Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
Métodos
Recordatorio:
el coeficiente de 2x es 2,
el coeficiente de x es 1,
el coeficiente de -x es -1.
1. Método de Sustitución
Ejemplo 1
Solución
1
Ya tenemos aislada la incógnita x.
2
2. Método de Reducción
Ejemplo 2
Solución
Hay que asegurarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las
incógnitas desaparece:
3
4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo
3. Método de Igualación
Ejemplo 3
Ejemplo
4
2. Igualamos las expresiones
3. Resolvemos la ecuación
5
Problema 1
Solución
3. Resolvemos la ecuación
6
La solución del sistema es
Problema 2
Solución
7
3. Resolvemos la ecuación obtenida
Problema 3
Solución
8
2. Sustituimos la incógnita en la otra ecuación
9
Introducción
En otra página ya vimos cómo resolver sistemas de forma analítica (métodos de
igualación, reducción y sustitución). En esta página vamos a ver cómo
resolverlos gráficamente.
Obviamente, para poder aplicar el método gráfico debemos saber representar las
gráficas de las rectas. Nosotros lo haremos uniendo puntos calculados
previamente.
Sistemas Resueltos
Sistema 1
Ver solución
Primera ecuación:
10
Segunda ecuación:
Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para
representarlas. Utilizaremos x=0x=0 y x=2x=2.
11
La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:
Sistema 2
Ver solución
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para
representarlas. Utilizaremos x=1x=1 y x=−1x=−1.
12
Para la segunda función tenemos la tabla
Sistema 3
Ver solución
13
En este problema vamos a dar valores a la xx y a la yy directamente. Los puntos
que escogemos son los puntos de corte con los ejes (es decir, x=0x=0 e y=0y=0).
Y si y=0y=0, entonces
Si x=0x=0, entonces
Y si y=0y=0, entonces
14
Por tanto, para la segunda recta tenemos
Sistema 4
Ver solución
15
Como tenemos la yy despejada en ambas ecuaciones, damos valores a xx.
Utilizamos x=1x=1 y x=−1x=−1.
La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan, pero las rectas
de este problema no se cortan porque son paralelas (tienen la misma
pendiente m=2m=2). Por tanto, el sistema no tiene solución.
16
Sistema 5
Ver solución
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para
representarlas. Para la primera, utilizaremos x=−2x=−2 y x=10x=10 y para la
primera la segunda, x=2x=2 y x=6x=6.
La segunda tabla es
17
Representamos y unimos los puntos de las rectas:
Sistema 6
Ver solución
18
Y si y=0y=0, entonces
Y si y=0y=0, entonces
Los dos puntos obtenidos para cada función son los iguales. Esto significa que
las rectas se cortan en dos puntos y, por tanto, las ecuaciones representan la
misma recta. Recordad que la intersección entre dos rectas puede ser:
un único punto,
ningún punto (las rectas son paralelas) o
infinitos puntos (se trata de la misma recta).
19
En este problema estamos en el segundo caso.
Sistema 7
Ver solución
Cada una de las desigualdades representa una región del plano. La solución del
sistema es la intersección de ambas regiones. Por tanto, lo que haremos es
representar las dos regiones por separado para observar la región en la que se
cortan.
20
La recta divide el plano en dos regiones e y≥3xy≥3x es una de ellas. Para saber
cuál, tomamos un punto de cada una y comprobamos cuál de los dos cumple la
desigualdad y≥3xy≥3x.
21
Por tanto, la región y≥3xy≥3x es la del lado izquierdo (color azul):
22
Ahora representamos ambas regiones y su intersección (color más oscuro) es la
solución del sistema:
23
Graficando Ecuaciones Lineales
Objetivos de Aprendizaje
Usar pares coordenados para graficar relaciones lineales.
Graficar una ecuación lineal usando intersecciones en x y y.
Determinar si un par ordenado es la solución de una ecuación.
Resolver problemas de aplicación que implican gráficas y ecuaciones
lineales.
