FLUIDOS EN MOVIMIENTO

● Fluidos ideales: tienen densidad constante y no hay fricción interna (viscosidad

nula). Los líquidos son básicamente incompresibles (no cambian su densidad) y los
gases a presión constante en el espacio pueden considerarse con densidad constante.
En ciertas ocasiones se puede despreciar el efecto de la fuerza asociada a la
viscosidad; por ejemplo, cuando esta es despreciable comparada con la fuerza de
gravedad y las fuerzas asociadas a la diferencia de presión.
● Flujo estable: los fluidos en movimiento se caracterizan por las líneas de flujo, que
indican las trayectorias de las partículas dentro del fluido. Si las líneas de flujo no
cambian en el tiempo, se dice que el flujo es estable.
● Ecuación de continuidad
Fluido fluye a través de un tubo cuya área transversal cambia.

La cantidad de fluido que ataviesa el área transversal A 1 en un intervalo de tiempo

dado , es la misma cantidad de fluido que atraviesa el área transversal A 2 en el
mismo intervalo de tiempo.
ρΔV 1 = ρΔV 2
En general si la velocidad es
A1 Δx 1= A2 Δx 2 la misma en toda el área
transversal y perpendicular
A1 v 1 Δt= A2 v 2 Δt
a esta sección.
A1 v 1 = A 2 v 2
 ● Ecuación de Bernoulli
Fluido (líquido) de densidad ρ fluye a través de un tubo en el que cambia la altura y el
área transversal.
Se estudia la energía mecánica
de una cantidad de masa Δm
que se mueve a lo largo del
tubo desde el punto 1 hasta el
punto 2.
Se escoge la línea media de la
sección 1 como la “altura” cero.

W P =E 2−E 1
1 1
W P = Δm v 22 + Δmgy 2− Δm v 21−Δmgy 1
2 2
1
W P =F 1 d 1−F 2 d 2 P+ ρ v 2 + ρgy=cte
2
W P =P 1 A1 d 1−P 2 A2 d 2
Ecuación de Bernoulli
W P =P 1 ΔV −P 2 ΔV
Δm= ρ ΔV
Ejercicios
● Aire fluye por un tubo en el que cambia el área transversal y cuya línea media es
horizontal. Si el radio en la sección 1 es 10,0cm y el radio en la sección 2 es 5,00cm, y
la rapidez del aire a la entrada (v1) es 40,0m/s, calcula la rapidez del fluido en la
sección 2 y la diferencia de presión entre la entrada y la salida. (Tome la densidad
del aire igual a 1,20kg/m3 )

● Para un caudal de agua de 0,015m3/s, que descarga libremente a la atmósfera,

determinar la presión manométrica en la sección 1. (Tome la densidad del agua
igual a 1000kg/m3)
● Un tanque abierto lleno de agua hasta una altura h, tiene un pequeño agujero en el
fondo. Si al área de la superficie libre del agua en el tanque es mucho mayor que el
área del agujero, encuentre una expresión para la rapidez del agua que sale del
agujero.

● Un tanque abierto se llena de agua y se le adapta un tubo en la parte inferior como

se muestra en la figura. Se sabe que el área del tanque es mucho mayor que el área
transversal del tubo. Si el área del tubo en la sección 2 es 0,0480m 2 y en la sección 3
(salida) es 0,0160m2: calcular el caudal de descarga y la presión manométrica en el
punto 2. (Tome la densidad del agua igual a 1000kg/m3)
● ¿Qué presión manométrica se requiere en una toma municipal de agua para que el
chorro de una manguera de bomberos conectada a ella alcance una altura vertical
de 15,0m? La toma tiene un diámetro mucho mayor que la manguera. (Tome la
densidad del agua igual a 1000kg/m3)

