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Libro Mecanica de Fluidos
Libro Mecanica de Fluidos
Libro Mecanica de Fluidos
MECA¡IICA DE FLUIDOS I
020396
DTVISION DE INGENIERIAS
SANTIAGO DE CALI
1995
l9I ",3¿l¿1'9"o
| ilüllütülutututüturu il||
MEMORIAS Y IUATERIAL DIDACTICO DE
MECAI\ICA DE FLTIIDOS I
DTVI$ON DE INGEI\TTERIAS
SAITTIAGO DE CALI
1995
T
c#0'lo¿
/sT&'a
,a-/
NOTA DE ACEPTACION
oN
¡
Aprobado por el Comité de Grado, en
kI
cumplimiento de los requisitos exigidos
v
t/'
t
9
d
(
s)
t-
lll
AGRADECIMIENTOS
A BOMBAS Y MOTOBOMBAS
Occidente.
bombas y partes.
Mallarino.
lv
DEDICATORIA
estoy aquí.
En estos momentos,
también lo dedico a mis padres
JorgeyMiriamymuy
especialmente
CLAUDIA.
DEDICATORIA
SONIIA.
vl
TABLA DE CONTENIDO
Pógina
INTRODUCCION. I
I MECAI.IICA DE LOS FLUIDOS. 2
1.1.1 Definición 2
1.6 FLUJO 8
1.9 VISCOSIDAD l0
1.9.2 Densidad l3
1.9.9 Compresibilidad l8
(ESTATTCO) 2l
2.2 VARIACION DE PRESION EN LIN FLUIDO ESTATICO 28
REPOSO 3l
2.4 PRESION 33
vlll
2.4.3 Presión Baromética 34
o Relaüva 34
2.4.5 Manometría 35
2.4.5.1 El Piezómeto 36
Superrdcie curva 52
2.5.6 Hidrometría 64
ix
frr#
*l
Equilibrio Relativo de los Cuerpos 7l
HIDRODINAMICA 87
TIPOS DE FLUJO 88
Flujo Peflnanente 88
Flujo no Permanente 89
Flujo Uniforme 89
Flujo no Unifonne 90
Flujo Laminar 90
Flujo Trnbulento 91
Flujo Ideal 9l
Flúo Aüabático 9l
Y EMISION 95
x
3.4 CONCEPTO DE CAUDAL 98
CONTROL 99
CONTINT.JIDAD 103
Dimensiones 108
LINEAL l4l
3.10 FUERZAS SOBRE ALABES 158
XI
3.11 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE IJN FLUIDO
EULER t7l
3.11.1 Circulación f Gamma l8l
3.11.2 Vorticidad 182
xll
3.12.1.5 Diagrama de Velocidades 198
Laminar 224
xru
4.1.9 Conceptos Básicos 227
5. CONCLUSIONES 256
BIBLIOGRAFIA 257
A}IEXOS.
xlv
LISTA DD TABII\S
Página
xv
LISTA DE FIGI]RAS
Prigina
Posición a'b'c'd'. 5
52
deuncuelPo. 54
curva. 56
Fluidos 63
xvll
perturbada. 67
FIGURA 39. Tubo de corriente mostrando la enfiada y salida del caudal to7
)c\riii
FIGURA 45. Conducto ramificado 148
corriente t7l
FIGURA 54. Aplicación de horizontal y vertical combinado r74
de longitud 181
xD(
FIGURA 60. Representación en dos dimensiones 183
alpapel) 189
anelejexyelejey 194
FIGURA 72. Muestra del radio má:rimo y cualquier raüo de tubería 220
FIGURA 76. Esquema del tubo y muestra del área hidráulica 228
)o(
FIGURA 77. Esquema del tubo y muesfra del perímetro mojado 229
)o(I
LISTA DE AI\IEXOS
Anglosajón y Viceversa.
Capítulo tr, Estática de los Fluidos, es la parte que se encarga del estudio de los
sistema en tuberías.
)odii
INTRODUCCION
Mostrar cada uno de los temas de una manera más sencilla y compleja para que
encuentran en el área.
y se hace la síntesis de la teoría con la práctica con acento en esta ultimq por
fi¡ndamentales de la mecánica.
- Cantidad de movimiento.
I.3. APLICACIONES DE LA MECANICA DE LOS FLIJIDOS:
estudiarlo nos daremos cuenta que gracias este estuüo dano paso a ciencias
La referencia del aire es solo para dar un ejemplo de lo que alcanza a abarcarse
- Accionamientos hidráulicos.
- Oleoductos.
- Cenfrales termoeléctricas.
- Máquina de fluidos.
fluido sea viscoso, propiedad que poseen todos los fluidos reales.
1.4.1. Fluido ideal. Es aquel que a diferencia de los fluidos reales no üenen
FF Frueza tangencia
A: Area
Si colocamos una sustancia entre dos placas paralelas separadas una pequeña
placa superior (F), la cual actua como una fuerza cortante tangente sobre la
sustancia enüe las dos placas. Si la fuerza F ocasiona que la placa superior se
mueva con velocidad constante (distancia de cero) sin importar que tan
rm fluido.
h lt'
-
rl¡
tJ
!
2 I
É I
tl)
A
t,
ll l/ I
4 t/
-r\r-L,r r':/- *?zz'z 7:- - .
-
p.A.u _ F.u
como , =+ Ecu¿ción 1.3, se puede decir eu€ r =
A.t t
du
Por lo tanto , = lr.! /\ T:A-'dt
t
El cociente I indica lanpidez con que el ringulo abc DECRECE. Por tal
t
velocidad de canrbio üüdidad por la distancia sobre la cual ocrrre ese cambio.
r .,dtt
La expresrofi , es más general y se mueve en relación con una capa
oy
(ejemplo : Hidrocarburo)
d., I
rly I
I
I ,Y" /v-
!r' ¿l,f
.: / {J 'o{t
¿*/' a:
.t i'' *i// ,?.
1),/.<,:Y ;i ló
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ll- -l
L
!té.- --.------.-.--
cEbEr{c'tA (
I.6. FLUJO
denomina fluio.
corte que se manifiesta en el interior del fluido y en sus fronteras, lo que causa
por los métodos matemáticos que se usan para describir otros campos
Los fluidos los clasifican en líquidos y gases: Los líquidos se caracterizan por
ejemplo:volumen.
I.9. YISCOSIDAD.
De tod¿s las propiedades que tienen los fluidos es la que más se debe tener en
corte.
la üscosidad:
moléculas dejan espacio más pequeños habrá más fuerza cohesiva que en los
directamente proporcionales.
Haciendo la siguiente acotación para tener en cuenta los fluidos líquidos libres,
sobre el, lo que quiere decir que sólo se tendran en cuenta esfuerzos normales
dy: Lfr
du: L
donde F:Fuerza, L: Longitud y t: tiempo.
New?:'ses
En el sistema internacional será:
trf
t "{.,*t
m'
y en el USC será:
W.seg\' slug
@ pt"".s
CGS:
n_j_- _ I Dina.
rL rotse seg
cm'
1.9.1. Viscosidad cinem¿itica. Se designa como (p.), que es aquella que mide
p = Densidad.
l3
v: Volumen em mt
Para el sistema internacional p = mI;3 = ry
m"
10009.
,tf
de fluido.
v: Volumen en mt
t4
En el sistema intemacional:
*-N - Kg
' mt m'.segt
Como sabemos que w=nl.g entonces reernplazando en la ecuación anterior
tendremos que:
r =Y=il'g
vv = p.g Ecuación 1.8
Es totalmente adimensional.
15
de ahí que se diga que es el voh¡men ocupado por la unidad de masa de fluido,
de aquí que:
masa
u=lEcuacion 1.9 - =EM-'
p volumen
estas son las que componen los fluidos, pero cuando nosofios en ingenieria
en conjunto de moléculas.
Por qué? Por la sencilla razón de que este efecto macroscópico lo podemos
apreciar y medir. Por estas razones se puede decir que el fluido trabaja como
condensación; es la misma que sale del fluido, dandose así un equilibrio pero,
asi sea que el líquido hierva se debe aumentar la temperatura al líquido lo cu¿l
annrenta a la vez la presión del líquido, entonces al ser la presión del líquido
Se encuentran muchos casos en donde las presiones son muy bajas menores o
( Priqui¿o I Pv"por).
líquido y un gas o entre dos líquidos no miscibles. Parece que se formará una
debe a que las fuerzas de atracción molecular osea la cohesión de las moléculas
Para r¡na gota esferica de radio R, la presión interna P que balancea la fuerza
de tensión G se calcula:
G.2.zr.R = P.?t.R2
Despejando el valor P:
valor se da en tablas.
