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ADOSDELIBERTAD
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Balance de Materia
Profesor Titular Universidad Nacional
BALANCE
DE
MATERIA
PARA
DUMMIES
ESTEQUIOMETRIA
APLICADA
LA ESTEQUIOMETRÍA
Y EL BALANCE DE MATERIA
Se recordarán los conceptos de Estequiometría estudiados en Química General y los
enlazaremos con el Balance de Materia y la Ingeniería Química.
A + 2B -----:- 3X + Y
Los Productos a la salida del Reactor son X, Y, A que no reaccionó, B que está en exceso
y el Inerte I.
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A la salida del Reactor, la sustancia deseada, X, está mezclada con las otras, por lo que
debe separarse de ellos y, posiblemente, purificarse. Para lograrlo se utilizan uno o
varios Separadores.
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Si analizamos los Flujos que entran y salen de los equipos del Proceso, es fácil ver que
los flujos másicos y la composición de las corrientes que entran y salen de la bomba, el
compresor y el intercambiador de calor son las mismas. Han experimentado un cambio
físico (Presión, Temperatura) pero no han experimentado ningún cambio químico. En
otros equipos pueden también cambiar de fase.
Por tanto, los balances de materia en este tipo de equipos son triviales y se
pueden excluir del diagrama, en Procesos en que solo se deben evaluar
Balances de materia (una excepción son algunos Procesos adiabáticos con
mezclas aire-vapor de agua). Sólo son indispensables cuando se realicen
Balances de Energía.
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En ella puede verse que, a pesar de que algo del inerte, I, sale del Proceso en el
Separador II, una cantidad de él va en la corriente que se está recirculando, de tal
manera que su cantidad en la corriente que entra al Reactor va a ir aumentando y
aumentando, haciendo que las condiciones de estabilidad del Proceso desaparezcan.
Por tanto, una cantidad de la corriente que se retorna debe ser extraída del Proceso. A
esta corriente que se extrae se le conoce con el nombre de Purga y el equipo en el que
se realiza se conoce con el nombre de Divisor. Esto se analizará en detalle más adelante.
Lo mismo que los Separadores, los Divisores se representan con un círculo, con una letra
D en su interior, seguida de un número si hay más de un Divisor. Tal como puede verse
en la Figura 6, la cual tiene 5 Unidades.
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Y no solo en este proceso sencillo, todos los equipos que forman cualquier planta
química en la que se deban efectuar balances de materia y energía, por más
grande y compleja que sea (como el complejo petroquímico de Sadara, en la ciudad
industrial de Jubail, Arabia Saudita, que es el complejo químico más grande del mundo
construido en una sola fase, con 26 plantas de fabricación a escala mundial y produce
más de tres millones de toneladas de productos cada año), pertenecen a una de
estas cuatro categorías, independientemente del tipo de Reactor o del tipo de
Separador. En los Mezcladores y los Divisores, es simple entender lo que hacen y cómo
lo hacen.
Cuando el futuro Ingeniero Químico llegue a décimo semestre y curse Diseño de Plantas
y Equipos, debe tener los conocimientos teóricos suficientes que le permitan hacerlo, es
decir, DISEÑAR PROCESOS. El curso de Mecánica de Fluidos le enseñará a diseñar las
tuberías y las bombas para mover los fluidos; en Procesos de Separación, Fenómenos de
Transferencia, Termodinámicas aprenderá a escoger la forma apropiada para separar las
mezclas, la geometría de los Reactores y sus componentes internos; los cursos de
Cinética y Catálisis e Ingeniería de las Reacciones Químicas le enseñarán a estudiar las
condiciones óptimas de las transformaciones químicas, los catalizadores, etc., el curso de
Transferencia de Calor le enseñará a diseñar los Intercambiadores, los Condensadores,
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Analizaremos cada una de las Unidades que forman el Proceso desde el punto de vista
de la Química General y los relacionaremos con el Balance de Materia. Al final, cuando
se tengan claros los conceptos necesarios, analizaremos el Proceso completo de la
Figura 6.
Mezclador: Ejercicio 1. Si se conoce que el flujo de una de las corrientes que entra al
Mezclador es de 1000 gramos mol/h, (gmol/h), con un porcentaje molar de A de 98,5%
molar A, y que se suministra la sustancia B en un exceso del 15%. Halle el flujo de
cada componente a la salida del Mezclador y la composición de la corriente.
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Por tanto, para hallar los flujos y la composición pedida BASTA UN SOLO
DATO O INFORMACIÓN ADICIONAL. En Balance de materia, la cantidad de
datos o de información adicional necesarios para que un Balance de materia
se pueda resolver, recibe el nombre de GRADOS DE LIBERTAD. Más adelante,
cuando se tengan todos los elementos, se explicará mejor qué son y cómo se
calculan.
Sin embargo, adelantemos que cuando los Grados de Libertad de un Proceso valen UNO
O CERO, UNO sin flujos conocidos o CERO con flujos conocidos, el Proceso está
especificado correctamente y pueden hallarse todos los flujos y composiciones. Será
llamada la condición (1,0).
¿Qué otro dato adicional puede usarse para resolver el ejercicio, además de la
eficiencia?. La Estequiometría nos enseñó que conociendo cualquiera de los flujos de
las sustancias que salen del Reactor o Flujos por Componente (así se llaman en Balance
de materia), Productos de la reacción o Reactivos sin reaccionar, se pueden calcular los
otros flujos desconocidos, la composición de la corriente, la Eficiencia de la reacción, el
Exceso usado, etc.
Ejercicio 3. Calcule el flujo de los otros componentes que salen del Reactor y la
composición de la corriente, si son conocidos los flujos de A, B e I hallados en el
Ejercicio 1 y el flujo de uno de los Productos del Reactor, en cada uno de los siguientes
casos:
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Sea Z los gmol/h de A que reaccionan. Con la relación entre los respectivos coeficientes
estequiométricos se sabe que:
Como se conocen los flujos de todos los componentes a la salida del Reactor, puede
plantearse que:
Z = 620,55 gmol/h
De esta manera, si lo que se produjo de A fueron 620,55 gmol/h, debe cumplirse que:
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Es lo mismo que enseña la Estequiometría: Para hallar los flujos que reaccionan o se
producen de cada una de las otras sustancias que intervienen en una reacción se
multiplica el valor conocido (lo que sale sin reaccionar o se produce de unos de ellos),
por la relación entre los respectivos coeficientes estequiométricos (En Grado 10 del
Bachillerato, se usaba una simple regla de tres: Si 2 moles de B reaccionan con 1 de A,
cuántas de B reaccionarán con 620,55 moles de A?).
2
B que reacciona = 1
* Z = 2 * 620,55 gmol/h = 1241,1 gmol/h
3
X producido = 1
* Z = 3 * 620,55 gmol/h = 1861,65 gmol/h
1
Y producido = 1
* Z = 620,55 gmol/h = 620,55 gmol/h
Obviamente, los Flujos de los componentes que salen del Reactor no cambian.
Hasta ahora, lo único “nuevo” es la Velocidad de reacción. Se han hecho los mismos
cálculos de manera diferente. Se ha calculado lo que reacciona y lo que se produce
de una manera más sencilla, que permitirá generalizar estos cálculos y darle un
tratamiento matemático. No nos hemos salido de la Estequiometría.
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Hagamos algo similar, por lo nuevo, con los coeficientes estequiométricos de la reacción:
Los representamos con la letra sigma minúscula, σS, en la que el subíndice representa la
sustancia.
Para la reacción dada son: σA = 1; σB = 2; σX = 3; σY = 1.
Esto permitirá calcular lo que entra y lo que sale de cualquier componente C, que
interviene en una reacción, con una sola ecuación:
Otra información o dato adicional sobre el Reactor, que podría servir para hallar los flujos
y composiciones molares de las sustancias que salen del Reactor, es la composición
molar o másica de una de ellas en el flujo de salida.
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Sea M los gmol/h totales que salen del Reactor. Por tanto, expresados también en
gmol/h, puede decirse que:
Con este valor se pueden calcular los otros Flujos por componente a la salida del Reactor
y compararlos con las respuestas obtenidas en soluciones anteriores al mismo ejercicio.
de Productos se vuelven una sola: Lo que sale = lo que entra. Más sencilla, a pesar
de que pueda haber, en general, varios flujos de entrada y varios flujos de salida.
En este caso particular, en el Separador hay dos corrientes de salida y una de entrada.
Solución:
Hasta ahora, las variables que se han asignado a las corrientes han sido los Flujos
molares de los componentes y con ellos se han efectuado los cálculos pedidos. Pero
como la composición puede ser un dato, y la suma de los Flujos por componente es el
Flujo total, las composiciones y el Flujo total también pueden ser usados como variables
de las corrientes.
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Es decir, se desconocen tres flujos de la corriente (5) y cuatro flujos de la corriente (6).
Un total de siete variables desconocidas o incógnitas.
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Pero es conveniente utilizar una simbología que permita identificar de una manera más
clara las incógnitas y expresar matemáticamente las ecuaciones de Balance o de
Conservación de la materia.
El MAESTRO Girontzas V. Reklaitis en su libro de Balances de Materia y Energía, autor
de una de los mejores cuatro libros de Balance que conozco, y quien introdujo de la
manera más clara el concepto de Grados de Libertad, propone la siguiente notación:
1
𝑁𝐴: La letra N significa Flujo Molar, el subíndice indica el componente, el superíndice
1
indica la corriente. Es decir, 𝑁𝐴 es el Flujo Molar del componente A en la
corriente número 1.
4
𝑥𝑋 : La letra x, minúscula, indica la Fracción Molar. Es decir, el símbolo completo
indica la fracción molar del componente X en la corriente (4).
𝑁
5
, Indica el Flujo Molar Total en la corriente (5).
Para notar los Flujos Másicos propone la letra F, y para las fracciones másicas propone la
letra w, minúscula:
5
𝐹𝐵: Es el Flujo Másico del componente B en la corriente número (5).
𝑤𝑌
6
: Es la fracción másica del componente Y en la corriente (6).
𝐹
4
: Es el Flujo Másico total en la corriente (4).
Con esta simbología, la ecuación (5), para el componente C que interviene en una
reacción cualquiera, puede expresarse matemáticamente como:
𝑆𝑎𝑙𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑁𝐶 = 𝑁𝐶 + σC r
(5A)
Otros autores, posteriores al texto del Maestro Reklaitis han planteado otras notaciones,
tratando de ser originales, pero esta notación es la mejor.
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5 5
Esta simbología permite visualizar claramente las siete incógnitas del proceso: 𝑁𝐴, 𝑁𝐵,
5 6 6 6 6
𝑁𝐼 , 𝑁𝑋, 𝑁𝑌, 𝑁𝐵, y 𝑁𝐼 y escribir la ecuación de Conservación o Balance de materia para la
sustancia B, dada por la ecuación (6) como:
5 6 4
B: 𝑁𝐵 + 𝑁𝐵 = 𝑁𝐵
5 6
𝑁𝐵 + 𝑁𝐵 = 1024,4
(7)
Además, pueden plantearse las ecuaciones de Balance, que relacionan los flujos de las
cuatro sustancias restantes, B, X, Y e I, como:
5 4
A: 𝑁𝐴 = 𝑁 = 364,45
𝐴
(8)
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6 4
X: 𝑁𝑋 = 𝑁 = 1861,65
𝑋
(9)
6 4
Y: 𝑁𝑌 = 𝑁 = 620,55
𝑌
(10)
5 6 4
I: 𝑁𝐼 + 𝑁𝐼 = 𝑁𝐼 = 15
(11)
Las incógnitas son Flujos y Composiciones, por tanto, la información adicional podrían
ser, por ejemplo, 2 flujos o 2 composiciones o 1 flujo y una composición. ¿Pero cómo
podrían añadirse ecuaciones?. Digamos, por ahora, que con esa forma de expresar la
información, que digo que se ha utilizado, pero a la que no nos hemos referido aún de
forma explícita.
Realmente, esta forma de expresar las ecuaciones de Balance no es exactamente la que
utilizaremos. Adelantemos que no se reemplazan en ellas los valores conocidos.
Anteriormente se planteó:
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Es decir, este ejercicio tiene 2 Grados de Libertad. Volveremos más adelante sobre él
para referirnos en detalle a la información adicional.
Cuando hace falta información en un Proceso, los Grados de Libertad son positivos y, lo
que es lo mismo, si los Grados de Libertad son positivos, hace falta información.
Se usa la numeración de la Figura 4 y se utilizan las dos formas diferentes que existen
para expresar las variables de las corrientes.
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1 1 2 3 3 3
Incógnitas: En la Figura 9a hay 6 incógnitas: 𝑁𝐴, 𝑁𝐼 , 𝑁𝐵, 𝑁𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁𝐼 . En la Figura 9b
1 1 2 3 3 3
también hay 6 incógnitas: 𝑁 , 𝑥𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁 , 𝑥𝐴, 𝑥𝐵. En Balance de materia estas incógnitas
reciben el nombre de Variables de Corrientes Independientes (veremos porqué son
independientes) y son las variables que se utilizan para expresar las ecuaciones y para
efectuar cálculos (Ya se han utilizado en los cálculos de Estequiometría, sin darles
ningún nombre).
Si para definir la corriente se utilizan como Variables de Corriente el Flujo Total y las
Composiciones, el número de Variables de corriente Independientes necesarias será la
suma de 1, que representa el Flujo Total, más (C – 1) composiciones, es decir, será igual
a ( 1 + (C – 1)) = C. Es decir, no se altera el número de Variables de Corriente
Independientes. Puede comprobarse en el Diagrama Cuantitativo de la Figura 9b.
