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Solucionario Matemática - Admision UNI 2011-2 - Trilce
Solucionario Matemática - Admision UNI 2011-2 - Trilce
Solucionario Matemática - Admision UNI 2011-2 - Trilce
MATEMTICA PARTE 1
01. El nmero N = 3 b .5a (con a $ 1) tiene tres divisores ms que M = 2a .53 . Determine la suma de las inversas de los divisores de M. A) 1,564 B) 1,852 C) 2,184 02. Determine la cantidad de fracciones propias a irreductibles que estn comprendidas entre 9/33 y 45/47 tales que la suma de sus trminos sea 90. A) 3 B) 4 C) 5 03. Sea: 2.ab + 6.ab + 12.ab + 20.ab + ... + 72.ab un nmero natural, cuya cantidad de divisores es impar. Cuntos valores puede tomar ab ? A) 1 B) 2 C) 3 04. El mnimo comn mltiplo de dos nmeros distintos es al mximo comn divisor de ellos como 35 es a 1. Si el nmero mayor es 3017, determine la suma de las cifras del nmero menor. A) 12 B) 13 C) 14 05. Sean los conjuntos: A = " x d R/ x - x # M , D) 5 E) 16 D) 4 E) 5 D) 6 E) 7 D) 1,248 E) 1,384
A) M d " 0 , B) M d 8 - 1 , 1 B C) M d 6 - 1, 1@
D) M d 60, 3 E) M g - 3, 3
2 2
06. Dadas las siguientes proposiciones: I. Si existe n d N tal que n2 < 0 , entonces existe n d N tal que n-3=0 II. Si para todo x d R se tiene x2 $ 0 , entonces existe x d - 1, 1 tal que e x < 0" III. Si existe n d N tal que n2 < 0 , entonces existe x d R tal que
e x < 0"
Indique la secuencia correcta despus de determinar si es verdadera (V) o falsa (F). A) V V V B) V F V C) F V V 07. Halle el conjunto solucin del sistema de inecuaciones: 1+x+2 x $ 1- x $ 0 A) 60, + 3 C) 0, 1 08. Sean las funciones: f(x) = 4 x - 8 - 64 - x2 g(x) = (x3) sgn (x) donde sgn es la funcin signo. Luego, el nmero de elementos de "^x, f (g (x)hh, es: D) 60, 1@ D) V V F E) F F F
B) 0, + 3
E) 61, + 3
09. Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales cuya grfica se muestra a continuacin. Y
1 4 k A = >1 k 4 H 1 k k
Determine el conjunto de valores de k para que A sea invertible
A) k d R \{0} B) k d R C) k d R \{4}
D) k= 4 E) k= 0
Indique la sucesin correcta despus de verificar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. p(x) tiene grado 3. II. p(x) tiene solo 2 races complejas. III. Existe c ! R tal que p(x+c) no tiene races complejas. A) VVV B) VVF C) VFF 10. Al dividir un polinomio p(x) entre x4-1 se obtuvo como residuo 3x3 + nx2 + mx - 2 ; si adems se sabe que, el resto de dividir p(x) entre (x2 - 1) es 5x - 4, entonces el valor de mn es: A) -4 B) -2 C) 1 2 D) 1 4 E) 4 D) FFV E) FFF
'
z - 3i = 2 y - x2 = 1
donde z= x + iy es un nmero complejo, la suma de las ordenadas de los puntos solucin es: A) 9 B) 8 C) 7 15. Sea S={(x,y)/ a1x + b1y # C1, a2x + b2y # C2, x $ 0, y $ 0} La regin admisible de un problema de programacin lineal. Indique la secuencia correcta despus de determinar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F) I. Si se modifica S, obtenindose S1={(x,y)/ a1x + b1y # C1, a2x + b2y # C2, a3x + b3y # C3, x $ 0, y $ 0}, la solucin no cambia, en un problema de maximizacin. II. Si f(x,y) es la funcin objetivo, y (x0, y0) es la solucin en S y (x1, y1) es la solucin en S1 entonces, en un problema de minimizacin se tendr f(x0, y0) # f(x1, y1). D) 6 E) 5
11. Halle el valor de x en la siguiente ecuacin log x logx - log x - 6 = 0 D como respuesta la suma de las soluciones. A) 10,01 B) 99,99 C) 100,01 D) 999,99 E) 1000,01
12. Halle el valor de 1 1 1 M= + + + 1 - 1, 1 + log3 (10e) 1 + Ln (30) 1 + log (3e) log3 (e) donde e es la base de logaritmo neperiano. log (3) 10 Ln (3) 10
16. Sea una sucesin de rectngulos R1, R2, ..., Rk... donde el ksimo rectngulo tiene lado 1 y
B)
E) 1
A) 1 B) 11 18 C) 7 6
D) 1
Ln (3) C) 3
3 1 E) 6
PROHIBIDA SU VENTA
A)
D) Ln (3)
17. Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado: I. II. Existen 8 numeros de 3 cifras tales que al ser divididos entre 37 dan un residuo igual a la cuarta parte del cociente. Sean a,b d N ; si (a+x)(bx)= ab, entonces se tiene que x= 0.