0: Angulo de contacto.
dP
r\r. = --- = --
dP.Il
cN Ecu¿ción l.l2
dv
v
l9
tablas).
EJERCICIOS DE APLICACION
graüacional en m/s2?
Respuesta/
á =? ^/,
/{
- _095Kgf *9.8N *Kg,
I Kg lKgf s'¡f
á = e.3r r/s,
v=1= I =g.99¡1g-,tr{.
p 12360,6 Kg
2. ESTATICA DE LOS FLTIDOS
decir que son fluidos estáticos ( en reposo ) , por lo que su estudio es simple y
(ESTÁTrCO)
Primero que todo hay que idealiz¿sss un elemento de fluido en este caso será
externas ) las cuales son normales a srx¡ zuperficies donde actúan y el peso del
sená : Fo"
Fn
Fo, = Fn Seir d
Fn-.Y
C¡sá=
Fn
Fry = Fn c-os d
dA,
Fz:0:Fz-Fnz-w:0 Ecuación2.3
donde:w=peso
a:
dF : P dA Ecuación 2.4
Donde:
P : Presión
La
, &*dv*dzse oDuene
expresron r¡. asl:
- Zp*g
25
w = T*V
v:A*Long
w:y*A*Long.
Y el y = p * g (densidad * gravedad )
w:p*g*A*Long
Y el área del elemento de fluido está dada por un üiangulo por lo cual
.
A--
b*h
2
= o. 6
w-t'
w * w,,6,-P s.( ú..¿tu\ . e
r. 5
".(!:A
\ 2 ) \ ,/
NOTA:
26
d4 = dt4'n* Sen?
SenT =
il'
dA+
da.
Cos0 - dAn'
dAr= Cosq* d.4,
Pz -fu-g
- Pn- 2p* :g despejando Pz tendremos que:
fu
Pz= Pn*
2p* g
Pz = Pn Ecuación 2.5
Fy = 0 =Fy - Foy
Fy = Fny
h = Pn Ecuación 2.6
Ptr = Pz = Pn=Px
Se puede concluir que "La intensidad de la nres
debe tenerse en cuenta que aparecen esfuerzos cortantes, lo que resulta unas
elernento de fluido pequeño el cual tendrá una altrua dz y una área'se la base
dA, se considerará la presión sobre la cara inferior será igual aPry la presión
que actua en la cara inferior será igual a la anterior más un incremento debido a
Donde:
dP
?:
az
incremento de la presión por la variación en la direcciúnZ.
pg ilzA=w (peso)
r=p*g
dP
- CE' - P*g=o
dP
:=-P*
ca
g
dP
-'y
dz'
-=
expresión:
dP^dPv _=u
dx
-=u dy
medio del uso de vector de gradiente, ya que cada una de las ecuaciones
anteriores
(#=-r'#=r,#=l
-t+
pg : fg.... se obtiene la siguiente surna vectorial:
+
Fg - p*g*k
-- (ap. dP. dP.)
.bg = -l +- | +-lc
\á
-, dy" dz ) I
Ecuación 2.9
+
Fg : Fuerza graütacional.
--t
Fg =V*P Ecuación2.ll
3l
n'=-V*P Ecuación2.12
infinitesimal el cual se encuentra forrrado por una base A y una aln¡ra dz. Para
I
¿t
--r
FIGIIRA 9.Deducción de la ecuación fi¡ndamental de la hidrostática.
32
b la superior una presión P + dP y además lafaerza que ejerce el peso que esta
determinada así:
dW: -pgLdz-
La ecuación de equilibrio en la dirección del eje Z seri:
P * A - ( P + dP ) A - p gA dz : es decir
p: cte.
#=-O* f
Ecuación 2.13
Donde -p g: T Entonces:
Esta ecuación puede aplicarse para todo fluido ideal y real, con tal que sea
2.4. PRESION
que ejerce una presión sobre cada superficie con la cual se encuentre en
contacto.
l.B KÚ :760mm Hg: 1 atm : 14.7 PSI =0.98 bar = 0.98 x 108
jV
cm m'
34
existir presión, pero en la práctica es usado muchas veces. (Ver FIGURA l0)
10).
puede ser expresada con referencia a cualquier nivel arbitario. Cuando una
atmosférica.
35
Pabs: h + Paün
Endondela
'
pttwpttctrica =- r^.*L^
*h+ hr-= LP Ecuaciún2.20
r
la cantidad de h ha sido utilizada para representar la distancia vertical, de la
2'=lb¡r
-ltEcle
p*=lOn
fo¡
a) Tubos piezometricos
c) Manómeüos metálicos
P=Th Ectnci6n2.2l
manométrico.
Solución analítica:
Pn*T"n=Tn
Pa=Tn-T*rt
Solución mecánica:
Pn-T"n*Tn=0
Pn=y^*7*
Solución analítica:
Solución mecánica:
Dicha manecilla inüca el valor cero cuando las presiones medianas y externas
presión que se puede medir mediante su uso es la relativa a la del meüo que
Un fluido en contacto con un superficie solida ejerce una fuerza sobre cada
solida será igual a la sr¡ma de las fuerzas sobre todos sus elementos o sea:
Fp:IP*aA Ec¡'nciÓn2.22
2.5.1. Fuerzas Sobre Superficies Planas. Las zuperficie planas son de dos
tipos:
dF : p * dA- J dF : J p * dR e F : pl dA
F:P*A Ecwción2.22
43
F: Fuerza
P: Presión
A : Area
la presión se positiva.
p*A*X=plil*X=Í^-4
ntnA
x =)[an. x Ecuaciún2.24
bajo presión estátic¡ del fluido l¡ fueza rGsultante p¡saro ¡ trevéz del
j
& \
2r ','1.
/ )¿;i
jr'
,/ ," ::
Not¿ción para la fuerza que ofrece un liquido sobre r¡n lado de plano inclinado
FIGURA 16.
libre.
dF:_P*dAdF:Y*h*dA
h
Sen|=a h: Y* Sen 0
v
Reemplazando obtenemos :
¿f=(T*Y*Sen0)ú4
46
F:T*Sen0 *Yg*A
De la FIGURA 16 tambien podemos decir:
Seno=lE
Yg
cualquiera de los ejes coordenados será igual a la suma de todos los momentos
tenemos:
I
X.' =4Í x *Y * Senl* ú4.
Sen0*Yg* Atn
respecto a los ejes cenhoidales lxy ( momento de inercia para ejes paralelos).
Ixy=Ixy+X*Yg*A
NOTA:
Siempre que uno de los ejes respecto a los cuales se condidera el producto de
cero.
49
v-'ry I
/lD
' --
Yg*A
n _Q*+X*Ys*A)
^"- Yr*A
x"*fu*x Ecuacion 2.28
Y, * F = * P * dA) Y,
=(9{i * p * dA
I,
YP=
r*sh*a!r*r*ae
y.= *. l-Íy*r*y*seno*dA
' T Sen9* Yg* Atn
y-= seno*r fy, *da
' T*Sen0*Yg*Atn
|
' =Yg* ltnÍY' d,¿. Ecuacion
Y. * z.zg
Iry
v-
Y, =ffi. Ecuación 2.30
Ixy=Ig+Y*A
Donde:
Ig: El segundo momento del área respecto al eje horizontal que pasa por el
Yp-
-
Ig+Y" * I
Yg* A
Yr= Ig +Y
Yg* A
Y =Yg Ecuacion 2.31
2.5.3. Fue¡zas Sobre Superñcies Cunas. Las fuerzas que actuan sobre una
de acción.
52
ala faerza ejercida sobre el rirea plana formada por la proyección de aquella
dirección de la componente.
l:lr=ffilfl i
.¡ !-b
',
___r¡_ Jf
superficie curva.
= n =I,
dF" = p * dA* Cosl = af, = p * dA* Cos| * d/4 * Cos7
! t
AAA
[ *. coso
A
De lo anterior podemos concluir que las propiedades que rigen para una
superficie curva sumergida tales como su línea de acción y dirección son las
mismas que las de una placa sumergida; o sea que para encontrar la
componente horizont¿l en ángulos rectos a la dirección X se proyecta la
superficie curva sobre un plano vertical paralelo a X y se determina la fuerza
sobre la proyección.
54
Cuando analizamos una superficie curva cerrada podernos observar que las
en lados opuestos del cuerpo las proyecciones del elemento de área tienen el
cuerpo.
área proyectada.
igual al peso del liquido situado verticalmente por arriba de la superficie curva
De igual manera que para el calculo de la fuerza horizontal para hallar lafillerza
ry=[r*dA*Cos?
