Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

1. Multiplicación de Monomios Procedimiento

Para multiplicar monomios no será necesario 1) Se multiplica el monomio por cada uno de los
que sean términos semejantes. Podremos términos del polinomio, en el siguiente orden:
multiplicar entre ellos a cualquier monomio. a) Se multiplican los signos, teniendo
Por ejemplo, se desea multiplicar: presente la "Ley de los signos"
a) 5x2y5  b) Se multiplican los números entre si.
b) 2x3y2z c) Se multiplica la parte literal. Cada letra
Debemos tratar por separado a la parte particular representa una base; y, "el
numérica y a la parte literal. producto de varias potencias con igual
Primero evaluemos la parte numérica: base se obtiene escribiendo la base común
y, sumando los exponentes respectivos ...
(5x2y5)(2x3y2z) 2) Se ordena el polinomio resultante

La parte numérica es algo que ya conocemos y que Ejemplos:

no cambiara, 5x2 = 10
a) 7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )= 14 a7b –
En la parte literal debemos tomar especial 7a5b2 + 35 a4b4
cuidado con las letras que se repiten en los
términos pues los exponentes se sumaran. b) ( a x + b y – c z ) • (- x y )= – ax2y – bxy2
Primero vemos que se repite la letra x, y luego la + cxyz
letra y:

(5x2y5)(2x3y2z) primero para la letra x, sumamos los c)

exponentes 2+3 = 5

(5x2y5)(2x3y2z) ahora sumamos los exponentes de

la letra y, 5+2 = 7
(5x2y5)(2x3y2z) finalmente la letra z no se repite por 3. Multiplicación de Polinomios
lo cual solo la colocare tal como esta.
Atención con la respuesta: 10x5y7z En la multiplicación de polinomios tendremos
que multiplicar todos los términos entre ellos.
Ejemplos: Evaluemos el siguiente ejemplo en el cual
queremos multiplicar P1xP2:
a) ( -4a5b4) • ( 12ab2) = –48 a6b6
b) ( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2) = 30 m6n–4p–2 P1: 5x2y + 3xy2
P2: 3x3 – 2x2y +xy2 – 4y3

c) Entonces:
P1xP2: (5x2y + 3xy2) (3x3 – 2x2y + xy2 – 4y3)
P1xP2: (5x2y1 + 3x1y2) (3x3 – 2x2y1 + 1x1y2 – 4y3)  
 
Ahora se tiene que multiplicar el primer término del
primer polinomio por cada uno de los términos del
Recordemos siempre que la segundo polinomio:
parte numérica se multiplica y P1xP2: (5x2y1 + 3x1y2) (3x3 – 2x2y1 +1x1y2 – 4y3)
en la parte literal se suman los
exponentes de las letras que (5x2y1) (3x3) = 15x5y1
se repiten. (5x2y1) (-2x2y1) = -10x4y2
(5x2y1) (+1x1y2)  = 5x3y3
(5x2y1) (-4y3)      = -20x2y4

Hacemos lo mismo con el segundo término del

2. Multiplicación de Monomios con polinomios primer polinomio:

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 16

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3) 2. –(–x2)3 – (x3) – (–x)3 – (x3)3 =

(+3x1y2)(3x3) =  +9x4y2
1 2 2 1
(+3x y )(-2x y )   =  -6x3y3
(+3x1y2)(+1x1y2)  =  +3x2y4 3. 44 + 44 + 44 + 44 =
(+3x1y2)(-4y3)      =  -12x1y5
Ahora acomodamos la respuesta: 4. El producto 5a · 3a es:
P1xP2: 15x5y1 – 10x4y2 + 5x3y3 - 20x2y4 + 9x4y2 –
6x3y3 +3x2y4 – 12x1y5 5. La expresión 2x – 2(x – y) es igual a:

P1xP2: 15x5y – 10x4y2 + 5x3y3 – 20x2y4 +9x4y2 –

6x3y3 +3x2y4 – 12xy5
(Eliminamos los 1 innecesarios) 6. La expresión 3(a – 3) – 3(3 – a) es igual a:

Ahora vemos si hay términos semejantes que

podamos sumar o restar:
7. La expresión (x – y)2 es igual a:
5 4 2 3 3
P1xP2: 15x y – 10x y + 5x y – 20x y + 9x y – 2 4 4 2

6x3y3 + 3x2y4 – 12xy5

Tenemos que simplificar los términos semejantes: 8. La expresión (m – n) (m + n) es igual a:

Operamos los términos con x4y2: -10x4y2 + 9x4y2 =
-1x4y2

Operamos los términos con x3y3: +5x3y3 – 6x3y3

= -1x3y3
9. ¿Cuánto vale ?
2 4:
Operamos los términos con x y -20x y +3x y 2 4 2 4

= -17x2y4
Ahora si, presentamos la respuesta:

P1xP2: 15x5y – 1x4y2 – 1x3y3 – 17x2y4 – 12xy5

Ejemplos:

6a2 – 14ab – 9ab +21b2

10. ¿Cuál de las siguientes expresiones es
= 6a2 – 23ab +21b2 verdadera?
I. (a + b)3 = a3 + b3
x3 + 2x2 + 4x – 2x2 – 4x –8= II. xy = yx
III. (a + b)2 = a2 + b2
x3 –8
11. La expresión (2ax + 3y2)2 es igual a:
Recordemos siempre que la parte numérica se
multiplica y en la parte literal se suman los
exponentes de las letras.

12. Si a(b – x) = b(x – a), entonces x es igual a:

13. Si x(x + a) = (x – a)2, entonces x es igual a:

14. Una mercadería se compra en $ a, y se vende

Práctica dirigida N° 01 ganando x%, ¿qué expresión algebraica
representa la ganancia?

1. a2 (a4)2 =

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 17

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA
b) a2 (a3 + a2 – a)
c) –a2 (a2 b + ab + b2)
d) X2 y(–x3 + x2 y – y3)
e) (a – 7)(b + 6)
f) (a + 1)(a2 – 3a + 9)
g) 6a3 (–a2 + 2a – 3)
15. Pedro e Inés tienen 55 y 45 años h) (9 – a2)(a4 + b – 6)
respectivamente. ¿Qué ecuación te permite i) (7 – y)(3 + 2y + y2)
encontrar hace cuántos años (x) sus edades j) (a + b + c)(a + b – c)
estaban en la razón 4 : 3? k) (x + 6)(y3 + y2 + 1)
l) (ab + x)(x + a2)
m) (0,2a + 1)(100a – 100)
n) (b + 4)(a – 7)(c + 2)
o) a(a + b) + b(a + b)
p) –6(c + 3) + 6(c – 3)
q) a(b – c) – b(c – a) + c(b – a)
r) (x + y)(x – y) + (y + x)(y – x)
16. Si el lado de un cuadrado se duplica, ¿qué s) (a + 4)(a – 7) – (a – 6)(a – 3)
ocurre con el área?
3. En cada caso expresa algebraicamente el área
de cada polígono y círculo:
A)

17. Si un taxi cobra $ p, por los primeros 100 m de 3x

recorrido y $ q por cada uno de los 100 m
siguientes, ¿cuánto cobrará por 1 km?
4x + 5

B)

3x
4x
2x
7x

Tarea N° 01
C)
1. Efectúa las siguientes multiplicaciones de
monomios:
a) a · a2 X+5
b) 2a · (–3ª3)
c) 5a · 2a2 · 4a X+7
d) 4x · (–3x3)

e) · 2x5 · (–6x3) D)

f) 8y2 · (–0,7) y · 4y2

g) 3a2 b · (–6ab3) X+2
h) abc · 7a2 b3
i) –7a2 bc · 2ab · –3abc3
j) a3 b · – abc3

2. Desarrolla los siguientes productos:

a) a (a + b)

PRODUCTOS NOTABLES I
Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 18
.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

Son los resultados de multiplicar dos o más

polinomios, en forma directa sin necesidad de  (x + 3) (x – 3) = x2 – 9
aplicar la propiedad distributiva.
 (x + 4) (4 – x) = 16 – x2
1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
 (x2 + 5) (x2 – 5) = x4 – 25
(a + b)2  a2 + 2ab + b2
 (m + n + p) (m + n – p) = (m + n)2 – p2
(a – b)2  a2 – 2ab + b2

Observación:
COROLARIO:
(x + y)2  x2 + y2
2. IDENTIDADES DE LEGENDRE
Siendo x, y no nulos.
(a + b) + (a – b) = 2(a + b )
2 2 2 2

(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Calcular:

446 . 444 – 447 . 443

Ejemplos:
 (x + 3)2 + (x – 3)2 = 2(x2 + 9) Sol.
Haciendo: x = 445
 (x + 2)2 – (x – 2)2 = 4(x) (2) = 8x
La operación se convierte en:
 (2x + y)2 + (2x – y)2 = 2(4x2 + y2) (x + 1)(x – 1) – (x + 2)(x – 2)

Aplicando productos notables:

 ( 3  2 )2  ( 3  2 )2  4 =4 x2 – 1 – (x2 – 4)