Introducción
Graficar pares ordenados es sólo el inicio de la historia. Una vez que sabes cómo
colocar puntos en una cuadrícula, puedes usarlos para encontrarle sentido a
todo tipo de relaciones matemáticas.
Puedes usar el plano de coordenadas para graficar puntos y para mapear
diferentes relaciones, como la relación entre la distancia de un objeto y el tiempo
transcurrido. Muchas relaciones matemáticas son relaciones lineales. Veamos
que es una relación lineal.
Relaciones Lineales
Una relación lineal es una relación entre variables que al ser graficadas en el
plano de coordenadas, los puntos forman una línea. Veamos una serie de puntos
en el Cuadrante I del plano de coordenadas.
Observa los cinco pares ordenados (y sus coordenadas x y y) abajo. ¿Puedes ver
un patrón en la localización de los puntos? Si este patrón continúa, ¿qué otros
puntos podrían estar en la línea?
24
Probablemente encontraste que si este patrón continúa el siguiente par ordenado
sería (5, 10). Esto tiene sentido porque el punto (5, 10) “se alinea” con los otros
puntos en la serie — está literalmente en la misma línea que los otros. Aplicando
la misma lógica, puedes pensar que los pares ordenados (6, 12) y (7, 14) también
formarían parte de la línea si el plano de coordenadas fuera más grande; ellos,
también, se alinearían con los otros puntos.
Esta serie de puntos también puede representarse en una tabla. En la tabla
siguiente, se registran las coordenadas x y y de cada par ordenad en la gráfica.
coordenada-x coordenada-y
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
7 14
Observa que cada coordenada-y es el doble de su coordenada-x correspondiente.
Todos estos valores de x y y siguen el mismo patrón, y, cuando se grafican en el
plano de coordenadas, se alinean.
Una vez que conoces el patrón que relaciona los valores de x y y, puedes
encontrar el valor de y para cualquier valor de x que se encuentra en la línea.
Entonces si la regla de este patrón es que cada coordenada-y es dos veces la
coordenada-x correspondiente, entonces los pares ordenados (1.5, 3), (2.5, 5), y
(3.5, 7) deben aparecer también en la línea, ¿correcto? Veamos qué pasa.
25
Si continuaras añadiendo pares ordenados (x, y) donde el valor de y es el doble
del valor de x, terminarías con una gráfica como esta.
Observa cómo todos los puntos se juntan para crear una línea. Puedes entonces
pensar en una línea, como una colección infinita de números o puntos
individuales que comparten la misma relación matemática. En este caso, la
relación es que el valor de y es el doble del valor de x.
Hay muchas maneras de representar una relación lineal — una tabla, una gráfica
lineal, y también una ecuación lineal. Una ecuación lineal es una ecuación con
dos variables cuyos pares ordenados se grafican como una línea recta.
Existen varias formas de crear una gráfica a partir de una ecuación lineal. Una
manera es crear una tabla de valores para x y y, y luego graficar los pares
ordenados en el plano de coordenadas. Sólo hacen falta dos puntos para
determinar una línea. Sin embargo, es siempre buena idea graficar más de dos
puntos para evitar posibles errores.
Luego dibujas una línea pasando por los puntos para mostrar todos los puntos
que están en la línea. Las flechas a cada extremo indican que la línea continúa
infinitamente en ambas direcciones. Cada punto en esta línea es una solución de
la ecuación lineal.
26
Ejemplo
27
Respuest
a
Ejemplo
Problema Graficar la ecuación lineal y = 2x + 3.
valores 2x + 3 valores Evalúa y = 2x + 3
de x de y para distintos valores
0 2(0) + 3 3 de x, y crea una tabla
1 2(1) + 3 5 de valores
2 2(2) + 3 7 correspondientes
3 2(3) + 3 9 de x y y.
28
Respuest
a
Las ecuaciones lineales graficadas arriba se resolvieron para y. Si la ecuación no
está en términos de y, es mejor primero despejar la ecuación para y. Si no
hay y en la ecuación, entonces resuelve la ecuación para x.
