (10)2
2.x.10
68
20x + l00 + x2
OM
Actividad 30
a) x2 - 12x + 25 d) a2b2+1+2ab
b) 64+y2 + 16y e) y2 – 12yz + 36z2
c) x2 - 3x + 9
.C
4.4 Cuatrinomio cubo perfecto
DD
Cuando nos encontramos con un cuatrinomio, podremos verificar si se trata de un
cuatrinomio cubo perfecto. Para ello analizamos si reúne las características que nos
permitirán su factoreo como el cubo de un binomio:
cuadrado del primero por el segundo y el otro el triple del primero por el
cuadrado del segundo?
(2b)3 (ac)3
3(2b)2ac 3(2b)(ac)2
Actividad 31
Factorizar como el cubo de un binomio:
69
OM
Cuando al factorizar nos encontremos con una resta de monomios, podremos
verificar si sus términos son cuadrados.
Veamos un ejemplo:
2x2 – 9 = ( 2x + 3) ( 2x – 3)
.C ( 2x )2 (3)2
DD
Toda diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de
las bases.
a2 b2 (a b)2
2
LA
¡Importante!
No debemos confundir la
Actividad 32 diferencia de cuadrados
con el cuadrado de una
Factoree las siguientes expresiones: diferencia.
25 4
FI
a) a4b2 – x2y4
4 9
b) – 64 + x6
c) 9x2 – 144
d) 592 – 582
Actividad 33
En cada uno de los siguientes enunciados establezca la VERACIDAD O FALSEDAD
de la afirmación y justifique adecuadamente.
a) x2 + 6x + 9 = (x – 3 )2 e) (x – y)2 = (x – y) (x + y)
b) x2 – y2 = (x – y ) (x – y ) f) 100 – x4 = (10 + x) (10 – x)
c) – x2 + y2 = (x – y) (x + y) g) x4 – 10x2 + 25 = (x2 – 5)2
d) x4 – 16 = (x2 + 4) (x2 – 4) h) x3 – 6x2 = x3 (x – 6)
70
OM
Para ello debemos determinar si la expresión dada es o no divisible por x a.
(x + a) si n es impar
.C
xn + an es divisible por
(x - a) nunca
DD
(x + a) si n es par
n n
x - a es divisible por
(x - a) siempre
efectuar la división.
de sus bases.
Si observamos los resultados obtenidos podemos deducir una regla práctica para
calcular el cociente:
71
OM
Resumiendo:
.C
del cociente por (x + a).
b) Si es divisible por (x – a) se halla el cociente y el factoreo resulta el producto
del cociente por (x – a).
c) Si es divisible por (x + a) y (x – a), habrá dos formas distintas de factorear.
DD
d) Si el polinomio dado no es divisible por (x + a) ni por (x – a), no puede ser
factoreado como (x a) por otro polinomio.
x4 – 16 = (x – 2) (x3 + 2x2 + 4x + 8)
LA
x4 – 16 = (x + 2) (x3 – 2x2 + 4x – 8)
Actividad 34
a) 81 y4 – z4.
b) b5 – 32
c) a6 – 1
1
d) p5 –
243
3 3 3 3
e) x z + b c
27 3 3
f) a x – 125 z3
64
72
Actividad 35
OM
f) 1 + m5
g) x3 + 2x2y + xy2 + 2x2 + 4xy + 2y2
h) x3 – 6x2 + 12x – 8
.C
Factorizando un polinomio de grado n en una indeterminada, es posible llegar a lo
que se conoce como descomposición factorial, la cual se basa en el concepto de raíz
de un polinomio y en el Teorema Fundamental del Álgebra.
DD
Comencemos enunciando el concepto de raíz de un polinomio.
Por ejemplo,
Por otro lado el Teorema Fundamental del Álgebra afirma que un polinomio de
grado n en una indeterminada tal como:
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ..... + an xn
73
OM
1) Un polinomio de primer grado tiene una raíz y es fácil encontrarla. Consideremos
la siguiente situación:
P(x) = 3x + 8
.C 3x + 8 = 0
3x = – 8
x=–
8
DD
3
Dado que el coeficiente principal es 3 y la raíz es – 8/3, la descomposición
factorial de P(x) será:
8
P(x) = 3 (x + )
3
LA
a) Q(x) = 3x2 – 3
74
b) En el siguiente polinomio
R(x) = 2x2 – 2x – 4
Dentro del paréntesis nos queda una expresión en la que no hay un factor común.
¿Podemos aplicar entonces factor común por grupos? No, para aplicarlo nos hacen faltan
cuatro términos. Una solución es sumar y restar el mismo monomio para que la expresión
no se altere. Observe que lo que hemos realizado es un simple artificio algebraico:
2 (x2 – x – x + x – 2) = 2 (x2 + x – 2x – 2)
OM
2 [x (x + 1) – 2 (x + 1) = 2 (x – 2) (x + 1)
Resulta entonces que:
R(x) = 2 (x – 2) (x + 1)
.C
c) Considere ahora el polinomio
S(x) = 3x2 + 5x + 2
DD
Realizamos un artificio algebraico, descomponiendo el término 5x en 3x + 2x:
S(x) = 3x2 + 3x + 2x + 2
S(x) = 3x (x + 1) + 2 (x + 1)
LA
S(x) = (x + 1) (3x + 2)
S(x) = 3 (x + 1) (x + )
3
b b 2 4ac
x
2a
El doble signo + que precede al radicando nos indica la existencia de dos raíces que
pueden ser reales y distintas entre sí, reales e iguales o valores complejos
75
Q(x) =2x(x2 – 9)
OM
¿Qué otro valor de x le da a Q(x) un valor numérico de cero?
Si x = 0 nos queda:
Q(0) = 0
.C
Analicemos:
Si conocemos la descomposición factorial de un polinomio, ¿podemos
reconstruirlo?
DD
Sí, conociendo la descomposición factorial podemos obtener el polinomio
efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes.
P(x) = – 3 (x – 1) (x – 5)
Actividad 36
a) 3x2 – 75
b) x3 – 4x
c) 3x2 + 6x + 3
d) 12 +7x
76
Actividad 37
a) P(x) es de grado tres. Se sabe que sus raíces son 1,3 y –2 y que el valor
numérico del polinomio en 2 es 2.
b) Q(x) es de tercer grado, el coeficiente de x3 es –1, Q(4)=0 y dos de sus
5
raíces son 3 y .
2
2
c) R(x) = x +3x –b y se sabe que una de sus raíces es –2.
OM
Actividad 38
Complete el siguiente cuadro en base a los datos:
Coeficiente Descomposición
Polinomio Raíces
Principal Factorial
.C 1
– 3
2, – 3
2, – 3
2 (x – 2) (x + 3)
DD
2
x + 5x – 6
3x – 9x2 – 12x + 36
3
2, – 2, 3
– 2 0, 1, – 1
2
3x + 3x – 18
LA
tratamiento presenta gran semejanza con el de las fracciones numéricas que usted ya
conoce.
P
expresión siendo Q 0.
Q
77
a) x 5 b) x 5
OM
c) x 0 d) x 5
e) x 8
simplificar los factores del numerador y del denominador que sean idénticos.
3x 6 3( x 2) 3
b)
7 x 14 7( x 2) 7
x 3 27 ( x 3)( x 2 3 x 9) ( x 2 3 x 9)
c)
x2 6 x 9 ( x 3)2 ( x 3)
78
Actividad 40
x2 1 x3 x 2 x 2 y xy xy 2 y 2
a) e)
x2 x x 4 xy 3
2 x 14 3x 2 6ax 3a 2
b) 2 f)
x 14 x 49 6 x 2 6ax
OM
x2 3x 2 x4 a4
c) g)
x2 4 x3 x 2 a xa 2 a 3
x3 5 x 2 x6 1
d) h)
x3 25 x x2 1
.C
6.2 Suma y Resta de Fracciones Algebraicas
Ó
LA
P R P+R
+ = (P, Q y R son polinomios)
Q Q Q
M S M -S
- = (M, N y S son polinomios)
N N N
79
2 3 x x - 2 2 (3 x) ( x - 2) 2 3 x x - 2
a)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
2x 3
x 1
3 x 4 x 2 2 (3 x) - (4 x 2 2) 3 x - 4 x 2 - 2 - 4 x 2 x 1
b) -
OM
2-x 2- x 2- x 2- x 2- x
.C
el mínimo común denominador (m.c.d) tomando los factores primos, comunes y no
comunes, con su mayor exponente.
2. Obtenemos fracciones algebraicas equivalentes de igual denominador.
3. Efectuamos las operaciones indicadas en el numerador.
DD
4. Reducimos términos semejantes.
x 3 3x
b) En el caso de la diferencia tenemos:
x2 6 x 9 x2 9
80
x 3 3x
1.
( x 3)2 ( x 3) ( x 3)
( x 3) ( x 3) 3 x ( x 3)
2.
( x 3)2 ( x 3) ( x 3) ( x 3) ( x 3)
x 2 6 x 9 3 x 2 9 x
3.
( x 3)2 ( x 3)
OM
2 x 2 15 x 9
4.
( x 3)2 ( x 3)
.C
El producto de dos o más fracciones algebraicas, es otra fracción algebraica, que
tiene como numerador el producto de los numeradores de los factores y como
denominador el producto de los denominadores de los factores.
DD
M
.R= MR
(M, N, R y S son polinomios)
N S NS
Veamos un ejemplo:
3 x2 9 x 5 x 2 - 20
LA
•
3 x2 18 x 27 (x 2)2
3 x ( x 3) 5( x 2 - 4)
= •
3 ( x2 6 x 9) ( x 2)2
FI
3 x ( x 3) 5 ( x - 2) ( x 2) 5 x ( x - 2)
= •
3 ( x 3) 2 ( x 2) 2 ( x 3) ( x 2)
81
3 x2 9 x 5 x 2 - 20
:
3 x2 18 x 27 ( x 2)2
3 x2 9 x ( x 2) 2
.
3 x2 18 x 27 5 x -20
OM
3 x ( x 3) ( x 2) 2
= •
3 ( x2 6 x 9) 5( x2 4)
3 x ( x 3) ( x 2) 2 x ( x 2)
= •
3 ( x 3) 2 5 ( x - 2) ( x 2) 5( x 3) ( x - 2)
Te invitamos a ver un
video sobre el tema en
el Aula Virtual, en
recursos y Materiales de
la Unidad 2.
.C
DD
Actividad 41
4x 6
a) El resultado de la operación es 2.