Importante: Reduciendo términos semejantes:

-1 + 4 = 3

(x – y)2  (y – x)2 4. PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON

TÉRMINO COMÚN
Desarrollando:
(x + a)(x + b)  x2 + (a + b)x + ab
x – 2xy + y  y – 2yx + x
2 2 2 2

 (x + 3) (x + 4)  x2 + 7x + 12

Reducir:  (x – 4) (x – 5)  x2 – 9x + 20
(p  q  r)2  (p  q  r)2
N  (x + 2) (x – 4)  x2 – 2x – 8
(p  q) r
Solución :  (x2 + 5) (x2 – 3)  x4 + 2x2 – 15
Por Legendre:
(p + q + r)2 – (p + q – r)2 = 4 (p + q)r 5. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL
4(p  q)r CUADRADO
N  4
(p  q)r
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
N=2

Ejemplos:

 (x + y + 3)2  x2 + y2 + 9 + 2xy + 6x + 6y
3. DIFERENCIA DE CUADRADOS
 (a + b – 2)2  a2 + b2 + 4 + 2ab – 4a – 4b
(a + b) (a – b) = a2 – b2

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 19

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

Práctica dirigida N° 02

1. Efectuar:
E = (x + 2y)2 – (x – 2y)2 – 4xy 6. Hallar el valor numérico de:
a) xy b) 3xy c) 4xy d) 6xy e) 9xy Para: x = 2 000
a) 2001 b) 2002 c) 2003 d) 2004 e) 2005

2. Reducir: 7. Efectuar:
R = (a + b)2 – (b – a)2 + (a – 2b)2 – a2 – 4b2 3 3
a) 0 b) a c) b d) 2ab e) ab P m m  m3  n6 . m m  m3  n6
a) m b) n c) m 2
d) n2 e) 1

3. Efectuar: 8. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)

P
( 5  1)( 5  1)  ( 3  1)( 3  1) Calcular:
( 2  1)( 2  1) 3 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 2
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

9. Si: 10x+y + 10x-y = m

4. Efectuar: 102x = n
R = (x + n)(x - n)(x2 + n2)(x4 + n4)(x8 + n8) + n16 Calcular: T = 100x+y + 100x-y
a) x12 b) n16 c) x16 d) x16 + n16 e) 1 a) m + 2n
2
b) m2 - 2n c) m2 - n
2
d) m + n e) m - n

5. Luego de efectuar: Tarea N° 02

E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) – 2x(x + 5)
Se obtiene:
1. Efectuar:
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
R = (3x2 – 2y3)2 + (3y3 + 2x2)2 – 13(x4 – y6)
a) 12x3y3 b) -12x2y3 c) 0 d) 26y6 e) 1

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 20

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA
2. Efectuar:
E = (x + y – 2)2 + (x + y + 3)2 – 2(x + y)2 – 13
a) -4(x + y) b) 6(x + y) c) 2(x + y)
d) -4 e) x2

3. Efectuar:
3 3
S  (2x5  3y3 )2  (3y3  2x5 )2  (2 4  2 )2
3 3
 (2 4  2 )2  24x5 y3
a) 24x5y3 b) 16 c) 24x5y3 + 16
d) 16 – 24x5y3 e) 12x2y3 + 8

4. Si: x + y = 5; xy = 2; x > y
Hallar:
a) b) 3 c) d) 21 e) -21

5. Si: x + y = 2; x2 + y2 = 3; x > y
Hallar: P = x – y + x4 + y4 - 8
a) 8 b) c) d) -4

6. Hallar “m” m  Z.
Si: P(x, y) = 9x6 + 7mx3y4 + 2x3y4 + 25y8
Sea un trinomio cuadrado perfecto.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

7. Efectuar:
E  (x  4)(4  x)  ( x  1)( x  1)(x  1)
a) x2 b) 15 c) 0 d) 2x2 e) 2

8. Efectuar:
S  (x  y  3 )( x  y  3 )  (x  y  3 )(x  y  3 )
a) 4xy b) 6 c) 2(x2 + y2) d) 4xy – 6 e) xy

9. Efectuar:
T = (a + b – c) (a – b – c) + (a + b + c) (-a + b – c)
a) 4ac b) -4ac c) 2b2 d) –b2 e) 2(a2 + b2+ c2)

10. Efectuar:
Q = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2) + (2x – y)(4x2 + 2xy +
y2)
a) 2y 3
b) 19x c) 35x3 d) 19x3 – 2y3 e) 1
3

PRODUCTOS NOTABLES II
Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 21
.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

1) CUBO DE UN BINOMIO 2) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b)3  a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