A
ry= lr * dn*=Fy=
T Id^ Ecuación2.35
Vot Vd
producto del peso especifico y la distancia vertical sea igual a la presión en ese
58
punto, por lo tanto lafuerza,vertical será el producto del peso especifico por el
Superficie curva
imaginada.
Volumen imaginario
del cuerpo EHCDE o sea igual al volumen de líquido desalojado por el cuerpo
F¡l
I
HEA; sobre la cara inferior la frtelrzaF2 igual al peso del tiquido representado
b) Si W < F el cuerpo flotq sale una superficie, hasta que el peso del fluido de
resultante así:
rlx*dv=T*v*i
V
v
Eclug¡ciún2.39
i=lllÍx*¿,
\v,/¿n
distancia al cenfroide del volumen del fluido desplazado por el cual pasara la
4-F, F'r
n=4r'-
Tz- Tt Tz- Tt
par que hará que el cuerpo continúe girando hasta que se alcance la
c onfiguración estable.
Para detenninar la estabilidad de cuerpos flotantes hay que tener en cuenta que
incline y gra, ya que la posición del cenüo de flotación con respecto al centro
agua corta el barco totalmente cargado y en la posición normal del barco. ( sin
desüación)
67
2.5.7.2. Eje De Flotación. Es el eje vertical que pasa por el cenfro de gravedad
perturbada.
68
2. Si el metacentro se encuentra por debajo del centro de gravedad del barco (si
es inüferente.
-6.Fa + C =O Ere.tambien.es:6=9='
FBw
kaación 2.42
MB=
SenL,0
donde A e corresponde al angulo del desplazamiento
rotacional.
C = T*AellXz* ü(*dy
I
área dA será:C=X * dA resolüendo: MB=T* L0.ffi si laanterior
ecuación le aplicamos la ley del L' hopital para los límites sabiendo que el
LimtAe/SenAe = I
Ae +0
7l
metacéntrica MG será :
MG=T*
It + ttG=b
wv Ecuación 2.45
^.
Lomo w I
T--l-=-- r
vvw
De donde deduciremos al calcular que si alnna metacéntrica MG de un valor
configuración es estable. Hay que tener en cuenta que el análisis se realizó para
un pequeño desplazamianto
relativo cuando una de las partículas de un líquido esta en reposo con respecto
a cada r¡na de las otras partículas y además al recipiente que los contiene; pero
mueve; sin embargo, puede suceder que las partículas del líquido no cambian
uOu
aceleración constante " a " La partícula de peso W en la superficie libre estii
Fruro=m*a Fi*,ao=[;)-"
ZFx=0
Px-Fin:0+Pr= il * a
g
IFy=o
Py-w=0+Py=w
Tangl : 5 I *
Pyg
"seaque "
g w* a
Tans.o -
w a*w
Tang0:!
g
74
libre del líquido y además al ser la aceleracion (a) y la gravedad (g) constante,
superficie del líquido, gü€ es lo mismo que decir que la superficie AB será
Las condiciones del ángulo 0 senin vrilidas para un recipiente que se mueva
vertical es nul4 las únicas fuerzas verticales que actán sobre el elernento
Pb * dA = T* h
*'dA + Patm *dA + Pb=T * h+ Patmycomo estamos
trabajando con presiones relativas despreciamos la presión aünosferica y la
punto es la debida ala carga del líquido directanente sobre el punto, como es
recipiente fuera nula" la tangente del rángulo de inclinación sería cero. O se4
que la fuerua "P. debida ala aceleración ascendente será igual a la faerua
debido a la gravedad" que será un peso específico por su volumen total así:
P=Pb*dA-1 vol
Al igual que en el caso anterior Vol = h*dA
P: Pb*dA,y*h*dA=m*a
rrt=
w !--
y*h*dA
reemplazando tenemos:
-gg
=
diferencial tenemos :
7E
_ y*h*a
"
Pb=T*h+'
g
* h* a
el signo 6" r será negativo.
g
igual a la de la gravedad tendrá tod os sus punto sometido a una pre sión
relativa nula.
líquido cualquiera y gra al rededor del eje y/o como el de la FIGURA 30.Si el
nivel m-rr.
79
punto en el cual gira "a" ubicado en una dista¡rcia nt'' del eje de rotación 0.
una aceleración dirigida hacia el centro de rotación y será la que actr¡a sobre
las demás fuerzas que actua sobre la mas4 como son el peso debido a la
gravedad" que actua verticalmente hacia abajo y la presión ejercida por las
UniversiCad A
.tíroma Cp iccident¡
sEcctoltl BlELlolEcA
80
superficie del líquido en el punto "o". sabiendo que la fuer:za centrípeta está
expresada por:
C=m*V *r
c=(\*wz *r
\s/
- ----o -
Tanso=ú
dr=cW-(m*w'z*-r)
(.* s)
*
Tango -Y" '
g
dh W2*r
tug
-=-
¿¡=(t).6,
\ s)
Si integramos con respecto al distancia el centro de giro nt''tenemos:
fdh:19Jr*dr
\s/
Integrando:
(w' *t')
n:
2g
8l
la de una parábola, por lo cual la superficie del líquido describirá una prárabola
variado tendremos:
bb'-b" * n'
=bb' - nn' (en distancias)
n=L
2g
elevará sobre el vértice de la parábola de que genera esta" una altrna igual a la
vertical la sr¡matoria de fuerzas en este senüdo será nula. Por lo cual la fuerz.a
será igual al peso del elemento diferencial que calculemos como su peso
Pc*dt4=7'vol-f*dA*h'
Pc=r*h'
Ta¡nbién deducimos que la presión total sobre los lados del recipiente será
igual a la presión que se generará cuando estuüera lleno hasta el nivel m'n'y
por supuesto no rota¡á.
EJERCICIO DE APLICACION
Equilibrio Relativo
rígido; OA:150 cm; OB: l80cm. La hoja OA tiene una masa de 3.000kg y la
Calcular:
Segun el enr¡nciado del problema los datos conocidos son los siguientes:
84
1116¡ = 3000Kg
1..0
óA:l,som
óB=l,8oM
W-" =3L
B:4M
c) Anrilogamente,
85
tiene:
I
y'il=f,(+,tet' - 2,ss*) ño" =ffi= 3,5't5m
e 4r - -\
I
yil =)(+,le* - z,ss*) Ñ DCo" - oD = 3,575 - 2,5s8 = 0,977m
or=
las fuerzas que sobre ella actuan con relación al puntoO sea igual a 0(véase
Wo".O,5OAcos6ff *Fp,t.-OCo,ctWon0,5.OB.cos3ú-F',B-OCoa*W.1,65.cos30=0
De donde
86
I & =o ; Fpo^cos6oo+Froacos6oo+R* = o
Donde
^ arctg-=12,47"
0=
20981-5
- 9487s
.
3. HIDRODINAMICA
INIRODUCCION
ejemplo.
- Ecuación de continuidad
- Ecuación de la energía
EE
3.1.1. Flúo pemanente. Si en cualquier punto del espacio por donde circula
pendiente r¡nifonne.
*¡LP,,-l)
.Jt
&i
| (l ='constante
--+
Q=.-l-
Q- .\e-
\r =Vz
magnitud y dirección.
. Ai iAz
i i--+ 0=constante
\,7 u2
{*"
que el fluido se mueve en larrinas paralelas. (Si la coniente tiene lugar entre
üscosidad de Newton.
9l
Newton.
incompresible.
corte viscoso.
sin fricción.
Antes de enunciar y definir por fórmulas maternáticas las ecuaciones
puntos son funciones del tierrpo. Este método, fija su atención en un punto y
describe lo que va pasando en dicho punto a medida que transcurre el üerrpo
-+A/\A
v=ui + vj + wk Ecuacion 3.1 endonde:
u : fr(x,y,z,t)
v : fr(x,y,z,)
w:fr(x,y,z,t)
du :# d- . . dy +
fr a., *
fi .ar Ecuacion3.2
H
y similar para los otros dos componentes u y w asi que:
93
ax:
" +:+ *uiu +ro=D +w o=*tuuoion3.3
dt dt 0x 0y 0z
donde
0u
A t = término denominado aceleración local de la particula.
0u *Y-.t-
0t * 0w
0 y' 0y " 0 z :término denominado aceleraciónconvectivaó
üansporte.
0v 0v 0v +w-
0v Ecuacion
' oÍ ox ay oz -
au=T+Y:*r- 3.4
Ow 0w 0w *n;0w
o,=á*" Ecuacion 3.5
A **u A y
-+A-u(-)\-)
,: fr +
[, OJ v Ecuacion 3.6
1. Para un flujo pennanente todas las aceleraciones son iguales a cero,.lo que
significa que en un punto dado la velocidad es la misma para todo instante del
tiempo, ya que
-t
oY
=o.
