LT5°

5
5
Matemática
Matemática
Libro de texto
5
Matemática
Libro de texto
José Mauricio Pineda Rodríguez
Ministro de Educación, Ciencia y Tecnología, Interino
Ricardo Cardona A.
Viceministro de Educación y de Ciencia y Tecnología ad honorem
Wilfredo Alexander Granados Paz

Director Nacional de Currículo
Edgard Ernesto Abrego Cruz

Director General de Niveles y Modalidades Educativas
Janet Lorena Serrano de López

Directora Nacional de Asesoramiento Educativo y Desarrollo Estudiantil
Gustavo Antonio Cerros Urrutia

Gerente Curricular para el Diseño y Desarrollo de la Educación General
Félix Abraham Guevara Menjívar

Jefe del Departamento de Matemática
Equipo técnico autoral del Ministerio de Educación

Alejandra Natalia Regalado Bonilla Marta Rubidia Gamero de Morales
Ana Ester Argueta Aranda Norma Yolibeth López de Bermúdez
Diana Marcela Herrera Polanco Ruth Abigail Melara Viera
Doris Cecibel Ochoa Peña Salvador Enrique Rodríguez Hernández
Francisco Antonio Mejía Ramos Vilma Calderón Soriano de Alvarado
Inés Eugenia Palacios Vicente Vitelio Alexander Sola Gutiérrez
Liseth Steffany Martínez de Castillo Wendy Stefanía Rodríguez Argueta
María Dalila Ramírez Rivera
Equipo de diagramación
Francisco René Burgos Álvarez
Judith Samanta Romero de Ciudad Real
Laura Guadalupe Pérez
Corrección de estilo
Karen Lissett Guzmán Medrano
Ana Esmeralda Quijada Cárdenas
Cooperación Técnica de Japón a través de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA)
Primera edición c 2018. 372.704 5
Segunda edición c 2019. M425 Matemática 5 : libro de texto / equipo técnico autoral Wendy Stefanía
Rodríguez, Diana Marcela Herrera, Salvador Enrique Rodríguez,
Derechos reservados. Prohibida su venta y s/v Ana Ester Argueta, Ruth Abigail Melara, Vitelio Alexander Sola,
su reproducción con fines comerciales por Francisco Antonio Mejía. -- 2a ed. -- San Salvador, El Salv. : Ministerio de
Educación (MINED), 2019.
cualquier medio, sin previa autorización del 192 p. : il. ; 28 cm. -- (Esmate)
ISBN 978-99961-89-97-5 (impreso)
MINEDUCYT. 1. Matemáticas-Libros de texto. 2. Educación primaria-Libros de
Matemática 5 : libro de texto ... 2019
texto. 3. Matemáticas-Enseñanza elemental. I. Rodríguez Argueta,
Wendy Stefanía, coaut. II. Título.
BINA/jmh
Estimados estudiantes:
Nos complace darles la bienvenida a un nuevo año escolar y a una nueva oportunidad de
adquirir muchos conocimientos matemáticos.
Como Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (MINEDUCYT) a través del Proyecto de

Mejoramiento de los Aprendizajes en Matemática basado en los resultados de procesos de
evaluación en Educación Básica y Educación Media (ESMATE 2) hemos creado para ustedes
diversos materiales educativos, uno de ellos es el Libro de texto que tienen en sus manos.
Este libro contiene múltiples problemas y actividades con los que podrán desarrollar su
razonamiento y mejorar las capacidades matemáticas que les serán muy útiles para resolver
situaciones de la vida diaria.
Por ello, les invitamos a abordar cada actividad que contiene este libro como un reto a vencer
y contamos con que pondrán todo su esfuerzo y dedicación para convertirse en ciudadanos
ejemplares que contribuyan al desarrollo de nuestro querido país.
José Mauricio Pineda Rodríguez Ricardo Cardona A.

Ministro de Educación, Ciencia y Viceministro de Educación y de
Tecnología, Interino Ciencia y Tecnología ad honorem
Conozcamos nuestro libro
Segunda edición
En la presente edición se han incorporado las sugerencias y observaciones brindadas por los
docentes del sistema educativo nacional.
Secciones de cada clase
Título de la clase
Plantea un problema para Destaca los aspectos más

que lo resuelvas en esta clase. importantes sobre lo desarrollado en
la clase.
Presenta una o más soluciones del Contiene actividades para que ejercites
problema inicial, una de ellas puede lo aprendido en la clase, similares a las
ser similar a tu solución. que hiciste en la sección Analiza.
Clases especiales
Practica lo aprendido
Presenta ejercicios de todas las clases de una lección o unidad, para que practiques
los contenidos desarrollados.
Secciones especiales
¿Sabías que...?
¿Qué pasaría?
Presenta problemas similares al de la Proporciona datos curiosos relacionados

sección Analiza, con nuevos retos para al tema presentado en la clase.
que practiques un poco más.
ecuerda
Presenta uno o más ejercicios de clases, unidades o grados anteriores que te servirán para resolver
el Analiza.
Propone retos matemáticos en los que puedes aplicar con creatividad lo visto en clase y descubrir lo
mucho que has aprendido.
Nuestros acompañantes
Serán tus compañeras y compañeros durante todo el año escolar, compartirán contigo soluciones a
los problemas planteados en la sección Analiza.
¡Hola, te
acompañaremos
en este nuevo año,
aprenderemos
mucho de Julia Carmen Ana Beatriz José Carlos Antonio Mario
Matemática!
Nuestros personajes
Estos personajes forman parte de la fauna de El Salvador y en nuestro libro te darán pistas,
recomendaciones e información adicional para resolver los ejercicios propuestos. Es importante que
los respetemos y protejamos porque son parte de la naturaleza y algunos de ellos están en peligro de
extinción.
Soy una tortuga

Soy un garrobo, Soy un armadillo, golfina. Nosotras no Soy un perico
es común que nos pero en El Salvador olvidamos el lugar donde frente naranja,
encuentres tomando me conocen como nacimos, por eso regresamos conocido también como
el sol con iguanas, por lo cusuco, poseemos un duro cada año a las playas de El chocoyo. Nosotros
que suelen confundirnos, caparazón que nos ayuda Salvador a poner nuestros podemos llegar a vivir
pero somos especies a protegernos. huevos. hasta 25 años.
diferentes.
Índice
Unidad 1 Unidad 6
Divisibilidad, múltiplos y divisores .... 7 Cantidad por unidad .......................... 99
Lección 1: Divisibilidad ................................................. 8 Lección 1: Cantidad por unidad ............................... 100
Lección 2: Múltiplos ...................................................... 12
Unidad 7
Lección 3: Divisores ....................................................... 16 Equivalencia de monedas y
Lección 4: Múltiplos del año y numeración maya 22 elaboración de presupuestos............. 109
Unidad 2 Lección 1: Equivalencia de monedas ..................... 110
Ángulos y polígonos .............................. 25 Lección 2: Elaboración de presupuestos ............... 112
Lección 1: Polígonos regulares ................................... 26 Unidad 8
Lección 2: Suma de ángulos internos de un
31 Área de triángulos y cuadriláteros .. 117
polígono ............................................................................
Lección 1: Área de triángulos y cuadriláteros ........ 118
Lección 3: Ángulos ........................................................ 34
Unidad 9
Unidad 3 Unidades de medida en el
Multiplicación y división de sistema inglés ......................................... 127
números decimales por números Lección 1: Medidas de longitud ................................ 128
naturales ................................................. 37 Lección 2: Medidas de peso ...................................... 132
Lección 1: Multiplicación de números decimales
por números naturales ................................................ 38
Unidad 10
Lección 2: División de números decimales entre
Fracciones ............................................... 137
números naturales ....................................................... 49 Lección 1: Fracciones equivalentes ........................... 138
Unidad 4 Lección 2: Suma de fracciones heterogéneas ....... 146

Gráfica de líneas ................................... 61 Lección 3: Resta de fracciones heterogéneas ....... 153
Lección 1: Gráfica de líneas ........................................ 62 Lección 4: Expresión de fracciones como números

decimales ........................................................................ 159
Unidad 5 Lección 5: Operaciones combinadas ....................... 167
Multiplicación y división de
Unidad 11
números decimales por números
Clasificación y construcción de
decimales ................................................ 73
prismas .................................................... 171
Lección 1: Multiplicación de números decimales
por números decimales ............................................... 74 Lección 1: Clasificación y construcción de prismas 172
Lección 2: División de números decimales entre Unidad 12

números decimales ...................................................... 81 Cantidad desconocida ........................ 183
Lección 3: Cantidad a comparar, base y veces Lección 1: Cantidad desconocida ............................. 184
con números decimales ............................................... 89
Lección 4: Operaciones combinadas con
decimales ........................................................................ 94
1
Divisibilidad, múltiplos y divisores
En esta unidad aprenderás a
• Identificar cuándo un número es divisible por otro

• Encontrar el mínimo común múltiplo y el máximo
común divisor de dos números
• Resolver problemas de la vida cotidiana utilizando
el mínimo común múltiplo y máximo común divisor
• Establecer equivalencias entre los múltiplos de
tiempo (años)
• Convertir números naturales a numeración maya y
viceversa
1.1 Practica lo aprendido
1. Completa utilizando las tablas × 2 8 4 9 1 6 0 7 3 5
de multiplicar:
9
3
5
7
2
8
4
1
0
6
2. Encuentra el número que debe ir en el recuadro:
a. 3 × 4 = b. 4 × = 24 c. × 9 = 27 d. 2 × = 18
e. × 9 = 54 f. 6 × 6 = g. 8 × = 56 h. 9 × = 81
i. × 7 = 63 j. 7 × = 49 k. × 9 = 72 l. 7 × = 42
3. Completa utilizando las tablas de multiplicar:

a. b. c.
× 3 × 6 8 × 4 2
1 5 42 5 25
2 10 9 3 15
14
d. e. f.
× 7 9 × 4 8 × 5 2
42 3 6 7 49
8 16 20 12
9 7 42 9 81
72 20
El representa cualquier número natural. Encuen-

tra 10 valores para y que cumplan 3 × = . Puedes sustituir por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
8
1.2 Números pares e impares
Unidad 1
La profesora solicita a 14 estudiantes que hagan una fila y les entrega un número según su posición.
Luego los separa tal como se observa en la figura.
11 13
lado 1 3 5 9
7
derecho
lado 2 4 6 8 10 12 14
izquierdo
a. Completa:
lado lado
izquierdo
2 derecho 1
b. ¿Qué características poseen los números del lado izquierdo?

c. ¿Qué características poseen los números del lado derecho?
a.
lado lado
izquierdo
2 derecho 1
Carlos
b. Los números del lado izquierdo: c. Los números del lado derecho:
• Se obtienen de sumar 2 al número anterior. Se obtienen de sumar 2 al número anterior,
• Pertenecen a la tabla de multiplicar del 2. pero inician en 1.
Los números naturales se dividen en 2 tipos:
Números pares: Números naturales o cero Números impares: Números naturales que al
que al dividirse entre 2, el residuo es 0. dividirse entre 2, el residuo es diferente de 0.
1. De los siguientes números: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 y 24.
a. ¿Cuáles números son pares?
b. ¿Cuáles números son impares?
2. Al juego se le han borrado algunos números. 3 7 9

1
1 15
Completa según la regularidad que observas. salida
2 llegada
4
10 14
¿Puede un número natural ser par e impar a la vez?

Explica en tu cuaderno.
9
1.3 Divisibilidad por 2
ecuerda
Encierra los números pares.
6 9 15 24
La profesora Matilde escribió los números que se muestran.

a. Escribe los números pares.
b. Selecciona un número par y divídelo entre 2, ¿cuál es el residuo?
c. Escribe los números impares.
d. Selecciona un número impar y divídelo entre 2, ¿cuál es el residuo?
a. Los números pares son: 24 y 32. c. Los números impares son: 15 y 45.
b. Selecciono 32 y lo divido entre 2. d. Selecciono 45 y lo divido entre 2.

Julia
D U D U
3 2 2 4 5 2
– 2 1 6 – 4 2 2
1 2 D U 0 5 D U
– 1 2 – 4
0 1
Obtengo que el residuo es 0. Obtengo que el residuo es 1.
Se dice que un número natural es divisible por otro número natural si al dividirlos, el residuo es 0.
• Los números pares son divisibles por 2, ya que al dividirlos entre 2 el residuo es 0.
• Los números impares no son divisibles por 2, ya que al dividirlos entre 2 el residuo no es 0.
Ejemplo:
Un número es divisible por 2 si la cifra de las unidades es 0, 2, 4, 6 u 8
32 es divisible por 2.
45 no es divisible por 2.
1. ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 2?

a. 12 b. 18 c. 23 d. 39 e. 41
f. 54 g. 67 h. 246 i. 321 j. 100
2. Escribe un número de tres cifras que sea divisible por 2.
3. En una cancha hay 18 niñas que quieren jugar fútbol y de-

sean formar 2 equipos con la misma cantidad de niñas, sin
que ninguna se quede sin equipo. ¿Es posible?
Explica tu respuesta.
10
1.4 Divisibilidad por 3, 5 y 10
Unidad 1
Observa los números y responde:
9, 15, 20, 29 y 30
a. ¿Qué números son divisibles por 3? Recuerda que un número es divisible

b. ¿Qué números son divisibles por 5? por otro si al dividirlos el residuo es 0.
c. ¿Qué números son divisibles por 10?
d. ¿Existe algún número que no sea divisible por 3, ni por 5 ni por 10?
a. Efectúo las divisiones de los números entre 3 y los que tienen residuo 0 son:
9 ÷ 3 = 3, 15 ÷ 3 = 5, 30 ÷ 3 = 10
R: 9, 15 y 30 son divisibles por 3. Antonio
b. Efectúo las divisiones de los números entre 5 y los que tienen residuo 0 son:
15 ÷ 5 = 3, 20 ÷ 5 = 4, 30 ÷ 5 = 6
R: 15, 20 y 30 son divisibles por 5.
c. Efectúo las divisiones de los números entre 10 y los que tienen residuo 0 son:
20 ÷ 10 = 2, 30 ÷ 10 = 3
R: 20 y 30 son divisibles por 10.
d. Para el caso del número 29 obtengo que:

29 ÷ 3 = 9 residuo 2, 29 ÷ 5 = 5 residuo 4, 29 ÷ 10 = 2 residuo 9
R: 29 no es divisible por 3, ni por 5, ni por 10.
Un número es divisible por: Un número es divisible por:

• 3, si al dividir por 3 el residuo es 0. • 3, si la suma de sus cifras es divisible por 3
• 5, si al dividir por 5 el residuo es 0. • 5, si la cifra de las unidades es 0 o 5
• 10, si al dividir por 10 el residuo es 0. • 10, si la cifra de las unidades es 0
1. Escribe cuáles de los siguientes números son divisibles por 3:

a. 12 b. 13 c. 36 d. 266

a. 50 b. 18 c. 57 d. 35

a. 10 b. 15 c. 22 d. 100
1. Escribe un número que sea divisible por 3 y por 5.

2. Completa para que se forme un número de 3 cifras que sea divisible por 2 y por 3.
2 6
11
2.1 Múltiplos de un número
En una panadería se vende el pan en paquetes de la siguiente manera:

• El paquete de semitas contiene 3 panes.
• El paquete de quesadillas contiene 4 panes.
a. Carmen compró semitas, ¿qué cantidades pudo comprar?

b. Miguel compró quesadillas, ¿qué cantidades pudo comprar?
a. Como las semitas se venden en paquetes de b. Como las quesadillas se venden en paquetes
3 panes, utilizo la tabla de multiplicar del 3. de 4 panes, utilizo la tabla de multiplicar del
4.
Ana
n.° de paquetes 1 2 3 4 5 6 ... n.° de paquetes 1 2 3 4 5 6 ...
n.° de semitas 3 6 9 12 15 18 ... n.° de quesadillas 4 8 12 16 20 24 ...
R: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (semitas) R: 4, 8, 12, 16, 20, 24... (quesadillas)
• El número es múltiplo de , si es el resultado de multiplicar por un número natural , es

decir:
× =
es múltiplo de
Ejemplos:
Los números como: 3, 6, 9... son múltiplos de 3, ya que se obtienen de multiplicar 3 por números natu-
rales: 3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9 ...
Los números como: 4, 8, 12... son múltiplos de 4, ya que se obtienen de multiplicar 4 por números natu-
rales: 4 × 1 = 4, 4 × 2 = 8, 4 × 3 = 12 ...
• El cero es múltiplo de cualquier número, ya que 0 × = 0; donde es cualquier número natural.
1. Escribe 5 múltiplos para cada uno de los siguientes números.

a. 5 b. 7 c. 10
o o o
g g g
Ju Ju Ju
2. En el supermercado cada caja contiene 6 jugos.

jkdkdk jdjjfjg gggg jkdkdk jdjjfjg gggg jkdkdk jdjjfjg gggg
fhhff ffhgytur ueyehh fhhff ffhgytur ueyehh fhhff ffhgytur ueyehh
gjhkkjjkk fgdh dgrt h gjhkkjjkk fgdh dgrt h gjhkkjjkk fgdh dgrt h
juiolpñswe fhg juiolpñswe fhg juiolpñswe fhg
Cuántos jugos se tendrán si se compra:

qwerrtt 87659 qwerrtt 87659 qwerrtt 87659
a. 1 caja b. 2 cajas c. 3 cajas d. 4 cajas e. 5 cajas g

o
g
o
g
o
Ju Ju Ju
3. ¿Cuál es el menor múltiplo (diferente de 0) de un número? jkdkdk jdjjfjg gggg

fhhff ffhgytur ueyehh
gjhkkjjkk fgdh dgrt h
juiolpñswe fhg
qwerrtt 87659
jkdkdk jdjjfjg gggg
juiolpñswe fhg
qwerrtt 87659
jkdkdk jdjjfjg gggg
juiolpñswe fhg
qwerrtt 87659
Explica en tu cuaderno.
12
2.2 Múltiplos comunes de dos números
Unidad 1
Del problema de la clase anterior: Carmen y Miguel deciden comprar la misma cantidad de pan. ¿Cuán-
tos panes comprará cada niño? Escribe al menos 2 posibles números.
Observo las tablas de la clase anterior e identifico las cantidades comunes.
n.° de paquetes 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

n.° de semitas 3 6 9 12 15 18 21 24 ...
Carmen
n.° de quesadillas 4 8 12 16 20 24 28 32 ...
12 y 24 no son las únicas cantidades comunes,

puede haber más como 36 y 72 panes.
R: 12 o 24 panes.
Los múltiplos de números que coinciden se llaman múltiplos comunes.

Para obtener los múltiplos comunes de números:
① Escribe los múltiplos de cada número.
② Identifica y escribe los múltiplos que coinciden.
Ejemplo: Determina los múltiplos comunes de 4 y 5.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64...
①
Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65...
② Los múltiplos comunes de 4 y 5 son 20, 40, 60...
1. A continuación se muestra una lista de múltiplos de 4 y 6. Escribe cuatro múltiplos comunes.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48...
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72...
2. Encuentra 3 múltiplos comunes de los siguientes números:

a. 2 y 3 b. 6 y 9 c. 3 y 6
3. ¿Puede un número ser múltiplo de más de un número?

Explica tu respuesta.
Encuentra 2 múltiplos comunes de 2, 3 y 5. Considera que los pasos son los mismos, solo que debes en-
contrar los múltiplos de los 3 números.
13
2.3 Mínimo común múltiplo
Del problema de las clases anteriores: Carmen y Miguel deciden comprar la misma cantidad de panes,
pero la menor cantidad que sea posible. ¿Cuántos panes comprará cada uno?
Observo y selecciono el menor de los múltiplos comunes.
n.° de paquetes 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Julia n.° de semitas 3 6 9 12 15 18 21 24 ...
n.° de quesadillas 4 8 12 16 20 24 28 32 ...
menor múltiplo común

El menor de los múltiplos comunes de 3 y 4 es 12.
R: 12 panes.
El menor de los múltiplos comunes se llama mínimo común múltiplo y su abreviatura es mcm.
Para obtener el mcm de dos números:

Cuando se encuentra el primer
①Escribe los múltiplos de cada número. múltiplo común, no es necesario
②Identifica y escribe los múltiplos comunes. encontrar otros porque ese es el
③Identifica y escribe el menor de los múltiplos comunes. mcm.
Ejemplo: Determina el mcm de 4 y 5.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64...
①
Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65...
② Los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40, 60...
③ El mcm de 4 y 5 es 20.
1. Encuentra el mcm de los siguientes números:

a. 2 y 3 b. 6 y 9 c. 3 y 6
2. Marta comprará galletas y dulces. Las galletas vienen en paquetes

de 4 unidades y los dulces en paquetes de 6 unidades. Si comprará
la misma cantidad de galletas y dulces, ¿cuántos dulces comprará
como mínimo?
① Escribe los múltiplos de cada número.

② Encuentra los múltiplos comunes (considera el “Desafíate” de la clase anterior).
③ Encuentra el menor de los múltiplos comunes.
Encuentra el mcm de 2, 3 y 5.
14
Unidad 1
1. Encuentra los primeros 5 múltiplos de los siguientes números:
a. 6 b. 7 c. 8
d. 9 e. 12 f. 15
2. Determina el mcm de los siguientes números:

a. 2 y 5 b. 4 y 6 c. 3 y 9
d. 3 y 5 e. 6 y 8 f. 4 y 8
g. 2 y 7 h. 8 y 12 i. 5 y 15
3. Resuelve cada una de las situaciones:

a. Julia comprará lápices y borradores. Los lápices vienen en paquetes
de 3 unidades y los borradores en paquetes de 2 unidades.
Si quiere comprar la misma cantidad de lápices y borradores, ¿cuál
es la menor cantidad que puede comprar de cada producto?
b. Doña Carmen posee un puesto de tortas y debe comprar jamón y pan.

El pan viene en paquetes de 8 unidades y el jamón en paquetes de 12
unidades.
Si comprará la misma cantidad de pan y jamón, ¿cuál es la menor can-
tidad que puede comprar de cada producto?
1. Tres compañeros de clase van regularmente a practicar natación, Marta va cada 3 días, Antonio cada
4 y Ana cada 6. Si el día de ahora coincidieron, ¿en cuántos días volverán a coincidir?
2. Escribe 2 números cuyo producto sea 36 y su mcm sea 12.
15
3.1 Divisores de un número
ecuerda
Escribe un número que sea divisible por los siguientes:
a. 2 b. 3
En una librería se guardarán 6 lapiceros en cajas. Cada caja deberá

tener la misma cantidad sin que sobren lapiceros. ¿Cuáles son los
posibles números de cajas que se pueden utilizar?
Efectúo la división de los 6 lapiceros entre cada número de cajas.

6÷1=6 6 ÷ 4 = 1 residuo 2
6÷2=3 Recuerda que si 6 ÷ 2 = 3, también 6 ÷ 5 = 1 residuo 1 Carlos
se tiene que 6 ÷ 3 = 2, así no es
6÷3=2 6÷6=1
necesario hacer todos los cálculos.
n.° de cajas 1 2 3 4 5 6
n.° de lapiceros (por caja) 6 3 2 1 1 1
n.° de lapiceros sobrantes 0 0 0 2 1 0
R: 1, 2, 3 o 6 cajas.
• El divisor de un número es aquel que lo puede dividir de manera exacta, es decir, el residuo es 0.
• El número 1 es divisor de cualquier número, pues al dividir cualquier número entre 1 el residuo es 0.
• Para obtener los divisores de un número se pueden buscar dos números naturales que al ser multi-
plicados resulte dicho número.
Los divisores cumplen:
Ejemplo: Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8, ya que: 1, 2, 4, 8
×
8
1×8=8
×
2×4=8 8
1. Encuentra los divisores para los siguientes números:

a. 12 b. 16 c. 7
d. 24 e. 25 f. 11
2. ¿Cuáles de los siguientes números son divisores de 27?

1, 2, 3, 7, 9, 17, 27
Responde y justifica en tu cuaderno:

a. ¿Cuál es el mayor divisor de un número?
b. ¿Cuál es el menor divisor de un número?
16
3.2 Divisores comunes de dos números
Unidad 1
ecuerda
Escribe los divisores de los siguientes números:
a. 8 b. 12
Mario quiere dividir el siguiente rectángulo de cartulina en cuadrados cuya medida del lado sea un nú-
mero natural, sin que sobre cartulina. ¿Cuáles son las posibles medidas del lado de cada cuadrado?
8 cm ¿?
12 cm
Analizo el largo con cuadrados de las siguientes medidas de lado:

• 1 cm • 2 cm • 3 cm • 4 cm • 5 cm
Ana
...
12 ÷ 1 = 12 12 ÷ 2 = 6 12 ÷ 3 = 4 12 ÷ 4 = 3 12 ÷ 5 = 2 residuo 2
sí cabe sí cabe sí cabe sí cabe no cabe
Completo la tabla:
Medida del lado (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cabe en el largo sí sí sí sí no sí no no no no no sí
La medida de los cuadrados que caben en el largo son los de lado 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 6 cm y 12 cm.
Analizo el ancho con cuadrados de las siguientes medidas de lado:
• 1 cm • 2 cm • 3 cm • 4 cm • 5 cm
...
8÷1=8 8÷2=4 8 ÷ 3 = 2 residuo 2 8÷4=2 8 ÷ 5 = 1 residuo 3

sí cabe sí cabe no cabe sí cabe no cabe
Completo la tabla:
Medida del lado (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8
Cabe en el ancho sí sí no sí no no no sí
La medida de los cuadrados que caben en el ancho son los de lado 1 cm, 2 cm, 4 cm y 8 cm.
17
Para cortar la cartulina es necesario que los cuadrados queden exactos de largo y de ancho.
Medida del lado (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cabe en el largo sí sí sí sí no sí no no no no no sí
Cabe en el ancho sí sí no sí no no no sí - - - -
R: 1 cm, 2 cm o 4 cm.
Escribo los divisores de 8 y 12.
Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8
José
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12
Identifico los números que coinciden, es decir, que dividen a 8 y a 12 a la vez.
R: 1 cm, 2 cm o 4 cm.
Los divisores que coinciden se llaman divisores comunes. Para obtener los divisores comunes de núme-
ros:
① Escribe los divisores de cada número.
② Identifica y escribe los divisores que coinciden.
Ejemplo: Determina los divisores comunes de 4 y 12.

Divisores de 4: 1, 2, 4 Nota que los divisores de 4
① también son divisores de 12.
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
② Los divisores comunes de 4 y 12 son 1, 2 y 4.
1. A continuación se muestra una lista de divisores de 12 y 40, ¿cuáles son los divisores comunes?
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12
Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40
2. Encuentra los divisores comunes de los siguientes números:

a. 4 y 6 b. 8 y 20 c. 18 y 24 d. 8 y 24
Encuentra los divisores comunes de 12, 18 y 24.
① Escribe los divisores de cada uno de los números.

② Los números comunes son los divisores comunes.
18
3.3 Máximo común divisor
Unidad 1
ecuerda
Determina los divisores comunes de 8 y 12.
Mario quiere dividir la cartulina de 12 cm de largo y 8 cm de ancho en cuadrados Analiza el problema de

cuya medida del lado sea un número natural, sin que sobre cartulina. la clase anterior.
¿Cuál es la mayor longitud del lado del cuadrado que Mario puede hacer?
Divisores de 12 1 2 3 4 6 12
Carmen Divisores de 8 1 2 4 8
mayor divisor común
Los divisores comunes de 8 y 12 son 1, 2 y 4.

De esos divisores comunes, el mayor es 4.
Los cuadrados más grandes son los de 4 cm por lado.
R: 4 cm.
El mayor de los divisores comunes se llama máximo común divisor y su abreviatura es MCD.
Para obtener el MCD:
① Escribe los divisores de cada número.
② Identifica y escribe los divisores comunes.
③ Identifica y escribe el mayor de los divisores comunes.
Ejemplo: Determina el MCD de 4 y 12.

Divisores de 4: 1, 2, 4
①
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
② Los divisores comunes de 4 y 12 son 1, 2 y 4.
③ El MCD de 4 y 12 es 4.
1. Determina el MCD de los siguientes números:

a. 4 y 6 b. 8 y 20 c. 18 y 24 d. 8 y 24
2. En la carpintería “Don José” se quiere cortar una lámina de 24 m de largo y 32 m de ancho, en cuadra-
dos del mayor tamaño posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
Determina el MCD de 12, 18 y 24.

19
3.4 Relación entre múltiplos y divisores
Para 5 y 30, responde:

a. ¿30 es múltiplo de 5?
b. ¿5 es divisor de 30?
Para 3 y 14, responde:

c. ¿14 es múltiplo de 3?
d. ¿3 es divisor de 14?
Para los números 5 y 30:

a. 30 es múltiplo de 5, ya que 5 × 6 = 30.
b. 5 es divisor de 30, ya que 30 ÷ 5 = 6. Antonio
Para los números 3 y 14:

c. 14 no es múltiplo de 3, ya que no hay un número natural que al multiplicarlo por 3 dé 14.
d. 3 no es divisor de 14, ya que 14 ÷ 3 = 4 residuo 2.
El residuo es diferente de 0.
Si un número es múltiplo de otro número , se tiene que es divisor de .
1. Completa:
a. Si 3 es divisor de 12, se tiene que 12 es ____________ de 3.
b. Si 45 es múltiplo de 5, se tiene que 5 es ____________ de 45.
c. Si 8 es divisor de 24, se tiene que 24 es ____________ de 8.
d. Si 33 es múltiplo de 11, se tiene que 11 es ____________ de 33.
2. Para cada par de números completa colocando si es múltiplo o divisor en cada espacio.
a. 3 y 9
3 es __________ de 9 y 9 es __________ de 3.
b. 6 y 12
12 es __________ de 6 y 6 es __________ de 12.
¿Sabías que...?
Para dos números naturales se tiene que:

“El producto de los dos números es igual al producto del mcm y del MCD”
Ejemplo: Para los números 6 y 8.

• El mcm de 6 y 8 es 24, mientras que el MCD de 6 y 8 es 2.
• El producto de los números de 6 y 8 es 6 × 8 = 48.
• El producto del mcm y MCD es 24 × 2 = 48.
20
Unidad 1
1. Encuentra los divisores de los siguientes números:
a. 27 b. 36 c. 42
2. Determina el MCD de los siguientes números:

a. 18 y 27 b. 6 y 18 c. 7 y 9
d. 24 y 32 e. 14 y 28 f. 13 y 21
g. 36 y 42 h. 10 y 30 i. 21 y 25
3. Resuelve cada una de las situaciones que se te plantean.
a. Mario horneó 12 semitas y 10 conchas para venderlas en

paquetes. Si todos los paquetes tendrán la misma canti-
dad sin que sobren panes, ¿cuál es el número máximo de
paquetes que puede hacer?
b. Se tienen 20 sábanas y 12 almohadas que deben guardarse

en cajas, de manera que todos los paquetes tengan la misma
cantidad de sábanas y almohadas sin que sobren.
¿Cuál es el número máximo de paquetes que se puede hacer?
c. Una de las unidades de un grupo de exploradores necesita

preparar cordeles para las pruebas del campamento.
Si tienen dos cordeles, uno de 27 cm y otro de 18 cm, ¿cuál
es el mayor tamaño en que pueden cortar ambos cordeles de
manera que sean todos los trozos iguales y sin que sobre?
Se tienen dos depósitos con 32 y 24 litros de agua.

Se quiere poner la misma cantidad de agua en botellas cuya
capacidad es un número natural en litros sin que sobre, ni se
mezcle el agua de los depósitos. 32
24 litros
a. ¿Qué cantidad como máximo debería tener cada botella? litros
b. ¿Cuántas botellas se utilizarán en total?
21
4.1 Múltiplos del año
Para medir el tiempo fácilmente usamos unidades de tiempo que agrupan períodos largos de años,
teniendo las siguientes equivalencias:
1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1, 000 años
A partir de lo anterior responde:

a. ¿Cuántos lustros hay en 20 años? b. ¿Cuántas décadas hay en 70 años?
c. ¿Cuántos siglos hay en 1, 300 años? d. ¿Cuántos siglos hay en 3 milenios?
a. Como un lustro equivale a 5 años, divido 20 b. Como 1 década son 10 años, divido 70 entre
entre 5 para saber cuántas veces cabe el lus- 10 para saber cuántas veces cabe la década.
tro. 70 ÷ 10 = 7
20 ÷ 5 = 4 R: 7 décadas.
Carlos
R: 4 lustros.
d. En 1 milenio hay 1, 000 años entonces 3 mile-
c. Como 1 siglo son 100 años, divido 1, 300 en- nios equivalen a 3, 000 años.
tre 100 para saber cuántas veces cabe el si-
glo. Como 1 siglo tiene 100 años, divido 3, 000
1, 300 ÷ 100 = 13 entre 100 para saber cuántas veces cabe el
R: 13 siglos. siglo.
3, 000 ÷ 100 = 30
R: 30 siglos.
Las unidades de tiempo en que se agrupan períodos largos de años son:

• 1 lustro = 5 años
• 1 década = 10 años
• 1 siglo = 100 años El lustro también recibe el nombre de quinquenio.
• 1 milenio = 1, 000 años
Para obtener la cantidad de lustros, décadas, siglos o milenios en una determinada cantidad de años,
divide la cantidad de años entre 5, 10, 100 o 1, 000, según corresponda.
Completa:
a. Un lustro equivale a __________ años. b. Un siglo equivale a __________ años.
c. __________ años equivalen a una década. d. Una década equivale a __________ lustros.
e. Un siglo equivale a __________ décadas. f. 4 décadas equivalen a __________ años.
g. 1 milenio equivale a __________ siglos. h. 2 milenios equivalen a __________ siglos.
Responde. ¿Cuántos meses tiene un lustro?
22
4.2 Numeración maya
Unidad 1
Observa la siguiente tabla donde se relacionan los números naturales con la numeración maya y respon-
de:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
a. ¿Cómo se representan los números del 1 al 4 en numeración maya? El cero se representa

b. ¿Qué valor tiene ? con el símbolo
c. ¿Cómo se representan los números del 6 al 9 en numeración maya?
d. ¿Por qué el 10 se representa con ?
e. ¿Cómo se representan los números del 11 al 19 en numeración maya?
f. ¿Qué representa el símbolo en el número 20?
a. Se representan utilizando • donde cada uno equivale a una unidad.
b. El símbolo tiene el valor de 5 unidades. Ana
c. Se representan utilizando puntos y barras tomando en consideración el valor de cada símbolo.
d. Porque 10 = 5 + 5, como cada equivale a 5 unidades, 10 se representa como .
e. Se forman utilizando puntos y barras, tomando en consideración el valor de cada símbolo.
f. Significa que hay 0 en el valor de las unidades.

1 vez el 20
0 unidades
23
En numeración maya se utilizan dos símbolos:
• El punto • que equivale a 1.
• La barra que equivale a 5.
Los números naturales se escriben en forma hori- En el sistema de numeración maya también es im-
zontal, mientras que los números mayas en forma portante la posición en que se colocan los símbo-
vertical de abajo hacia arriba. los.
Ejemplo: Representación del 20. Ejemplo: Representación del 25.
Aunque se parece al 6,
horizontal vertical una vez 20 la posición en que se
D U colocan los símbolos
determina el número
2 0 5 unidades que forman.
1. Coloca el valor que le corresponde en la numeración decimal a los siguientes números mayas:
a. b.
••• ••••
c. d.
•• e. •
2. Escribe en numeración maya los siguientes números:

a. 4 b. 8 c. 11 d. 19 e. 20
1. ¿Cómo se representa el número 40 en la numeración maya?