 Forma Desarrollada (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

(a + b)3  a3 + b3 + 3ab(a + b) Ejemplos:

 Forma Abreviada
 (x + 1) (x2 – x + 1)  x3 + 1

(a – b)3  a3 – 3a2b + 3ab2 – b3  (x + 3) (x2 – 3x + 9)  x3 + 27

 Forma Desarrollada
3 3 3
( 3  1) ( 9  3  1) 
 3–1=2
(a – b)  a – b – 3ab(a – b)
3 3 3

 (2x – 3) (4x2 + 6x + 9)  8x3 – 27

 Forma Abreviada
3) IDENTIDAD DE ARGAND
Ejemplo 1:
 Si: x+y=6 (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2)  x4 + x2y2 + y4
xy = 7
Hallar: N = x3 + y 3 Caso Particular:
Solución:
(x2 + x + 1) (x2 – x + 1)  x4 + x2 + 1
Recordando el producto notable.
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) 4) CUBO DE UN TRINOMIO

Reemplazando:  (a + b + c)3  a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a

63 = x3 + y3 + 3(7)(6) + c)(b + c)
 (a + b + c)  a3 + b3 + c3 + (a + b + c)
3
Despejando:
.(ab + bc + ac) – 3abc
3 3 3
x + y = 6 – 3(7)(6)
x3 + y3 = 90
5) IGUALDADES CONDICIONALES
Ejemplo 2:
Si: a + b + c = 0
 Si:
Se cumple:
Calcular:
a2 + b2 + c2  -2(ab + ac + bc)
Solución:
a3 + b3 + c3  3abc
Recordando:
Si quieres saber
más entonces
aplica tu ingenio.
Reemplazando:
P3 = 4 – 3(P)
 Si: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc
Donde: a, b, c  R
Despejando: Se demuestra que:
P3 + 3P = 4
P(P2 + 3) = 4 a=b=c
P=1

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 22

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

Caso Especial:

Si:
a2 + b2 + c2 + ….. n2 = 0

Será posible si: 5. Efectuar:

a = b = c = ……… = n = 0
Indique lo correcto:
a) R + 1 = 0 b) 2  R < 3 c) R  N
d) R2 + 1 = 3 e) R – 1 = 7
Práctica dirigida N° 03

1. Si: a + b = 5
ab = 2
Calcular: a3 + b3
a) 83 b) 64 c) 78 d) 81 e) 95
6. Si:
Hallar: M = x3 + 3x + 8
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

2. Si:

Calcular:

7. Calcular el valor numérico de:

a) 133 b) 121 c) 89 d) 76 e) 98 A = (a – b)[(a + b)2 + 2ab + (a – b)2] + 2b3
Si:
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 12

3. Efectuar:
8. Simplificar:
P = (x + 1)(x2 – x + 1) – (x - 1)(x2 + x + 1)
a) x3 b) 2 c) 2x3 d) 54 e) 27

a) -3 b) 3 c) 1 d) -1 e) 0

9. Si: x3 = 1 y además x  1
4. Reducir:
(x + 3)(x2 – 3x + 9) + (x2 + 3x + 9)(x - 3) Calcular:
a) x3 b) 18 c) 2x3 d) 54 e) 27

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 23

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

a) 1 b) 2 c) ½ d) -1/2 e) -2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Siendo:

Calcular el valor de:

S = (x - y)4 – (x + y)4
a) 44 b) 88 c) 50 d) -100 e) -88

10. Siendo x; y  R que verifican: 8. Hallar el valor numérico de:

( a  b)2  (b  c)2  ( a  c)2
x2 + y2 + 10 = 6x + 2y M
12
Calcular: xy
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Si se sabe que: a  b  b  c  3
a) 0 b) 1/5 c) 3/2 d) 3/5 e) 4/3

9. Si: ab = 1. El valor de:

a, b  R

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10. Si se sabe que:

x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz
Tarea N° 03
Calcular el valor de:
1. Si: x–y=3 a) 4 b) 3 c) 1 d) 5 e) 2
xy = 5
Hallar: E = x3 – y3
a) 18 b) -18 c) -72 d) 72 e) 27

2. Si: x+y=2
x2 + y2 = 3 ; x > y
Hallar: E = x3 – y3
a) 5 b) 3 c) -5 d) -3 e)

3. Simplificar:
M = (a + b + c)3 – 3(a + b)(a + b + c)c – (a + b)3
a) a3 b) b3 c) c3 d) 0 e) 3abc

4. Calcular:
3 3 3
N  ( 5  1)( 25  5  1)  4
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. Multiplicar:
P = (4x6 – 2x3 + 1)(2x3 + 1)
a) 8x3 + 1 b) 8x3 – 1 c) 8x9 + 1 d) 9x9 -1 EL LEGADO DE LAS
6. Si: x + y = -z MATEMÁTICAS
Simplificar:

LEY DE EXPONENTES

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 24

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

Son definiciones y teoremas que estudian a los

exponentes a través de operaciones de  (-4)-3 =
potenciación y radicación.