0t
--t
son constantes en cada sección üansversal del flujo. Debe quedar claro, que de
Trayectoria de l¡ Particula.
trauyectoria l-2-3-4.
! áo,
El contorno de una superficie sólida (una tuberia por ej: ) que se localiza en el
Ox 0y 0z
Ecuacion 3.7
uvw
-=-=_=
corriente serán:
dx dz
Ec.3.8
u (X, y, z, to) u (x,y,z,to ) w (x,y,z,to)
3.3.1. Líne¡ De Trayectoria. Es aquella que sigue una particula del fluido
dx: dy dz
Ec.3.9
u(¿ y, a t) u (+y,zt) w(Ly,at)
97
üayectoria.
rastrear el movimiento.
33.3. Tubo De Corriente. Es un tubo imaginario o real fonnado por todas las
En r¡na tubería por ejemplo los litros por segundo (lps) de agua que circula a
.J,
)t:
4, 3)oí
z
!
54 /ts
por ejunplo los liros por segundo ( Lps ) de agua que circula a fiavés de una
t t-
volumen v
tiempo t
++
nulo. Si la V tiene una dirección cualquiera descomponiendo V en la
Q=o
o
FIGURA 37. El caudal a través de la superficie.
99
a). Es nulo.
un Vnpor ráreaA.
+
dirección de V puede variar de un punto a otro de la mismq además la
dQ = Vn dA Ecuación 3.10
3.5.1. Sistema. Es una cantidad de masa o materia que fluye a través del
á- : o m: masa
6t
t - tiempo
0q-r¡ (Dt
t2
vt v2
con respecto a un eje de coordenadas y a través del cual fluye materia o sea el
sistema.
dN A l.n .n+
_= púv + | pr,d.A
- "w|
Ec. 3.13
ú Of dtc
N =Propiedadaestudiar
t = Tiempo
to2
p : Densidad.l
V: Elemento de voh¡men
+
0 .A..= Vector que representa un elemento del área de sálida del del flujo
At .
+
a, l""np. du R.ripidez de ar¡mento de la propiedad denfio del volumen de
control.
103
? --, -+
del volumen de control, con respecto al tiempo más la rata neta del flujo de
tanto
ún n = ladffis
ún
--
0t -
n= 0
-ún
AN O¡ . *Jr."P n v dA
?
= Ecuacion 3.14 como se conoce el valor
At Atlr."Pn¿,
de n:l se reemplaza
variar en el tiempo).
Entonces o= 2[ "- *
- Au r
J*." P v dA Ecuacion 3'16
6¡rn."P
105
2.
+ p6v: 0 lo
Ot ¿| '
porque no hay variación en el tiempo; por curil la
o : I*."p i ¿e Ecuacion3.lT
Hay que tener en cuenta que la zuperficie de control puede tener varias
entradas y/o varias salidas, pero hay algo a tener claro la masa que enfia es la
frnm,t = frs,4r, donde +dr = flujo masico o rapides de flujo Ecuacion 3,18
m
Porserp: Ecuacion 3.19
v
aadl
OOtrO€;- = velocidaq e|ltonces
dt
0
m: p .A. velocidad Ecuacion3.22
flujomásico : rir: p.A.v:
obtiene:
p --') --t
J"..pd v dA
0'= evaluando a la entrada y salida se tiene que:
como
Q: Velocidad x área
Ecuación de Continuidad
In" A, : Iv, As
f'1 ! [salida I
,l
i
i/
II
;,
tt
:ta
\t.llI
compresibles.
0u *0u _0
0x dy
donde u v son las componentes del vector velocidad en Ia dirección x,y,
respectivanente.
emplee.
o trabajo T es:
F--e
f¡oslcl6n'l Poslción 2
Plano de referencla
manera siguiente:
tt2
-+ dv
a:
dr É:M# Ecuacion3.29
Fdt:'dr
g
Ecuacion3.30
.de
dt- Ecuacion 3.31
-v
!'ra"=!li"*=[" ü EnergiaCinetica
": +
Ecuacion3.32
E _v2
wzg Ecuacion 3.33
E : ll,2 xTz r
w TzxL - '-
-:
Ec=;-F]
Par¡nidaddepeso Ec.: I m/ -f
2 rry 29
l14
la FIGURA 42.
Hivel de fluidos
mqntg grande. r
Heripiente de áles secc¡onel infinita-
de áree dA
--)
total F son respectivamente:
p = Th É:7rroR
T :h: P Ecuacion3.35
7 dAds T
presión P.
l16
una línea de corriente. Se supone que el flujo es sin fricción y por lo tanto la
partícula.
,rx;)z froyeclorio A
cos0=#
fs dAds
Peso de lo porlículo
EF:m.a
0z :
1_ 0z
: -cos/ Ecuacion3.37
0s Os
t, entonces:
, = Ov ds + dv
:- dt y se diüde por dt
dv -
0s 0t
Ov : Ov ds- Ovdt
At 0s dt ?tdt
dv 0v.0v -Ecuacion3.38
dt Os Ot
-:v-*-:
0o dz=u-A
0v 0v despeJando 0v
-ñ-S* At A, t"üene:
"*
-+ por g se
0s +
Diüdiendo
p?s- s+
"ds- "+ = obtiene:
0t
_ 0p _gdz_y?u_0v
gpAs gds g0s gdt
Si se define H como la carga tot¿l del fluido o cabeza total del fluido segun la
siguiente ecuación:
fl=
Dn
v)a
r-o
P
donde = = energia de presion
r
v2
= energia cinetica
-2g
z: energjapotencial
DerivandoHtendremor,ffi= oP oz vov
dsra;*^-;;'siledamoselvalorde
dp *d' *l{= 3.40 ..Ecuación de Euler,,.
cero a - 0 Ecuacion
fds ds gds
3. Flujo incompresible.
t2l
tuberias de presión.
las propiedades del fluido y las características del campo de flujo, en un punto
0v
fijo dado de la trayectoría" no cambian con el tiempo. En este caso - 0
A
= o:
0=H
' -+
o sea que
gdt 0s
Flujo sin fricción y permanente.
Pvz
H=r +Z+ Ecuaciqr3.44
r29
Ecuacion de Bernoulli o Ecuacion de la energia
3. Que el fluido sea incompresible osea que el peso especifico del fluido sea
constante.
por unidad de peso y por lo tanto la ecuación 3.45 no es ofia cosa que una
donde
=!*
n,'29r 4 * zt , Ht= energs del fluido a la entada o punto inicial.
NOTA:
Si todas las lineas de corriente se inician en una fuente en donde todos los
aplicarse entre dos puntos situados en üferentes líneas de corriente, o sea que
EJERCICIOS DE APLICACION
(Ecuación de Energía)
3.1. A través de un canal abierto circula agua con un tirante de 4 pies y auna
canal abierto con2 pies de tirante y velocidad 40.1 pies/seg. Suponiendo que
FIGURA 3.1
Zt.: Y + 4pie
22 : 2pie
Aplicando Bernoulli:
*4 izr=!*L*r,
!'29r29r
reemplazando z1 y z2 tendremos:
t26
T-4+y+o=!+L+z
2gr2gr como nos piden un y osea la diferencia de nivel
de diametro
127
FIGURA 3.2
+=:-i.P'-L+r,-q
2g2grr
zr:4m y zz: 0
La velocidad en el punto I será cef,o, para las presiones por ser presiones
*=o+o-o+4m
v=,[@(s)
,, - r[@9.8m2 / s, =2,t7g4
vz =8.85 m/s
(zlo,'lo)'z : 7.85x103
Ar=+ - A,
Q :4, V (paseralasalida)
Q= 0.07mls
3.3. Para medir el gasto en una tuberia, se emplea el tubo venturi, que consiste
tubo.
Si P,-Pr:.3psi
---J I
L_
.e
l-
FIGURA 3.3
Q:Ar Vr:A¿ Vz
pero:
A,Y = Lo{o,)'v, =
i{u)'v,= f,rcv,
a
Univarsidad Arrt6nonna de nccidcntC
stcclc!,1 BlBLl0itl¡
130
Itu": f,rcv,
e: +Y, = 3Y,.
