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REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
productos. Aunque este concepto ha sido cuestionado recientemente sigue siendo útil en
HELDMAN, 1998).
alimento. Los componentes del alimento harán disminuir la presión de vapor del agua
con diferentes intensidades, siendo más eficaces las sales y los azúcares que moléculas
todas sus propiedades físicas. La forma como afecta a la naturaleza física en las
medio, que rodea la estructura física, también la composición química de los diversos
solutos incluido polímeros y coloides como partículas dispersas (PARK, BIN y BROD,
2003).
2.1.1.1 Definición
4
f P
A
=w 0
≅ 0 (1)
f P
Donde:
aW = actividad de agua.
y VERGARA, 1997).
del aire, y la actividad del agua de los alimentos colocados en ese aire. Es conveniente
resaltar que la actividad de agua es una propiedad intrínseca del alimento, mientras que
La actividad del agua permite describir bastante bien las interacciones entre soluto
constituidos frecuentemente por varias fases, para comprender mejor la dinámica del
sistema deben ser utilizados parámetros cinéticos como la difusividad. Como los
papeles del agua son múltiples (medio disolvente, de difusión y de reacción, agente de
estructura para las macromoléculas), los efectos de esta dependen más de sus
1996).
La forma más directa para expresar la mayor o menor “disponibilidad” del agua
capacidad del agua para mantener el crecimiento microbiano y para participar en las
perfecto, puesto que otros factores, tales como concentración de oxígeno, pH, movilidad
del agua y el tipo de soluto presente, puede ejercer influencias sobre la velocidad de
6
Es conocida la importancia que, para la estabilidad bioquímica y microbiológica
matemática del potencial químico del componente i, el cual constituye una medida de la
tendencia de dicho componente a escapar del sistema y esta en función de una relación
efectos del componente agua, Pi es la presión parcial del vapor de agua y Pi0 constituye
la presión parcial del vapor de agua para un estado de referencia el cual está constituido
por agua pura. En tal sentido cuanto menos comprometida se encuentre el agua con las
escapar del sistema del alimento y aumentar la presión parcial del vapor de agua en los
VERGARA, 1997).
lineales en sus parámetros constituidos por dos, tres, cuatro y hasta seis coeficientes
parciales de regresión a fin de explicar, en lo posible, cada una de las tres zonas que
modelo exhibe una adecuada habilidad predictiva sólo para ciertos rangos de actividad
7
2.1.1.2 Influencia de actividad de agua en la estabilidad de los alimentos
pérdida de nutrientes.
nutritivo.
actividad de agua (FENNEMA, 1993 y TORRES, 1991). Los métodos más antiguos de
agua.
8
FIGURA 1. Velocidad de alteración de los alimentos, en función de la actividad de
agua, según LABUZA, 1975. Fuente: CHEFTEL.
9
En el Cuadro 1, se muestra el efecto de los niveles de actividad agua en el control
10
2.1.2 Isotermas de sorción de humedad de equilibrio en alimentos
2.1.2.1 Definición
contenido de agua (expresado en masa de agua por unidad de masa de materia seca) de
designa el fenómeno en general, sin precisar la dirección. Las isotermas son no lineales,
generalmente son de forma sigmoidal y están clasificadas como isotermas del tipo III
por Brunauer para la mayoría de los alimentos, para frutas, confituras y extracto de café,
que contienen grandes cantidades de azúcar y otras moléculas solubles pequeñas y que
fenómeno de histéresis puede ser explicado por la interacción del agua caliente con los
11
posibilitando que existe mayor contenido de agua a más baja aW (BELL y LABUZA,
2000).
adsorción de humedad. Las isotermas de adsorción existen en cuatro grandes áreas del
VEGA, 2000).
por fuera de la monocapa que los químicos llaman monocapa de BET. El agua en éste
remover por el secado. Estas moléculas de agua tienen baja presión de vapor, no forman
12
hielo a temperaturas de congelación y no la encontramos como disolvente de
componentes que deberían ser disueltos por el agua (VALENTAS et al., 1997).
La sorción del agua ocurre primero por la formación de una monocapa sobre la
superficie del producto y es seguida por una adsorción en multicapas. Consiste en agua
que se ubica en los poros y espacios capilares, disuelve solutos y finalmente es atrapada.
VEGA, 2000).
puede captar humedad, volviéndose blando empapado; en este punto pueden empezar a
útil para la optimización del proceso de secado y el diseño de secadores, la selección del
2004).
13
Uno de los parámetros más importantes en alimentos deshidratados es la
condición de equilibrio que determina el límite del proceso, siendo este una parte del
gradiente que provoca el movimiento del agua. La actividad del agua es un factor
define como la relación de vapor de agua del alimento y la presión de vapor del agua
dependen del grado de disponibilidad del agua en el producto, más que de su contenido
2.1.2.2 Clasificación
absorben agua en sitios específicos y en una red de capilares con una alta energía de
fijación y los capilares más estrechos están llenos, un aumento de humedad produce un
14
así el agua adicionada interactúa únicamente con otras moléculas de agua a través de
2000).