POTENCIACIÓN

 = 16
a: base, a  R
an = P n: exponente n  Z
P: potencia P  R
Ejemplo: Sabias que:
El cero es uno de los
 42 = 16, la base es 4. mayores aportes de los
el exponente es 2. hindúes y se difundió en
la potencia es 16.
Europa a partir del Siglo XII

Sabías que:
René Descartes creó la TEOREMAS
Notación de los
Exponentes para la I) BASES IGUALES
potenciación.
1. Multiplicación

DEFINICIONES am . an = am+n
Ejemplo:
1. Exponente Natural  24 . 2 2 = 2 6
 xn+4 = xn . x4
 34 . 3 3 = 3 7
;  x  R  n  Z+
 xa+c = xa . xc

Ejemplo: 2. División
 b5 = b . b . b . b . b

 ; a0
 (-3)3 = (-3) (-3) (-3)
Ejemplo:
2. Exponente Cero

x0 = 1 ; xR–{0}

Ejemplo: 
 40 = 1 -20 = -1
 (-3)0 = 1 (-2)0 = 1

3. Exponente Negativo
 x2x-1 = x2x : x1
1 II) EXPONENTES IGUALES
x n 
xn ;  x  R – {0}  n  Z+ 1.Multiplicación

Ejemplo: an . bn = (ab)n
Ejemplo:

 x4y4z4 = (xyz)4
 (2b)3 = 23 . b3
 m2n2p2 = (mnp)2

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 25

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

 (3x)4 =34 . x4

2.División

; b0

Ejemplo: 2. Simplificar:

a) 2 b) 3 c) 1/3 d) ½ e) 1/5

3. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

III) EXPONENTE DE EXPONENTE

4. Efectuar:
Ejemplos:

 (32)3 = 36 = 729
a) x60 b) x54 c) x57 d) x63 e) x51
 x2.2.5 = {(x2)2}5

 {(22)3}4 = 224

 x2.3.5 = {(x2)3}5

5. Simplificar:

Práctica dirigida N° 04 a) 287 b) 281 c) 235 d) 123 e) 435

1. Reducir:

a) b) c) d) e) 5

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 26

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA
6. Halle el exponente final de “x”.
11. Si:

Hallar el valor de:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

a) 18 b) 21 c) 15 d) 20 e) 24

7. Si: Calcular:

a) 2 b) ½ c) 4 d) e)

12. Si: nn = 1/9. Hallar:

a) 243 b) 81 c) 1/81 d) 1 e) 729

8. Si: Calcular:

a) 30 b) 32 c) 34 d) 35 e) 33

¡Arriba, haragán! ¡No

desperdicies la vida! Ya
dormirás bastante en la
9. Calcular: sepultura.
a) 650 b) 754 c) 755 d) 741 e) 1

Benjamín Franklin. Científico y político

EE.UU.

10. Si: 2n = 3m; reducir:

Tarea N° 04
a) ¾ b) 4/3 c) 6/5 d) 2/9 e) 7/5

1. Reducir:

a) 6 b) 9 c) 3 d) 15 e) 5

2. Simplificar:

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 27

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA
a) 1/2 b) 3/2 c) 5/2 d) 4/5 e) 7/6

3. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Efectuar:

a) x5 b) x c) 2x d) x10 e) x9

5. Simplificar:

“Las matemáticas no son un

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 32 recorrido prudente por una
autopista despejada, sino
6. Simplificar:
un viaje a un terreno
a) 1/ab b) b/a c) ab d) a/b e) 1
salvaje y extraño, en el
7. Si: xx = 3 Calcular: cual los exploradores se
a) 3 b) 9 c) 27 d) 1/3 e) 81
pierden a menudo”.
8. Si: Calcular:

a) 10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35
(W.S.Anglin)
9. Calcular:

a) 530 b) 534 c) 536 d) 531 e) 535

10. Si: 3x = 7y ; reducir:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

LEY DE EXPONENTES II
RADICACIÓN b: es la raíz enésima
n: es el índice; n  N  n  2 Ejemplo:

a: es el radicando  , el índice es 3

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 28

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA
el radicando 125 
la raíz cúbica 5
II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN
DEFINICIONES
; y0
1.
; nN  n2

Ejemplos:
(x  R, además, cuando n es par, x  0)
Ejemplos: 


 (-2)3 = -8 

 24 = 16
2. 