A) 4 3 B) 2 13 C) 3 6
D) 6 2 E) 4 6
22. Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O' respectivamente, son tangentes exteriormente en T. Desde O se traza una tangente a
18. Qu cantidad de desinfectante (en litros) al 80% se debe mezclar con 80 litros del mismo desinfectante al 50% para obtener un desinfectante al 60%? Indique adems el porcentaje de desinfectante al 50% en la solucin final. A) 40 y 33,33% B) 40 y 66,67% C) 60 y 33,33% 19. Un empresario firma una letra por S/. 48 000 a ser pagada en 8 meses al 7% de descuento anual. Luego de transcurridos 3 meses decide cancelar la letra, pues debe viajar para radicar en Australia. Calcule la diferencia entre la cantidad que recibi y cancel el empresario en nuevos soles, sabiendo que el acreedor cede un bono del 0,2% sobre el valor nominal, si se cancela al final. A) 740 B) 742 C) 744 D) 746 E) 748 D) 60 y 66,67% E) 66,67 y 60%
D) 2 E) 3
B) 2 2 + 2 17
D) 3 2 + 3 17
C) 3 2 + 17
20. Sean A = 1a1 4 , B = 1101a y C = 1a24a5 Determine la suma de las cifras de C en base decimal. A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15
24. En una circunferencia de 10 cm de radio, dos cuerdas se cortan de manera que el producto de los segmentos que cada una determina sobre s es 1296 cm 4 . Determine a qu distancia (en cm) del centro, se halla el punto de interseccin. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
MATEMTICA PARTE 2
21. En la figura ABCDE ... es un polgono regular cuyo lado mide 2 cm. Calcule PF (en cm) P C D E B A F
25. Los dimetros AB y CD de una circunferencia son perpendiculares. Si E ! BD , AE interseca a CD en el punto F y FD=1cm, entonces la longitud de la circunferencia circunscrita al tringulo FED (en cm) es: A) p 2 B) 2 p 2 C) 2 p 3 D) 3 p 2
PROHIBIDA SU VENTA
E) 3 p 3
26. El volumen y el rea lateral de un prisma recto de base triangular son 50 m3 y 200 m2 respectivamente. Calcule el radio (en m) de la circunferencia inscrita en la base del prisma. A) 0,25 B) 0,5 C) 1 D) 2 E) 3
M 27. En un tringulo ABC en el espacio, la altura relativa a AC es 5 3 cm. Sus vrtices A y C estn en un plano horizontal P y el vrtice B es exterior a P de modo que el diedro B-AC-B (B es la proyeccin de B sobre P) mide 37. Si: AB=10cm, entonces la longitud de AB (en cm) es: A) 10 B) 10,6 C) D) 5 6 E) 6 5 A) 1 c 1 - cos q m
q
A O X
127
2 2 - cos q
B) c 2 - cos q m
1 - cos q