•
2. ¿Qué número representa el símbolo ?
••
¿Sabías que...?
• Los mayas crearon este sistema hace más BULUK

de 2, 000 años. Se cree que las primeras HE
LAKA
pruebas de numeración de esta cultura da- HUN
tan de hace cientos de años a. C. OXLAHUN
KA
• Los mayas fueron la primera cultura que re- OX KANLAHUN
presentó en América el número 0, es decir, HOLAHUN
KAN
de alguna manera, los mayas ya entendían
el concepto de “cero” y “nada”. HO UAKLAHUN
UAK UKLAHUN
• Los mayas no inventaron este sistema nu-
mérico para realizar operaciones matemá- UK
WAXAKLAHUN
ticas, sino para medir el tiempo. WAXAK
BOLONLAHUN
Tomada de: https://sobrehistoria.com/sistema-de- BOLON
numeracion-maya-y-numeros-mayas/ LAHUN HUNKAL
24
Ángulos y polígonos

2
• Clasificar los polígonos y dibujarlos utilizando regla,
compás y transportador
• Calcular el perímetro de polígonos regulares e
irregulares
• Identificar las características de la suma de ángulos
internos de polígonos
• Identificar las relaciones entre ángulos opuestos
por el vértice y ángulos suplementarios
1.1 Polígonos
grupo A grupo B
a. ¿Qué características tiene el grupo A?

b. ¿Qué características tiene el grupo B?
a. En el grupo A, el extremo de algunos b. En el grupo B todos los segmentos de recta

segmentos de recta, no están unidos están unidos entre sí.
con otros. Carmen
Una figura formada por 3 o más segmentos de recta unidos entre sí, se llama polígono.
Los polígonos reciben su nombre con base al número de lados que poseen.
n.° de lados Nombre
3 triángulo
4 cuadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octágono
1. ¿Cuáles de las siguientes figuras son polígonos?

a. b. c. d.
2. ¿Cuáles de los siguientes polígonos son pentágonos y cuáles son hexágonos?

a. b. c. d.
3. Escribe el nombre de cada polígono.

a. b.
26
1.2 Polígonos regulares e irregulares
grupo A grupo B
a. ¿Qué características tienen los polígonos del grupo A?
Unidad 2
b. ¿Qué características tienen los polígonos del grupo B?
a. Observo que cada polígono tiene todos sus lados iguales.
José
También en cada polígono mido los ángulos y obtengo que todos son iguales.
b. Los polígonos del grupo B tienen lados y ángulos diferentes.
Se llama polígono regular cuando cumple que

• Todos sus lados son iguales. El triángulo equilátero es un polí-
• Todos sus ángulos son iguales. gono regular, ya que tiene sus tres
lados y ángulos iguales.
Para nombrar polígonos regulares se escribe el nombre de También el cuadrado es un polígo-
acuerdo al número de lados y se agrega la palabra regular. no regular, pues tiene sus cuatro
lados y ángulos iguales.
Ejemplo: Pentágono regular.
¿Cuáles de los siguientes polígonos son regulares? Puedes utilizar compás para medir los lados y trans-
portador para medir los ángulos.
a. b. c. d.
27
1.3 Centro de un polígono regular
Marta hizo octágonos regulares como adornos para decorar.

Para ello dibujó un círculo, luego dobló y recortó como se muestra:
C
D B
c b
a. En el octágono, ¿qué representa el punto O? d a
b. ¿Qué característica tienen los segmentos OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG y OH? E e O h A
c. ¿Qué característica tienen los ángulos a, b, c, d, e, f, g y h? f g
F H
G
a. El punto O es el centro del círculo y del octágono regular.

b. Mido todos los segmentos del centro a los c. Mido todos los ángulos y obtengo que son
vértices y obtengo que son iguales. iguales.
C
D B
Ana c b
d a
E O A
e h
f g
F H
G
En un polígono regular se cumple lo siguiente:

• Los segmentos entre el centro del polígono y cada uno de los vértices tienen igual longitud.
• Los ángulos con vértice en el centro del polígono regular tienen igual medida.
Observa el siguiente pentágono y hexágono regular. Completa lo que se te solicita:

a. A b. B A
Si el segmento OA = 4 cm, Si el segmento OF = 5 cm,
B E entonces el segmento 60° entonces el segmento
72°
b O OB = ______ C F OC = ______
c O
El ángulo b = ______ El ángulo c = ______

C D D E
28
1.4 Construcción de pentágonos y hexágonos regulares
¿Cómo se puede dibujar un pentágono regular y un hexágono regular?
Para dibujar un pentágono regular:

① Dibujo un círculo y ② Divido los 360° del círculo entre 5, ③ Uso el trasportador para
marco un radio. para tener 5 ángulos iguales. dibujar el ángulo de 72°.
360 ÷ 5 = 72
Unidad 2
Antonio 72°
④ Uso el compás para copiar ⑤ Marco con el compás ⑥ Uno los vértices que marqué.
la longitud que hay entre los otros vértices.
los vértices.
72° 72° 72°
Para dibujar un hexágono regular:
① Dibujo un círculo y ② Divido los 360° del círculo entre 6, ③ Uso el trasportador para
marco un radio. para tener 6 ángulos iguales. dibujar el ángulo de 60°.
360 ÷ 6 = 60
60°
④ Uso el compás para copiar ⑤ Marco con el compás ⑥ Uno los vértices que marqué.
la longitud que hay entre los otros vértices.
los vértices.
60° 60° 60°
Para dibujar un polígono regular sigue los pasos: dibuja el círculo, divide 360° entre el número de lados,
marca el primer ángulo con la medida que indica la división y con el compás marca los demás vértices.
Dibuja un octágono regular a partir de un círculo de radio 4 cm.

29
1.5 Perímetro de polígonos
Calcula el perímetro de cada uno de los siguientes polígonos.

a. b.
4 cm
5 cm 4 cm 4 cm
4 cm
5 cm 4 cm 4 cm
3 cm
3 cm 4 cm
Sumo todos los lados del polígono: Utilizo la multiplicación para abreviar la suma:
a. perímetro: 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 a. perímetro: 3 × 2 + 4 × 2 + 5 × 2
4 cm 4 cm
5 cm 5 cm
Julia Ana
4 cm 4 cm
5 cm 5 cm
3 cm R: 24 cm 3 cm R: 24 cm
3 cm 3 cm
b. perímetro: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 b. perímetro: 4 × 5
4 cm 4 cm 4 cm 4 cm
4 cm 4 cm 4 cm 4 cm
R: 20 cm R: 20 cm
4 cm 4 cm
• El perímetro de polígonos se obtiene sumando la longitud de todos sus lados.

• Si el polígono es regular el perímetro se calcula multiplicando la longitud del lado por el número de
lados del polígono.
Calcula el perímetro de los siguientes polígonos. Las medidas están dadas en centímetros (cm).
a. b. c. d.
3 3
4 4
3 3 3 2 2
3 3
4 2 2 2 2
3
2 2 3 3
4 3
4 2
3
30
2.1 Suma de ángulos internos de un triángulo
ecuerda
Escribe la medida de los siguientes ángulos:
a. b. c.
Unidad 2
a. ¿Cuánto suman los ángulos internos de un triángulo?
b. A partir del resultado del literal a. ¿Cómo se puede calcular la medida del ángulo que falta en el si-
guiente triángulo?
70°
50°
a.
José
Dibujo un triángulo. Coloreo los ángulos y Uno los vértices y veo que se
corto en tres partes. forma un ángulo de 180°.
Sin importar el tipo de triángulo que dibujes,
la suma de los ángulos internos dará 180°.
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
b. En el literal a. se obtuvo que la suma de los ángulos internos es 180°, por lo que puedo restar a 180°
la medida de los ángulos que conozco.
PO: 180° – 70° – 50°
Al realizar la operación se obtiene 60, por lo que la medida del ángulo faltante es 60°.
• La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

• En un triángulo en el que se conocen las medidas de dos ángulos, es posible calcular la medida del
ángulo que se desconoce restando de 180 los ángulos dados.
Calcula la medida del ángulo desconocido en cada uno de los siguientes triángulos:
a. b. c. d. e.
100° 55° 20° 60°
25° 55° 115° 30° 60°
31
2.2 Suma de ángulos internos de un cuadrilátero
a. ¿Cuánto suman los ángulos internos de un cuadrilátero?

b. A partir del resultado del literal a. ¿Cómo se puede calcular la medida del ángulo que falta en el si-
guiente cuadrilátero?
95°
115°
80°
a.
Ana
Dibujo un cuadrilátero. Divido el cuadrilátero Como la suma de los ángulos internos de

en dos triángulos. un triángulo es 180°, la suma de los án-
gulos internos del cuadrilátero es:
180° × 2 = 360°
La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°.
b. En el literal a. se obtuvo que la suma de los ángulos internos es 360°, por lo que puedo restar a 360°
la medida de los ángulos que conozco.
PO: 360° – 95° – 115° – 80°
Al realizar la operación se obtiene 70, por lo que la medida del ángulo faltante es 70°.
• La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°.

• En un cuadrilátero en el que se conocen las medidas de tres ángulos, es posible calcular la medida del
ángulo que se desconoce restando a 360 los ángulos dados.
Calcula la medida del ángulo desconocido en cada uno de los siguientes cuadriláteros:
a. b. c. d.
80°
94°
95°
125°
80°
95° 85° 150°
46°
32
2.3 Suma de ángulos internos de un polígono
Encuentra la suma de los ángulos internos de un hexágono.
Antonio
Unidad 2
Dibujo un hexágono. Divido en cuadriláteros. La suma de los ángulos internos del
hexágono es 2 veces la suma de los
ángulos internos de un cuadrilátero:
360° × 2 = 720°
Carmen
Dibujo un hexágono. Divido en triángulos. La suma de los ángulos internos del

hexágono es 4 veces la suma de los
ángulos internos del triángulo:
180° × 4 = 720°
Carlos
Dibujo un hexágono. Divido en 1 cuadrilátero La suma de los ángulos internos del

y 2 triángulos. hexágono es 2 veces la suma de los
ángulos internos de un triángulo,
más la suma de los ángulos internos
del cuadrilátero:
180° × 2 + 360° = 720°
Para encontrar la suma de los ángulos internos de un polígono se puede dividir el polígono en triángulos
y cuadriláteros.
Calcula la suma de los ángulos internos de los siguientes polígonos:

a. Pentágono b. Heptágono c. Octágono
Calcula el valor de cada ángulo interno del pentágono regular.

33
3.1 Ángulos suplementarios
Sin calcular la medida del ángulo interior que falta en el triángulo, ¿cuál es la medida del ángulo a?
Recuerda que la suma de los ángulos

80° internos de un triángulo suman 180°.
a
60°
Analizo la recta horizontal:
80° 180°
Julia
a
60°
Tengo un ángulo del triángulo y el ángulo a, juntos miden 180° igual que la suma de los ángulos internos
del triángulo, por lo que a tiene la medida de los otros dos ángulos del triángulo, es decir, 60° + 80°.
R: 140°
El ángulo exterior al triángulo que se forma al prolongar uno de los lados, cumple que es igual a la suma
de los otros dos ángulos.
Dos ángulos que suman 180° se llaman ángulos suplementarios.

Ejemplo: El ángulo del triángulo del que se desconoce la medida y el ángulo a son ángulos suplementa-
rios.
1. Calcula el valor del ángulo indicado.
b
60° c
a 140°
45° 30° 80° 75°
2. Calcula la medida del ángulo suplementario al ángulo dado.
93°
138° c
a 100° b
34
3.2 Ángulos opuestos por el vértice
Al intersecar dos líneas rectas se forman cuatro ángulos.

a. Determina la medida de los ángulos faltantes. a
b. ¿Qué característica tienen los ángulos a y c? 50°
b
c
Unidad 2
a. A partir de la recta horizontal. A partir de la recta inclinada. A partir de la recta inclinada.
Observo que es el ángulo Observo que b es el ángulo Observo que c es el ángulo
suplementario de 50°. suplementario de a. suplementario de 50°.
PO: 180° – 50° PO: 180° – 130° PO: 180° – 50°
180°
José
180°
a 130° 130°
50° 50° 50°
b b 50°
c c 180° c
R: El ángulo a mide 130°. R: El ángulo b mide 50°. R: El ángulo c mide 130°.
b. Los ángulos a y c tienen la misma medida.
• Los ángulos no consecutivos que se forman al intersecar dos rectas se llaman ángulos opuestos por
el vértice.
• Dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.
Ejemplo: Los ángulos a y c son opuestos por el vértice y tienen la misma medida, 130°.
A partir del ángulo dado, colorea su ángulo opuesto por el vértice y escribe la medida de dicho ángulo.
a. b. c.
35°
76°
60°
d. e. f.
150° 75°
112°
35
1. Responde:
a. ¿Cuáles son polígonos?
b. ¿Cuáles son polígonos regulares?
c. ¿Cuál es un hexágono regular?
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
2. Observa el siguiente heptágono regular y completa lo que se te solicita:

B
A Si el segmento OA = 6 cm,
C 51° entonces el segmento OB = ______
c G
O El ángulo c = ______
D
F
E
3. Construye un pentágono regular a partir de un círculo de radio 5 cm.
4. Calcula la medida del ángulo que falta.

a. b.
90°
123°
40° 60° 72°
5. Determina la medida del ángulo indicado.

a. b.
150°
130°
b
Determina la medida de los ángulos a y b,
donde a y b tienen la misma medida.
70°
a
36
Multiplicación y división de números
decimales por números naturales

3
• Utilizar el cálculo vertical de la multiplicación de
números decimales por números naturales
• Utilizar el algoritmo de la división de números
decimales entre números naturales
1. Completa:
× 6 9 7 8
7
5
9
6
2. Efectúa:
a. 21 × 4 b. 43 × 13 c. 17 × 231
d. 125 × 5 e. 251 × 3 f. 342 × 4
g. 15 × 4 h. 47 × 30 i. 216 × 35
3. Realiza las siguientes multiplicaciones:

a. 0.6 × 10 b. 1.2 × 10
c. 0.03 × 100 d. 1.35 × 100
4. Realiza las siguientes divisiones:

a. 12 ÷ 10 b. 70 ÷ 10 c. 6 ÷ 10
d. 398 ÷ 100 e. 93 ÷ 100 f. 0.45 ÷ 100
5. Efectúa:
a. 24 ÷ 6 b. 27 ÷ 3 c. 32 ÷ 8
d. 35 ÷ 7 e. 45 ÷ 9 f. 36 ÷ 6
6. Efectúa:
a. 48 ÷ 4 b. 85 ÷ 5 c. 192 ÷ 6
d. 105 ÷ 3 e. 412 ÷ 4 f. 618 ÷ 3
7. Una librería tiene paquetes de 72 borradores y cajas con 8 borradores. ¿Cuántas veces la caja de bo-
rradores equivale al paquete de borradores?
a. Representa la situación en una gráfica.
b. Escribe el PO y la respuesta.
38
1.2 Multiplicación de números decimales transformándolos a números naturales
Se usan 0.2 galones de pintura para marcar un tramo de calle de 1 m de largo, ¿cuántos galones de pin-
tura se necesitan para 3 m de esa calle?
PO: 0.2 × 3
① Convierto la multiplicación de decimales

a una multiplicación de naturales, multi-
Carlos plicando por 10.
0.2
0.2 × 3 =
× 10
2 × 3 0 1 2 3
② Realizo la multiplicación 2 × 3.
Como 0.2 equivale a 2 décimas, hay 3 veces
0.2 × 3 = 2 décimas, es decir, 2 × 3 = 6 décimas; 6 dé-
Unidad 3
× 10 cimas equivale a 0.6.
2 × 3 = 6
③ Como al principio multipliqué por 10,
divido el producto obtenido entre 10.
0.2 × 3 = 0.6
× 10 ÷ 10
2 × 3 = 6
R: 0.6 galones.
Para multiplicar números decimales hasta las décimas, Ejemplo:

por un número natural de una cifra: 0.3 × 3 = 0.9
① Convierte el número decimal a número natural ① × 10 ÷ 10 ③
multiplicándolo por 10.
② Multiplica los números naturales. 3 × 3 = 9
③ Divide el producto entre 10. ②
1. Completa:
0.4 × 2 = 0.3 × 5 =
a. b. c. 0.2 × 6 =
× 10 × 10 × 10
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
4 × 2 = 8 × 5 = 15 × =
2. Efectúa:
a. 0.2 × 4 b. 0.4 × 6 c. 0.5 × 7
d. 0.3 × 2 e. 0.5 × 4 f. 0.6 × 5

39
1.3 Multiplicación de números hasta las décimas por un número natural de 1 cifra
Se usan 1.2 galones de pintura para marcar un tramo de calle de 1 m de largo, ¿cuántos galones de pin-
tura se necesitan para 3 m de esa calle?
PO: 1.2 × 3 1.2 × 3 es 3 veces 12 décimas.
① Convierto la multiplicación de decimales a una multiplicación de naturales, multiplicando el número

decimal por 10.
1 2 × 10 1 2
× 3 × 3
② Realizo la multiplicación 12 × 3. Carmen

1 2 × 10 1 2
× 3 × 3
3 6
③ Como al principio multipliqué por 10, divido el producto obtenido entre 10.
1 2 × 10 1 2
× 3 × 3
3 6 ÷ 10 3 6
R: 3.6 galones.
Para multiplicar números decimales hasta las décimas por un número natural de una cifra:
① Coloca el multiplicando y multiplicador alineados a la derecha.
② Multiplica como se hace con los números naturales.
③ Coloca el punto decimal avanzando una posición de derecha a izquierda.
Ejemplo: 2.3 × 2
① 2 3 ② 2 3 ③ 2 3
× 2 × 2 × 2
4 6 4 6
Multiplicando y multiplicador Multiplicación como con Colocación del punto avanzando
alineados a la derecha. los números naturales. una posición de derecha a izquierda.
1. Efectúa en forma vertical.

a. 2.4 × 2 b. 4.3 × 2 c. 2.5 × 3
2 4 4 3 2 5
× 2 × ×
d. 1.4 × 4 e. 4.8 × 3 f. 5.7 × 2
2. Marta tiene un listón de 1.3 m y Doris tiene un listón que mide 3 veces el largo del de Marta.
¿Cuánto mide el listón de Doris?
40
1.4 Multiplicación de números hasta las décimas con 0 en el producto
Efectúa:
a. 3.5 × 2 b. 0.2 × 3
a. 3.5 × 2
① 3 5 ② 3 5 ③ 3 5 3 5 × 10 3 5
× 2 × 2 × 2 × 2 × 2
7 0 ÷ 10 7 0
Carlos
7 0 7 0
Coloco el multiplicando Multiplico como Coloco el punto decimal
y multiplicador se hace con los avanzando una posición
alineados a la derecha. números naturales. de derecha a izquierda.
Como 7.0 es igual a 7, puedo omitir escribir el cero.

R: 3.5 × 2 = 7
Unidad 3
b. 0.2 × 3
① 0 2 ② 0 2 ③ 0 2
× 3 × 3 × 3
6 0 6
Coloco el multiplicando Multiplico como Coloco el punto decimal avanzando
y multiplicador se hace con los una posición de derecha a izquierda
alineados a la derecha. números naturales. y agrego 0 en las unidades del
Solo se multiplica 2 × 3 = 6 producto.
pues ya se sabe que 0 × 3 = 0
R: 0.2 × 3 = 0.6
En multiplicaciones de números decimales hasta las décimas por números naturales de una cifra:
• El cero que está a la derecha del punto decimal puede omitirse.
Ejemplo: 7.0 7
• Cuando queda un espacio a la izquierda del punto decimal después de colocarlo, se agrega 0 en dicho
espacio.
Ejemplo: .6 0.6
Efectúa en forma vertical.

a. 2.5 × 2 b. 3.2 × 5 c. 2.5 × 4
d. 0.1 × 7 e. 0.2 × 4 f. 0.3 × 2
g. 1.4 × 5 h. 1.5 × 6 i. 4.5 × 2
j. 0.4 × 2 k. 0.3 × 3 l. 0.1 × 8

41
1.5 Multiplicación de números hasta las décimas por un número natural de 2
cifras
Un barril se llenó al verter en él 36 veces el agua de un reci-

piente cuya capacidad es de 2.7 litros. ¿Cuántos litros de agua 2.7 × 36 es 36 veces 27 décimas.
contiene el barril?
PO: 2.7 × 36
① 2 7 ② 2 7 ③ 2 7
× 3 6 × 3 6 × 3 6 2 7 × 10 2 7
1 6 2 1 6 2 × 3 6 × 3 6
1 6 2 1 6 2
+ 8 1 + 8 1 + 8 1 + 8 1
José 9 7 2 9 7 2 9 7 2 ÷ 10 9 7 2

y multiplicador. se hace con los avanzando una posición
números naturales. de derecha a izquierda.
R: 97.2 litros.
Aunque el multiplicador es de dos cifras, el proceso para multiplicar es el mismo:


a. 2.5 × 11 b. 3.1 × 21 c. 3.9 × 12
2 5 3 1 3 9
× 1 1 × ×
d. 4.3 × 13 e. 2.6 × 52 f. 5.7 × 23
2. Marcos lleva 11 varillas de hierro, cada una pesa 3.1 lb.

¿Cuál es el peso total que lleva?
42
1.6 Multiplicación de números hasta las décimas por un número natural de 3
cifras
Para llenar un tanque se utilizan 132 recipientes de 5.3 litros cada 5.3 × 132 es 132 veces 53 décimas.
uno, ¿cuántos litros posee el tanque?
PO: 5.3 × 132
① 5 3 ② 5 3 ③ 5 3
5 3 × 10 5 3
× 1 3 2 × 1 3 2 × 1 3 2 × 1 3 2 × 1 3 2
1 0 6 1 0 6 1 0 6 1 0 6
1 5 9 1 5 9 1 5 9 1 5 9
+ 5 3 + 5 3 + 5 3 + 5 3
6 9 9 6 ÷ 10 6 9 9 6
Ana 6 9 9 6 6 9 9 6
Unidad 3
R: 699.6 litros
Intercambio el multiplicando y el multiplicador para facilitar los cálculos y realizo el mismo proceso.
① 1 3 2 ② 1 3 2 ③ 1 3 2
× 5 3 × 5 3 × 5 3
Carmen 3 9 6 3 9 6
+ 6 6 0 + 6 6 0
6 9 9 6 6 9 9 6 R: 699.6 litros.
Aunque el multiplicador es de tres cifras, el proceso para multiplicar es el mismo:

Puedes intercambiar el multiplicando y multiplicador para facilitar los cálculos.

a. 2.4 × 112 b. 3.1 × 231 c. 3.3 × 113
d. 2.3 × 214 e. 3.7 × 123 f. 5.4 × 431
Si un tanque vierte 4.3 litros por minuto, ¿cuántos litros vierte en 2 horas 5 minutos?
43
1.7 Multiplicación de decimales por números naturales de 2 o 3 cifras con 0 en el
producto
Efectúa:
a. 2.5 × 70 b. 0.6 × 125
a. 2.5 × 70
2 5 × 10 2 5
① 2 5 ② 2 5 ③ 2 5 × 7 0 × 7 0
0 0 0 0
× 7 0 × 7 0 × 7 0 + 1 7 5 + 1 7 5
Carmen 0 0 0 0 1 7 5 0 ÷ 10 1 7 5 0
+ 1 7 5 + 1 7 5
1 7 5 0 1 7 5 0
Como 175.0 es igual a 175, puedo omitir escribir el cero.

R: 2.5 × 70 = 175
b. 0.6 × 125, puedo intercambiar el multiplicando y el multiplicador.
① 1 2 5 ② 1 2 5 ③ 1 2 5
× 0 6 × 0 6 × 0 6
7 5 0 7 5 0
Solo se multiplica 125 × 6 = 750,
Como 75.0 es igual a 75, puedo omitir escribir el cero. pues ya se sabe que 125 × 0 = 0
R: 0.6 × 125 = 75
En multiplicaciones de números decimales hasta las décimas por números naturales, el cero que está a
la derecha del punto decimal puede omitirse.
Ejemplo: 175.0 175

a. 3.7 × 60 b. 4.5 × 32 c. 0.5 × 12
d. 3.4 × 420 e. 0.5 × 614 f. 0.4 × 160
44
1.8 Multiplicación de un número hasta las centésimas por un número natural
de 1 cifra
El precio de un chocolate es $1.34. Si Valeria compró 7

chocolates, ¿cuánto gastó en la compra? 1.34 × 7 es 7 veces 134 centésimas.
PO: 1.34 × 7
① Convierto la multiplicación de decimales a una multiplicación de naturales, multiplicando el

número decimal por 100.
1 3 4 × 100 1 3 4
× 7 × 7
Antonio
② Realizo la multiplicación 134 × 7

1 3 4 × 100 1 3 4
× 7 × 7
9 3 8
Unidad 3
③ Como al principio multipliqué por 100, divido el producto obtenido entre 100.
1 3 4 × 100 1 3 4
× 7 × 7
9 3 8 ÷ 100 9 3 8
R: $9.38
Para multiplicar números decimales hasta las centésimas por un número natural de una cifra:
③ Coloca el punto decimal avanzando dos posiciones de derecha a izquierda.
Ejemplo: 3.21 × 5
① 3 2 1 ② 3 2 1 ③ 3 2 1
× 5 × 5 × 5
1 6 0 5 1 6 0 5
Multiplicando y multiplica- Multiplicación como con Colocación del punto avanzando dos
dor alineados a la derecha. los números naturales. posiciones de derecha a izquierda.

a. 2.41 × 2 b. 1.13 × 3 c. 2.01 × 4
2 4 1 1 1 3 2 0 1
× 2 × ×
d. 1.29 × 2 e. 4.31 × 4 f. 5.32 × 6
2. Una barra de aluminio de 1 m de largo pesa 2.31 lb. ¿Cuánto pesarán 3 m de esa barra?
45
1.9 Multiplicación de números hasta las centésimas por un número natural de 2
o 3 cifras
Una bolsa de aceite cuesta $1.35 1.35 × 21 es 21 veces 135 centésimas.

a. ¿Cuánto cuestan 21 bolsas de aceite del mismo tamaño? 1.35 × 143 es 143 veces 135 centésimas.
PO: 1.35 × 21
b. ¿Cuánto cuestan 143 bolsas de aceite del mismo tamaño?
PO: 1.35 × 143
a. PO: 1.35 × 21
1 3 5 × 100 1 3 5
① 1 3 5 ② 1 3 5 ③ 1 3 5 × 2 1 × 2 1
× 2 1 × 2 1 × 2 1 1 3 5 1 3 5
Julia 1 3 5 1 3 5 + 2 7 0 + 2 7 0
+ 2 7 0 + 2 7 0 2 8 3 5 ÷ 100 2 8 3 5
2 8 3 5 2 8 3 5
Coloco el multiplicando Multiplico como Coloco el punto
y multiplicador con los números avanzando dos posiciones
alineados a la derecha. naturales. de derecha a izquierda.
R: $28.35
b. PO: 1.35 × 143

1 3 5 × 100 1 3 5
① 1 3 5 ② 1 3 5 ③ 1 3 5 × 1 4 3 × 1 4 3
× 1 4 3 × 1 4 3 × 1 4 3 4 0 5 4 0 5
4 0 5 4 0 5 5 4 0 5 4 0
+ 1 3 5 + 1 3 5
5 4 0 5 4 0 1 9 3 0 5 ÷ 100 1 9 3 0 5
+ 1 3 5 + 1 3 5
1 9 3 0 5 1 9 3 0 5
Coloco el Multiplico como Coloco el punto

multiplicando y con los números avanzando dos posiciones
multiplicador. naturales. de derecha a izquierda. R: $193.05
Aunque el multiplicador sea de dos o tres cifras, el proceso de multiplicación es el mismo:

③ Coloca el punto decimal avanzando dos posiciones de derecha a izquierda.

a. 1.23 × 12 b. 2.13 × 21 c. 2.43 × 13
d. 1.23 × 132 e. 2.46 × 123 f. 3.45 × 243
2. ¿Cuántos litros de agua hay en total en 24 botellas, si cada una tiene 1.54 litros de capacidad?
46
1.10 Multiplicación de decimales por un natural con cero en el producto
Efectúa:
a. 1.15 × 132 b. 0.03 × 31
a. 1.15 × 132
① 1 1 5 ② 1 1 5 ③ 1 1 5
× 1 3 2 × 1 3 2 × 1 3 2 1 1 5 × 100 1 1 5
2 3 0 2 3 0 × 1 3 2 × 1 3 2
3 4 5 3 4 5 2 3 0 2 3 0
Carmen
3 4 5 3 4 5
+ 1 1 5 + 1 1 5 + 1 1 5 + 1 1 5
1 5 1 8 0 1 5 1 8 0 1 5 1 8 0 ÷ 100 1 5 1 8 0
Coloco el Multiplico como Coloco el punto

multiplicando y con los números avanzando dos posiciones
multiplicador. naturales. de derecha a izquierda.
Unidad 3
Como 151.80 es igual a 151.8, puedo omitir escribir el cero.
R: 1.15 × 132 = 151.8
b. 0.03 × 31
① 0 0 3 ② 0 0 3 ③ 0 0 3
× 3 1 × 3 1 × 3 1
9 3 0 9 3 Solo se multiplica
3 × 31, pues ya se
Coloco el Multiplico como Coloco el punto decimal sabe que 0 × 31 = 0.
multiplicando se hace con avanzando dos posiciones
y multiplicador los números de derecha a izquierda y
alineados a la derecha. naturales. agrego 0 en las unidades
del producto.
R: 0.03 × 31 = 0.93
En multiplicaciones de números decimales por números naturales:

• El último cero que está a la derecha del punto decimal puede omitirse.
Ejemplo: 151.80 151.8
• Cuando queda un espacio a la izquierda del punto decimal después de colocarlo, se agrega 0 en dicho
espacio.
Ejemplo: .93 0.93

a. 3.34 × 15 b. 0.03 × 15 c. 4.12 × 25
d. 4.15 × 122 e. 2.14 × 105 f. 1.36 × 325
47
1. Efectúa:
a. 3.1 × 3 b. 2.4 × 13 c. 1.5 × 234
d. 2.14 × 6 e. 3.12 × 34 f. 1.13 × 261
g. 4.2 × 6 h. 1.6 × 31 i. 2.4 × 253
j. 3.57 × 5 k. 1.38 × 43 l. 2.19 × 145
m. 0.4 × 2 n. 0.02 × 25 ñ. 0.4 × 315
2. Resuelve:
a. Una avioneta de riego tiene una capacidad de 5.2 kiloli-
tros. Si durante la semana regó 14 veces, ¿cuántos kiloli-
tros de agua se utilizaron para regar esa semana?
Un kilolitro es equivalente
a 1, 000 veces un litro.
b. Una pulga mide 1.5 milímetros y puede saltar una distancia equi-
valente a 220 veces su tamaño. ¿Cuántos milímetros de distancia
puede saltar?
c. Una barra de hierro pesa 2.26 lb y Mario compra 4 de ellas.

¿Cuánto pesan en total las barras de hierro compradas?
Julián ve en el centro comercial una oferta de camisas. El precio normal de cada camisa es $12 pero cada
una tiene $2.25 de descuento y él decide comprar 5.
a. ¿Cuál es el precio de cada camisa aplicándole el descuento?
b. ¿Cuánto pagó Julián por las 5 camisas?
48
2.1 División de números decimales transformándolos a números naturales
Si se reparten 3.9 m de tela en 3 partes, ¿cuántos metros tendrá cada parte?