2x 3 2x 3
2x - 4 2 2x - 2
FI
b)
x2 x2
3
1 x - 4x x 1
c) - da como resultado
x2 x2 - 4 x2
4
x - 16 4x x2 2 x x2
x2 - 4 2x 1 x4
f) •
- da como resultado
x2 4 x x2 - 2 x x 1 ( x 1)
82
x5 - 1 6x 6 2 ( x - 1) 2
g) El resultado de : es
3 x5 3 x4 3 x3 3 x2 3 x 4 x2 - 4 9x
x4 - 1 9x - 3 ( x 1)2
h) : =
7 x2 - 7 21 x - 7 3
4 x 12
x2 - 9 16
i) da como resultado
( x - 3) ( x 2) ( x - 3)2
4x 8
OM
x( x z ) 3
j) El valor numérico de para x = 5 , y = 2 y z = 20 es
( x y )( x y ) 5
Actividad 42
En los siguientes ejercicios efectúe las operaciones indicadas,
a) .C
factorizando y simplificando cuando sea conveniente:
a -6
-
a3
1
DD
- 3a 9
a2 27 a3
3 x-3 4 x 12
b) -
x x2 3 x x2 6 x 9
x 2 5 x ax 5 a x2 - a2 ( x 5)
c)
LA
• •
x2 25 10 x ( x a )3
x2 1 7 x2 7 x - 7
d) :
x2 x x - 1 14 x2 - 14
FI
1
1
r-2
e)
x3 - 8
. 42 x 34 x 2
3 2
x - 4 2x 4x 8x
2
2 3
z v
4 z 2 6 zv 9 v 2 4 4
f) :
8 z3 - 27 v3 4 z - 6v En el Aula Virtual, en la
sección “Recursos y
y2 9 - 6 y Materiales” encontrarás
La resolución detallada
2 y 2 - 18 al ejercicio f) de esta
g) actividad.
1 3
y-
2 2
y 2 3 y 4 y 12
83
HORIZONTALES VERTICALES
3. Polinomios cuyos coeficientes de los 1. Nombre que recibe la división
términos semejantes tienen el mismo valor cuando el resto es cero.
absoluto pero distinto signo. 2. Suma algebraica de monomios.
4. Tipo de expresión algebraica en la que las 5. Término de grado cero en una
OM
indeterminadas no se encuentran sometidas expresión algebraica.
a operaciones de radicación ni potenciación 7. lo que se obtiene de elevar un
con exponente fraccionario. binomio al cuadrado
6. Monomios que tienen el mismo grado. 8. Polinomio en el que figuran todas las
10. Regla de uso práctico que permite potencias menores que la de mayor
realizar la división entre un polinomio en x exponente.
por un binomio de la forma x +/- a, siendo a 9. Dos binomios que se diferencian
.C
una constante real.
11.Número de raíces que tiene un polinomio
de segundo grado.
13.Propiedad de la multiplicación que
únicamente en un signo.
12. Números fijos que figuran en las
expresiones algebraicas.
14. Expresión algebraica en la que las
DD
reviste particular importancia en el producto indeterminadas están sometidas a las
de expresiones algebraicas. operaciones de adición, sustracción,
15. Monomios que tienen la misma parte multiplicación y potenciación con
literal. exponente entero no negativo.
16. Clasificación de la expresión algebraica.
LA
FI
En el Aula Virtual, en la
sección “Recursos y
Materiales” encontrarás
un resumen de la
Unidad 2.
84
7. EJERCICIOS INTEGRADORES
Te proponemos resolver los siguientes ejercicios que pretenden integrar todo lo
aprendido en esta unidad.
Ejercicio 1
En una caja hay x monedas. Encuentre una expresión algebraica que represente
cuántas monedas quedan si se sacan las dos terceras partes y se añade el triple de las
que había al principio. Identifique en la expresión algebraica obtenida las constantes,
las indeterminadas y las operaciones que las vinculan.
OM
Ejercicio 2
Escriba el polinomio que representa el perímetro correspondiente al rectángulo
pintado en la siguiente figura:
3 3
.C
x
2x
DD
Ejercicio 3
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 3x2 - 2
Q(x) = 5/2 bx2 - 2
LA
¿Qué valor debe asumir b para que estos polinomios sean idénticos?
FI
Ejercicio 4
Calcule el valor numérico de los siguientes polinomios
b) Q ( x) x x 2 para x
3 5 5
c) R ( y ) 3 2,1 y 1,5 y 2 para y = 0,30
d) T ( s ) s 5 2 s 3 3s s 2 para s = 2
Ejercicio 5
Dadas las siguientes expresiones:
( x 2 x 5) ; ( x 3 x 2)
a) Obtenga su suma.
85
Ejercicio 6
En un jardín cuya área está representada por la expresión: 3 x2 + 15, se ha
construido una pileta con un área que responde a la expresión: x2 – 4, y el resto se
ha sembrado con césped. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área
sembrada?
Ejercicio 7
OM
En los siguientes ejercicios con múltiples alternativas, señale la única alternativa
correcta, justificando su elección.
.C
d) ( y 2 1).(2 y 2 2 y 3)
e) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta
DD
5 3
ii) Al resolver la operación (a – 1) el resultado es:
a) a15 + 3 a10 + 3 a5 + 1
b) (a15 – 1)
c) – a15 + 3 a10 + 3 a5 – 1
d) a15 – 3 a10 + 3 a5 – 1
LA
Ejercicio 8
Resuelva:
a) ( x 5) 2 3 x( x 2 4) ( x 5)( x 5)
FI
b) ( x 2 1)( x 2 1) 5 x 2 ( x 2) x 2 ( x 2 5 x)
c) – 2 (2 x 2 6 x) (2 x 3) 2 ( x 3 2)( x 3 2)
Ejercicio 9
Complete el siguiente cuadro en base a los datos:
Grado del
Cociente Divisor Dividendo
Dividendo
7 – y6 – 3 y2 + 2 y3 – 4
Ejercicio 10
a) Multiplicando ( x 3 2 x 1) por cierto binomio se obtiene
5 3 2
( x 3x x 2 x 1) . ¿Cuál es ese binomio?
86
Ejercicio 11
El polinomio (6 x 2 7 x 20) corresponde al área de este rectángulo. ¿Qué
polinomio corresponde a su altura?
OM
3x + 4
Ejercicio 12
Señale cuál es el valor de b en cada caso. Justifique su respuesta
.C
Polinomio
4
P( x) 2 x 3bx 1
Q( x) 3( x b)( x 5)
Datos
P(x) es divisible por (x – 2)
La suma de las raíces es igual a 3
Valor de b
DD
S ( x ) 2 x 2 4 x b El resto de dividir S(x) por (x – 3)
es –1
Ejercicio 13
LA
Complete los siguientes trinomios para que sean trinomios cuadrados perfectos.
a) x2 + ..... + 400
b) x2 + 81 + .....
c) 25 + ..... + x2
FI
Ejercicio 14
Factoree por completo las siguientes expresiones e indique el o los casos de
factoreo que aplica.
1 4
a) b 2 a 4 4c 2 cba 2
9 3
9 8 2 4 1 6
b) ba x y bz
4 9
c) 49 xy 35 z xy 14 x 4 yz
2
d) 36 xy 2 8 y 3 27 x3 54 x 2 y
e) 5w 5 z 3 xy wz 2 25 xyz
125 3 125
f) x
64 27
6 6
g) 64a b
87
OM
Ejercicio 16
Dado el polinomio:
P(x)= ax2 + 5x – 33
.C
a) ¿Cuál es el valor de a?
b) ¿Cuál es el valor de la otra raíz?
DD
Ejercicio 17
Determine la descomposición factorial de cada uno de los siguientes polinomios:
1 2 5
a) P(x) = x x2
3 3
b) Q(x) = 2 x 3 10 x 2 12 x
LA
Ejercicio 18
Establezca la VERACIDAD O FALSEDAD de cada una de estas igualdades y
justifique adecuadamente su respuesta.
FI
(4 x 2 36)(2 x x 2 1)
a) 4( x 3)( x 1)
x2 4x 3
( x3 8) x 4 16 2( x 2 4)( x 2)
b) 2 . 2
x 4 x 2x 4 6 (2) 2
Ejercicio 19
Resuelva previo factoreo y simplificación.
bx b 2 x 2 b2
a) :
x 2 2 xb b 2 x b
1 2
( x 4 x 4)( x3 x 2 x 1)( x 1)
b) 2
( x 4 1)(4 x 2 8 x)
88
25 4 2
( x )( x 2 x 1)
16 1
c) ( x2 )
5 4
( x 2 )( x 1) 2
4
1 3 25 10 1
( x x 2 x 2 2) ( x 2 x )
d) 4 4 : 4 4 4
x 3x3 2 x 2 (5 x 1)3
OM
Ejercicio 20
Resuelva las siguientes expresiones algebraicas, previo factorización y
simplificación.
12 6 3x 2 6 x
a) 3 2
3x 12 3x 6 9 x3
b)
.C 2
x
x 2x 1
2
3x
x 1
x 1 3x 3
DD
x x 3 27 x 2 3 x
c) 2 . 2 : 2
x 9 2 x 6 x 18 x 6 x 9
2
x 2 x 3 x x 3x 3
d) .
LA
2
x 1 x 3 25 x 81
12 x 3 x2 9
e) 2 : 2
x 2 x 3 x 1 x 3 x 2x 1
FI
Ejercicio 21
Razonamiento matemático
89
OM
2.s es la expresión de un número par, ya que s es entero. De esta manera hemos
demostrado que al sumar dos números pares siempre obtenemos un número par.
Considere ahora que todo número impar es el siguiente de un número par. Por lo
tanto, puede expresarse de la forma 2.x +1, siendo x un número natural. Demuestre,
utilizando expresiones algebraicas, que al sumar dos números impares se obtiene
siempre un número par.
.C
DD
En el Aula Virtual
encontrarás una
Autoevaluación que te
recomendamos realizar.
LA
FI
90
OM
Actividad 2
a) FALSO. La expresión algebraica que corresponde a la diferencia de los
cuadrados de dos números es x 2 y 2 .
b) FALSO. La mitad de la diferencia entre dos números puede expresarse
.C
x y
algebraicamente como .
2
c) VERDADERO. La expresión algebraica x1 / 2 y 1 / 2 corresponde a la suma de las
DD
raíces cuadradas de dos números ya que se verifica que x1/ 2 x ; y1/ 2 y .
Actividad 3
7 Adición–Producto-Cociente-
7, 5, 1 x, y , z Potenciación
x 5z 5 y 2
Actividad 4
Expresión
Constantes Indeterminadas Operaciones Clasificación
algebraica
1 5 1 Expresión
( )a 3x 2 ,3 Adición–Producto-
a, x algebraica
2 2 Cociente- Potenciación
fraccionaria
Expresión
s, t Adición–Producto-
(7 st )1/ 4 7 4
7, 7 Radicación
algebraica
irracional
91
OM
exponente fraccionario.
e) VERDADERO. Es una expresión algebraica fraccionaria porque las
indeterminadas r y s figuran como divisores en un cociente.
