Cálculo diferencial e integral

Gráfica de funciones. 1
Ejercicios
Wilfredo ANGULO

1. Si √ √
f (x) = x + 2−x y g(u) = u + 2 − u,
¿es verdad que f = g?. Justifique su respuesta.
Rpta: es VERDAD. Las fórmulas son las mismas. Sólo se ha cambiado en
nombre (la letra) de la variable independiente.

2. Si
x2 − x
f (x) = y g(x) = x,
x−1
¿es verdad que f = g?. Justifique su respuesta.
Rpta: es VERDAD. Las fórmulas son equivalentes. Haciendo simplificaciones
sobre f se obtiene g.
2 Wilfredo ANGULO

3. Dada las siguientes funciones

√
(a) f (x) = x2 (b) g(x) = x3 (c) h(x) = x (c) i(x) = |x|

indique cuál de las siguientes curvas se corresponden con su gráfica.

Rpta: f con IV, g con II, h con I, i con III.

4. Empleando las gráficas de cada función del literal anterir, determine su respectivo dominio
y rango.

(a) Rpta: Dom(f ) = (−∞, +∞) y Rang(f ) = [0, +∞).

(b) Rpta: Dom(g) = (−∞, +∞) y Rang(g) = (−∞, +∞).
(c) Rpta: Dom(h) = [0, +∞) y Rang(h) = [0, +∞).
(d) Rpta: Dom(i) = (−∞, +∞) y Rang(i) = [0, +∞).
Cálculo diferencial e integral 3

5. En las siguientes figuras, use la Prueba de la Recta Vertical para determinar si la curva
es la gráfica de una función de x.

Respuestas del primer lote: (a) SI ES, (b) NO ES, (c) SI ES, (d) NO ES.
Respuestas del segundo lote: (a) NO ES, (b) SI ES, (c) SI ES, (d) NO ES.

6. Empleando una tabla de valores, trace la gráfica de cada una de las funciones que se les
da a continuación y determine su respectivo dominio y rango.
√ √ √ √
(a) f (x) = 1 + x (b) f (x) = x + 4 (c) f (x) = − x (c) f (x) = −x

(d) G(x) = |2x| (e) G(x) = |x + 1| (f) G(x) = |x| + x (g) G(x) = |x| − x

x x 1
(h) H(x) = |2x − 2| (i) H(x) = (j) H(x) = (k) H(x) =
|x| |x + 1| |x| − x

(a) Dom(f ) = [0, +∞) y Rang(f ) = [1, +∞).

(b) Dom(f ) = [−4, +∞) y Rang(f ) = [0, +∞).
(c) Dom(f ) = [0, +∞) y Rang(f ) = (−∞, 0].
4 Wilfredo ANGULO

(c) Dom(f ) = (−∞, 0] y Rang(f ) = [0, +∞).

(d) Dom(G) = (−∞, +∞) y Rang(G) = [0, +∞).
(e) Dom(G) = (−∞, +∞) y Rang(G) = [0, +∞).
(f) Dom(G) = (−∞, +∞) y Rang(G) = [0, +∞).
(g) Dom(G) = (−∞, +∞) y Rang(G) = [0, +∞).
(h) Dom(H) = (−∞, +∞) y Rang(G) = [0, +∞).
(i) Dom(H) = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) y Rang(H) = {−1} ∪ {1}.
(j) Dom(H) = (−∞, −1) ∪ (−1, +∞) y Rang(H) = (−∞, 1).
(k) Dom(H) = (−∞, 0) y Rang(H) = (0, +∞).

7. Trace la gráfica de la función definida por partes. Las respuestas acá son triviales.
Realice tabla de valores y trace la gráfica de cada parte de la fucnión dando
valores de x en el intervalo correspondiente. Con el software DESMOS puede
verificar su respuesta.

( (
3 si x < 2 2x + 3 si x < −1
(a) f (x) = (b) f (x) =
x−1 si x ≥ 2 3−x si x ≥ −1


−1 si x < −1 (
x2

si − 1 ≤ x ≤ 1
(c) f (x) = x si − 1 ≤ x ≤ 1 (d) f (x) =
 1 si x < −1 ó x > 1
1 si x > 1


 
−x
 si x ≤ 0 4
 si x < −2
(e) f (x) = 9 − x2 si 0 < x ≤ 3 (f) f (x) = x2 si − 2 ≤ x ≤ 2
 
x−3 si x > 3 −x + 6 si x > 2
 

8. Trace la gráfica de las siguientes funciones

(a) G(x) = [[x]] − 2 (b) H(x) = [[x]] + 2

(c) G(x) = [[x]] − x (d) H(x) = [[x]] + x

donde [[x]] es la función máximo entero. Rpta: Redefina cada función dada como una
FUNCIÓN POR PARTE, empleando la definición de MÁXIMO ENTERO, y
luego trace el gráfico. Las redefiniciones son
Cálculo diferencial e integral 5

(a) Para G(x) = [[x]] − 2


.. ..



 . .




 −3 − 2 = −5 si x ∈[−3, −2)
−2 − 2 = −4 x ∈[−2, −1)



 si

−1 − 2 = −3 si x ∈[−1, 0)



G(x) = 0 − 2 = −2 si x ∈[0, 1)

1 − 2 = −1 si x ∈[1, 2)








 2−2=0 si x ∈[2, 1)



 3−2=1 si x ∈[3, 4)
... ..



.

(b) Para H(x) = [[x]] + 2


.. ..



 . .




 −3 + 2 = −1 si x ∈[−3, −2)
−2 + 2 = 0 x ∈[−2, −1)



 si

−1 + 2 = 1 si x ∈[−1, 0)



H(x) = 0 + 2 = 2 si x ∈[0, 1)

1+2=3 si x ∈[1, 2)








 2+2=4 si x ∈[2, 1)



 3+2=5 si x ∈[3, 4)
... ..



.

(c) Para G(x) = [[x]] − x


.. ..



 . .




 −3 − x si x ∈[−3, −2)
−2 − x x ∈[−2, −1)



 si

−1 − x si x ∈[−1, 0)



G(x) = 0 − x si x ∈[0, 1)

1 − x

 si x ∈[1, 2)





 2−x si x ∈[2, 1)



 3−x si x ∈[3, 4)
... ..



.
6 Wilfredo ANGULO

(d) Para H(x) = [[x]] + x


.. ..



 . .




 −3 + x si x ∈[−3, −2)
−2 + x x ∈[−2, −1)



 si

−1 + x si x ∈[−1, 0)



H(x) = 0 + x si x ∈[0, 1)

1+x si x ∈[1, 2)








 2+x si x ∈[2, 1)



 3+x si x ∈[3, 4)
... ..



.