16'36
Aplicando Bernoulli tenemos:
++* 4 = ,, *P * L
'29r2sr
,, e igualando a cero la expresión anterior:
,r).(v: v:\+ -
\¡ -
(r, -
" \ 29 ) [q 0. Por estar z1 y 22 sobre el mis¡no nivel de
\ r "')) =
referenci4 a la misma altwq se tendrá:
P' - P' : 0
='] *
4' Por tener la diferencia de presiones en PSI se
29r
converitrá:
s= ry,
T ogoo
despejan do el y *",o*otenemos: rr.o"¡oo¡ = r ryuo s
v: P,
av: *4-
29 =o tenemos: ry_nsg2 * 432tbf lpiez
2o'g 2r'g 56,l6lbmf pie3 =s
f =
(zso-rzsd
\
Q *t.tlbf =o+
' 2nz 29 lbm
q^
-rnrZn'g+7.7lbf
lbm
=o =
Despejando a Q de todos los valores anteriores obtenemos el siguiente valor:
Q= 25.21pie3l seg.
75.O t:n¡
35.0 cln
f'!lno dn refe;encln
FIGURA 3.4
PA , Vo'
+Zo: PB V"t
+Zts
r2s r29
zB=0,7s m.
a: V^Ar= V¡ABos€8que
a: T<o^5)'v^ =i<ro,ro)'v"
P. P"
rr- = 5.26mde agua.
ui -!9?y^)'
ryf *'j :,']
29 - - -0 entonces 5.26 +
zB
2x9.8
- 0,75 = 0
5.26 + o'94v1-0.75=o
19,6
DespejmdoY, = 9.69m/s.
3.5. Una tubería que transporta aceite de densidad relativa 0,877 pasa de 15cm
Ke/"f,
flujo.
Z=3.6 cm
Referellclt
FIGURA 3.5.
Aplicando Bernoulli:
135
*Y *r, = +. Y.2,+d
+r4'r2g perdidas(r-z)
p,-pr
Fudidas,, = , *ri:\' +4+4
u
Por desconocer las velocidades las puedo determinar a üavés del caudal.
la velocidad así: v, =
' +4 ='our^\lfÍr
r(o.ts)"
realizando est¿ operacion v, = s.26 m/s.
4
Lo mismo se realiza para la Vz: lo cual nos da un valor de 0.917 m/s para la
velocidad dos.
Reemplazando tenemos:
136
corriente.
57 nl
137
Aplicando Bernoulli
interesado:
='|:!' *zz-rr*U*H,
H"=Hr+Hr-H, o H""2gr
Las presiones P2 y Pr, por estar abiertos osea a presión atuosferica sera igual
a cero.
p _D
'2 'r =0. Reemplazandotendremos:
r
Hn=zz-zr+H,
Hs = (57-12)m- (2,5+6,5)m
Hs = 54m.
i=r QH"
i=o,762xloooK{r160Lt * ld r54-
m" seg l000/,t
iv=762.K{. *0.160 d *s¿m
m"s
m
i = 6583,6rrKgfx
seg
turbina?
FIGURA 3.7.
Aplicando Bernoulli
4=FL+I{-r[+rü
Entonces
Hl = H2 + H1 despejando Hl será:
r'-8,_
-z+4-4+*
.Y+V
4=H,-H"---r
T¿g
H.: q + vr''Y'
'r2s
O= AtVt + 9v,
At
1s ,
-@="
0.06283ms
4
2.0mf s =V r
Regresando a la ecuación
-
3Kgf *10.000cm2
f t
r^¡ ^rr , t
-g'lr' lt'
u, =ñ *12'
looo ry 2*9.8mf s2
m"
Ht=30m+(-3.06)n
Ht =26.94m
La potencia será:
14l
o
w=6*e*Hr=-loo0@ *o.o6zl.r't*2c94m
*" s
lv = re92.64KÚ
- *-* y!,,
s ,,
"Kgf*m
0 "
w = 22.56HP
vetoci¿ad ll).
\/
áN 0 ¡ - ?
* 1.."n
--'-+.
p id'4 donde N:m'v' Ecr¡ación3'47
;=h,lr."o"o'
n=
dN . fmvt m-.+v
j=6l--- ¿u - <im
'dmdmdmdm Ecuacion3.48
--) mv -+
tl : V
m
--V
QUE NO ES ACELERADO.
lFext =m.aceleración
I Fext
Hdt -.on
Ecuación 3.49
ZFo,=ry =# Ecuacion3.5o
t43
m.
Las fuerzas externas que actuan sobre el sistema de partículas son de varias
Fuerzas de superficie (FA) o sea aquellas que actuan sobre la frontera del
Las otras son fuerzas de cuerpo Fb que se manifiestan por meüo de efectos
etc.
entonces
F,S+Fp+Fb=-
o@=N Ecuación 3.52
dt dt
dN de
* A
dt = A 1,".M !".".P''d
2.
Fu*rr*u r.".o i.
=
hl au +
I r.".o vv d,4 Ecuacion 3.53
O sea que la resultante F de todas las fuerzas que acutan sobre un sistema es
La componente x es:
obsérvese bien que en las ecuaciones 3.54 y 3.55 el término u¿7 permanece
A"
F=
*[, "o v¿y + I, ", @ Ecuacion3.56
IK
facilita la integración.
t' 'PF
.ri /'
.-.;'r\r1
+tJ I ¿it ,.",f'a.\
I'Yf
.l\
--"{
¿'-r .t I
,4 ''? ...:¡
.-t' ?
rj
-J ¿l
tt
,-'i.F='
._._,rL
tr.<-
- --ll- ¡
arL
-+ +.-l
-. - : ...:: .-
_s_ l¡ *,'4 r
' ';- : .lJ *.' '.-
- ._._. rra . I
'b.-j -*:t
á
Se tiene entonces:
e= A veto+#=in= p.Avet=k= pe
Por tanto
o_o_o_o?
F = tttoV o + ntV t - ñrm - irn Ecuación 3.59
donde k=únldt (masa por unidad de tiempo) que aüaviesa las diferentes
de todas las fuerzas que actuan sobre la masa de agua contenida en el volumen
.t4
-tl
, r -f''
_r-
.¿- f.;¡+rrrlV_l
{ !
,-s- !
t- -,
f_l
.¿'.tl'
#..'
---'
==rrr=.-f
t*
--._-*... t_=.
'o*'*-
_=*¡I 't¿
fuerza F, resultante de todas las fuerzas que actuan sobre la masa de agua(m)
Ecuación 3.59.
'-, n
I t''
'\..
\/
\ J
"!'
Í.- ^r. . rr.i
oo
F = mVz- mVt
B: Reacción del tubo contra el agua" producida por la acción que hace el
como
r=n+Fo+n=kvr-klr,
F = F, + Fo+ Ft = W+Pr + Pz+ B = kvr- kV,
oo
F=mVz-mVt + F=Y(mV)
p = 1mV¡sale - (mV)entra Ecuacion 3.60.
EJERCICIO DE APLICACION
3.8. Despreciando las perüdas por energía" determina¡ las componentes de las
DATOS:
S1
:0,45m
$2:0.3fur
S3:0.15m
Pr: I Kgf/cm
Q¡:600lit/seg
Qz:360 üt / seg
C[t :60o
&z= 45o
FIGURA 3.8
t52
el tr¡bo.
I' fueruas en X y en Y.
ZF*=Ex-Fr*-Fu
''f¿ll ,¡!,
:{- -.vzx
?
I .{,
=.i)
153
fuerzas.
Atrora si igualamos:
zF* =(^r),**-@4.*
00
4" - Fr* - Fax = mzVry - nhVr* - 0
0
-Fu:< = ffirVr* -mtVr* - 4*+ Fr*
00
F"x = mt\* - mzVr¡ t Fr* - Fr*
0
ns=? Por medio de la ecuación de continuidad podremos encontrar el
2alltlse-s
vr=+
" A,reemplazandotenemos: %= - entoncess vr=l3,sV/seg
E (otsf/
154
V3
primero:
0
*,=4xV,xpfeemp|azandotenemos:rlr,=|0ooKry^,*#xs'os/seg
ln, =359-lgmt/
' /seg
así: o.6omt/
Yr: ;:/'l!-F entonces Yt=3,77
E (0.+s)'
4
P, P,
*Vi:Vi \ -'Y"*, *Y* [(¡ zz)'zxea
- ss)'
1% (r r
rr29 = reemplazando:
r rcoow+z I ) /,,t
L = 1.3?¡n despejando Ps = l.32mf y reemplaz ando y seria: Q = 1.3?¡ttxl0l}*gA,
r
f, =B2gKd/, . Teniendo este valor podemos encontrar el valor de \ = 23,jZW
de inclinación de 60o
así:.{o = {, cos6ff
= 4* = 23,3Kdxcos60p-+ Ftx = ll,6@f .