Actividad 6
A. El valor numérico de la expresión algebraica s 5 2 s 3 3s s 2 para s = 2 es:
.C
d) – 18
Si reemplazamos en la expresión s por 2 nos queda: - (2)5 + 2. (2)3 – 3.2+ (2)2 = -18
DD
16 x 4 y 8 3z
B. El valor numérico de la expresión algebraica para x =1/4,
(4 xy 8 z )
y = ( – 1/2) – 1 y z = – 2 es:
c) 5/7
LA
Actividad 7
las indeterminadas.
c) FALSO. Constituyen monomios homogéneos de grado 4.
d) FALSO. Luego de reducir términos semejante, el mayor exponente con el que
figura la indeterminada x en la expresión es 3, el grado del polinomio en la
indeterminada x es 3
92
Actividad 8
Coeficiente Término ¿Está ¿Está
Polinomio Grado
principal independiente ordenado? completo?
v 3 v 3v 3 2v 2 2v 3 6 2 2 -6 No Si
3 3 3
3y y 4y 3 0 No No
2 2
7 x 4 4 12 x 5 x 3 2 x 2 4 7 -4 No Si
11z 7 9 z 2 7 z 9 5 9 7 -5 No No
OM
Actividad 9
a) VERDADERO. Por ejemplo, -6 x4 y + 8 x4 y = 2 x4 y
b) FALSO. El grado de la suma de dos polinomios de igual grado es menor o igual
al grado de los polinomios sumandos.
c) VERDADERO. Dados los monomios 6x4y y 8 x2y4, la suma de los mismos es el
.C
polinomio 6x4y + 8 x2y4
d) FALSO. El grado de la suma de dos polinomios de distinto grado es igual al
grado del polinomio de mayor grado de los sumandos.
e) VERDADERO. P(x) +[– P(x)] =0.
DD
f) FALSO. La suma de polinomios cumple la propiedad conmutativa y la
propiedad asociativa.
P(x) + Q(x) = Q(x)+ P(x)
[ P(x)+ Q(x)] + R(x) = P(x) +[Q(x) + R(x)]
LA
Actividad 10
89 4 2 46 3 Grado 6
b) a x - a x - 5 a2 – 6
20 5
2 3 22 2 9 Grado 3
c) - x - x -2x+
3 5 5
Actividad 11
93
Actividad 13
OM
26 4 14 4 3
a) P(x) + Q(x) + R(x)= x 3x 3 x 2 x
5 3 5 4
24 4 6
b) P(x) – R(x)= x 3x 3 4 x 2 x
5 5
26 4 10 4 3
c) P(x) –Q(x) + R(x)= x 3x 3 x 2 x
5 3 5 4
.C
d) R(x) + Q(x) –P(x)=
24 4
5
14 6
x 3x3 x 2 x
3 5
3
4
DD
Actividad 14
Actividad 15
FI
1 3 3 2
a) a b c
12
b) m9 n2 p8
3 4 1 3 9 2 3 1
c) x5 x + x x x
2 5 10 10 5
3 2
d) 30 y + 19 y – 1
e) 25 x6 4
Actividad 16
143 3 10 2 3 15
a) P(x) . Q(x)= 2 x 5 x x x
60 3 20 4
1 2 17 2 3 3
b) Q(x) . R(x)= x 4 x 3 x x
6 3 48 4 16
3 4 29 2 101 5
c) P(x) .R(x) = x5 3 x 4 x 3 x x
4 5 20 20 4
94
Actividad 17
a) (a + b)2 = a2 +2ab +b2
b) (a b)2 = a2 2ab +b2
c) ( a + b)2 = a2 2ab +b2
d) ( a b)2 = a2 +2ab +b2
Actividad 18
a) (2a + b)3 = 8a3 + 12 a2 b + 6 a b2 + b3
b) (2a b)3 = 8a3 12 a2 b + 6 a b2 - b3
OM
c) ( 2a + b)3 = 8a3 + 12 a2 b 6 a b2 + b3
d) ( 2a b)3 =8a3 12 a2 b 6 a b2 - b3
Actividad 19
3 2
a) FALSO. Resolviendo la expresión ( –3 a – a ) , se obtiene como resultado
2 6 4
.C
9a +a +6a
b) FALSO. El resultado de elevar el binomio (7 + x) al cuadrado es x2 + 49 +
14x.
c) FALSO. Al resolver la expresión ( 2 y + 3)2, se obtiene como resultado
DD
2y2 + 9 +6 2 y.
1
d) FALSO. Si se eleva al cubo la expresión t 5t 2 , se obtiene
2
1 15 4 75 5
t 3 125t 6 + t t .
8 4 2
LA
Actividad 20
1
FI
a) Cociente = x
5
1 2 1
b) Cociente = t7 - t2 +
9 9 27
2
c) Cociente = 6 x - 12 x + 44 Resto = - 129 x + 134
3 5 3
d) Cociente = y2 - y+ Resto = -
2 4 8
3 2
e) Cociente = 6 x + 6 x - 10 x - 28 Resto = 5 x + 80
f) Cociente = 6 a4 - 2 a2
95
Actividad 22
OM
a) VERDADERO. Por ejemplo 80 t z12 : 20 t z10 = 4z2
b) FALSO. La división de polinomios no cumple la propiedad conmutativa.
1
c) FALSO. El resultado es pero se trata de una expresión algebraica
2a 3 b
fraccionaria.
d) VERDADERO.
.C
a. Por ejemplo, 100a5b + 10a4b2 + a2b2 : 10 ab2 =10 a4b-1 a3
e) FALSO. El grado del polinomio cociente es la diferencia entre el grado
1
10
a
DD
del dividendo y el grado del divisor.
Actividad 23
2
a) C(x)= – 2 x - x -7 R(x)= -19
b) C(x)=5 y3 + 10 y2 +22y+ 41 R(x)= 88
LA
4 3 2
c) C(x)= -4 x + 2 x + x – x+2 R(x)= -2
Actividad 24
1 3 1
a) FALSO. La división ( m + 2 m – m2 + 2) : (m – ) puede resolverse aplicando
FI
2 2
Regla de Ruffini. El divisor es de la forma x a, siendo a una constante del conjunto
1 3 13 45
de Números Reales. C(m) = m 2 m y R(m) =
2 4 8 16
Actividad 25
a) FALSO. El resto de dividir (4 x + 5 x3 – 3x2 – 1) por (x – 3) es R(x)=119
b) FALSO. Para aplicar el Teorema del Resto no es necesario que el polinomio
dividendo esté completo y ordenado.
3
c) FALSO. El resto de dividir (5 t + 2) por (t + 2) es -38.
96
Actividad 26
Dividendo Divisor Resto Valor de a
x2 + x – 1 x – 2 a 5
– 4x – 3 x – a 7 -5/2
x3 – 9 x – 3 a 18
x4 – 5 x + a x – 1 0 4
Actividad 27
OM
a) El resto de dividir ( 2 x 3 3 x 2 x 4 )por ( x 1 ) es R(x) =2 (-1)3-3 (-1)2 – (-1) +
4 = 0. Por lo tanto si es divisible.
b) El resto de dividir ( 6a 2 3a 3 )por ( 1 a ) es -6. Por lo tanto no es
divisible.
Actividad 28
.C
a) No tiene factor común
b) z (z + 3)
c) No tiene factor común
DD
1 2 2 2 1
d) y ( y y 4)
3 3 2
2 2
e) 3t (1 -5t + 2t)
f) No tiene factor común
LA
Actividad 29
a) (x+1)(x-1) (3 x + 1)
b) (y2 + 1) (y + 1)
c) 10 (2 - t) (s - 3)
d) (9 p + 2 a) (2 p2 - b)
FI
e) (m + a) (m - b)
1
f) (3a2 + b2 – ab) (a5 – 2b3)
3
Actividad 30
a) No es trinomio cuadrado perfecto.
b) (8+ y ) 2
c) No es trinomio cuadrado perfecto
d) (ab + 1)2
e) (y – 6z )2
Actividad 31
a) (2 x - 3 y)3
b) (x - 3 y)3
97
OM
Actividad 32
5 2 2 2 5 2 2 2
a)
a b x y a b x y b) (x3+8) (x3-8)
2 3 2 3
c) 9 (x - 4) (x + 4) d) (59 + 58) (59-58)
Actividad 33
a) .C
FALSO. x2 + 6x + 9 = (x + 3 )2
DD
b) FALSO. x2 – y2 = (x – y ) (x + y )
c) FALSO.– x2 + y2 = (y – x) (y + x)
d) VERDADERO. x4 – 16 = (x2 + 4) (x2 – 4)
e) FALSO. (x – y)2 = (x2 –2xy + y2)
f) FALSO. 100 – x4 = (10 + x2) (10 – x2)
LA
Actividad 34
FI
a) 81 y4 - z4 = (3 y - z) (27 y3 + 9 y2 z + 3 y z2 + z3)
81 y4 - z4 = (3 y + z) (27 y3 - 9 y2 z + 3 y z2 - z3)
5 4 3 2
b) b - 32 = (b - 2) (b + 2 b + 4 b + 8b + 16)
c) a6 - 1 = (a - 1) (a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1)
a6 - 1 = (a + 1) (a5 - a4 + a3 - a2 + a - 1)
1 1 1 1 1 1
d) p5 - = (p - ) (p4 + p3 + p2 + p+ )
243 3 3 9 27 81
e) x3 z3 + b3 c3 = (x z + b c) (x2 z2 - x z b c + b2 c2)
27 3 9 15
f) a3 x3 - 125 z3 = ( a x - 5 z) ( a2 x2 + a x z + 25 z2)
64 4 16 4
98
Actividad 35
a) (x - 2) (x + 2) (z2 + x2) e) 100 a2 (2 a2 + b)2
b) (x - 3) (x2 + 3 x + 9) f) (1 + m) (1 - m + m2 - m3 + m4)
1 g) (x + y)2 (x + 2)
c) a (a - b) 2 (a – 1) h) (x - 2)3
5
2 2
d) (a - b) (a + b) (a + b )
Actividad 36
OM
a) 3(x -5)(x +5) c) 3(x +1)(x +1)
b) x (x +2) (x -2)
d) 7 x
12
7
Actividad 37
.C
a) Sabiendo que las raíces del polinomio son 1,3 y -2, podemos establecer que
su descomposición factorial responde a la siguiente estructura:
P(x) = a(x -1) (x -3) (x +2) (*) y como P(2) = 2 tenemos que 2 = a(2 -1) (2 -3) (2 +2).
1
Por lo tanto a = . Reemplazando a por su valor en (*) y operando se obtiene
DD
2
1 5
que: P(x) = x 3 x 2 x 3
2 2
9 11
b) Q(x) = x 3 x 2 x 30
2 2
LA
2
c) R(x) = x 3 x 2
Actividad 38
Coeficiente Descomposición
FI
Polinomio Raíces
Principal Factorial
x2 + x -6 1 2, – 3 (x – 2) (x + 3)
2x2 + 2x -12 2 2,-3 2 (x – 2) (x + 3)
-3x2 -3x +18 – 3 2, – 3 -3(x – 2) (x + 3)
En el Aula Virtual, en la
sección “Recursos y
Materiales” encontrarás
la resolución de uno de
estos polinomios.