; n0

III) RAÍZ DE RAÍZ

Ejemplos:


 271/3 =
Ejemplos:
 81 1/4
= 
3.

; n0


Ejemplos: CASOS ESPECIALES



 25-3/2 = a)

Ejemplo:

 644/3 =  =

TEOREMAS b)
I) RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN
INDICADA

Ejemplos:

Ejemplos:


Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 29

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

c)

3. Reducir:
Ejemplos:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


4. Calcular:

a) 1 b) 10 c) 3,5 d) 7 e) 2

5. Calcular:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Práctica dirigida N° 05

1. Reducir:

a) b) a46/12 c) d) a11 e) a47

6. Calcular:

a) b) c) d) e) 1

2. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) N.A.

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 30

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

7. Efectuar:
a) 4 b) 2 c) 0 d) 1 e) 3

3. Reducir:

a) x6 b) x c) x9 d) x-4 e) x-7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Calcular:

a) 7 b) 10 c) 13 d) 22 e) 21

5. Calcular:
a) 4 b) 6 c) 1 d) 2 e) 8
8. Calcular:

a) 7 b) 3 c) 21 d) 1/7 e) 1/3 6. Calcular:

a) 1/x b) 1/x2 c) x d) x2 e)

7. Efectuar:

Tarea N° 05
a) x b) x2 c) x3 d) x4 e) x5

8. Calcular el valor de:

1. Reducir:

a) 2 b) ½ c) 4 d) ¼ e) 1
a) 1 b) 5 c) 1/5 d) e)

2. Reducir:

DIVISIÓN ALGEBRAICA

VEREMOS LOS CASOS:

1 MONOMIO ENTRE MONOMIO

Para dividir dos monomios solo dividimos

parte constante entre parte constante y parte
variable entre parte variable.
Así:
Ejemplo 1

Recuerda: Efectuar: 15x4y5  2x2y

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 31

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA


i)
= 7,5 x2y4
Observación:
ii) = -5x3z-2
i)
iii)
ii)
Luego:
La Rpta. será:
Ejemplo 2

Calcular:
Ejemplo 2


Calcular:

p–2 8n – 2n (4k + 3) – (2k – 5)

Los exponen-
tes quedarían p–2 6n 4k + 3 – 2k + 5
i)
p–2 6n 2k + 8

exp. “x” exp. ”y” exp. ”z”

 ii)

2 POLINOMIO ENTRE MONOMIO iii)

Para dividir un polinomio entre un monomio Luego:

se divide cada término del polinomio entre el La Rpta. será:
monomio. Así:
-7x4y-nz3-q – 6x4-2py2nz8-2q + x7y5zq+2

Observa que se
divide cada término 3 POLINOMIO ENTRE POLINOMIO
del polinomio entre
el monomio.
Para poder dividir un polinomio entre
polinomio. Generalmente de una variable (División
Euclidiana) se utilizan métodos prácticos como
Horner, Ruffini con la finalidad que verifique la
siguiente identidad.
Ejemplo 1
D(x)  d(x) . q(x) + R(x)

Ejemplo 1 Grado D(x) > Grado d(x)

Donde:
Efectuar: i. D(x) : Dividendo
ii. d(x) : Divisor Se conoce
Cada:
Se desea
calcular

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 32

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA
iii. q(x) : Cociente Ejemplo 2
iv. R(x) : Residuo o Resto Dividir 4x4 + 2x3 – 6x2 – 10x entre 2x + 3

Nota: Resolución:
v. R(x) = 0  División Exacta
4x4 + 2x3 – 6x2 – 10x + 0 2x + 3
vi. R(x)  0  División Inexacta
-4x4 – 6x3 2x3 – 2x2 – 5

-4x3 – 6x2
4x3 + 6x2
-10x + 0
10x + 15
15
De donde q(x) = 2x3 – 2x2 – 5
Ojo: R(x) = 15
Para poder dividir los
polinomios dividendo (D(x)) y Ejemplo 2
divisor (d(x)) deben estar Dividir x7 + x6 + x4 + 2x3 + 2x2 + 2 entre x3
completos y ordenados y si + x2 + 1
falta algún término se completa
con ceros. Resolución:
x7 + x6 + x4 + 2x3 + 2x2 + 2 x 3 + x2 + 1

-x7 – x6 – x4 x4 + 2
2x3 + 2x2 + 2
-2x3 – 2x2 – 2
0

De donde q(x) = x4 + 2
R(x) = 0
B. POR COEFICIENTES SEPARADOS
A. MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN
NORMAL Es un caso similar a la división normal con la
diferencia que en este caso sólo se trabajan
Seguiremos los mismos pasos de la división de con los coeficientes. En este caso sí se exige
enteros. que los polinomios, tanto dividendo y divisor,
Ejemplo 1 sean completos y ordenados en forma
Dividir (x3 + 2x – 2) entre x – 1 descendente.
Usaremos el mismo ejemplo utilizado en el caso
Resolución: anterior para que el alumno forme su propio
x3 + 2x – 2 x–1 criterio.