Por tener los valores de todas las variables de la ecuación podernos enconüar a
Fs¡ así:
0
Fa* = hVu -Vo t Fr* - ^Q. reemplazando los valores tenemos:
El signo (-) menos nos dice que lo habiamos tomado mal osea en sentido
conüario.
I4 = (,n) -(^/)
' tÍsare \ )r^on
Zpr=4-Frr-Er+8,
I;Gr) t t xAIE
=h,v,, *&v,, +h,v,,
Encontramos el valor ¿"
"1,
000
= rnz*
trAr \ reemplazando los valores de mo¡ :239,98 +357,79 entonces el
Lo mismo se realiza con V2y y V¡v lo cual nos da los siguiurtes valores:
i1l;¡Lt'¡ f ii¡
!--riirrrt.r "5
t
"pq¡;-qr;ia!
;'
i
r'
|.7'llr
I
I
l.
'v2
: l.l ¡
Yry-.,'Í,
;!i+
I
'il
.l llx I
i
i ||
,t!
,: al
.ii
ta .r'
';¿i fip ,' l,{""'1" i,r*
"
' :l'_'--- '' : ''----"
rt!. -,/-
' r-'
!f I
t¿ u t
.' .---.-- ii| ,
¡
I_"'
i
!,. !,'r.! ! 'l
l¡r
te
It ít'i ftl
Asuma¡nos que el peso no influye. Las fuerzas de reacción que el alabe ejerce
_=
Universidad Aut6noma de Cccldenb
SECCIOH BISLIOTE:A
160
oo
Bx = mVzcosx -mVt
Reerrplazando:
16l
00
Br= mVrsena -0 entonces Br = mYzse¡a Ecuacion 3.62
n=,[4+gi Ecuacion3.63
EJERCICIO DE APLICACION
p:1000 kg/^t
1:_*" Vo=120 rnlseg
FIGURA 3.10
t62
F,.rylE
_1 \r,^
/f
/ {'
5*rfDo-*--+1:: t'- - ..-,t,r
\rq
r-''
fo /'
/
ttv /
r. I
Iffr*
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Cantidad de movimiento en x.
ZF*=()r) **-(hr)**,
,* =Vr( cos60- )rur*rarlsAAr.
Grü *^
como mo:p . Q reemplazmdo obtendremos:
4-
a = ooo
ff *o,o*e,ot *r2o!- x cos 6o- I 000
ff *o,+*s,stt *rzoL * oos oc]*," -
[r
Fx = -864OKs*!!
seg-
Fx = -8640Nan'ton
Cantidad de movimiento en y
Fr=pVsen6ü(Qr-Qr)
velocid¿det
4 = toooffxt2oLxsen6o(0,6x0,08- 0,4x0 ,oi#
Fy = 103923,05K8"''*(o,o+l - 0,032)a
seg 'seg
Fy =1662,17@** + F, =1662,77Naryton.
seg
t@
'l ¿¿
l:..*
l,:
-a -t^rl.
--.'--{^
I
FIGURA 49.Aplicacón de la velocidad en un alabe móvil.
I Vl>/ul
Cuando el alabe es estacionario:
-f-\
Ir= tlmV)=ZF=pQ V Ecuacion3.64
pGpAV"no,- por tanto se puede decir que la masa que cambia con su
cantidad de movimiento es :
165
I .¡1-
tBr
L"-tEn
ecuaciones:
Ecuación 3.6g
B x = p Qt LV* pero Qr = A r(v - ") Y LV* =Vr* -4*
t,
\0\
Vo-Q
Vr* =V^* + u
Vzx =V*"no + u
h* =(tt .- u\cosa + u
p Ao(V - *
" -n)
Bx = z)cosa Ecuacion 3.70
")((Vr-
Ecuación de canüdad de movimiento en
no tener v1 componente en y.
velocidad en punto 2.
I/
i,ur.,
f
toL I
EJERCICIO DE APLICACION
Alabe Móül
FIGURA 3.II
Aplicando la ecuación de continuidad tenemos:
Q= A,4
= ry*rL + Q= o.zsr3zlt
o :+
V*oo =ffi + Vr** =8L
0.251329m'f see
vr*u=X
.t
^
- N b.q'lt
fo* *' +
4=l0t**\-"
'm'4 Ft=12566,4N El valor de F2 por salir a la
fuerzas:
siguiente:
Br =l47LNewton
t7l
linea de corriente
¿r. t + ¿rl
p*o,=-+-yCosa
AS
0s !a,
ÍG¡)= dv = !a"
como: v = *
0t
dv Ov ds Ov dt
v¿= ara* ata entonces:
t73
dv 0v 0v yyaqUe^=d"
0v
-dt = -Y+
0s -0t
- dt
(
olt ndr. *)
ov\= - a / + r,)\
ln Ecuación 3.75
^
que constituye la ecuación general de Euler.
por ejemplo:
**Flúo Horizontal
**Flúo Vertical
)-
A=-t
AS
(hacia abajo)
-7
A- r"'
&x
oP
como: dr=oP
' Ox *
&
0z
a"
Tendremos:
t75
@=-p*a**&- p*o"*dz-Tz
@=-p*a**e-(p*ar+y)dz Cor, f: p* g
@ = -p* o* e - (p* o, + p* S)dt
*
permiten resolver la gran mayoria de las problanas relacionados con este tipo
dA y longitud drU que se mueve a lo largo de una línea de coriente es posible .,1')
*tt"
estudiar el movimiento denominado "VO+ITICE FORftII)O". r. .¡¡0r
ó6
P!'JA'Jn L
Irn=tn .i
lra-\
p.ú4.-lr.# oC* -rdt.dn sena = p.dA.dn.a"
0p - .
-- t" : --a : 0z
n r
P senx con sena
^
entonces: p.Lo: filr+f ")
Ecuacion 3.81
!
I
I
kt' /l
t
I /
I
t-
FIGIIRA 57. Recipiente cilindrico de radio R que gira sobre un eje vertical.
178
Reemplazando.
d¡
P4,:' *lp+Tz)
of
0p -7- dz
PLr: -:dt df
0p
PL,:
-of
. 0o
porlotanto+:pwzr Ecuacion3.82
of
t79
Entonces
o: -+(P+r,)
oz
A
despejando tendremos:
0p
Ecuacion 3.83
oz
4t
-:-y
Yaque oo:
# *. #.dzreeptazandosetiene:
determinar que:
180
I
H
wtRt
a) (u- tro)=
a:
l8l
w'f'
Z= Ecuacion 3.85
29
-
3.11.1 Circulación (f) gemma Se define la circulación f de una región
r.J *
f =f I/ dl Ecuacion 3.86
"l
.58,/
-->x
de longitud.
182
f expresa la tasa total de rotación de todas las particualar¡ que ocupan la región
área.
i-rs,
vt\ ú.t
T
d1
l-_-___]
*+q rI
tr+ $.dr
)(
se expresa como:
184
I
-€
2
expresión:
i j kl
--t
rot:v=Vxv
-+ d a dl
=
a ay a4
u v wl
-+
rotV=O
3.11.3. Ftuio Potencial Para un flujo ideal lr*i= oes posible consegir una
"
función 0: (¿y) tal que satisfaga los siguientes condiciones:
185
i) aó
Ox
=, ,r{=v vaque v/ :fr; -
Xi
Reemplazando tendremos :
AA
Yú=ui+vj Ecucacion3.90
a o:+**#¿,
ox oy
00: pdx+v.dy
186
0=F0x+v.dy
es decir.
*= -: Ecuación 3.et
Esta ecuación se satisface por una fi¡nción v para la cual las componantes de la
-u=-
ow Y
ov
: --
0y 0x
. :
dv 0w . üc + 0v .dy osea
ox
=:- -oy
dV : v *dx + u * dy Ecuacion 3.93
lE8
ó(: +:*19
ecuación
.-lr{ -- (f ñ)áa. = Jy
.\
ñ={¡-c-*;
FIGIIRA 61. Superficie de cantidad(unidad de longitud perpendicular al
papel).
donde
i =Ui-av
0y 0x"
"i
dA: ds..l
--) dv: dy ".
n=:'- ' I
ds ds"
Simplificando tenernos:
de=o=v * **¿y-
0x 0y
dry
de Occldrrlr
SECCIOI{ BIBLIOTECA
r90
rzl-+ -+\
Qt-z = I:l;;)ú4= Iio, = vz - vt entonces Qt-, = vz - vt Ecuacion 3.e4
Luego como:
.0vOv
aV =-.ü+-.dy
ox oy
dV= -v.&+u.dy
0= -v.&+u.dy
Despejando tenemos:
La comparación de las Ecuaciones 3.94 y 3.95 permite concluir que las líneas
---F x
DEL MOMENTO).
control.
ir.J
¡Á. I
ii\ a-¡-
! /¡\
i.i
i ,-'
i '-/'
t| .-
.""
lt
I.t
ri !.'¡
''t ' .lr'
!..