99
ii) ¿Cuál de las siguientes expresiones está definida para cualquier valor
de la indeterminada x?
x2 4
b)
8
Actividad 40
OM
x 1 2
a) b)
x x7
En el Aula Virtual, en
la sección “Recursos y x 1 x
c) d)
Materiales”
encontrarás la
resolución detallada al
ítem e) de esta
actividad. .C e)
x2
x 1
x( x y )
f)
x5
xa
2x
DD
g) x + a h) x4 - x2 + 1
Actividad 41
LA
a) VERDADERO
2x 4 4x
b) FALSO. 2
x2 x2
c) VERDADERO
FI
x 4 16 4x x 2 2x x2
d) FALSO . .
x 4 4 x 2 x 4 2 x 8x
2 4 2
x2
e) VERDADERO
x2 4 2x 1 x2
f) FALSO. 2 . 2
x 4 x x 2 x x 1 x( x 1)
g) VERDADERO
x4 1 3x 1 x2 1
h) FALSO. 2 :
7x 7 7x 7 / 3 3
i) VERDADERO
5
j) FALSO.
3
100
Actividad 42
1 6
a) b)
a3 x( x 3)
xa 4
c) d)
xa x
r 1 8
e) f)
r2 2 z 3v
OM
g) y + 4
Actividad 43
1 2
E P
3
X O P U E S T O S
4
R A
C
C
.C
I O N A L
I
DD
5
T N I
6
A H O M O G É N E O S
7 8 9
M D T C C
10 11
R U F F I N I E R O D O S
LA
12
O P C I M N
E O N P J
N N O L U
FI
D S M E G
13
D I S T R I B U T I V A
E A O O D
14
N N O
E
T T N S
15
S E M E J A N T E S
S E
R
16
I R R A C I O N A L
101
OM
Ejercicio 2
Ejercicio 3
b = 6/5
Ejercicio 4
.C
DD
1 149
a) P ( 1) 8,6 b) Q ( )
5 75
c) R (0,30) 3,495 d) T ( 2) 18
Ejercicio 5
LA
a) 7 x 3
b) El resultado obtenido no es un polinomio, puesto que la indeterminada se
encuentra afectada por un exponente no entero, sino fraccionario
(radicación).
FI
Ejercicio 6
Ejercicio 7
c) ( y 2 1).(2 y 2 2 y 3)
d) a15 – 3 a10 + 3 a5 – 1
102
Ejercicio 8
a) –3 x3 +2 x2 + 2 x
b) 10 x3 –10 x2 – 1
6
c) x +5
Ejercicio 9
Grado del
Cociente Divisor Dividendo
Dividendo
OM
7 – y6 – 3 y2 + 2 y3 – 4 - 2 y9 + 3 y8 + 4 y6 + 14 y3 - 21 y2 - 28 9° grado
Ejercicio 10
.C
que
P(x) = ( x 5 3 x 3 x 2 2 x 1) : ( x 3 2 x 1) . Efectuando la división obtenemos el
binomio buscado P(x) = x 2 1 .
DD
b) De acuerdo al enunciado P(x) : ( x 2 3 x 5) . = (2 x 2 x) , por lo que
P(x) = ( x 2 3 x 5) . (2 x 2 x) Efectuando el producto obtenemos el polinomio
buscado P(x) = 2 x 4 7 x 3 13 x 2 5 x .
c) P(x) = x 3 2 x 1
LA
Ejercicio 11
Ejercicio 12
Ejercicio 13
a) x2 + 40 x + 400 b) x2 + 81 + 18 x c) 25 + 10 x + x2
103
OM
x 1 x2 x 1
f) 125 ( )( )
4 3 16 12 9
2 2 2 2
g) (2a b)(2a b)(4a 2ab b )(4a 2ab b )
Ejercicio 15
.C
Descomposición factorial
Grado del
polinomio
Raíces
Coeficiente
principal
DD
1
– 5 (x+ 1) (x + )(x +3) (x –2) 4 -1, -1/4,-3,2 -5
4
1
( x 3)( x 3)( x 5) 3 3, 3 5 -1/3
3
LA
Ejercicio 16
a) a = 2 b) x2 = - 11/2
FI
Ejercicio 17
1
a) P(x) = ( x 6)( x 1) b) Q(x) = 2 x( x 3)( x 2)
3
Ejercicio 18
(4 x 2 36)(2 x x 2 1)
a) VERDADERA. 4( x 3)( x 1)
x2 4x 3
4( x 2 9) ( x 1) 2 4( x 3)( x 3) ( x 1)2
4( x 3)( x 1)
x 2 3x x 3 ( x 1)( x 3)
104
b) VERDADERA.
Ejercicio 19
b x2
a) b)
( x b)( x b) 8x
(5 x 1)( x 1)
OM
c) 1 d)
x2
Ejercicio 20
2
a) b) 0
x 2 x
c)
1
2
.C d)
1
5x 9
DD
x 1
e)
x 3
Ejercicio 21
LA
Como los números que figuran dentro del paréntesis son enteros, su suma
también lo es. Si llamamos s a esa suma queda 2 (x + y +1) = 2 s.
“2 s” es la expresión de un número par, ya que s es entero. De esta manera hemos
demostrado que al sumar dos números impares siempre obtenemos un número par.
105
Objetivos específicos
Conceptualizar y reconocer el valor de las Ecuaciones e Inecuaciones
como modelos matemáticos que posibilitan representar y solucionar
OM
problemas.
Lograr que el estudiante adopte e identifique la forma matemática
adecuada para encontrar la solución en cada situación
Analizar las ecuaciones en una variable, distinguiendo las
particularidades de las ecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias y
sus técnicas de resolución.
Plantear problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales y
.C
presentar técnicas para su resolución.
DD
Contenidos
Ecuaciones: Ecuación lineal con una incógnita. Ecuación cuadrática con una
incógnita: Ecuación de segundo grado incompleta, Propiedades de las raíces de
LA
Desafío 3
108
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
INTRODUCCIÓN
Si analizamos el siguiente chat de
WhatsApp, podremos observar que José y
su amigo tienen una mirada distinta de la
misma realidad.
Posiblemente, nos podría interesar
conocer con cuánto dinero cuenta cada
uno de ellos. Este problema no será difícil
de resolver, tendremos que estar atentos
a los conceptos y explicaciones que se
OM
presentan en esta revisión sobre
ecuaciones, las que constituyen el tema
central de la unidad.
La matemática surgió por la necesidad
del hombre de resolver problemas
concretos, de diferente naturaleza, y para
los que a menudo existen formas
.C
alternativas de resolución.
En general, distintas culturas, desde la
antigüedad intentaron dar solución a
situaciones cotidianas a través del uso de
DD
ecuaciones.
Ecuaciones Inecuaciones
LA
Planteo
Clasificación
FI
Resolución
Lineales
Sistemas lineales
Cuadráticas
Fraccionarias
Clasificación
1. ECUACIONES
Habitualmente escuchamos o leemos frases como las siguientes:
“El gasto público del estado nacional aumentó este año un 18% respecto
al año anterior”
“El total de contribuyentes adheridos al plan de pagos propuesto por la
AFIP, las últimas tres semanas, ascendió a 25.300”
“Dos tercios de los trabajadores del sector gastronómico se encuentran
registrados”
“El índice Nikkei de Japón cerró en -2% respecto al día anterior”
109
Por ejemplo:
SIGNIFICADO DE LAS
SITUACIÓN EXPRESIÓN SIMBÓLICA
INCÓGNITAS
El gasto público del
OM
“x” simboliza el gasto
estado nacional
público del año anterior
aumentó este año un 18 e “y” el gasto público
18% respecto al año y x x
100 del año actual
anterior
El total de
“x”, “y” y “z”
contribuyentes
representan la cantidad
adheridos al plan de
de contribuyentes
.C
pagos propuesto por la
AFIP, las últimas tres
semanas, ascendió a
25.300
x y z 25.300
adheridos al plan de
pagos en cada una de los
tres últimas semanas
DD
“y” simboliza los
Dos tercios de los trabajadores del sector
trabajadores del sector gastronómico y “x” la
gastronómico se 2 cantidad de esos
x y
encuentran registrados 3 trabajadores que se
encuentran registrados
LA
2 x2 x 3
110
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Actividad 1
Exprese en lenguaje algebraico cada una de las siguientes frases,
definiendo claramente la o las incógnitas:
OM
d) Del total de operaciones de venta realizadas en un comercio en un
día, un tercio se realizaron con tarjeta de débito, el 20% de las
restantes con tarjeta de crédito y 240 operaciones se realizaron en
efectivo.
e) El producto de tres números naturales consecutivos es igual a 336.
.C
de expresiones algebraicas, para encontrar su solución.
Resolver una ecuación significa encontrar los valores de las incógnitas que
DD
verifican la igualdad.
Las raíces o soluciones de una ecuación son aquellos valores de las incógnitas
que satisfacen la ecuación planteada.
x3 7
luego de observarla unos instantes y pensando. . . ¿cuál es el número que
sumado a 3 nos da 7?, podremos deducir que el único valor que sumado a 3
FI
Actividad 2
Establezca si los valores indicados son solución de las ecuaciones
propuestas:
111
OM
siguientes ecuaciones sólo observándolas?
1 1 4 3x 4 4
2 x2 3 7 x ; 5 x 24 x ; 15 x
2 3 3 7x 5
Necesitaremos algunas herramientas y estrategias para encontrar dichas
raíces. Para ello, puede sernos de utilidad reconocer distintos tipos de
.C
ecuaciones.
Si observamos las igualdades anteriores, podemos notar que cada una de
ellas tiene una sola incógnita, representada en este caso por la letra x, y de
acuerdo con su estructura recibirán distintos nombres, como ecuaciones
DD
lineales, cuadráticas, fraccionarias, logarítmicas, trigonométricas, etc.
Nuestro objetivo inmediato será analizar cómo plantear y resolver tres clases
de ellas: las ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas y las ecuaciones
fraccionarias.
LA
112
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
10 x 25.000
OM
Si el Departamento de Marketing dispone $80.000 que quiere utilizar
totalmente resulta que:
10 x 25.000 80.000
esta ecuación es la que representa algebraicamente el problema planteado
y que nos permitirá determinar el número de segundos de publicidad radial que
podrán contratarse.
.C
La ecuación que hemos obtenido se denomina lineal y se define de la
siguiente manera:
DD
Una ecuación lineal o de primer grado en una variable “x” es aquella que
puede ser expresada de la siguiente forma:
a x b 0
Podemos:
1. Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma
expresión.
2. Multiplicar ó dividir ambos miembros de la igualdad por una constante no
nula.
113
10 x 55.000
hemos obtenido una ecuación más sencilla pero aún no hemos encontrado el
valor de la incógnita.
OM
Podemos ahora dividir por 10 ambos miembros de la igualdad:
10 x 55.000
10 10
simplificamos numerador con denominador en cada miembro de la igualdad
.C
Finalmente:
10 x 55.00 0
10
10
DD
x 5.500
Esto nos permite afirmar que el Departamento de Marketing podrá
contratar 5.500 segundos de publicidad radial.
114
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
"Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro", "Lo
que está multiplicando pasa dividiendo". etc. Estas reglas no son del todo
incorrectas ya que, en cierta medida, constituyen una forma abreviada de las
operaciones enunciadas, el problema está en la forma indiscriminada o errónea
en que se las utiliza.
Actividad 3
OM
a) 8 x 1 x 3 2 x 4 x 2 b) 3x 6 32 x 2 x
1 5 2z 3 3 5 2z
c) 3x 5 2 x 4 d) z z
2 2 4 2 4
x x 1 x 2 3 2u 3 2 5u u
e) f) 1
5 2 5 4 4 2
g)
.C1
3
1 2
(2y + 1) + y = (1 - 2y) - 4
2 5
DD
Para plantear un problema algebraicamente seguimos una serie de pasos
que es importante tener presente:
Podemos:
1. Leer el problema las veces que sea necesario hasta comprender su
enunciado.
LA
Actividad 4
Plantee y resuelva los siguientes problemas:
115
3(2 x 5) 8 6 x 7
OM
Aplicamos propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma
algebraica en el primer miembro:
6x 15 8 6x 7
Operamos en el primer miembro:
.C 6 x 7 6x 7
Sumamos –6 x en ambos miembros:
DD
6 x 7 (6 x ) 6 x 7 (6 x)
Resolvemos:
Cuando resolvemos una ecuación y en
7 7 ese proceso llegamos a una identidad,
podemos afirmar que la ecuación se
verifica para cualquier valor de la
LA
incógnita.
Hemos llegado a una identidad, es decir que cualquier valor que demos a x
será solución de la ecuación. En este caso el resultado obtenido indica que la
ecuación tiene infinitas soluciones.
FI
3(2.2 5) 8 6.2 7
3(4 5) 8 12 7
3 8 12 7
55
Pero también es solución x = 1/3:
1 1
3(2. 5) 8 6. 7
3 3
2 15 8 2 7
5 5
También puede suceder que al resolver una ecuación, nos encontremos con
otro tipo de situación.
116
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Por ejemplo:
1 1
4 x 6 7 16 x
2 4
Resolvemos las operaciones indicadas en el segundo miembro de la
igualdad:
1 7 16
4x 6 x
2 4 4
Simplificamos y operamos:
OM
1 17
4x 4x
2 4
Sumamos en ambos miembros – 4 x
1 17
4 x 4 x 4 x 4 x
2 4
.C
Resolvemos y obtenemos:
1 17
Cuando resolviendo una ecuación llegamos a
una contradicción, no existe ningún valor de la
incógnita que verifique la igualdad planteada.
DD
2 4
2. Infinitas soluciones.
3. Ninguna solución.
Actividad 5
FI
2 8x 1
a) 5 4x b) 2 x 7 2 x 1 9
4 2
1 1 5x 1 5 8 1
c) x 3 x d) 5 x 3 x 6 2 x 3
2 6 2 6 3 4
117
x +2
OM
El lote tiene una superficie de 80m2
La superficie de un rectángulo se obtiene multiplicando el largo por el
ancho.
.C
Pero si sabemos que la longitud del largo es 2 metros mayor que el ancho,
podemos expresar que y = x 2
DD
Entonces:
Superficie x x 2
x x 2 80
LA
Si la resolvemos, podremos encontrar la longitud del largo y del ancho del lote.
Comencemos aplicando propiedad distributiva en el primer miembro:
x 2 2 x 80
FI
ó en forma equivalente:
x 2 2 x 80 0
En uno de los términos x está elevada al cuadrado, por lo cual esta ecuación
no es lineal sino que la denominamos cuadrática.
a x2 + b x + c = 0
donde “a” , “b” y “c” son constantes y “a” es distinta de cero.
En el caso de la ecuación:
x 2 2 x 80 0
a 1 b2 c 80
118
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
En base a los ejemplos podemos observar que esta clase de ecuación tiene
por requisito que la variable o indeterminada, “x”, se presente elevada al
OM
cuadrado, pudiendo estar o no presentes la potencia uno o la cero.
Actividad 6
.C 2
a) 2 x 3 4 x
8
ECUACIÓN a b c
DD
b) 2 x 3x 2 7 x
3
2 12
c) 5 x x 3 x 2x2
5
d) 3 x x 2 2 7 x x 2 3 x 3 x 3
LA
Actividad 7
a) 3 x 1 2 x 9 x 2 5 b) x 5 3 x 2 1
2 2
2x 4 x x 1
2
c) x 2 7 x 5 x
2
d) 5
8 2
x 2 x x 1 3x 2 1
e)
3 2
b b 2 4ac
x
2a
119
OM
2 22 4.1. 80
x
2.1
Resolvemos la operación de potencia y los productos del radicando y del
denominador:
.C x
2 4 320
2
DD
Restamos en el radicando:
2 324
x
2
2 18
x
2
Para continuar, debemos considerar que es necesario sumar y restar 18, por
lo tanto tendremos dos resultados distintos:
FI
2 18 2 18
x1 x2
2 2
Resolviendo:
16 20
x1 8 x2 10
2 2
82 2 8 80 0 10 2 10 80 0
2
64 16 80 0 100 20 80 0
120
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
OM
Si analizamos la fórmula de cálculo de las soluciones de una ecuación
cuadrática:
b b 2 4ac
x
2a
observaremos que en la misma está involucrada una raíz cuadrada, con ello
.C
el valor y la naturaleza de las raíces dependerán del valor del radicando
b 2 4.a.c el cual se denomina discriminante.
DD
¿Por qué es importante su valor? Porque el resultado que arroje,
determinará el tipo de raíces de la ecuación.
Veamos un ejemplo:
2 x 2 4 x 30 0
FI
4 4.2. 30
2
(4)
x
2.2
4
4 16
x
4
4 16 4 16
x1 x2
4 4
Resolviendo:
x1 3 x2 5
Ejemplo:
x2 6x 9 0
121
6
2
6 4.1.9
x
2.1
resolvemos en el radicando y en el denominador:
6 36 36
x
2
OM
al resolver el radicando, nos arroja como resultado 0, cuya raíz es también 0
6 0
x
2
Por lo tanto:
60
x
2
.C
al sumar 0, obtenemos una única solución, que en este caso es 3, y ese es el
valor de ambas raíces:
6
DD
x 3
2
x1 3 y x2 3
c) b 2 4.a.c 0 En este caso obtendremos dos raíces complejas y entre
sí conjugadas.
LA
Ejemplo:
1 2
x 3x 9 0
2
FI
1
3
2
3 4. .9
x 2
1
2.
2
resolvemos:
3 9 18
x
1
3 9
x
1
Como la raíz cuadrada de número negativo no tiene solución en el conjunto
de los números reales, debemos recurrir a los números complejos para obtener
el valor de las raíces de este tipo de ecuaciones.
Dado que:
9 3i
122
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
5 2 15 45
a) x 2 2 x 3 0 b) x x 0
OM
4 2 4
c) 2 x 4 x 3
2 2
d) x 2 4 x 8 0
e) x x 1 x 3 x 2 f) 3x 2 x 5 4 x 3
3
2 2 5
g) x 2 x 1 x 2
2
h) x x x 1
3 3
i)
.Cx2 2
3
x
3
1
3
j) x 2 6 x 55
DD
Actividad 9
Actividad 10
123
OM
a
y para que se verifique la igualdad debe
de la cual obtenemos:
ocurrir que x = 0 ó (a x + b) = 0.
De esto se deduce que las soluciones
son: c c
x1 x2
b a a
x1 0 x2
a
.C
Importante: en estos casos (1 y 2) puede utilizarse también la fórmula
general, que permitirá llegar al valor de las raíces de estas ecuaciones
incompletas. La ventaja de estas expresiones es que los cálculos son más
DD
sencillos.
Actividad 11
a) 3 x 2 5 x 0 b) 4 x 2 10 26
c) x 2 x d) 25 x 2 4 0
FI
124
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Veamos un ejemplo:
Dada la ecuación:
2 x 2 6 x 4 0
Donde:
a 2 , b 6 y c 4
Y sus raíces son:
x1 2 y x2 1
OM
x1 x2 2 1 3 y
b
6 3 , se verifica la Propiedad 1
a 2
c 4
x1 . x2 2 1 2 y 2 , se verifica la Propiedad 2
a 2
.C Actividad 12
DD
Si la ecuación: 3x b x 2 1 0 , tiene como raíces dos números que
2
Actividad 13
LA
Actividad 14
Si contamos con la siguiente información de una ecuación cuadrática:
a 3 b 15 x1 4
Actividad 15
125
a) a 2, b 2 b) a 2, b 8
OM
c) a 2, b 8 d) a 8, b 8
.C
“Un grupo de amigos contrata un ómnibus para viajar a un casamiento. El
importe total a pagar al propietario del ómnibus es $400, sin importar la
cantidad de pasajeros. Si deciden viajar 10 personas más de las inicialmente
interesadas, el precio para cada pasajero disminuye en $2. ¿Cuál es la cantidad
DD
de pasajeros interesados originariamente?”
Definimos la incógnita:
400
FI
x
Al agregarse 10 pasajeros, el mismo costo se distribuye en más personas:
400
x 10
400 400
2
x x 10
400 400
2 0
x x 10
126
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
400 x 10 400 x 2 x x 10
0
x x 10
2 x 2 20 x 4000
0
x x 10
OM
Una ecuación fraccionaria en una variable x es aquella que puede ser
expresada de la siguiente forma:
P ( x)
0
Q ( x)
.C
donde P(x) y Q(x) son polinomios en x y Q(x) es distinto del polinomio nulo.
2 x 2 20 x 4000 0
FI
que son:
x1 50 x2 40
Remplazamos a x por x1
50(50 10) 0
Hacemos lo mismo para x2
40 40 10 0
127
OM
0
x x 2
6 x 2 2 x 3x 6
0
x x 2
x2 x
0
x x 2
.C
Si analizamos el numerador observamos que tiene por raíces los valores 0 y –1.
Por otra parte resulta que si x 0 el denominador se anula:
DD
0 0 2 0
x2 x
0
x x 2
simplificando:
Aprovechando nuestros
conocimientos de x x 1
factoreo, hemos 0
encontrado la misma x x 2
128
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Actividad 17
2x2 5x 3x x 6 2
a) 2 b)
2
4x 1 2x 1 x 1 4 x x 1 4 x
x2 1 5 3
c) 1 d) 2
x 1 x 1 x 1
OM
3x 4 3x 5 12
e) 2
x 2 x 4 x 2x 8
.C
Te invitamos a ver un
video sobre el tema en
el Aula Virtual, en
Pasos para resolver una ecuación fraccionaria:
recursos y Materiales de 1.…………………………………………………………………………………………………………..…
la Unidad 3.
DD
………………………………………………………………………………………………………………..
2.……………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
3.………………………………………………………………………………………………………………
LA
………………………………………………………………………………………………………………..
