Curva Dual
Curva Dual
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Índice
1Ecuaciones
2Grado
3Polar recíproca
4Propiedades de la curva dual
5Generalizaciones
o 5.1Dimensiones superiores
o 5.2Polígono dual
6Véase también
7Referencias
8Bibliografía
Ecuaciones[editar]
Sea f(x, y, z) = 0 la ecuación de una curva en coordenadas homogéneas, y
sea Xx + Yy + Zz = 0 la ecuación de una recta, con (X, Y, Z) siendo
las coordenadas de la recta. La condición de que la línea sea tangente a la
curva se puede expresar en la forma F(X, Y, Z) = 0, que es la ecuación
tangencial de la curva.
Sea (p, q, r) el punto de la curva, entonces la ecuación de la tangente en este
punto viene dada por
Entonces Xx + Yy + Zz = 0 es una tangente a la
curva si
Al eliminar p, q, r y λ de estas ecuaciones, junto
con Xp + Yq + Zr = 0, se obtiene la ecuación
en X, Y y Z de la curva dual.
0:04
A la izquierda: la elipse (x2)2
+ (y3)2
= 1 con líneas tangentes xX + yY = 1 para
cualquier X, Y, como (2X)2 + (3Y)2 = 1.
A la derecha: la elipse dual (2X)2 + (3Y)2 = 1. Cada
tangente a la primera elipse corresponde a un punto en
la segunda (marcado con el mismo color)
Grado[editar]
Si X es una curva algebraica
plana, entonces el grado de su
dual es el número de puntos de
intersección con una línea recta
en el plano dual. Dado que una
línea en el plano dual
corresponde a un punto en el
plano, el grado del dual es el
número de tangentes al X que se
pueden trazar a través de un
punto dado. Los puntos donde
estas tangentes tocan la curva
son los puntos de intersección
entre la curva y la curva
polar con respecto al punto
dado. Si el grado de la curva
es d, entonces el grado de la
polar es d − 1 y, por lo tanto, el
número de tangentes que se
pueden trazar a través del punto
dado es como máximo d(d − 1).
El dual de una línea recta (una
curva de grado 1) es una
excepción a esta regla y se
considera un punto en el espacio
dual (es decir, la línea original).
Se considera que el dual de un
solo punto es la colección de
líneas rectas a través del punto;
esto forma una línea en el
espacio dual que corresponde al
punto original.
Si X es suave, es decir, no
posee puntos singulares,
entonces el dual de X tiene el
grado máximo d(d − 1). Si X es
una cónica, esto implica que su
dual también es una cónica. Esto
también se puede ver
geométricamente: la aplicación
entre una cónica y su dual es
una relación uno-a-uno (ya que
ninguna línea recta es tangente
a dos puntos de una cónica, ya
que eso requeriría una curva de
grado 4), y la línea tangente
varía suavemente (ya que la
curva es convexa, por lo que la
pendiente de la línea tangente
cambia monótonamente: las
cúspides en el dual requieren un
punto de inflexión en la curva
original, lo que requiere un
grado 3).
Para curvas con puntos
singulares, estos puntos también
estarán en la intersección de la
curva y su polar y esto reduce el
número de posibles líneas rectas
tangentes. El grado del dual
dado en términos del valor de d y
del número y tipos de puntos
singulares de X es una de
las fórmulas de Plücker.
Polar recíproca[editar]
Artículo principal: Inversión
(geometría)
Propiedades de la
curva dual[editar]
Las propiedades de la curva
original corresponden a
propiedades duales en la curva
dual. En la imagen de la
derecha, la curva roja tiene tres
singularidades: un nodo en el
centro y dos cúspides en la parte
inferior derecha e inferior
izquierda. La curva negra no
tiene singularidades, pero tiene
cuatro puntos particulares: los
dos puntos superiores tienen la
misma línea tangente (una línea
horizontal), mientras que hay dos
puntos de inflexión en la curva
superior. Los dos puntos
superiores corresponden al nodo
(punto doble), ya que ambos
tienen la misma línea tangente,
por lo tanto, se asignan al mismo
punto en la curva dual, mientras
que los puntos de inflexión
corresponden a las cúspides,
que corresponden primero a las
líneas tangentes. yendo en una
dirección, luego en la otra
(pendiente creciente, luego
decreciente).