Fx
ry
Tomando aN : F xRseraigual a
xF :
R
* !*orxvdv * I*pixvVdÁ Ecuacion3.95
193
respecto al punto O.
A
Í o
a trv.c.
V xrav= conocido como la variación del momento o rata de carnbio
de la superficie de control.
.,-l
I -....
, _-:#I\r-
't' t
itl
I
t
t¡
i¡\ ¡;
ltt
;, "\o
*.-= L,;¡r+r *..---, -***.*b. ;(
í1 ',:'.'
eje x y en el eje y.
tr
seng =
f, desnejando \ sera : F, = & sená Ecuacion 3.9{Componente Escalarl .
hablaremos a continuación.
195
3.12.1 Bomba
nivel.
E¡e de lo i¡orir!.,
'i)¡
lrnpuls-orJll- l--' l
A !o bcqr;)
\ l'--'¡,
-'\-"-
f
,-r,ñ *\.:.". ="..,.. i{i.,-.}:.:!¡
3.12.1.2.5 Nabe del iryulsor: Superficie sobre la cual pasa el fluido (Ver
FTGURA 6s).
CENTRIFUGAS.
tn
3.12.1.3 Cl¡sificación:
cámara.
Centrifugas.
Flujo axial.
\"\\..r 'nt"----.\--'
$'=Q'-"'tl
\,.r1¡
lm
)g
FIGIIRA 6g.Distribucción de l¡s velocidedes a partir de triangulos.
199
donde
entrada.
entrada.
3.12.1.6.1 Teminología:
Donde:
/ :
o
V: !=n Donde diametro
60
Donde:
Donde:
y: Peso especifico
Q = Caudal
Itr.
Ho
es = ;lrll Ecuacion3.l02
T: peso especifico
Q: Caudal
203
Entonces
donde
= /Q H, _ PotenciaHidraulica
=
'lt \: pot *i^ecanica
P.
4o=* rm
Ecuacion 3.104
h = M x wEcuación3.l05
Donde:
Mxw
Rn: 75
donde N: rpm.
P= /Q'Hs Ecuacion3.lo6
4 tx4^
Donde
Im : eficiencia motor.
,
+? tr"
Plano de referencia
Donde
Zh* :
G
donde
FTGURA 65)
Hor=Hrr+H*
es decir
ordenando se tendrá:
L, Ho, puede expresarse de otra manera ya que Hr, eLrE es la altura estática
donde:
y alturas manometricas.
la cual se tiene unos caudales los cuales nos danin como resultrado unas alturas
FAMILIA DE CURVAS
diseño de un sistema.
Esta determinado 'por NPSD y NPSR, que son cabeza o carga neta disponible
NPSHD : P"
- P'- Ift, - S - o- Eq¡acim3.ll3
rr2g
Donde:
P6 : Presión barometrica
y : Peso especifico
ztl
,t -O-rP
TT]BERIAS
donde las irreversibilidades son importantes, o sea que los fluidos ahora se
para fluidos en movimiento, y es uno de los medios por los cuales se desarrollan
cefo.
r: r Ecuacion4.l
#
del movimiento.
las fuerzas üscosas. Este número es el encargado de definir los 2 tipos de flujo.
v'D
se puede enunciar R" : F¡uacion 4.3
Po
Donde:
hujo de transición
v.
AtVt : A2Y2 por ser iguales las área (tubería cilíndrica tiene igual diámetro)
vl=v2
IF=m'(AV) Ecuaciún4.4
Donde
AD
Zf = Prx2 nrdr -Prrrdr -dl-x 2 nrdr t rx 2 nrdL
;
Al sustin¡ir Sen 0 :
#
y dividir por el volumen del cuerpo libre = 2 rr dr dL
a
dL
(p * rh). i frt",) = o
fte+rh\+r.r=K
r : o Ecuacion4'7
*#g+rh)+t
dtt
Para un flujo laminar tenelnos que 7 = p+, en r¡na fubería será
üy "__lr dy
J'du: Ii + rh)
*gf,e
Como r: cualquier radio de la tubería
p: tt + rqú'-r)
+# Ecr¡acim4.8
umar:+
4p *tt
dL
+rh)(r'-f)
Entonces
u' .!tr+z h)
umax = Ecuacion4.g
4p dL' "
es una mitad del ciündro circt¡nscrito; por lo tanto, la velocidad media (v) es la
: *8p +(r+7rr)
dL'
e= ttu.[*#(P */h))
es decir
a=
#f,e *rh) Ecuacion 4.10.
(p + r'¡')a(p'+r'n')
f,tt * rh): sielflujo vadera2
se encuentr4 además:
AP : AP Ilo cual.
* ¡ not
L,P rDa
O:
- l28pL
V: APD2
-- Ecuacim4.l2
32pL
través de tuberías, las pérdidas de carga se pueden presentar e¡r dos formas:
224
definen así:
ho = Ecr¡acion 4.13
"+
Hr= H, * H, - Ho + H¡-z
Donde
Ht=o
H5 =Q
225
entonces
*fi* nr,.,
H, = H, + H¡r.zReemprazendo
|. o *f; = |. "
Por ser caudales iguales Q1=QZ se puede concluir que V1:V2 ,Vz -Vr {
hf,-, = 'r*Wr
donde P, - P, = AP Reemplazando
4l = z'r+L'P
hr,-z=",*
rr
Si zr-h
FIGIIRA 76. Muestra de los puntos
de referencia,
lr o unlf h+APl
\J multipücando y diüendo por el y (peso
8pL L J
especifico): -l
lr fr tn -- , condeo= VA -
Y ttD' vademás a=diToo
O=trxhr,-, dondeQ=V.A: 4 resv¡¡¡we- 2
h
h¡ -=
64V2pL dreesromismo¿ec'-. ,- - u *'o
que es lo mismo decir: h¡ rz = -t-*L donde
r-z
ffi e_ro zg
l.t
peflnanente.
' 64 L 'v' 64
h¡rz=
R.* D* rg
dond"
RE
=/ donde f se conoce como el coeficiente de
hf.. l*g
'-L =fx
Ecuacion4.l5
D 29
en tabla.
E- rugpcidad abnolrfa
D diaremoimemcrúo.
228
4.1.9.3. Tubería "Lisa ". IJna tubería se define hidráulicamente'I-isa " cuando
fluido fluye a presión es decir que la tubería este llena entoces el area hidraúlica
Ah = crrecr f,rd.orl¡co,
Areahidraulict
R,=+=
PerimeffoMojado
r'
R^=7!
si el tubo fluye a presión o va lleno
2rr =l=Diqetro
2 4
Univcrcidad Aulúnoma do C
sEcctot¡ EtELrcrEcA
231
.^LV2
: t x :-
h.'D2g Ecuacion de Darcy Weisbach
=-
Ecuacion 4.16
L: longltud tubería
D : diámetro tubería
V : velocidad media
g : constante graütacional
p : densidad
v: velocidad media.
1000000.
^ 0.316
T:
R$'zs
+ t74
+norI
4. Pa¡a todas las tubería "colebrook" propuso (es la base del diagrama de
Moody)
, (E/ ---\
+=
,lf
_o.B6sLnl7p *2Zl
37 R"Jf
[ )
5. SHOEDER propone,
Iu' Qr'75
hf : 0.000814
'
D4'75
hf : 0.00129 !g
D4.e5
r d.s
Itr: O0176 "Y
d.tt
233
d- Se ubica *y
D"
t prolonga hasta cortar la línea vertical Rg.
r na"rrro: -!!',
-oE !
i-"!-fT-tllFi i,ir' =E r I
FIGURA 80. Diagruña de Moody.
234
TABI,A 1.
I QrL'DrE hf
tr hf,L,D;E; Q'f
m hf,Q,L,E Drfrv
donde
Q:CaudalfSl
seg
C= 150 [TuberiaP,V.C]
causadas por:
v2
Ift=K-
29
ellas (si el diametro canrbia, se deben surnar por separado ya que la velocidad
canrbia).
hr*., : , *#*IK v2 29
u2 ( L
hr,*, : x t K) Ecuacion 4.18
¿g\
-+[f D
o"=ff o n"=(á-,)'
""uurion42o
Ab
Tabla 2. donde se muestra la relación d. C.- "oo
'4o
A"./ 0.9
/Ao 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Cc. 0.624 0.632 0.643 0.659 0.681 o.lt2 0.755 0.813 0.892
generalmente.
k=O.Ol O.8-tl.O
-O.O5
eouiv¡lente fl,e).
que el accesorio estudi¡do la cual produce una pérdida por fricción igual a la
KD
Le = f Ecuacion 4.21
donde:
D= Diametro de la tuberia
f = Coeficiente de fricción.
diferentes dirimetro.