El Ejercicio 1, se resolvió sin usar un solo concepto de Balance de materia, solo algo de
Estequiometría, sentido común y lógica.
Sin embargo, se propondrá una forma de solución que involucra las Variables de
Corriente Independientes de los dos tipos de Diagrama, así tengan múltiples Unidades.
1 1
Variables Dependientes: En la corriente (1) de la Figura 9a aparecen los flujos 𝑁𝐴, 𝑁𝐼
, que no son dados por el enunciado, pero que pueden calcularse a partir del Flujo total
(1000 gmol/h de mezcla) y de la composición dada (98,5% de A). Vean que no se habla
del porcentaje del inerte. ¿Porqué?. Porque no es necesario. Podría decirse que su valor
es de 1,5% pero no aporta nada porque se sabe. Eso significa ser Dependiente.
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1
Algo similar ocurre con el flujo total 𝑁 . No se utiliza en el Diagrama Cuantitativo de la
figura 9a porque es una variable dependiente que se obtiene sumando los flujos de los
componentes. Siempre que se utiliza el Flujo total, estará acompañado de las
composiciones.
Veremos el enfoque del Balance de materia para resolver este Ejercicio tan simple (una
sola unidad). Pero, a pesar de lo sencillo del Ejercicio, este enfoque es el mismo que se
utilizará en todos los problemas de Balance de materia, por grandes y complejos que
sean (cientos de unidades).
ecuaciones de balance son más sencillas y más lineales, lo que facilita su solución
cuando se resuelven sistemas muy grandes de ecuaciones.
1 1
1º. Utilizando los datos dados en el enunciado del ejercicio, 𝑁 = 1000 y 𝑥𝐴 = 0,985,
se construye el Diagrama Cuantitativo de la Figura 10a.
Analicemos la otra información que da el enunciado y con la cual el Proceso quedará con
CERO Grados de Libertad: Se suministra la sustancia B en un exceso del 15%.
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En Balance de materia, estas Relaciones se notan con la letra R y cuando hay varias se
les coloca un subíndice numérico para diferenciarlas: R1, R2, R3, etc.
2 1 1 1
R1: 𝑁𝐵 = 2 * 1,15 * (1 - 𝑥𝐴) * 𝑁 = 2 * 1,15 * 𝑁𝐴
(12)
En el Proceso de Mezclado, las incógnitas siguen siendo 4, pero como se debe cumplir la
condición dada por la ecuación (12), el número de ecuaciones aumentado en 1. Ahora,
los Grados de Libertad valen (4 – 4) = 0.
A esta forma de expresar los datos adicionales nos referíamos cuando planteábamos
que:
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Solución al ejercicio:
2 1
Para hallar 𝑁𝐵 es necesario calcular primero 𝑁𝐴. No se requieren ecuaciones:
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1
Con el flujo y la composición: 𝑁𝐴 = 1000 * 0,985 = 985;
2 1
De la Relación: 𝑁𝐵 = 2 * 1,15 * 𝑁𝐴 = 1,15 * 2 * 985 = 2265,5
3 1 2 3
Total: 𝑁 = 𝑁 + 𝑁𝐵 = 1000 + 2265,5 𝑁 = 3265,5
3 3 1 1 1 3 3
A: 𝑥𝐴 * 𝑁 = 𝑥𝐴 * 𝑁 = 𝑁𝐴; 𝑥𝐴 * 3265,5 = 985; 𝑥𝐴 = 0,3016383
3 3 2 3 3
B: 𝑥𝐵 * 𝑁 = 𝑁𝐵; 𝑥𝐵 * 3265,5 = 2265,5 𝑥𝐵 = 0,6937682
3
La fracción molar del componente I, 𝑥𝐼 , que no se ha mencionado porque es una
Variable de Corriente Dependiente, se calcula por medio de la diferencia entre 1 y las
fracciones molares de los otros componentes de la corriente:
3 3
= (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) = (1 – 0,3016383 – 0,6937682) = 0,0045935
3
𝑥𝐼
Los resultados pueden comprobarse por medio del Balance Dependiente del componente
Inerte, cuyas moles deben conservarse en el Proceso:
1 1 3 3 3
Balance de I: (1 - 𝑥𝐴) 𝑁 = ((1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) * 𝑁
b) Solución simultánea: Se plantean todas las ecuaciones del Proceso, sin resolver
ninguna. Es más, no es necesario reemplazar los valores conocidos sino que pueden
colocarse como ecuaciones. De hecho, no se reemplazarán, porque esto permitirá
cambiar los datos y resolver cientos de ejercicios. Las Variables de Corriente
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2 3 3 3
Independientes desconocidas son: 𝑁𝐵, 𝑁 , 𝑥𝐴, 𝑥𝐵. Las Variables de corriente conocidas
1 1
son:𝑁 , 𝑥𝐴.
Las ecuaciones de Balances Molares por Componente del Proceso y la ecuación que
especifica la condición impuesta al flujo de B o Relación, R1, ecuación (12), son:
3 1 2
Total: 𝑁 = 𝑁 + 𝑁𝐵
(13)
3 3 1 1
A: 𝑥𝐴 * 𝑁 = 𝑥𝐴*𝑁 (14)
3 3 2
B: 𝑥𝐵 * 𝑁 = 𝑁𝐵
(15)
2 1 1
De R1: 𝑁𝐵 = 2 * 1,15 * 𝑥𝐴*𝑁
(16)
1
Datos: 𝑥𝐴 = 0,985
(17)
1
𝑁 = 1000
(18)
(Nota: Utilizar los valores conocidos de flujo y composición en forma de ecuaciones es solo un método
para resolver el sistema de ecuaciones. Parecería más lógico reemplazar estos valores en las ecuaciones y
resolver un sistema de 4*4. Más adelante se entenderá claramente por qué se hace de esta forma).
El sistema tiene 6 ecuaciones con 6 incógnitas. Podría resolverse ya y conocer el valor
de las incógnitas, que se podrían comparar los datos encontrados en la solución
secuencial. Por eso a este sistema de ecuaciones le daremos más adelante un
nombre especial. Pero como se planteaba antes, la solución simultánea se puede
utilizar para efectuar otros cálculos: Primero que todo y lo más importante:
asegurarse de que los resultados sean correctos.
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Para ello se añade al Sistema de 6*6 la ecuación de Balance del Componente que no se
ha utilizado, ya que la ecuación de Balance para el Flujo total se utilizó dentro del
Sistema de ecuaciones. En este caso, el Balance del Inerte, cuyo número de moles debe
conservarse.
(19)
3 3 3
Flujo de Inerte que Sale: FIQS = (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) * 𝑁
(20)
O podría hallarse, directamente, la diferencia entre estos flujos (que debe ser cero):
En el primer caso habrá dos incógnitas más en el Sistema, FIQE y FIQS, y dos
ecuaciones más. En el segundo, habrá una incógnita más, D, y una ecuación
más. Escogiendo la primera posibilidad se formará un sistema de 8 ecuaciones con 8
incógnitas, de 8*8 se dice.
Hay otras dos maneras de comprobar los resultados, las cuales se analizarán
más adelante.
Se puede hallar, de una vez, las fracciones molares del inerte en las corrientes (1) y (3):
1 1
𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝐴)
(21)
3 3 3
𝑥𝐼 = ((1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) (22)
1 3
Hay dos incógnitas más, 𝑥𝐼 y 𝑥𝐼 y dos ecuaciones. Un sistema de 10 ecuaciones con 10
incógnitas, de 10*10.
Además, de una vez, se pueden calcular los Flujos molares por componente que pide el
ejercicio. Esto significa que se añaden al sistema 5 ecuaciones y 5 incógnitas, quedando
de 15*15, ecuaciones (23) a (27):
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1 1 1
Flujo de A en corriente (1): 𝑁𝐴 = 𝑥𝐴 * 𝑁
(23)
1 1 1
Flujo de I en corriente (1): 𝑁𝐼 = (1 - 𝑥𝐴) * 𝑁
(24)
3 3 3
Flujo de A en corriente (3): 𝑁𝐴 = 𝑥𝐴 * 𝑁
(25)
3 3 3
Flujo de B en corriente (3): 𝑁𝐵 = 𝑥𝐵 * 𝑁
(26)
3 3 3 3
Flujo de I en corriente (3): 𝑁𝐼 = (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) * 𝑁
(27)
Cualquier otro cálculo pedido puede ser introducido como una ecuación más en el
sistema: Que se desea hallar la Relación entre los flujos de las corrientes (3) y (2). Se
introduce en el sistema un incógnita para este dato, sea R1 y la ecuación: R1=N3/N2. Y
listo. El sistema queda con 16 ecuaciones y 16 incógnitas.
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En este momento, al comparar las dos soluciones dadas, podrá pensar que la segunda
es demasiado larga. Debe darse cuenta que el ejercicio propuesto es muy simple por lo
que se resolvió muy fácilmente de manera secuencial y, por ahora, debe reconocer dos
ventajas: Primero, tiene la seguridad de que el ejercicio fue resuelto correctamente y,
segundo, halló todas las respuestas de una sola vez. Y estas dos características son
las menos importantes.
Cualquier variante que se le haga al ejercicio puede ser resuelta haciendo los cambios
convenientes al sistema de 15 ecuaciones con 15 incógnitas planteado. Eso demora
poco.
Solución: Se deja como trabajo resolver el ejercicio de manera secuencial con sus
conocimientos de Química. La solución, utilizando la solución simultánea del sistema de
ecuaciones es la siguiente.
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R1: La proporción molar entre las corrientes (3) y (2) vale 1,441404.
3 2
𝑁 /𝑁𝐵 = 1,441404 (28)
3
Datos: La composición de A: 𝑥𝐴 = 0,3016383
(29)
2 1 1
E = ((𝑁𝐵 - 2*𝑁𝐴)/(2*𝑁𝐴)) * 100
(30)
Análisis de Resultados: Puede verse que hay pequeñísimas diferencias con las
respuestas anteriores. Esto se debe a que la precisión de EES es tal que detecta que el
valor dado para la fracción molar de A en la salida es diferente en una, también pequeña
cantidad, por los recortes en los decimales. Pero son prácticamente iguales.
Para terminar de aclarar por qué el método de solución simultáneo de las ecuaciones es
mucho mejor que cualquiera, analicemos otra situación.
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2 1 1
De R1: 𝑁𝐵 = 2 * 1,21 * 𝑥𝐴*𝑁
(16A)
1
Datos: 𝑥𝐴 = 0,977
(17A)
En este ejercicio tan sencillo, trivial porque es un simple Proceso de Mezclado, ha podido
demostrarse las grandes ventajas de la solución simultánea. Ni qué decir cuando se
trate de ejercicios complejos, con múltiples unidades, que es lo que pretende
enseñar a resolver el Balance de Materia.
Se utilizan Flujos por componente porque de esta manera están se conocen los datos,
tres flujos, y se desean calcular los flujos por componente a la salida. Pero en la solución
que daremos estarán involucradas todas las variables de los dos Diagramas Cuantitativos
posibles, con Flujos por componente y Flujo total y composiciones, y como resultado se
podrá utilizar cualquiera de las variables
2
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La reacción es:
A + 2B -------:- 3 X + Y
3 3 3 4 4
Por tanto, las Variables de Corriente Independientes del Proceso son: 𝑁𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁𝐼 , 𝑁𝑋, 𝑁𝑌
4 4 4
, 𝑁𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁𝐼 y r. Un total de nueve Variables de Corriente Independientes. Como hay
cinco componentes se pueden plantear cinco ecuaciones de Balance. Se conocen tres
flujos de entrada. Y se conoce una Especificación o Relación: La Eficiencia, cuyo valor
condiciona el flujo de los componentes a la salida. Como se conocen tres flujos a la
entrada, las incógnitas quedan valiendo SEIS (eran 9), y el número de ecuaciones es
igual a la suma de las cinco ecuaciones de Balance más una ecuación que expresa la
Relación, o sea un total de SEIS. En consecuencia, los Grados de Libertad valen (6 – 6)
= 0. Se debe resolver un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas.
4 3
R1: 𝑁𝐴 = 0,37 𝑁𝐴
(31)
Ya se tienen los conocimientos necesarios para expresar el párrafo en el que se hallaron
los Grados de Libertad del Proceso, usando la forma propuesta por el Maestro Reklaitis
30
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GRADOS DE LIBERTAD, G de L. 0
Luego de construir esta Tabla, los Grados de Libertad se corroboran hallando el Número
de Incógnitas y el Número de Ecuaciones del Proceso. La diferencia entre estos valores,
ya lo sabemos, son los Grados de Libertad y debe obtenerse el mismo valor:
Esta comprobación indica, además, el tamaño del sistema que debe usarse para resolver
el sistema. En este caso, debe plantearse un sistema de SEIS ecuaciones, con SEIS
incógnitas. El Proceso está en la condición (1,0): Los Grados de libertad valen 0 y hay
flujos conocidos.
LA BASE DE CÁLCULO: Todos los cálculos en un Proceso debe referirse a una Base. Si
hay más de un Flujo, se toma una unidad de tiempo. Si hay un solo Flujo, se toma éste
como Base y si no hay Flujos conocidos y los Grados de libertad valen 1, puede
escogerse cualquier flujo como Base para referir los cálculos.
A este valor de se le conoce como BASE DE CÁLCULO. Por eso es que se habla de la
condición (1, 0): Si los Grados de Libertad valen 1 y no hay flujos, se escoge uno como
Base de Cálculo y los Grados de Libertad pasan a valer CERO. El proceso queda
especificado correctamente.