Ejemplo
Problema Graficar la ecuación lineal y + 3x = 5.
Resolver. y + 3x = 5 para y
y + 3x – 3x = 5 – 3x
y = 5 – 3x
valores 5 – 3x valores Evalúa y = 5 –
de x de y 3x para distintos
0 5 – 3(0) 5 valores de x, y crea
1 5 – 3(1) 2 una tabla de valores
2 5 – 3(2) −1 correspondientes
3 5 – 3(3) −4 de x y y.
29
que indique todos los
puntos en la línea.
Respuest
a
Las ecuaciones lineales x = 2 y y = −3 sólo tienen una variable en cada término,
Sin embargo, como son ecuaciones lineales, entonces se grafican en el plano
coordenado de la misma manera que las ecuaciones lineales. Sólo piensa en la
ecuación x = 2 como x = 0y + 2 y piensa en la ecuación y = −3 como y = 0x – 3.
Ejemplo
Problema Graficar y = −3.
valores 0x – 3 valores Escribe y = −3 como
de x de y y = 0x – 3, y
0 0(0) – 3 −3 evalúa ycuando x tien
1 0(1) – 3 −3 e varios valores. O sólo
2 0(2) – 3 −3 date cuenta
3 0(3) – 3 −3 que y = −3 significa
que cada valor
de y será −3, sin
importar qué valor
tenga x.
Grafica los pares
(0, −3) ordenados (mostrada
(1, −3) abajo).
(2, −3)
30
(3, −3) Dibuja una línea a
través de los puntos
que indique todos los
puntos en la línea.
Respuest
a
31
D)
x y
0 5
1 7.5
2 10
Mostrar/Ocultar Respuesta
La respuesta correcta es D. Para generar una tabla de valores para esta
ecuación, primero despeja la ecuación para y.
Ahora elige valores para x y luego evalúa la ecuación para y. Cuando x = 0, y =
5, cuando x = 1, y = 7.5, cuando x = 2, y = 10.
Intersecciones en x y en y
Las intersecciones de una línea son los puntos donde la línea se intersecta, o
cruza, los ejes vertical y horizontal.
La línea recta de la gráfica siguiente intersecta los dos ejes coordenados. El punto
donde la línea cruza el eje x se llama intersección en x. La intersección en y es
el punto donde la línea cruza el eje y.
La intersección en x anterior es el punto (−2, 0). La intersección en y es el punto
(0, 2).
Observa que la intersección en y siempre ocurre cuando x = 0, y la intersección
en x siempre ocurre cuando y = 0.
32
Para encontrar las intersecciones en x y y de una ecuación lineal, puedes
sustituir 0 para y y para x respectivamente.
Por ejemplo, la ecuación lineal 3y + 2x = 6 tiene una intersección en x cuando y =
0, entonces 3(0) + 2x = 6.
2x = 6
x = 3
La intersección en x es (3, 0).
De la misma manera, la intersección en y ocurre cuando x = 0.
3y + 2(0) = 6
3y = 6
y = 2
La intersección en y es (0, 2).
¿Cuál es la intersección en y de la línea con la ecuación y = 5x – 4?
A)
B) (−4, 0)
C) (0, −4)
D) (5, −4)
Mostrar/Ocultar Respuesta
A)
33
Incorrecto. Este es el coeficiente de x y la constante, no la intersección en y. En
la intersección en y, x = 0. Cuando sustituyes 0 por x en la ecuación, y = −4.
La respuesta correcta es (0, −4).
Usando Intersecciones para Graficar Ecuaciones Lineales
Puedes usar intersecciones para graficar ecuaciones lineales. Una vez que has
encontrado las dos intersecciones, dibuja una línea a través de ellas.
Hagámoslo con la ecuación 3y + 2x = 6. Ya sabemos que las intersecciones de la
línea que representa a esta ecuación son (0, 2) y (3, 0). Eso es todo lo que
necesitas saber.