28. Las diagonales de un trapecio dividen a ste en cuatro tringulos. Si las reas de los tringulos adyacentes a las bases son A1 y A2 , entonces el rea total del trapecio en funcin de A1 y A2 es: A) A1 + A2 + B) 2 A1 A2 C) A1 A2 29. En la figura, O es el centro del crculo trigonomtrico. Si: OA=1u y
D) 1 c 2 + cos q m 2 1 - cos q
2 2 + cos q
A1 A2
D) ( A1 + E) A1 + A2 -
A2 ) 2 A1 A2
Tanq =
A) a b B) a2 - b2 C) a+b
A) 0, B) 0, 1
2 2
D) 0, 3 E) 0, 2 + 1
C) 0, 2 A) 7p
B) 5p
C) 6p
D) 7p
E) 8p 9
B) - 1 + 4
E) - 2 + 2
C) - 1 + 3
34. Sea 0< < tal que log5 ^tan qh + log5 ^tan q + 6h = 1 log5 9 2 2 Determine el valor de sec2 q . A) 2412 3 B) 2212 3 C) 2012 3 35. Si A,B y C son los ngulos de un tringulo, 1,2; 2,3 y 3 son las longitudes de sus lados opuestos a dichos ngulos respectivamente y sen A=L, calcule el valor de la expresin siguiente: sen^A + Bh + sen^A + Ch + sen^B + Ch D) 1812 3 E) 12 12
38. Considere dos esferas tangentes exteriormente, cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectivamente. Calcule el volumen (en cm3) del cono circular recto circunscrito a las dos esferas. A) 80 p B) 81 p C) 82 p 39. En una pirmide regular de base cuadrangular, el punto medio de la altura dista de una cara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respectivamente. Calcule la altura (en u) de la pirmide. A) 6 2 B) 12 2 D) 24 2 E) 34 2 D) 83 p E) 84 p
D=
A) L
D) E)
L 10 L 12
C) 18 2 40. En la figura, C1 es un cilindro circular recto de radio R y altura h. Si en C1 se inscribe un prisma regular cuadrangular y luego en este prisma se inscribe un cilindro circular recto C2 y as se repite el proceso obteniendo los cilindros C3, C4, C5, ... Si el cilindro C21 es tal que su rea total es 3 veces su rea lateral, entonces el rea lateral de C1 es: C2 ... C1
B) L
C) L 8 36. Cul es la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre la recta y+x=0. Adems, pasa por los puntos (3,4) y (3 2 . 7 )?. A) x2 + y2 = 5 B) x + y = 9 C) x2 + y2 = 15 37. En un cono circular recto la generatriz mide 12cm y una cuerda de la circunferencia de la base mide 16 cm. Si la distancia de la base mide 16 cm. Si la distancia del centro de dicha circunferencia a la cuerda es 4 cm, entonces el volumen del cono (en cm3) es: A) 640 p
2 2
D) x2 + y2 = 16 E) x + y = 25
2 2
3 B) 641 p 3 642 p C) 3
D) 643 p
3 E) 644 p 3
A) B) C)
p R2 ( 2 ) 40 p R2 ( 2 ) 30 p R2 ( 2 ) 20
D) E)
p R2 ( 2 )15 p R2 ( 2 )10