Todos los autores que conozco utilizan a menudo el CAMBIO DE BASE, cuando sus
cálculos secuenciales se simplifican si se considera como Base de Cálculo otro flujo en
otra corriente, o cuando una Unidad dentro del proceso queda con CERO Grados de
Libertad, y luego hacen una RELACIÓN DE ESCALADO.
31
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Como hay tres flujos, expresados en gmol/h, en este ejercicio se toma una Base de
Cálculo de una hora y todas las respuestas estarán expresadas en estas unidades.
La reacción es:
A + 2B →r1 → 3X + Y
4 3
A: 𝑁𝐴 = 𝑁𝐴 - r1
(32)
4 3
B: 𝑁𝐵 = 𝑁𝐵 - 2 r1
(33)
4
X: 𝑁𝑋 = 3 r1
(34)
4
Y: 𝑁𝑌 = r1
(35)
4 3
I: 𝑁𝐼 = 𝑁𝐼
(36)
4 3
De R1: 𝑁𝐴 = 0,37 * 𝑁𝐴
(37)
32
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3
Datos: 𝑁𝐴 = 985,0
(38)
3
𝑁𝐵 = 2265,5
(39)
3
𝑁𝐼 = 15,0
(40)
Las ecuaciones (32) a (40) son lo que defino como EL SISTEMA MÍNIMO
NECESARIO para resolver un ejercicio. Con estas nueve ecuaciones se obtienen todos
los valores de las variables de corriente usadas en el Diagrama Cuantitativo. Realmente
son seis ecuaciones, pero los flujos conocidos se colocan como ecuaciones para darle
generalidad a la solución.
Sin embargo, se pueden cometer errores y el software solamente hace lo que le pidan,
no interpreta los resultados. Por eso es importante comprobar que los valores son
correctos.
Comprobación de los resultados: En Procesos Unitarios los resultados no se pueden
comprobar mediante la comparación entre el número total de moles a la salida y el
número total a la entrada, porque ya planteamos que, en general, este valor no se
conserva cuando hay transformaciones químicas. Pero se planteó que hay otras dos
formas para comprobar los resultados.
Utilizaremos una de ellas, bien conocida: En todos los Procesos Químicos, Operaciones
Unitarias y Procesos Unitarios, se debe conservar el Flujo másico total, es decir, Flujo
Másico Total que sale = Flujo Másico Total que entra.
Para efectuar la comprobación en Procesos en los que las sustancias que intervienen son
conocidas, se utilizan sus respectivas masas atómicas o moleculares. Cuando no lo son,
se pueden asumir las masas moleculares de los Reactivos A, B y del inerte, I, y de
acuerdo con la reacción y su estequiometría se suponen las masas moleculares de los
productos X y Y.
En este caso se asumen los siguientes valores: Para A, 20; para B, 10; para I, 12. De
acuerdo con las masas moleculares asumidas y la reacción:
A + 2 B ---- r1 ----:- 3X + Y
20 + 2*10 3*12 + 4
33
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3 3 3
FME = (MMA*𝑁𝐴 + MMB*𝑁𝐵 + MMI*𝑁𝐼 )
3 3 3
FME = (20*𝑁𝐴 + 10*𝑁𝐵 + 12*𝑁𝐼 )
(41)
Otros cálculos: De una vez, se pueden hallar las respuestas que pide el ejercicio. De
cualquier ejercicio. Se halla el Flujo total a la Salida y con él las fracciones molares:
4 4 4 4 4 4
𝑁 = 𝑁𝑋 + 𝑁𝑌 + 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 + 𝑁𝐼
(43)
4 4 4
𝑥𝑋 = 𝑁𝑋/𝑁
(44)
4 4 4
𝑥𝑌 = 𝑁𝑌/𝑁
(45)
4 4 4
𝑥𝐴 = 𝑁𝐴/𝑁
(46)
4 4 4
𝑥𝐵 = 𝑁𝐵/𝑁
(47)
4 4 4
𝑥𝐼 = 𝑁𝐼 /𝑁
(48)
El Sistema formado por las ecuaciones (32) a (48), de 17*17, en EES y su solución son:
N4A=N3A-R1 N4I=N3I
N4B=N3B-2*R1 N4A=0,37*N3A
N4X=3*R1 N3A=985
N4Y=R1 N3B=2265,5
34
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N3I=15 X4X=N4X/N4
FME=20*N3A+10*N3B+12*N3I X4Y=N4Y/N4
FMS=12*N4X+4*N4Y+20*N4A+10*N4B X4A=N4A/N4
+12*N4I X4B=N4B/N4
N4=N4X+N4Y+N4A+N4B+N4I X4I=N4I/N4
Así que al tomar una base de 1000, éstos pueden ser tomar cualquier unidad para la
dimensión de flujo molar. Solo debe tenerse cuidado cuando se usan flujos volumétricos
de gases, que se expresan en litros, m3 o pie3, casos en los cuales las unidades del flujo
molar serían gmol/h, kgmol/h o lbmol/h..
Para resolver todas las partes propuestas en el ejercicio, basta reemplazar en el Sistema
de ecuaciones planteado para el Proceso, ecuaciones (32) a (48), la ecuación hallada
3
para expresar la Conversión, R1 o ecuación (6), por el flujo conocido en cada caso, 𝑁𝐴,
3 3 3 3
𝑁𝐵, 𝑁𝑋 𝑁𝑌 o 𝑁 , y resolver los nuevos sistemas en cada caso.
¿Recuerda el ejercicio 4, en el que la Conversión o Eficiencia conocida se reemplaza por
el porcentaje molar de un componente a la salida del proceso?. En la Tabla de Grados de
Libertad, el Número de Relaciones Conocidas valdrá cero y el Número de Composiciones
Conocidas pasa a valer 1. Los Grados de Libertad siguen valiendo CERO.
2
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Para resolver todas las partes del ejercicio, basta reemplazar en el sistema de
ecuaciones planteado para el Proceso, ecuaciones (32) a (48), la ecuación dada por la
3 3 3 3 3
Relación de Conversión, ecuación (6), por la fracción molar conocida, 𝑥𝐵, 𝑥𝐴, 𝑥𝑋, 𝑥𝑌 y 𝑥𝐼 ,
y resolver los nuevos sistemas en cada caso.
N4A=N3A-R1 FME=20*N3A+10*N3B+12*N3I
N4B=N3B-2*R1 FMS=12*N4X+4*N4Y+20*N4A+10*N4B
N4X=3*R1 +12*N4I
N4Y=R1 N4=N4X+N4Y+N4A+N4B+N4I
N4I=N3I X4X=N4X/N4
X4B=0,2636096 X4Y=N4Y/N4
N3A=985 X4A=N4A/N4
N3B=2265,5 X4B=N4B/N4
N3I=15 X4I=N4I/N4
Este ejercicio es importante porque como puede observarse, las ecuaciones de Balance y
la Relación fueron expresadas con el Diagrama Cuantitativo de la Figura 12, que utiliza
Flujos por Componentes como Variables de Corriente, y en esta solución se ha utilizado
una fracción molar que no aparece en el Diagrama, sin necesidad de plantear las
ecuaciones de balance con Flujo Total y composiciones.
Como conclusión:
35
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Solución:
36
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4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6
NVI: 12 (𝑁𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁𝑋, 𝑁𝑌, 𝑁𝐼 , 𝑁𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁𝐼 , 𝑁𝑋, 𝑁𝑌, 𝑁𝐵, 𝑁𝐼 )
NBMI 5 (A, B, X, Y, I)
4 4 4 4 4
NFC 5 (𝑁𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁𝑋, 𝑁𝑌, 𝑁𝐼 )
NCC 0
NRC 0
G de L: 2
se pudo saber que, con la información dada, el ejercicio no se puede resolver porque
tiene 2 Grados de Libertad.
37
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Los Grados de Libertad valen 2. Esto significa que son necesarios dos datos adicionales.
Estos pueden ser Flujos, y/o Composiciones y/o Relaciones. Para ser precisos, las
posibilidades exactas para dar la información son: Dos Flujos, dos Composiciones, dos
Relaciones, un Flujo y una Composición, un Flujo y una Relación, y una Relación y una
Composición.
Estos Datos Adicionales pueden tener muchas formas: Relaciones que dan
recuperaciones fraccionales, relaciones entre composiciones de la misma o de diferentes
corrientes, relaciones entre los flujos, relaciones que expresan la composición de una
corriente, relaciones en transformaciones químicas: Conversión, Rendimiento,
Selectividad, etc.
Como hay varios Flujos conocidos, la Base de Cálculo sigue siendo 1 hora.
38
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Más adelante se resolverá un ejercicio con el orden propuesto para resolver todos los
ejercicios de Balance de materia mediante el Método de Solución Simultánea (que se ha
utilizado, pero no en el orden correcto).
5 4
𝑁𝐵 = 0,9 * 𝑁𝐵
(49)
R2: Los flujos del Inerte en las corrientes (5) y (6) están en proporción 1,8 a 1.
5 6
𝑁𝐼 /𝑁𝐼 = 1,8/1
(50)
Ecuaciones de Balance:
5 4
A: 𝑁𝐴 = 𝑁
𝐴
(51)
5 6 4
B: 𝑁𝐵 + 𝑁𝐵 = 𝑁 (52)
𝐵
6 4
X: 𝑁𝑋 = 𝑁
𝑋
(53)
6 4
Y: 𝑁𝑌 = 𝑁
𝑌
(54)
5 6 4
I: 𝑁𝐼 + 𝑁𝐼 = 𝑁𝐼 (55)
39
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4
Datos: 𝑁𝐴 = 364,45
(56)
4
𝑁𝐵 = 1024,40 (57)
4
𝑁𝑋 = 1861,65
(58)
4
𝑁𝑌 = 620,55
(59)
4
𝑁𝐼 = 15,00
(60)
Las ecuaciones (49) a (60) son el Sistema Mínimo de Ecuaciones con las cuales se
resuelve el ejercicio. Pero es bastante conveniente comprobar los resultados para tener
garantía de que el Sistema de ecuaciones es correcto:
ECUACIONES DE COMPROBACIÓN:
(64)
5 6
Flujo Molar Total que Sale: FMoTS = 𝑁 + 𝑁 (65)
4 4 4 4 4
Flujo Másico en (4): FME4 = 20*𝑁𝐴 + 10*𝑁𝐵 + 12*𝑁𝑋 + 4*𝑁𝑌 + 12*𝑁𝐼 (66)
40
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5 5 5
Flujo Másico en (5): FME5 = 20*𝑁𝐴 + 10*𝑁𝐵 + 12*𝑁𝐼 (67)
6 6 6 6
Flujo Másico en (6): FME6 = 12*𝑁𝑋 + 4*𝑁𝑌 + 10*𝑁𝐵 + 12*𝑁𝐼 (68)
OTROS CÁLCULOS:
4 4 4
Corriente (4): 𝑥𝐴 = 𝑁𝐴/𝑁 (71)
4 4 4
𝑥𝐵 = 𝑁𝐵/𝑁 (72)
4 4 4
𝑥𝑋 = 𝑁𝑋/𝑁 (73)
4 4 4
𝑥𝑌 = 𝑁𝑌/𝑁 (74)
4 4 4
𝑥𝐼 = 𝑁𝐼 /𝑁 (75)
5 5 5
Corriente (5): 𝑥𝐴 = 𝑁𝐴/𝑁 (76)
5 5 5
𝑥𝐵 = 𝑁𝐵/𝑁 (77)
5 5 5
𝑥𝐼 = 𝑁𝐼 /𝑁 (78)
6 6 6
Corriente (6): 𝑥𝑋 = 𝑁𝑋/𝑁 (79)
6 6 6
𝑥𝑌 = 𝑁𝑌/𝑁 (80)
6 6 6
𝑥𝐵 = 𝑁𝐵/𝑁 (81)
41
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6 6 6
𝑥𝐼 = 𝑁𝐼 /𝑁 (82)
N5B=0,9*N4B FME5=20*N5A+10*N5B+12*N5I
N5I/N6I=1,8 FME6=12*N6X+4*N6Y+10*N6B+12*N6
N5A=N4A I
N5B+N6B=N4B FMQE=FE4
N6X=N4X FMQS=FE5+FE6
N6Y=N4Y X4A=N4A/N4
N5I+N6I=N4I X4B=N4B/N4
N4A=364,45 X4X=N4X/N4
N4B=1024,40 X4Y=N4Y/N4
N4X=1861,65 X4I=N4I/N4
N4Y=620,55 X5A=N5A/N5
N4I=15 X5B=N5B/N5
N4=N4A+N4B+N4X+N4Y+N4I X5I=N5I/N5
N5=N5A+N5B+N5I X6X=N6X/N6
N6=N6X+N6Y+N6B+N6I X6Y=N6Y/N6
FMoTE=N4 X6B=N6B/N6
FMoTS=N5+N6 X6I=N6I/N6
FME4=20*N4A+10*N4B+12*N4X+4*N4
Y+12*N4I
ejercicio. Son los más importantes entre las respuestas obtenidas. A partir de su
igualdad puede afirmarse que la solución al ejercicio es correcta.
El ejercicio pedía, primero, hallar cuánta y cuál información se requería para calcular los
flujos y las composiciones en las corrientes (5) y (6); segundo, que se asumiera esta
información y, tercero, que se calcularan los datos pedidos. Cualitativamente vimos que
se requieren dos datos adicionales con los cuales se pueden plantear 6 tipos de
problemas diferentes y cuantitativamente, docenas en cada tipo. Se escogió dar 2
Relaciones como Datos adicionales.
Ahora, cualquiera que sea el par de Datos adicionales escogidos, entre las 6
posibilidades, la nueva solución puede hacerse utilizando el Sistema de ecuaciones
hallado anteriormente, efectuando los cambios convenientes, como se demostró en un
ejemplo anterior en el que unas ecuaciones se reemplazaban por otras. Ahí puede
verse la generalidad del Método de Solución Simultáneo de las Ecuaciones
propuesto.
42
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6 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9
NVI: 11 (𝑁 , 𝑥𝑋, 𝑥𝑌, 𝑥𝐵, 𝑁 , 𝑥𝑋, 𝑥𝑌, 𝑁 , 𝑥𝐵, 𝑁 , 𝑥𝑋)
NBMI 4 (X, Y, B, I)
6
NFC 1 (𝑁 )
6 6 6 9
NCC 4 (𝑥𝑋, 𝑥𝑌, 𝑥𝐵, 𝑥𝑋)
NRC 0
G de L: 2
Hemos analizado este ejercicio y su posible solución con los “nuevos conceptos” dados
por el Balance de Materia, que no son más que los conceptos viejos, explicados de
manera diferente. El Balance de materia que hemos visto hasta ahora es la
misma Estequiometría a la que se le han añadido unas re-definiciones que
permiten un tratamiento y un análisis matemático. Es lo que denomino con el
nombre de ESTEQUIOMETRÍA APLICADA.
43
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Los ejercicios propuestos 3.1 a 3.10, en el texto del Maestro Reklaitis; los ejercicios P3.4
a P3.15 del texto de Regina M. Murphy; los ejercicios 5.1.1. a 5.1.10.; 5.2.1 a 5.2.7 del
texto del profesor Himmelblau, 8ª. Edición en inglés, entre muchos, son prueba de ello.
Lo importante es que, sin efectuar un solo cálculo, se pudo concluir que el ejercicio no
se puede resolver y que para hacerlo se requieren dos Datos adicionales más.
Asumir como datos adicionales dos flujos o dos composiciones es muy simple.
Coloquemos, de nuevo, dos Relaciones como Especificaciones adicionales, para aprender
más sobre ellas y aclarar las diferentes formas como pueden expresarse en un Proceso.
Digamos que la Información adicional que se conoce es: Primera, los Flujos totales de
las corrientes (7) y (9) están en la proporción 1 a 2,73 y, segunda, el cociente entre las
composiciones de los compuestos Y y X en la corriente (7) vale 10.
R1: Los Flujos totales de las corrientes (7) y (9) están en la proporción 1 a 2,73:
7 9
𝑁 /𝑁 = 2,73
(83)
(84)
Ecuaciones de Balance:
44
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7 8 9 6
Total: 𝑁 + 𝑁 + 𝑁 = 𝑁 (85)
7 7 9 9 6 6
X: 𝑥𝑋 𝑁 + 𝑥𝑋 𝑁 = 𝑥𝑋 𝑁 (86)
7 7 9 9 6 6
Y: 𝑥𝑌 𝑁 + (1 - 𝑥𝑋) 𝑁 = 𝑥𝑌 𝑁
(87)
8 8 6 6
B: 𝑥𝐵 𝑁 = 𝑥𝐵 𝑁
(88)
Observe que en la corriente (9) la composición del componente Y es una variable dependiente y por eso
debe expresarse en función de la composición del componente X.
6
Datos: 𝑁 = 2590,00
(89)
= 0,718785
6
𝑥𝑋
(90)
= 0,239595
6
𝑥𝑌
(91)
= 0,039552
6
𝑥𝐵
(92)
= 0,99
9
𝑥𝑋
(93)
Las ecuaciones (83) a (93) son el Sistema Mínimo de Ecuaciones necesario para resolver
el Ejercicio.
6 6 6 6 6 6
Flujo Másico en Corriente (6): FME6 = 12*𝑥𝑋*𝑁 + 4*𝑥𝑌*𝑁 + 10*𝑥𝐵*𝑁 +
6 6 6 6
12*(1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵)*𝑁 (94)
7 7 7 7
Flujo Másico en Corriente (7): FMS7 = 12*𝑥𝑋 *𝑁 + 4*𝑥𝑌 *𝑁 +
45
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7 7 7
12*(1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌)*𝑁 (95)
8 8 8 8
Flujo Másico en (8): FMS8 = 10*𝑥𝐵 *𝑁 + 12*(1 - 𝑥𝐵)*𝑁
(96)
9 9 9 9
Flujo Másico en (9): Corriente FMS9 = 12*𝑥𝑥 *𝑁 + 4*(1 - 𝑥𝑋)*𝑁 (97)
6 6 6
Corriente (6): 𝑁𝑋 = 𝑥𝑋*𝑁 (100)
6 6 6
𝑁𝑌 = 𝑥𝑌*𝑁 (101)
6 6 6
𝑁𝐵 = 𝑥𝐵*𝑁 (102)
6 6 6 6 6
𝑁𝐼 = (1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵)*𝑁
(103)
7 7 7
Corriente (7): 𝑁𝑋 = 𝑥𝑋*𝑁 (104)
7 7 7
𝑁𝑌 = 𝑥𝑌*𝑁 (105)
7 7 7 7
𝑁𝐼 = (1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌)*𝑁 (106)
8 8 8
Corriente (8): 𝑁𝐵 = 𝑥𝐵*𝑁 (107)
8 8 8
𝑁𝐼 = (1 - 𝑥𝐵)*𝑁
(108)
9 9 9
Corriente (9): 𝑁𝑋 = 𝑥𝑋*𝑁 (109)
9 9 9
𝑁𝑌 = (1 - 𝑥𝑋)*𝑁
(110)
46
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6 6 6 6
𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵) (111)
7 7 7
𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌)
(112)
8 8
𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝐵)
(113)
9 6
𝑥𝑌 = (1 - 𝑥𝑋)
(114)
7 7 8 8 6 6
𝑥𝐼 * 𝑁 + 𝑥𝐼 * 𝑁 = 𝑥𝐼 * 𝑁 (115)
N9=2,73*N7 FMQS=MS7+MS8+MS9
X7Y=10* X7X N6X=X6X*N6
N7+N8+N9=N6 N6Y=X6Y*N6
X7X*N7+X9X*N9=X6X*N6 N6B=X6B*N6
X7Y*N7+(1-X9X)*N9=X6Y*N6 N6I=(1-X6X-X6Y-X6B)*N6
X8B*N8=X6B*N6 N7X=X7X*N7
N6=2590 N7Y=X7Y*N7
X6X=0,718785 N7I=(1-X7X-X7Y)*N7
X6Y=0,239595 N8B=X8B*N8
X6B=0,039552 N8I=(1-X8B)*N8
X9X=0,99 N9X=X9X*N9
FME6=12*X6X*N6+4*X6Y*N6+ N9Y=(1-X9X)*N9
10*X6B*N6+12*(1-X6X-X6Y-X6B)*N6 X6I=(1-X6X-X6Y-X6B)
FMS7=12*X7X*N7+4*X7Y*N7+12*(1-X X7I=(1-X7X-X7Y)
7X-X7Y)*N7 X8I=(1-X8B)
FMS8=10*X8B*N8+12*(1-X8B)*N8 X9Y=(1-X9X)
FMS9=12*X9X*N9+4*(1-X9X)*N9 D=X7I*N7+X8I*N8-X6I*N6
FMQE=ME6
La solución es:
47
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Análisis de Resultados: Los Flujos másicos que Entran, FMQE, y Salen, FMQS, del
Proceso, que se muestran en negrilla, son iguales. Además, la diferencia entre el Flujo
de Inerte que Sale y el Flujo de Inerte que Entra, D, es de 5,512*10-15. Por tanto, puede
decirse que la solución obtenida es correcta.
Como una parte b) del ejercicio, asumamos que los Datos conocidos son el Flujo del
7
componente X en la corriente (7), 𝑁𝑌 = 60,2355 y que la Relación entre las
composiciones del componente B en la corriente (8) y el componente Y en la corriente
(9) vale 1,09139. Los Grados de libertad siguen siendo cero.
7
𝑁𝑌 = 60,2355
(83A)
8 7
𝑥𝐵/𝑥𝑌 = 1,09139
(84A)
N7X=60,2355 X6X=0,718785
X8B/X7Y=1,09139 X6Y=0,239595
N7+N8+N9=N6 X6B=0,039552
X7X*N7+X9X*N9=X6X*N6 X9X=0,99
X7Y*N7+(1-X9X)*N9=X6Y*N6 ME6=12*X6X*N6+4*X6Y*N6+10*X6B*
X8B*N8=X6B*N6 N6+12*(1-X6X-X6Y-X6B)*N6
N6=2590
1
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MS7=12*X7X*N7+4*X7Y*N7+12*(1-X7 N7I=(1-X7X-X7Y)*N7
X-X7Y)*N7 N8B=X8B*N8
MS8=10*X8B*N8+12*(1-X8B)*N8 N8I=(1-X8B)*N8
MS9=12*X9X*N9+4*(1-X9X)*N9 N9X=X9X*N9
MQE=ME6 N9Y=(1-X9X)*N9
MQS=MS7+MS8+MS9 X6I=(1-X6X-X6Y-X6B)
N6X=X6X*N6 X7I=(1-X7X-X7Y)
N6Y=X6Y*N6 X8I=(1-X8B)
N6B=X6B*N6 X9Y=(1-X9X)
N6I=(1-X6X-X6Y-X6B)*N6 D=X7I*N7+X8I*N8-X6I*N6
N7X=X7X*N7
N7Y=X7Y*N7
Puede observar que los resultados son prácticamente los mismos y la solución a esta
variante del ejercicio se realiza de una manera facilísima, ya que se utiliza el sistema de
ecuaciones anterior.
7
Y lo que es más importante, el Flujo del componente Y en la corriente (7), 𝑁𝑌,
no es una Variable de corriente en el Diagrama Cuantitativo de la Figura 13.
Sin embargo, puede utilizarse como información en el Método de Solución
Simultáneo de ecuaciones propuesto. En caso contrario, habría que plantear
el Diagrama cuantitativo usando Flujos por Componente (al menos en la
corriente 7) como variables de corriente y plantear de nuevo las ecuaciones de
balance. Esta es otra ventaja del Método propuesto.
A un Divisor entra siempre una corriente y de él salen 2 o más ramales, con la misma
composición de la corriente de entrada. Este equipo solo reparte el flujo de entrada en
varias corrientes y, por tanto, las fracciones másicas y molares de las corrientes que
entran y salen de él son iguales.
RD = (C – 1) * (R – 1)
(116)
El caso más sencillo, aquel en el que la corriente de entrada está formado por dos
componentes y el equipo la parte en dos ramales, se muestra en la Figura 14.
48
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2 3 1
Total: 𝑁 + 𝑁 = 𝑁
(117)
2 2 3 3 1 1
A: 𝑥𝐴*𝑁 + 𝑥𝐴*𝑁 = 𝑥𝐴*𝑁
(118)
Con dos Componentes y dos Ramales, las Restricciones del Divisor valen:
RD = (2 - 1) * (2 - 1) = 1
2 1
𝑥𝐴 = 𝑥𝐴
(119)
3 1
𝑥𝐴 = 𝑥𝐴 (120)
Pero en el cálculo de los Grados de Libertad propuesto por el Maestro Reklaitis, una de
ellas es establecida por las Restricciones del Divisor y la otra está definida por el Balance
del componente A. Por eso las Restricciones del Divisor tiene un valor de 1.
Otra forma que puede usarse para expresar la Restricción se presenta las composiciones
del componente entre las corrientes de salida:
3 2
𝑥𝐴 = 𝑥𝐴 (121)
49
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2 2 2 1 1 1
𝑁𝐴/(𝑁𝐴 + 𝑁𝐵) = 𝑁𝐴/(𝑁𝐴 + 𝑁𝐵)
(121A)
3 3 3 1 1 1
𝑁𝐴/(𝑁𝐴 + 𝑁𝐵) = 𝑁𝐴/(𝑁𝐴 + 𝑁𝐵
(121B)
1 1 2 2
𝑁𝐴/𝑁𝐵 = 𝑁𝐴/𝑁𝐵
(121C)
1 1 3 3
𝑁𝐴/𝑁𝐵 = 𝑁𝐴/𝑁𝐵
(121D)
2 2 3 3
𝑁𝐴/𝑁𝐵 = 𝑁𝐴/𝑁𝐵
(121E)
11 5
Fracción de Recirculación: FR = 𝑁 /𝑁
(123)
El valor del Flujo en la corriente de Recirculación está limitado muchas veces por el
porcentaje de Inertes que pueden existir en la corriente de entrada al Reactor.
DERIVACIÓN:
50
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PROCESOS SOBRE-ESPECIFICADOS.
Falta analizar aquellos Procesos en que los Grados de Libertad son negativos, de los
cuales se dice que están SOBRE-ESPECIFICADOS. Son aquellos a los cuales les sobra
información. La solución se encuentra ignorando el número de Datos o Especificaciones
necesarios para que los Grados de Libertad valgan CERO y resolver el ejercicio. Es
importante anotar que dentro del mismo sistema de ecuaciones se pueden re-calcular
las especificaciones eliminadas y comparar los valores obtenidos con los datos
ignorados. Hay dos posibilidades:
1º. Que sean iguales: Se dice que el Proceso está Sobre-especificado, pero
no es Contradictorio.
𝑆𝑎𝑙𝑒
MMC*𝑁𝐶 = MMC*𝑁𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎
𝐶
+ MMC*σC r
(5B)
𝑆𝑎𝑙𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎
𝐹𝐶 = 𝐹𝐶 + MMC*σC r
(5C)
51
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Y se debe acabar con la idea, ya equivocada, de que siempre que haya reacciones
químicas deben usarse flujos molares. Ya equivocada, porque esta aseveración viene de
los tiempos en que los cálculos se hacían de manera manual y se ha seguido repitiendo
y repitiendo, sin beneficio de inventario. Muchos autores hasta convierten las fracciones
másicas a molares en la corriente de entrada a un Reactor para hacer balances molares.
Los Balances de Materia en Procesos Unitarios pueden realizarse con Flujos másicos y
Fracciones másicas, no solo con Flujos y Fracciones molares y, aun mezclando estas
diferentes unidades. Solo debe tener cuidado que las unidades de todos los términos del
balance sean homogéneas y utilizar las masas moleculares, para transformar flujos
molares en másicos y viceversa. Simplemente, se debe tener en cuenta que las
ecuaciones deben ser homogéneas en las dimensiones y en las unidades.
𝑆𝑎𝑙𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎
𝐹𝐶 = 𝐹𝐶
(5D)
𝑅
𝑗 𝑖
∑ 𝑁𝐶 = ∑ 𝑁𝐶 + ∑ σ𝑐𝑟 𝑟𝑟
𝑗=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑖=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟=1
𝑅
𝑗 𝑗 𝑖 𝑖
∑ 𝑥𝐶𝑁 = ∑ 𝑥𝐶𝑁 + ∑ σ𝑐𝑟 𝑟𝑟
𝑗=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑖=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟=1
𝑅
𝑗 𝑖
∑ 𝐹𝐶 = ∑ 𝐹𝐶 + 𝑀𝑀𝐶 * ∑ σ𝑐𝑟 𝑟𝑟
𝑗=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑖=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟=1
𝑗 𝑅
𝑗 𝑖 𝑖
∑ 𝑤𝐶 𝐹 = ∑ 𝑤𝐶𝐹 + 𝑀𝑀𝐶 * ∑ σ𝑐𝑟 𝑟𝑟
𝑗=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑖=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟=1
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𝑗 𝑖
∑ 𝑁𝐶 = ∑ 𝑁𝐶
𝑗=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑖=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑗 𝑗 𝑖 𝑖
∑ 𝑥𝐶𝑁 = ∑ 𝑥𝐶𝑁
𝑗=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑖=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑗 𝑖
∑ 𝐹𝐶 = ∑ 𝐹𝐶
𝑗=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑖=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑗 𝑗 𝑖 𝑖
∑ 𝑤𝐶 𝐹 = ∑ 𝑤𝐶𝐹
𝑗=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑖=𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
53
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a. La Conversión en el Proceso.
b. El porcentaje del compuesto B que va a la Purga.
c. El porcentaje del compuesto B que se recircula.
d. El porcentaje del compuesto X formado que va a la corriente (7).
e. La fracción de Recirculación.
f. ¿Cómo se afecta la solución al ejercicio si el compuesto B se añade en un exceso
del 25%?. Los otros datos no cambian.
g. ¿Cómo se afecta la solución al ejercicio si la eficiencia de la reacción es del 81%?.
Los otros datos no se modifican.
54
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Muestra todos los equipos, todas las corrientes y todos los componentes de cada una de
ellas. Hay ejercicios en los que se suministra pero hay otros en los que debe construirse.
Para hacerlo se debe ser cuidadoso al asignar los elementos a cada corriente.
Se debe procurar que una variable, cuyo valor es conocido, no se use como tal. Pero en
el caso de que se haga, se utiliza una Relación para expresarla, como pasa en este caso
con el porcentaje del inerte, I, en la corriente (3).
Puede hacerse con flujos másicos y, aún, mezclar flujos másicos y molares.
56
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3 3 3 3
𝑥𝐵 * 𝑁 = 2 * 1,15 * 𝑥𝐴 * 𝑁
También sabemos calcularla y también sabemos que es más sencillo utilizar “Lo
que no reacciona” porque la ecuación es más simple.
4 3
𝑁𝐴 = 0,37 𝑁𝐴
5 4
𝑁𝐵 = 0,9 * 𝑁𝐵
R4: El Flujo del Inerte en las corrientes (5) y (6) están en proporción 1,8/1.
5 5 5 6 6 6 6
((1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵)*𝑁 )/ ((1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵)*𝑁 ) = 1,8/1
R5: El cociente entre las fracciones de los compuestos Y y X en la corriente (7) vale
10,0.
7 7
𝑥𝑌/𝑥𝑋 = 10,0
RD = (3 – 1) * (2 – 1) = 2
R7: Como la fracción molar del inerte, I, en la corriente (3), se utilizó como una
variable dependiente en el Diagrama Cuantitativo, su composición se expresa
como una Relación:
3 3 3
(1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) = 𝑥𝐼
57
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Aclaremos que en todo Proceso hay una Unidad Dependiente, porque si en él hay U
unidades, se pueden plantear (U + 1) sistemas de ecuaciones (El 1 corresponde al
sistema de balances del Proceso Global), pero solo U son independientes. Es decir, si se
resuelven los balances de las U unidades, los resultados deben satisfacer las ecuaciones
de Balance del Global, que serán dependientes.
La inmensa mayoría de los ejercicios propuestos y resueltos por los autores de textos
sobre Balance de materia comienzan casi siempre a resolver los ejercicios por el Global.
En el método propuesto en este documento lo utilizaremos solamente para comprobar
los resultados, la única forma de comprobación de resultados que falta explicar y lo
haremos en este ejemplo.
La Tabla de Grados de Libertad que se propone para utilizar el Método de Solución
Simultánea, se construye de la misma manera que en el método propuesto por el
Maestro Reklaitis, PERO SOLO PARA EL PROCESO. Tiene los mismos cinco términos y se
construye a partir del Diagrama Cuantitativo:
1º. NVI: Se anotan y se cuentan las Variables Independientes de todas las corrientes,
incluidas las Velocidades de Reacción;
2º. NBMI: Se hallan los Balances Independientes de todas las Unidades y se suman;
3º. NFC: Se anotan y cuentan los Flujos conocidos;
4º. NCC: Se anotan y cuentan las Composiciones Conocidas;
5º. NRC: Se anotan y cuentan las Relaciones que existen en el Proceso.
1 1 2 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6
NVI: 32 (𝑁 , 𝑥𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁 , 𝑥𝐴, 𝑥𝐵, 𝑁𝑋, 𝑁𝑌, 𝑁𝐴, 𝑁𝐵, 𝑁𝐼 , 𝑁 , 𝑥𝐴, 𝑥𝐵, 𝑁 , 𝑥𝑋, 𝑥𝑌,
6 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10 11 11 11
𝑥𝐵, 𝑁 , 𝑥𝑋, 𝑥𝑌, 𝑁 , 𝑥𝐵, 𝑁 , 𝑥𝑋, 𝑁 , 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵 , 𝑁 , 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵 , 𝑟1 )
58
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1 6 8 9
NCC 4 (𝑥𝐴, 𝑥𝑋, 𝑥𝐵, 𝑥𝑋)
NRC 8 (R1, R2, R3, R4, R5, 2 R1)
G de L: 0
Observe que, aunque los Grados de Libertad valen CERO, no hay flujos conocidos y el Proceso se
encuentra Sobre-especificado (Los Grados de Libertad valen cero, sin flujos conocidos). La Tabla
de Grados de Libertad puede hacerse rápidamente sin especificar cada uno de los términos:
NVI: 32
NBMI 20
NFC 0
NCC 4
NRC 8
G de L: 0
Hallemos los Grados de Libertad de manera diferente, para corroborar el valor hallado y,
además, para saber el tamaño del sistema que debe resolverse:
falla, puede utilizarse Matlab por su asequibilidad y potencia. Y viceversa. GAMS también
es bueno aunque es poco amigable.
El hecho de que haya más ecuaciones que incógnitas no es ningún problema. Cuando se
analiza un Proceso y se encuentra que tiene esta característica, simplemente, y de
manera general, se elimina un número de Relaciones tal, que los Grados de Libertad se
vuelvan CERO. Ojo, nunca se deben eliminar las Restricciones del Divisor porque son
condiciones Físicas que se cumplen o se cumplen. Y ni se les ocurra eliminar una
ecuación de balance, que también son leyes. En este caso se elimina una Relación y los
Grados de Libertad se vuelven CERO. Queda un sistema de 26*26.
En ambos casos la Relación sobra y en el segundo debe eliminarse del enunciado porque
el ejercicio está mal diseñado.
En este caso particular que nos ocupa se elimina la Relación 4 porque es la más difícil de
cumplir debido a la pequeña cantidad del inerte en ambas corrientes
Ecuaciones en el Mezclador:
3 1 2 11
Total: 𝑁 = 𝑁 + 𝑁𝐵 + 𝑁
(127)
3 3 1 1 11 11
A: 𝑥𝐴 * 𝑁 = 𝑥𝐴 * 𝑁 + 𝑥𝐴 * 𝑁 (128)
3 3 2 11 11
B: 𝑥𝐵 * 𝑁 = 𝑁𝐵 + 𝑥𝐵 * 𝑁
(129)
Ecuaciones en el Reactor:
4 3 3
A: 𝑁𝐴 = 𝑥𝐴 * 𝑁 - r1 (130)
4 3 3
B: 𝑁𝐵 = 𝑥𝐵 * 𝑁 - 2 r1
(131)
4
X: 𝑁𝑋 = 3 r1
(132)
4
Y: 𝑁𝑌 = r1
(133)
4 3 3 3
I: 𝑁𝐼 = (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) * 𝑁
(134)
Ecuaciones en el Separador I:
5 5 4
A: 𝑥𝐴 * 𝑁 = 𝑁𝐴
(135)
5 5 6 6 4
B: 𝑥𝐵 * 𝑁 + 𝑥𝐵 𝑁 = 𝑁𝐵
(136)
6 6 4
X: 𝑥𝑋 𝑁 = 𝑁𝑋
(137)
6 6 4
Y: 𝑥𝑌 𝑁 = 𝑁𝑌
(138)
5 6 4 4 4 4 4
Total: 𝑁 + 𝑁 = 𝑁𝑋 + 𝑁𝑌 + 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 + 𝑁
𝐼
(139)
7 8 9 6
Total: 𝑁 + 𝑁 + 𝑁 = 𝑁
(140)
7 7 9 9 6 6
X: 𝑥𝑋 𝑁 + 𝑥𝑋 𝑁 = 𝑥𝑋 𝑁
(141)
61
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7 7 9 9 6 6
Y: 𝑥𝑌 𝑁 + (1 - 𝑥𝑋) 𝑁 = 𝑥𝑌 𝑁
(142)
8 8 6 6
B: 𝑥𝐵 𝑁 = 𝑥𝐵 𝑁
(143)
10 11 5
Total: 𝑁 + 𝑁 = 𝑁
(144)
10 10 11 11 5 5
A: 𝑥𝐴 𝑁 + 𝑥𝐴 𝑁 = 𝑥𝐴 𝑁
(145)
10 10 11 11 5 5
B: 𝑥𝐵 𝑁 + 𝑥𝐵 𝑁 = 𝑥𝐵 𝑁
(146)
4 3 3
De R2: 𝑁𝐴 = 0,37 𝑥𝐴 * 𝑁
(148)
5 5 4
De R3: 𝑥𝐵 * 𝑁 = 0,9 * 𝑁𝐵
(149)
5 5 5 6 6 6 6
De R4: ((1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵)*𝑁 )/ ((1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵)*𝑁 ) = 1,8/1
(150)
7 7
De R5: 𝑥𝑌/𝑥𝑋 = 10,00
(151)
5 11
De R6: 𝑥𝐴 = 𝑥𝐴
(152)
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5 11
𝑥𝐵 = 𝑥𝐵
(153)
3 3 3
De R7: (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) = 𝑥𝐼
(154)
De nuevo, la Relación más difícil de cumplir es la número 4, ecuación (150), por lo que
se excluye del sistema. Éste queda de 26*26. (Realmente, queda de 28*28 porque una
composición conocida se expresó por medio de una Relación y se añadió el cálculo de
R4)
1
Base de Cálculo: 𝑁 = 1000
(155)
1
Datos: 𝑥𝐴 = 0,985
(156)
6
𝑥𝑋 = 0,7188 (157)
8
𝑥𝐵 = 0,9950
(158)
9
𝑥𝑋 = 0,99
(159)
5 5 5 6 6 6 6
R4 = ((1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵)*𝑁 )/ ((1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵)*𝑁 ) = 1,8/1
(150A)
La forma como se escribe en EES el sistema de ecuaciones es:
N3 = N1+N2B+N11 X7X*N7+X9X*N9=3*R1
X3A*N3=X1A*N1+X11A*N11 X7Y*N7+(1-X9X)*N9=R1
X3B*N3=N2B+X11B*N11 (1-X7X-X7Y)*N7+(1-X8B)*N8+(1-X10A-X
X10A*N10=X1A*N1-R1 10B)*N10=(1-X1A)*N1
X8B*N8+X10B*N10=N2B-2*R1 X5A*N5=N4A
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X5B*N5+X6B*N6=N4B N4A=0,37*X3A*N3
X6X*N6=N4X X5B*N5=0,9*N4B
X6Y*N6=N4Y X7Y=10*X7X
N5+N6=N4X+N4Y+N4A+N4B+N4I N1=1000
N7+N8+N9=N6 X5A=X11A
X7X*N7+X9X*N9=X6X*N6 X5B=X11B
X7Y*N7+(1-X9X)*N9=X6Y*N6 X1A=0,985
X6X=0,7188
X8B*N8=X6B*N6 X8B=0,995
N10+N11=N5 (1-X3A-X3B)=0,05
X10A*N10+X11A*N11=X5A*N5 X9X=0,99
X10B*N10+X11B*N11=X5B*N5 R4=((1-X5A-X5B)*N5)/((1-X6X-X6Y-X6B)
X3B*N3=2*1,15*X3A*N3 *N6
La solución es:
1º. La construcción del Diagrama Cualitativo es sencilla en la mayoría de los casos, pero
puede presentar complicaciones en Procesos complejos, básicamente por deficiencias en
Comprensión de Lectura, de conocimientos que deben haberse aprendido en
Introducción a la Ingeniería Química y de práctica. La mayoría de los ejercicios de
balance tienen el muñequito y resolver un ejercicio sin él, puede presentar dificultades.