PO: 3.9 ÷ 3
Convierto la división de decimales a una

división de naturales, multiplicando el
número decimal por 10. Puedes representar 3.9 con los cubos
Antonio multibase y repartir en 3 partes.
3.9 ÷ 3 =
× 10
39 ÷ 3 =
Realizo la división 39 ÷ 3.
3.9 ÷ 3 =
× 10
Unidad 3
39 ÷ 3 = 13
Como al principio multipliqué por 10,
divido el producto obtenido entre 10.
3.9 ÷ 3 = 1.3
× 10
÷ 10
39 ÷ 3 = 13 R: 1.3 m.
Para dividir números decimales hasta las décimas, por Ejemplo:

un número natural de una cifra: 0.8 ÷ 4 = 0.2
① Convierte el número decimal a natural
① × 10 ÷ 10 ③
multiplicándolo por 10.
② Divide los números naturales. 8 ÷ 4 = 2
③ Divide el cociente entre 10. ②
1. Completa:
0.6 ÷ 3 = 1.8 ÷ 6 =
a. b. c. 2.5 ÷ 5 =
× 10 × 10 × 10
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
6 ÷ 3 = 2 ÷ 6 = 3 ÷ =
2. Efectúa:
a. 0.8 ÷ 2 b. 0.9 ÷ 3 c. 0.6 ÷ 2
d. 3.2 ÷ 4 e. 4.8 ÷ 6 f. 6.3 ÷ 7
3. Valeria corta una cinta roja de 0.6 m en 2 trozos iguales, ¿cuántos metros mide cada trozo?
49
2.2 División de números hasta las décimas entre un número natural de 1 cifra
Se reparten equitativamente 3.9 litros de jugo entre 3 niños. ¿Cuántos litros le corresponden a cada
niño?
PO: 3.9 ÷ 3
① U d ② U d ③ U d
3 9 3 3 9 3 3 9 3
Ana
– 3 1 –. 3 1 – 3 1 3
0 U 0 9 U 0 9 U d
– 9
0
Divido hasta la posición Coloco el punto decimal Sigo dividiendo como si
de las unidades. y bajo las décimas. fuera un número natural.
R: 1.3 litros.
Para dividir un número decimal hasta las décimas entre un número natural:
① Divide el dividendo hasta la posición de las unidades.
② Coloca el punto decimal en el cociente y baja las décimas.
③ Continúa con la división como si fuera un número natural.
Ejemplo: 13.8 ÷ 3
① D U d ② D U d ③ D U d
1 3 8 3 1 3 8 3 1 3 8 3
– 1 2 4 – 1 2 4 – 1 2 4 6
1 U 1 8 U 1 8 U d
– 1 8
0
Se divide hasta la posición Se coloca el punto decimal Se sigue la división como si
de las unidades. y se bajan las décimas. fuera un número natural.
Efectúa:
a. 4.2 ÷ 2 b. 8.4 ÷ 6 c. 5.2 ÷ 4
4 2 2 8 4 6 5 2 4
d. 14.7 ÷ 7 e. 21.5 ÷ 5 f. 25.2 ÷ 3

50
2.3 División de números hasta las centésimas entre un número natural de 1 cifra
Efectúa:
8.25 ÷ 3 es 825 centésimas
a. 8.25 ÷ 3 b. 74.68 ÷ 4 dividido entre 3.
a. 8.25 ÷ 3
① U d c ② U d c ③ U d c
8 2 5 3 8 2 5 3 8 2 5 3
– 6 2 – 6 2 – 6 2 7 5
2 U 2 2 U 2 2 U d c
– 2 1
1 5
– 1 5
Antonio
0
Unidad 3
b. 74.68 ÷ 4
① D U d c ② D U d c ③ D U d c
7 4 6 8 4 7 4 6 8 4 7 4 6 8 4
– 4 1 8 – 4 1 8 – 4 1 8 6 7
3 4 D U 3 4 D U 3 4 D U d c
– 3 2 – 3 2 – 3 2
2 2 6 2 6
– 2 4
2 8
– 2 8
0
Para dividir un número decimal hasta las centésimas entre un número natural el proceso es el mismo:
1. Efectúa:
a. 5.94 ÷ 2 b. 6.92 ÷ 4 c. 13.25 ÷ 5 d. 73.41 ÷ 3
2. Don Juan reparte $64.92 equitativamente entre sus 4 hijos. ¿Cuántos dólares recibirá cada hijo?
Marta estaba resolviendo una multiplicación y accidentalmente borró el

multiplicando, ¿cuál era el valor del multiplicando?
51
2.4 División de números hasta las centésimas entre un número natural de 2 cifras
Efectúa:
a. 67.2 ÷ 32 b. 48.93 ÷ 21
a. 67.2 ÷ 32 Puedes estimar el cociente:

Como 32 × 2 = 64 y 67.2 es mayor que 64, el cociente será un poco mayor que 2.
① D U d ② D U d ③ D U d
6 7 2 3 2 6 7 2 3 2 6 7 2 3 2
– 6 4 2 – 6 4 2 – 6 4 2 1
3 U 3 2 U 3 2 U d
– 3 2
0
Julia
b. 48.93 ÷ 21 Puedes estimar el cociente:

Como 21 × 2 = 42 y 48.93 es mayor que 42, el cociente será un poco mayor que 2.
① D U d c ② D U d c ③ D U d c
4 8 9 3 2 1 4 8 9 3 2 1 4 8 9 3 2 1
– 4 2 2 – 4 2 2 – 4 2 2 3 3
6 U 6 9 U 6 9 U d c
– 6 3
6 3
– 6 3
0
En divisiones de números decimales entre números de dos cifras, el proceso es el mismo:

Efectúa:
a. 49.2 ÷ 12 b. 99.2 ÷ 31 c. 437.5 ÷ 25
d. 35.25 ÷ 15 e. 64.75 ÷ 35 f. 277.35 ÷ 43
Efectúa la siguiente división: 848.7 ÷ 123
52
2.5 División de números decimales con cero en las décimas o centésimas del
cociente
En una fiesta de cumpleaños hay 8.36 litros de refresco de arrayán que deben repartirse entre 4 niños
equitativamente. ¿Qué cantidad le corresponde a cada niño?
PO: 8.36 ÷ 4
U d c U d c U d c
8 3 6 4 8 3 6 4 8 3 6 4
– 8 2 – 8 2 0 – 8 2 0 9
3 U 3 U d 3 U d c
– 0 – 0
3 3 6
Ana – 3 6
0
Unidad 3
Divido hasta la posición Calculo 3 ÷ 4, coloco 0 en Sigo dividiendo como si
de las unidades, coloco el cociente, pues 4 × 0 = 0. fuera un número natural.
el punto decimal y bajo
las décimas. Recuerda que se toma 0,
pues 4 × 1 = 4 y es mayor
R: 2.09 litros. que 3.
Cuando en el proceso se tiene una división donde el dividendo es menor que el divisor se puede:
① Colocar 0 en el cociente.
② Bajar la cifra de la siguiente posición del dividendo.
③ Continuar con el proceso de división.
Ejemplo: 8.36 ÷ 4
① U d c ② U d c ③ U d c
8 3 6 4 8 3 6 4 8 3 6 4
– 8 2 0 – 8 2 0 – 8 2 0 9
3 U d 3 6 U d 3 6 U d c
– 3 6
0
El dividendo es menor Baja la cifra de la si- Sigue la división como en
que el divisor, por lo que guiente posición. los números naturales.
se coloca 0 en el cociente.
1. Efectúa:
a. 9.21 ÷ 3 b. 4.24 ÷ 4 c. 8.32 ÷ 8 d. 6.24 ÷ 3
2. Andrés tiene 6.15 litros de leche que guardará en 3 botellas de forma equitativa.
¿Cuántos litros de leche debe verter en cada botella?
Efectúa la siguiente división: 15.45 ÷ 5

53
2.6 División de números decimales con cociente menor que 1
Efectúa: 1.38 ÷ 3
Puedes estimar el cociente:

Como 3 no cabe ni una vez en 1.38, el cociente será menor que 1.
U d c U d c U d c
1 3 8 3 1 3 8 3 1 3 8 3
Antonio 0 – 1 2 0 4 – 1 2 0 4 6
U U d 1 8 U d c
– 1 8
0
Divido hasta las unidades 1 ÷ 3. Divido incluyendo las Sigo dividiendo como si
Como el dividendo es menor décimas. fuera un número natural.
que el divisor coloco 0 y punto
decimal en el cociente.
¿ ué pasaría?
¿Cómo se puede calcular 13.44 ÷ 24?
Cuando el dividendo es menor que el divisor, el D U d c
cociente de la división es menor que 1. 1 3 4 4 2 4
– 1 2 0 0 5 6
El proceso a seguir es: 1 4 4 U d c
– 1 4 4
① Coloca 0 y punto decimal en el cociente. 0
② Divide incluyendo las décimas. En la división hasta las unidades, el dividendo es
③ Continúa con el proceso de división. menor que el divisor, por lo que se coloca 0 en el
cociente y luego el punto decimal. Después, se con-
tinúa con la división.
1. Efectúa:
a. 1.48 ÷ 4 b. 2.76 ÷ 6 c. 1.71 ÷ 3
d. 0.75 ÷ 5 e. 0.86 ÷ 2 f. 0.91 ÷ 7
g. 12.72 ÷ 53 h. 21.32 ÷ 41 i. 15.91 ÷ 37
Como se tienen 0 unidades, que es menor que el divisor,

se coloca 0 en las unidades del cociente.
2. Valeria pagó $2.56 en la librería al comprar 8 borradores con el mismo precio.

¿Cuánto vale cada borrador?
54
2.7 División entre números naturales cuyo cociente es un número decimal
Se reparte equitativamente una cinta que mide 7 m entre 5 personas, ¿cuántos metros recibe cada per-
sona? Debes efectuar la división
PO: 7 ÷ 5 sin dejar residuo.
① U ② U d ③ U d
7 5 7 5 7 5
– 5 1 – 5 1 – 5 1 4
2 U 2 0 U 2 0 U d
– 2 0
Carlos
0
Divido las unidades. Coloco el punto decimal Sigo dividiendo como si
en el cociente y cero en la fuera un número natural.
posición de las décimas.
Unidad 3
• La división de números naturales puede tener como cociente un número decimal.
• Se puede continuar la división de números naturales colocando el punto decimal y agregando ceros
en el dividendo hasta obtener residuo cero.
Ejemplo: 13 ÷ 4
D U D U d D U d
1 3 4 1 3 4 1 3 4
– 1 2 3 – 1 2 3 – 1 2 3 2 5
1 U 1 0 U 1 0 U d
– 8
2 0
– 2 0
0
Divide hasta las unidades. Coloca el punto decimal Sigue dividiendo como si fuera
en el cociente y cero en la un número natural y coloca
posición de las décimas. cero cuando sea necesario
para continuar con la división.
Efectúa las siguientes divisiones agregando ceros en el dividendo hasta obtener residuo cero.
a. 3 ÷ 2 b. 6 ÷ 4 c. 9 ÷ 5
d. 16 ÷ 5 e. 14 ÷ 8 f. 11 ÷ 4
Diego quiere repartir 34 litros de agua en 6 depósitos, ¿cuántos litros de agua habrá en cada depósito?
55
2.8 División de números decimales con cociente menor que 1, agregando ceros
al dividendo
Efectúa:
a. 3.6 ÷ 8 b. 1.59 ÷ 6
a. 3.6 ÷ 8
U d U d U d c
3 6 8 3 6 8 3 6 8
0 – 3 2 0 4 – 3 2 0 4 5
U 4 U d 4 0 U d c
– 4 0
Antonio
0
Divido hasta las unidades. Divido incluyendo las Agrego 0 en las centésimas
Como el dividendo es menor décimas. del dividendo y sigo
que el divisor coloco 0 y dividiendo hasta obtener
punto decimal en el cociente. residuo 0.
b. 1.59 ÷ 6
U d c U d c U d c m
1 5 9 6 1 5 9 6 1 5 9 6
0 – 1 2 0 2 – 1 2 0 2 6 5
U d 3 U d 3 9 U d c m
– 3 6
3 0
– 3 0
0
Divido hasta las unidades. Divido incluyendo las Sigo dividiendo bajando el
Como el dividendo es menor décimas. 9 de las centésimas. Luego
que el divisor coloco 0 y agrego 0 en las milésimas
punto decimal en el cociente. para continuar con la
división hasta obtener
residuo 0.
Cuando el dividendo es menor que el divisor se coloca cero en la posición de las unidades del cociente y
se continúa con la división agregando los ceros que sean necesarios al dividendo hasta obtener residuo
cero.
Efectúa:
a. 1.4 ÷ 4 b. 1.5 ÷ 2 c. 1.7 ÷ 4
d. 1.16 ÷ 8 e. 1.47 ÷ 6 f. 3.27 ÷ 5
56
2.9 Residuo en la división de números decimales entre naturales
ecuerda
Hay 73 litros de agua que se guardan en depósitos de 20 litros.
a. ¿Cuántos depósitos se llenan? b. ¿Cuántos litros de agua sobran?
Hay 7.3 litros de jugo y se guardan en picheles de 2 litros.

a. ¿Cuántos picheles se pueden llenar? PO: 7.3 ÷ 2
b. ¿Cuántos litros de jugo sobran?
Realizo la división hasta las unidades.

2 2 2 1.3
U d
7 3 2
0 1 2 3 4 (picheles)
– 6 3 cociente
Unidad 3
Antonio
1 3 U El residuo tiene que ser menor que la capacidad de un pichel.
residuo
a. Para determinar la cantidad de picheles que se llenan observa el cociente de la división realizada.
R: 3 picheles.
b. Para determinar los litros que sobran se observa el residuo.

R: 1.3 litros. Compruebo como en el caso de la división de na-
turales: divisor × cociente + residuo = dividendo
2 × 3 + 1.3 = 7.3
En la división de un número decimal entre un número natural, para saber el residuo hay que colocar el
punto decimal en la misma dirección del punto decimal del dividendo.
Ejemplo: 6.4 ÷ 3
U d
6 4 3
– 6 2
0 4 U R: 2 con residuo 0.4
Calcula el residuo de repartir la cantidad de litros dada en recipientes con la capacidad indicada.
a. 6.4 l en picheles de 4 l b. 7.6 l en picheles de 5 l c. 8.2 l en picheles de 6 l
Si se necesitan 2 galones de pintura para pintar la habitación de una casa,

¿cuántas habitaciones de la misma medida se pueden pintar con 5.9 galo-
nes?, ¿cuántos galones de pintura sobran?
57
2.10 Redondeo del cociente en la división de números decimales entre naturales
ecuerda
Redondea:
a. 0.666 a las décimas. b. 2.365 a las centésimas.
a. Resuelve 2 ÷ 3, calculando hasta las centésimas y redondea el resultado a las décimas.

b. Resuelve 18.5 ÷ 7, calculando hasta las milésimas y redondea el resultado a las centésimas.
a. Realizo la división 2 ÷ 3 agregando los ceros necesarios, pues el dividendo es menor que el divisor.
U d c m Obtengo que 2 ÷ 3 con cociente hasta las centésimas es 0.66.
2 0 3
– 1 8 0 6 6 Redondeo 0.66 a las décimas.
José 2 0 U d c
– 1 8 0 6 6
2 0
– 1 8 Observo que la cifra de las centésimas es mayor que 5 porque
2 aumento en 1 las décimas.
R: 0.7 aproximadamente.
b. Realizo la división 18.5 ÷ 7 agregando los ceros necesarios, cuando el dividendo es menor que el di-
visor.
D U d c m
Obtengo que 18.5 ÷ 7 con cociente hasta las milésimas es 2.642.
1 8 5 7
– 1 4 Redondeo 2.642 a las centésimas.
2 6 4 2
4 5 U d c m
– 4 2 2 6 4 2
3 0
– 2 8 Observo que la cifra de las milésimas es menor que 5 porque la
2 0 cifra de las centésimas se mantiene.
– 1 4
6 R: 2.64 aproximadamente.
Cuando la división no es exacta se puede representar el cociente redondeado.

Para redondear, se divide hasta la siguiente posición a la que se indica redondear.
1. Efectúa las siguientes divisiones redondeando el cociente a las décimas.

a. 5 ÷ 3 b. 25 ÷ 7 c. 32 ÷ 9
2. Efectúa las siguientes divisiones redondeando el cociente a las centésimas.

a. 6.91 ÷ 3 b. 14.1 ÷ 9 c. 25.7 ÷ 6
3. Una caja que contiene 24 botes de conserva pesa 18.65 kilogramos. ¿Cuánto pesa aproximadamente
cada bote? Redondea a las centésimas.
58
2.11 Cantidad de veces como un número decimal
Antonio tiene 2 lazos de diferentes tamaños.

① ②
25 m 8m
Julia tiene un lazo como el que se muestra.

10 m
¿Cuántas veces cabe el lazo de Julia en cada uno de los lazos de Antonio?
La longitud del lazo de Julia será la cantidad base y la longitud de los lazos de Antonio la cantidad
a comparar.
25 m 8m Julia
lazo ① de Antonio lazo ② de Antonio
Unidad 3
10 m 10 m
lazo de Julia lazo de Julia
0 1 2 3 (veces) 0 1 (veces)
25 ÷ 10 = 2.5 8 ÷ 10 = 0.8
Por lo tanto, ① es 2.5 veces el lazo de Julia. Por lo tanto, ② es 0.8 veces el lazo de Julia.
• Para obtener la cantidad de veces que se encuentra la can- cantidad a

comparar
tidad base en la cantidad a comparar se efectúa la división.
cantidad de veces = cantidad a comparar ÷ cantidad base cantidad

base
• La cantidad de veces puede ser un número decimal mayor o

menor que la unidad. cantidad
0 1
de veces
1. Juan compró latas de atún de diferentes pesos y Carmen compró una lata de 200 g. Responde:
¿cuántas veces es el peso de la lata que compró Carmen comparado con el peso de las que compró
Juan?
a. lata A b. lata B
460 g 200 g 180 g 200 g
2. El papá de Diego tiene 40 años de edad, su mamá 38, él 8 y su hermanito 6 años. ¿Cuántas veces es
la edad de cada uno de sus familiares comparada con la edad de Diego?
59
a. 8.4 ÷ 4 b. 20.1 ÷ 3 c. 9.65 ÷ 5
d. 33.95 ÷ 7 e. 88.2 ÷ 21 f. 73.22 ÷ 14
g. 24.28 ÷ 4 h. 4.32 ÷ 6 i. 19.52 ÷ 32
j. 12 ÷ 5 k. 19 ÷ 4 l. 1.6 ÷ 5
2. Calcula el residuo de repartir la cantidad de litros dada en recipientes con la capacidad indicada.
a. 6.7 l en picheles de 5 l b. 8.8 l en picheles de 4 l
3. Redondea:
a. A las décimas el cociente de la división 1 ÷ 3
b. A las centésimas el cociente de la división 13.1 ÷ 7

1. Carlos prepara con su mamá 15 empanadas con relleno de leche y 30 empanadas con relleno de frijol.
¿Cuántas veces es la cantidad de empanadas de leche comparada con la cantidad de empanadas de
frijol?
2. Si se necesitan 4.8 metros de listón para decorar 3 manteles, ¿cuántos metros se necesitan para decorar
1 mantel?
3. Doña Beatriz reparte equitativamente $32.75 entre sus 5 hijos.

¿Cuánto dinero le toca a cada hijo?
4. Se tienen 0.36 litros de jugo y se reparten equitativamente en 3

vasos. ¿Qué cantidad de jugo contiene cada vaso?
1. Efectúa:
a. 78 ÷ 15 b. 34 ÷ 40
2. Andrés quiere repartir una bolsa de abono que pesa 1, 847.7 gramos entre 15 macetas, ¿qué cantidad
de abono le corresponde a cada maceta?
60
Gráfica de línea

4
• Elaborar y analizar gráficas de línea y gráficas de
doble línea
• Representar y analizar situaciones del entorno
utilizando la gráfica de línea
1.1 Gráfica de línea
La temperatura cambia de momento en momento. A continuación se presenta una temperatura aproxi-

mada durante cada mes.
La temperatura en Buenos Aires, Argentina, durante el año 2018 se presenta en la siguiente gráfica.
°C
Temperatura en Buenos Aires durante 2018
Observa y responde: 30
a. ¿Qué representa el eje horizontal? 25

b. ¿Qué representa el eje vertical?
c. ¿Cuál mes tuvo la mayor temperatura? 20
d. ¿Cuál mes tuvo la menor temperatura?
e. ¿Cuántos grados centígrados representa 15
cada espacio?
10
La unidad que se utiliza para expresar temperaturas
es °C y se lee grados centígrados.
5
0 e f m a m j j a s o n d Mes
Al observar la gráfica tengo que:

a. En el eje horizontal se colocaron los meses del año.
Ana
b. En el eje vertical se colocó la temperatura.
c. El punto más alto en la gráfica es 25 y corresponde al mes de enero.
d. El punto más bajo en la gráfica es 11 y corresponde al mes de julio.
e. El espacio entre cada marca del eje vertical es de 1 en 1, por lo que cada espacio representa 1 °C.
etiqueta del eje vertical °C

30
temperatura mayor 25
20
15
temperatura menor
10
5
el espacio entre
marcas es de 1
0 e f m a m j j a s o n d Mes etiqueta del eje horizontal
62
°C
Este tipo de gráfica se conoce como gráfica de
30
línea.
25
Se parece a la gráfica de barras, pero se omi-
ten las barras y solo se colocan los puntos que
20
indican los valores para determinados aspec-
tos.
15
10
La gráfica de
• barras se utiliza para hacer comparaciones
5
entre los datos.
• línea se utiliza para identificar el cambio
entre los datos.
esuelve
1. A partir de la gráfica contesta: °C
a. ¿Qué representa el eje horizontal? Temperatura en Tokio durante 2018
30
b. ¿Qué representa el eje vertical?
25
Unidad 4
c.
¿En cuáles meses hubo la mayor
20
temperatura?
15
d.
¿En cuáles meses hubo la menor
temperatura?
10
e.
¿Cuál mes tuvo 20 °C de temperatura?
5
n.° de
2. A partir de la gráfica contesta: estudiantes Cumpleañeros de un centro escolar
a. ¿Qué representa el eje horizontal? 30
b. ¿Qué representa el eje vertical? 25
c. ¿Cuál mes tiene la mayor cantidad de 20

estudiantes que cumplen años?
15
d. ¿Cuál mes tiene la menor cantidad de
estudiantes que cumplen años? 10
e. ¿Cuántos estudiantes cumplen años en 5

marzo?
63
1.2 Interpretación de datos de una gráfica de línea
Observa y responde:
°C
a. ¿Desde enero hasta qué mes la temperatura Temperatura en Buenos Aires durante 2018
disminuyó? 30
b. ¿Entre qué meses se observa mayor disminu- 25

ción de temperatura?, ¿de cuánto fue la dismi-
nución? 20
c. ¿Desde julio hasta qué mes la temperatura au- 15

mentó?
10
d. ¿Entre qué meses se observa mayor aumento
de temperatura?, ¿de cuánto fue el aumento? 5
e. ¿En qué meses hubo igual temperatura? 0 e f m a m j j a s o n d Mes

a. Desde enero hasta julio la temperatura
°C
disminuye. Temperatura en Buenos Aires durante 2018 Carlos
30
b. Entre marzo y abril, disminuyó 4 °C.
mayor mayor
25
disminución aumento
c. Desde julio hasta diciembre la temperatu-
ra aumentó. 20
misma
15 temperatura
d. Entre septiembre y octubre (o también en-
tre octubre y noviembre), aumentó 3 °C.
10
e. En mayo y septiembre se tuvo la misma
temperatura. También en abril y octubre, 5
disminuye aumenta
y en febrero y diciembre.
En la gráfica de línea se puede saber el cambio por la inclinación de los segmentos de recta.
disminuye igual aumenta
mucho poco mucho poco
64
°C
1. Carlos presentó en una gráfica las tempe- Temperatura en Sao Paulo
raturas durante 12 horas en la ciudad de 30
Sao Paulo, en Brasil.
a. ¿Entre qué horas aumentó la tempera-
tura? 20
b. ¿Entre qué horas disminuyó la tempera- 15

tura?
10
c. ¿Entre qué horas se mantuvo igual la
temperatura? 5
d.
¿Entre qué horas se observa mayor au- 0 6:00 8:00 10:00 12:00 2:00 4:00 6:00 Hora
mento de temperatura? a. m. a. m. a. m. m. d. p. m. p. m. p. m.
n.° de
2. Doña María inició su negocio de pastelería pasteles Venta de pasteles durante 2018
60
en 2018 y registra sus ventas en una gráfica.
Observa y responde:
50
a. ¿Entre qué meses hubo aumento en la
venta de pasteles?
40
Unidad 4
b. ¿Entre qué meses hubo disminución en
30
la venta de pasteles?
20
c. ¿Entre qué meses se mantuvo la venta de
pasteles?
10
d.
¿Entre qué meses se observa mayor au-
mento en la venta de pasteles? 0 e f m a m j j a s o n d Mes
3. Carmen sabe que ejercitarse al menos 20 minu-

n.° de
tos al día es bueno para la salud, por lo que de- minutos Tiempo de ejercicio diario
cide registrar los minutos que hace de ejercicio 30
cada día durante una semana.
a. ¿Entre qué días aumentó la cantidad de mi-
nutos de ejercicio? 20
b. ¿Entre qué días hubo disminución en la can- 15

tidad de minutos de ejercicio?
10
c. ¿Entre qué días se observa mayor aumento
en el tiempo de ejercicio? 5
d.
¿Entre qué días Carmen mantuvo el tiempo 0 l m m j v s d Día
de ejercicio?
65
1.3 Construcción de la gráfica de línea
Representa la información de la tabla en una gráfica de línea.

Meses e f m a m j j a s o n d
Temperatura (°C) 25 23 22 18 15 12 11 13 15 18 21 23
Represento los datos en una gráfica de línea siguiendo los pasos:

① Elijo y escribo la escala tomando en cuenta la mayor temperatura. Además, escribo la etiqueta
del eje vertical. Carmen
② Escribo los meses y la etiqueta en el eje horizontal.
③ Para cada mes ubico un punto a la altura de la temperatura correspondiente.
④ Uno los puntos con segmentos de recta utilizando la regla.
⑤ Escribo el título de la gráfica.
① °C
Temperatura en Buenos Aires durante 2018 ⑤
30
25 ③
④
20
① 15
10
0 e f m a m j j a s o n d Mes ②
Para construir una gráfica de línea:

① Escribe la escala y etiqueta del eje vertical, tomando en cuenta el dato mayor.
② Escribe los tipos de datos y la etiqueta del eje horizontal.
③ Coloca los puntos según la cantidad que corresponde a cada tipo de dato.
④ Une los puntos con segmentos de recta.
⑤ Escribe el título de la gráfica.
66
1. Basándote en la siguiente tabla:
Temperatura en Tokio durante 2018
Temperatura (°C) 5 5 12 17 20 22 28 28 23 19 14 8
a. Construye la gráfica de línea.

b. ¿Qué información puedes obtener a partir de la gráfica?
( ) _____________________________________
Unidad 4
( )
2. Basándote en la siguiente tabla:

Temperatura en Sao Paulo
Hora 6:00 a. m. 8:00 a. m. 10:00 a. m. 12:00 m. d. 2:00 p. m. 4:00 p. m. 6:00 p. m.
Temperatura (°C) 14 16 20 24 27 27 22
a. Construye la gráfica de línea.

b. ¿Qué información puedes obtener a partir de la gráfica?
( ) _____________________________________
( )
67
1.4 Comparación de gráficas de líneas
Observa y responde: °C
Temperatura en Buenos Aires y Tokio
a. ¿De cuánto es la diferencia entre la temperatura 30
más alta de Buenos Aires y la más alta de Tokio?
Buenos Aires
25
b. ¿De cuánto es la diferencia entre la temperatu-
ra más baja de Buenos Aires y la más baja de 20
Tokio?
15
c. ¿En qué mes la diferencia de temperatura fue
mayor?, ¿de cuánto es la diferencia? 10
d. ¿En qué mes la diferencia de temperatura fue 5

menor?, ¿de cuánto es la diferencia? Tokio

a. La temperatura más alta de Buenos Aires es 25 °C y la de Tokio es 28 °C.
Por lo que la diferencia es 3 °C (28 – 25 = 3).
Julia
b. La temperatura más baja de Buenos Aires es 11 °C y la de Tokio es 5 °C.

La diferencia es 6 °C (11 – 5 = 6).
c. La mayor diferencia de temperatura es en enero, ya que la temperatura en Buenos Aires es de 25 °C y la

temperatura en Tokio es de 5 °C.
d. La menor diferencia de temperatura se da en abril y octubre, ya que la temperatura en Buenos Aires es

de 18 °C y la temperatura en Tokio es de 17 °C.
°C
Temperatura en Buenos Aires y Tokio
30
Temperatura
Temperatura más alta Buenos
25 Aires
más alta
20
diferencia
diferencia menor
15
mayor
10
Temperatura Tokio
5 más baja
68
Se pueden comparar situaciones a partir de las gráficas de líneas colocándolas en una misma cuadrícula.
°C
1. La siguiente gráfica muestra la temperatura Temperatura en Buenos Aires y Los Ángeles
en dos lugares diferentes. Basándote en la 30
gráfica responde: Buenos Aires
a. ¿De cuánto es la diferencia entre la tem- 25
peratura más alta de ambas ciudades?
20
b. ¿De cuánto es la diferencia entre la tem-
peratura más baja de ambas ciudades? 15
c. ¿En qué mes la diferencia de temperatura 10

fue mayor?, ¿de cuánto es la diferencia?
5
Los Ángeles
d. ¿En qué mes la diferencia de temperatura
fue menor?, ¿de cuánto es la diferencia? 0 e f m a m j j a s o n d Mes
n.° de
2. La siguiente gráfica muestra la venta de pas- pasteles Venta de pasteles de dos panaderías
teles en dos panaderías diferentes. 60
Basándote en la gráfica responde:
a. ¿De cuánto es la diferencia entre la ma- 50
yor venta de ambas panaderías?
Unidad 4
40 Panadería A
b. ¿De cuánto es la diferencia entre la me-
nor venta de ambas panaderías? 30
c. ¿En qué mes la diferencia de venta fue 20

mayor?, ¿de cuánto es la diferencia? Panadería B
10
d. ¿En qué mes la diferencia de venta fue
menor?, ¿de cuánto es la diferencia? 0 e f m a m j j a s o n d Mes
n.° de
3. La siguiente gráfica muestra el tiempo de ejerci- minutos Tiempo de ejercicio diario
cio diario de dos niños. 30
a. ¿De cuánto es la diferencia entre la mayor can- 25
Julia
tidad de minutos de ejercicio de los niños?
20
b. ¿De cuánto es la diferencia entre la menor Antonio
cantidad de minutos de ejercicio de los niños? 15
c. ¿En qué día la diferencia de minutos de ejerci- 10

cios fue mayor?, ¿de cuánto es la diferencia?
5
d. ¿En qué día la diferencia de minutos de ejerci-
cio fue menor?, ¿de cuánto es la diferencia? 0 l m m j v s d Día
69
1.5 Construcción de la gráfica de línea con símbolo de corte
Julia construye la gráfica sobre las temperaturas mínimas de cada mes en un año.
°C Temperatura mínima durante un año
30
25
20
Julia observa que queda un espacio sin datos.
15 ¿Qué podría hacer para representar la información
sin dejar tanto espacio?
10
espacio
5
En la gráfica omito la parte donde °C Temperatura mínima durante un año

no hay datos sustituyendo por: 26
25 Julia
Si uso el símbolo , podré 24
usar una escala más grande y la 23
gráfica será más compresible para
leer los datos. 22
21
20
19
0 e f a m j j a s o n d
m Mes
• En la gráfica de línea, se puede omitir la parte correspondiente a escalas donde no hay datos con el
símbolo , para representar los datos de forma más comprensible.
• se conoce como símbolo de corte.
Construye una gráfica de línea utilizando el símbolo de corte, a partir de las siguientes tablas:
a. Minutos de ejercicios realizados por Julia durante una semana.
Día lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo
Minutos 18 20 23 25 25 23 21
b. Producción de quintales de frijol obtenidos en 8 años.

Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Quintales (qq) 83 86 91 85 87 84 90 96
70
1. Un zoológico registra el número de animales que se enferman por mes durante cierto año.
A partir de la información presentada en el gráfico responde:
n.° de
animales
a. ¿Qué representa el eje horizontal? Animales enfermos en un zoológico
b. ¿Qué representa el eje vertical? 20
c. ¿En cuál mes hubo mayor cantidad de
animales enfermos? 15
d. ¿En cuál mes hubo menor cantidad de
10
animales enfermos?
e. ¿Cuál mes tuvo 12 animales enfermos?
5
n.° de
2. Ana registra el número de minutos que dedica minutos Tiempo en tareas de Matemática
cada día de la semana para hacer la tarea de 30
Matemáticas. A partir de la información presen-
tada en el gráfico responde: 25
a. ¿Entre qué días aumentó la cantidad de mi-
nutos para hacer la tarea? 20
b. ¿Entre qué días hubo disminución en la canti-
dad de minutos para hacer la tarea? 15
c. ¿Entre qué días se observa mayor aumento
en el tiempo para hacer la tarea? 10
Unidad 4
d. ¿Entre qué días Ana mantuvo el tiempo para
hacer la tarea? 5
0 l m m j v s d Día
3. Basándote en la siguiente tabla, elabora la gráfica de línea.

Centros escolares que visitan el teatro
n.° de centros escolares 12 18 21 15 17 23 26 28 16 19 8 0
( ) _____________________________________
( )
71
4. La siguiente gráfica muestra el tiempo que tardan dos niños en hacer su tarea de Matemática.
n.° de
minutos Tiempo para hacer la tarea
30
25 María
20
Carlos
15
10
0 l m m j v s d Día
a. ¿De cuánto es la diferencia entre la mayor cantidad de minutos para hacer la tarea entre los niños?
b. ¿De cuánto es la diferencia entre la menor cantidad de minutos para hacer la tarea entre los niños?
c. ¿En qué días la diferencia de minutos al hacer la tarea fue mayor?, ¿de cuánto es la diferencia?
d. ¿En qué días la diferencia de minutos al hacer la tarea fue menor?, ¿de cuánto es la diferencia?
5. Construye una gráfica de línea utilizando el símbolo de corte , a partir de la siguiente tabla:
Minutas que vende doña Beatriz en cierta semana
Día lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo
n.° de minutas 36 41 37 43 49 55 58
( ) _____________________________________
( )
¿Cuáles de las siguientes situaciones son adecuadas para ser representadas en una gráfica de línea?
a. Estatura de los alumnos de quinto grado en enero.
b. Programas de televisión preferidos por los docentes de un centro escolar.
c. Peso de un bebé durante los últimos 12 meses.
72
Multiplicación y división de números
decimales por números decimales

5
• Utilizar el cálculo vertical de la multiplicación de
números decimales por números decimales
• Utilizar el algoritmo de la división de números
decimales entre números decimales
• Encontrar la cantidad de veces utilizando números
decimales
• Aplicar las propiedades conmutativa y distributiva
para números decimales
1. Completa:
× 6 9 7 8
7
5
9
6
2. Efectúa:
a. 40 × 15 b. 34 × 21 c. 214 × 31
d. 28 × 5 e. 7 × 43 f. 432 × 15
3. Realiza las siguientes multiplicaciones:

a. 3.4 × 10 b. 4.63 × 100
c. 0.7 × 10 d. 0.89 × 100
4. Realiza las siguientes divisiones:

a. 12 ÷ 10 b. 234 ÷ 100 c. 8, 670 ÷ 1, 000
d. 4 ÷ 10 e. 63 ÷ 100 f. 45 ÷ 1, 000
5. Efectúa las siguientes divisiones, utilizando los números decimales para expresar el cociente:
a. 63 ÷ 7 b. 840 ÷ 24 c. 2, 193 ÷ 51
d. 523 ÷ 25 e. 832 ÷ 256 f. 820.8 ÷ 24
6. Juan bebe 0.3 litros de agua cada hora, ¿qué cantidad de agua bebió al cabo de 4 horas?
7. Completa:
a. 5 × 4 = ×5 b. ( ×3)+( × 3 ) = (5 + 2) × 3
8. Efectúa la operación combinada:

8×4+7×3
74
1.2 Multiplicación de un número natural por un número decimal
Hay un tubo de PVC en el que 1 m pesa 60 gramos.

a. Si hay 2 m de este tubo, ¿cuánto será su peso?
b. Si hay 2.4 m de este tubo, ¿cuánto será su peso?
a. Elaboro la gráfica. PO: 60 × 2
60 De la gráfica observo que tengo 2 veces 60 gramos,

es decir, 60 × 2 = 120. Carlos
R: 120 gramos.
0 1 2
b. Elaboro la gráfica, pero ahora esta llega hasta 2.4.
PO: 60 × 2.4
① Convierto el número decimal a un número natural,
multiplicándolo por 10 y realizo la multiplicación 60 × 24.
60 6 0 6 0
× 2 4 × 10 × 2 4
2 4 0
+ 1 2 0
0 1 2 2.4 3 1 4 4 0
② Como multipliqué por 10, divido el resultado obtenido
entre 10.
R: 144 gramos. 1, 440 ÷ 10 = 144.0
Para multiplicar un número natural por un número decimal hasta las décimas:
① Coloca el multiplicando y multiplicador en forma vertical.
② Multiplica como si fueran números naturales.
Unidad 5
Ejemplo: 25 × 1.3
① 2 5 ② 2 5 ③ 2 5
× 1 3 × 1 3 × 1 3
7 5 7 5
+ 2 5 + 2 5
3 2 5 3 2 5
Colocación de la Multiplicación como con Colocación del punto
multiplicación en los números naturales. avanzando una posición
forma vertical. de derecha a izquierda.
esuelve
1. Efectúa:
a. 14 × 1.2 b. 16 × 2.3 c. 25 × 4.3 d. 46 × 3.2
2. Un tubo de PVC de 1 m pesa 42 gramos. Si hay 5.6 m de este tubo, ¿cuánto será su peso?
75
1.3 Multiplicación de números decimales hasta las décimas
Se usan 3.7 litros de pintura para un tramo de calle de 1 m de largo. ¿Cuántos litros de pintura se nece-
sitan para pintar 1.3 m de esa calle?
PO: 3.7 × 1.3
① Convierto la multiplicación de números decimales a una multiplicación de naturales, multiplicando

los factores por 10.
3 7 × 10 3 7
3 7 × 10 3 7
× 1 3 × 10 × 1 3 × 1 3 × 10 × 1 3
José 1 1 1 1 1 1
+ 3 7 + 3 7
② Realizo la multiplicación 37 × 13. 4 8 1 ÷ 100 4 8 1
3 7 × 10 3 7
× 1 3 × 10 × 1 3
1 1 1
+ 3 7
4 8 1
③ Como multipliqué ambos factores por 10, el producto se multiplicó por 100, entonces divido el pro-
ducto obtenido entre 100.
481 ÷ 100 = 4.81 R: 4.81 litros.
Para multiplicar números decimales hasta las décimas:

③ Coloca el punto decimal avanzando 2 posiciones de derecha a izquierda.
Ejemplo: 2.7 × 1.3 2 7 1 cifra decimal

① 2 7 ② 2 7 ③ 2 7 × 1 3 1 cifra decimal
× 1 3 × 1 3 × 1 3 8 1
8 1 8 1 + 2 7
+ 2 7 + 2 7 3 5 1 2 cifras decimales
3 5 1 3 5 1
multiplicación en los números naturales. avanzando 2 posiciones
1. Efectúa en forma vertical:

a. 2.3 × 3.2 b. 4.2 × 1.3 c. 2.3 × 4.1
d. 1.4 × 2.2 e. 3.2 × 1.7 f. 3.3 × 3.2
2. Se usan 2.1 litros de pintura para un tramo de calle de 1 m de largo. Si se pinta un tramo de la misma
calle de longitud 1.5 m, ¿cuántos litros de pintura se necesitan?
76
1.4 Multiplicación de números decimales hasta las centésimas
Para pintar 1 m2 de un mural se utilizan 1.31 litros de pintura, ¿cuántos litros se necesitan para 4.2 m2
del mural?
PO: 1.31 × 4.2
① Convierto la multiplicación de números decimales a una multiplicación de naturales, multiplicando

los factores por 100 y 10, respectivamente.
1 3 1 × 100 1 3 1
× 4 2 × 10 × 4 2 1 3 1 × 100 1 3 1
Antonio × 4 2 × 10 × 4 2
2 6 2 2 6 2
② Realizo la multiplicación 131 × 42. + 5 2 4 + 5 2 4
1 3 1 × 100 1 3 1 5 5 0 2 ÷ 1, 000 5 5 0 2
× 4 2 × 10 × 4 2
2 6 2
+ 5 2 4
5 5 0 2
③ Como multipliqué los factores por 100 y 10, el producto se multiplicó por 1, 000, entonces divido el
producto obtenido entre 1, 000.
5, 502 ÷ 1, 000 = 5.502 R: 5.502 litros.
Para multiplicar números decimales hasta las centésimas:

③ Coloca el punto decimal avanzando 3 posiciones de derecha a izquierda.
Ejemplo: 3.12 × 3.2 3 1 2 2 cifras decimales

① 3 1 2 ② 3 1 2 ③ 3 1 2 × 3 2 1 cifra decimal
× 3 2 × 3 2 × 3 2 6 2 4
6 2 4 6 2 4 + 9 3 6
Unidad 5
+ 9 3 6 + 9 3 6 9 9 8 4 3 cifras decimales
9 9 8 4 9 9 8 4
multiplicación en los números naturales. avanzando 3 posiciones
1. Efectúa en forma vertical:

a. 2.12 × 1.3 b. 2.22 × 4.3 c. 1.23 × 12.1
2. Si una yarda de tela cuesta $3.21, ¿cuánto cuestan 2.4 yardas de esa tela?
3. Marcos compra un terreno con las siguientes medidas. 1.2 km

¿Cuál es el área del terreno?
2.46 km
77
1.5 Multiplicación de números decimales con multiplicador menor que 1
Se usan 3.7 litros de pintura para un tramo de calle de 1 m de largo.

a. ¿Para pintar 0.3 m se necesitará más de 3.7 litros o menos? Explica sin realizar cálculos.
b. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar 0.3 m de esa calle?
a. Analizo que 1 m se pinta con 3.7 litros, entonces 3.7

0.3 m pueden pintarse con menos de 3.7 litros.
Carlos
0 0.3 1
b. Calculo 3.7 × 0.3
① 3 7 ② 3 7 ③ 3 7
× 0 3 × 0 3 × 0 3
1 1 1 1 1 1
Coloco la Multiplico como con los Coloco el punto

multiplicación en números naturales. avanzando 2 posiciones
forma vertical. de derecha a izquierda. R: 1.11 litros.
• Cuando el multiplicador es un número menor que 1 el resultado es menor que el multiplicando.

• Cuando el multiplicador es un número mayor o igual que 1 el resultado es igual o mayor que el mul-
tiplicando.
1. Escribe las multiplicaciones cuyo resultado sea menor que 8, sin efectuarlas.
a. 8 × 2.3 b. 8 × 0.8 c. 8 × 0.99 d. 8 × 1.3
2. Verifica la respuesta del numeral 1. realizando las multiplicaciones.
3. Explica para cada caso si el resultado de la multiplicación será menor o mayor que el multiplicando,
sin efectuar la multiplicación.
a. 9.1 × 1.3 b. 3.26 × 0.4 c. 3.2 × 0.7 d. 2.02 × 3.8
4. En 1 m2 de terreno se cosechan 7.5 libras de zanahorias. Si se utilizan 0.5 m2 del terreno, ¿la cosecha
de zanahoria será menor o mayor que 7.5 libras? Explica tu respuesta.
El papá de Ana se transporta en un vehículo de San

Salvador hasta Nahuizalco y tarda 1 hora en recorrer
69.21 km. Si la rapidez es la misma en todo el trayecto:
a. ¿La distancia que recorre en 0.8 horas será menor
o mayor que 69.21 km?
b. ¿Cuántos kilómetros recorre en 0.8 horas?
78
1.6 Multiplicación de decimales con cero en el producto
Efectúa:
a. 0.4 × 1.2 b. 1.36 × 2.5
a. 0.4 × 1.2
① 0 4 ② 0 4 ③ 0 4
× 1 2 × 1 2 × 1 2 Carmen
4 8 0 4 8
Coloco el multiplicando Multiplico como Coloco el punto decimal avanzando
y multiplicador se hace con los 2 posiciones de derecha a izquierda
alineados a la derecha. números naturales. y agrego 0 en las unidades del
Solo se multiplica 12 × 4 = 48 producto.
pues ya se sabe que 12 × 0 = 0
R: 0.4 × 1.2 = 0.48
b. 1.36 × 2.5
① 1 3 6 ② 1 3 6 ③ 1 3 6 1 3 6 × 100 1 3 6
× 2 5 × 10 × 2 5
× 2 5 × 2 5 × 2 5
6 8 0 6 8 0
6 8 0 6 8 0 + 2 7 2 + 2 7 2
+ 2 7 2 + 2 7 2 3 4 0 0 ÷ 1, 000 3 4 0 0
3 4 0 0 3 4 0 0
Coloco la Multiplico como con los Coloco el punto
multiplicación en números naturales. avanzando 3 posiciones
Como 3.400 es igual a 3.4, puedo omitir escribir los últimos ceros.
R: 1.36 × 2.5 = 3.4
• Los últimos ceros que están a la derecha del punto decimal pueden omitirse. Ejemplo: 3.400 3.4
Unidad 5
• Cuando quedan espacios a la izquierda o derecha del punto decimal después de colocarlo, se agrega
0 en dichos espacios. Ejemplo: 0.18 × 0.3
0 1 8 0 1 8
× 0 3 × 0 3
5 4 0 0 5 4
Se multiplica como con los números naturales Se agregan ceros en los espacios que quedan.
y se coloca el punto avanzando 3 posiciones de
derecha a izquierda.
Efectúa en forma vertical:

a. 0.3 × 1.2 b. 0.26 × 2.4 c. 0.3 × 0.6 d. 0.03 × 0.6
e. 0.5 × 1.2 f. 0.02 × 0.5 g. 3.12 × 7.5 h. 4.25 × 2.8

79
1. Efectúa:
a. 90 × 0.6 b. 60 × 4.2 c. 3.5 × 2.3
d. 2.7 × 4.5 e. 5.32 × 2.4 f. 1.29 × 5.2
g. 0.6 × 1.7 h. 0.23 × 0.4 i. 1.36 × 2.5
2. Resuelve. Escribe el PO y la respuesta.

a. Una varilla de hierro de 1 m pesa 6 libras, ¿cuántas libras pesan 4.9 m de esa varilla?
b. Un carro deportivo consume 0.19 galones de combustible para recorrer 1 km, ¿cuánto combustible
consumirá en 53.4 km?
c. $1.00 equivale a 8.75 colones, El colón era la unidad monetaria de El Salvador desde 1892.
anterior moneda de El Salvador. Circulaban monedas de 1, 5, 10, 25 y 50 centavos de colón y
¿Cuántos colones tendríamos también circulaba papel moneda de 5, 10, 25, 50, 100 y 200
con $1.20? colones.
Pero desde el 1 de enero de 2001, entró en vigencia la Ley
de Integración Monetaria, que autorizó la libre circulación del
dólar estadounidense en el país.
d. Doña Carlota va al supermercado y observa que 1 libra de pollo cuesta $1.65. Si toma una bandeja
que marca un peso de 0.6 libras, ¿cuánto cuesta la bandeja de pollo?
Calcula el área de los siguientes rectángulos:

a. b.
1.4 cm
3.2 cm
2.3 cm
2.1 cm
c. d.
2.43 cm 2.3 cm
3.1 cm 1.46 cm
80
2.1 División entre un número decimal transformándolo a número natural
ecuerda
1. Efectúa:
a. 24 ÷ 8 =
b. 240 ÷ 80 =
2. ¿Cómo son los cocientes obtenidos de a. y b.?
Miguel corta una cinta de 3 m en pedazos de 0.6 m de longitud. ¿Cuántos pedazos obtiene?
PO: 3 ÷ 0.6 3
① Convierto la división de decimales a una división
de naturales. Multiplico por 10 el dividendo y 0.6
divisor para que el cociente sea el mismo.
3 ÷ 0.6
× 10 × 10
0 1 pedazos
Julia
30 ÷ 6
② Realizo la división 30 ÷ 6.
3 ÷ 0.6 = 5 También puedes convertir los metros a centímetros,
× 10 × 10 pero la división incluye números mayores.
3 ÷ 0.6
30 ÷ 6 = 5 × 100 × 100
Por lo tanto, 3 ÷ 0.6 = 5. 300 ÷ 60 = 5

R: 5 pedazos.
Cuando se divide un número natural entre un número decimal hasta las décimas:
① Convierte a una división de naturales multiplicando por 10 el dividendo y divisor.
Unidad 5
② Efectúa la división como si fueran números naturales.
1. Completa:
5 ÷ 0.2 = 4 ÷ 0.8 =
a. b. c. 7 ÷ 1.4 =
× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
÷ = 25 ÷ = ÷ =
Puedes apoyarte de la for-
2. Efectúa: ma vertical para realizar la
a. 8 ÷ 0.1 b. 10 ÷ 0.2 c. 16 ÷ 0.8 división de naturales.
d. 15 ÷ 0.3 e. 24 ÷ 0.6 f. 36 ÷ 1.2
3. Mario desea llenar frascos de miel con capacidad para 0.7 litros. Si Mario posee 14 litros de miel,
¿cuántos frascos llenará?
81
2.2 Número natural entre un número decimal hasta las décimas
Un tubo de PVC de 1.5 m pesa 63 gramos.

Puedes estimar antes de dividir:
¿Cuántos gramos pesa 1 m de ese tubo? Si fuera 1 m: 63 ÷ 1 = 63.
PO: 63 ÷ 1.5 Si fueran 2 m: 63 ÷ 2 = 32.5.
La respuesta tiene que estar entre 32.5 y 63.
Realizo la división 63 ÷ 1.5 en forma vertical.

①D U ② C D U ③ C D U
6 3 1 5 6 3 0 1 5 6 3 0 1 5
– 6 0 4 2
3 0 D U
Ana – 3 0
0
Escribo el Muevo el punto decimal una posición Divido como con los
dividendo y el a la derecha en el dividendo y divisor. números naturales.
divisor. Agrego 0 en el dividendo, pues quedó
un espacio a la izquierda del punto.
Por lo tanto, 63 ÷ 1.5 = 42.
R: 42 gramos.
Para dividir un número natural entre un número decimal hasta las décimas en forma vertical:
① Escribe el dividendo y divisor.
② Mueve el punto decimal en el dividendo y divisor una posición a la derecha, agregando 0 al dividendo.
③ Sigue dividiendo como con los números naturales.
¿ ué pasaría?
¿Cómo se puede calcular 144 ÷ 3.2?
① C D U ② UM C D U ③ UM C D U
1 4 4 3 2 1 4 4 0 3 2 1 4 4 0 3 2
– 1 2 8 4 5
1 6 0 D U
– 1 6 0
0
Escribe el dividendo y Mueve el punto decimal en el Sigue dividiendo
divisor. dividendo y divisor una posición a la como con los números
derecha, agregando 0 al dividendo. naturales.
1. Efectúa:
a. 36 ÷ 1.5 b. 42 ÷ 1.2 c. 80 ÷ 3.2
d. 126 ÷ 2.8 e. 189 ÷ 4.2 f. 221 ÷ 3.4
2. Marcos quiere cortar un lazo de 48 m en otros de 3.2 m de longitud. ¿Cuántos lazos de esa medida
obtendrá?
82
2.3 División de números decimales con divisor hasta las décimas
Efectúa:
a. 18.2 ÷ 1.4 b. 29.24 ÷ 8.6
a. 18.2 ÷ 1.4
① D U d ② C D U ③ C D U
1 8 2 1 4 1 8 2 1 4 1 8 2 1 4
– 1 4 1 3
4 2 D U
– 4 2
0
Carmen
Escribo el Muevo el punto decimal una posición a Sigo dividiendo.
dividendo y el la derecha en el dividendo y divisor.
divisor.
En este caso no fue necesario agregar
cero al dividendo, pues no quedaron
R: 18.2 ÷ 1.4 = 13 espacios al mover el punto.
b. 29.24 ÷ 8.6
① D U d c ② C D U d ③ C D U d Esta división es
2 9 2 4 8 6 2 9 2 4 8 6 2 9 2 4 8 6 como las que
– 2 5 8 3 4 aprendiste en
la unidad 3.
3 4 4 U d
– 3 4 4
0
Escribo el Muevo el punto decimal Sigo dividiendo hasta las unidades.
dividendo y el una posición a la derecha Luego coloco el punto decimal en el
divisor. en el dividendo y divisor. cociente y continúo con la división.
R: 29.24 ÷ 8.6 = 3.4
Unidad 5
Para dividir un decimal entre un número decimal hasta las décimas en forma vertical:
② Mueve el punto decimal en el dividendo y divisor una posición a la derecha.
③ Realiza la división resultante, la cual puede ser de número natural entre número natural o una divi-
sión de número decimal entre número natural.
1. Efectúa:
a. 5.2 ÷ 2.6 b. 7.2 ÷ 2.4 c. 4.9 ÷ 1.4
d. 5.44 ÷ 3.2 e. 7.68 ÷ 1.2 f. 23.68 ÷ 6.4
2. En un supermercado se compraron $21.45 de carne. Si cada libra cuesta $6.5, ¿cuántas libras de carne
se compraron?
83
2.4 División de números decimales con divisor hasta las centésimas
Doña Beatriz reparte $4.9 entre sus hijos, entregando Analiza cuántas veces se debe mover el punto
a cada uno $2.45. ¿Cuántos hijos tiene? para que el divisor sea un número natural.
PO: 4.9 ÷ 2.45
Realizo la división 4.9 ÷ 2.45 en forma vertical.

① U d ② C D U ③ C D U
4 9 2 4 5 4 9 0 2 4 5 4 9 0 2 4 5
– 4 9 0 2
0 U
Escribo el Muevo el punto decimal dos posiciones a la Sigo dividiendo como
Carmen dividendo y el derecha en el dividendo y divisor, pues así se con los números
divisor convierte el divisor en un número natural. naturales.
Agrego 0 al dividendo, pues queda un
espacio a la izquierda del punto.
Por lo tanto, 4.9 ÷ 2.45 = 2.
R: 2 hijos.
Para dividir números decimales entre números decimales hasta las centésimas:
② Mueve el punto decimal en el dividendo y divisor dos posiciones a la derecha. Agrega 0 en el divi-
dendo si es necesario.
③ Realiza la división resultante, la cual puede ser de número natural entre número natural o una divi-
sión de número decimal entre número natural.
¿ ué pasaría?
¿Cómo se puede calcular 2.784 ÷ 2.32?
① U d c m ② C D U d ③ C D U d
2 7 8 4 2 3 2 2 7 8 4 2 3 2 2 7 8 4 2 3 2
– 2 3 2 1 2
4 6 4 U d
– 4 6 4
0
Escribe el dividendo Mueve el punto decimal dos Divide hasta las unidades,
y el divisor. posiciones a la derecha en el coloca el punto decimal en el
dividendo y divisor, hasta convertir cociente y continúa la división.
el divisor en un número natural.
1. Efectúa:
a. 6.28 ÷ 3.14 b. 16.2 ÷ 3.24 c. 22.1 ÷ 4.25
d. 20.57 ÷ 6.05 e. 16.244 ÷ 5.24 f. 18 ÷ 2.25
2. Wendy pagó $46.55 por 18.62 m de hierro. ¿Cuánto cuesta 1 metro de hierro?
84
2.5 Número decimal entre un número decimal menor que 1
Una ferretería tiene tres tipos de alambre. 2.4 lb

C
• El alambre A de 1 m de largo pesa 2.4 libras. 2.4 lb
A
• El alambre B de 0.4 m también pesa 2.4 libras. 2.4 lb
• El alambre C de 3 m también pesa 2.4 libras. B
0.4
0 1 2 3 (m)
Responde:
a. ¿1 metro del alambre B pesará más de 2.4 libras o menos? Explica tu respuesta sin realizar cálculos.
b. ¿Cuántas libras pesará 1 m del alambre B?
c. ¿1 metro del alambre C pesará más de 2.4 libras o menos? Explica tu respuesta sin realizar cálculos.
d. ¿Cuántas libras pesará 1 m del alambre C?
a. Analizo que 1 m del alambre A pesa 2.4 libras y c. Analizo que 1 m del alambre A pesa 2.4 libras
0.4 m del alambre B pesan lo mismo, entonces y 3 m del alambre C pesan lo mismo, entonces
1 m del alambre B pesará más que 2.4 libras. 1 m del alambre C pesará menos que 2.4 libras.
b. Utilizo la gráfica de cinta. d. Utilizo la gráfica de cinta.

2.4
A
Antonio
C
2.4
B A
0 0.4 1 (metros) 0 1 2 3 (metros)
PO: 2.4 ÷ 0.4 PO: 2.4 ÷ 3

Como 2.4 ÷ 0.4 = 6 Como 2.4 ÷ 3 = 0.8
R: 6 libras. R: 0.8 libras.
Cuando un número se divide entre:
Unidad 5
• un número decimal menor que 1, el cociente es mayor que el dividendo.
• un número decimal mayor que 1, el cociente es menor que el dividendo.
1. Escribe las divisiones cuyo resultado sea mayor que 8.4, sin efectuarlas.
a. 8.4 ÷ 0.2 b. 8.4 ÷ 2.1 c. 8.4 ÷ 1.6 d. 8.4 ÷ 0.4
2. Verifica la respuesta del numeral 1. realizando las divisiones.
3. Explica para cada caso si el resultado de la división será menor o mayor que el dividendo, sin efectuar
las divisiones.
a. 9.1 ÷ 1.3 b. 3.5 ÷ 0.5 c. 14.4 ÷ 1.2 d. 2.02 ÷ 0.6
4. Una varilla de 1 m pesa 7.5 libras. Si se utilizan 0.5 m de dicha varilla, ¿lo que queda de la varilla pesa
más de 7.5 libras o menos? Explica tu respuesta.
85
2.6 Residuo en divisiones de números decimales entre números decimales
ecuerda
Hay 26 m de tela que se cortará en pedazos de 8 m.
a. ¿Cuántos pedazos de 8 m se obtendrán? b. ¿Cuántos metros sobran?
Hay 2.6 m de cinta decorativa que se cortará en pedazos de 0.8 m para decorar un mantel.
a. ¿Cuántos pedazos de 0.8 m se obtendrán? PO: 2.6 ÷ 0.8
b. ¿Cuántos metros sobran?
a. Realizo la división hasta las unidades.

① D U ② D U ③ D U
2 6 0 8 2 6 0 8 2 6 0 8
– 2 4 3 – 2 4 3 cociente
Julia 2 U 0 2 U residuo
Coloco los números. Divido hasta las Bajo el punto decimal
Muevo los puntos decimales unidades del dividendo. original del dividendo.
una posición a la derecha en
el dividendo y divisor.
R: 3 pedazos.
b. Como saqué 3 pedazos de 0.8 m, utilicé 3 × 0.8 = 2.4. Entonces el residuo es 2.6 – 2.4 = 0.2
0.8 0.8 0.8 0.2
0 1 2 3 4 (pedazos)
R: 0.2 m.
En la división de números decimales, para saber el residuo divide hasta las unidades del dividendo y
coloca el punto decimal en la misma dirección del punto inicial del dividendo.
a. 8.6 l en picheles de 2.5 l b. 6.9 l en picheles de 3.1 l c. 14.7 l en picheles de 2.4
d. 8.16 l en botellas de 2.3 l e. 12.34 l en botellas de 4.3 f. 23.87 l en botellas de 10.3
2. Una venta de productos lácteos tiene un queso grande de 5.2 kilogramos del cual se extraen piezas
pequeñas e iguales de 0.6 kilogramos cada una.
a. ¿Cuántas piezas se obtienen?
b. ¿Cuántos kilogramos de queso sobran?
86
2.7 Redondeo del cociente en la división de números decimales
ecuerda
Redondea:
a. 1.29 a la décima. b. 1.523 a la centésima.
a. Resuelve 1.8 ÷ 1.3 calculando hasta las centésimas y redondea el resultado a la décima.
b. Resuelve 1.2 ÷ 1.8 calculando hasta las milésimas y redondea el resultado a la centésima.
a. Realizo la división 1.8 ÷ 1.3 moviendo el punto una posición a la derecha y realizando la división resul-
tante.
D U Obtengo que 1.8 ÷ 1.3 con cociente hasta la centésima es 1.38.
1 8 1 3
– 1 3 1 3 8 Redondeo 1.38 a las décimas.
Ana
5 0 U d c
– 3 9 1 3 8
1 1 0
– 1 0 4 Observo que la cifra de la centésima es mayor que 5 por lo que
6 aumento en 1 las décimas.
b. Realizo la división 1.2 ÷ 1.8 moviendo el punto una posición a la derecha y realizando la división re-
sultante.
D U d Obtengo que 1.2 ÷ 1.8 con cociente hasta la milésima es 0.666.
1 2 0 1 8
– 1 0 8 0 6 6 6 Redondeo 0.666 a las décimas.
1 2 0 U d c m
– 1 0 8 0 6 6 6
1 2 0
– 1 0 8 Observo que la cifra de la milésima es mayor que 5 por lo que
Unidad 5
1 2 aumento en 1 las centésimas.
Cuando la división no es exacta se puede representar el cociente redondeado.

Para redondear, se divide hasta la siguiente posición a la que se indica redondear.
1. Efectúa las siguientes divisiones redondeando el cociente a las décimas.

a. 4.3 ÷ 3.2 b. 6.24 ÷ 4.6 c. 2.04 ÷ 2.3
2. Efectúa las siguientes divisiones redondeando el cociente a las centésimas.

a. 6.136 ÷ 1.2 b. 19.18 ÷ 4.3 c. 6.02 ÷ 8.03
87
1. Efectúa:
a. 14 ÷ 0.4 b. 27 ÷ 1.5 c. 147 ÷ 4.2
d. 12.6 ÷ 3.6 e. 42.12 ÷ 1.8 f. 11.27 ÷ 2.45
g. 15.6 ÷ 3.12 h. 21.182 ÷ 6.23 i. 6.864 ÷ 1.32
a. 6.4 l en botellas de 2.1 b. 5.3 l en picheles de 4.6
3. Juan reparte 4.2 litros de jugo en depósitos cuya capacidad es de 0.4 litros:
a. ¿Cuántos depósitos llenará?
b. ¿Cuánto jugo sobrará?

Ayuda a la mariposa a llegar a la flor. Redondea el resultado de las divisiones hasta las décimas para sa-
ber el camino a seguir dentro del laberinto.
5.4 ÷ 1.6 3.3 6.81 ÷ 3.2 2.1 0 ÷ 1.56
3.4 2.12 0
2.3 ÷ 0.3 7.7 4.2 ÷ 2.15 1.9 19 ÷ 0.1
7.6 2 190
23.56 ÷ 3.1 7.6 0.7 ÷ 2.3 0.3
Completa la siguiente pirámide numérica de tal forma que el bloque superior sea el producto de los
anteriores.
1.92
1.6
2.4 0.5
88
3.1 Cantidad a comparar en decimales
ecuerda
Ana gasta cada semana $5.00,
( )
mientras que Mario 3 veces lo que
gasta Ana. ¿Cuánto gasta Mario?
( )
a. Completa la gráfica de cintas.
b. Escribe el PO y la respuesta. 0 1 ( )
Antonio utiliza 2.5 litros de agua al día para regar su jardín.

a. Beatriz utiliza 2 veces lo que utiliza Antonio. ¿Cuánta agua utiliza Beatriz para regar su jardín?
b. Juan utiliza 2.4 veces lo que utiliza Antonio. ¿Cuánta agua utiliza Juan para regar su jardín?
a. Me apoyo de la gráfica de cintas b. Me apoyo de la gráfica de cintas

para interpretar la información. para interpretar la información.
Carlos
Beatriz Juan
2.5 2.5
Antonio Antonio
0 1 2 (veces) 0 1 2 2.4 3 (veces)

PO: 2.5 × 2 PO: 2.5 × 2.4
Como 2.5 × 2 = 5 Como 2.5 × 2.4 = 6
R: 5 litros. R: 6 litros.
• La cantidad base y la cantidad de veces también pueden ser números decimales.

• La forma de calcular la cantidad a comparar no cambia y puede ser un número decimal:
cantidad a comparar = cantidad base × cantidad de veces
Unidad 5
1. Calcula el valor de la cinta B.
a. b. c.
B B B
6.4 2.1 1.3

A A A
0 1 2 3 (veces) 0 1 2 3 4 4.4 5 (veces) 0 1 2 3 3.2(veces)
2. Un bebé necesita consumir una cantidad diaria de calcio de 0.2 gramos, mientras que un adolescente
necesita consumir 6.5 veces lo que consume un bebé. ¿Cuántos gramos de calcio necesita consumir
un adolescente diariamente?
89
3.2 Cantidad de veces en decimales
ecuerda
Carmen tiene una cinta de 35 cm de lar-
( )
go y María una de 7 cm de largo. ¿Cuán-
tas veces la cinta de Carmen es la de
María?
( )
0 ( )
María tiene una cinta de 3.4 cm de largo.

a. Carmen tiene una cinta de 20.4 cm, ¿cuántas veces la cinta de Carmen es la de María?
b. Ana tiene una cinta de 22.1 cm, ¿cuántas veces la cinta de Ana es la de María?

20.4 22.1 Carmen
Carmen Ana
3.4 3.4
María María
0 1 (veces) 0 1 (veces)
PO: 20.4 ÷ 3.4 PO: 22.1 ÷ 3.4
Como 20.4 ÷ 3.4 = 6 Como 22.1 ÷ 3.4 = 6.5
R: 6 veces. R: 6.5 veces.
• La cantidad base y la cantidad a comparar también pueden ser números decimales.

• La forma de calcular la cantidad de veces no cambia y puede ser un número decimal:
cantidad de veces = cantidad a comparar ÷ cantidad base
1. Calcula la cantidad de veces que la cinta B es la cinta A.

a. b.
10.4 21.7
B B
2.6 3.5
A A
0 1 (veces) 0 1 (veces)
2. Si el peso de Mario es de 36.5 kilogramos, mientras que el de su padre es de 87.6 kilogramos, ¿cuántas
veces el peso de su padre es el peso de Mario?
90
3.3 Cantidad base en decimales
ecuerda
Antonio y Carmen van a cortar café para fin de año. Un día Carmen cortó 54 libras que es 3 veces lo cor-
tado por Antonio, ¿cuántas libras cortó Antonio?
( )
( )
0 1 ( )
Al día siguiente Carmen cortó 48.6 libras de café.

a. Si Carmen cortó 3 veces lo que cortó Antonio, ¿cuántas libras cortó Antonio?
b. Si Carmen cortó 1.8 veces lo que cortó Beatriz, ¿cuántas libras cortó Beatriz?

Antonio
48.6 48.6
Carmen Carmen
Antonio Beatriz
1.8 2 (veces)
0 1 2 3 (veces) 0 1
PO: 48.6 ÷ 3 PO: 48.6 ÷ 1.8

Como 48.6 ÷ 3 = 16.2 Como 48.6 ÷ 1.8 = 27
R: 16.2 libras. R: 27 libras.
• La cantidad a comparar y la cantidad de veces también pueden ser números decimales.

• La forma de calcular la cantidad base no cambia y puede ser un número decimal:
Unidad 5
cantidad base = cantidad a comparar ÷ cantidad de veces
1. Calcula el valor de la cinta A que corresponde a la cantidad base.

a. b. c.
7.5 12.8 12
B B B
A A A
0 1 2 3 (veces) 0 1 2 33.2 (veces) 0 1 2 3 4 5 (veces)
2. La botella de agua de Carmen tiene una capacidad de 5.4 litros que es 1.8 veces la capacidad de la
botella de Juan. ¿Cuál es la capacidad de la botella de Juan?
91
3.4 Comparación de cantidades cuando la cantidad de veces es menor que 1
Representa gráficamente las siguientes situaciones y resuelve.

a. La capacidad del tanque de una motocicleta es de 0.4 veces la capacidad del tanque de un automóvil.
Si la capacidad para el automóvil es de 16 galones, ¿cuál es la capacidad del tanque de la motocicleta?
b. El cocodrilo del Nilo tiene una longitud aproximada de 3.6 m y la tortuga gigante 1.8 m aproximada-
mente. ¿Cuántas veces la longitud de la tortuga gigante es la longitud del cocodrilo?
c. El precio de una tijera es $1.35 que es 0.3 veces el precio de una engrapadora. ¿Cuál es el precio de la
engrapadora?

1.8
Julia
motocicleta tortuga
16 3.6
automóvil cocodrilo
0 0.4 1 (veces) 0 1 (veces)

PO: 16 × 0.4 PO: 1.8 ÷ 3.6
Como 16 × 0.4 = 6.4 Como 1.8 ÷ 3.6 = 0.5
R: 6.4 galones. R: 0.5 veces.
c. Me apoyo de la gráfica de cintas para interpretar la información.

1.35 En estos casos la cantidad
a comparar es menor que
tijera la cantidad base.
PO: 1.35 ÷ 0.3
Como 1.35 ÷ 0.3 = 4.5
engrapadora R: $4.5
0 0.3 1 (veces)
Cuando la cantidad de veces es menor que 1, la cantidad a comparar es menor que la cantidad base.
La forma de realizar los cálculos es la misma:
cantidad a comparar = cantidad base × cantidad de veces
cantidad base = cantidad a comparar ÷ cantidad de veces
Representa gráficamente las siguientes situaciones y resuelve.

a. El peso del papá de Carlos es de 74.2 kg, mientras que el de Carlos es 0.5 veces el peso de su papá.
¿Cuántos kilogramos pesa Carlos?
b. Juan cosechó 24 sacos de maíz mientras que María 32 sacos. ¿Cuántas veces la cantidad que cose-
chó Juan es lo que cosechó María?
c. Julia compró 12 libras de azúcar que es 0.6 veces lo que compra Mario. ¿Cuántas libras de azúcar
compra Mario?
92
1. Calcula el valor que se desconoce en la gráfica de cintas.
a. b.
5 6
B B
4
A A
0 1 2 (veces) 0 1 (veces)
2. Resuelve. Puedes apoyarte en la gráfica de cintas.

a. Beatriz realiza una caminata todos los sábados en la que recorre 15.3 km, que son 1.5 veces la can-
tidad que recorre Mario. ¿Cuántos kilómetros recorre Mario?
b. La hermana de María recibe $3.00 diariamente para ir a estudiar, mientras que María $2.00. ¿Cuán-
tas veces el dinero que recibe la hermana de María es lo que recibe María?
c.
Carmen compra 42 naranjas, mientras que Juan compra 3.5 veces lo que compra Carmen. ¿Cuántas
naranjas compra Juan?

1. Calcula el valor que se desconoce en la gráfica de cintas.
2.4
Unidad 5
A
0 1 2 3 3.2 (veces)
2. Resuelve. Puedes apoyarte en la gráfica de cintas.

a. En la panadería “Cuscatleca” se producen a diario 55 salpores, que son 2.5 veces la cantidad de
semitas que se producen. ¿Cuántas semitas se producen diariamente?
b.
Un camión es capaz de transportar 375 toneladas, mientras que un carro convencional puede
transportar 1.5 toneladas. ¿Cuántas veces la capacidad de un camión es la capacidad de un carro
convencional?
c.
Antonio consume 0.6 litros de leche al día, mientras que Beatriz consume 1.2 veces lo que consume
Antonio. ¿Cuántos litros de leche consume Beatriz?
93
4.1 Propiedades conmutativa y asociativa en la multiplicación de decimales
ecuerda
Aplica propiedades para completar:
a. 5 × 4 = 4 ×
b. (7 × 5) × 2 = 7 × ( × )
1. ¿Cuáles operaciones consideras que tendrán el mismo resultado? Justifica tus respuestas.
a. 2.3 × 3.6 b. 3.6 × 2.3
c. (4.2 × 1.8) × 2.5 d. 4.2 × (1.8 × 2.5)
2. Verifica tus respuestas del numeral 1. realizando las operaciones y comparando los resultados.
1. Las operaciones que pueden tener el mismo resultado son:

• 2.3 × 3.6 y 3.6 × 2.3, si aplico la propiedad conmutativa de la multiplicación.
• (4.2 × 1.8) × 2.5 y 4.2 × (1.8 × 2.5), si aplico la propiedad asociativa de la multiplicación. Carlos
2. Verifico si los pares de operaciones del numeral 1. tienen resultados iguales.

Para 2.3 × 3.6 y 3.6 × 2.3, realizo Para (4.2 × 1.8) × 2.5 y 4.2 × (1.8 × 2.5),
las multiplicaciones: realizo las multiplicaciones:
2.3 × 3.6 = 8.28 (4.2 × 1.8) × 2.5 = 18.9
3.6 × 2.3 = 8.28 4.2 × (1.8 × 2.5) = 18.9
R: Los resultados son iguales. R: Los resultados son iguales.
Los números decimales también cumplen las propiedades conmutativa y asociativa.