Muchos alimentos tales como los cereales, siguen la forma representativa de una
15
punto donde el agua empieza a disolver la superficie de los cristales ( aW 0,7-0,8 para la
sacarosa). La forma de esta curva es producto de la interacción del agua, vía puentes de
hidrógeno, con grupos hidrófilos en la superficie del cristal. Dado que es un efecto de
de humedad a bajas aW , debido al aumento del área superficial por gramo. Así, para
cristales puros, la especificación del tamaño del tamiz y la distribución de tamaños son
2.1.2.3 Zonas
16
a) Zona I: Agua fuertemente absorbida e inmóvil
sitios polares NH2+ y COO- de las proteínas y a los grupos OH de los carbohidratos
mayor que la del agua pura y no puede congelarse A -40ºC (FENNEMA, 1993).
(FENNEMA, 1993).
por lo tanto la más móvil molecularmente. Esta disponible para las reacciones de
(FENNEMA, 1993).
17
2.1.2.4 Efecto de la temperatura
5), según:
Aw2 Qs 1 1
Ln = − (2)
Aw R T1 T2
1
Donde:
18
2.2 MODELOS MATEMATICOS PARA LA DETERMINACIÓN DE LAS
ISOTERMAS DE SORCIÓN
Van Den Berg y Bruin (1981), citado por (BARBOSA y VEGA, 2000),
mencionan que para materiales biológicos se han propuesto más de 200 ecuaciones de
isotermas. Las ecuaciones varían de los modelos empíricos con dos o tres parámetros de
del modelo de BET. Las isotermas se utilizan en la predicción de la vida media de los
relevantes que se han presentado para describir las isotermas de adsorción del alimento
en estudio. Los criterios usados para escoger los modelos son el mejor ajuste que
1985).
expresar como:
aw
=
1
+
(C − 1) * a
(3)
(1 − a w )X X m C X m C w
19
de esta ecuación se puede determinar el valor de la monocapa, calculando Xm y C
actividades de agua inferiores a 0,5, pero es suficiente para los cálculos que se refieren a
(CHEFTEL CHEFTEL 1980), sobre estos valores la relación lineal, como generalmente
(BARBOSA y VEGA, 2000). Ha sido demostrado también que esta ecuación se ajusta
en dicho rango tan bien o mejor que otras que involucraba cuatro o más términos.
Mediante la afirmación que los estados de las moléculas de agua en un sólido a partir de
la segunda capa son los mismos, pero diferentes con relación al estado que presentan en
un líquido, el modelo de GAB introdujo una segunda etapa de sorción, bien definida,
para las moléculas de agua. Al compararlo con la clásica isoterma de BET (en la que el
estado de las moléculas de agua a partir de la segunda capa es el mismo que presentan
en un líquido puro), la isoterma de GAB presenta una tercera constante k, que mide las
20
X C * k * aw
= (4)
X m [(1 − k * a w ) * (1 − k * a w + C * k * a w )]
(Hm − Hn )
C = c ′ exp (5)
RT
( H − H n )
k = k ′ exp 1 (6)
RT
entre el agua y el alimento, y entre las múltiples capas de agua, respectivamente. Para k
21
La ecuación de GUGGENHEIN – ANDERSON- De BOER (GAB) fue usada en
el modelamiento de sorción de agua (VAN DER BERG y BRUIN 1981) citado por
aw
=
1
+
(C − 2) * a + (1 − C )k * a 2
w w (7)
X X m Ck X mC X mC
Simplificando
2
aw = γ + β * aw + α * aw (8)
Igualando a cero
α * a w 2 + (β − 1) * a w + γ = 0 (9)
su imposibilidad física.
Alfa, beta y gamma son constantes y se definen por las siguientes expresiones:
k
(10)
α=
1
Xm
C −1
1 (11)
β=
2
Xm1 −
C
1 (12)
γ =
XmCk
22
Lo cual nos permite calcular los valores de los parámetros de la ecuación de
2α
k= (13)
− β ± β 2 − 4αγ
β α (14)
C= + 2 = 1− 2
kγ k γ
Xm =
1
=
(C − 2 ) = (1 − C )k (15)
Ckγ Cβ Cα
BERG y BRUIN (1981), y VAN DEN BERG (1986) citado por (BARBOSA y VEGA,
a) Modelo de Henderson
k
(1 − a w ) = exp((−k 2 ) X e 1 ) (16)
b) Modelo de Oswin
k1
a
X e = k 2 w (17)
1 − aw
23
c) