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    Este documento describe diferentes medidas de forma para distribuciones de probabilidad. Explica conceptos como asimetría, simetría, curtosis y tipos de asimetría y curtosis. También presenta fórmulas para calcular coeficientes de asimetría y curtosis, como el coeficiente de asimetría de Fisher y el coeficiente de curtosis de Fischer. Estas medidas permiten caracterizar la forma de una distribución y determinar si es simétrica, asimétrica a la izquierda o derecha, o si su curtosis es normal, le

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    Este documento describe diferentes medidas de forma para distribuciones de probabilidad. Explica conceptos como asimetría, simetría, curtosis y tipos de asimetría y curtosis. También presenta fórmulas para calcular coeficientes de asimetría y curtosis, como el coeficiente de asimetría de Fisher y el coeficiente de curtosis de Fischer. Estas medidas permiten caracterizar la forma de una distribución y determinar si es simétrica, asimétrica a la izquierda o derecha, o si su curtosis es normal, le

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    MEDIDAS DE FORMA

    PROF:MARIA BRICEÑO
    Tipos de curtosis
    Asimetría y simetría

    Establece el grado de simetría


    o asimetría que presenta una
    distribución de probabilidad
    Existe una gran Existe una baja de una variable
    concentración concentración
    Existe una
    concentració
    n normal Medidas de forma
    asimétrica

    Curtosis
    Tipos de asimetría

    Mide cuán puntiaguda


    es una distribución

    Asimetría Simétrica Asimetría


    negativa a la
    derecha
    Medidas de forma asimétrica

    Como eje de simetría consideramos


    una recta paralela al eje de ordenadas
    Las medidas de asimetría
    que pasa por la media de la
    son indicadores que
    distribución. Si una distribución es
    permiten establecer el
    simétrica, existe el mismo número de
    grado de simetría (o
    valores a la derecha que a la izquierda
    asimetría) que presenta
    de la media, por tanto, el mismo
    una distribución de
    número de desviaciones con signo
    probabilidad de una
    positivo que con signo negativo.
    variable aleatoria sin
    tener que hacer su
    representación gráfica.

    Decimos que hay asimetría Diremos que hay asimetría


    positiva (o a la derecha) si la negativa (o a la izquierda) si la
    "cola" a la derecha de la "cola" a la izquierda de la
    media es más larga que la de media es más larga que la de
    la izquierda, es decir, si hay la derecha, es decir, si hay
    valores más separados de la valores más separados de la
    media a la derecha. media a la izquierda.
    Tipos de Curtosis

    Mide el grado de agudeza o achatamiento de


    Curtosis una distribución con relación a la distribución
    normal, es decir, mide cuán puntiaguda es una
    distribución

    Tipos de
    Curtosis

    Existe una gran Existe una Existe una baja


    concentración concentración concentración
    normal.
    Tipos de Asimetría

    Simétrica
    Asimetría Positiva o a la
    Asimetría Negativa o a la Se da cuando en una distribución
    Derecha.
    Izquierda. se distribuyen aproximadamente
    Se da cuando en una
    Se da cuando en una distribución la misma cantidad de los datos a
    distribución la minoría de los
    la minoría de los datos está en la ambos lados de la media
    datos está en la parte derecha
    parte izquierda de la media aritmética
    de la media aritmética
    Coeficiente de asimetría de Fisher
    En una distribución simétrica los valores se sitúan en torno a la media aritmética de forma simétrica. El coeficiente de
    asimetría de Fisher se basa en la relación entre las distancias a la media y la desviación típica.
    En una distribución simétrica 𝑋 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 𝑦 𝑚3=0 Por eso se define como:

    𝐫 (𝐗 −𝐗)𝟑 𝒇
    𝐢=𝟏 𝐢 𝐢
    𝐠𝟏 = 𝐧
    =
    𝐦𝟑
    𝐒𝟑𝐱 𝟑
    𝐒𝐱

    1) Si 𝑔1 >0, la distribución es asimétrica positiva o a la derecha.


    2) Si 𝑔1 =0, la distribución es simétrica.
    3) Si 𝑔1 < 0, la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.

    Coeficiente de Asimetría de Pearson:


    Se basa en el hecho de que en una distribución simétrica, la media coincide con la moda o la mediana . A partir de este
    dato se define el coeficiente de asimetría de Pearson como:

    𝐗−𝐌𝐨 𝐗−𝐌𝐝
    𝐀𝐩= 𝐀𝐩 = 𝟑
    𝐒𝐱 𝐒𝐱 6
    1) Si 𝐴𝑝>0, la distribución es asimétrica positiva o a la derecha.
    2) Si 𝐴𝑝=0, la distribución es simétrica.
    3) Si 𝐴𝑝< 0, la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.
    Este coeficiente no es muy bueno para medir asimetrías leves.