Si , , representan números decimales, se cumple:
• La propiedad conmutativa: × = ×
Ejemplo: 1.5 × 4.2 = 4.2 × 1.5
• La propiedad asociativa: ( × ) × = × ( × )
Ejemplo: (2.5 × 3.1) × 1.8 = 2.5 × (3.1 × 1.8)
1. Obtén el resultado de las siguientes operaciones sin realizar cálculos, sabiendo que
3.2 × 5.4 = 17.28 3.2 × 3.5 = 11.2 11.2 × 2.6 = 29.1 2.1 × 17.28 = 36.288
a. 5.4 × 3.2 b. 3.2 × 3.5 × 2.6 c. 2.1 × 5.4 × 3.2
2. Coloca en los espacios el número que falta en las operaciones, sin realizar cálculos. Apóyate del nume-
ral anterior y explica tus razonamientos.
a. 2.6 × = 29.1 b. 3.5 × × 3.2 = 29.1
94
4.2 Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y resta en decimales
ecuerda
Aplica propiedades para completar:
a. (5 + 2) × 3 = ( × )+( × )
b. (8 ─ 3) × 6 = ( × )─( × )
Calcula el área sombreada de las siguientes figuras.

① ②
3.2 cm 3.5 cm
5.1 cm
4.6 cm 5.4 cm
11.5 cm
Para ①: Para ②:
Observo que se trata de un solo rectángulo de: Observo que se trata de un rectángulo de:
• largo: (4.6 cm + 5.4 cm) • largo: (11.5 cm – 5.1 cm) José
• ancho: 3.2 cm • ancho: 3.5 cm
Así, el área es: Así, el área es:
(4.6 + 5.4) × 3.2 = 10 × 3.2 = 32 (11.5 ─ 5.1) × 3.5 = 6.4 × 3.5 = 22.4
R: 32 cm2. R: 22.4 cm2.
También puedo calcular el área de cada También puedo calcular el área del rectángulo
rectángulo: grande y quitarle el área del rectángulo blanco:
• de la izquierda: (4.6 cm × 3.2 cm) • rectángulo grande: (11.5 × 3.5)
• de la derecha: (5.4 cm × 3.2 cm) • rectángulo blanco: (5.1 × 3.5)
Así, el área es: Así, el área es:
(4.6 × 3.2) + (5.4 × 3.2) = 14.72 + 17.28 = 32 (11.5 × 3.5) ─ (5.1 × 3.5) = 40.25 ─ 17.85 = 22.4
R: 32 cm2. R: 22.4 cm2.
Unidad 5
Los números decimales también cumplen la propiedad distributiva aplicada a la suma y resta.
• La propiedad distributiva para la suma: ( + ) × = × + ×
Ejemplo: (4.6 + 5.4) × 3.2 = 4.6 × 3.2 + 5.4 × 3.2
• La propiedad distributiva para la resta: ( – ) × = × – ×

Ejemplo: (11.5 ─ 5.1) × 3.5 = 11.5 × 3.5 ─ 5.1 × 3.5
Calcula aplicando la propiedad distributiva:

a. (3.7 × 4.2) + (2.3 × 4.2) = ( + )× b. (5.6 × 2.4) – (3.6 × 2.4) = ( – )×
=( )× = =( )× =
c. (2.5 × 3.2) + (3.5 × 3.2) d. (4.2 × 3.1) – (1.2 × 3.1)

95
4.3 Propiedad distributiva de la división sobre la suma y resta
Calcula el largo de las figuras sombreadas.

① ②
31.5 cm2
16 cm2 19.2 cm2 3.2 cm 17.5 cm2 3.5 cm
Para ①: Para ②:
Observo que se trata de un solo rectángulo con Observo que se trata de un rectángulo de área:
área total de 16 cm2 + 19.2 cm2. 31.5 cm2 ─ 17.5 cm2.
Así, el largo de todo el rectángulo es: Así, el largo del rectángulo sombreado es:
(16 + 19.2) ÷ 3.2 = 35.2 ÷ 3.2 = 11 (31.5 ─ 17.5) ÷ 3.5 = 14 ÷ 3.5 = 4
Antonio
R: 11 cm. R: 4 cm.
También puedo calcular el largo de cada También puedo calcular la longitud del rectángulo
rectángulo y después sumarlos: grande y quitarle la longitud del rectángulo blanco:
• de la izquierda: (16 ÷ 3.2) • rectángulo grande: (31.5 ÷ 3.5)
• de la derecha: (19.2 ÷ 3.2) • rectángulo blanco: (17.5 ÷ 3.5)
Así, el largo del rectángulo es: Así, el largo del rectángulo sombreado es:
(16 ÷ 3.2) + (19.2 ÷ 3.2) = 5 + 6 = 11 (31.5 ÷ 3.5) ─ (17.5 ÷ 3.5) = 9 ─ 5 = 4
R: 11 cm. R: 4 cm.
Los números decimales también cumplen la propiedad distributiva de la división sobre la suma y resta.
• La propiedad distributiva para la suma: ( + ) ÷ = ÷ + ÷
Ejemplo: (16 + 19.2) ÷ 3.2 = 16 ÷ 3.2 + 19.2 ÷ 3.2
• La propiedad distributiva para la resta: ( – ) ÷ = ÷ – ÷

Ejemplo: (31.5 ─ 17.5) ÷ 3.5 = 31.5 ÷ 3.5 ─ 17.5 ÷ 3.5
1. Calcula aplicando la propiedad distributiva:

a. (3.7 ÷ 4.8) + (2.3 ÷ 4.8) = ( + )÷ b. (5.6 ÷ 2.5) − (3.6 ÷ 2.5) = ( – )÷
=( )÷ = =( )÷ =
c. (2.5 ÷ 3.2) + (3.5 ÷ 3.2) d. (4.2 ÷ 7.5) − (1.2 ÷ 7.5)
2. Calcula el largo que se indica en la figura.

23 cm2
18.4 cm2 2.3cm
96
4.4 Operaciones combinadas con tres operadores
ecuerda Recuerda que primero debes
Realiza las siguientes operaciones: resolver la multiplicación o divi-
a. 2 × 5 + 4 b. 11 – 15 ÷ 3 sión y luego la suma o resta.
La mamá de Julia y Carlos prepara bolsas con 6 dulces en cada una, Julia lleva 5 bolsas y Carlos lleva 7
bolsas, al llegar a la escuela las unen y reparten los dulces entre sus 8 amigos equitativamente.
¿Qué cantidad de dulces le darán a cada uno de sus amigos?
Cada bolsa tiene 6 dulces.
Ana
Julia tiene 5 bolsas y Carlos tiene 7, por lo
que la cantidad de bolsas es 5 + 7.
El total de dulces se calcula con la multiplicación

de elementos por grupos.
6 × (5 + 7)
El total de dulces lo divido entre sus 8 amigos.

6 × (5 + 7) ÷ 8
PO: 6 × (5 + 7) ÷ 8
Realizo la operación: 6 × (5 + 7) ÷ 8 ① Efectúo lo que está dentro del paréntesis 5 + 7 = 12
= 6 × (12) ÷ 8 ② Efectúo las operaciones de izquierda a derecha 6 × 12 = 72
= 72 ÷ 8 ③ Divido 72 ÷ 8 = 9
Unidad 5
=9 R: 9 dulces.
Para resolver las operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división se debe tener en
cuenta el siguiente orden de izquierda a derecha:
Ten en cuenta el orden de las operaciones.
① Realiza la operación dentro del paréntesis.
② Realiza multiplicaciones y divisiones.
() primero
③ Luego realiza sumas y restas.
× ÷ segundo
+ – tercero
Efectúa:
a. 8 × (5 + 3) ÷ 4 b. 7 × (9 – 3) ÷ 6 c. 3 × (4 + 2) × 5
d. 28 ÷ (5 + 2) × 2 e. 9 × (1 + 18 ÷ 3) f. 6 × (15 – 4 × 3)
g. 7 × 3 + 6 ÷ 2 h. 8 × 5 – 16 ÷ 4 i. 54 ÷ 6 – 2 × 3
97
Realiza las operaciones y completa el mosaico.
a. 2.3 × 4 + 5.7 × 4 b. 3.9 × 6 – 1.4 × 6 c. 6.5 × 2.5 + 1.5 × 2.5 d. 10.3 × 2.2 – 2.3 × 2.2
e. 1.4 ÷ 2 + 7.6 ÷ 2 f. 10.2 ÷ 3 – 3.9 ÷ 3 g. 2.3 ÷ 1.5 + 2.2 ÷ 1.5 h. 14.5 ÷ 5.2 – 4.1 ÷ 5.2
i. 5 × (6 + 2) ÷ 4 j. 3 × (9 – 3) ÷ 0.5 k. 7 × (2 + 4 ÷ 2) l. (12 – 3 × 2) ÷ 4
m. 7.5 + 26 ÷ 2 – 1.3 n. 9.3 – 2.5 × 3 + 3.7 ñ. 1.5 × 4 ÷ 2 – 1.7 o. 8.9 – 1.2 × 5 ÷ 3
98
Cantidad por unidad

6
• Encontrar la cantidad de elementos por unidad
de área
• Utilizar la cantidad por unidad para determinar
la densidad poblacional, la mejor opción, rapidez,
tiempo y distancia
1.1 Cantidad por unidad, parte 1
Observa el área y la cantidad de gallinas en cada corral, luego responde:

a. ¿Cuál corral está más lleno A o B?
b. ¿Cuál corral está más lleno B o C?
A B C 1m
2m 2m
4m
8m
5m
Área 8 m2
Área 10 m2 Área 8 m2
Realizo una tabla para saber cuál corral está más lleno y encuentro cuántas gallinas hay en cada metro
cuadrado dividiendo el total de gallinas entre los metros cuadrados.
Corral A Corral B Corral C

Número de gallinas 12 12 16
Área (m2) 10 8 8 Julia
Cantidad de gallinas que hay en 1 m2 12 ÷ 10 = 1.2 12 ÷ 8 = 1.5 16 ÷ 8 = 2
a. El corral A y B tienen la misma cantidad de gallinas, pero el corral B tiene menor área entonces el co-
rral B está más lleno. Se observa en la tabla que en el corral A hay 1.2 gallinas por 1 m2 y en el corral B
hay 1.5 gallinas por 1 m2.
R: El corral B está más lleno.
b. El corral B y C tienen la misma área, pero el corral C tiene más gallinas, por lo tanto el corral C está más
lleno. En la tabla se observa que en el corral B hay 1.5 gallinas por 1 m2 y en el corral C hay 2 gallinas
por 1 m2.
R: El corral C está más lleno.
100
Para encontrar qué corral está más lleno, debe obtenerse la cantidad de gallinas por cada metro cuadra-
do, en este caso el metro es la unidad.
Encontrar la cantidad de elementos que hay en cada unidad de medida se llama cantidad por unidad.
La cantidad por unidad puede ser un número decimal.
Para representar la comparación entre dos cantidades se puede utilizar la doble recta numérica.
①En la recta numérica superior se coloca la cantidad de elementos.
②En la recta numérica inferior se coloca la unidad de medida, alineando la cantidad de elementos con
la medida correspondiente.
0 12
(Número de gallinas)
(m2)
0 1 8
Donde representa la cantidad de gallinas que hay en 1 m2, y se tiene que hay 12 gallinas en 8 m2.
esuelve
1. Utilizando la información de la siguiente tabla, responde:
a. ¿De quinto y sexto grado cuál salón está más lleno?
b. ¿De cuarto y quinto grado cuál salón está más lleno?
Cuarto Quinto Sexto

Número de alumnos 14 14 21
Área del salón (m2) 20 28 28
2. En una cancha de fútbol de 30 m2 de área, durante la mañana estuvieron jugando 12 personas, mien-
tras que durante la tarde 24 personas. ¿En qué momento estuvo más lleno?
Mañana Tarde
Unidad 6
101
1.2 Cantidad por unidad, parte 2
Utilizando la información de la clase pasada, ¿cuál corral está más lleno A o C?
Como la cantidad de gallinas en cada corral es diferente, al igual que el área, para comparar utilizamos
la cantidad de gallinas que hay en 1 m2.
Corral A Corral C Julia

0 12 (gallinas) 0 16 (gallinas)
(m2) (m2)
0 1 10 0 1 8
Número de gallinas 12 16
Área (m2) 10 8
Cantidad de gallinas
12 ÷ 10 = 1.2 16 ÷ 8 = 2
en 1 m2
En el corral A hay 1.2 gallinas en 1 m2, mientras que en el corral C hay 2 gallinas por 1 m2, por lo tanto el
corral C está más lleno.
Para comparar cuando la cantidad de elementos y áreas son diferentes, calculamos la cantidad de ele-
mentos que hay por unidad de área, es decir la cantidad por unidad.
cantidad por unidad = (número de personas, animales u objetos) ÷ área
esuelve
1. Compara el salón de música y el salón de creatividad de una escuela. ¿Cuál está más lleno?
Música Creatividad
Número de pupitres 25 28
Área (m2) 50 70
2. El jardín de María posee 20 girasoles y el de Beatriz 24 girasoles; si el área de cada uno es el que se
muestra en las imágenes, ¿cuál jardín está más lleno?
Jardín de María Jardín de Beatriz
5m 4m
8m
5m
102
1.3 Densidad poblacional
En la siguiente tabla se muestran las áreas de los departamentos de Sonsonate y La Libertad y el número
de habitantes por departamento (aproximado). ¿Cuál es el número de habitantes por 1 km2?
Cuando utilices la calculadora,

Sonsonate La Libertad
aproxima el resultado a las cen-
Número de habitantes (aproximado) 439, 000 661, 000 tésimas.
Área (km2) 1, 226 1, 653
Ubico los datos en una tabla.

Sonsonate La Libertad
0 439, 000 (Número de 0 661, 000 (Número de
habitantes) habitantes)
José (km2)
(km2)
0 1 1, 226 0 1 1, 653
Número de habitantes
439, 000 661, 000
(aproximado)
Área (km2) 1, 226 1, 653
Número de habitantes
439, 000 ÷ 1, 226 = 358.075... 661, 000 ÷ 1, 653 = 399.879...
por 1 km2
R: En Sonsonate hay aproximadamente 358 habitantes por 1 km2, mientras que en La Libertad hay
aproximadamente 400 habitantes por 1 km2.
En este caso la
El número de habitantes por unidad de área se llama densidad poblacional o densidad unidad de área
es el km2.
demográfica y se calcula dividiendo el número de habitantes entre el área donde resi-
den, es decir:
densidad poblacional = número de habitantes ÷ área
esuelve
1. Encuentra la densidad poblacional de los departamentos de Santa Ana, Chalatenango y Usulután.
Santa Ana Chalatenango Usulután

Número de habitantes (aproximado) 523, 700 193, 000 345, 000
Área (km2) 2, 023 2, 017 2, 130
Unidad 6
2. Encuentra la densidad poblacional de los países centroamericanos: El Salvador, Honduras y Nicaragua.
El Salvador Honduras Nicaragua

Número de habitantes (aproximado) 6, 200, 000 8, 600, 000 5, 900, 000
Área (km2) 21, 041 112, 492 129, 494
103
1.4 Análisis de opciones utilizando la cantidad por unidad
Don José ha sembrado maíz en dos parcelas diferentes. La parcela A tiene un área de 900 m2 en donde ha
logrado una cosecha de 80 quintales de maíz y la parcela B tiene un área de 500 m2 en donde ha logrado
una cosecha de 68 quintales de maíz. ¿Cuál parcela es más productiva?
Parcela A Parcela B
Como las parcelas tienen diferente cosecha y área, comparo utilizando la cantidad por unidad; es decir,
divido la cosecha entre el área de siembra.
Parcela A Parcela B
0 80 0 68
(qq) (qq)
Julia
(m2) (m2)
0 1 900 0 1 500
Cosecha (qq) 80 68
Área (m2) 900 500
Cosecha por m2 80 ÷ 900 = 0.088... 68 ÷ 500 = 0.136
En la parcela A hay aproximadamente 0.09 qq por 1 m2, mientras que en la parcela B hay aproximada-
mente 0.14 qq por 1 m2. Por lo tanto, la parcela B es más productiva.
R: Parcela B.
La cantidad por unidad es útil para determinar cuál opción es más conveniente o más productiva y se
calcula como:
cantidad por unidad = cantidad total ÷ unidades de medida
esuelve
El carro del papá de Mario recorre 540 km con 9 galones de gasolina, mientras que el carro del papá de
Miguel recorre 350 km con 5 galones de gasolina. ¿Cuál carro es más económico?
Carro del papá de Mario Carro del papá de Miguel
0 540 0 350
(km) (km)
(galones) (galones)
0 1 9 0 1 5
Juan Mario
Un equipo de baloncesto tiene dos jugadores
Lanzamientos hechos 20 32
especializados en lanzamientos triples. Sus
marcas están detalladas en la siguiente tabla: Canastas conseguidas 12 16
¿A quién elegirías para jugar el partido? Explica el porqué de tu elección.
104
1.5 Rapidez
El carro A recorrió 240 km en 3 horas y el carro B 180 km Carro A Carro B

en 2 horas. ¿Qué carro corrió más rápido?
Para comparar encontramos los kilómetros recorridos por cada carro en 1 h.
Carro A ÷3 Carro B ÷2 José
0 240 0 180
(km) (km)
(horas) (horas)
0 1 3 0 1 2
÷3 ÷2
El carro A recorre 240 km en 3 horas, así que, al di- El carro B recorre 180 km en 2 horas, así que, al dividir
vidir 240 entre 3, obtengo lo que recorre en 1 hora. 180 entre 2, obtengo lo que recorre en 1 hora.
240 ÷ 3 = 80 180 ÷ 2 = 90
El carro A recorre 80 km por hora, mientras que el carro B 90 km por hora. Por lo tanto, el carro B es más rápido.
R: El carro B.
A la distancia recorrida en una unidad de tiempo se le llama rapidez y se encuentra mediante:
rapidez = distancia recorrida ÷ tiempo
La unidad de tiempo puede ser en horas, minutos o segundos, y la unidad de medida rápidez es de la
forma unidad de distancia/unidad de tiempo. Por ejemplo, 80 km recorridos en 1 hora se representan
como 80 km/h.
esuelve
1. La avioneta A recorre una distancia de 1, 460 km en 4 horas, mientras que la avioneta B recorre una
distancia de 1, 170 km en 3 horas. ¿Cuál avioneta viajó con mayor rapidez?
Avioneta A Avioneta B
0 1, 460 0 1, 170
(km) (km)
Unidad 6
(h) (h)
0 1 4 0 1 3
2. Un carro A recorrió 280 km en 4 horas, mientras que un carro B recorrió 360 km en 6 horas.
¿Cuál carro viajó con mayor rapidez?
105
1.6 Distancia recorrida
Antonio y Marta salen a correr todas las mañanas, Antonio corre a

una rapidez de 6 km/h durante 3 horas y Marta corre a una rapidez de
5 km/h durante 5 horas. ¿Quién recorre una mayor distancia?
Represento lo recorrido por Antonio y Marta:
×3 ×5
Ana 0 6 0 5
(km) (km)
(horas) (horas)
0 1 3 0 1 5
×3 ×5
Si multiplico 1 h por 3, obtengo las horas Si multiplico 1 h por 5, obtengo las horas
recorridas, entonces si multiplico por 3 la recorridas, entonces si multiplico por 5 la
distancia recorrida en 1 h, obtendré la dis- distancia recorrida en 1 h, obtendré la dis-
tancia recorrida en 3 h. tancia recorrida en 5 h.
Así, Antonio recorre 6 × 3 = 18 km Así, Marta recorre 5 × 5 = 25 km
R: Marta.
Para encontrar la distancia recorrida dada la rapidez y tiempo se tiene:
distancia recorrida = rapidez × tiempo
esuelve
1. La moto A corrió durante 4 horas con una rapidez de 55 km/h, mientras que la moto B corrió 3 horas
con una rapidez de 72 km/h, ¿cuál moto recorrió una mayor distancia?
Moto A Moto B
0 55 (km) 0 72 (km)
(horas) (horas)
0 1 4 0 1 3
2. La siguiente tabla detalla la rapidez de los animales más veloces del mundo.
Animal Rapidez Se dice que la rapidez es constante

cuando no cambia aunque trans-
Guepardo 115 km/h
curra el tiempo.
Liebre 72 km/h
a. Si el guepardo corre con rapidez constante de 115 km/h durante 2 horas, ¿qué distancia recorre?
b. Si cierta especie de liebre corre con rapidez constante de 72 km/h durante 3 horas, ¿qué distancia
recorre?
106
1.7 Tiempo
Carlos y su hermano practican ciclismo. En una prueba

deberán recorrer 36 km. Si Carlos conduce con una
rapidez de 9 km/h y su hermano de 12 km/h, ¿cuánto
tardará cada uno en recorrer los 36 km?
Represento la distancia a recorrer por Carlos y por su hermano.
Carlos Hermano de Carlos

Antonio
×4 ×3
0 9 36 (km) 0 12 36
(km)
(h) 0 1 (h)
0 1
×4 ×3
Carlos tardará 1 h para recorrer 9 km. El hermano de Carlos tardará 1 h para recorrer
Como 36 ÷ 9 = 4; 4 veces lo recorrido en 12 km. Como 36 ÷ 12 = 3; 3 veces lo recorrido
una hora así que el tiempo es de 4 h. en una hora así que el tiempo es de 3 h.
R: Carlos tardará 4 h y su hermano tardará 3 h.
Para encontrar el tiempo dada la rapidez y la distancia recorrida se tiene:
tiempo = distancia recorrida ÷ rapidez
esuelve
1. El tren A recorrió una distancia de 560 km viajando a una rapidez de 70 km/h, mientras que el tren B
recorrió una distancia de 770 km viajando a una rapidez de 110 km/h, ¿cuánto tiempo duró el reco-
rrido de cada uno?
Tren A Tren B
0 70 560 (km) 0 110 770 (km)
(hora) 0 1 (hora)
0 1
Unidad 6
2. El sistema de monitoreo meteorológico predice la

llegada de un fuerte viento a territorio salvadoreño,
que se desplaza con rapidez constante de 86 km/h.
Si se encuentra a una distancia de 430 km, ¿en cuán-
to tiempo llegará a El Salvador?
107
1. Compara los salones de primer y segundo grado. ¿Cuál está más lleno?
Primero Segundo
Número de estudiantes 24 36
Área (m )
2
48 48
2. Don Carlos ha sembrado maíz en dos parcelas diferentes obteniendo los datos mostrados en la tabla.
¿Cuál de las parcelas está más llena?
Parcela A Parcela B
Número de matas 800 1, 750
Área (m )
2
400 700
3. Encuentra la densidad poblacional de las siguientes escuelas:

Escuela A Escuela B Escuela C
Número de estudiantes 400 600 500
Área (m2) 1, 000 1, 200 800
4. Determina la rapidez, distancia o tiempo según sea el caso:

Avión A Avión B Avión C
¿Cuál es la rapidez de un avión ¿Cuál es la distancia recorrida ¿Cuánto tiempo tarda un avión
que ha recorrido 1, 230 km en 3 por un avión que viaja con una en recorrer 1, 720 km con una
horas? rapidez de 390 km/h durante 4 rapidez de 430 km/h?
horas?
0 430 1, 720 (km)

0 1, 230 0 390
(km) (km)
(horas)
(horas) (horas) 0 1
0 1 3 0 1 4
5. El papá de Mario viaja en su carro desde su casa a una conferencia que se llevará a cabo en un hotel
ubicado a una distancia de 130 km. Si tarda 2 horas en llegar, ¿cuál es la rapidez con la que conduce?
6. Miguel sale a caminar todos los días durante 2 horas, con una rapidez de 5 km/h. ¿Qué distancia reco-
rre Miguel diariamente?
7. Un agricultor transporta sus cultivos en carreta con

una rapidez de 18 km/h. Si la distancia del campo
de cultivo a su casa es de 6 km, ¿cuánto tiempo
tarda en transportarlos?
108
Equivalencia de monedas y
elaboración de presupuestos
7
• Encontrar equivalencias entre monedas

centroamericanas
• Elaborar presupuestos de compra
1.1 Equivalencia de monedas
A continuación se muestra la equivalencia aproximada del dólar con las monedas de los países centroa-
mericanos (año 2017).
Guatemala Nicaragua
Centro América
$1 equivale a 8 quetzales
$1 equivale a 28 córdobas
aproximadamente
aproximadamente
y se representan como Q 8
y se representan como C$ 28
Honduras Costa Rica
$1 equivale a 22 lempiras $1 equivale a 545 colones costarricenses

aproximadamente aproximadamente
y se representan como L 22 y se representan como C 545
A partir de lo anterior, responde:

El papá de Miguel realizará un viaje a todos los países de Centro América y decide comprar un reloj para
Miguel. Los precios del mismo reloj en los diferentes países se detallan a continuación. ¿En qué país le
conviene comprar el reloj?
Guatemala Nicaragua
Q 72 C$ 336
Honduras Costa Rica

L 242 C 4,360
La moneda anterior al dólar

estadounidense fue el colón
salvadoreño y se representaba
con el símbolo ¢.
Aún se pueden encontrar docu- ¢ 84.00
mentos como recibos y facturas $ 9.60
donde las cantidades aparecen
en ambas monedas.
110110
Unidad 7
Paso cada cantidad a dólares.
El precio del reloj en Guatemala El precio del reloj en Nicaragua es
es de 72 quetzales, entonces para de 336 córdobas, entonces para
obtener el precio en dólares realizo: obtener el precio en dólares realizo:
Carmen
72 ÷ 8 = 9 336 ÷ 28 = 12
El precio del reloj en dólares es $9 El precio del reloj en dólares es $12
aproximados. aproximados.
El precio del reloj en Honduras es El precio del reloj en Costa Rica es de

de 242 lempiras, entonces para 4, 360 colones costarricenses, entonces
obtener el precio en dólares realizo: para obtener el precio en dólares realizo:
242 ÷ 22 = 11 4, 360 ÷ 545 = 8
El precio del reloj en dólares es $11 El precio del reloj en dólares es $8
aproximados. aproximados.
Al comparar todos los precios en dólares observo que $8 es el menor precio, por lo que conviene com-
prar el reloj en Costa Rica.
R: Costa Rica.
• Para encontrar la cantidad equivalente en dólares se realiza:

cantidad en moneda centroamericana ÷ equivalencia de un dólar = cantidad en dólares
• Para encontrar la cantidad equivalente en moneda de algún país centroamericano, realiza:

equivalencia de un dólar × cantidad de dólares = cantidad en moneda centroamericana
La equivalencia de un tipo de moneda a otro tipo se conoce como tipo de cambio o tasa de cambio.
El tipo de cambio está constantemente cambiando, por ello, para el desarrollo de esta actividad se toma-
ron ciertos valores específicos.
1. Establece la equivalencia en dólares de las siguientes cantidades.

a. 32 quetzales b. 84 córdobas c. 110 lempiras d. 1, 090 colones costarricenses
2. Juan tiene $10, ¿cuál es el equivalente en las siguientes monedas?

a. quetzales b. córdobas c. lempiras d. colones costarricenses
Miguel es salvadoreño y va de viaje a Guatemala, quiere comprar 2 recuerdos y dispone de $10.

Si desea gastar los $10 de manera exacta, ¿cuáles de los siguientes recuerdos puede comprar?
Tótem Florero Juego de vasos Camiseta

Q 30 Q 35 Q 50 Q 72
111111
2.1 Elaboración de presupuestos utilizando la suma y resta
María desea comprar algunos de los productos de una tienda.

¿Qué puede comprar si planea gastar exactamente $0.75?
La tienda dispone de los siguientes productos: Producto Precio

yuca salcochada $0.30
empanada $0.10
pan con casamiento $0.25
refresco $0.15
sandía $0.20
enchiladas $0.10
melón $0.20
Con $0.75 puedo comprar los siguientes productos:

Producto Precio ($) Producto Precio ($) Producto Precio ($)
yuca salcochada 0.30 empanada 0.10 empanada 0.10
Ana sandía 0.20 pan con 0.25 refresco 0.15
pan con 0.25 casamiento sandía 0.20
casamiento sandía 0.20 enchiladas 0.10
total ($) 0.75 melón 0.20 melón 0.20
total ($) 0.75 total ($) 0.75
R: Seleccioné los productos cuyos precios suman $0.75. Hay otras opciones de productos
a comprar con $0.75.
A la estimación o cálculo de cantidades de dinero y la forma de distribuirlo se le llama presupuesto.

Para elaborar un presupuesto se suman los precios de los productos y se compara con la cantidad con la
que se dispone. Si la suma supera la cantidad con la que se dispone, se puede restar el precio de algunos
productos.
Antonio dispone de $0.80 para comprar en la tienda escolar.

Los productos de los que dispone la tienda y los precios de cada uno se detallan a continuación:
Producto Precio ($) Producto Precio ($)
refresco $0.15 yuca salcochada $0.30
empanada $0.10 jocotes $0.15
pan con jamón $0.25 gelatina $0.10
sandía $0.25 chocobanano $0.10
papaya $0.20 mango $0.20
Elabora un presupuesto de lo que Antonio puede comprar con el dinero que le dan sus padres.
Suponiendo que tus padres te dan $1, elabora un presupuesto tomando en cuenta los productos de la
tienda de tu escuela y sus precios. Por ejemplo: pan, yuca, refresco, etc.
112112
2.2 Elaboración de presupuestos utilizando la multiplicación
Unidad 7
Una señora está elaborando el presupuesto de lo que gastará en la compra de implementos deportivos
de sus 3 hijas para el torneo deportivo de la institución.
El precio de cada producto se detalla en la siguiente tabla:
Producto Precio
zapatos deportivos $15
camisa $6
calzonetas $5
medias $3
a. Si compra todos los productos para sus 3 hijas, ¿cuánto pagará en total?
b. Si solo dispone de $60 para gastar, ¿cuáles productos para las tres niñas puede comprar de forma que
sobre la menor cantidad del dinero disponible?
a. Elaboro una tabla donde coloco el precio y la cantidad a comprar de cada producto.
Calculo el total a pagar por cada producto multiplicando el precio del producto por la cantidad de
productos a comprar.
Producto Precio del producto ($) Cantidad de producto Total por producto ($)
zapatos deportivos 15 3 15 × 3 = 45
camisa 6 3 18
calzoneta 5 3 15
Julia
medias 3 3 9
total ($) 29 87
R: $87 En los casos en los que se compre la misma cantidad de cada producto el total se puede calcular:
①Sumando los precios por producto.
②Multiplicando el resultado por la cantidad de producto.
Por ejemplo: (15 + 6 + 5 + 3) × 3 = 29 × 3 = 87
b. Observo el total por producto. Pruebo sumando dichos totales hasta obtener $60 o menos.
Producto Precio del producto ($) Cantidad de producto Total por producto ($)
zapatos deportivos 15 3 45
camisa 6 3 18
calzoneta 5 3 15
medias 3 3 9
total ($) 29 87
Si sumo el total por producto de zapatos deportivos y medias obtengo:
45 + 9 = 54
Si sumo el total por producto de zapatos deportivos y calzonetas:

45 + 15 = 60
Se desea comprar de manera que sobre la menor cantidad de dinero posible, en este caso, al comprar
zapatos deportivos y calzonetas no sobra dinero.
R: Zapatos y calzonetas.
113113
Cuando la cantidad de producto es mayor que 1, el total por producto se puede encontrar multiplicando
el precio del producto por la cantidad de producto.
total por producto = precio por producto × cantidad de producto
Una familia consume mensualmente los siguientes productos:

Producto Precio del producto Cantidad de producto Total por producto ($)
maíz (libra) $0.50 50
frijoles (libra) $0.75 15
arroz (libra) $0.45 12
azúcar (libra) $1 5
huevos (unidad) $0.10 60
total ($)
Completa la tabla calculando la cantidad por producto y determinando el total de dinero a pagar por
todos los productos.
1. Del Analiza. Si 2 de las hijas ya poseen calzonetas y medias, ¿cómo puede reestructurarse el presu-
puesto?
2. Una señora elabora un presupuesto de compra de útiles escolares para sus 2 hijos. La siguiente tabla
muestra los artículos a comprar y los precios.
Producto Precio del producto Cantidad de producto

cuaderno $3 16
libro $8 6
libreta $2 2
lapicero $1 6
a. Si compra todos los productos, ¿cuánto pagará en total?

b. Si solo dispone de $80, corrige el presupuesto modificando la cantidad de productos de manera
que no pase de $80.
114114
2.3 Análisis de presupuestos
Unidad 7
La profesora de quinto grado ha pedido a la directiva que elaboren un presupuesto de compras para la
celebración de la despedida de fin de año, tomando en consideración que poseen un total de dinero
ahorrado de $150.
Beatriz (presidenta) y Juan (tesorero) han elaborado las siguientes propuestas:

Propuesta de Beatriz Propuesta de Juan
Producto Precio por producto Producto Precio por producto
pastel $45 sorbete $30
recuerdos $15 piñatas $40
almuerzo $70 almuerzo $60
bebidas $20 bebidas $30
total $140 total $160
Observa los presupuestos e identifica los errores en cada una de las propuestas.
Analizo la propuesta de Beatriz. Analizo la propuesta de Juan.

El dinero disponible es $150 y el total es El dinero disponible es $150 y el total obtenido es
$140, no sobrepasa el presupuesto. $160 por lo que el presupuesto sobrepasa la cantidad
Pero al revisar los cálculos: disponible.
Hago un ajuste quitando algún producto.
Producto Precio por producto
$45 + $15 + $70 + $20 = $150 sorbete $30
Antonio
almuerzo $60
R: Los cálculos no son correctos,
bebidas $30
sin embargo, sí alcanza el dinero
disponible. total $120
R: El total excede el dinero disponible, por lo
que se ajustan los productos a comprar.
Al realizar un presupuesto:
• Realiza correctamente las operaciones.
• Ajusta el presupuesto, cuando la cantidad calculada sea mayor a la cantidad disponible.
Observa los siguientes presupuestos, identifica los errores en cada caso y corrige, realizando correcta-
mente los cálculos o ajustando los servicios que se plantean.
a. Cantidad disponible $400 b. Cantidad disponible $225 c. Cantidad disponible $250
Servicio Total por servicio Servicio Total por servicio Servicio Total por servicio
transporte $60 transporte $30 transporte $40
comida $200 comida $120 comida $110
vestuario $80 vestuario $60 vestuario $50
recreación $60 recreación $40 recreación $40
total $430 total $250 total $240
115115
1. Beatriz visita Guatemala y desea una camiseta cuyo precio es de 80 quetzales, ¿cuál es el valor apro-
ximado en dólares?
En Guatemala están los sitios Recuerda que estamos usando la

arqueológicos: Tikal, El Mirador equivalencia de $1 como 8 quetzales.
y Cancuén.
2. Determina si los siguientes presupuestos tienen error. De tenerlo indica el tipo de error y corrige.
a. Cantidad disponible $35 b. Cantidad disponible $25 c. Cantidad disponible $40

Precio del Total del Total del
Producto Producto Producto
producto producto producto
arroz $7.80 arroz $6.40 arroz $7.80
frijoles $8.50 frijoles $8.50 frijoles $10.50
azúcar $10.20 azúcar $10.20 azúcar $15.10
café $3 café $6 café $6
total $34.40 total $31.10 total $39.40
3. La mamá de Miguel quiere hacerle una lonchera nutritiva, pero solo planea gastar $1 al día. Elabora
un presupuesto considerando que gastará exactamente $1 y solo comprará un producto de cada tipo
de los que se tienen a continuación:
fruta $0.25 jugo $0.40 leche $0.30 galleta $0.25 yogur $0.60 pan $0.20
cada una
4. Con los datos del problema del numeral 3. elabora 2 presupuestos más que cumplan las mismas con-
diciones.
La mamá de Juan elaboró un presupuesto sobre la compra de materiales escolares, accidentalmente se

le han borrado algunos datos. Completa de manera que el presupuesto sea correcto.
Producto Precio del producto Cantidad de producto Total por producto

cuaderno $1 a. $3
caja de colores $1.25 2 b.
estuche de geometría c. 1 $1.30
calculadora $4.50 1 $4.50
total
d.
116116
Área de triángulos y cuadriláteros

8
• Trazar la altura de un triángulo y cuadrilátero
• Calcular el área de triángulos y cuadriláteros
1.1 Área del paralelogramo a partir del área del rectángulo
Marta y Antonio han realizado las siguientes construcciones:
Construcción de Marta Construcción de Antonio
4 cm 4 cm 4 cm 4 cm
6 cm 6 cm 6 cm 6 cm
¿Qué relación tiene el área del paralelogramo con la del rectángulo que se forma?
Observo que en ambas construcciones el paralelogramo se transforma en un rectángulo.