PROHIBIDA SU VENTA
&
`a = 2
b=4
123
A = K B = K
y son P.E.S.I
"
/ cifras (B) 2 + 1 + 5 + 5 = 13
Rpta: B 05. Tema: Relaciones Analizando los conjuntos: A: Si: x $ 0 & M $ 0 ... (I) Si x<0 & 2x M & - M # x 1 0 ...(II) 2 M ; + 3 ............ A Luego I , II : X ! 8 2 B: Si x $ 0 & 2x # M & 0 # x # M ...(III) 2 Si x<0 & M0 .................................. (IV) Luego III , IV : X ! - 3; M B ...............B 2 Rpta: D Finalmente: A + B = 8 - M ; M B 2 2 ` A + B ! Q cuando se verifican las condiciones I y IV Luego: M ! 60; + 3
"
N = ab (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 8.9) ab. c 8.9.10 m = 240.ab 3 N = 2 4 .3.5.ab = k2 (tiene cantidad impar de divisores) ` ab = 3.5.Q2 ab = 15Q2 15 (1) 2 = 15
15 (2) 2 = 60
PROHIBIDA SU VENTA
Rpta: D
123
06. Tema: Nmeros reales I. n N / n2 < 0 nN/n3=0 II. x R ; x2 0 x <-1; 1> / III. ex ... F ... V ... V <0 ... F ... F ... F :F VV 09. Tema: Funciones polinomiales Tenemos: y
:V
FF a b x
n N / n2 < 0 x R / ex < 0
:F
FV Rpta: B
Del grfico: P(x) es creciente Si: x ! < 3; a > , < b; + 3 > Si: x ! < a; b > P(x) es decreciente Entonces:
144424443
0# 1I
De I:
De II:
&
Finalmente + : C.S. = 60; 1@ 08. Tema: Funciones Composicin Dominio de F: x - 8 $ 0 DF: x d {8; 8}
Aparte en:
PROHIBIDA SU VENTA
3444444442444444441
II
+ crece a decrece
+ b crece
+3
x #
1+ x + 2 x
x #1 x$0 3 0 # x #1 x #1 11x # 1+ x + 2 x 1 44 2 44 3 4 4
Radical doble
x#
x +1
64 - x2 $ 0
P (x) / (x 4 - 1) q (x) + 3x3 + nx2 + mx - 2 P (x) Adems: 2 , deja como R(x)= 5x-4 x - 1 resto en 2 : x2 1 Por teorema del =
en 1
1 2
luego n(FoG)= 2
Rpta: C
Rpta: D
(log x) 2 - log x - 6 = 0
(logx-3) (logx+2)=0 logx=3 logx=-2
z - 3i = &
+ + +
0 0
x = 103
x = 10 - 2 x2 = 0, 01
x1 = 1000 0
M=
log3 3 M=
II) VERDADERO
III) VERDADERO
1 K K+3
Sumareas =
14 k f -f A = 1k 4 2 1 f3 - f2 1 k k
Luego:
1 4 k - 4) (4 - k) 0 (k 0 0 (k - 4 )
3S= 3 S=
PROHIBIDA SU VENTA
1 4 k 0 (k - 4) (4 - k) ! 0 + (k - 4) (k - 4) ! 0 + k ! 4 0 0 (k - 4)
(1 1 ) K K+3 K=1 Z ]1 1 ]1 4 ]1 1 ]2 5 ] ] 3 S =[ 1 1 3 6 ] ]1 1 ]4 7 ]1 1 ]5 8 \
K=1 3
K=1 3
1 K (K + 3) 3 K (K + 3)
Luego:
80 .100%=66,67% 120
3
18
abc
Q
37 4Q
abc =37(4Q)+Q=149Q
149Q<1000 Q<6,... Q: "1, 2, 3, 4, 5, 6, Existen 6 nmeros. II. a,b ! N; si: (a+x)(bx)=ab, entonces x=0 (F)
VAC
8 meses
=48000
El empresario cancela:
ab ax+bx x2 = ab
x(ba)= x2 x=0 x=b a (F)
Rpta: C 18. Tema: Regla de mezcla n Lt. 80% 60= 80n + 50.80 + 80 Lt. 50% = (n+80) Lt. 60%