Autúnoma de Cccidentc
sEcclo¡t BTBLT0TECA
240
!,
hf,
h7,
de diámetros diferentes.
superficies übres de los depósitos, será el valor de la carga total que producirá
241
la descarga, y será igual al valor de las pérdidas totales que se generan entre los
dos depósitos.
Estas pérdidas totales a través de las tuberías será igUal a la suma de las
H h, depende del flujo ya sea laminar o turbulento (se verán más adelante).
Por continuidad ta¡nbien sabemos que el flujo pasando por todos los tramos
dela tubería debe ser el mismo e igual al flujo total que pasa de un depósito a
otro, es decir:
Q*:Q _q _q &rygn4.B
como se sabe Q = A.V
TABL\ 3.
I E;D;L;Q hf total
tr ED;L;hftotal a
242
l. Problema Tipo L
a lo largo de la tubería,
decir:
Donde
243
hr,:## y hr,:W
De las cuales desconozco F1' V1' hf' F2rY2, y h¿ .
ñrora a partir del caudal podemos determinar los valores de las velocidades así:
Q=A.V entonces:
: I
V.A pas€rlmcardalesigualesQ, : q@ms decir V, : a,
ü
oRn:YDt o &:WtP"
F"
€zD , Lz
nt tt2 ct tt2
lrr Vt
LltttazL L. lr, Y,,
o sea h{*
Dr7€. Dr4
Qt=Qz
Af Vt = A2Y2
245
Como se conocen las áreas porque el problema nos da los üámetro, lo único
Prccedimiento
e€
1. Calculemos
q"D,
de Moddy
así:
t.2
4 n-"=
ft Lt
I
Dr
'-t
-^
V,
)' ,, t, (Yr)'.
6. Nos queda una ecuación sin una sola incógnita en nuestro caso
senaVrHallamos el valor de V2 .
hallar el número de Reynolds RB1 Rp2 porque con una velocidad que
8. con y R", fi y
"* fi n*,
hallamos hallamosfr.
;:
9. Comparamos los
frylz que hallamos con los asumidos en el punto (2) si
10. Estas velocidades reales puedo hallar el caudal que es lo que me pide el
problema.
L3 D¡ Q.a
- El caudal total que circula por el sistema debe ser igual a la zuma de los
Qr =Qr+Qz+Qf........Qn Ecuactón4.24
debe ser igual para cualquiera de las bifurcaciones de tubería que se r@orra.
de problemas:
TABLA 4.
t2,L2,D2
Problema tipo I:
LL e. D¿
.:
r firLxV'?
hf¡.-n = hfl - h¡2 Determinadaspor -:^ D*2g
it' En cada ramal se desconoce f1 V. El caudal se obtiene así: ( Ver problemas tipo
tr tuberías simPles ).
l. Se escoge un ramal.
calculamos el nuevo f.
25r
Problema De Tipo II
Lz Drb z
Calcular caudales: Qf y QZ
Pasos a seguir:
252
Ejemplo at. Ql
v:'lEQíQ-
4. Calculamos E1/ D1
+/
5. Con '/Ort Ret en diagrama de Moody obtemos f1
7. CalculamosV2
. : f,-xl.,z xYrzpmaestoasuninos r
conh, -*-
------:-^^ o^ spurernos t
ffi
Donde Ql : Supuesto
Q2 : Calculada
l. por medio de los diferentes medios didácücos que se manejan se logro tener
en este caso no se tuvo sino una ayuda üdácctica lo cual, permite una mejor
Autónoma, 1995.
ANEXOS
ANiEXO A. PREFUOS EN EL SISTEMA INTERNACIONAL(SD.
I'REI,'TJOS EN EL sIsT'Ei,r
!
Á INTLRN,4CIONAL (.sl¡
TABLA DE C'OLJ'ERSION DE LOS SISI'E¡í/S tltEIR|COS (St t' sT) AI- STSTI:||A
ANG I.OSAJON'' I'ICE}' IiRSA
I-nttuitnd
mm =
:
0.019r in. in. = 2-5.-1995 mm
m Ít.
-1.21{rJ9 fr. = .!04.7945 ¡nm
= 0.91 44 nt
:--
m 1.0916 ¡ds. y<|.
m 0.l9qi [.S. rrl. tlS. rd. : 5,0292 ¡n
km = .1.2fio.t199: lr. ¡rrilla tcrrcstre
'nrill¡r -- 1.6091 knt
km = l.09.l,6lli rds. nraritinrn = t.8-5_'t2 km
I US. rod - 5.5 yartls
Snycr[irir
Iirlunu:¿
t
,llo.¡a
8= l-5.4-12_l
8f 8r. = 0.0618 I
g= 0.5ó44 rlr. rlr. = t.77t8 I
8= 0,0-15.1 or oz, = 2E..1495 S
kg 2.204ó lt* tb.
-- 0.4516 kg
l= l, l02J sh ttt. sh. ln. - 0.9072 t
t= 0.9841 L tn. l. tn. - 1.0160 t.
I)et¡ithul
ú'doridad
Prrsititt
Trahajo. Etu,rgia
Pol.rr<'iQ
Tcntptratura
j, ,t
,r'{''c) = (*r. rz) r"rr y c'Ft = - 32t ('ct
4.41s
#; = | i,fr o.¡o¿a -I-. = r 0.4s36
# = I
r4.5e4 -!,9
srug
: I 6.re4.76 !a{,
tb/rn..
= r rz.ll¿ !bg- : l
slugl
7'ctttptt'utu'a It t,
("(') (k8,,inrr )
tkg/m!)
90 | 3_176
l 1620.2
-10 | 3595.5 loo | 135 r.E
0
l0 11570.8 ll0 t -1104.4
l0 | 3546.2 t5r) t.12l.l.o
.11) I -1-51| .7 l(xt t.1l | 4.tl
40 t.1497.1 l-qr) I t997.5
50 1.1^t72.e lrll | 1880.6
6(l l-l44ti.(r .l _5( | n76l.tl
7tl l.l{14..'. -16rt i l74rt.5
8r) | .l{f xr. I
TABLA 3. Densidad, Viscosidad Dinámica y Cinemática del Agua en
Función de la Temperatura.
l'iscosidad
l'istttsithul
7'unpcraluro dnenuitica y
r"c) ilinútnica q
I lot kg,/m . sl lo" ds = cSt
o | 9e9.tt 78.7
2
4
| eee.e
|
l ó7.1
1.787
t .671
I 1.0(x) |5ó.2 t.562
ó | gee.e 146.4 1.464
8 | 999.8 l37.ó t.375
¡0 | 999.7 | 30.5 1.307
II | 999.4 t22.6 t.227
14 | ,l,lg.Z I tó.t t.tó3
ló | 998.9 I t0.4 t. t0ó
r$ | 998.5 t 05.2 t.053
20 | 998.2 | 00.2 1.r,038
22 | 997.7 95.5 0.957
24 || sgt,z 9l,t 0.9t4
26 99ó.6 87.2 0.E75
28 | ' e9ó.1 83,4 0.837
30 | 995.7 79,7 0.E0¡
32 | 994.9 76.4 0.7ó8
14 I .994.2 11,1 0.745
36 | 99.1,4 70 0.705
3E | 992.E ó8 0.685
40 | 9e2.2 65.3 0.65r1
45 I 990.2 59.11 0.6rll
50 | 98ti -i4.E 0.5-s4
55 I 985.7 50.5 0.5t2
60 | e83.2 46.1 0.475
65 | cs0.0 43.4 1r.443
t(t | 977.8 40.4 0.4 t.1
75 | 971.E 37.- 0..18t|
tto I czl.t 35.5 0..16-s
85 i tlt'l.o t3.4 0.-145
90 | .)('-s..r 3 I.5 rl.3ló
e5 | e6t.rl 29.E- rt.l | 0
100 | 9-sn.4 28.2 0.t95
150 | 9lrr.9 I [t.(r (t.lo5
200 | S04.(' 13.6 o. t6l
l5o I ?ee.l In.9 o. l4
.lrxr | 712.4 !{.91 0.|3l
TABLA 4. Propiedades del Arte Seco a 1,01325 Bar.
Líquido
0.00ó5
0.0101
0.0 r 13
0.0 t -r7
0.2500
t.4000
t.7200
262
ll
i"!
ü -i-
E*\
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€ t \o o\ N
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