● Aire fluye horizontalmente por las alas de una avioneta. La rapidez del fluido por la
parte de arriba del ala es 70,0m/s y por la parte de abajo es 60,0m/s. Si el área de las
alas es 16,2m2, ¿qué fuerza vertical neta ejerce el aire sobre la nave? (Tome la
densidad del aire igual a 1,20kg/m3)
● Viscosidad
La viscosidad es un parámetro que caracteriza un fluido y se relaciona con la
fricción interna entre las capas del fluido.
Para algunos fluidos como la sangre, la miel o el aceite, es importante tener en
cuenta la viscosidad a la hora de estudiar su movimiento.
Cuando es relevante la fricción interna entre capas de fluido, el movimiento cesa al
desaparecer la fuente del flujo. Además la energía mecánica se “pierde” y se disipa
en forma de calor; es por esta razón que no es posible aplicar la ecuación de
Bernoulli.
● Viscosidad
Para determinar la viscosidad de un líquido puede medirse la fuerza de fricción
entre capas internas del líquido.
Imaginamos un líquido entre dos placas sólidas, la inferior está fija y la superior se
mueve con velocidad constante. La distancia entre las placas es mucho menor que
sus dimensiones. Para que la placa superior se mueva con velocidad constante se
aplica una fuerza (constante) que contraresta la fricción que ejerce la capa de
líquido.

Experimentalmente se
encuentra que:

v0 S
F f =η
d

Siendo η la viscocidad
[η]=PI=Pa s=kg/(m s)
1PI=10P
PI : Poiseuille
P : Poise
● Viscosidad
Se sabe que la viscosidad depende de la temperatura. Para el caso de los líquidos la
viscosidad disminuye con el aumento de temperatura y para los gases aumenta con
el incremento de la temperatura.
El movimiento del líquido dentro de las placas es tal que la rapidez de las láminas
es proporcional a la distancia transversal respecto a la placa inferior. Así:

dV v 0
=
dz d

En general

F f =η ∣ ∣
dV
dz
S

La magnitud de la fuerza de
fricción es proporcional a la
variación de la velocidad con la
distancia transversal.
● Viscosidad
Existen dos tipos de regímenes en el movimiento de un fluido viscoso:
1. Regímen laminar: el fluido se modela como una serie de capas que se mueven
unas respecto a otras y el flujo es estacionario. Este movimiento se da generalmente
cuando la velocidad de las partículas no es muy alta o cuando no se encuentran
obstáculos.
2. Regímen turbulento: cuando aumenta considerablemente la rapidez en el
regímen laminar el fluido puede tornarse turbulento, es decir, el flujo ya no es
estacionario y se pierde la forma de las líneas de movimiento que siguen las
partículas. Se pierde el patrón.

En general el cambio de
laminar a turbulento depende
de la velocidad, la viscosidad,
la densidad y de las
dimensiones del tubo por el
que circula el fluido:

ρvr Número de
N R=
η Reynolds
● Viscosidad
En general si el número de Reynolds es menor que 1000 (2000) el flujo es laminar, y
si es mayor que 2000(4000) es turbulento. Cuando el valor es intermedio, el flujo
puede cambiar inesperadamente de laminar a turbulento.

ρvr Número de
N R= Reynolds
η

● Ecuación de Poiseuille
Cuando un fluido viscoso se mueve a lo largo de un tubo, la energía mecánica
disminuye y es disipada en forma de calor debido a la fricción interna; luego ya no
es posible usar la ecuación de Bernoulli.
Sin embargo es posible estudiar el movimineto del fluido con el siguiente análisis:
● Viscosidad
Sabiendo que la rapidez
en el centro del tubo
está dada por la
expresión:

P 1−P 2 2
v 0= R
4ηl

Y suponiendo un perfil Se calcula el caudal a

parabólico de través de la sección
velocidades: transversal:
R

( ) ( r2 r4
)
2
r Q=2 πv 0 −
v (r )=v 0 1− 2 dQ=vdA 2 4R 2
R 0

( ) r2
dQ=v 0 1− 2 2 πrdr
R Q=
πR 2 v 0 v 0
2
= A
2

∫ ( )
R r2
Q= 0
v 0 1− 2 2 πrdr
R
 Si el caudal es
● Viscosidad
constante, la diferencia
de presión entre dos
πR 2 v 0 P 1−P 2 4 Ecuación de
Q= = πR puntos del tubo es
2 8ηl Poiseuille directamente
proporcional a la
distancia entre los
Debido a la viscosidad la puntos y a la
presión ya no es la misma viscosidad, e
a lo largo del tubo inversamente
4
horizontal con área proporcional a R
transversal constante.

Fluido ideal Fluido viscoso

● Viscosidad

La ecuación de 8ηl R f : Resistencia al flujo

ΔP= 4 Q=R f Q
Poiseuille puede ser πR 8ηl Pa s
escrita en términos de Rf= [ R f ]=
πR 4 m3
la resistencia al flujo.
Si se compara la ley de Poiseuille con la ley de Ohm en un
circuito eléctrico, la diferencia de presión sería el equivalente a
la caida de potencial eléctrico o voltaje, el caudal a la corriente
eléctrica y la resistencia eléctrica a la resistencia al flujo.