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2º. Para hacer el Diagrama Cuantitativo se requiere tener claridad sobre la nomenclatura
utilizada, que es muy fácil, y del concepto y clase de Variables Dependientes e
Independientes.
Las Ecuaciones de Balance de materia en el Proceso Global, que involucra solo las
entradas y salidas de todo el Proceso y que no hemos utilizado son:
10 10 1 1
A: 𝑥𝐴 𝑁 = 𝑥𝐴 𝑁 - r 1
(160)
8 8 10 10 2
B: 𝑥𝐵 𝑁 + 𝑥𝐵 𝑁 = 𝑁𝐵 - 2 r1 (161)
7 7 9 9
X: 𝑥𝑋 𝑁 + 𝑥𝑋 𝑁 = 3 r1
(162)
7 7 9 9
Y: 𝑥𝑌 𝑁 + (1 - 𝑥𝑋) 𝑁 = r1
(163)
7 7 7 8 8 10 10 10 1 1
I: (1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌) 𝑁 + (1 - 𝑥𝐵) 𝑁 + (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵 ) 𝑁 = (1 - 𝑥𝐴) 𝑁 (164)
62
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N3 = N1+N2B+N11 N10+N11=N5
X3A*N3=X1A*N1+X11A*N11 X10A*N10+X11A*N11=X5A*N5
X3B*N3=N2B+X11B*N11 X10B*N10+X11B*N11=X5B*N5
X10A*N10=X1A*N1-R1 X3B*N3=2*1,15*X3A*N3
X8B*N8+X10B*N10=N2B-2*R1 N4A=0,37*X3A*N3
X7X*N7+X9X*N9=3*R1 X5B*N5=0,9*N4B
X7Y*N7+(1-X9X)*N9=R1 X7Y=10*X7X
(1-X7X-X7Y)*N7+(1-X8B)*N8+(1-X10A-X N1=1000
10B)*N10=(1-X1A)*N1 X5A=X11A
X5A*N5=N4A X5B=X11B
X5B*N5+X6B*N6=N4B X1A=0,985
X6X*N6=N4X X6X=0,7188
X6Y*N6=N4Y X8B=0,995
N5+N6=N4X+N4Y+N4A+N4B+N4I (1-X3A-X3B)=0,05
N7+N8+N9=N6 X9X=0,99
X7X*N7+X9X*N9=X6X*N6 R4=((1-X5A-X5B)*N5)/((1-X6X-X6Y-X6B)
X7Y*N7+(1-X9X)*N9=X6Y*N6 *N6
X8B*N8=X6B*N6
Análisis de Resultados: Puede comprobarse que las respuestas obtenidas son exactas
a las anteriores. Por tanto, la primera solución es correcta y esta es una forma excelente
para corroborar los resultados al efectuar balances de materia en Operaciones y
Procesos Unitarios.
N3 = N1+N2B+N11 N4B=X3B*N3-2*R1
X3A*N3=X1A*N1+X11A*N11 N4X=3*R1
X3B*N3=N2B+X11B*N11 N4Y=R1
N4A=X3A*N3-R1 N4I=(1-X3A-X3B)*N3
62
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X10A*N10=X1A*N1-R1 N4A=0,37*X3A*N3
X8B*N8+X10B*N10=N2B-2*R1 X5B*N5=0,9*N4B
X7X*N7+X9X*N9=3*R1 X7Y=10*X7X
X7Y*N7+(1-X9X)*N9=R1 N1=1000
(1-X7X-X7Y)*N7+(1-X8B)*N8+(1-X10A-X X5A=X11A
10B)*N10=(1-X1A)*N1 X5B=X11B
N7+N8+N9=N6 X1A=0,985
X7X*N7+X9X*N9=X6X*N6 X6X=0,7188
X7Y*N7+(1-X9X)*N9=X6Y*N6 X8B=0,995
X8B*N8=X6B*N6 (1-X3A-X3B)=0,05
N10+N11=N5 X9X=0,99
X10A*N10+X11A*N11=X5A*N5 R4=((1-X5A-X5B)*N5)/((1-X6X-X6Y-X6B)
X10B*N10+X11B*N11=X5B*N5 *N6)
X3B*N3=2*1,15*X3A*N3
El reemplazo de las Balances Globales por los de cualquier unidad puede efectuarse en
procesos en los que solo intervengan Operaciones Unitarias de la misma manera.
Decíamos que la Base de Cálculo podía tomarse en cualquier sitio. El ejercicio puede
resolverse tomando como Base los Flujos totales de las corrientes (2), (3), (5), (6), (7),
(8), (9), (10) o cualquiera de los flujos por componente de la corriente (4), con solo
cambiar el Flujo N1.
EES no presentó problemas para resolver el sistema con las variaciones flujo anteriores,
pero si lo hizo con el Flujo en la corriente (11). Como solución, se plantearon las
Restricciones del Divisor entre las composiciones de las corrientes (5) y (10), es decir, se
5 10 5 10
usaron las ecuaciones 𝑥𝐴 = 𝑥𝐴 y 𝑥𝐵 = 𝑥𝐵 . Originalmente se establecieron entre las
composiciones de las corrientes (5) y (11) y EES resolvió correctamente el sistema.
64
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Cambiar alguna o algunas de las ecuaciones del sistema es una de las alternativas que
puede tomarse cuando EES falla y no resuelve un sistema de ecuaciones correctamente
planteado, el cambio anterior es un ejemplo.
Pero hay otras posibilidades para efectuar el reemplazo de ecuaciones, recuerde que
siempre hay ecuaciones dependientes que no se han usado y que con ellas se pueden
reemplazar otras del Sistema Mínimo de ecuaciones para conseguir que EES lo resuelva.
Puede pasar con otros software.
Una vez que se ha establecido que los cálculos son correctos, pueden hallarse las
respuestas a los interrogantes del ejercicio, expresándolas mediante ecuaciones en
función de las Variables del Proceso.
(166)
(167)
(168)
(169)
65
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3 3 3 3
De R1F: 𝑥𝐵 * 𝑁 = 2 * 1,25 * 𝑥𝐴 * 𝑁 (147F)
4 3 3
De R2G: 𝑁𝐴 = 0,19 𝑥𝐴 * 𝑁
(148G)
Para darle toda la generalidad al Sistema de ecuaciones con que se resuelve el ejercicio,
se calculan las Fracciones y los Flujos Molares desconocidos:
66
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1 1
Corriente (1): 𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝐴)
(170)
1 1 1
𝑁𝐴 = ( 𝑥𝐴 * 𝑁 )
(171)
1 1 1
𝑁𝐼 = ( 𝑥𝐼 * 𝑁 )
(172)
3 3 3
Corriente (3): 𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵)
(173)
3 3 3
𝑁𝐴 = 𝑥𝐴 * 𝑁
(174)
3 3 3
𝑁𝐵 = 𝑥𝐵 * 𝑁
(175)
3 3 3
𝑁𝐼 = 𝑥𝐼 * 𝑁
(176)
4 4 4 4 4
Corriente (4): 𝑁 = 𝑁𝑋 + 𝑁𝑌 + 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 (177)
4 4 4
𝑥𝑋 = 𝑁𝑋/𝑁
(178)
4 4 4
𝑥𝑌 = 𝑁𝑌/𝑁
(179)
4 4 4
𝑥𝐵 = 𝑁𝐵/𝑁
(180)
4 4 4
𝑥𝐵 = 𝑁𝐵/𝑁
(181)
4 4 4
𝑥𝐼 = 𝑁𝐼 /𝑁
(182)
5 5 5
Corriente (5): 𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵)
(183)
67
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5 5 5
𝑁𝐴 = 𝑥𝐴 * 𝑁
(184)
5 5 5
𝑁𝐵 = 𝑥𝐵 * 𝑁
(185)
5 5 5
𝑁𝐼 = 𝑥𝐼 * 𝑁
(186)
6 6 6 6
Corriente (6): 𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵) (187)
6 6 6
𝑁𝑋 = 𝑥𝑋 * 𝑁
(188)
6 6 6
𝑁𝑌 = 𝑥𝑌 * 𝑁
(189)
6 6 6
𝑁𝐵 = 𝑥𝐵 * 𝑁
(190)
6 6 6
𝑁𝐼 = 𝑥𝐼 * 𝑁
(191)
7 7 7
Corriente (7): 𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌)
(192)
7 7 7
𝑁𝑋 = 𝑥𝑋 * 𝑁
(193)
7 7 7
𝑁𝑌 = 𝑥𝑌 * 𝑁
(194)
7 7 7
𝑁𝐼 = 𝑥𝐼 * 𝑁
(195)
8 8
Corriente (8): 𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝐵)
(196)
8 8 8
𝑁𝐵 = 𝑥𝐵 * 𝑁
(197)
8 8 8
𝑁𝐼 = 𝑥𝐼 * 𝑁
(198)
68
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9 9
Corriente (9): 𝑥𝑌 = (1 - 𝑥𝑋)
(199)
9 9 9
𝑁𝑋 = 𝑥𝑋 * 𝑁
(200)
9 9 9
𝑁𝑌 = 𝑥𝑌 * 𝑁
(201)
10 10 10
Corriente (10): 𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵 )
(202)
10 10 10
𝑁𝐴 = 𝑥𝐴 * 𝑁
(203)
10 10 10
𝑁𝐵 = 𝑥𝐵 * 𝑁
(204)
10 10 10
𝑁𝐼 = 𝑥𝐼 * 𝑁
(205)
11 11 11
Corriente (11): 𝑥𝐼 = (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵 )
(206)
11 11 11
𝑁𝐴 = 𝑥𝐴 * 𝑁
(207)
11 11 11
𝑁𝐵 = 𝑥𝐵 * 𝑁
(208)
11 11 11
𝑁𝐼 = 𝑥𝐼 * 𝑁
(209)
Con las mismas masas moleculares que se usaron anteriormente, las ecuaciones de
comprobación son:
Flujo Másico que entra a la Unidad = Flujo Másico que sale de la Unidad: FMEU = FMSU.
Mezclador:
1 1 1 2
FMEM = (20*𝑥𝐴 + 12*(1 - 𝑥𝐴)) * 𝑁 + 10 * 𝑁𝐵 +
69
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11 11 11 11 11
(20 * 𝑥𝐴 + 10 * 𝑥𝐵 + 12 * (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵 )) * 𝑁 (210)
3 3 3 3 3
FMSM = (20 * 𝑥𝐴 + 10 * 𝑥𝐵 + 12 * (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵)) * 𝑁
(211)
Reactor:
3 3 3 3 3
FMER = (20 * 𝑥𝐴 + 10 * 𝑥𝐵 + 12 * (1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵)) * 𝑁
(212)
4 4 4 4 4
FMSR = 12 * 𝑁𝑋 + 4 * 𝑁𝑌 + 20 * 𝑁𝐴 + 10 * 𝑁𝐵 + 12 * 𝑁𝐼 (213)
Separador I:
4 4 4 4 4
FMESI = (12 * 𝑁𝑋 + 4 * 𝑁𝑌 + 20 * 𝑁𝐴 + 10 * 𝑁𝐵 + 12 * 𝑁𝐼 )
(214)
5 5 5 5 5
FMSSI = (20*𝑥𝐴 + 10*𝑥𝐵 + 12*(1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵))*𝑁 +
6 6 6 6 6 6 6
(12*𝑥𝑋 + 4*𝑥𝑌 + 10*𝑥𝐵 + 12*(1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵)) * 𝑁
(215)
Separador II:
6 6 6 6 6 6 6
FMESII = (12*𝑥𝑋 + 4*𝑥𝑌 + 10*𝑥𝐵 + 12*(1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌 - 𝑥𝐵)) * 𝑁
(216)
7 7 7 7 7
FMSSII = (12*𝑥𝑋 + 4*𝑥𝑌 + 12*(1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌))*𝑁 +
8 8 8 9 9 9
(10*𝑥𝐵 + 12*(1 - 𝑥𝐵))*𝑁 + (12*𝑥𝑋 + 4*(1 - 𝑥𝑋)) * 𝑁
(217)
Divisor:
5 5 5 5 5
FMED = (20*𝑥𝐴 + 10*𝑥𝐵 + 12*(1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵)) * 𝑁
(218)
10 10 10 10 10
FMSD = (20*𝑥𝐴 + 10*𝑥𝐵 + 12*(1-𝑥𝐴 -𝑥𝐵 ))*𝑁 +
70
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11 11 11 11 11
(20*𝑥𝐴 + 10*𝑥𝐵 + 12*(1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵 )) * 𝑁
(219)
Proceso:
1 11 1 2
FMEP = (20*𝑥𝐴 + 10*(1 - 𝑥𝐴 )) * 𝑁 + 10 * 𝑁𝐵
(220)
7 7 7 7 7 10 10
FMSP = (12*𝑥𝑋 + 4*𝑥𝑌 + 12*(1 - 𝑥𝑋 - 𝑥𝑌)) * 𝑁 + (20*𝑥𝐴 + 10*𝑥𝐵 +
10 10 10 8 8 8
12*(1 - 𝑥𝐴 - 𝑥𝐵 )) * 𝑁 + (10*𝑥𝐵 + 12*(1 - 𝑥𝐵)) * 𝑁 +
9 9 9
(12*𝑥𝑋 + 4*(1 - 𝑥𝑋)) * 𝑁
(221)
El sistema de ecuaciones con todos los cálculos, comprobaciones, respuestas y todas las
variables del Proceso se muestra como se escribe en EES, a continuación. Es un sistema
de 90 ecuaciones con 90 incógnitas. El Sistema Mínimo de Ecuaciones está en negrilla.
