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    Sesión 14 Sistema de Ecuaciones de Primer Grado

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    PARI HUAYTA KATHIA LESLY
    Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado, que consisten en un conjunto de ecuaciones lineales con más de una incógnita. Describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. Luego presenta ejemplos resueltos de sistemas usando estos tres métodos. Finalmente, propone ejercicios para que el lector aplique los métodos a resolver sistemas y problemas relacionados.

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    Sesión 14 Sistema de Ecuaciones de Primer Grado

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    PARI HUAYTA KATHIA LESLY
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    Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado, que consisten en un conjunto de ecuaciones lineales con más de una incógnita. Describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. Luego presenta ejemplos resueltos de sistemas usando estos tres métodos. Finalmente, propone ejercicios para que el lector aplique los métodos a resolver sistemas y problemas relacionados.

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    Sesión 14 Sistema de Ecuaciones de Primer Grado

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    Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado, que consisten en un conjunto de ecuaciones lineales con más de una incógnita. Describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. Luego presenta ejemplos resueltos de sistemas usando estos tres métodos. Finalmente, propone ejercicios para que el lector aplique los métodos a resolver sistemas y problemas relacionados.

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    de 6

    R.M.

    N° 756-90-ED

    5.5. SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

    Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen


    más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no
    necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas
    entre sí.
    Ejemplo de un sistema:

    3x + 2y = 1
    x − 5y = 6

    Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y )

    Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita


    para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

    La solución al sistema del ejemplo anterior es


    x=1
    y = −1

    Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una
    única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que
    el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta
    página sólo se estudian los sistemas determinados.

    Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas


    ecuaciones como incógnitas.

    Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma


    incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola
    incógnita.

    Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por


    ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos
    una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, calculamos el
    valor de x sustituyendo el valor de y que ya conocemos.

    Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por


    ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas
    desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

    No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la


    ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas

    VERDADES 72
    Y REALES
    R.M. N° 756-90-ED

    ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra.
    Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción.

    Sistema 1:

    SUSTITUCIÓN:
    Despejamos en la primera ecuación la x:

    Y la sustituimos en la segunda:

    Calculamos x sabiendo y = 2:

    Por tanto, la solución del sistema es

    IGUALACIÓN:
    Despejamos en ambas ecuaciones la y:

    Como y = y, igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación:

    Ahora, sustituimos el valor de la incógnita x = 1 en la primera de las ecuaciones


    anteriores para calcular y:

    Por tanto, la solución del sistema es

    REDUCCIÓN:
    Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los
    coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales, pero de signo distinto. Para ello,
    multiplicamos por -2 la primera ecuación.

    VERDADES 73
    Y REALES
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    Después, sumamos las ecuaciones y resolvemos la ecuación obtenida:

    Finalmente, sustituimos el valor de y = 2 en la primera ecuación y la resolvemos:

    Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

    Sistema 2

    SUSTITUCIÓN:
    Despejamos en la segunda ecuación la y:

    Sustituimos la expresión obtenida en la primera ecuación y la resolvemos:

    VERDADES 74
    Y REALES
    R.M. N° 756-90-ED

    Como ya conocemos x, calculamos y sustituyendo en alguna de las ecuaciones


    anteriores:

    Por tanto, la solución del sistema es

    IGUALACIÓN:
    Despejamos en ambas ecuaciones la y:

    Igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación:

    VERDADES 75
    Y REALES
    R.M. N° 756-90-ED

    Sustituyendo x en la primera de las ecuaciones anteriores obtenemos y:

    Por tanto, la solución del sistema es

    REDUCCIÓN:
    Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 5 para conseguir que el
    coeficiente de la incógnita x tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones:

    Cambiamos el signo a la segunda ecuación (la multiplicamos por -1) y sumamos las
    ecuaciones:

    VERDADES 76
    Y REALES
    R.M. N° 756-90-ED

    Sustituimos el valor de y en la primera ecuación y la resolvemos:

    Por tanto, la solución del sistema es

    EJERCICIOS 2

    A. Resolver con los tres métodos los siguientes sistemas:

    B. Resolver los siguientes problemas aplicando sistemas de ecuaciones:


    1. La suma de dos números es igual a dos, y su diferencia es igual a menos cuatro
    ¿Cuáles son dichos números?
    2. El duplo de un número más otro, es igual a menos tres, el triplo del mismo menos
    otro es igual a menos seis. ¿cuáles son dichos números?
    3. La suma de dos números es igual a menos 2, el duplo de su diferencia es igual a
    tres. ¿Cuáles son dichos números?

    VERDADES 77
    Y REALES

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