    Curtosis:
    El concepto de curtosis o apuntamiento de una distribución surge al comparar la forma de dicha distribución con la forma de la
    distribución Normal. De esta forma, clasificaremos las distribuciones según sean más o menos apuntadas que la distribución
    Normal.
    Coeficiente de Curtosis de Fischer
    El Coeficiente de Curtosis o Apuntamiento de Fischer pretende comparar la curva de una distribución con la curva de la variable
    Normal, en función de la cantidad de valores extremos de la distribución. Basándose en el dato de que en una distribución normal
    se verifica que:

    𝒎𝟒
    𝟒 =𝟑
    𝑶𝒙

    7
    Se define el Coeficiente de Curtosis de Fisher como:

    𝒓
    𝒊=𝟏(𝑿𝒊 − 𝑿)𝟒 𝒇𝒊
    𝒏 𝒎𝟒
    𝑲 = 𝒈𝟐 = 𝟒 −𝟑= 𝟒 −𝟑
    𝑶𝒙 𝑺𝒙

    Tipos de Curtosis:
     Mesocúrtica: Si la distribución de sus datos es la misma que la de la variable Normal. En ese caso, su coeficiente
    de curtosis es cero.

     Leptocúrtica: si la distribución está más apuntada que la Normal. En ese caso, su coeficiente de curtosis es
    positivo.

    8
    Ejercicio: (datos directos )
    Las calificaciones de un grupo de estadística son:
    07,11,11,10,10,10,07,12,05,07,10,11,02,10,10,10,12,07,10,10,05,05,05,10,10,10,07,02,02,11
    a)¿Poseen simetría los datos?
    b)¿Cómo es el apuntamiento de los datos?

    Xi fi Fi Xifi (Xi-X)2 fi(Xi- X)2

    02 3 3 6 39,69 119,07
    05 4 7 20 10,89 43,56
    07 5 12 35 1,69 8,45
    10 12 24 120 2,89 34,68
    11 4 28 44 7,29 29,16
    12 2 30 24 13,69 27,38
    ∑ 30 249 76,14 262,30
    𝑋𝑖𝑓𝑖 249
    𝑋= 𝑛
    = 30
    = 8,3
    𝒏 𝟑𝟎
    = = 𝟏𝟓
    𝟐 𝟐

    𝒎𝒅 = 𝟏𝟎 9
    𝒇𝒊 𝑿𝒊𝑿 2 𝟐𝟔𝟐, 𝟑𝟎
    𝑺= = = 𝟐, 𝟗𝟔
    𝒏 𝟑𝟎

    Coeficiente de Asimetría:

    𝟑 𝒙 − 𝒎𝒅
    𝑨𝒔 =
    𝒔
    𝟑(𝐗−𝐦𝐞 ) 𝟑(𝟖,𝟑−𝟏𝟎)
    𝐀𝐬= = = −𝟏, 𝟕𝟐
    𝐒 𝟐,𝟗𝟔

    a) La distribución de las calificaciones no presentan simetría, son asimétricos


    negativos .porque el promedio es menor que la mediana y la moda y el sesgo
    esta hacia la izquierda del polígono o curva

    10
    b) Calcular el apuntamiento con el coeficiente de los momentos g 2

    𝐫
    − 𝐗)𝟒 𝒇𝐢
    𝐢=𝟏(𝐗 𝐢
    𝐠𝟐 = 𝐧 −𝟑
    𝟒
    𝑺𝐱

    Nota ;Cuando la distribución es para datos agrupados tanto g 1 , como 𝐠𝟐 se calculan


    de la misma forma ; solo se sustituye X por Xm que es el punto medio o marca de clase
    respectivo de cada intervalo
    Referencias :

    Luis Barrios Calmaestra. (2010).Unidad Didáctica: Estadística. Distribuciones Unidimensionales.


    http://weslintorres.blogspot.com/2009/05/medidas-de-forma.html

    Mario Orlando Suárez Ibujes. Medidas de Forma: Asimetría y Curtosis. Monografias.com


    Http://www.monografias.com/trabajos87/medidas-forma-asimetria-curtosis/medidas-forma-asimetria-
    curtosis.shtml#ixzz4iPiNVXBo

    Julio Oliva Contero. Medidas de forma: Asimetría y Curtosis. Momentos.


    https://estadisticaucv.files.wordpress.com/2010/12/asimetria-y-curtosis.pdf

    12

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