4.……………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
FI
Actividad 18
Actividad 19
129
OM
consecuencia el dinero correspondiente al otro se puede expresar como 3 x (el
triple).
De esta manera:
x 3x 600
Es decir, arribamos a una única ecuación con una incógnita.
No obstante, también podríamos haber definido dos incógnitas, donde cada
.C
una de ellas es el importe que corresponde a cada uno de los personajes:
x y 600
DD
En este caso hemos obtenido una ecuación lineal con dos incógnitas, donde
x representa el dinero que tiene el personaje 1 e y el importe que tiene el
personaje 2.
Una ecuación lineal con dos incógnitas es aquella que tiene la siguiente
estructura:
LA
ax by c
donde a, b y c son constantes, con a y b distintas de cero.
Por ejemplo:
x 220
y 380
O también:
x 25,50
y 574,50
130
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
y 3x
Por lo tanto ya no tenemos una ecuación, sino que necesitamos utilizar dos
a los fines de expresar algebraicamente toda la información del problema, el
planteo correspondiente será:
x y 600
y 3x
OM
Esto es lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales, en este caso
de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya definición es la siguiente:
.C
donde a, b, c, d, e, y f son constantes.
obteniendo una ecuación lineal con una única incógnita, la cual una vez
resuelta nos permite obtener el valor de la otra incógnita mediante el simple
reemplazo en alguna de las ecuaciones dadas.
x y 600
y 3x
y 3x
Reemplacemos el segundo miembro de esta igualdad en la primera ecuación
por la incógnita y:
x 3x 600
4 x 600
obtendremos
600
x
4
x 150
131
y 3x
y 3 150
y 450
OM
siguiente forma:
(x , y) = (150, 450)
Al tener solución, se dice que el sistema es compatible, y al ser una única
se dice que es compatible determinado.
.C
Un sistema de ecuaciones lineales se dice compatible determinado cuando
posee una única solución.
1
x 5y 5y 3 5y
2
y resolvemos en el primer miembro :
1
x 3 5y
2
multiplicamos por 2 en ambos miembros:
1
2 x 2 3 5 y
2
simplificamos en el primer miembro y distribuimos en el segundo:
1
2 x 6 10 y
2
de esta manera hemos despejado el valor de x en términos de y:
x 6 10 y
132
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
x 6 10 y
2
3 6 10 y y 4
OM
3
En esta nueva ecuación tenemos una sola incógnita, y, por lo tanto puede
ser resuelta como una ecuación lineal con una incógnita:
.C 18 30 y
2
3
y 4
DD
restamos 18 en ambos miembros de la igualdad:
2
18 30 y y 18 4 18
3
LA
2
30 y 22
3
resolvemos la suma:
90 2
y 22
3
88
y 22
3
3
multiplicamos ambos miembros por
88
3 88 3
y 22
88 3 88
133
OM
3
x 6 10
4
simplificamos y multiplicamos:
15
x 6
.C
resolvemos la resta:
3
2
DD
x
2
1
2 x 5 y 3
LA
3x 2 y 4
3
3 3
x, y = ,
4 2
Actividad 20
134
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Actividad 21
OM
sueldo de cada administrativo es $600 y el de cada operario es $700 y el
total pagado en sueldos del mes fue $12.100 ¿Cuántos administrativos y
cuántos operarios tiene la empresa?
c) Una empresa de transporte compró 4 colectivos modelo T y 2 modelo P,
con un costo total de 290 (miles de pesos). Un mes después compró 5
modelo T y 1 modelo P abonando 295 (miles de pesos). ¿Cuál es el precio
de cada modelo en miles de pesos?
.C
d) Un fabricante de alimentos para cerdos mezcla dos ingredientes, A y B,
para obtener el producto, en una proporción de tres kilogramos del
primero por un kilogramo del segundo. Si el precio de A es de $40 por kilo y
el de B es de $30, ¿Cuántos kilogramos de cada producto deben adquirirse
DD
si se cuenta con $4.500?
2007.
3 x 7 y 16
7 4
3 y 4 3 x
Al resolver un sistema, es más sencillo despejar aquella variable que tenga
en alguna de las ecuaciones coeficiente igual a 1, (siempre que ello sea
posible) como sucede con x en la segunda ecuación. Comenzamos allí,
7 4
y4 x
3 3
135
7 16
3 y 7 y 16
3 3
Cuando en el proceso de resolución hemos 7 16
considerado todas las ecuaciones y llegamos a 3 3 y 3 3 7 y 16
una identidad, diremos que el sistema tiene
OM
infinitas soluciones.
7 y 16 7 y 16
7y 7y 0
0y 0
Como podemos observar cualquier valor de y verifica esta igualdad, pues
cualquier número multiplicado por cero da por resultado cero y esto indica que
.C
estamos en presencia de un sistema que admite infinitas soluciones.
Llamaremos a este tipo de sistema compatible indeterminado.
Un sistema de ecuaciones lineales se dice compatible indeterminado cuando
posee infinitas soluciones.
DD
En este caso, existen infinitos pares ordenados que son soluciones del
sistema. Para determinarlos podemos darle a la incógnita y un valor cualquiera
y determinar el valor de x, a través de
7 16
LA
x y
3 3
En particular, si y asume el valor 3, x será:
7 16 16 37 37
x 3 x 7
FI
7 16 7 16
x 1 x por lo tanto 3; 1 es una solución
3 3 3 3
37
Estos dos pares, ;3 y 3; 1 son dos de los infinitos pares de números
3
reales que son solución de este sistema de ecuaciones.
7 16
y ; y donde y
3 3
136
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
16 3
x ; x donde x
7 7
En este caso le daremos valores reales a x y determinaremos los valores de
y que permitan formar pares de solución del sistema de ecuaciones.
Actividad 22
OM
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
1
3 x y 1 y 2 x 3 y 2
a) 2 1 b) 1 1 1
x 3 y 3 x y
.C
2 12 2
3 3
24 y 10 16 y
2 2
Resolvemos:
3
24 y 15 24 y Cuando en el proceso de
2 resolución de un sistema
de ecuaciones arribamos
3 a una contradicción, el
0 y 15 sistema no admite
2 solución
137
Determinado
Sistema Compatible (una única solución)
(Tiene solución)
Sistema de Indeterminado
Ecuaciones (infinitas soluciones)
Sistema Incompatible
OM
(No tiene solución)
Actividad 23
.C
2 x 5 y 29
1
7 x y 2
5
2 x
1
4
y
5
2
DD
a) b) 2 c)
2 x 5 y 1 2 x 5 y 14 1
5 x y 5
2
Actividad 24
LA
1 1
xy x 10 y 10
a) 2 b) 2
x y 6 x y 6
x 10 2 y 10 x 10 2 y 10
c) d)
x 6 y x 6 y
II. Una vez resuelto el problema, podemos indicar que las edades son:
a) Fabián 22 años y Marianela 16 años
b) Fabián 12 y Marianela 6
c) El problema tiene infinitas soluciones
d) El problema no tiene solución
138
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
OM
las tres áreas de la empresa, que pueden ser simbolizadas de la siguiente
manera:
.C
A partir del enunciado sabemos que el total de los empleados es 144, lo
que puede ser planteado a través de la ecuación:
x y z 144
DD
Hemos obtenido una ecuación lineal con tres incógnitas. Pero debemos
considerar el resto de la información que tenemos respecto de los empleados
de la empresa.
En primer lugar “El número de empleados del área de producción duplica al
de comercialización” puede expresarse simbólicamente:
LA
y 2z
x 8 z 8
Esta última ecuación refleja la transferencia de personal de un área a la
otra, pues el aumento de empleados en una de ellas se produce como
consecuencia de la disminución en la otra.
x y z 144
y 2z
x 8 z 8
139
y 2z
Con esa expresión, sustituimos a y en la primera ecuación:
x y z 144
x 2 z z 144
OM
Resolvemos:
x 3z 144
Despejamos el valor de x:
x 144 3z
.C
Resolvemos:
x 8 z 8
144 3z 8 z 8
DD
3z z 8 8 144
4 z 128
128
z
4
LA
z 32
Luego sustituimos el valor que obtuvimos para z en:
x 144 3z
x 144 3 32
FI
x 144 96
x 48
y 2z
y 2 32
y 64
x, y, z = 48;64;32
140
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Por arribar a una solución y al ser esta única, se indica que el sistema es
compatible determinado.
Actividad 25
2 x y z 1 x z 2 3x y z 4
a) x 3 z 4 b) 2 x 3 y 4 z 3 c) 5 x 2 y z 6
x y 3 0 3x y 2 z 11 x y 3z 0
OM
2 x 2 y 6
8 x 2 z 10
.C 6 x 2 y 2 z 4
Despejamos el valor de x en la primera ecuación:
DD
2x 2 y 6
2x 6 2 y
x 3 y
8 x 2 z 10
8 3 y 2 z 10
24 8 y 2 z 10
2 z 14 8 y
FI
z 7 4 y
6x 2 y 2z 4
6 3 y 2 y 2 7 4 y 4
Resolvemos:
18 6 y 2 y 14 8 y 4
44
3 y; y; 7 4 y , donde y
141
x 3 y 3 2 1
y 2 , entonces
z 7 4 y 7 4 2 1
OM
Actividad 26
2x y z 2 3 x y z 2
.C
a) 2 y z 0 b) x y 3
2 x 3 y 2 z 2 4 x z 5
DD
Por último, analicemos el siguiente ejemplo:
1 1
2 x 2 z 1
1
y x 1
LA
2
3 1 1 3
4 x 2 y 2 z 2
Despejamos el valor de z en la primera ecuación:
FI
1 1
x z 1
2 2
1 1
z 1 x
2 2
z 2 x
Despejamos el valor de y en la segunda ecuación:
1
y x 1
2
1
y 1 x
2
Sustituimos en la tercera ecuación z e y por las expresiones obtenidas:
3 1 1 3
x y z
4 2 2 2
142
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
3 1 1 1 3
x 1 x 2 x
4 2 2 2 2
3 1 1 1 3
x x 1 x
4 2 4 2 2
3 1 3 3
x x
4 2 4 2
1 3
OM
2 2
Hemos arribado a una contradicción, no existe solución y en consecuencia
el sistema es incompatible.
.C Actividad 27
3. INECUACIONES
3.1. Generalidades
Es común que en nuestra vida cotidiana nos expresemos haciendo uso de
FI
2.000”
“Gastaré a lo sumo $100 en un nuevo pantalón”
“El candidato a Intendente ganó con un porcentaje mayor al 40% de los
votos”
“Voy a tardar entre 30 ó 45 minutos en llegar”
143
OM
El candidato a Intendente ganó con
“x” es el porcentaje de votos
un porcentaje mayor al 40% de los
votos x 40% obtenido por el candidato
nuevo pantalón
.C
Gastaré a lo sumo $100 en un
x 100 “x” es el precio del pantalón
DD
Podemos observar que en todas estas expresiones simbólicas se presentan
relaciones de desigualdad.
verifica para algunos valores de sus letras, a las que denominamos incógnitas
144
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
0 x 100
En este caso no podemos enumerar todos los precios posibles ya que
estamos proponiendo como solución un subconjunto de los números reales y,
recordemos, es imposible enumerarlos correlativamente.