Por lo que el área del paralelogramo es igual al área del rectángulo de 6 cm de largo y 4 cm de ancho.
Julia
El área del rectángulo es largo × ancho = 6 × 4 = 24
Así que el área del paralelogramo también es 24 cm2
Se puede transformar un paralelogramo en un rectángulo que tiene la misma área.
Calcula el área de los siguientes paralelogramos transformándolos en rectángulos.

a. área del paralelogramo = _____ cm2 b. área del paralelogramo = _____ m2
4m
3 cm
4 cm 5m
c. área del paralelogramo = _____ m2 d. área del paralelogramo = _____ cm2
5m 4 cm
2m 4 cm
e. área del paralelogramo = _____ m2 f. área del paralelogramo = _____ cm2
2 cm
4m 3 cm
3m
118
1.2 Área del paralelogramo
Antonio sigue analizando su construcción y ya descubrió que el área del paralelogramo es igual al área
del rectángulo, como se muestra. 1 cm
1 cm
Unidad 8
Ahora se pregunta:
a. ¿Cuál es más alto, el paralelogramo o el rectángulo?
b. ¿Cuánto mide el largo del paralelogramo?, ¿y el del rectángulo?
a. Trazo líneas paralelas que pasen por los lados inferiores y superiores de las figuras para identificar cuál
es más alto.
1 cm
1 cm
Carlos
Como la distancia entre las dos rectas es la misma, el paralelogramo y el rectángulo tienen la misma
altura.
b. Como cada cuadrado de la cuadrícula tiene 1 cm por lado, el largo del paralelogramo es 6 cm y el largo
del rectángulo es 6 cm.
Se puede seleccionar cualquier lado de la figura como base de esta.

Por ejemplo, el lado inferior del paralelogramo será la base.
La altura es la medida del segmento perpendicular que parte de la altura
base a su lado opuesto.
base
Como el paralelogramo y el rectángulo tienen la misma base y altura, el área del paralelogramo se cal-
cula como:
área del paralelogramo = base × altura
1. Calcula el área de los siguientes paralelogramos:

a. 1 cm b. 1 cm c. 1m d. 1m
1 cm 1 cm 1m 1m
2. Calcula el área de un terreno que tiene forma de paralelogramo con base de 8 m y altura de 3 m.
119
1.3 Área del paralelogramo con altura exterior a la figura
Calcula el área del siguiente paralelogramo:

1 cm
1 cm
Para calcular el área del paralelogramo debo identificar la base y altura. 1 cm

1 cm
Carmen
Selecciono el segmento AB como base, por lo que la base es 4 cm.
La altura con respecto a la base AB es 7 cm.
altura
=4×7
= 28 A base B
R: 28 cm2. Se puede prolongar la base para trazar la altura,

dado que la altura no queda dentro de la figura.
Existen paralelogramos cuya altura es exterior a la figura, pero la forma de calcular el área es la misma:
Calcula el área de los siguientes paralelogramos:

a. 1 cm b. 1 cm c. 1m d. 1m
1 cm 1 cm 1m 1m
1. Calcula el área de la parte sombreada 2. Calcula el área del siguiente paralelogramo:

del rectángulo.
1m
1m
6 cm 4 cm
2 cm
3 cm
120
1.4 Área del triángulo a partir del área del paralelogramo
Antonio ha realizado la siguiente construcción.
4 cm 4 cm
6 cm 6 cm
Unidad 8
¿Qué relación tiene el área del triángulo con el área del paralelogramo que se formó?
Antonio hizo otro triángulo igual al dado y con ambos triángulos formó un paralelogramo con base de 6
cm y altura de 4 cm, por lo que el área del paralelogramo es igual a 24 (base × altura = 6 × 4).
Como el paralelogramo se formó con dos triángulos iguales, el área del triángulo será la mitad
del área del paralelogramo, es decir, el área del triángulo es 24 ÷ 2 = 12. Antonio
Se puede obtener el área de un triángulo construyendo un paralelogramo con la misma base y altura,
pero con doble área.
1. Calcula el área de los siguientes triángulos a partir del área del paralelogramo.
a. área del triángulo = _____ cm2 b. área del triángulo = _____ m2
20 cm2
24 m2
2. Calcula el área de los siguientes triángulos a partir de áreas de paralelogramos.

a. área del triángulo = _____ cm2 b. área del triángulo = _____ m2
2 cm 4m
7 cm
4m
Calcula el área del siguiente terreno con forma triangular.

3 cm 4 cm
5 cm
121
1.5 Área del triángulo
Antonio sigue analizando su construcción y ya descubrió que el área del paralelogramo tiene dos veces
el área del triángulo, como se muestra.
1 cm
1 cm
Ahora se pregunta:
a. ¿Cuál figura es más alta, el triángulo o el paralelogramo?
b. ¿Cuánto mide la base del triángulo?, ¿y el del paralelogramo?
Para calcular el área del paralelogramo debo identificar la base y altura.

a. Trazo líneas paralelas para identificar cuál figura es más alta.
1 cm
1 cm Antonio
En el triángulo se toma
el punto más alto para
comparar.
Como la distancia entre las dos rectas es la misma, el triángulo y el paralelogramo tienen la misma
altura.
b. Como cada cuadrado de la cuadrícula tiene 1 cm de lado, la base del triángulo es 6 cm y la base del
paralelogramo es 6 cm.
El triángulo y el paralelogramo tienen la misma base y altura, pero el área del paralelogramo es dos ve-
ces el área del triángulo, por lo que el área del triángulo se puede calcular:
área del triángulo = base × altura ÷ 2
Elige un lado como base, puede ser el lado inferior del triángulo. altura
La altura en el triángulo es la medida del segmento perpendicular que
parte de la base hasta el vértice opuesto. base
Calcula el área de los siguientes triángulos:

a. 1 cm b. 1 cm c. 1m d. 1m
1 cm 1 cm 1m 1m
122
1.6 Área del triángulo con altura exterior a la figura
Calcula el área del siguiente triángulo: 1 cm

1 cm
Unidad 8
Para calcular el área del triángulo debo identificar la base y altura.
1 cm
Selecciono el segmento AB como base, por lo que la base es 4 cm. 1 cm
La altura con respecto a la base AB es 7 cm.

Julia
área del triángulo = base × altura ÷ 2 altura
=4×7÷2
= 28 ÷ 2
= 14 A base B
R: 14 cm2.
Se puede prolongar la base para trazar la altura,
dado que la altura no queda dentro de la figura.
Existen triángulos cuya altura es exterior a la figura, pero la forma de calcular el área es la misma:
área del triángulo = base × altura ÷ 2
Calcula el área de los siguientes triángulos:

a. 1 cm b. 1m c. 1 cm d. 1m
1 cm 1m 1 cm 1m
Calcula el área del siguiente triángulo:
6 cm 4 cm
2 cm
3 cm
123
1.7 Área del trapecio
¿Cómo se puede calcular el área del trapecio?

Recuerda que en clases anteriores se
2 cm
ha duplicado la figura para formar un
paralelogramo.
4 cm
6 cm
Repito el trapecio y formo un paralelogramo.

2 cm
4 cm 4 cm
José
6 cm 6 cm 2 cm
Determino la base y altura del paralelogramo que se formó:

base = 6 + 2 = 8
altura = 4 La base del paralelogramo es la suma
de los lados paralelos del trapecio.
=8×4
= 32
Por lo que el área del trapecio será la mitad del área del paralelogramo, es decir, 32 ÷ 2 = 16.
R: 16 cm2.
El área del trapecio es la mitad del área del paralelogramo cuya base es la suma de los lados paralelos y la
altura es la misma que la del trapecio. Por lo que el área de un trapecio se puede calcular con la fórmula:
área del trapecio = (base mayor + base menor) × altura ÷ 2
La base mayor y menor son los lados paralelos del trapecio.
Calcula el área de los siguientes trapecios:

a. 1 cm b. 1 cm c. 1m
d. 1m
1 cm 1 cm 1m 1m
1 cm
1 cm
Calcula el área del siguiente trapecio:

124
1.8 Área del rombo
¿Qué relación tiene el área del rombo con el área del rectángulo que se muestra?
1 cm 1 cm
1 cm 1 cm
Recuerda que en clases anteriores se ha
cortado la figura para formar otra en la
que se sabe cómo calcular el área.
Unidad 8
Reubico algunas partes del rombo y comparo con el área del rectángulo.
1 cm 1 cm
1 cm 1 cm
Carmen
El área del rombo es la mitad del área del rectángulo.
Además observo que la base del rectángulo es igual a la diagonal mayor del rombo y que la altura del
rectángulo es igual a la diagonal menor del rombo.
1 cm 1 cm
1 cm 1 cm
diagonal mayor = base del rectángulo = 6 cm

diagonal menor = altura del rectángulo = 4 cm
El área del rombo es la mitad del área del rectángulo cuya base es igual a la diagonal mayor y cuya altura
es igual a la diagonal menor. Por lo que el área de un rombo se puede calcular con la fórmula:
área del rombo = diagonal mayor × diagonal menor ÷ 2
1. Calcula el área de los siguientes rombos:

a. 1 cm b. 1 cm c. 1m d. 1m
1 cm 1 cm 1m 1m
2. Calcula el área de un terreno con forma de rombo cuya diagonal mayor es 8 m y cuya diagonal menor
es 5 m.
125
1. Calcula el área de los siguientes cuadriláteros, considerando la unidad de medida de la cuadrícula.

a. 1 cm b. 1 cm c. 1m d. 1m
1 cm 1 cm 1m 1m
2. Calcula el área de los siguientes triángulos, considerando la unidad de medida de la cuadrícula.

a. 1 cm b. 1 cm c. 1m d. 1m
1 cm 1 cm 1m 1m
3. Para el siguiente triángulo con base de 4 cm y altura de cm, completa la tabla.
cm
4 cm
Altura ( cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Área (cm2) 2 4
Si la altura aumenta tomando como valores los números naturales, ¿qué sucede con el área?
1. Calcula el área sombreada de la siguiente figura:

1 cm
1 cm
2. El área de un triángulo es 15 cm2; si la altura mide 5 cm, ¿cuánto mide su base?
126
9
Unidades de medida en el sistema inglés
• Utilizar unidades de longitud del sistema inglés:

pulgada, pie y yarda
• Conocer unidades de peso: gramo, kilogramo y
tonelada
• Convertir de centímetros a yardas, pulgadas y
pies
• Convertir de libras a gramos y kilogramos
• Establecer equivalencias entre unidades de
medida
1.1 Pulgadas, pies y yardas
Carlos comprará implementos para una tienda de campaña, por lo que elabora una lista de lo que ne-
cesita.
a. ¿Qué representa la pulgada, el pie y la yarda?

b. ¿Cuántos cm equivalen a 1 pulgada?, ¿y a 1 pie?, ¿y a 1 yarda?
c. ¿A cuántos cm equivale la longitud de un clavo, la cuerda y tela que debe comprar?
a. La pulgada, pie y yarda son unidades que nos sirven para medir la longitud de los objetos.
Surgieron tomando como unidad de medida el tamaño de algunas partes del cuerpo.
José
1 pulgada 1 pie
1 yarda
Una pulgada es menor que un pie y un pie es menor que una yarda.
b. Recorto tiras de papel de longitud igual a una pulgada, un pie y una yarda utilizando las partes del
cuerpo.
1 pulgada 1 pie
1 yarda
Luego mido la longitud en centímetros utilizando un metro.
Observo que aproximadamente:

• 1 pulgada mide 2.5 cm
• 1 pie mide 30 cm
• 1 yarda mide 90 cm
128
c. Encontramos la medida de cada objeto.
El clavo: 2 pulgadas.
Como 1 pulgada = 2.5 cm aproximadamente, entonces 2.5 × 2 = 5.
R: Comprará clavos de 5 cm.
La cuerda: 3 pies.
Como 1 pie = 30 cm aproximadamente, entonces 30 × 3 = 90.
R: Comprará 90 cm de cuerda.
La tela: 4 yardas.
Como 1 yarda = 90 cm aproximadamente, entonces 90 × 4 = 360.
R: Comprará 360 cm de tela.
Las pulgadas, pies y yardas son unidades de medida del sistema inglés.
Para representar estas unidades de medida se hace uso de la abreviación en inglés:
Unidad 9
Español Inglés Abreviatura
pulgada inch in
pie foot ft
yarda yard yd
Las equivalencias exactas son:
• 1 pulgada (in) es aproximadamente 2.5 cm. 1 in = 2.54 cm
• 1 pie (ft) es aproximadamente 30 cm. 1 ft = 30.48 cm
• 1 yarda (yd) es aproximadamente 90 cm. 1 yd = 91.44 cm
Para facilitar el cálculo se utilizarán las equivalencias,
2.5 cm, 30 cm y 90 cm respectivamente.
esuelve
1. Completa el recuadro para que la igualdad sea válida.
a. 6 in = cm b. 2 ft = cm c. 3 yd = cm
d. 10 cm = in e. 150 cm = ft f. 180 cm = yd
2. Escribe la medida adecuada para cada objeto.

2 yd 20 yd 1 in 4 ft 1 ft 5 in
a. b. c.
d. e. f.
129
1.2 Conversión entre pulgadas, pies y yardas
Tomando en cuenta la ilustración:

pulgada 2.5
pie
yarda
a. ¿A cuántas pulgadas equivale un pie? Para obtener medidas más exactas

b. ¿A cuántas pulgadas equivale una yarda? puedes usar una cinta métrica.
c. ¿Cuántos pies tiene una yarda? Si el objeto es pequeño y se desea
medir en pulgadas puedes utilizar
tu regla.
a. Como un pie equivale aproximadamente a 30 cm y una pulgada a 2.5 cm para encontrar a cuántas pul-
gadas equivale un pie, divido:
pulgada 2.5
pie
Julia
30 ÷ 2.5 = 12 R: 12 in.
b. Como una yarda equivale a 90 cm y una pulgada a 2.5 cm para encontrar a cuántas pulgadas equivale
una yarda divido:
pulgada 2.5
yarda
90 ÷ 2.5 = 36 R: 36 in.
c. Como una yarda equivale aproximadamente a 36 pulgadas y un pie a 12 pulgadas, divido:

pie
yarda
36 ÷ 12 = 3
R: 3 ft.
Las equivalencias entre, yardas, pies y pulgadas son: Para medir longitudes más grandes se pueden
utilizar millas, 1 milla = 1, 760 yardas.
1 ft = 12 in 1 yd = 36 in 1 yd = 3 ft
esuelve
Completa el recuadro para que la igualdad sea válida.
a. 5 ft = in b. 4 yd = in c. 3 yd = ft
d. 24 in = ft e. 72 in = yd f. 12 ft = yd
130
1. Toma en cuenta la regla y determina la medida de los objetos proporcionados:
a. borrador
b. lápiz
c. engrapadora
Unidad 9
2. Utilizando todas las unidades de medida que se te proporcionan escribe la que corresponde a la lon-
gitud indicada en cada caso.
a. El largo de una cancha de fútbol rápido mide 55
b. Lo alto de la refrigeradora mide 7 in ft yd
c. El largo de la pantalla de un celular mide 6
3. Antonio quiere medir los siguientes objetos.

a. Largo de la mochila b. El grosor de un basurero c. Largo del compás
En cada caso, ¿cuál de los siguientes instrumentos es apropiado para medir?
regla de 8 in cinta de 2 ft cinta de 1 yd
4. Mario compró un listón de 180 cm para hacer una manualidad.

a. ¿Cuál es la medida del listón en pulgadas?
b. ¿Cuál es la medida del listón en pies?
c. ¿Cuál es la medida del listón en yardas?
Considera las equivalencias:

1 in = 2.5 cm
1 ft = 30 cm
1 yd = 90 cm
131
2.1 El gramo
La profesora informa a sus estudiantes que el peso de un clip de 5 cm es de 1 gramo.

Luego toma varios clips y ayudándose de una balanza calcula el peso de algunos objetos:
a. b.
5 clips 15 clips 5 cm
1 gramo
¿Cuánto pesa cada objeto?
a. Hay 5 clips que en conjunto equivalen al peso de un lapicero:
1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo

Ana
5 veces 1 gramo 5 gramos
R: El lapicero pesa 5 gramos.
b. Hay 15 clips que en conjunto equivalen al peso de una regla:
1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo 1 gramo
15 veces 1 gramo.
R: La regla pesa 15 gramos.
• El gramo es una unidad métrica de peso y se representa por g.

• El peso que le corresponde a un objeto es el número de veces que representa una unidad de medida.
esuelve
1. Determina el peso en gramos que debe mostrar cada báscula si el peso de un clip es de 1 g.
a. b. c. d.
2. Escribe el peso que marcan las siguientes básculas:
132
2.2 El kilogramo
Ana pesa 1 caja de clips grandes (cada clip pesa 1 g). Si la

caja contiene 1, 000 clips:
0
340
200
g
32
0
a. ¿Cuántos gramos pesa la caja?
0
30
40
600
00
00
2800 800
2600 1000
12
00
b. ¿Qué peso indica la aguja de la báscula? 24
00
14
00
0
160
1800
00
22
200
0
a. Como 1 clip pesa 1 g y la caja contiene 1, 000 clips.
El peso de la caja es 1, 000 veces 1 g.
Carmen
= 1, 000
Unidad 9
R: La caja pesa 1, 000 g.
b. Observo la báscula, esta marca 1 kg. R: 1 kg.
• 1 kilogramo equivale a 1, 000 gramos y se representa por kg.

• Si se busca calcular el peso de un objeto grande se utiliza el kilogramo.
1 kg = 1, 000 g
esuelve
1. Expresa los siguientes pesos como se te solicita.
a. 3 kg 200 g = g b. 4 kg 50 g = g
c. 1, 500 g = kg g d. 5, 050 g = kg g
2. Escribe el peso que marcan las siguientes básculas:

a. b. c.
azúcar
0 0 0
180
180
180
100
100
100
g g g
17
17
17
0
0
0
0
20
20
20
16 16 16
300 300 300
00
00
00
00 00 00
1500 400 1500 400 1500 400
1400 500 1400 500 1400 500
0 60 0 60 0 60
130 0 130 0 130 0
00
00
00
70
70
70
1000
1000
1000
12
12
12
800
800
800
900
900
900
0
133
2.3 La tonelada
En la aduana se encuentra detallado el peso permitido según el tipo de automóvil, como se muestra en
los siguientes dibujos:
5t
3t
1t
1, 000 kg 3, 000 kg 5, 000 kg

a. ¿Cuántos kilogramos pesa cada automóvil?
b. ¿Qué peso es equivalente a una 1 t?
a.
Pick up Furgón Tráiler
El peso es de 1, 000 kg El peso es de 3, 000 kg El peso es de 5, 000 kg
Antonio
b. En el caso del pick up observo que 1, 000 kg es equivalente a 1 t.

Si analizo el caso del furgón, pesa 3, 000 kg que es 3 veces el peso del pick up por lo que pesa 3 t.
Si analizo el caso del tráiler, pesa 5, 000 kg que es 5 veces el peso del pick up por lo que pesa 5 t.
• Si se mide un objeto muy pesado, se usa la tonelada.

• 1 tonelada métrica equivale a 1, 000 kg y se representa por t. 1t = 1, 000 kg
esuelve

a. 2, 000 kg = t b. 7, 000 kg = t c. 4 t = kg d. 6 t = kg
2. Un furgón registra en aduana un peso de 8 t. ¿Cuál es el peso equivalente que se registra en kilogra-
mos?
3. El elefante más grande ha tenido un peso aproximado de 11, 000 kg. ¿Cuántas toneladas pesaba?
¿ ué pasaría? × 1, 000 × 1, 000

En las medidas de longitud, peso y capacidad
se siguen ciertas reglas para representar uni- longitud 1 mm 1 m 1 km
dades de medida; dependiendo de la equiva-
lencia existente entre ellas, así como se mues- peso 1 g 1 kg
tra en el diagrama.
capacidad 1 ml 1l
Una tonelada castellana pesa 2, 000 lb. se quita m se agrega k
134
2.4 Conversión entre kilogramos y libras
Carmen coloca en una balanza una bolsa de azúcar de 1 lb y en el otro extremo una caja de 454 clips de
1 g cada uno. A partir de ello responde:
a. ¿Cuál es el peso de los 454 clips?

b. ¿A cuántos gramos equivale 1 lb?
c. ¿A cuántas libras equivale 1 kg?
a. Como 1 clip pesa 1 g, 454 clips pesan 454 veces un gramo, es decir 454 g.

R: 454 g. Ana
Unidad 9
b. Como la caja de clips pesa 454 g y la balanza está en equilibrio significa que el azúcar pesa 454 g, es
decir 1 lb es equivalente a 454 g.
R: 454 g.
c. Buscamos saber cuántas libras caben en un kilogramo, utilizamos que 1 lb = 454 g.

1 lb cabe veces en 1 kg
454 g cabe veces en 1, 000 g
Hacemos la división 1, 000 ÷ 454 = 2.2 entonces 454 g (1 lb) cabe 2.2 veces en 1, 000 g (1 kg), y así
1 kg es 2.2 lb.
R: 1 kg es 2.2 lb.
La equivalencia entre libras y gramos; y, libras y kilogramos es La equivalencia exacta de una

la siguiente: libra en gramos es:
• 1 lb = 454 g 1 lb = 453.59 g.
• 2.2 lb = 1 kg Para facilitar se utilizará 454 g.
esuelve
a. 2 lb = g b. 225 g = lb c. 3 kg = lb
2. Juan irá de viaje para vacaciones y observa que el peso máximo de la

maleta que puede llevar es de 50 lb. ¿Cuál es el equivalente en kilogra-
mos que puede pesar la maleta? Redondea a unidades la respuesta.
135
1. Observa la siguiente balanza y responde:
a. ¿Cuál es el peso máximo de la balanza? 0
180
100
b. ¿Qué peso indica la aguja de la balanza? g
17
0
0
20
16
300
00
c. Señala los siguientes pesos. 00
• 400 g 1500 400
• 700 g 1400 500
• 1 kg 500 g 0 60
130 0
• 1 kg 800 g
00
70
1000
12
800
900
0
2. Utilizando todas las unidades de medida que se te proporcionan, escribe la que corresponde al peso
indicado para cada caso.
a. Un bebé recién nacido 7
b. Un elefante 6 g kg t lb
c. Una pera 150
d. Un pavo 3
3. Encuentra el peso de las bolsas en libras. Recuerda que 1 lb = 454 g.

a. b. c.
2, 270 g 4, 086 g 1, 589 g
4. Los objetos en cada balanza tienen el mismo peso. Encuentra el peso aproximado de cada objeto en
libras sabiendo que 1 kg = 2.2 lb.
a. b. c.
harina
4 kg 3.5 kg 1.3 kg
5. Marta compra 2 bolsas de harina, una pesa 1, 500 g y la otra pesa 1.3 kg. ¿Cuál es el peso total de las
bolsas de harina en libras?, ¿cuál es el peso total en kilogramos?
136
Fracciones

10
• Sumar y restar fracciones heterogéneas
• Encontrar cantidades desconocidas
• Expresar números decimales como fracciones
• Expresar fracciones como números decimales
• Comparar números decimales y fracciones
• Encontrar cantidad de veces con cantidad de
veces una fracción
Recuerda que:
Numerador: indica cuántas partes se toman de la unidad.

Denominador: indica en cuántas partes se dividió la unidad.
Fracciones propias: son las que tienen el numerador menor que el denominador.
Ejemplo: 2 , 8 , etc.
3 21
Fracciones impropias: son las que tienen el numerador mayor o igual que el denominador.
Ejemplo: 9 , 23 , etc.
7 15
Números mixtos: son los que se forman con un número natural y una parte fraccionaria.
Ejemplo: 2 1 , 5 7 , etc.
5 11
1. Escribe la fracción que se representa, como propia, impropia o mixta.
a. b.
1m 1m
R: m R: m
c. d.
1l 1l
R: l R: l
e. f.
1m 1m 1m 1m
R: m o m R: m o m
g. h.
1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l
R: l o l R: l o l
138
Para convertir una fracción a número mixto: Para convertir un número mixto a fracción:
7 1 +
3 =2 3
2 13 = 3
7
Realizo 3 × 2 + 1 = 7
Realizo 7 ÷ 3 = 2 residuo 1
×
2. Convierte las siguientes fracciones a número mixto:

a. 10 b. 15 c. 21
3 4 6
3. Convierte los siguientes números mixtos a fracciones impropias:

1 3 2
a. 2 5 b. 3 4 c. 4 3
4. A partir del muro de fracciones compara las fracciones dadas y coloca > o <, según corresponda.
4 6 7 5 1 1
a. 7 7
b. 10 10
c. 6 2
Recuerda que:
• Para comparar fracciones homogéneas solo se comparan los numeradores.
• Para comparar números mixtos se comparan primero las unidades y si estas son iguales se comparan
las partes fraccionarias.
Muro de fracciones:
Unidad 10
0 1 1
2
0 1 2 1
3 3
0 1 2 3 1
4 4 4
0 1 2 3 4 1
5 5 5 5
0 1 2 3 4 5 1
6 6 6 6 6
0 1 2 3 4 5 6 1
7 7 7 7 7 7
0 1 2 3 4 5 6 7 1
8 8 8 8 8 8 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
9 9 9 9 9 9 9 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
10 10 10 10 10 10 10 10 10
5. Observando el numerador y denominador de las fracciones, compara y coloca > o < en el espacio.
4 9 1 3 5 1
a. 12 12
b. 2 5 15 c. 3 6 36
139
Para encontrar el MCD: Para encontrar el mcm:

① Escribe los divisores de cada número. ① Escribe los múltiplos de cada número.
② Identifica y escribe los divisores comunes. ② Identifica y escribe los múltiplos comunes.
③ Identifica y escribe el mayor de los divisores ③ Identifica y escribe el menor de los múltiplos
comunes. comunes.
Ejemplo: Determinar el MCD de 6 y 8. Ejemplo: Determinar el mcm de 6 y 8.
Divisores de 6: 1, 2, 3, 6. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 ...

Divisores de 8: 1, 2, 4, 8. Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48 ...
El máximo común divisor es 2. El mínimo común múltiplo es 24.
1. Encuentra el mcm y MCD de los siguientes pares de números:

a. 8 y 12
Múltiplos de 8: ____________________________ Divisores de 8: ___________________________
Múltiplos de 12: ___________________________ Divisores de 12: __________________________
R: El mínimo común múltiplo es ________. R: El máximo común divisor es ________.
b. 6 y 18
Múltiplos de 18: ___________________________ Divisores de 18: __________________________
c. 5 y 9
2. Encuentra el mcm y MCD de las siguientes parejas de números:

a. 6 y 9 b. 4 y 14 c. 12 y 16
d. 2 y 8 e. 7 y 21 f. 14 y 42
g. 7 y 5 h. 3 y 11 i. 13 y 15
140
1.3 Fracciones equivalentes por amplificación y simplificación
Observa las cintas y responde:
0 1 1
2
1 2 Recuerda que las fracciones
0 3 3
1 que representan la misma
1 2 3
cantidad se llaman fracciones
0 4 4 4
1 equivalentes.
1 2 3 4 5
0 6 6 6 6 6
1
1 2 3 4 5 6 7 8
0 9 9 9 9 9 9 9 9 1
a. ¿Cuáles son las fracciones equivalentes de 12 , 13 y 23 ?

b. ¿Cómo puedes encontrar fracciones equivalentes de 23 ?
c. Encuentra la fracción equivalente a 12
36 con el menor denominador.
a. Observo el muro de fracciones, se tienen b. Multiplico el numerador y denominador por el

las siguientes fracciones equivalentes: mismo número:
1 2 3
2
=4=6 ×2 ×3
2 4 2 6
1 2 3 = =9
=6=9 3 6 3
Unidad 10
3 4 6
Carlos ×2 ×3 R: 6 , 9 ...
2 4 6
3
=6=9
c. Divido varias veces el numerador y denominador También puedes utilizar el MCD,

por el mismo número hasta que ya no sea posible. para simplificar fracciones.
El MCD de 12 y 36 es 12, así que:
÷2 ÷2 ÷3 ÷12
12 6 3 1 1
36
= 18
= 9= 3 R: 3
12
=
1
36 3
÷2 ÷2 ÷3 ÷12
• Si se multiplica el numerador y denominador por un mismo número, se encuentra una fracción equi-
valente con mayor denominador, este proceso se conoce como amplificación.
• Si se divide el numerador y denominador por un mismo número tantas veces hasta que ya no sea po-
sible, se encuentra una fracción equivalente reducida a su mínima expresión, este proceso se conoce
como simplificación.
1. Encuentra 3 fracciones equivalentes a cada una de las siguientes fracciones:

a. 2 b. 3 c. 1 d. 4 e. 9
5 4 7 9 10
2. Simplifica las siguientes fracciones:

a. 18 b. 30 c. 14 d. 42 e. 30
24 75 28 56 39
141
1.4 Homogeneización de fracciones, parte 1
¿Cómo puedes transformar 23 y 34 en fracciones homogéneas?
Busco fracciones equivalentes de cada fracción, hasta obtener fracciones homogéneas.

2 1m 3 1m
Para 3 : Para 4 :
×4 2 3
Julia ×3 3 ×3 4
×2 ×2
2 4 6 8 1m 3 6 9 1m
=
3 6
= 9 = 12
= 8 = 12
4
×2 8 ×2 9
×3 12 ×3 12
×4
Para obtener fracciones homogéneas de 23 y 34 los denominadores de las fracciones equivalentes deben
ser múltiplos de 3 y 4, por lo que puedo utilizar el mcm.
El mcm de 3 y 4 es 12, así que el denominador de las fracciones buscadas es 12.

2 3
= 12 =
3 4 12 Carlos
Calculo los números que irán en el numerador.
×4 ×3
2 8 3 9
= 12 =
3 4 12
×4 ×3
2 3 8 9
R: Las fracciones homogéneas de 3 y 4 son 12 y 12 , respectivamente.
Al proceso de convertir dos fracciones heterogéneas en homogéneas buscando fracciones equivalentes

con igual denominador, se le llama homogeneizar.
Para homogeneizar fracciones:

① Determina el mcm de los denominadores.
② Encuentra el número por el que hay que multiplicar el numerador y denominador de las fracciones
dadas para obtener una fracción equivalente con denominador igual al mcm.
Homogeneiza las fracciones en cada caso.

3 5 2 1 6 1 3 1 7 9
a. 8 y 6 b. 5 y 3 c. 7 y 2 d. 10 y 4 e. 15 y 10
142
1.5 Homogeneización de fracciones, parte 2
¿Cómo se homogeneiza 23 y 59 ?
El mcm de 3 y 9 es 9, así que el denominador de las fracciones buscadas es 9.

Solo se calcula la fracción equivalente de 23 , ya que 59 ya tiene 9 como denominador.
×3 1m 1m
2 6
3
= 9
2 5
Antonio
3 9
×3
1m
6
9
R: Las fracciones homogéneas de 23 y 59 son 69 y 59 , respectivamente.
Cuando un denominador es múltiplo del otro, solo será necesario buscar la fracción equivalente de una
de las fracciones, pues la otra ya tiene el denominador deseado.
Unidad 10
¿ ué pasaría?
3 1
¿Cómo se puede homogeneizar 2 5 y 2 2 ?
Homogeneizo la parte fraccionaria de los números mixtos siguiendo los pasos aprendidos en la
clase anterior.
① El mcm de 5 y 2 es 10.
② Encuentro por qué número se multiplica cada fracción para obtener fracciones equivalentes
cuyo denominador sea 10.
×2 ×5
3 6 1 5
= 10 =
5 2 10
×2 ×5
6 5
R: Los mixtos con parte homogeneizada son 2 10 y 2 10 .
1. Homogeneiza las fracciones en cada caso.

1 5 3 5 3 5 2 7 1 7
a. 3 y 6 b. 4 y 8 c. 7 y 14 d. 5 y 25 e. 6 y 18
2. Homogeneiza:
2 4 2 5 1 5 1 4 1 2
a. 3 5 y 3 7 b. 1 3 y 1 9 c. 5 4 y 1 6 d. 3 3 y 4 15 e. 6 10 y 15
143
1.6 Comparación de fracciones utilizando la homogeneización
Julia tiene 5 listones de diferentes tamaños y colores. Responde:

a. ¿Cuál listón es más largo, el verde con 47 m o el amarillo con 12 m?
b. ¿Cuál listón es más largo, el azul con 2 23 m o el morado con 2 56 m?
c. ¿Cuál listón es más largo, el rojo con 3 38 m o el morado con 2 56 m?
a. Para comparar las fracciones heterogéneas 47 y 12 , b. Para comparar los números mixtos 2 23 y 2 56 ,
homogeneizo las fracciones. dado que las unidades son iguales homoge-
neizo las partes fraccionarias.
Tengo que el mcm de 7 y 2 es 14.
Como el mcm de 3 y 6 es 6, solo calculo la
×2 ×7 fracción equivalente a 23 .
4 8 1 7
= 14 ; = 14 ×2
7 2
Antonio 2 4
×2 ×7
3
= 6;
8 7 ×2
Ahora comparo 14 y 14 :
4 5
Ahora comparo 2 6 y 2 6 :
8 7
14
> 14
4 5
2 6 <2 6
4 1
7
> 2
2 5
2 3 <2 6
R: Listón verde.
R: Listón morado.
c. Para comparar los números mixtos 3 38 y 2 56 , basta con observar las unidades.

Como 3 es mayor que 2, se tiene que 3 38 > 2 56 .

R: Listón rojo.
• Para comparar fracciones heterogéneas se homogeneizan y se comparan como fracciones homogéneas.

• Para comparar números mixtos:
Si las unidades son distintas, se comparan las unidades.
Si las unidades son iguales se comparan las partes fraccionarias.
Coloca el signo < o > en el recuadro según corresponda.

4 1 1 5 1 2
a. 5 2
b. 4 c. 6 9
7
5 3 8 9 2 1
d. 8 6 8 10 e. 7 13 2 11 f. 4 3 46
144
1. Coloca en el numerador el número que corresponde para formar la fracción equivalente con el deno-
minador dado.
a. 2 = 21 b. 5 = 18 c. 2 = 21 d. 3 = 20
7 9 3 4
2. Homogeneiza:
4 3 3 5 3 9
a. 5 y 4 b. 8 y 6 c. 4 y 14
1 3 1 6 5 13
d. 2 y 5 e. 4 y 8 f. 8 y 24
2 4 5 7 5 3
g. 3 5 y 3 7 h. 1 6 y 1 12 i. 5 8 y 6 13
3. Coloca el signo < o > según corresponda.