Ejemplo
Problema Graficar 5y + 3x = 30.
5y + 3x = 30 Cuando una ecuación tiene
la forma Ax + By = C,
puedes encontrar fácilmente
las intersecciones en x y y y
graficar.
5y + 3x = 30 Para encontrar la
5y + 3(0) = 30 intersección en y, has
5y + 0 = 30 x = 0 y resuelve y.
5y = 30
y = 6
intersección en y: (0, 6)
5y + 3x = 30 Para encontrar la
5(0) + 3x = 30 intersección en x, has
0 + 3x = 30 y = 0 y resuelve x
3x = 30 .
x = 10
intersección en x: (10, 0)
34
Respuest
a
Pares Ordenados como Soluciones
Hasta ahora, has considerado las siguientes ideas sobre líneas: una línea es una
representación visual de una ecuación lineal y la línea misma está hecha de un
número infinito de puntos (pares ordenados). La imagen siguiente muestra la
línea de la ecuación lineal y = 2x – 5 con algunos puntos específicos en la línea.
35
Cada punto en la línea es una solución de la ecuación y = 2x – 5. Puedes probar
cualquiera de los puntos que están etiquetados por ejemplo el par ordenado,
(1, −3).
y = 2x – 5
−3 = 2(1) – 5
−3 = 2 – 5
−3 = −3 Esto es válido.
También puedes intentar con CUALQUIERA de los otros puntos en la línea. Cada
punto en la línea es una solución de la ecuación y = 2x – 5. Esto significa que es
fácil determinar si un par ordenado es solución de una ecuación. Si el par
ordenado está en la línea creada por la ecuación lineal, entonces es una solución
de la ecuación. Pero si el par ordenado no está en la línea — no importa qué tan
cerca aparezca — entonces no es una solución de la ecuación.
Identificando Soluciones
Para saber si un par ordenado es una solución de una ecuación lineal, puedes
hacer lo siguiente:
o Graficar la ecuación lineal, y graficar el par ordenado. Si el par
ordenado aparenta estar en la línea graficada, entonces es una posible
solución de la ecuación lineal. Si el par ordenado no está en la línea
graficada, entonces no es una solución.
o Sustituye los valores (x, y) en la ecuación. Si la ecuación da un
enunciado válido, entonces el par ordenado es una solución de la
ecuación lineal. Si el par ordenado no resulta en un enunciado válido
entonces no es una solución.
36
Ejemplo
Problema Determina si (−2, 4) es una solución de la
ecuación 4y + 5x = 3.
4y + 5x = 3 Para este problema,
4(4) + 5(−2) = 3 usará el método de
sustitución.
Sustituye x =
−2 y y = 4 en la
ecuación.
16 + (−10) = 3 Evalúa.
6 = 3 El enunciado no es
válido, entonces (−2,
4) no es una solución
de la ecuación 4y +
5x = 3.
Respuest (−2, 4) no es una solución de la ecuación 4y + 5x =
a 3.
Problemas de Aplicación
Las ecuaciones lineales pueden usarse para modelar problemas del mundo
cotidiano, como cuánto dinero ganas en cierto tiempo, o la distancia que recorre
un ciclista dado un ritmo constante de pedaleo. Graficar estas relaciones en un
plano de coordenadas puede ayudar a pensar (y encontrar soluciones) en el
problema.
Considera este problema.
Eilene maneja 20 millas desde su casa a la estación del tren, y luego aborda un
tren directo a New York. El tren viaja a 55 millas por hora durante todo el viaje.
Después de 2 hora en el tren, ¿qué tan lejos está ella de su casa? ¿Después de
cuántas horas en el tren estará Eilene a 300 millas de su casa?
Sea x = el tiempo (en horas) que Eilene viaja en el tren.
Sabes que la velocidad del tren es de 55 mph.