Cuando debamos indicar el conjunto solución de una inecuación, y la misma
OM
corresponda al conjunto de los números naturales, la solución podrá expresarse
enumerando todos los elementos:
7,8, 9,10
Dejamos puntos
suspensivos cuando el
o dejando indicado de la siguiente manera:
.C
conjunto sea lo
suficientemente grande
o imposible de
2001, 2002, 2003,...
completar su
enumeración.
DD
Cuando el conjunto solución corresponda a un subconjunto de los números
reales, no es posible expresarlo de la misma manera que para los números
naturales. En estos casos deberemos utilizar la notación de intervalos.
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Para describir los números reales que cumplen la condición:
1 x 4
145
OM
Para encontrar el conjunto solución de una inecuación con una sola
incógnita elevada a la potencia uno, seguiremos un procedimiento similar al
realizado para obtener la solución o raíz de una ecuación lineal, intentaremos
encontrar expresiones más sencillas a través de operaciones algebraicas.
Para resolver una inecuación, las operaciones que podremos realizar son:
.C
1. Sumar algebraicamente a los miembros de la desigualdad la misma
expresión.
2. Multiplicar ó dividir a los miembros de la desigualdad por una constante no
nula.
DD
Si el factor o el divisor es un número negativo, deberá invertirse el sentido
de la desigualdad.
x38
LA
x 33 83
FI
x5
Es posible graficar el conjunto solución y dado que hay una sola incógnita
nos bastará con señalar este conjunto sobre la recta real.
Usando x 5 de referencia, remarcaremos todos los puntos a la izquierda
del valor 5. Destaquemos que para indicar que 5 no pertenece a este conjunto
se suele usar un paréntesis, como se ve en el siguiente gráfico.
| )
0 5
Es decir que la solución esta dada por todos los números reales menores que
5. Si utilizamos la notación de intervalos, en este caso la solución es una
semirrecta que puede expresarse como un intervalo abierto que simbolizamos:
, 5
146
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
2 x 7 13 4 x
2 x 6 4 x
OM
Dividimos por 2 en ambos términos:
x3
El conjunto solución de esta ecuación está formado por todos los números
reales mayores que 3.
.C
En la recta:
|
0
|(
3
DD
En notación de intervalo se simboliza 3,
Por último, analicemos la siguiente inecuación:
8 3x 4
LA
3x 12
FI
Gráficamente:
| ]
0 4
Actividad 28
x
a) 1 2 x 2 x 5 b) 5 3 2x
2
x 1 x 4 2 3x
c) 2 x d)
2 3 3
147
Actividad 29
Actividad 30
OM
En el siguiente ejercicio con múltiples alternativas, señale la única
alternativa correcta, justificando su elección.
a) a
c) a 4
.C
4
3
b) a
d) a
4
3
4
DD
3
130 3,10x
93 3,10 x 775
Dividimos por 3,10
30 x 250
Con esta información podemos afirmar que el consumo de gas la familia se
encuentra entre los valores 30 m3 y 250 m3.
148
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
30, 250
Actividad 31
OM
hogar. En el proceso de producción se incurre en un costo diario de $500
para iniciar el proceso y $ 0,80 por litro de detergente fabricado. Si el
gerente de finanzas de la empresa ha establecido que se gaste diariamente
entre $1000 y $1200 en dicha producción ¿cuáles son los litros de
detergente que se podrán producir?
.C
Inecuaciones y valor absoluto
Es posible plantear inecuaciones utilizando el valor absoluto de un número y
expresando el conjunto de soluciones como un intervalo.
Comencemos con un ejemplo sencillo:
DD
x 4
4 x 4
4, 4
También es posible encontrarnos con un planteo como el siguiente:
x 4
Esto indica que son los números reales cuya distancia al cero es mayor o
igual a 4. Para este tipo de situaciones será necesario plantear dos
inecuaciones:
x 4 o x4
149
OM
nivel de ausentismo anual del personal varía de acuerdo a la siguiente
expresión:
x 4
2
3 3
.C
base a esta información se quiere determinar entre que valores se encuentra el
nivel de ausentismo del personal.
Para obtener la solución, expresemos la condición planteada como una
inecuación con tres miembros:
DD
4 x 4
2
3 3 3
Operamos:
2 x 10
3 3 3
LA
2 x 10
En notación de intervalos:
2,10
Actividad 32
150
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
x 180
>4
5
Se desea determinar explícitamente los niveles de colesterol en sangre que
se consideran anormales.
OM
varían de acuerdo a la siguiente expresión:
x
0 ,5 1
4
¿Bajo esta condición, entre que valores varían los errores de medición?
.C Actividad 33
Actividad 34
a) x + 2 > 5 b) 5 x - 2 > 8
FI
2 x 1
c) 3 x > 0 d) 3
2
151
x 9
pero también es necesario que:
x 9
9x 9
OM
Finalmente los valores de x que verifican la inecuación están reflejados en
la siguiente condición:
-3 < x < 3
Cuya expresión en notación de intervalos es:
3, 3
.C
Podríamos preguntarnos que sucede si la expresión es:
x2 9
DD
En tal caso corresponderá considerar que:
x 9 ó x 9
LA
x 3 ó x3
O en notación de intervalo:
, 3 3 ,
FI
Actividad 35
a) (x + 1)2 < 16 b) (2 x )2 81
c) (2x - 2)2 64 d) (3 x –3 )2 > 25
En el Aula Virtual, en la
sección “Recursos y
Materiales” encontrarás
un resumen de la
Unidad 3.
152
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
4. EJERCICIOS INTEGRADORES
Te proponemos resolver los siguientes ejercicios que pretenden integrar todo lo
aprendido en esta unidad.
Ejercicio 1
OM
1 x2 1 3
b) 2 x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 3
2
a) 2
x 3 x 9 x3
x x x
c) x 2 8 x 0 d) abc
bc ca ab
a, b y c son cons tan tes
1 1 x 1 x 1
e)
.C 2
x x 1 x x
x2 x 1
0 f) x
3x
2
1
2
2 2x 4 1 x
DD
g) 1 h)
3 3 2 2 2
i) 2 x 2 8 j) x 2 8 x 9 0
2 2 4 15 x x 2
k)
2x 1 2x 1
4 x2 1
l) 2 x 2 1 3 x 5 4 x 2 2 x 2
LA
Ejercicio 2
Plantee y resuelva los siguientes problemas:
FI
a) Un ganadero compró 1.000 vacas a $ 150 cada una. Vendió 400 obteniendo
una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes si la utilidad
promedio del lote completo debe ser del 30%?
b) Del total de ventas del día de ayer en un supermercado, un 25% se cobraron
con tickets de compra, 2/3 del resto con tarjetas de débito y $22.000 en
efectivo ¿A cuánto ascendió el importe de venta total?
c) Una empresa compró 4 taladros y 2 amoladoras por $1400. Otra empresa
compró en el mismo comercio 5 taladros y una 1 amoladora por $1300. ¿Cuál es
el precio de un taladro y cuál el de una amoladora?
d) Nicolás tiene en su billetera igual cantidad de billetes de $5 que de billetes
de $20 y quiere comprarse un pantalón. Si usa todos los billetes de $20 le
sobran $30 y si usa solamente los billetes de $5 le faltan $75. ¿Cuántos billetes
de $5 tiene? ¿Cuál es el precio del pantalón?
e) Cuando construyó su casa, el propietario tenía 30 años. Dentro de 2 años, la
edad del propietario será el triple de la antigüedad de la casa. ¿Cuántos años
tiene el propietario hoy?
153
x 2 y 5 z 4
2 x y 4
a) b) 3x 2 y z 4
2 x 1 5 y 2 x y 3
1 1
mx ny 2mn 3 x 4 y 2
OM
c) d)
3mx 2ny mn 1 x 1 y 7
4 2
Ejercicio 4
Resuelva:
.C
La producción de carne vacuna estimada para el corriente año en Argentina
(expresada en miles de toneladas) está dada por la siguiente expresión:
x – 80 < 37
DD
Siendo x la producción de carne vacuna estimada (en miles de toneladas),
determine el intervalo dentro del cual variará la producción.
Ejercicio 5
LA
c) 4 x 1 d) 3 1
2 2 3
3x 5
e) 2 1
3
Ejercicio 6
Completar:
a) Si la ecuación ax 2 2 x 2 0 , posee dos raíces reales e iguales a -2, el
valor de a es ………………..
b) En la ecuación 2 x 2 bx 3 0 , una de sus raíces es igual a -1, y el valor de
b es ………………..
c) En la ecuación x 2 5 x c 0 una de sus raíces es igual a 2, y el valor de c
es ………………..
154
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Ejercicio 7
Completar:
a) Para que la ecuación ax 2 6 x 9 0 tenga dos raíces complejas y
conjugadas, a debe ser ………………..
b) Para que la ecuación 2 x 2 x c 0 tenga dos raíces reales e iguales, c
puede asumir valores ………………..
c) Para que la ecuación 2 x 2 bx 2 0 tenga dos raíces complejas, b debe
asumir valores ………………..
d) Para que la ecuación x 2 bx 9 0 tenga dos raíces reales y distintas, b
OM
puede asumir valores ………………..
Ejercicio 8
.C
a) A un grupo de 22 personas se les asignan 70 tareas. Las tareas se han
clasificado en dos categorías: A y B. Debido a esto se las han repartido de modo
tal que cada persona del grupo tiene asignado ó 4 tareas de categoría A ó' 2 de
categoría B, cubriendo exactamente el total. ¿Cuántas tareas de cada categoría
DD
se les ha asignado al grupo?
b) José‚ cobró por cierto trabajo el doble de lo que tiene su esposa María
ahorrado, pero si le da $10 a su esposa tendrá $6 mas que el total de Maria.
¿Cuánto cobró José‚ y cuánto tenía ahorrado Maria?
LA
Ejercicio 9
155
Ejercicio 10
OM
En los siguientes ejercicios con múltiples alternativas, señale la única
alternativa correcta, justificando su elección.
6x 3 2x 1
I) Resolviendo la ecuación 2 , se obtiene:
x 3 x 3x x
.C
A) Una única solución
B) Ninguna solución.
C) Dos soluciones
D) Infinitas soluciones
DD
E) Todas las afirmaciones anteriores son incorrectas.
A) b ( , 4)
B) b (-4 , 4)
LA
C) b [4 , 4]
D) b 4
E) b 4
FI
Ejercicio 11
Con esta información indique la longitud de cada lado. (Si tiene dificultad para
resolver este ejercicio recuerde el teorema de Pitágoras)
b) Dentro de tres años la edad de Romina será la mitad del cuadrado de la edad
que tenía hace 9 años. ¿Cuál es la edad de Romina hoy?
En el Aula Virtual
encontrarás una
Autoevaluación que te
recomendamos realizar.