Tomado de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/watcir2.html
● Viscosidad

La energía por unidad de tiempo necesaria para mantener el fluido en movimiento

depende de la diferencia de presión y del caudal:

P= ΔP Q Potencia

P=R Q 2

ΔP 2
P=
R

[ P]=[ ΔP ][Q ]

m3
[ P ]=Pa
s

N m3 Nm J
[ P]= 2 = = =W
m s s s
Ejercicios
● Sangre circula por una arteria de radio 1,00mm y longiutd 10,0cm, si el caudal es de
2,50cm3/s, calcule la diferencia de presión entre la entrada y la salida de la arteria.
Exprese la respuesta en mmHg.

Tome la viscosidad de la sangre igual a 2,10x10-3 Pa s.

● En el fondo de un tanque abierto se conectan dos mangueras de 12,0m de longitud,
una tiene un radio de 2,00cm y la otra un radio de 1,00cm. Si el tanque se llena de
agua hasta una altura de 2,00m, calcule el caudal a la salida de ambas mangueras.

Tome la viscosidad del agua igual a 1,00x10-3 Pa s.

● Una aguja tiene un radio interno de 0,300mm y una longitud de 6,00cm. ¿Cuál es su
resistencia al flujo de agua a 20,0°C? La aguja se coloca en una jeringa de 2,00cm2 de
sección interna. ¿Qué fuerza debe ejercerse sobre el émbolo para introducir suero en
una vena, en la que la sangre tiene una presión manométrica de 10,0mmHg, a un
ritmo de 0,500cm3/s? Considérese la viscosidad del suero igual a la del agua.
● Se realiza una transfusión de sangre colocando el frasco a una altura de 60,0cm sobre
el brazo del paciente en el que se inyecta la sangre. La aguja tiene un radio interior de
0,200mm y una longitud de 6,00cm. La sangre se inyecta a un ritmo de 1,68cm 3/min.
Calcular la viscosidad de la sangre, sabiendo que su densidad es 1020kg/m 3 y
suponiendo que la presión manométrica en el interior de la vena es cero.
● El sistema circuilatorio en el ser humano
La sangre es una sustancia que contiene muchas celulas especializadas y transporta nutrientes, oxigeno y
productos de desecho a diferentes partes del cuerpo.

El corazón es el órgano que impulsa la sangre rica en oxígeno hacia las diferentes partes del cuerpo a través
de las arterias y recibe la sangre desoxigenada o con bajo nivel de oxígeno a través de las venas.

La sangre con bajo nivel de oxígeno llega al corazón a través de la vena cava y luego enviada por la arteria
pulmonar a los pulmones para abastecerla de oxígeno, para finalmente volver al corazón a través de la vena
pulmonar.

El movimiento de la sangre en el cuerpo se da por diferencias de presión, el corazón es una especie de bomba
hidráulica que impulsa la sangre hacia las diferentes partes del cuerpo. Gracias a la presión en las arterias la
sangre puede intercambiar sustancias en los capilares con las celulas del cuerpo.
● La arteria aorta se divide en arterias principales, que se dirigen a los diferentes
órganos del cuerpo, luego en arteriolas y más adelante en capilares, que están en
contacto directo con las celulas del cuerpo. Aunque el área de la sección transversal
de estos conductos se va reduciendo, el número de estos aumenta, de tal manera que
la sección total que atraviesa la sangre va aumentando.
● El caudal de sangre oxigenada que sale del corazón de un adulto en reposo es
aproximadamente 5,00L/min, si el radio de la arteria aorta es de aproximadamente
9,00mm, ¿cuál es la rapidez promedio de la sangre en ese punto del recorrido?

3 3
Q 5000cm / 60s 83,3 cm / s
V p= = 2
= 2
=32,8 cm /s≈0,33 m/ s
A π (0,9 cm) 2,54 cm

● Al ramificarse la aorta en arterias principales, disminuye el área transversal del

conducto, pero aumenta la sección total, siendo del orden de 2,0x10 -3m2, mayor que
el área de la salida. Así que la rapidez disminuye a:

Q 83,3×10−6 m3 / s
V p= = −3 2
=0,041 m/ s
A 2,0×10 m
En la medida que los conductos avanzan hacia las diferentes partes del cuerpo,
aumenta la sección total y disminuye la rapidez, esto permite el paso de
nutrientes y otras sustancias entre la célula y la sangre que se encuentra en los
capilares.

El radio de un capilar fino puede ser del orden de 2μm, ¿cuál será la diferencia
de presión en un capilar de este tamaño y cuya longitud es de 3,00mm?
4
ΔPπR
Q=
8ηl
ΔPπR4 〈v 〉8ηl
〈v 〉 A= ΔP= 2
=4158Pa≈31mmHg
8ηl R
ΔP R2
〈v 〉=
8ηl
Calcular ahora el número de capilares
2
Caudal por capilar q=〈v 〉 A=3,3×10−4 m/ s⋅π ( 2,0×10−6 m ) =4,1×10−15 m3 / s
−5 3
Caudal total Q=8,3×10 m / s
Q 8,3×10−5 m3 / s
Numero de capilares N= = −15 3
=2,0×1010
q 4,1×10 m / s
Se requiere esa gran cantidad de capilares para poder llegar a todos los puntos
del cuerpo.

Caída de presión a lo largo del sistema circulatorio

La presión de la sangre generalmente se mide en mmHg y su valor es una
presión manométrica.
Valores medios
Presión a la salida de la arteria aorta: 100mmHg
Presión a la entrada de las arterias principales: 99mmHg
Presión a la entrada de las arteriolas: 84mmHg
Presión a la entrada de los capilares: 30mmHg
Presión a la salida de los capilares (entrada del sistema venoso): 10mmHg
La caída de presión en el sistema arterial (periférico) es de 90mmHg
La sangre desoxigenda llega al corazón con una presión de 0mmHg
Las caídas de presión son mayores en los conductos donde hay una mayor
resistencia al flujo.
En el circuito venoso la presión es menor que en el arterial, por eso cuando se
extrae una muestra de sangre se hace desde las venas, de esta forma la sangre
sale suavemente y no en grandes cantidades y con alta presión como ocurre en
las arterias.

Una presión de 10mmHg, como es la presión en la entrada del circuito venoso,

no es suficiente para que la sangre suba hasta el corazón, sin embargo en estos
conductos existen válvulas que ayudan a subir la sangre a través de
movimientos de contracción y dilatación. Caminar y hacer ejercicio físico
regular ayuda a las venas a realizar estos movimientos y tener una buena
circulación de la sangre.
Potencia del corazón y resistencia al flujo

La resistencia al flujo de todo el sistema circulatorio puede calcularse a través

de la ecuación de Poiseuille:

ΔP 100mmHg 13300Pa 8 3
Rf= = = =1,60×10 Pa s /m
Q 83,3 cm 3 / s 8,3×10−5 m 3 / s

Cuando a las paredes de las arterias se adhieren diferentes sustancias,

disminuye su radio y aumenta la resistencia al flujo, lo que implica que el
corazón debe aumentar la presión con la que envía la sangre para mantener el
caudal, se genera hipertensión.

La potencia generada por el corazón para el proceso de riego sanguíneo a

través del cuerpo es:
4 −5 3
P= ΔP Q=1,33×10 Pa⋅8,33×10 m / s=1,1 W

La energía gastada en trabajo mecánico es el 25% de la consumida en los

alimentos, así que una persona debe consumir 4,4W para el funcionamiento
ordinario del corazón.
Ejercicios
● Un recipiente contiene glicerina. A una distancia de 0,18m por debajo de su

superficie se ha conectado un capilar de 1,0mm de radio y 1,5cm de longitud.

Suponiendo que el nivel de la glicerina se mantiene constante. ¿Cuánto
tiempo transcurre hasta que salen 5,0cm3 de fluido del capilar?
Tome la viscosidad de la glicerina igual a 1,0Pas

● En un depósito de 1,0m de profundidad leno de glicerina se echa una mezcla

de perdigones de plomo entre los cuales unos tienen 3,0mm de diámetro y
otros 1,0mm. ¿Cuánto más tardan en llegar al fondo los perdigones
pequeños que los grandes?

● Comparar el valor del número de Reynolds para el fluido de sangre por a) la

arteria aorta y b) un fino capilar