Ejemplo 1
-x3 + x2 x2 + x + 3
Dividir 4x4 + 2x3 – 6x2 – 10x entre 2x + 3
x2 + 2x – 2 Resolución:
-x2 + x Veamos
Usando únicamente los coeficientes.
3x – 2
-3x + 3 4 2 -6 -10 0 2 3
1
De donde q(x) = x2 + x + 3 -4 -6 2–2–5
R(x) = 1
0 -4 -6
4 6

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 33

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

0 0 -10 ESQUELETO
10 15

0 15

Ya que el cociente y el residuo son también Nota: La cantidad de

polinomios completos y ordenados en forma lugares que tiene el
descendente. residuo es igual al
Q(x) = 2x2 – 2x – 5 (-1) grado del divisor
R(x) = 15 contar de derecha a
izquierda.
Ejemplo 2
Dividir x + 2x3 + x5 + 2x2 + x4 + 2 entre x4 +
2 Cociente Residuo
Resolución:
Ordenando:
(x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 2) (x4 + 2)

Usando sólo los coeficientes

1 1 2 2 1 2 1 0 0 0 2
Ejemplo 1
-1 0 0 0 -2 1 1
Dividir:
1 2 2 -1 2
-1 0 0 0 -2
D(x) = 9x4 + 0x3 + 2x2 + 6x – 8
2 2 -1 0 d(x) = 3x2 + x – 2
De donde q(x) = x + 1
R(x) = 2x3 + 2x2 – x

C. MÉTODO DE GUILLERMO HORNER

2 lugares porque el
Se sigue los siguientes pasos: grado del divisor es

a) Se completan y ordenan los polinomios 2

dividendo y divisor. 3 9 0 2 6 -8

b) Si dibujas dos líneas. Una horizontal, otra -1  -3 6

vertical que se corten a un extremo.
2 1 -2
c) Sobre la línea horizontal se colocan los 
coeficientes del dividendo con todo su signo
(obviar el +). -3 6

d) En el casillero intersección se coloca el
primer coeficiente del divisor.
3 -1 3 1 -2
e) El lado de la línea vertical se colocan los
x2 x T.I x T.I
demás coeficientes del divisor, pero
cambiado de signo.
q(x) = 3x2 – x + 3 R(x) = x - 2
f) Se cierra el diagrama con una línea
horizontal.

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 34

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

DIVISIÓN D(x) y d(x)

D(x) =
d(x) =
II. En los siguientes casos dividir e indicar la
D(x) =
suma de coeficientes:
d(x) =
6) =
D(x) =
d(x) =

D(x) =
d(x) =
7) =

La semana alcanza para

todo: 8) =

estudiar, trabajar, descansar,

divertirse...¡ Sólo es cuestión
9)
de organizarse !

Práctica dirigida N° 06
III. Dividir (utilizando Método de Horner) indicar
I. En los siguientes casos dividir e indicar el el cociente [q(x)] y el resto [R(x)]
coeficiente resultante:

1) = 10)

2) =

3) =

4) =

11)
5) =

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 35

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

I. Dividir los siguientes monomios:

1)

2)

12) 3)

II. Hallar el cociente en cada uno de los

siguientes casos:

1)

2)

III. Dividir utilizando Método de Horner e indicar

el cociente y el residuo.