156
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Actividad 1
OM
de la cantidad de x 2y
y cantidad de
empleados empleados
administrativos administrativos
b) El precio de venta
de un artículo es de 25
$540 y se obtiene de x x 540 x precio de compra
agregarle a su precio 100
.C
de compra un 25%
c) La edad de Claudio
es igual al cuadrado de
la suma de las edades x y z 5
2
x edad de Claudio
y edad de una de las
DD
hijas de Claudio
de sus 2 hijas, más z edad de la otra hija
cinco años de Claudio
d) Del total de
operaciones de venta
realizadas en un
LA
comercio en un día, un
tercio se realizaron con 1 20 1 x cantidad de
tarjeta de débito, el x x x x 240 operaciones de
20% de las restantes 3 100 3 venta realizadas
con tarjeta de crédito
y 240 operaciones se
FI
realizaron en efectivo.
e) El producto de tres
números naturales
x x 1 x 2 336 x es un número
consecutivos es igual a natural
336.
Actividad 2
a) si b) no c) no d) si e) si
Actividad 3
3 11
a) x b) x 0 c) x d) z 1
19 4
e) x 2 f) u 1 g) y 2
157
Actividad 5
OM
a) No tiene solución
b) Infinitas soluciones
c) Infinitas soluciones
d) No tiene solución
.C
Actividad 6
a b c
a) 2 4 -3
b) -3 9 8
DD
3
c) -1 37 -3
5
d) -3 -3 0
LA
Actividad 7
Cuadráticas: c) y e)
Lineales: a), b) y d)
FI
Actividad 8
a) x1 1 y x2 3 b) x1 x2 3
7
c) x1 1 y x2 d) x1 2 2 i y x2 2 2 i
3
9 17 9 17 3 1
e) x1 y x2 f) x1 y x2
4 4 2 3
3 3 10 10
g) x1 1 i y x2 1 i h) x1 2 y x2 2
3 3 2 2
i) x1 x2 1 j) x1 5 y x2 11
158
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Actividad 9
b 4
Actividad 10
a) b) c) V d) F
Actividad 11
OM
5
a) x1 0 x2 b) x1 2 x2 2
3
2 2
c) x1 0 x2 1 d) x1 x2
5 5
Actividad 12
b 18
.C
DD
Actividad 13
11
a 2 y x2
2
Actividad 14
LA
c 12 y x2 1
Actividad 15
FI
2 x2 4 x 8 0
Actividad 16
Opción b)
Actividad 17
1
a) x b) x1 2 x2 4
4
c) x 0 d) x1 0 x2 4
e) No tiene solución
159
Actividad 19
OM
Actividad 20
1
a) x 0 y b) x 3 y 4 c) x2 y 1
3
Actividad 21
a)
.C
x Número de máquinas exportadas por la empresa A
DD
y Número de máquinas exportadas por la empresa B
x y 250
x y 12
La empresa A exportó 131 máquinas y 119 la empresa B
LA
b)
x Número de empleados administrativos
y Número de operarios
x y 18
FI
Actividad 22
2 1
y ; y para todo y
3 3
160
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
Actividad 23
1
a) Sistema incompatible b) x
y y 3
2
1
c) Sistema compatible indeterminado; (x, y) = 1 y; y
10
Actividad 24
I. c) II. a)
OM
Actividad 25
a) x, y, z 1, 2,1 b) x, y, z 2, 3, 4 c) x, y, z 2, 2, 0
.C
Actividad 26
Actividad 27
a) y b) Sistemas incompatibles
FI
Actividad 28
16
a) ,1 b) ,
5
5 3
c) , d) ,
3 2
Actividad 29
4 < b < 4
Actividad 30
Opción d)
161
Actividad 32
OM
Actividad 33
7
a) 1, b) 5, 3 c) d) 14,6
3
.C
Actividad 34
6
a) , 7 3, b) , 2,
5
DD
5 7
c) , 0 0, d) , ,
2 2
Actividad 35
LA
9 9
a) 5, 3 b) ,
2 2
2 8
c) , 3 5, d) , ,
3 3
FI
Ejercicio 1
a) x1 1 y x2 5 b) x 2 c) x1 0 y x2 8
1
d) x abc e) x f) x 3
3
g) infinitas soluciones h) No tiene solución i) x1 2 y x2 2
9
j) x1 1 y x2 9 k) x1 0 y x2 15 l) x
7
Ejercicio 2
a) $200
b) $88.000
162
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
OM
Ejercicio 3
7 1
a) x, y ; b) sistema incompatible
4 2
c) x n, y m d) x, y 12;8
Ejercicio 4
.C
43000,117000
DD
Ejercicio 5
2
c) , d) 1, 2
7
14 8
e) , ,
FI
3 3
Ejercicio 6
1
a) a b) b 5 c) c 6
Ejercicio 7
1
a) a 1 b) c
8
c) 4 b 4 d) b 6 ó b 6
Ejercicio 8
a) 52 tareas A y 18 tareas B
b) José cobró $52 y María $26
c) $9000 publicidad televisiva y $8400 de publicidad gráfica
d) 35 y 25 pasajeros
163
a) Verdadera
b) Falsa. La ecuación tiene una única solución
c) Falso, el intervalo es 1,5
d) Verdadera
Ejercicio 10
OM
I) Opción A
II) Opción B
Ejercicio 11
.C
DD
LA
FI
164
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
1° AUTOEVALUACIÓN
Aquí encontrarás ejercicios mezclados de los temas a evaluar en el primer
parcial. Al final encontrarás las resoluciones de los mismos en detalles.
Esperamos que este último te sea de mucha utilidad.
Éxitos!
1) Resuelve
1
2 5
a) 8 11 1
2 2
1
4
2
2 . . 2 2
2 3
OM
2 2
0
1 3 5 4 8
b) 3
27 4 20
5
2) Sabiendo que la diferencia entre dos polinomios es igual a: 2x3 – x2 + 4x +5 y
que el minuendo es igual a x5 –2x3 + 3x2 – 2x, obtenga el polinomio sustraendo.
.C
3) Resuelva previo factorización y simplificación:
5 p2 3 p 8 ( x3 125)
DD
2 x 2 10 x 50 5 px 25 p 3 x 15
q x 6 x 3 6 x 2 12 x
LA
x 2 x 1
x
FI
3 2
observa que aún le queda $90.000 ¿Cuál fue el monto ganado en la lotería?
6 x2 3
2
x 2x x 2 x
8) Plantee y resuelva el siguiente problema:
Un piloto novato lleva acumulados 600 minutos de vuelo en 15 viajes. Los
vuelos de práctica realizados son de dos tipos, los de tipo A de 60 minutos y
los de tipo B de 30 minutos. Con esta información será posible determinar
cuántos vuelos de cada tipo ha realizado el piloto.
165
1)
8
2 5 2 5 8
1 1 1 1 1 1 1 8 1
8 21. . 8 . . 8
2 2 2 2 2 2 2 2
OM
En el segundo término empleamos otra de las propiedades de la potenciación:
3
2 2 26 64
En el tercer término, resolvemos:
Finalmente: .C 1
4
1
2 1 8 2
2
4
1
9
4
9 3
4 2
DD
1
2 5
1 1 2 3 1 2 1 3
8 2 . . 2 2 64 62
1
2 2 4 2 2
1 1
Primer término: 3
27 3
2 2 10 6 4
FI
Segundo término: 3 5 15 15 4 . 5 4 . 1 1
4 4 4 15 4 3 4 3
5 5 5
166
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
desconocido y D x 2 x3 x 2 4 x 5 .
M x S x D x
OM
Como nuestro objetivo es determinar S x , procedemos a despejar de la
expresión anterior:
S x D x M x
S x M x D x
.C
Una vez que tenemos claro cómo obtener S x , procedemos a reemplazar a
M x y a D x :
S x x 5 2 x 3 3x 2 2 x 2 x 3 x 2 4 x 5
DD
Efectuamos la suma algebraica de los monomios semejantes y obtenemos el
polinomio sustraendo.
S x x5 4 x3 4 x 2 6 x 5
LA
p (5 p 3) 8( x - 5) ( x 2 5 x 25)
2( x 2 5 x 25) 5 p ( x - 5) 3( x - 5)
p (5 p 3) 8 ( x - 5) ( x 2 5 x 25)
2 ( x 2 5 x 25) 5 p ( x 5) 3 ( x 5)
4( x 5)
p(5 p 3)
(5 p 3)( x 5)
167
4 ( x - 5)
p (5 p 3)
(5 p 3) ( x 5)
4p
OM
q x a x x1 x x2 ... x xn
.C
Sacamos factor común 6x
q x 6 x 3 6 x 2 12 x
DD
q x 6 x x2 x 2
A continuación podemos implementar un artificio algebraico que nos permitirá
aplicar a posteriori otro caso de factoreo.
LA
q x 6x x2 2 x x 2
Este artificio permite factorear por grupos como sigue:
q x 6 x x2 x 2 x 2
FI
q x 6 x x x 1 2 x 1
q x 6 x x 2 x 1
q x 6 x 0 x 2 x 1
Hay tres factores que son binomios, y de su observación podemos obtener las
raíces del polinomio las cuales son x1= 0 , x2= -2 , x3= 1
168
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5)
x 2 x 1
x
3 2
Obtengamos el denominador común en el primer miembro
OM
2( x 2 ) 3( x 1)
x
6
Aplicamos propiedad distributiva
2 x 4 3x 3
x
6
.C
Operamos y multiplicamos ambos miembros por 6 de donde surge
5x 1 6x
DD
x 1
6) Planteo:
Ahora resolvamos
x 0, 40 x 0,50 . 0, 60 x 90.000
x 0, 70 x 90.000
0,30 x 90.000
x 300.000
6 x2 3
x ( x 2) x 2 x
169
6 x2 3
0
x ( x 2) x 2 x
6 x( x 2) 3( x 2)
0
x ( x 2)
OM
Operamos en el numerador
6 x2 2x 3x 6
0
x ( x 2)
.C x2 x
x ( x 2)
0
DD
Ahora un cociente es igual a cero si el numerador es igual a cero y el
denominador es distinto de cero, por ello calculamos las raíces del numerador
las cuales son
x1= 1 ; x2= 0
LA
8) Llamemos
“x ” a la cantidad de vuelos de tipo A realizados por el piloto.
FI
Dado que se tiene un total de 600 minutos la ecuación que correspondiente es:
60 x + 30 y = 600
Por otro lado la cantidad total de vuelos realizados por el piloto es de 15.
x + y = 15
60 x + 30 y = 600
x + y = 15
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Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
y = 15 x
60 x + 30 (15 - x) = 600
la cual es una ecuación de primer grado con una incógnita, que sabemos
resolver.
OM
60 x + 30 . 15 - 30 x = 600
operemos algebraicamente
30 x + 450 = 600
y despejemos.
.C
30 x = 600 - 450
x = 150/ 30
DD
x= 5
Como vimos, para que se verifique la segunda ecuación "y" debía ser igual a 15 -
LA
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