N3 = N1+N2B+N11 X5A=X11A
X3A*N3=X1A*N1+X11A*N11 X5B=X11B
X3B*N3=N2B+X11B*N11 X1A=0,985
N4A=X3A*N3-R1 X6X=0,7188
N4B=X3B*N3-2*R1 X8B=0,995
N4X=3*R1 (1-X3A-X3B)=0,05
N4Y=R1 X9X=0,99
N4I=(1-X3A-X3B)*N3 R4=((1-X5A-X5B)*N5)/((1-X6X-X6Y-X6B)
X5A*N5=N4A *N6)
X5B*N5+X6B*N6=N4B CP=(X1A*N1-X10A*N10)/(X1A*N1)*100
X6X*N6=N4X PBP=(X10B*N10)/N2B*100
X6Y*N6=N4Y PBR=(X11B*N11)/N2B*100
N5+N6=N4X+N4Y+N4A+N4B+N4I PXFC7=(X7X*N7)/(X6X*N6)*100
N7+N8+N9=N6 FR=(N11/N5)*100
X7X*N7+X9X*N9=X6X*N6 X1I=1-X1A
X7Y*N7+(1-X9X)*N9=X6Y*N6 N1A=X1A*N1
X8B*N8=X6B*N6 N1I=X1I*N1
N10+N11=N5 X3I=1-X3A-X3B
X10A*N10+X11A*N11=X5A*N5 N3A=X3A*N3
X10B*N10+X11B*N11=X5B*N5 N3B=X3B*N3
X3B*N3=2*1,15*X3A*N3 N3I=X3I*N3
N4A=0,37*X3A*N3 N4=N4X+N4Y+N4A+N4B+N4I
X5B*N5=0,9*N4B X4X=N4X/N4
X7Y=10*X7X X4Y=N4Y/N4
N1=1000 X4A=N4A/N4
71
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X4B=N4B/N4 MFOM=(20*X3A+10*X3B+12*(1-X3A-X3
X4I=N4I/N4 B))*N3
X5I=1-X5A-X5B MFER=(20*X3A+10*X3B+12*(1-X3A-X3
N5A=X5A*N5 B))*N3
N5B=X5B*N5 MFOR=12*N4X+4*N4Y+20*N4A+10*N4
N5I=X5I*N5 B+12*N4I
X6I=1-X6X-X6Y-X6B MFIS1=12*N4X+4*N4Y+20*N4A+10*N
N6X=X6X*N6 4B+12*N4I
N6Y=X6Y*N6 MFOS1=(20*X5A+10*X5B+12*(1-X5A-X
N6B=X6B*N6 5B))*N5+(12*X6X+4*X6Y+10*X6B+12*
N6I=X6I*N6 (1-X6X-X6Y-X6B))*N6
X7I=1-X7X-X7Y MFIS2=(12*X6X+4*X6Y+10*X6B+12*(1
N7X=X7X*N7 -X6X-X6Y-X6B))*N6
N7Y=X7Y*N7 MFOS2=(12*X7X+4*X7Y+12*(1-X7X-X7
N7I=X7I*N7 Y))*N7+(10*X8B+12*(1-X8B))*N8+(12*
X8I=1-X8B X9X+4*(1-X9X))*N9
N8B=X8B*N8 MFIS=(20*X5A+10*X5B+12*(1-X5A-X5B
N8I=X8I*N8 ))*N5
X9Y=1-X9X MFOS=(20*X10A+10*X10B+12*(1-X10A
N9X=X9X*N9 -10B))*N10+(20*X11A+10*X11B+12*(1
N9Y=X9Y*N9 -X11A-X11B))*N11
X10I=1-X10A-X10B MFIP=(20*X1A+12*(1-X1A))*N1+10*N2
N10A=X10A*N10 B
N10B=X10B*N10 MFOP=(12*X7X+4*X7Y+12*(1-X7X-X7Y
N10I=X10I*N10 ))*N7+(10*X8B+12*(1-X8B))*N8+(12*X
X11I=1-X11A-X11B 9X+4*(1-X9X))*N9+(20*X10A+10*X10B
N11A=X11A*N11 +12*(1-X10A-X10B))*N10
N11B=X11B*N11
N11I=X11I*N11
MFIM=(20*X1A+12*(1-X1A))*N1+10*N
2B+(20*X11A+10*X11B+12*(1-X11A-X1
1B))*N11
71
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72
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73
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Se pueden decir varias cosas sobre el ejercicio propuesto y resuelto en este libro y que
se reproduce en las páginas anteriores:
74
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4°. Es un ejemplo mal escogido para tratar (sin ningún éxito) de demeritar el uso de
la solución simultánea de ecuaciones. Hay que reconocer que la afirmación de
que no son útiles puede deberse a que se trata de un texto de 1958.
A. SOLUCIÓN DEL EJERCICIO USANDO LOS CONCEPTOS DE
ESTEQUIOMETRÍA:
Se supone que hay 100 moles en la corriente (5). Por tanto, habrá: 8.21 moles de CO2;
0.91 moles de CO; 5.02 moles de O2 y 85.86 moles de nitrógeno.
22.805 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑂2
Aire que entra = 0,21 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑂2 = 108,5952 moles
𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑜
85.86 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑁2
Aire que Entra = 0,79 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑁2 = 108.6835 moles
𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑜
Las dos respuestas son casi iguales y en Balance de Materia se dice que se trata de un
Proceso Sobre-especificado y no contradictorio.
75
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que es lo que se pregunta en el ejercicio. Esta respuesta ha sido hallada sin utilizar
ninguna ecuación ni ninguna incógnita.
Se utilizará exactamente el mismo número de pasos propuestos para resolver todos los
ejercicios de Balance de Materia.
Figura 16
3. RELACIONES: No hay.
Nos referimos a los Balances Elementales porque en el Reactor del ejercicio que estamos
analizando no se conoce la estequiometría de la transformación química que ocurre y no
es posible hacer balances por componente. Aunque se debe estudiar la independencia
lineal de los Balances Elementales, aceptemos que son independientes y que se puede
hacer un balance para cada elemento presente. En otras palabras, cuatro Balances.
77
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NRC 0
G de L: -1
Corroborando los Grados de Libertad del Proceso:
El Proceso propuesto por los distinguidos autores está Sobre-Especificado. Tiene 1 Grado
de Libertad. Hay 8 incógnitas y se pueden plantear 9 ecuaciones de Balance.
Base de Cálculo: Se coloca como una ecuación dentro de los Datos del Proceso.
3 3 3 2
C: (1 * 𝑥𝐶𝑂 + 1 *𝑥𝐶𝑂) * 𝑁 = 1 * 𝑁𝐶𝐻 (223)
2 4
3 3 2
H: 2 * 𝑥𝐻 𝑂 * 𝑁 = 4 * 𝑁𝐶𝐻 (224)
2 4
3 3 3 3 3 1 1
O: (2 * 𝑥𝐶𝑂 + 1 * 𝑥𝐶𝑂 + 2 * 𝑥𝑂 + 1 * 𝑥𝐻 𝑂) * 𝑁 = 2 * 𝑥𝑂 * 𝑁 (225)
2 2 2 2
78
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3 3 3 3 3 1 1
N: 2 * (1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 - 𝑥𝐻 𝑂) * 𝑁 = 2 * (1 - 𝑥𝑂 ) *𝑁 (226)
2 2 2 2
4 3 3
H2O: 𝑁𝐻 𝑂 = 𝑥𝐻 𝑂 * 𝑁 (227)
2 2
5 5 3 3
CO2: 𝑥𝐶𝑂 * 𝑁 = 𝑥𝐶𝑂 * 𝑁 (228)
2 2
5 5 3 3
CO: 𝑥𝐶𝑂 * 𝑁 = 𝑥𝐶𝑂 * 𝑁 (229)
5 5 3 3
O2: 𝑥𝑂 * 𝑁 = 𝑥𝑂 * 𝑁 (230)
2 2
5 4 3
Total: 𝑁 + 𝑁𝐻 𝑂 = 𝑁 (231)
2
1
Base de Cálculo: 𝑁 = 100 (232)
5
Composiciones: 𝑥𝐶𝑂 = 0.0821 (233)
2
5
𝑥𝐶𝑂 = 0.0091 (234)
5
𝑥𝑂 = 0.0502 (235)
2
1
𝑥𝑂 = 0.21 (236)
2
Es bueno precisar que las ecuaciones que forman el Sistema Mínimo en este ejercicio
son: las cuatro ecuaciones de Balances Elementales en el Reactor: C, H, O y N; las cinco
ecuaciones de Balances por Componente en el Condensador: CO2, CO, H2O, O2 y N2; las
79
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1 5 5 5
cuatro ecuaciones que corresponden a los datos dados por el ejercicio: 𝑥𝑂 , 𝑥𝐶𝑂 , 𝑥𝐶𝑂, 𝑥𝑂
2 2 2
1
, y una ecuación que corresponde al dato asumido como Base de Cálculo, 𝑁 .
Es necesario ignorar una de las composiciones (una de las ecuaciones (233) a (236))
para obtener un sistema de 13*13, configurándose el Sistema Mínimo de Ecuaciones
necesario para resolver el ejercicio. Puede ignorarse cualquiera de ellas.
Ignorando, por ejemplo, la fracción molar de CO2 en los gases que salen del
condensador o ecuación (233), el Proceso queda con CERO Grados de Libertad.
(X3CO2+X3CO)*N3=N2CH4
2*X3H2O*N3=4*N2CH4
(2*X3CO2+X3CO+2*X3O2+X3H2O)*N3=2*X1O2*N1
2*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)*N3=2*(1-X1O2)*N1
N4H2O=X3H2O*N3
X5CO2*N5=X3CO2*N3
X5CO*N5=X3CO*N3
X5O2*N5=X3O2*N3
N5+N4H2O=N3
N1=100
X1O2=0,21
X5CO=0,0091
X5O2=0,0502
Y su solución es:
Las respuestas halladas deben ser analizadas. Primero debe comprobarse que todas
sean positivas y, segundo, que los valores hallados para las composiciones deben estar
entre 0 y 1.
80
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5
Si estas condiciones se cumplen, puede compararse el valor hallado para 𝑥𝐶𝑂 con el
2
Pero que los valores obtenidos sean positivos y las composiciones estén entre
0 y 1, no son garantía de que el ejercicio haya sido resuelto correctamente.
Por tanto, es recomendable no utilizar solo el Sistema Mínimo (más adelante veremos
una posibilidad para utilizar solamente el Sistema Mínimo) en la solución de un ejercicio,
sino utilizar el Sistema Total, el cual está formado por:
1. LAS ECUACIONES DEL SISTEMA MÍNIMO: El tamaño del Sistema está dado
por la Comprobación que se efectúa de los Grados de Libertad más los datos conocidos
y la Base de Cálculo si no hay flujos conocidos. Debe ser de n*n si el Proceso está
especificado correctamente o debe reducirse a esa situación si el Proceso está
Sobre-especificado o Sub-especificado.
Para Operaciones Unitarios se puede plantear, también, las ecuaciones que expresan
matemáticamente el Principio de la Conservación del número de moles (o del flujo
molar) a la Entrada y Salida de las diferentes unidades del Proceso y del Proceso Global,
es decir, se halla la suma de los flujos molares de las diferentes corrientes.
81
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Si se encuentra que los valores hallados con estas Ecuaciones de Conservación (másicas
o molares) son iguales a la Entrada y a la Salida de cada aparato y del Proceso Global, y
dado que las variables utilizadas en las ecuaciones de Conservación se calcularon con
otras ecuaciones, se puede concluir que las respuestas son correctas y, por
tanto, las ecuaciones del Sistema Mínimo fueron planteadas correctamente.
1 1 1 2
FMER = F1 + F2 = (32 * 𝑥𝑂 + 28 * (1 - 𝑥𝑂 )) * 𝑁 + 16 * 𝑁𝐶𝐻 (237)
2 2 4
3 3 3 3
FMSR = F3 = (44 *) 𝑥𝐶𝑂 + 28 * 𝑥𝐶𝑂 + 32 * 𝑥𝑂 + 18 * 𝑥𝐻 𝑂 +
2 2 2
3 3 3 3 3
28*(1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 - 𝑥𝐻 𝑂) * 𝑁 (238)
2 2 2
3 3 3 3
FMEC = F3 = (44 *) 𝑥𝐶𝑂 + 28 * 𝑥𝐶𝑂 + 32 * 𝑥𝑂 + 18 * 𝑥𝐻 𝑂 +
2 2 2
3 3 3 3 3
28 * (1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 - 𝑥𝐻 𝑂) * 𝑁 (239)
2 2 2
4 5 5 5
FMSC = F4 + F5 = 18 * 𝑁𝐻 𝑂 + (44 * 𝑥𝐶𝑂 + 28 * 𝑥𝐶𝑂 + 32 * 𝑥𝑂 +
2 2 2
5 5 5 5
28 * (1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 ) * 𝑁 (240)
2 2
1 1 1 2
FMEPG = F1 + F2 = (32 *) 𝑥𝑂 + 28 * (1 - 𝑥𝑂 )) * 𝑁 + 16 * 𝑁𝐶𝐻 (241)
2 2 4
4 5 5 5
FMSPG = F4 + F5 = 18 * 𝑁𝐻 𝑂 + (44 * 𝑥𝐶𝑂 + 28 * 𝑥𝐶𝑂 + 32 * 𝑥𝑂 +
2 2 2
5 5 5 5
28 * (1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 ) * 𝑁 (242)
2 2
Reactor y del Global y la suma de los flujos molares de las corrientes que entran y salen
del Condensador (C).
Con respecto a las ecuaciones (237) a (242), las únicas ecuaciones de Conservación que
cambian son las del Condensador:
FMoEC = N3 (243)
FMoSC = N4 + N5 (244)
Las expresiones con las que se calculan estos valores pueden ser adicionadas a las
anteriores y tener todas las respuestas pedidas de una sola vez.
En este caso se pide hallar (moles de aire/mol de metano), valor que se expresa por
medio de la ecuación (245):
1 2
Co = (𝑁 /𝑁𝐶𝐻 ) (245)
4
83
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Hacerlo trae una ventaja: La utilización del Sistema Total, con estos cálculos, permitirá
analizar cualquier variante que se efectúe en el Problema. O lo que es lo mismo, utilizar
todas las variables de corriente posibles en el Diagrama Cuantitativo sin necesidad de
efectuar ningún cambio en las ecuaciones de balance de materia de las unidades del
Proceso. Recuerde que las variables de corriente para un balance cualquiera son
diferentes si se utilizan flujos y composiciones o Flujos por componente.
1 1 1
Corriente (1): 𝑁𝑂 = 𝑥𝑂 * 𝑁 (246)
2 2
1 1 1
𝑁𝑁 = (1 - 𝑥𝑂 ) * 𝑁 (247)
2 2
3 3 3
Corriente (3): 𝑁𝐶𝑂 = 𝑥𝐶𝑂 * 𝑁 (248)
2 2
3 3 3
𝑁𝐶𝑂 = 𝑥𝐶𝑂 * 𝑁 (249)
3 3 3
𝑁𝑂 = 𝑥𝑂 * 𝑁 (250)
2 2
3 3 3
𝑁𝐻 𝑂 = 𝑥𝐻 𝑂 * 𝑁 (251)
2 2
3 3 3 3 3 3
𝑁𝑁 = (1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 - 𝑥𝐻 𝑂) * 𝑁 (252)
2 2 2 2
5 5 5
Corriente (5): 𝑁𝐶𝑂 = 𝑥𝐶𝑂 * 𝑁 (253)
2 2
5 5 5
𝑁𝐶𝑂 = 𝑥𝐶𝑂 * 𝑁 (254)
5 5 5
𝑁𝑂 = 𝑥𝑂 * 𝑁 (255)
2 2
5 5 5 5 5
𝑁𝑁 = (1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 ) * 𝑁 (256)
2 2 2
El Sistema formado por las ecuaciones (223) a (256), excluyendo la ecuación (233), es
el Sistema Total del Proceso: 31 ecuaciones con 31 incógnitas.
La forma como se escribe en EES las ecuaciones del Sistema Total es:
(X3CO2+X3CO)*N3=N2CH4
84
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2*X3H2O*N3=4*N2CH4
(2*X3CO2+X3CO+2*X3O2+X3H2O)*N3=2*X1O2*N1
2*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)*N3=2*(1-X1O2)*N1
N4H2O=X3H2O*N3
X5CO2*N5=X3CO2*N3
X5CO*N5=X3CO*N3
X5O2*N5=X3O2*N3
N5+N4H2O=N3
N1=100
X1O2=0.21
X5CO=0.0091
X5O2=0.0502
FMER=(32*X1O2+28*(1-X1O2))*N1+16*N2CH4
FMSR=(44*X3CO2+28*X3CO+32*X3O2+18*X3H2O+28*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)
)*N3
FMEC=(44*X3CO2+28*X3CO+32*X3O2+18*X3H2O+28*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)
)*N3
FMSC=18*N4H2O+(44*X5CO2+28*X5CO+32*X5O2+28*(1-X5CO2-X5CO-X5O2))*N5
FMEPG=(32*X1O2+28*(1-X1O2))*N1+16*N2CH4
FMSPG=18*N4H2O+(44*X5CO2+28*X5CO+32*X5O2+28*(1-X5CO2-X5CO-X5O2))*N5
R=N1/N2CH4
N1O2=X1O2*N1
N1N2=(1-X1O2)*N1
N3CO2=X3CO2*N3
N3CO=X3CO*N3
N3O2=X3O2*N3
N3H2O=X3H2O*N3
N3N2=(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)*N3
N5CO2=X5CO2*N5
N5CO=X5CO*N5
N5O2=X5CO2*N5
N5N2=(1-X5CO2-X5CO-X5O2)*N5
de 0,0821. Por lo tanto, la diferencia entre los dos es muy pequeña y se puede concluir
que el proceso está Sobre-especificado PERO NO ES CONTRADICTORIO.
5 5 5
¿Qué sucede si se ignora una composición diferente a 𝑥𝐶𝑂 ?. ¿Por ejemplo, 𝑥𝑂 o 𝑥𝐶𝑂?.
2 2
Para mostrar que el Método General de Análisis propuesto es una excelente forma para
resolver y analizar los problemas y ejercicios de Balance de Materia, las nuevas
soluciones al ignorar estas dos composiciones, se obtienen cambiando una sola ecuación
5
en el Sistema Total inicial. Basta eliminar la ecuación (235) ó 𝑥𝑂 = 0,0502 si se desea
2
A continuación se muestran, tal como se escriben en EES, las ecuaciones del nuevo
5
Sistema Total ignorando 𝑥𝑂 = 0,0502.
2
(X3CO2+X3CO)*N3=N2CH4
2*X3H2O*N3=4*N2CH4
(2*X3CO2+X3CO+2*X3O2+X3H2O)*N3=2*X1O2*N1
2*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)*N3=2*(1-X1O2)*N1
N4H2O=X3H2O*N3
X5CO2*N5=X3CO2*N3
X5CO*N5=X3CO*N3
X5O2*N5=X3O2*N3
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Balance de Materia
Profesor Titular Universidad Nacional
N5+N4H2O=N3
N1=100
X1O2=0,21
X5CO=0,0091
X5CO2=0,0821
FMER=(32*X1O2+28*(1-X1O2))*N1+16*N2CH4
FMSR=(44*X3CO2+28*X3CO+32*X3O2+18*X3H2O+28*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)
)*N3
FMEC=(44*X3CO2+28*X3CO+32*X3O2+18*X3H2O+28*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)
)*N3
FMSC=18*N4H2O+(44*X5CO2+28*X5CO+32*X5O2+28*(1-X5CO2-X5CO-X5O2))*N5
FMEPG=(32*X1O2+28*(1-X1O2))*N1+16*N2CH4
FMSPG=18*N4H2O+(44*X5CO2+28*X5CO+32*X5O2+28*(1-X5CO2-X5CO-X5O2))*N5
R=N1/N2CH4
N1O2=X1O2*N1
N1N2=(1-X1O2)*N1
N3CO2=X3CO2*N3
N3CO=X3CO*N3
N3O2=X3O2*N3
N3H2O=X3H2O*N3
N3N2=(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)*N3
N5CO2=X5CO2*N5
N5CO=X5CO*N5
N5O2=X5CO2*N5
N5N2=(1-X5CO2-X5CO-X5O2)*N5
5 5 5
La Tabla 1 muestra las soluciones al ejercicio ignorando, en su orden, 𝑥𝐶𝑂 , 𝑥𝑂 y 𝑥𝐶𝑂 ,
2 2
Las respuestas varían poco en las tres soluciones presentadas y sus valores son
similares.
5 5 5 2
C: (1 * 𝑥𝐶𝑂 + 1 *𝑥𝐶𝑂) * 𝑁 = 1 * 𝑁𝐶𝐻 (257)
2 4
4 2
H: 2 * 𝑁𝐻 𝑂 = 4 * 𝑁𝐶𝐻 (258)
2 4
5 5 5 5 4 1 1
O: (2 * 𝑥𝐶𝑂 + 1 * 𝑥𝐶𝑂 + 2 * 𝑥𝑂 ) * 𝑁 + 1 * 𝑁𝐻 𝑂 = 2 * 𝑥𝑂 * 𝑁 (259)
2 2 2 2
5 5 5 5 1 1
N: 2 * (1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 ) * 𝑁 = 2 * (1 - 𝑥𝑂 ) * 𝑁 (260)
2 2 2
Pero es más práctico introducirlas dentro del Sistema Mínimo de ecuaciones. Es obvio
que no se pueden adicionar directamente porque se formaría un sistema de 17
ecuaciones con 13 incógnitas.
Pero la diferencia entre ellas si puede usarse, como nuevas variables desconocidas, C, H,
O y N, cuyos valores deben ser cero, si el Proceso fue resuelto correctamente:
5 5 5 2
C: C = (1 * 𝑥𝐶𝑂 + 1 *𝑥𝐶𝑂) * 𝑁 - 1 * 𝑁𝐶𝐻 (261)
2 4
4 2
H: H = 2 * 𝑁𝐻 𝑂 - 4 * 𝑁𝐶𝐻 (262)
2 4
5 5 5 5 4 1 1
O: O = (2*𝑥𝐶𝑂 + 1*𝑥𝐶𝑂 + 2*𝑥𝑂 )*𝑁 + 1 * 𝑁𝐻 𝑂 - 2*𝑥𝑂 *𝑁 (263)
2 2 2 2
5 5 5 5 1 1
N: N = 2 * (1 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝐶𝑂 - 𝑥𝑂 )*𝑁 - 2 * (1 - 𝑥𝑂 )*𝑁 (264)
2 2 2
El Sistema que se debe resolver está formado por las ecuaciones (223) a (236) sin la
ecuación (233) y las ecuaciones (261) a (264): 17 ecuaciones con 17 incógnitas.
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(X3CO2+X3CO)*N3=N2CH4
2*X3H2O*N3=4*N2CH4
(2*X3CO2+X3CO+2*X3O2+X3H2O)*N3=2*X1O2*N1
2*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)*N3=2*(1-X1O2)*N1
N4H2O=X3H2O*N3
X5CO2*N5=X3CO2*N3
X5CO*N5=X3CO*N3
X5O2*N5=X3O2*N3
N5+N4H2O=N3
N1=100
X1O2=0,21
X5CO=0,0091
X5O2=0,0502
C=(X5CO2+X5CO)*N5-N2CH4
H=2*N4H2O-4*N2CH4
O=(2*X5CO2+X5CO+2*X5O2)*N5+N4H2O-2*X1O2*N1
N=2*(1-X5CO2-X5CO-X5O2)*N5-2*(1-X1O2)*N1
En ellas puede verse que las diferencias para cada elemento, llamadas C, H, O y N, entre
los átomos que entran y salen del Proceso, valen CERO, como era de esperarse y se
muestran en negrilla. Por lo que puede concluirse que el Sistema Mínimo fue bien
planteado y los resultados son correctos.
Otra manera para corroborar los resultados del Sistema Mínimo consiste en utilizar las
ecuaciones de balance del Proceso Global en la formulación del sistema. Para comprobar
los resultados se reemplazan las ecuaciones de balances de una de las Unidades por las
ecuaciones de balance del Proceso Global. Si los resultados iniciales son correctos, los
del segundo Sistema Único deben ser los mismos.
formado. Luego se compararán los resultados. No olvide que los sistemas deben seguir
siendo de 13*13.
Dada la facilidad con la que el Método Propuesto permite analizar las variantes de un
ejercicio, a continuación se muestra cómo se escriben los Sistemas de Ecuaciones en
EES y la Tabla 2 reúne los resultados de los tres cálculos hechos para el mismo Proceso,
para su comparación:
(X5CO2+X5CO)*N5=N2CH4
2*N4H2O=4*N2CH4
(2*X5CO2+X5CO+2*X5O2)*N5+N4H2O=2*X1O2*N1
2*(1-X5CO2-X5CO-X5O2)*N5=2*(1-X1O2)*N1
N4H2O=X3H2O*N3
X5CO2*N5=X3CO2*N3
X5CO*N5=X3CO*N3
X5O2*N5=X3O2*N3
N5+N4H2O=N3
N1=100
X1O2=0,21
X5CO=0,0091
X5O2=0,0502
(X3CO2+X3CO)*N3=N2CH4
2*X3H2O*N3=4*N2CH4
(2*X3CO2+X3CO+2*X3O2+X3H2O)*N3=2*X1O2*N1
2*(1-X3CO2-X3CO-X3O2-X3H2O)*N3=2*(1-X1O2)*N1
(X5CO2+X5CO)*N5=N2CH4
2*N4H2O=4*N2CH4
(2*X5CO2+X5CO+2*X5O2)*N5+N4H2O=2*X1O2*N1
2*(1-X5CO2-X5CO-X5O2)*N5=2*(1-X1O2)*N1
N5+N4H2O=N3
N1=100
X1O2=0,21
X5CO=0,0091
X5O2=0,0502
Puede verse que los resultados son exactos. El Ejercicio fue resuelto correctamente.
En conclusión: Los argumentos presentados por los dos autores son incorrectos y,
obviamente, es la visión que se tenía del Balance de Materia hace 61 años.
Evidentemente, en el Balance de Materiales tiene muchos más conceptos que los aquí
presentados, pero todos giran en torno a los conceptos analizados. Con el enfoque que
se ha mostrado desde la Estequiometría, su estudio y comprensión será mucho más
fácil.
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