Entonces, la distancia en el tren es d = rt, o 55x
Ella ya viajó 20 millas, entonces su distancia total es 55x + 20.
Sea y la distancia total, entonces y = 55x + 20.
Sustituyendo algunos valores de x, puedes encontrar los valores correspondientes
de y.
37
x, Tiempo y, Distancia de
(horas) su Casa (millas)
0 20
1 75
2 130
3 185
4 240
Una vez que has calculado algunos pares ordenados, puedes usar una gráfica
para modelar la situación. (Observa que esta grafica no pasa por el origen —
¡cuando Eilene aborda el tren, ella ya está a 20 millas de su casa porque vive a 20
millas de la estación!)
También, mantén la gráfica en el Cuadrante I, ya que estás limitado a distancias
y tiempos positivos.
La primera parte de la pregunta puede resolverse observando la tabla de valores o
la gráfica. Cuando x = 2, y = 130; esto significa que Eilene viajará 130 millas de
su casa después de 2 hora en el tren.
Ahora piensa en la segunda pregunta: ¿después de cuántas horas en el tren
Eilene estará a 300 millas del su casa? Busca el valor de la
coordenada x cuando y = 300. Es un poco más de 5, entonces ella estará a 300
millas de su casa después de 5 horas (¡y algunos minutos!). Problema resuelto.
38
Morgan quiere comprar una laptop de $1,080 para la escuela. Morgan va a usar el
plan de compra de la tienda — ella pagará $45 al mes durante 24 meses. Quiere
saber cuánto le deberá a la tienda en cada mes del plan.
Morgan puede hacer un seguimiento de su deuda con una gráfica. El eje x será el
número de meses y el eje y representará la cantidad de dinero que todavía le debe
a la tienda.
Morgan conoce dos puntos en su plan de pago: el día en el que compra la
computadora ella estará a 0 meses y deberá $1,080, y el día en que termine de
pagar, estará a 24 meses y deberá $0. Con estos puntos, Morgan puede dibujar
una línea que vaya desde la intersección en y en (0, 1080) hasta la intersección
en x en (24, 0).
Morgan puede usar su gráfica para saber cuándo dinero deberá después de cierto
número de meses. Por ejemplo, a los 6 meses, parece que Morgan deberá $800. (Y
si calcula de manera precisa, encontrará que quedan $810 en su balance.)
Sumario
Cuando graficamos en un plano de coordenadas, una relación lineal será una
línea. Ejemplos de relaciones lineales son ecuaciones lineales como y = x + 3, 2x –
5y = 8, y x = 4. Para graficar una ecuación, puedes encontrar conjuntos de pares
ordenados para graficar sustituyendo números por una variable y encontrando la
otra. Usualmente es más fácil encontrar los pares ordenados si primero
despejas y, o si no hay y en la ecuación entonces despejas x. También puedes
graficar la ecuación usando las intersecciones en x y y para encontrar dos puntos
en la gráfica. En cualquiera de las dos maneras, dibujas una línea para indicar
que todos los puntos en la línea son pares ordenados que satisfacen la ecuación
39
lineal. Si bien dos puntos determinan una línea, siempre es buena idea
comprobar por lo menos otro punto.
40
· Encontrar la pendiente de las rectas x = a y y = b.
Introducción
La idea de la pendiente es algo que encuentras en la vida cotidiana. Piensa en un
carrito bajando una rampa o subir las escaleras. La rampa y la escalera tienen
una pendiente. Puedes describir la pendiente de la rampa o de las escaleras
considerando el movimiento horizontal y vertical. En una conversación, usas las
palabras “gradual” o “empinado” para describir una pendiente. En una pendiente
gradual, casi todo el movimiento es horizontal. En una pendiente empinada, el
movimiento vertical es mayor.
Definiendo la Pendiente
La definición matemática de la pendiente es muy similar a la de la vida diaria.