3 1 1 2 2 3
a. 5 6
b. 4 7
c. 4 3 44
Unidad 10
1. Escribe de forma simplificada la fracción que representa la parte sombreada en cada caso.
a. m2 b. m2 c. m2
1m 1m 1m
1m 1m 1m
2. Escribe las fracciones que representan la parte sombreada y compáralas.
a. b.
____ ____ ____ ____
c. d.
____ ____ ____ ____
145
Recuerda que:
• Para sumar fracciones homogéneas se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador.
1 2 3
Ejemplo: 5 + 5 = 5
• Para restar fracciones homogéneas se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador.
7 4 3
Ejemplo: 8 – 8 = 8
• Para sumar números mixtos:

① Suma los números naturales.
② Suma las partes fraccionarias.
1 2 3 4 3 7 2 2
Ejemplos: 3 5 + 2 5 = 5 5 3 5 + 2 5 = 5 5 = 5 + 1 5 = 6 5
• Para restar números mixtos:

① Resta los números naturales.
② Resta las partes fraccionarias.
7 4 3 1 6 9 6 3
Ejemplos: 3 8 – 2 8 = 1 8 5 8 – 2 8 = 4 8 – 2 8 = 2 8
1. Realiza las siguientes sumas:

3 1 1 3 3 5
a. 5 + 5 b. 6 + 6 c. 12 + 12
1 2 3 2 3 4
d. 2 4 + 3 4 e. 5 7 + 1 7 f. 9 10 + 10
2 2 7 5 5 8
g. 1 3 + 2 3 h. 1 8 + 4 8 i. 9 + 3 9
2. Realiza las siguientes restas:

3 1 5 2 9 5
a. 4 – 4 b. 6 – 6 c. 15 – 15
4 2 3 1 6 5
d. 2 5 – 1 5 e. 5 7 – 3 7 f. 8 11 – 11
1 2 3 5 3 7
g. 6 3 – 2 3 h. 9 8 – 2 8 i. 4 10 – 10
146
2.2 Sumemos fracciones heterogéneas
De un litro de jugo, Ana bebió 12 litro y Carlos 13 de litro, ¿qué Para sumar fracciones, estas
cantidad de jugo bebieron entre los dos? deben tener el mismo deno-
PO: 12 + 13 minador.
Convierto las fracciones heterogéneas en fracciones homogéneas para poder realizar la suma.
El mcm de 2 y 3 es 6, por lo tanto, busco fracciones cuyo denominador sea 6.
×3 ×2
1 3 2 1l 1l
1
2
= 6 = 6
José 3 1
+ 1
2 3
×3 ×2
1 1 3 2
Las fracciones homogéneas de 2 y 3 son 6 y 6 , respectivamente. 1l 1l
3 2
Así que: = +
6 6
1 1 3 2 5
2
+ 3 = 6 + 6 = 6 1l
5 = 5
R: 6 de litro. 6
Unidad 10
Las fracciones que tienen diferente denominador se denominan fracciones heterogéneas.
Por ejemplo: 12 y 13 son fracciones heterogéneas.
Para sumar fracciones heterogéneas:

① Homogeneiza las fracciones.
② Suma las fracciones homogéneas, sumando los numeradores y escribiendo el mismo denominador.
1. Escribe y realiza la suma que se ha representado gráficamente.

a. b.
1l 1l 1l 1l
y y
2. Encuentra el resultado de las siguientes sumas.

1 1 3 1 3 5 3 3 1 5
a. 4 + 3 b. 4 + 6 c. 8 + 12 d. 7 + 14 e. 3 + 9
3. Marta pintó 13 m2 de una pared en la mañana y por la tarde pintó 25 m2, ¿cuántos metros cuadrados
pintó en total?
147
2.3 Sumemos fracciones heterogéneas simplificando
Calcula el resultado de las siguientes sumas y simplifícalo.

6 1 3 1
a. 8 + 12 b. 5 + 15
a. Homogeneizo las fracciones para poder sumar. b. Homogeneizo las fracciones para poder sumar.
El mcm de 8 y 12 es 24, por lo que calculo El mcm de 5 y 15 es 15, por lo que solo debo
las fracciones equivalentes con 24 como calcular la fracción equivalente de 35 con 15
denominador. como denominador.
×3 ×2
×3
6 18 1 2
8
= 24
= 24 3 9
12
5
= 15
Carmen ×3 ×2
×3
6 1 3 1
Las fracciones homogéneas de 8 y 12 son Las fracciones homogéneas de 5 y 15 son
18 2 9 1
y , respectivamente. y , respectivamente.
15 15
24 24
Así que: Así que:

6 1 18 2 20 3 1 9 1 10
8
+ 12
= 24
+ 24
= 24
+ 15 = 15 + 15 = 15
5
Simplifico el resultado obtenido: Simplifico el resultado obtenido:

÷2 ÷2 ÷5
20 10 5 10 2
24
= 12
= 6 15
=3
÷2 ÷2 ÷5
6 1 5 3 1 2
R: 8
+ 12
= 6
R: 5
+ 15
= 3
Para sumar fracciones heterogéneas:

② Suma las fracciones homogéneas.
③ Simplifica el resultado de ser posible.

a. 1l 1l b. 1l 1l
y y
2. Efectúa las siguientes sumas y simplifica el resultado.

1 7 1 1 4 1 1 1 1 4
a. 6 + 10 b. 6 + 14 c. 6 + 5 d. 2 + 6 e. 3 + 15
3. Dos hermanos fueron a un restaurante donde venden tortas de 1 m de largo, uno de ellos comió
27 m y el otro 14
3 m de la torta. ¿Cuántos metros de torta comieron entre los dos?
148
2.4 Suma de fracciones heterogéneas cuyo resultado es un número mixto

5 1 8 11
a. 4 + 6 b. 3 + 6
a. Homogeneizo las fracciones para poder sumar. b. Homogeneizo las fracciones para poder sumar.
las fracciones equivalentes con 12 como calcular la fracción equivalente de 83 con 6
×3 ×2 ×2
5 15 1 2 8 16
4
= 12 6
= 12 = 6
Ana 3
×3 ×2 ×2
Así que: Así que:
5 1 15 2 17 8 11 16 11 27
4
+ 6
= 12
+ 12
= 12
+ 6 = 6 + 6 = 6
3
La fracción obtenida no se puede simplificar. Simplifico el resultado obtenido:

Observo que el resultado es una fracción ÷3
27 9
impropia por lo que la convierto en número =2
6
mixto: ÷3
Observo que el resultado es una fracción
17 ÷ 12 = 1 residuo 5 17 5 impropia por lo que la convierto en número
= 1 12
Unidad 10
12
mixto:
9 ÷ 2 = 4 residuo 1 9 1
5 1 5 =4 2
R: 4 + 6 = 1 12 2
8 11 1
R: 3 + 6 = 4 2
Cuando se suman fracciones heterogéneas y el resultado es una fracción impropia:

① Simplifica la fracción impropia de ser posible.
También puedes convertir a número mixto y luego simplificar.
② Convierte a número mixto. ÷3
27 ÷ 6 = 4 residuo 3 27 3 1
=4 =4
6 6 2
÷3
1. Escribe y realiza la suma representada gráficamente. Convierte el resultado a número mixto.

a. 1l 1l b. 1l 1l
y y
2. Suma y expresa el resultado como número mixto.

3 5 7 7 3 5 5 1 7 9
a. 4 + 6 b. 10 + 15 c. 4 + 8 d. 2 + 6 e. 6 + 2
5 7
3. Julia tiene dos cintas, una mide 2 m y la otra mide 6 m. Si las une, ¿cuánto medirán?
149
2.5 Suma de números mixtos con partes fraccionarias heterogéneas

1 1 1 3
a. 1 3 + 2 b. 2 6 + 1 4
a. Homogeneizo las partes fraccionarias. El mcm de 3 y 2 es 6, por lo 1 1 1

que calculo las fracciones equivalentes con 6 como denominador.
×2 ×3 1 1
1 +
3 2
1 2 1 3
3
= 6 2
= 6
Julia
×2 ×3 1 1 1
Así que:
2 3
1 1 2 3 =1 +
1 3 + 2 =1 6 + 6 6 6
5 Sumo las partes fraccionarias

=1 6
y se mantiene la unidad. 1 1
1 1 5 =1 5
R: 1 3 + 2 = 1 6 6
b. Homogeneizo las partes fraccionarias. El mcm de 6 y

4 es 12, por lo que calculo las fracciones equivalentes
con 12 como denominador. 1 1 1 1 1
×2 ×3 1 3
2 +1
2 9 6 4
1 3
6
= 12 4
= 12
×2 ×3 1 1 1 1 1
Así que:
1 3 2 9 =2 2
+1 9
2 6 + 1 4 = 2 12 + 1 12 12 12
11 Sumo las unidades y sumo

= 3 12
las partes fraccionarias. 1 1 1 1
1 3 11
R: 2 +1 = 3 12 = 3 11
6 4 12
Para sumar números mixtos:

① Suma los números naturales.
② Suma las partes fraccionarias ya homogeneizadas.

a. b.
1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l
y y
2. Calcula el resultado de las siguientes sumas simplificando de ser posible.

3 1 1 2 2 1 2 2 2 1
a. 10 + 3 4 b. 1 6 + 15 c. 5 9 + 1 6 d. 4 3 + 8 15 e. 2 7 + 4 3
150
2.6 Suma de números mixtos con parte fraccionaria mayor que 1

2 1 1 5
a. 1 3 + 2 2 b. 2 + 1 6
a. Homogeneizo las partes fraccionarias. b. Homogeneizo las partes fraccionarias.

las fracciones equivalentes con 6 como 1
calcular la fracción equivalente de 2 con 6
×3
×2 ×3
1 3
2 4 1 3 = 6
3
= 6 2
= 6
2
Antonio ×3
×2 ×3
Así que: Así que:
2 1 4 3 1 5 3 5
1 3
+2 2
=1 6
+2 6 2
+1 6 = 6 +1 6
7 Sumo las unidades y sumo 8 Sumo las partes fraccionarias
=3 =1 6
6 las partes fraccionarias. y se mantiene la unidad.
Observo que la parte fraccionaria del resultado Observo que la parte fraccionaria del resultado
es una fracción impropia, así que simplifico: es una fracción impropia, así que simplifico:
7 7 8 8
3 6 =3+ 6 1 6 =1+ 6
Unidad 10
÷2
1 1 2 2 1
=3+1 6
=4 6
=1+1 6
=2 6
=2 3
÷2
2 1 1 1 5 1
R: 1 3 + 2 2 = 4 6 R: 2 + 1 6 = 2 3
Si la parte fraccionaria del resultado de sumar es una fracción impropia se convierte a número mixto y
se suma a las unidades obtenidas.

a. b.
1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l
y y
2. Encuentra el resultado de las siguientes sumas expresándolo como un número mixto.

3 5 3 5 7 8 7 5 5 7
a. 6 4 + 1 12 b. 2 4 + 2 6 c. 3 9 + 1 12 d. 2 10 + 6 e. 8 + 5 12
151
1. Calcula el resultado de las siguientes sumas y simplifica si es posible.

3 1 2 1
a. 8 + 2 b. 9 + 6 c. 3 + 3 d. 7 + 12
8 12 8 16
5 1 3 5 2 3 7 2
e. 6 + 4 f. 4 + 12 g. 5 7 + 4 14 h. 1 12 + 2 3
2. Antonio va a la gasolinera, el tanque tiene 2 12 galones de gasolina y él agrega 3 23 galones. ¿Cuántos

galones de gasolina tiene ahora el tanque?
1 3
3. Carlos y su hermana pintan sus habitaciones. Carlos utiliza 6 de galón de pintura y su hermana 5 de
galón. ¿Qué cantidad de pintura utilizan entre los dos?
3
4. Marta corrió 2 km el lunes y el martes corrió 1 4 km más que el lunes. ¿Cuántos kilómetros corrió el
martes?
1. José hace 2 mosaicos formados por dos cuadrados de 1 m de lado como se muestra en la figura, de-
termina qué fracción representa la parte pintada entre los dos mosaicos.
1m 1m
1m 1m
2. Marta realizó las siguientes sumas, pero se borraron algunos números, ayúdale a encontrar los núme-
ros que se borraron.
4 14 2 11
a. 5 + 15 = 15 b. 3 + 5 = 15
152
3.1 Resta de fracciones heterogéneas
Antonio tiene 14 m de cuerda y utiliza 16 m. ¿Qué cantidad de cuerda le sobró a Antonio?

1 1
PO: 4 – 6
Convierto las fracciones heterogéneas en fracciones homogéneas para poder realizar la resta. El mcm de
4 y 6 es 12, por lo tanto, busco fracciones con 12 como denominador.
×3 ×2
1 3 1 2 1m 1m
4
= 12 = 12 1
– 1
6 4 6
Antonio
×3 ×2
1m 1m
3 2
= –
Las fracciones homogéneas de 14 y 16 12 12
3 y 2 , respectivamente.
son 12 12
1m
Así que: = 1
12
1 1 3 2 1
4
– 6 = 12 – 12 = 12
1
R: 12 m.
Unidad 10
Para restar fracciones heterogéneas:
② Resta las fracciones homogéneas, restando los numeradores y escribiendo el mismo denominador.
1. Escribe y realiza la resta que se ha representado gráficamente.

a.
1m 1m
b.
1m 1m
2. Encuentra el resultado de las siguientes restas.

3 1 3 7 7 8 7 3 4 4
a. 5 – 4 b. 4 – 10 c. 2 – 3 d. 10 – 5 e. 5 – 15
3. Ana tiene 12 litro de leche para hacer una quesadilla, pero solo utiliza 14 de litro, ¿qué cantidad de leche
le queda sin utilizar?
153
3.2 Resta de fracciones heterogéneas simplificando
Calcula el resultado de las siguientes restas y simplifícalo.

3 3 9 7
a. 4 – 6 b. 5 – 15
a. Homogeneizo las fracciones para poder restar. b. Homogeneizo las fracciones para poder restar. El
El mcm de 4 y 6 es 12, por lo que calculo las mcm de 5 y 15 es 15, por lo que solo calculo la
fracciones equivalentes con 12 como denomi- fracción equivalente de 95 con 15 como denomi-
nador. nador.
×3 ×2 ×3
3 9 3 6 9 27
4
= 12 6
= 12 5
= 15
José
×3 ×2 ×3
Así que: Así que:
3 3 9 6 3 9 7 27 7 20
4
– 6 = 12 – 12 = 12 5
– 15 = 15 – 15 = 15
Simplifico el resultado obtenido: Simplifico el resultado obtenido:

÷3 ÷5
3 1 20 4
12
=4 15
=3
÷3 ÷5
3 3 1
R: 4 – 6 = 4 Convierto la fracción impropia a número mixto:
4 1
3
= 1 3 ; ya que 4 ÷ 3 = 1 residuo 1
9 7 1
R: 5 – 15 = 1 3
Para restar fracciones heterogéneas:

② Resta las fracciones homogéneas.
③ Simplifica el resultado de ser posible o convierte a número mixto si la fracción resultante es impropia.

4 1 5 7 9 17 5 11
a. 15 – 6 b. 6 – 10 c. 4 – 12 d. 3 – 12
15 3 11 5 9 5 7 5
e. 6 – 4 f. 6 – 8 g. 6 – 18 h. 3 – 4
2. Marta corrió 13 km el lunes y el martes corrió 56 km, ¿cuántos kilómetros más corrió el martes?
154
3.3 Resta de números mixtos y fracciones, parte 1
Calcula el resultado de las siguientes restas y simplifícalo.

3 1 3 1
a. 3 4 – 2 b. 2 4 – 1 6
a. Homogeneizo las partes fraccionarias. b. Homogeneizo las partes fraccionarias.

El mcm de 4 y 2 es 4, por lo que solo debo cal- El mcm de 4 y 6 es 12, por lo que calculo las
cular la fracción equivalente de 12 con 4 como fracciones equivalentes con 12 como denomi-
denominador. nador.
×2 ×3 ×2
1 2 3 9 1 2
= 4 4
= 12 6
= 12
2
Carlos
×2 ×3 ×2
Así que: Así que:
3 1 3 2 3 1 9 2
3 4 – 2 =3 4 – 4 2 4 – 1 6 = 2 12 – 1 12
1 Resto la parte fraccionaria y 7 Resto las unidades y resto
=3 4 = 1 12
se mantienen las unidades. las partes fraccionarias.
3 1 1 3 1 7
R: 3 4 – 2 = 3 4 R: 2 4 – 1 6 = 1 12
Representación del literal b.
Unidad 10
1m 1m 1m 1m 1m
3 1
2 –1
4 6
1m 1m 1m 1m 1m
9 2
=2 –1
12 12
1m 1m 1m
7
=1
12
Para restar números mixtos:

① Resta los números naturales.
② Resta las partes fraccionarias ya homogeneizadas.
③ Simplifica el resultado de ser posible.

4 2 5 1 3 3 5 1 7 4
a. 3 5 – 2 3 b. 7 6 – 5 15 c. 4 5 – 1 20 d. 6 6 – 4 e. 8 10 – 15
2. Julia echó 8 34 galones de gasolina a su auto por la mañana. Si durante el día gastó 2 12 galones, ¿qué
cantidad de gasolina tiene?
155
3.4 Resta de números mixtos y fracciones, parte 2
Calcula el resultado de la siguiente resta y simplifica el resultado:

1 2
24 – 3
Homogeneizo las partes fraccionarias.

El mcm de 4 y 3 es 12, por lo que calculo las fracciones equivalentes con 12 como denominador.
×3 ×4
1 3 2 8
4
= 12 3
= 12
Ana
×3 ×4
Así que:
1 2
2 4 – 3 = 2 12 – 12
3 8 La parte fraccionaria del minuendo es menor que el sustraendo,
así que convierto una unidad del minuendo en fracción.
15 8
= 1 12 – 12 Resto las partes fraccionarias y se mantiene la unidad.
7
= 1 12
1m 1m 1m 1m
1 2
1 2 7 2 –
R: 2 4
– 3
= 1 12 4 3
1m 1m 1m 1m
3 8
=2 –
12 12
1m 1m 1m 1m
= 1 15 – 8
12 12
1m 1m 1m
7
=1
12
En la resta de números mixtos menos una fracción, si la parte fraccionaria del número mixto es menor
que el sustraendo, se convierte una unidad del número mixto en fracción.

3 4 1 5 1 5 1 3 2 3
a. 4 4 – 5 b. 2 3 – 6 c. 5 2 – 8 d. 3 6 – 10 e. 4 15 – 10
2. Ana compró 3 13 libras de azúcar para hacer un pastel, pero solo utilizó 45 de libra. ¿Cuántas libras de
azúcar le sobraron?
156
3.5 Resta de números mixtos
Antonio ordeña vacas, este día obtuvo 3 25 galones de leche. Si dejará 1 23 galones
para consumir en su casa y venderá el resto, ¿cuántos galones de leche vende-
rá?
2 2
PO: 3 5 – 1 3
Homogeneizo las partes fraccionarias.

El mcm de 5 y 3 es 15, por lo que calculo las fracciones equivalentes con 15 como denominador.
×3 ×5
2 6 2 10
5
= 15 3
= 15
Carmen
×3 ×5
Así que:
2 2 6 10 La parte fraccionaria del minuendo es menor que el sustraendo,
3 5 – 1 3 = 3 15 – 1 15
así que convierto una unidad del minuendo en fracción.
21 10
= 2 15 – 1 15 Resto las unidades y resto las partes fraccionarias.
11
= 1 15
Unidad 10
11
R: 1 15 galones.
Al restar números mixtos si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la parte fraccionaria del
sustraendo, se convierte una unidad del minuendo en fracción.
1. Encuentra el resultado de las siguientes restas expresándolo como un número mixto.

4 9 3 5 1 3 1 4 1 3
a. 5 7 – 4 14 b. 8 4 – 7 6 c. 4 4 – 1 10 d. 6 5 – 2 7 e. 7 4 – 3 5
1 3
2. Marta tenía 6 2 m de listón para decorar su salón y utilizó 5 4 m. ¿Qué cantidad de listón le sobró?
Describe el error en la siguiente operación y corrige:
1 1 1
43 –22 =26
157
1. Encuentra el resultado de las siguientes restas y simplifícalo.

7 5 5 7 15 7 9 2
a. 8 – 12 b. 6 – 10 c. 6 – 18 d. 5 – 3
3 1 2 1 1 3 1 4
e. 5 5 – 4 f. 2 3 – 1 6 g. 3 6 – 1 4 h. 6 15 – 3 5
2. Ana tiene 56 m de listón azul y 35 m de listón blanco. Si utiliza 38 m de listón azul y 14 m de listón blanco.
a. ¿Qué cantidad de listón azul le sobró?
b. ¿Qué cantidad de listón blanco le sobró?
3. Para pintar su casa José compró 5 12 galones de pintura y solo utilizó 2 45 galones. ¿Qué cantidad de
pintura no utilizó?
4. Carlos compró 5 12 libras de comida para su perrito y al final de la semana solo hay 1 34 libras. ¿Qué
cantidad comió el perrito?
5. Julia nadó 2 23 km el lunes en su práctica de natación y el martes 16 km menos que el lunes. ¿Cuántos
kilómetros nadó el martes?
1. Antonio hizo una pintura para su clase de Artística, utilizó un cuadrado

de 1 m de lado. Encuentra qué fracción pintó de azul.
1m
Puedes trazar otras líneas para dividir

el cuadrado en partes iguales.
1m
2. Marta realizó las siguientes restas, pero se le borraron algunos números. Ayúdale a encontrar los nú-
meros que se borraron.
3 1 5 3 1 3 7
a. 5 – 4 = 20 b. 5 7 – = 5 14 c. 3
– 4 = 3 12
158
4.1 Expresión de divisiones como fracciones
Reparte equitativamente los litros en los recipientes que se indica y escribe la división como fracción.
a. 3 litros de jugo en 5 botellas.
b. 2 litros de jugo en 3 picheles.
a. Divido cada litro en 5 partes iguales, cada b. Divido cada litro en 3 partes iguales, cada una
una representa 15 de litro. 1 litro es 5 veces representa 13 de litro. 1 litro es 3 veces 13 , así
15 , así que 3 litros es 15 veces 15 . que 2 litros es 6 veces 13 .
1l 1l 1l 1l 1l
José
1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
1
Para repartir 3 litros entre 5, reparto 15 veces Para repartir 2 litros en 3, reparto 6 veces 3
1 1 3 1 2
5
entre 5 que es igual a 3 veces 5 , es decir 5 . entre 3 que es igual a 2 veces 3 , es decir 3 .
Unidad 10
3 2
Por lo tanto, 3 ÷ 5 es igual a 5 . Por lo tanto, 2 ÷ 3 es igual a 3 .
La división de dos números puede ser En algunos casos resulta mejor expresar
expresada como una fracción, siendo el las divisiones como fracciones.
numerador igual al dividendo y el deno-
÷ = Por ejemplo: 2 ÷ 3 = 0.666...
minador igual al divisor. Pues se trata de una división inexacta.
¿ ué pasaría?
¿Cómo se expresa 5 ÷ 3 como fracción?
1l 1l 1l 1l 1l 1l 1l
5 2
R: 5 ÷ 3 =
3
=1 3
1. Representa las siguientes divisiones como fracciones en su mínima expresión.
a. 1 ÷ 3 = b. 4 ÷ 5 = c. 9 ÷ 4 = d. 7 ÷ 9 =
2. Representa las siguientes fracciones como divisiones.

7 9 11 8
a. 3 = ÷ b. 5 = ÷ c. 4 = ÷ d. 9 = ÷
159
4.2 Expresión de números naturales como fracciones
¿Cómo se pueden representar los siguientes números como fracción? Recuerda que puedes
a. 5 b. 3 representar una división
como una fracción.
a. Como 5 es igual a 5 ÷ 1 puedo expresar la b. Como 3 es igual a 3 ÷ 1 puedo expresar la

división como fracción. división como fracción.
5 3
5=5÷1= 1 3=3÷1= 1
Antonio
5 3
Por lo tanto, 5 = 1 Por lo tanto, 3 = 1
5 3
Como 1 es una fracción, puedo encontrar Como 1 es una fracción, puedo encontrar
fracciones equivalentes. fracciones equivalentes.
×4 ×4
×3 ×3
×2 ×2
5 10 15 20 3 6 9 12
5= = = 3 = ... 3= =
1 2
= 3 = 4 ...
1 2 4
×2 ×2
×3 ×3
×4 ×4
Observo que hay diferentes fracciones para Observo que hay diferentes fracciones para
representar el número 5. representar el número 3.
5 10 15 20 3 6 9 12
5= 1 5= 2 5= 3 5= 4 ... 3= 1 3= 2 3= 3 3= 4 ...
Un número natural se puede expresar como una fracción en su mínima expresión, que tendrá numera-
dor igual al número natural y denominador 1.
Para representar un número natural como una fracción con denominador diferente de 1:
① Expresa el número natural como una fracción en su mínima expresión.
② Determina fracciones equivalentes.
1. Expresa los siguientes números naturales como fracciones en su mínima expresión.

a. 6 = b. 10 = c. 11 = d. 9 =
2. Expresa los siguientes números naturales como fracciones con el denominador indicado.
a. 5 = b. 3 = c. 8 = d. 7 =
4 7 5 9
Mario estaba haciendo su tarea de Matemática que consiste en escribir números

naturales como fracciones. Accidentalmente borró el denominador de la fracción. 9 = 108
¿Cuál es el denominador que corresponde?
160
4.3 Expresión de números decimales como fracciones, parte 1
ecuerda 1
Responde: Recuerda que un décimo 10
1 también puede representarse
a. ¿Cuántas veces cabe 10 en 1? como 0.1.
b. ¿Cuántas veces cabe 0.1 en 1?
María tiene 0.7 m de cinta azul y 1.6 m de cinta verde.

a. ¿Cómo puedes expresar la longitud de la cinta azul como fracción?
b. ¿Cómo puedes expresar la longitud de la cinta verde como fracción?
a. 0.7 es 7 veces 0.1 b. 1.6 = 1 + 0.6, tengo 1 unidad y 6 décimas.

1 1
0.7 es 7 veces 10 Puedo expresar 0.6 como 6 veces 10 , es
1 6 Carlos
Ya que puedo representar 0.1 como 10 , decir 10 que equivalen a 35 .
7
entonces 0.7 es equivalente a 10 . Entonces 1.6 = 1 + 0.6 = 1 + 35 = 1 35 .
7
Por lo tanto, 1.6 m = 16 8 3
Por lo tanto, 0.7 m = 10 m. 10 m = 5 m = 1 5 m.
Represento en la recta 0.7 y 1.6 y ubico en la misma recta las fracciones correspondientes:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
Unidad 10
Julia
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 10 10 10 10 10 10 10 10 10
1 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 110 1 10 2
Observo que:
7 16 8 3
a. 0.7 m = 10 m b. 1.6 m = 10 m = 5 m = 1 5 m
• Un número decimal hasta las décimas menor que 1 se puede expresar como
fracción propia, colocando en el numerador el número de décimas y como de- 0. = 10
nominador el número 10 y se simplifica de ser necesario.
• Si el número decimal es mayor que 1 se puede expresar como número mixto, las
unidades del número decimal serán las unidades y la parte decimal se convierte . = 10
en la fracción propia aplicando el paso 1 y simplificando de ser necesario.
1. Expresa los siguientes números como fracción.
a. 0.3 = b. 0.4 = c. 0.5 = d. 0.9 =
2. Expresa los siguientes números como un número mixto.
a. 1.3 = b. 2.5 = c. 3.8 = d. 5.7 =
161
4.4 Expresión de números decimales como fracciones, parte 2
¿Cómo puedes expresar los siguientes decimales como fracciones?

a. 0.04 b. 2.34 c. 0.003 d. 1.105
1
Una centésima 0.01 también puede representarse como 100 .
1
Una milésima 0.001 también puede representarse como 1 000 .
1 4 1
a. En 0.04 hay 4 centésimas, es decir 4 veces 100 , entonces 0.04 = 100 = 25 .
b. 2.34 = 2 + 0.34 observo que hay 2 unidades y 34 décimas que puedo expresar como 34 veces Ana
1 34 34 17 17
100
, entonces, 2.34 = 2 + 100 = 2 100 = 2 50 . Por lo tanto, 2.34 = 2 50 .
1 3
c. En 0.003 hay 3 milésimas, es decir 3 veces 1, 000 , entonces 0.003 = 1, 000 .
1
d. 1.105 = 1 + 0.105 hay 1 unidad y 105 milésimas que puedo expresar como 105 veces 1, 000 , entonces,
105 105 21 21
1.105 = 1 + 1, 000 = 11, 000 = 1 200 . Por lo tanto, 1.105 = 1 200 .
• Caso 1: Un número decimal hasta las centésimas menor que 1 se

puede expresar como fracción propia, colocando como numerador
el número de centésimas y como denominador el número 100, sim-
0. = 100
plificando cuando sea posible.
• Caso 2: Un número decimal hasta las milésimas menor que 1 se
puede expresar como fracción, colocando como numerador el nú-
mero de milésimas y como denominador el número 1, 000, simpli- 0. = 1, 000
ficando cuando sea posible.
• Caso 3: Si el número es mayor que 1 se puede expresar como nú-
mero mixto, las unidades del número decimal serán las unidades
del número mixto y la parte decimal se convierte en fracción propia . = 1, 000
aplicando el caso 1 o el caso 2.
1. Expresa los siguientes números decimales como fracción.
a. 0.03 = b. 0.56 = c. 0.72 = d. 0.45 =
e. 0.005 = f. 0.012 = g. 0.106 = h. 0.235 =
2. Expresa los siguientes números decimales como un número mixto.
a. 2.06 = b. 3.15 = c. 3.004 = d. 7.129=
162
4.5 Expresión de fracciones como números decimales
¿Cómo puedes expresar las siguientes fracciones como números decimales?

1 1 3 2
a. 4 b. 3 c. 4 d. 3
1 1
a. La fracción 4 se puede expresar como la b. La fracción 3 se puede expresar como la
división 1 ÷ 4. Al realizar la división se obtiene división 1 ÷ 3. Al realizar la división se obtiene
que 1 ÷ 4 = 0.25. que 1 ÷ 3 = 0.333...
1 1
Por lo tanto, 4 = 0.25 Por lo tanto, 3 = 0.333... Julia
3 2
c. La fracción 4 se puede expresar como la d. La fracción 3 se puede expresar como la
división 3 ÷ 4. Al realizar la división se obtiene división 2 ÷ 3. Al realizar la división se obtiene
que 3 ÷ 4 = 0.75. que 2 ÷ 3 = 0.666...
3 2
Por lo tanto, 4 = 0.75 Por lo tanto, 3 = 0.666...
Unidad 10
Para expresar una fracción como un número decimal se efectúa la división del numerador entre el de-
nominador de la fracción.
¿ ué pasaría?
1
¿Cómo se expresa el número mixto 3 2 en número decimal?
Para convertir un número mixto a decimal, las unidades del número mixto serán las unidades del
número decimal y se convierte la parte fraccionaria a decimal.
1 1
3 2 = 3 + 2 = 3 + 0.5 = 3.5
1
Por lo tanto, 3 2 = 3.5
Expresa las siguientes fracciones como un número decimal:

1 3 5 4 5
a. 5 b. 10 c. 4 d. 3 e. 2 6
María posee un listón de 1 m y comienza a doblarlo para cortarlo en 8 partes iguales. ¿Cuántos metros
en decimales medirá cada parte?
163
4.6 Comparación de números decimales y fracciones
Compara los siguientes pares de números:

2 3 1
a. 5 y 0.75 b. 2 10 y 2.5 c. 3 5 y 2.7
3 1
a. Convierto 0.75 a fracción. b. Comparo 2 10 y 2.5, como las c. Al comparar 3 5 y 2.7,
75 unidades son iguales, solo
0.75 = 100 , al simplificar la observo las unidades
3
fracción se obtiene 4 . comparo la parte fraccionaria del número mixto y del
y la parte decimal, es decir, número decimal.
2 3 3
Homogeneizo 5 y 4 . comparo 10 y 0.5.
1
35 y 2.7
8 15 5
Ahora comparo 20
y 20
: Convierto 0.5 a fracción 0.5 = 10
3 5 Como 3 > 2 se tiene que:
8 15 Ahora comparo 10 y 10 :
< 20 1
20 3 5 > 2.5
José 3 5
2 3 10
< 10
5
< 4
2 3
Entonces: 5 < 0.75 10
< 0.5
También puedes convertir la fracción 3

Entonces: 2 10 < 2.5
a decimal y comparar números de-
cimales. Como 25 = 0.4, entonces se
compara 0.4 y 0.75.
Para comparar decimales con fracciones propias se convierte el número decimal a fracción y se compa-
ran las fracciones.
Para comparar números mixtos con decimales:

• Si las unidades son distintas solo se comparan estas.
• Si las unidades son iguales se compara la parte decimal y la parte fraccionaria del número mixto.
1. Coloca el signo <, > o = en el recuadro según corresponda.

3 4 1
a. 10 0.5 b. 5 0.6 c. 3 2 3.5
2 1 3
d. 2 5 2.5 e. 1 5 1.15 f. 2 5 3.8
1
2. Julia bebió 2.4 litros de agua el lunes y el martes bebió 2 2 litros de agua. ¿Qué día bebió más agua?
164
4.7 Cantidad de veces en fracciones
Julia tiene dos listones, uno de 50 cm de longitud y otro de 8 cm y Carlos tiene un listón cuya longitud es
20 cm. ¿Cuántas veces cabe el listón de Carlos en cada uno de los listones de Julia?
Comparo el listón de Julia de 50 cm con el de Comparo el listón de Julia de 8 cm con el de

Carlos que mide 20 cm. Carlos que mide 20 cm.
50 cm 8 cm
Carlos
20 cm 20 cm
0 1 2 0 1
PO: 50 ÷ 20 PO: 8 ÷ 20
Puedo expresar la división como fracción: Puedo expresar la división como fracción:
50 8
50 ÷ 20 = 20 8 ÷ 20 = 20
Simplifico la fracción: Simplifico la fracción:
50 5 1 8 2
= 2 =2 2 20
= 5
20
1 2
R: El listón de Carlos cabe 2 2 veces en el de Julia. R: El listón de Carlos cabe 5 veces en el de Julia.
Unidad 10
Para obtener la cantidad de veces que cabe un número en otro se utiliza la división.
Cantidad a
comparar
También se puede expresar como fracción.
cantidad a comparar
cantidad de veces = Cantidad
cantidad base
base
Cuando la división es inexacta se puede expresar

como fracción y simplificar de ser posible. 0 1 Cantidad
de veces
1. ¿Cuántas veces cabe la longitud de la cinta B en la longitud de la cinta A? Expresa como fracción.
a. 25 cm b. 6 cm
A A
7 cm 24 cm
B B
0 1 0 1
2. Un listón rojo mide 12 cm y un listón verde mide 36 cm. ¿Cuántas veces cabe la longitud del listón
verde en la longitud del listón rojo?
165
1. Completa los recuadros con los números que corresponden:
a. 9 ÷ 7 = b. 8 ÷ 5 = c. 4 ÷ 11 =
9 1 5
d. ÷ = 5 e. ÷ = 3 f. ÷ = 6
2. Escribe los siguientes números naturales como una fracción.

a. 2 b. 8 c. 16 d. 13
3. Escribe los siguientes números decimales como una fracción.

a. 0.24 b. 0.8 c. 0.123 d. 5.7
4. Escribe las siguientes fracciones como un número decimal.