Por el contrario, en una curva
suave y convexa, el ángulo de la
línea tangente cambia
monótonamente y la curva dual
resultante también es suave y
convexa.
Además, ambas curvas tienen
una simetría de reflexión, que
corresponde al hecho de que las
simetrías de un espacio
proyectivo corresponden a
simetrías del espacio dual, y que
la dualidad de curvas conserva
esta propiedad, por lo que las
curvas duales poseen el mismo
grupo de simetría. En este caso,
ambas simetrías toman la forma
de un reflejo especular de
izquierda a derecha. En este
caso, se trata de una disposición
arbitraria para identificar el
espacio y el espacio dual; en
general, son simetrías de
espacios diferentes.
Generalizaciones[editar]
Dimensiones
superiores[editar]
De manera similar, al generalizar
a dimensiones superiores, dada
una hipersuperficie, el espacio
tangente en cada punto produce
una familia de hiperplanos y, por
lo tanto, define una
hipersuperficie dual en el
espacio dual. Para cualquier
subvariedad cerrada X en un
espacio proyectivo, el conjunto
de todos los hiperplanos
tangentes a algún punto de X es
una subvariedad cerrada del
dual del espacio proyectivo,
llamado variedad dual de X.
Ejemplos
La variedad dual de
un punto (a0: ..., an) es
el hiperplano
Polígono
dual[editar]
Artículo
principal: Polígono dual
La construcción de la
curva dual funciona
incluso si la curva
es poligonal (o
está definida a
intervalos, pero la
correspondencia
resultante está
degenerada (si hay
componentes lineales)
o mal definida (si hay
puntos singulares).
En el caso de un
polígono, todos los
puntos en cada borde
comparten la misma
línea tangente y, por
lo tanto, se asignan al
mismo vértice del
dual, mientras que la
línea tangente de un
vértice está mal
definida y se puede
interpretar como todas
las líneas que pasan a
través de él con un
ángulo comprendido
entre las dos aristas
que comparten el
vértice. Esto
concuerda tanto con
la dualidad proyectiva
(las líneas rectas se
asignan a los puntos y
los puntos a las líneas
rectas) como con el
límite de las curvas
suaves sin
componente lineal:
cuando una curva se
aplana hacia un
borde, sus líneas
tangentes se asignan
a puntos cada vez
más cercanos; a
medida que una curva
se agudiza hasta
convertirse en un
vértice, sus líneas
tangentes se separan
más.
Véase
también[editar]
Polígono dual
Transformada de
Hough
Aplicación de
Gauss
Referencias[edit
ar]
1. ↑ Véase (Arnold,
1988)
2. ↑ Edwards, J.
(1892). Differential
Calculus. London:
MacMillan.
pp. 176.
3. ↑ La definición
rigurosa del
concepto de polar
usa la razón
anarmónica (y se
aplica incluso en el
caso en el
que C es la unión
de dos rectas
líneas distintas).
Aquí se supone de
hecho que el
campo base es
algebraicamente
cerrado; en el caso
real, por ejemplo,
se demuestra que
la polar es siempre
una línea real,
incluso cuando las
tangentes son
imaginarias.
Bibliografía[edit
ar]
Arnold, Vladimir
Igorevich
(1988), Geometric
al Methods in the
Theory of
Ordinary
Differential
Equations,
Springer, ISBN 3-
540-96649-8.
Hilton, Harold
(1920), «Chapter
IV: Tangential
Equation and
Polar
Reciprocation», Pl
ane Algebraic
Curves, Oxford.
Fulton,
William (1998), Int
ersection Theory,
Springer-Verlag, IS
BN 978-3-540-62046-
4.
Walker, R. J.
(1950), Algebraic
Curves, Princeton.
Brieskorn, E.;
Knorrer, H.
(1986), Plane
Algebraic Curves,
Birkhäuser, ISBN 9
78-3-7643-1769-0.
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Datos: Q641661
Categorías:
Curvas
Geometría proyectiva
Geometría diferencial
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