1)
13) =

2)

3)

4)

5)

Tarea N° 06
DIVISIÓN EUCLIDIANA

Como estudiamos en la semana anterior la

División Euclidiana es aquella que se realiza
con polinomios de una variable. Así teníamos
los métodos de división:

1 MÉTODO DE HORNER

Ejemplo:
4 12 - 17 2 -9
17

3 Dividir: 9 -3

-1 -6 2

q(x) = 3x2 – 2x + 2
 6 -2
Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 36
.
3 -2 2 10 -
x2 x T.I x 11
T.I
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA
R(x) = 10x - 11 ii) x=-1
iii) Se reemplaza:
2 MÉTODO DE RUFFINI R = 8(-1)2003 + 13(-1)2 + 1999
R = -8 + 13 + 1999
Se utiliza cuando el divisor es un R = 2004
polinomio de primer grado.
Ejemplo 2
d(x) = x + b b0

Dividendo 

x+b=0 1 Lugar i) x2 + 1 = 0
x = -b ii) x2 = - 1
iii) Observo que:
Cociente Resto D(x) = 2(x2)2x + 3(x2)(x) + 3x – 6
Reemplazando: x2 = - 1
R(x) = 2(-1)2x + 3(-1)(x) + 3x – 6
R(x) = 2x – 3x + 3x – 6
Ejemplo R(x) = 2x – 6
 Dividir:

Práctica dirigida N° 07

1) Al efectuar la siguiente división:

x4 x3 x2 x T.I
Indicar su cociente.
q(x) = 2x4 – 6x3 + 3x2 – 9x + 7 a) x2 – 2x – 3 b) x2 + 2x + 3 c) x2 – 1
R(x) = -13 d) x2 + 2x e) x2 + x – 3

3 TEOREMA DE RENÉ DESCARTES

(TEOREMA DEL RESTO)

Este teorema tiene por finalidad hallar

el resto de una división sin efectuar la
división.
Se siguen los siguientes pasos:
i) Se iguala el divisor a cero.
ii) Se despeja una variable. 2) Indicar la suma de coeficientes del cociente
iii) Se reemplaza el valor o equivalente de dividir:
de esta variable en el dividendo
cuantas veces sea necesario.
a) 2 b) -4 c) 8 d) 0 e) -2
Ejemplo 1

i) x+1=0

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 37

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

3) Calcular m + n si la división: a) -6 b) 8 c) 2 d) 10 e) 23

Es exacta:
a) 5 b) 37 c) -21 d) -12 e) -20

8) Hallar la suma de coeficientes del cociente de

dividir:

a) -2 b) 5 c) 2 d) 1 e) 4
4) Calcular A + B si al dividir:
(12x4 – 7x3 – 2x2 + Ax + B) entre (3x2 – x +
3). El residuo es 4x + 3.
a) -4 b) 8 c) -6 d) 4 e) 5

5) Si al dividir:
(12x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D) entre (2x2 – x 9) Indicar la suma de coeficientes del cociente
+ 3) Se obtiene un cociente cuyos coeficientes
disminuyen en 1 y arroja un residuo R(x) = 7x + 9 de efectuar:
Calcular: A + B + C + D
a) 70 b) 62 c) 64 d) 68 e) 82 a) -40 b) -10 c) -22 d) -52 e) 22

6) Si la división es exacta en: 10) Encuentra el término independiente del

Calcular “m” si la división es exacta:
Determinar: m – n

a) 18 b) 20 c) 22 d) 25 e) 26 a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

7) Luego de dividir, indicar el coeficiente del

término independiente del coeficiente:

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 38

.
Academia Pre COAR “Arquímedes” ÁLGEBRA

11) Si el residuo de la división (3x6 – x2 + 3x - a) Deja como resto: 4x + 5

entre (x - 1) es 2. ¿Cuál debe ser el valor de a) 33 b) 16 c) 15 d) 10 e) 23
“a”?
a) 0 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2 6. Efectuar:

Dar como respuesta el término

independiente de cociente.
a) 203 b) 100 c) 205 d) 200 e) 202

7. Indicar el cociente al dividir:

12) Hallar el resto en: a) 2x3 + 3x2 – 4x + 5

b) 2x3 + 3x2 – 4x - 5
c) 2x3 - 3x2 + 4x - 5
d) 2x3 - 3x2 – 4x + 5
a) 6x b) 0 c) 4x d) 2x e) 3x + 7 e) 4x3 + 6x2 – 8x + 10

8. Indicar el término independiente del cociente

luego de dividir:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Tarea N° 07
1. El residuo de dividir:
(8x5 + 5x2 + 6x + 5) entre (4x2 – 2x + 1)
a) 2x + 1 b) 2x – 1 c) 8x + 4
d) 4x + 1 e) 3x + 2

2. Indicar el término independiente del cociente

de dividir:
(2x4 – 7x3 + 10x2 – 4x - 3) entre (2x2 – x +
3)
a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

3. Calcular (A + B) si la división es exacta:

a) 2 b) 0 c) 5 d) 4 e) 1

4. Hallar m + n + p si la división es exacta:

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 13

5. Calcular (a – b) si la división:

Ing° Leopoldo Gutiérrez Ramos 39

.