n + 80
3(n+80)=4n+50.4 n=40
PROHIBIDA SU VENTA
3n+240=4n+200
MATEMTICA PARTE 2
21. Tema Polgonos regulares P 30
2 3
Luego:
2 120
D 2
14243
60
2b
C b N b
BCN b
MCR b
ABM $ RC = 2b
APB~ i NPR $ PN = 3
BP
Luego: 5y = 17 $ 3y = 3 17 5 P
a
C1
x + 3y = 2 2 + 3 17 5
r Rpta: D
T
a
Oy
C2
24. Tema: Relaciones mtricas en la circunferencia 10-x a c 10 x O d b Dato: a.b.c.d = 1296 a.b = c.d $ (ab) 2 = 1296 ab = 36 Teorema de las cuerdas a.b = (10-x)(10+x) 36 = 100 - x2 x=8
R Q
10
$ OP QOy
Rpta: D
10
PROHIBIDA SU VENTA
m OPT = m TQO =
y
t mAED = 90 = 45o 2
O
! mFD = 90o ( FD = ,4 = 1
Q A1
90
A 2 )2
26. Tema: Prisma V=50 $ SB .h = 50 $ (p.r) .h = 50 h r 123 29. Tema: Circunferencia trigonomtrica
Rpta: D
SL = 200
2p.h = 200
'
r
30
r = 1 2 4 r = 0, 5
Rpta: B
r r q 1
x 10 F
3 3
1) Tg q = B 2) 3r = 1
3 3
q = 30 r= 1
37
P
1) En el BBF notable: BB = 3 3 2) En el ABB : x2 = (3 3 )2 + 102
S = 8p
2r
30
x = 127
Rpta: C
Rpta: E
11
PROHIBIDA SU VENTA
O 1
1k M k
45
sen x A x cos x
k
45
5p 4
f(x) = sen x - cos x
f (x) = 2 sen (x - p ) 4
Como :
3p < x - p < p 4 4
1 k = cos k 1 1 k= 1 cos
Reemplazando en (1)
1 m 1-x
x = 1-x x2 + x - 1 = 0 x = -1 ! 5 2 (1)
como : 0 < x < 1
tg c 3x m = b 7 7
x = -1 + 5 2
Rpta: A
log5 (tgq) + log5 (tgq + 6) = log5 91/2 log5 (tgq) (tgq + 6) = log5 3 tgq (tgq + 6) = 3 tg2 q + 6tgq - 3 = 0 tgq = - 6 ! 48 2 (1) PROHIBIDA SU VENTA
12
tgq = - 3 ! 2 3
como : 0 < <
tgq = - 3 + 2 3
Piden : sec2 q = 1 + tg2 q
(x - h) 2 + (y - k) 2 = r2
sec2 q = 22 - 12 3
12 h
A
B Piden :
c=30
sen (A + B) sen (A + C) + sen (B + C) D= (b + c) cos A + (a + c) cos B + (a + b) cos C senC + senB + senA D= b cos A + c cos A + a cos B + c cos B + a cos C + b cos C
R R
4
H
A
8 8
como : A + B + C = 180
R= 4 5 h= 8
Por T. de Proyecciones :
D = senA a D= L 12
Rpta: E 36. Cnicas - Ecuaciones - Circunferencia y+x=0 (3, 4)
V
30
1 1 O2 1 30 3
h=9
1 2 H 3
O1 3
r (h, -h) r
(3 2 , 7 )
R=3 3
r2 = (h - 3) 2 + (- h - 4) 2 = (h - 3 2 ) 2 + (- h - 7 ) 2
Desarrollando :
2h2 + 2h + 25 = 2h2 + 2 ( 7 - 3 2 ) h + 25
13
PROHIBIDA SU VENTA
R ( 2)2
( 2 )n - 1 R ....(1) ( 2 ) 20 R
C a P a
& R21 =
O A VOP : VOC :
a D
Por condicin y ser semejantes S T = 3SL 2pR21 (h + R) = 3 (2pR21 h) R21 = 2h R h = 21 ... (2) 2 Piden: SL = 2pRh ... (3) (1), (2) en (3) SL = 2pR Rpta: D
2 SL = pR 20 ( 2)
Resolviendo h = 24 2
R21 = pR R 20 2 ( 2)
C2
R R
R/ 2
Rpta: C
R/ 2
C1
14
PROHIBIDA SU VENTA