En matemáticas, la pendiente se usa para describir la inclinación y dirección de
rectas. Tan solo con mirar la gráfica de una recta, puedes saber algunas cosas
sobre su pendiente, especialmente relativa a otras rectas graficadas en el mismo
plano de coordenadas. Considera las gráficas de las tres rectas siguientes:
Primero, veamos las rectas A y B. Si imaginas que estas rectas son un cerro,
dirías que la recta B es más empinada que la recta A. La recta B tiene una
pendiente mayor que la recta A.
Ahora, observa que las rectas A y B se elevan conforme te mueves de izquierda a
derecha. Decimos que estas rectas tienen una pendiente positiva. La recta C baja
de izquierda a derecha por lo que tienen una pendiente negativa. Usando dos de
los puntos en la recta, puedes calcular la pendiente de la recta encontrando la
elevación y el avance. El cambio vertical entre dos puntos se llama elevación, y el
cambio horizontal se llama avance. La pendiente es igual a la división de la
41
Calculando la Pendiente de una Recta en una Gráfica
Puedes determinar la pendiente de una recta a partir de su gráfica examinando la
elevación y el avance. Una característica de una recta es que su pendiente es
constante en toda su extensión. Entonces, puedes escoger cualesquiera 2 puntos
sobre la gráfica de la recta para calcular la pendiente. Veamos un ejemplo.
Ejemplo
Problema Usa la gráfica para encontrar la pendiente de la
recta.
42
elevación = 2 Empieza en un punto en la
recta, como (2, 1) y muévete
verticalmente hasta
alinearte con otro punto en
la recta, como (6, 3). La
elevación es de 2 unidades.
Es positiva puesto que te
moviste hacia arriba.
avance = 4 Luego, muévete
horizontalmente al punto (6,
3). Cuenta el número de
unidades. El avance es de 4
unidades. Es positivo puesto
que te moviste hacia la
derecha.
Pendiente = Pendiente = .
Respuest
a
La pendiente es .
Esta recta tendrá una pendiente de sin importar qué par de puntos hayas
escogido de la recta. Intenta medir la pendiente partiendo del origen, (0, 0), al
punto (6, 3). Encontrarás que la elevación = 3 y el avance = 6. La pendiente
43
Ejemplo
Problema Usa la gráfica para encontrar la pendiente de la recta.
fórmula: Pendiente = .
Recta roja
elevación = 1 La recta roja, va del punto (-1, -2) al
punto (3, -1) tiene una elevación de 1
unidad.
avance = 4 La recta roja tiene un avance de 4
unidades.
44
Sustituye los valores de la elevación
y del avance y sustituye en la
Pendiente =
fórmula: Pendiente = .
Respuest La pendiente de la recta azul es 4 y la pendiente de la recta roja
a
es .
Cuando ves las dos rectas, puedes notar que la recta azul es más empinada que
la recta roja. Tiene sentido que el valor de la pendiente de la recta azul, 4, es
Ejemplo
Problema Usa la gráfica para encontrar la pendiente de la
recta.
45
elevación = −3 Empieza en el punto A, (0, 4) y
sube a −3. Esto significa que te
mueves 3 unidades en la
dirección negativa.
avance = 2 De ahí, avanza 2 unidades en la
dirección positiva al punto B (2,
1).
Pendiente = Pendiente = .
Respuest
a
La pendiente de la recta es .
La dirección es importante cuando se trata de determinar la pendiente. Es
importante poner atención a si te mueves hacia arriba, abajo, derecha, o
izquierda; esto es, si te mueves en la dirección positiva o negativa. Si te mueves
para arriba hacia el segundo punto, la elevación es positiva. Si te mueves para
abajo hacia el segundo punto, la elevación es negativa. Si te mueves a la derecha
hacia el segundo punto, el avance es positivo. Si te mueves a la izquierda hacia el
segundo punto, el avance es negativo. En el ejemplo anterior, pudiste encontrar
la pendiente empezando en el punto B, avanzando −2, y luego elevándote +3 para
46
siguiente.
47
Conforme te mueves del punto (-1, -5) al punto (2, 10), la recta se eleva 15 y
D)
48
Mostrar/Ocultar Respuesta
A) 7
Incorrecto. La pendiente de una recta de la forma y = mx + b está dada por el
coeficiente de x. La respuesta correcta es −2.
B) 2
Incorrecto. La pendiente de una recta de la forma y = mx + b está dada por el
coeficiente de x. El coeficiente es −2. La respuesta correcta es −2.
C) −2
Correcto. La pendiente de una recta de la forma y = mx + b está dada por el
coeficiente de x. Para esta recta el coeficiente, o m, la pendiente, es −2.
D)
Incorrecto. La pendiente de una recta de la forma y = mx + b está dada por el
coeficiente de x. El coeficiente es −2. La respuesta correcta es −2.
Calculando la Pendiente de una Reta Dados Dos Puntos
Hemos visto que puedes encontrar la pendiente de una recta en una gráfica
midiendo la elevación y el avance. También puedes encontrar la pendiente de una
recta sin necesidad de la gráfica si conoces las coordenadas de cualquier par de
puntos en esa recta. Cada punto tiene un conjunto de coordenadas: un valor
de x y un valor de <i>y</i>, escritos como un par ordenado (x, y). El valor
de x nos dice en dónde está el punto horizontalmente. El valor de <i>y</i> nos
dice en dónde está el punto verticalmente.
Considera dos puntos en una recta —El punto 1 y el punto 2. El punto 1 tiene
coordenadas (x1, y1) y el punto 2 tiene coordenadas (x2, y2).
49
La elevación es la distancia vertical entre los dos puntos, que es la diferencia de
sus coordenadas en y. Entonces la elevación es y2 − y1, el avance entre esos dos
puntos es la diferencia de sus coordenadas en x, o x2 − x1.
Entonces, o
En el ejemplo siguiente, verás que la recta tiene dos puntos cada uno indicado
como un par ordenado. El punto 1 es (0, 2), y el punto 2 es (−2, 6). Entonces
ahora fas a moverte del punto 1 al punto 2. Dibujamos un triángulo sobre la
recta para ayudarnos a ilustrar la elevación y el avance.
50
Puedes ver de la gráfica que la elevación del punto 1 al punto 2 es 4, porque te
estás moviendo 4 unidades en la dirección positiva (arriba).El avance es −2,
porque luego te mueves 2 unidades en la dirección negativa (izquierda). Usando la
fórmula de la pendiente, .
No necesitas la gráfica para calcular la pendiente. Puedes sólo usar las
coordenadas, poniendo atención en cuál es el punto 1 y cuál es el punto 2.
Organicemos la información sobre los dos puntos:
Nombre Par Ordenado Coordenadas
x1 = 0
Punto 1 (0, 2)
y1 = 2
x2 = -2
Punto 2 (−2, 6)
y2 = 6
m = 3
Respuest La pendiente es 3.
a
51
El ejemplo siguiente muestra la solución cuando reviertes el orden de los puntos,
llamando (5, 5) punto 1 y (4, 2) punto 2.
Ejemplo
Problema ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los
puntos (5, 5) y (4, 2)?
x1 = 5 (5, 5) = punto 1, (x1, y1)
y1 = 5
x2 = 4 (4, 2) = punto 2, (x2, y2)
y2 = 2
Sustituye los valores en la fórmula
de la pendiente y simplifica.
m = 3
Respuest La pendiente es 3.
a
Observa que no importa qué par ordenado se llame punto 1 y qué par ordenado
se llame punto 2, la pendiente sigue siendo 3.
Ejemplo Avanzado
Problema ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los
puntos (3,-6.25) y (-1,8.5)?
Sustituye los valores en la
fórmula de la pendiente y
simplifica.
52
¿Cuál es la pendiente de la recta que incluye los puntos (−5, 1) y (−2, 3)
A)
B)
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
A)
Correcto.
B)
Incorrecto. El denominador es −2− (−5), no −2 − 5. La respuesta correcta
es .
C)
Incorrecto. Sustituye las coordenadas en la fórmula de la pendiente de manera
D)
Incorrecto. Has intercambiado la elevación y el avance. La respuesta correcta
es .
53
Pregunta Avanzada
B)
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
A)
Incorrecto. Parece que has invertido la elevación y el avance. Usa la
B)
Incorrecto. Parece que restaste las coordenadas y o x en el orden incorrecto.
Asegúrate que restas , luego , y entonces calculas la pendiente.
C)
Incorrecto. Parece que restaste las coordenadas y o x en el orden incorrecto.
Asegúrate que restas , luego , y entonces calculas la pendiente.
D)
que .
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Calculando las Pendientes de Rectas Horizontales y Verticales
Hasta ahora has considerado rectas que “suben la cuesta” o “bajan la cuesta.”
Sus pendientes pueden ser empinadas o graduales, pero siempre son números
positivos o negativos. Pero hay otros tipos de rectas, las horizontales y las
verticales, ¿Cuál es la pendiente de una recta nivelada? ¿O la de una pared o
recta vertical?
Consideremos una recta horizontal en una gráfica. No importa qué par de puntos
escojas en la recta, siempre tendrán la misma coordenada en y. La ecuación de
esta recta es y = 3. La ecuación también se puede escribir como y = (0)x + 3.
Usando la forma y = 0x + 3, puedes ver que la pendiente es 0. Puedes también
usar la fórmula de la pendiente con dos puntos en la recta horizontal para
calcular la pendiente. Usando (−3, 3) como punto 1 y (2, 3) como punto 2,
obtienes:
La pendiente de esta recta horizontal es 0.
Consideremos cualquier recta horizontal. No importa qué puntos de la recta
tomes, siempre tendrán la misma coordenada en y. Entonces, cuando aplicas la
fórmula de la pendiente, el numerador siempre será 0. Cero dividido entre
55
cualquier número distinto de 0 es 0, entonces la pendiente de cualquier recta
horizontal es siempre 0.
La ecuación para la recta horizontal y = 3 te dice que no importa que par de
puntos tomes en esta recta, la coordenada en y siempre será 3.
¿Y qué pasa con las rectas verticales? En este caso, no importa qué par de puntos
tomes, siempre tendrán la misma coordenada en x. La ecuación para esta resta
es x = 2.
No hay manera de que esta ecuación pueda ponerse en forma de pendiente-
intersección, porque el coeficiente de y es 0 (x = 0y + 2).
¿Entonces, ¿qué pasa cuando usas la fórmula de la pendiente con dos puntos en
la recta vertical para calcular la pendiente? Usando (2, 1) como punto 1 y (2, 3)
como punto 2, obtienes:
Pero la división entre cero no tiene sentido para los números reales. Por este
hecho, se dice que la pendiente de esta recta vertical no está definida. Esto
sucede para todas las rectas verticales — todas tienen una pendiente no definida.
Ejemplo
Problema ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los
puntos (3, 2) y (−8, 2)?
56
(3, 2) = punto 1,
(−8, 2) = punto 2,
m = 0
Respuest La pendiente es 0, entonces la recta es horizontal.
a
Pregunta Avanzada
¿Cuál de los siguientes puntos estarán en la recta creada por los
puntos y ?
A)
B)
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
A)
Incorrecto. Observa que ambos puntos en la recta tienen la misma coordenada
en x pero distintas coordenadas en y. Esto la hace una recta vertical, entonces
cualesquiera dos puntos en la recta tendrán una coordenada en x de -3.75. La
B)
C)
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Incorrecto. Intenta dibujando una figura de los puntos
correcta es .
D)
Incorrecto. Observa que ambos puntos en la recta tienen la misma coordenada
en x pero distintas coordenadas en y. Esto la hace una recta vertical, entonces
cualesquiera dos puntos en la recta tendrán una coordenada en x de -3.75. La
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