1 4 3 1
a. 2 b. 5 c. 10 d. 3 2
5. Encierra las filas donde los números están ordenados de menor a mayor.
1 9 3
1.4 1 10 3.8 3 10 4.5 45
7 9 2
0.6 3.5 3.8 5 10 65
10
1 3 1
0.5 1 10 1.6 2.4 52
5
Cuando la división no es exacta puedes

expresar el cociente como fracción.
6. Resuelve:
a. Marta tiene 7 m de lazo y los cortará en 5 trozos iguales. ¿Cuánto medirá cada trozo?
b.
Julia reparte 9 litros de jugo a 11 niños equitativamente. ¿Cuántos litros de jugo le tocarán a cada
niño?
3
c.
Carlos bebe 2.8 litros de agua y su hermana bebe 2 5 litros el mismo día. ¿Quién bebió más agua?
d.
Se tiene un lazo verde de 28 m de largo y un lazo azul de 7 m de largo. ¿Cuántas veces cabe la lon-
gitud del lazo azul en la longitud del lazo verde?
e.
Se tienen 6 litros de jugo y 8 litros de agua, ¿cuántas veces se tiene la cantidad de jugo en compa-
ración con la cantidad de agua?
166
5.1 Suma y resta de fracciones
Calcula las siguientes operaciones.

1 1 1 7 1 1
a. 5 + 3 + 2 b. 2 9 – 6 – 4
a. Para realizar la suma puedo homogeneizar todas las fracciones.

El mcm de 5, 3 y 2 es 30, por lo que calculo las fracciones equivalentes con denominador 30.
×6 ×10 ×15
1 1 1
1 6 1 10 1 15 Las fracciones homogéneas de 5 , 3 y 2
5
= 30 3
= 30 2
= 30 6 10 15
son 30 , 30 y 30 , respectivamente.
Carmen ×6 ×10 ×15
Así que:
1 1 1 6 10 15
5
+ 3 + 2 = 30 + 30 + 30
31
= 30
1 1 1 1 1
= 1 30 R: 5 + 3 + 2 = 1 30
b. Homogeneizo las tres fracciones. El mcm de 9, 6 y 4 es 36, por lo que calculo las fracciones equivalen-
tes con denominador 36.
×4 ×6 ×9
Unidad 10
7 1 1
7 28 1 6 1 9 Las fracciones homogéneas de 9 , 6 y 4
9
= 36 6
= 36 4
= 36 28 6 9
son 36 , 36 y 36 , respectivamente.
×4 ×6 ×9
Así que:
7 1 1 28 6 9
2 9 – 6 – 4 = 2 36 – 36 – 36
22 9
= 2 36 – 36
13 7 1 1 13
= 2 36 R: 2 9 – 6 – 4 = 2 36
Para la resta
Para sumar tres fracciones heterogéneas: Para restar tres fracciones heterogéneas: no se aplica
la propiedad
① Homogeneiza las fracciones. ① Homogeneizar las fracciones. asociativa.
② Resuelve asociando de izquierda a ② Resuelve en orden de izquierda a
derecha o de derecha a izquierda. derecha.
1. Efectúa y simplifica los resultados.

5 3 5 1 2 5 2 1 1 6 1 1
a. 6 + 4 + 8 b. 6 + 9 + 12 c. 3 – 6 – 12 d. 5 7 – 2 – 14
2. Por la mañana Carlos bebió 38 de un litro de agua, al mediodía 23 de litro y por la noche 34 de litro, ¿qué
cantidad de agua bebió en todo el día?
167
5.2 Suma y resta combinada de fracciones
Julia tiene 3 58 litros de jugo, le regala 56 litros a Carlos y 34 litros a José. ¿Cuántos litros de jugo le quedan
a Julia?
5 5 3
PO: 3 8 − 6 + 4
Efectúo:
5 5 3 5 10 9 Primero se realiza la operación del paréntesis,
3 8 – 6 + 4 = 3 8 – 12 + 12
por lo que homogeneizo las fracciones 56 y 34 . Antonio
5 19
= 3 8 – 12 Realizo la suma del paréntesis.
5 7 Como la fracción resultante es impropia puedo

= 3 8 – 1 12
convertirla en un número mixto.
15 14
= 3 24 – 1 24 = 2 24
1 Efectúo la resta de números mixtos, para ello
homogeneizo las partes fraccionarias.
1
R: 2 24 litros.
Para realizar operaciones combinadas de suma y resta de fracciones con números mixtos:
① Realiza la operación que está dentro del paréntesis.
② Realiza las operaciones en orden de izquierda a derecha.
Recuerda homogeneizar cuando las fracciones a operar son heterogéneas.
¿ ué pasaría?
1 3 1
¿Cómo se efectúa la operación 3 2 + 2 4 – 5 ?
1 1 1 2 1 1
3 2 +2 4 – 5 =3 4 +2 4 – 5
3 1 15 4
= 5 4 – 5 = 5 20 – 20
11
= 5 20
1. Efectúa expresando el resultado en fracción propia o número mixto.

3 1 3 5 1 1 2 3 2 7 2 3
a. 5 4 – 6 + 8 b. 6 – 2 – 4 c. 2 3 + 1 5 – 15 d. 4 8 + 2 3 – 1 4
2. A Marta le encanta hornear postres, por lo que compra 5 lb de harina. El día lunes ocupó 2 23 lb en
elaborar una quesadilla y el martes 56 lb en un marquesote. ¿Qué cantidad de harina le quedó?
168
5.3 Suma y resta combinada de fracciones y números decimales
3
Carmen bebió 2 5 litros de agua el sábado y 1.25 litros de agua el domingo. ¿Qué cantidad de agua
bebió el fin de semana?
3
PO: 2 5 + 1.25
3
Convierto 1.25 a fracción. Convierto 2 5 a número decimal.
25 1
1.25 = 1 100 = 1 4 3 3
2 5 = 2 + 5 = 2 + 0.6 = 2.6
José Julia
Así que: Así que:
3 3 1 3
2 5 + 1.25 = 2 5 + 1 4 2 5 + 1.25 = 2.6 + 1.25
12
= 2 20 + 1 20
5 = 3.85
17 R: 3.85 litros.
= 3 20
3 17
20 equivale a 3.85.
17
R: 3 20 litros. Para verificarlo, puedes pasar el número
decimal a número mixto, o viceversa.
Para sumar o restar fracciones o números mixtos con números decimales:

① Convertir el número decimal a fracción o número mixto.
Unidad 10
② Realizar la resta o suma.
4
Ejemplo: 2 5 – 0.75
4 4 3
2 5 – 0.75 = 2 5 – 4 Se convierte el número decimal a fracción.
16 15 Se realiza la resta del número mixto con la fracción.

= 2 20 – 20
1
= 2 20
1. Calcula las siguientes operaciones y expresa el resultado como fracción o número mixto.
1 7 3
a. 1 12 + 0.25 b. 3 3 – 0.5 c. 1.8 – 10 d. 10 + 3.7
2. Calcula las siguientes operaciones y expresa el resultado como un número decimal.

a. 01 + 0.05 b. 035 – 0.3 c. 3.2 + 2 012 d. 2.42 + 1 025 7
e. 0.15 + 00
10
2
1.3 0.8
En las casillas en blanco deben ir fracciones de manera que al
1.2
sumar los números que están en cada columna, fila o diagonal
el resultado sea el mismo, encuentra las fracciones que faltan. 1.1
169
1. Calcula el resultado de las siguientes operaciones y simplifica los resultados.
2 5 7 1 1 1 2 1 2 3 1 2
a. 3 + 6 + 9 b. 2 – 4 – 6 c. 4 3 – 6 + 15 d. 2 4 – 2 + 3
2 5 1 3 5 3 1 1
e. 4 3 + 2 6 – 1 12 f. 4 + 1.75 g. 2 8 – 1.5 + 4 h. 4 3 – 0.8 – 2
2. Resuelve:
a. Carlos se está preparando para una competencia de atletismo, por la mañana corre 1 14 km, por la
2 3
tarde corre 3 km y por la noche 1 5 km. ¿Cuántos kilómetros corre en un día?
b. Julia compra 5 lb de azúcar, en la mañana utiliza 1 34 lb para hacer atol y en la tarde utiliza 2 56 lb
para preparar refresco, ¿qué cantidad de azúcar le queda al final del día?
c. Para preparar una quesadilla, Antonio compra 3 lb de queso, luego compra 1 12 lb más y utiliza so-
lamente 3 45 lb. ¿Qué cantidad de queso le sobró?
d. De 1 56 m de listón se utilizaron 1.7 m para decorar un regalo, ¿qué cantidad de listón no se utilizó?
Ana realizó una pintura en su clase de Artística, como se muestra en la siguiente figura:
1 1
m m
2 2
1 2
m 1
8 1 2 m
m 2
4 1 2
m
8
1m
1 m2 1
m
4
1 2 1 2 3
m m m2
4 16 16 1
m
4
1m 1m
a. ¿Qué fracción de área representan las regiones A, B y C juntas?
b. ¿Qué fracción de área representan las regiones C, E y D juntas?
c. Si a la región A le quitó una región igual a la región B y una región igual a la región F, ¿qué fracción
de área representará la nueva región verde?
170
11
Clasificación y construcción de prismas
• Clasificar un prisma según la forma de su base

en prismas rectangulares y prismas triangulares
• Identificar caras y aristas paralelas o
perpendiculares en un prisma rectangular
• Construir e identificar figuras que representan el
patrón de un cubo, prisma rectangular o prisma
triangular
• Completar patrones de un cubo
1.1 Características y clasificación de los prismas
ecuerda
¿Cuáles son los elementos del siguiente prisma? b.
a. c.
Considera los siguientes cuerpos geométricos y responde para cada uno de los prismas:
a. ¿Qué característica y relación tienen las bases?

b. ¿Qué figuras son las caras laterales?
a. Las bases son polígonos: triángulo, cuadrilátero y pentágono. En cada uno se cumple que las bases
son paralelas y también iguales.
b. Las caras laterales están formadas por rectángulos.
José
Los cuerpos geométricos como los de la ilustración se llaman prismas.

Un cuerpo geométrico se denomina prisma si cumple que sus caras
laterales son rectángulos o cuadrados.
Los prismas se clasifican según la forma de sus bases, así:
Forma de las bases Clasificación

triángulo prisma triangular
cuadrilátero prisma cuadrangular Dentro de los prismas cuadrangulares
están los prismas rectangulares y el cubo.
pentágono prisma pentagonal
esuelve
1. Considera prismas como los de Analiza y responde:
¿De qué manera se interseca la cara lateral y la base?
2. Completa la tabla y responde:

a. ¿Cuál es la relación entre el número de vértices y el número de caras laterales?
b. ¿Cuál es la relación entre el número de aristas y el número de caras laterales?
Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal

n. de cara lateral
°
n.° de vértices
n.° de aristas
172
1.2 Perpendicularidad y paralelismo de las caras en un prisma rectangular
ecuerda
Identifica cuáles pares de rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares. Usa las escuadras.
a. b. c.
Observa las siguientes figuras y responde:
figura 1 figura 2
c
b
a a
a. En la figura 1 : ¿cómo cruza la cara a con la cara b ?
b. En la figura 2 : ¿qué relación tiene la cara a con la cara c ?
a. b.
c 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
Antonio
3
4
10
5
9
6
8
10
b
7
9
b
6
8
5
7
4
a a
3
5
2
4
1
3
6 5 4 3 2 1
2
1
6 5 4 3 2 1
Coloco la escuadra y observo que la cara a y Como la cara a es perpendicular a la cara b y la

b se cruzan perpendicularmente. Así, la cara cara c perpendicular a la cara b la cara c es
a es perpendicular a la cara b . paralela a la cara a .
Unidad 11
En un prisma rectangular:
• Las caras que se intersecan son perpendiculares.
• Las caras opuestas son caras paralelas.
esuelve
Para el siguiente prisma, responde:
a. ¿Cuántas caras son perpendiculares a a ?
b
b. ¿Qué cara es paralela a a ?
c e d
c. ¿Cuántos pares de caras paralelas tiene un prisma rectangular?
a
173
1.3 Perpendicularidad y paralelismo de las aristas en un prisma rectangular
Observa las siguientes figuras y contesta:
1 2 3
a. En la figura 1 : ¿cómo se cruza la arista roja con la arista verde?

b. En la figura 2 : ¿qué relación tiene la arista roja con la arista verde?
c. En la figura 3 : ¿cómo se cruza la arista roja con la cara sombreada?
1 2 3
Julia
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
4 5 6 7 8 9 10
1
1 2 3 7 9 10
4 5 6 8
1
1 2 3
01
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
6
2
2
4
1
1
1
6 5 4 3 2 1
La arista verde es perpendicular La arista roja es paralela a la La arista roja es perpendicular

a la arista roja, pues entre ellas arista verde, ya que hay una a la cara sombreada, ya que
se forma un ángulo de 90°. arista perpendicular a ambas es perpendicular a dos aristas
y está en la misma cara. de esa cara.
En un prisma rectangular se tienen:

• Aristas perpendiculares: si entre ellas existe un ángulo de 90°.
• Aristas paralelas: si corresponden a caras paralelas del prisma o si son aristas opuestas en una misma
cara del prisma.
• Arista perpendicular a una cara: si es perpendicular a alguna de las aristas que forman la cara.
esuelve
Responde:
D C
A B a. ¿Cuáles aristas son perpendiculares a la arista BF?

b. ¿Cuáles aristas son paralelas a la arista BF?
H G c. Además de la arista BF, ¿qué aristas son
perpendiculares a la cara sombreada?
E F
174
1.4 Dibujo de prismas rectangulares y cubos
¿Cómo se dibuja un prisma rectangular?
① Dibujo un rectángulo ② Dibujo las aristas que se ob- ③ Dibujo las aristas que no se
que corresponde a la servan desde el frente, te- pueden ver utilizando líneas
cara de enfrente. niendo cuidado de dibujarlas punteadas y observo que las
paralelas y de igual longitud. caras opuestas deben ser
iguales.
Carmen
Para dibujar un prisma rectangular:

① Se dibuja un rectángulo que corresponde a la cara de enfrente del prisma.
② Se dibujan las aristas que se observan desde el frente, teniendo cuidado de colocar paralelas e
iguales aquellas que lo son.
③ Se dibujan las aristas que no se pueden ver utilizando líneas punteadas, teniendo en cuenta que las
caras opuestas deben ser iguales.
Unidad 11
esuelve
Dibuja un prisma rectangular y un cubo completando las figuras que se muestran a continuación:
a. b.
Para dibujar un cubo se
siguen los mismos pasos
descritos para un prisma
rectangular.
Dibuja el prisma rectangular completando la

figura que se te proporciona:
175
1.5 Desarrollo plano de prismas rectangulares
¿Cómo construir un prisma rectangular con papel?, ¿de cuáles aristas se

debe conocer la medida?
El tamaño de un prisma rectangular se determina por la longitud de las tres aristas: el ancho, largo y alto.
Para construir un prisma rectangular:
Teniendo una figura como la proporcionada en la Julia

cuadrícula, puedo construir un prisma.
ancho
alto
largo
La figura que está formada por rectángulos y/o cuadrados, con la cual se puede
formar un prisma rectangular o cubo se llama desarrollo plano.
Una forma de obtener el desarrollo plano de prismas o cubos es cortar algunas de
sus aristas y extenderlo.
Conociendo el largo, ancho y alto se puede construir un prisma rectangular.
En el desarrollo plano de un prisma

deja pestañas para que puedas pegar Pestañas
y formarlo.
esuelve
A continuación se presenta un prisma y su desarrollo plano. Dibújalo, recórtalo y construye el prisma
rectangular.
6 cm
6 cm
4 cm
8 cm 4 cm 8 cm
Construye otro desarrollo plano del prisma diferente al del ejemplo.
176
1.6 Desarrollo plano de cubos
ecuerda
¿Cuáles de las siguientes figuras son cubos?
a. b. c. d.
Marta tiene una caja en forma de cubo como la que se muestra y corta algunas aristas para obtener el
desarrollo plano de un cubo. ¿Qué características tiene?
Corto por las aristas: Desdoblo:

Como en un cubo todas las caras
son iguales, las aristas también. Así
obtengo: ancho = alto = largo. Carlos
Obtengo el desarrollo plano:

Todas las caras son cuadradas.
Solo necesito conocer la longi-
tud de una arista.
Unidad 11
• El desarrollo plano de un cubo está compuesto por 6 caras iguales.
• Para dibujar el desarrollo palno de un cubo solo se necesita conocer el tamaño de una arista.
esuelve
A continuación se muestra el desarrollo plano de un cubo de arista 5 cm.
Dibújalo, recorta y construye el

cubo.
5 cm
Recuerda incluir en tu desarrollo plano
las pestañas para poder armar el cubo.
177
1.7 Diferentes desarrollos planos de un cubo
Observa el siguiente cubo y dibuja un desarrollo plano diferente a los de la

clase anterior.
Comprueba que el desarrollo plano que dibujaste es correcto formando el
cubo.
5 cm
Dibujo el desarrollo plano y compruebo formando el cubo.
Ana
Dibujo el desarrollo plano y compruebo formando el cubo.
Existen 11 desarrollos planos diferentes para un cubo y se muestran a continuación:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11
esuelve
De los 11 desarrollos planos del cubo construye algunos diferentes a 1 .
178
1.8 Análisis del desarrollo plano de cubos
1. A continuación se muestra parte del desarrollo plano. 2. Observa el siguiente desarrollo plano.
? A
B C D
E
a. ¿Cuántas caras le faltan?
b. Completa para que sea el desarrollo plano de un cubo. ¿Cuál es la cara opuesta a la cara sombreada?
1. Observo el dibujo:
a. Como el desarrollo plano de un cubo está compuesto por 6 caras iguales, falta una cara.
b. Hay muchos lugares donde puedo colocar la cara faltante como los que se muestran:
Antonio
2. Observo e imagino la construcción del cubo.
A
La cara opuesta es la cara C.
B C D
E
• Cuando se tiene el desarrollo plano de un cubo incompleto se debe tomar en consideración el número
de caras que faltan y la posición de dichas caras.
• En el desarrollo plano no puede haber 5 caras consecutivas.
• Las caras opuestas no son consecutivas, sino paralelas.
Unidad 11
esuelve
1. A continuación se presenta el desarrollo plano de un cubo incompleto. ¿Cuál de las siguientes figuras
representa el desarrollo plano completo?
1 2 3
2. En cada caso identifica cuál es la cara opuesta a la cara sombreada.

a. b. c. d.
A L K
R S T
E D B H G F O M
P Q
C J I N
179
1.9 Desarrollo plano de prismas triangulares
ecuerda
Observa el prisma triangular y escribe el nombre de
cada uno de los elementos señalados.
b.
a.
Observa el siguiente prisma triangular, ¿cómo puede

hacerse su desarrollo plano?
10 cm
m
5c
5c
m
5 cm
Para dibujar el desarrollo plano de un prisma triangular:

① Dibujo 3 rectángulos que corresponden a la superficie lateral.
② Utilizando el compás, dibujo 2 triángulos que corresponden a la base,
en este caso son triángulos equiláteros.
10 cm
Carmen
5 cm
5 cm 5 cm
El desarrollo plano de un prisma triangular se forma con 3 rectángulos que son las caras laterales y 2
triángulos iguales que son las bases.
esuelve
Dibuja el desarrollo plano presentado en la solución y construye el prisma triangular.
Dibuja el desarrollo plano para el siguiente prisma triangular. Puedes verificar que es el correcto constru-
yéndolo.
8 cm
6c
m
4 cm
6 cm
180
1. Dibuja un prisma rectangular completando la figura que se muestra a continuación:
2. Para el siguiente prisma rectangular determina:
D E a. ¿Qué aristas son perpendiculares a la cara coloreada?
C F b. ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista FG?
A H c. ¿Qué aristas son paralelas a la arista EH?
B G
3. Para el siguiente cubo determina:
a. ¿Qué cara es paralela a la cara 1?
b. ¿Qué caras son perpendiculares a la cara 3?
4. Ana quiere construir un cubo de papel para usarlo como dado y jugar con él. Los dados tienen la ca- Unidad 11
racterística que las caras opuestas suman 7. ¿Cómo será el desarrollo plano para poder construir el
dado?
181
5. A continuación se presenta el desarrollo plano incompleto de un cubo, ¿cuál de las siguientes figuras
representa el desarrollo plano completo?
patrón 1 2
6. En cada caso, identifica cuál es la cara opuesta a la cara sombreada.

a. b.
A G H
B C D F I
E J
7. Al armar el siguiente desarrollo plano del prisma triangular determina:
A
a. ¿Qué vértices coincidirán con el vértice H?
C B J I b. ¿Qué arista coincidirán con la arista AB?
D E G H
182
Cantidad desconocida

12
• Encontrar la cantidad desconocida en sumas y
restas de números decimales y fracciones
• Encontrar la cantidad desconocida en
multiplicaciones y divisiones de números
decimales
1.1 Repaso de las cantidades desconocidas en la suma y resta
Encuentra el valor que debe ir en cada recuadro.

a. 9 + = 16 b. – 3 = 5 c. 7 – =4
a. Realizo una gráfica de cinta. Para encontrar un sumando desconocido, realizo la

resta del total menos el sumando conocido.
16
9+ = 16
José
9 = 16 – 9
=7
b. Realizo una gráfica de cintas y Para encontrar el minuendo, realizo la suma del
encierro el sustraendo. sustraendo y la diferencia.
–3=5
=5+3
3 5 =8
c. Realizo una gráfica de cintas y Para encontrar el sustraendo, realizo la resta del
encierro el sustraendo. minuendo menos la diferencia.
7
7– =4
=7–4
4
=3
En una operación de suma:

• Para encontrar un sumando desconocido se efectúa la resta del total menos el sumando conocido.
sumando desconocido = total – sumando conocido
En una operación de resta:

• Para encontrar el minuendo se realiza la • Para encontrar el sustraendo se realiza la
suma de la diferencia más el sustraendo. resta del minuendo menos la diferencia.
minuendo = sustraendo + diferencia sustraendo = minuendo – diferencia
esuelve
Encuentra el valor que debe ir en cada recuadro:
a. 8 + = 17 b. – 9 = 2 c. 5 + = 15 d. 10 – =7
e. + 7 = 20 f. 14 – = 10 g. + 7 = 28 h. – 3 = 11
184
1.2 Cantidad desconocida en la suma y resta de números decimales y fracciones
1. Julia tiene una bolsa de arroz que pesa 2.8 lb y una bolsa de maíz, juntas pesan 4.5 lb.
a. Expresa la situación en un PO de suma.
b. ¿Cuál es el peso de la bolsa de maíz?
4 2
2. Carlos tiene 3 5 l de jugo, le regala cierta cantidad de jugo a su hermano y solo le quedan 1 5 l.
a. Expresa la situación en un PO de resta.
b. ¿Qué cantidad de jugo regaló a su hermano?
1a. Realizo una gráfica de cinta. 1b. Para encontrar un sumando desconocido, realizo una
4.5 resta del resultado menos el otro sumando.
2.8 + = 4.5
2.8 Carmen
= 4.5 – 2.8
= 1.7 R: 1.7 lb.
PO: 2.8 + = 4.5
2a. Realizo una gráfica de cinta. 2b. Para encontrar el sustraendo realizo una resta del
4
minuendo menos la diferencia.
3 4 2
5 35 – =15
4 2
2 =35 –15
1
5 2 2
=25 R: 2 5 l
4 2
PO: 3 5 – =15
¿ ué pasaría?
Para encontrar el valor desconocido en una suma Encuentra el valor que debe ir en el recuadro.
o resta de números decimales y fraccciones, se 3 3
– 3 =14 – 3 =14
utiliza el mismo proceso que para encontrar
3
un valor desconocido en una suma o resta de =14 +3
números naturales.
1
3 =43
3 4
4
esuelve
1. Encuentra el valor que debe ir en cada recuadro.
1 2 1 1 3 1 1 4
a. 6 + = 3 b. + 2 3 = 3 2 c. 4 – =6 d. – 3 = 15 e. − 6.8 = 5.2 Unidad 12
3
2. Marta compró 2 lb de harina, en su casa tenía cierta cantidad y al unirlas tiene 3 5 lb.
a. Expresa la situación con una gráfica de cintas. Utiliza .
b. Expresa la situación en un PO de suma. Utiliza .
c. ¿Qué cantidad de harina tenía Marta en su casa?
3. Carlos tenía 5.8 l de pintura, utilizó cierta cantidad y le sobraron 1.5 l.

a. Expresa la situación con una gráfica de cintas. Utiliza .
b. Expresa la situación en un PO de resta. Utiliza .
c. ¿Qué cantidad de pintura utilizó?
185
1.3 Cantidades desconocidas en la multiplicación
ecuerda
Encuentra el valor que debe ir en el recuadro.
a. 5 × = 10 b. 27 = ×9
10 27
0 1 (veces) 0 1 9 (veces)
Para encontrar un factor desconocido en una multiplicación,

se realiza la división del producto entre el factor conocido.
1. Julia compró cierta cantidad de libras de queso y 2. Miguel lleva 6 varillas de hierro y cada una pesa
en total gastó $6.90. Cada libra tenía un precio de la misma cantidad de libras. En total lleva un
$2.30. peso de 16.8 lb.
a. Expresa la situación en un PO de multiplicación. a. Expresa la situación en un PO de multiplica-
Utiliza . ción. Utiliza .
b. ¿Cuántas libras de queso compró? b. ¿Cuánto pesa cada varilla?
1a. Expreso la situación como una multiplicación. 2a. Expreso la situación como una multiplicación.
PO: 2.3 × = 6.9 PO: × 6 = 16.8
Realizo una gráfica de cinta. Realizo una gráfica de cinta.
6.9 16.8
Carlos 2.3
0 1 (veces) 0 1 6 (veces)
1b. Debo encontrar uno de los factores, así, 2b. Debo encontrar uno de los factores, así,
divido el producto entre el factor conocido. divido el producto entre el factor conocido.
= 6.9 ÷ 2.3 = 16.8 ÷ 6
=3 = 2.8
Compruebo: 2.8 × 6 = 16.8
Compruebo: 2.3 × 3 = 6.9 R: 3 lb. R: 2.8 lb.
Para encontrar uno de los factores en la multiplicación de números decimales se debe dividir el producto
entre el factor conocido.
esuelve
Encuentra el valor que debe ir en cada recuadro.
a. 2 × = 4.6 b. 1.5 × = 2.7 c. × 2.1 = 8.4 d. × 1.4 = 3.5
e. 1.5 × = 4.5 f. 4 × = 1.6 g. × 2.5 = 0.5 h. × 1.5 = 1.8

186
1.4 Cantidades desconocidas en la división
1. Antonio tiene un trozo de madera de ciertos metros de largo, si lo corta en pedazos de 1.2 m de largo
obtendrá 5 pedazos. ¿Cuánto mide el trozo de madera?
a. Expresa la situación en un PO de división.
b. Encuentra la medida del trozo de madera.
2. Ana tiene una caja de leche de 4.8 l que reparte de manera equitativa en vasos, colocando cierta can-
tidad en cada uno, utilizando 4 vasos. ¿Cuánta leche coloca en cada vaso?
a. Expresa la situación en un PO de división.
b. Encuentra la cantidad de leche que se colocó en cada vaso.
1a. Represento la situación como división: 2a. Represento la situación como división:
PO: ÷ 1.2 = 5 PO: 4.8 ÷ = 4
4.8
Julia
1.2
0 1 5 (veces) 0 1 4 (veces)
1b. El dividendo es el valor desconocido, puedo 2b. El divisor es el valor desconocido, si divido la
encontrar el largo de la madera multiplicando cantidad de litros de leche entre el número de
el largo de cada pedazo por el número de pe- vasos puedo encontrar la cantidad de leche
dazos, entonces: que hay en cada uno, entonces:
÷ 1.2 = 5 4.8 ÷ =4
= 1.2 × 5 = 4.8 ÷ 4
= 6 R: 6 m. = 1.2 R: 1.2 l.
Compruebo sustituyendo y efectuando la división: Compruebo sustituyendo y efectuando la división:

6 ÷ 1.2 = 5 4.8 ÷ 1.2 = 4
• En una división, para encontrar el dividendo se multiplica el divisor por el cociente.

• En una división, para encontrar el divisor se divide el dividendo entre el cociente.
esuelve
Unidad 12

a. ÷ 5 = 6 b. 12 ÷ = 2 c. ÷ 3 = 5 d. 10 ÷ =5
e. 2.7 ÷ = 9 f. ÷ 4 = 6.2 g. 3.5 ÷ = 7 h. ÷ 6.5 = 7
2. Mario tiene $7.50 y los reparte de manera equitativa a sus 5 sobrinos.

a. Expresa la situación en un PO de división. Utiliza .
b. Encuentra la cantidad de dinero que le dio a cada sobrino.
187
3 5
+7= 7
1.3 + = 2.9 – 2.3 = 5.7
5 4
9
– =9
÷ 2.5 = 6 × 1.6 = 3.2

3.3 ÷ = 2.2 3.5 × = 8.4
1 2
2. Ana tiene 2 3 l de jugo, su hermana le regala cierta cantidad de jugo y ahora ella tiene 3 3 .
a. Expresa la situación en un PO de suma. Utiliza .
b. ¿Qué cantidad de jugo le regaló su hermana?
3. Antonio tenía 4.7 m de listón, utilizó cierta cantidad y le sobraron 2.1 m.

a. Expresa la situación en un PO de resta. Utiliza .
b. ¿Qué cantidad de listón utilizó?

4. Marta compró 2 lb de pollo a cierto precio la libra y gastó $3.20.
a. Expresa la situación en un PO de multiplicación. Utiliza .
b. ¿Cuánto dinero le costó cada libra de pollo?
5. Carlos consume cierta cantidad de agua al día repartida en sus 2 botellas, cada una de 1.8 l.
a. Expresa la situación en un PO de división. Utiliza .
b. ¿Qué cantidad de agua consume al día Carlos?
Observa la balanza, cada pelota celeste pesa 1 kg y cada pelota roja pesa 5 kg.
a. Expresa esta situación como suma.
b. Encuentra el peso de la bolsa para lograr el equilibrio de la balanza.
188
U5, 3.2, 2 U3, 1.1, 7
0 ( )
0 ( ) U3, 2.11, 1 - 2
U5, 3.3, 2
0 ( )
0 ( )
U5, 3.3, 2
0 ( )
0 ( )
U5, 3.4, a - c
0 ( )
0 ( )
0 ( )
0 ( )
U3, 2.13,
0 ( )
0 ( )
U5, 3.5, 2
U5, 1.1, 6
Recortables
0 ( )
0 ( )
U5, 3.1, 2
0 ( ) 0 ( )
189
0
( )
( )
0 1
U6, 1.7, 2
0
( )
0 ( )
( ) U5, 3.6, 2
0 1
0
( )
( )
0 1
U10, 4.7, 2
0 ( )
0 ( )
U12, 1.2, 2a y 3a
0 ( )
0 ( )
U12, 1.4, 2 U6, 1.4, 2
0
( )
( )
0 1
0
0 ( ) ( )
U12, 1.5, 2 - 4 ( )
0 1
U6, 1.5, 2
0
( )
( ) ( )
0 0 1
0
( )
( )
0 1
U6, 1.6, 2
0 ( )
0
Recortables
( )
( )
0 1
0
( )
0 ( )
( )
0 1
U6, 1.7, 2
0
( )
( )
0 ( ) 0 1
191
5

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5

Wilfredo Alexander Granados Paz

Edgard Ernesto Abrego Cruz

Janet Lorena Serrano de López

Gustavo Antonio Cerros Urrutia

Félix Abraham Guevara Menjívar

Equipo técnico autoral del Ministerio de Educación

Como Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (MINEDUCYT) a través del Proyecto de

José Mauricio Pineda Rodríguez Ricardo Cardona A.

Secciones de cada clase

Plantea un problema para Destaca los aspectos más

Presenta problemas similares al de la Proporciona datos curiosos relacionados

Soy una tortuga

Unidad 4 Lección 2: Suma de fracciones heterogéneas ....... 146

Lección 1: Gráfica de líneas ........................................ 62 Lección 4: Expresión de fracciones como números

Lección 2: División de números decimales entre Unidad 12

En esta unidad aprenderás a

• Identificar cuándo un número es divisible por otro

2. Encuentra el número que debe ir en el recuadro:

3. Completa utilizando las tablas de multiplicar:

El representa cualquier número natural. Encuen-

b. ¿Qué características poseen los números del lado izquierdo?

Los números naturales se dividen en 2 tipos:

2. Al juego se le han borrado algunos números. 3 7 9

¿Puede un número natural ser par e impar a la vez?

La profesora Matilde escribió los números que se muestran.

b. Selecciono 32 y lo divido entre 2. d. Selecciono 45 y lo divido entre 2.

1. ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 2?

2. Escribe un número de tres cifras que sea divisible por 2.

3. En una cancha hay 18 niñas que quieren jugar fútbol y de-

a. ¿Qué números son divisibles por 3? Recuerda que un número es divisible

d. Para el caso del número 29 obtengo que:

Un número es divisible por: Un número es divisible por:

1. Escribe cuáles de los siguientes números son divisibles por 3:

2. Escribe cuáles de los siguientes números son divisibles por 5:

3. Escribe cuáles de los siguientes números son divisibles por 10:

1. Escribe un número que sea divisible por 3 y por 5.

En una panadería se vende el pan en paquetes de la siguiente manera:

a. Carmen compró semitas, ¿qué cantidades pudo comprar?

R: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (semitas) R: 4, 8, 12, 16, 20, 24... (quesadillas)

• El número es múltiplo de , si es el resultado de multiplicar por un número natural , es

• El cero es múltiplo de cualquier número, ya que 0 × = 0; donde es cualquier número natural.

1. Escribe 5 múltiplos para cada uno de los siguientes números.

2. En el supermercado cada caja contiene 6 jugos.

juiolpñswe fhg juiolpñswe fhg juiolpñswe fhg

Cuántos jugos se tendrán si se compra:

qwerrtt 87659 qwerrtt 87659 qwerrtt 87659

a. 1 caja b. 2 cajas c. 3 cajas d. 4 cajas e. 5 cajas g

juiolpñswe fhg juiolpñswe fhg juiolpñswe fhg

3. ¿Cuál es el menor múltiplo (diferente de 0) de un número? jkdkdk jdjjfjg gggg

Observo las tablas de la clase anterior e identifico las cantidades comunes.

n.° de paquetes 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

n.° de quesadillas 4 8 12 16 20 24 28 32 ...

12 y 24 no son las únicas cantidades comunes,

Los múltiplos de números que coinciden se llaman múltiplos comunes.

Ejemplo: Determina los múltiplos comunes de 4 y 5.

② Los múltiplos comunes de 4 y 5 son 20, 40, 60...

1. A continuación se muestra una lista de múltiplos de 4 y 6. Escribe cuatro múltiplos comunes.

2. Encuentra 3 múltiplos comunes de los siguientes números: