ALGEBRA I Jarslobo TP2 SOL 1 2020

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ÁLGEBRA I – TEMA 2: Conjuntos
DOCENTE: Ing. Abg. Juan Antonio Rodríguez Sejas
PRACTICA 2
1.- Definir por extensión los siguientes conjuntos:
a) A =  x   / 3x = 9
SOLUCION:
3x = 9; Aplicando algebra 3x = 32; luego x = 2
Entonces, el conjunto definido por extensión: A= 2
6 1
b) E =  x  R /   2
X 3 X 2
SOLUCION: Aplicando algebra a la ecuación y reduciendo: 2x2 – 5x – 3 = 0
Resolviendo la ecuación: x = 3 y x = -1/2
Luego el conjunto se definirá por extensión: E =  3, -1/2 
2.- Definir por comprensión los siguientes conjuntos:
c).- C es el conjunto de los números pares mayores que dos
SOLUCION: C =  xN / x > 2, x es par

f).- R es el conjunto de soluciones de la ecuación x 2 + x + 12 = 0
SOLUCION: R = x / x 2 + x + 12 = 0
3.- Hallar el conjunto de potencia del conjunto A si:
 6 1 
A = x  R /   2
 x3 x2 
SOLUCION: Del ejercicio 1b se tiene que el conjunto definido por extensión: E =  3, -1/2 
Aplicando la ecuación 2n y observando que el número de elementos n del conjunto es de 2
Entonces 22 = 4, luego son 4 los subconjuntos del conjunto E:
1. Ø porque el conjunto vacío es subconjunto de TODO CONJUNTO
2.  3  COMBINACIONES UNITARIAS
3.  -1/2  COMBINACIONES UNITARIAS
4.  3, -1/2  COMBINACIONES BINARIAS
Finalmente el conjunto potencia de E: P(E) =  Ø, 3 , -1/2 , 3, -1/2
5.- Sabiendo que U es el conjunto de vocales y A = {x / x =a} = { a }; B = {e,i,o}; C = {a,i,o,u}

Determinar:
b).- [C - (A  B) C ] A ; c).- [(B A) -- (B  C)] c - (  A);
SOLUCION:
Observando los conjuntos: (A  B) = Ø, entonces (A  B)c = Øc = U
Luego reemplazando: [C - U] A = Ø  A = A
RESULTADO: A={a}
c).- [(B A) -- (B  C)] c - (  A)

SOLUCION:
[(B A) -- (B  C)] c - (  A); de nuevo observando los conjuntos
[( Ø ) -- ( U)] c - [(Ø -A)  (A - Ø)] ; aplicando definición de 
[Ø -- U] c - [Ø  (A)] , aplicando concepto de diferencia de cjtos.
[Ø] c - [A] = U – A = {e, i, o, u}
7.- Sabiendo que U = N; A = {x  Z/ x  4}; B = {x  Z / 2  x  3 }; C = {x / -5  x  4}
Determinar que conjunto es subconjunto de que conjunto
A
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
B
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
C
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
SOLUCION:
Observando los conjuntos: B ( A y también B ( C
Entonces: A = C
9.- Sabiendo que: U = Z+ ; A = {x  N/ -3  x  3}; B = {x  Z/ 2  x  3 }; C = {x / x = -5}

Determinar: Resolvemos c).- P(B  C);
SOLUCION: El conjunto B = {x  Z/ 2  x  3 }= {2} y C = Ø

Luego B  C = { 2 }, entonces aplicando 2n con n = 1; 21 = 2
El conjunto potencia tiene dos subconjuntos:
1. Ø
2. {2}
Entonces P (B  C) = { Ø, {2}}
11.- Sabiendo que U = N ; A = {x  N/ 0 x  4}; B = {x  Z / 1  x  8 }; C = {x / -2  x  3}

Hallar : a). ( C  B)  Cc ; b). (A  Bc) (B  C); c).- [(B  A)  A]c – [ Bc (C  B)]
A
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
B
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
SOLUCION:
BC
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +∞
B-C
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +∞
Resolvemos: b). (A  Bc) (B  C);

[(A -B c)  (Bc - A)]  [(B - C)  (C - B)]; de las graficas
[A  Bc ]  [(B - C)  Ø]
[A  Bc ]  (B - C) = { 4 } o también {x / x = 4}
13.- Sabiendo que U = Re ; A = {x  N/ -1/3  x  1/3}; B = {x / 0 x 3 }; C = {x / -5  x  0}

Hallar : a). (Ac- Bc) – [(A B)c (B  C)] ; b).- (B  C c )  C ;
SOLUCION: Resolvemos el inciso b

A
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +∞
B
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +∞
CC
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +∞
CC- B
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +∞
(Cc - B)  C
-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +∞
La solución: -∞  x  0  3  x  + ∞ ; con x Re
((((((0))))))
TAREA: Resolver los ejercicios 15 y 17 trabajando en grupo:
15.- Sabiendo que U = Re ; A = {x  Re/ x  1/3}; B = ]0,5[ con x  N ; C = ]-2,10] con x  Re

Hallar: a). ( A  B c) – {((Ø - A)Cc) (B – B c)}
17.- Sabiendo que U = N ; A = {x  Z/ x  8}; B = {x  Z / -4  x  2 }; C = {x / -2  x  0}

Hallar: a). ( C B) C ; b). (A B) (B C)
;
((((((0))))))
21.- Demostrar: (A  B)  C = (A  C)  (B  C)
SOLUCION: Demostraremos agarrando un elemento x del conjunto en la parte de la

derecha al signo de igualdad
Sea x є [(A  C)  (B  C)]

x є (A  C) ˅ x є (B  C) por definición de unión
(x є A ˄ x є C) ˅ (x є B ˄ x є C) por definición de intersección
(x є A ˅ x є B) ˄ x є C propiedad distribuitiva al revés
x є (A  B) ˄ x є C definición de unión
x є [(A  B)  C] definición de intersección
Luego demostramos que un elemento x del conjunto de la derecha de la

igualdad es también elemento de la izquierda de la igualdad, por tanto se demuestra
la igualdad
23.- Demostrar: (A  B) C = A C  BC
SOLUCION: Demostraremos agarrando un elemento x del conjunto (A  B) C
Sea x є [(A  B) C]
x є (A  B) por definición de complemento
~ [x є (A B)]
~ [x є A ˅x є B] por definición de union
xєA˄xєB por D Morgan
x є AC ˄ x є Bc por definición de complemento
x є [AC  Bc ]
Luego demostramos que un elemento x del conjunto de la izquierda de la

igualdad es también elemento de la derecha de la igualdad, por tanto se demuestra
la igualdad
((((((0))))))
TAREA: Resolver los ejercicios 25 y 27 trabajando en grupo:
25.- Demostrar: A  (B – C) = (A  B) - (A  C)
27.- Demostrar: A – B = A c
((((((0))))))
29.- Utilizando leyes o propiedades de conjuntos demostrar la equivalencia de:

[A U B] - (A ∆ B) = A ∩ B
SOLUCION: [A U B] – [(A - B) U (B - A)] = por definición de ∆

[A U B] – [(A  BC) U (B  AC)] = por definición de resta
[A U B]  [(A  BC) U (B  AC)]c = Idem
[A U B]  [(A  BC)c (B  AC)C] = D Morgan
[A U B]  [(Ac UBCc) (Bc UACC] = D Morgan
[A U B]  [(Ac UB) (Bc UA] = Doble negación
c
[(A U B)  [(A UB)] (B UA] =
c
ley asociativa
c
[(A  A ] UB)] (B U A] =
c
Doble negación
[Ø UB] (B UA] =
c
B (Bc U A] =
(B  Bc) U(B ∩ A] =
( Ø ) U(B ∩A] =
(B ∩A] =
Mayo del 2020 año del coronita

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c).- C es el conjunto de los números pares mayores que dos

SOLUCION: C =  xN / x > 2, x es par

Finalmente el conjunto potencia de E: P(E) =  Ø, 3 , -1/2 , 3, -1/2

5.- Sabiendo que U es el conjunto de vocales y A = {x / x =a} = { a }; B = {e,i,o}; C = {a,i,o,u}

c).- [(B A) -- (B  C)] c - (  A)

9.- Sabiendo que: U = Z+ ; A = {x  N/ -3  x  3}; B = {x  Z/ 2  x  3 }; C = {x / x = -5}

SOLUCION: El conjunto B = {x  Z/ 2  x  3 }= {2} y C = Ø

11.- Sabiendo que U = N ; A = {x  N/ 0 x  4}; B = {x  Z / 1  x  8 }; C = {x / -2  x  3}

Resolvemos: b). (A  Bc) (B  C);

13.- Sabiendo que U = Re ; A = {x  N/ -1/3  x  1/3}; B = {x / 0 x 3 }; C = {x / -5  x  0}

SOLUCION: Resolvemos el inciso b

TAREA: Resolver los ejercicios 15 y 17 trabajando en grupo:

15.- Sabiendo que U = Re ; A = {x  Re/ x  1/3}; B = ]0,5[ con x  N ; C = ]-2,10] con x  Re

17.- Sabiendo que U = N ; A = {x  Z/ x  8}; B = {x  Z / -4  x  2 }; C = {x / -2  x  0}

SOLUCION: Demostraremos agarrando un elemento x del conjunto en la parte de la

Sea x є [(A  C)  (B  C)]

Luego demostramos que un elemento x del conjunto de la derecha de la

SOLUCION: Demostraremos agarrando un elemento x del conjunto (A  B) C

Luego demostramos que un elemento x del conjunto de la izquierda de la

TAREA: Resolver los ejercicios 25 y 27 trabajando en grupo:

27.- Demostrar: A – B = A c

29.- Utilizando leyes o propiedades de conjuntos demostrar la equivalencia de:

SOLUCION: [A U B] – [(A - B) U (B - A)] = por definición de ∆

Mayo del 2020 año del coronita

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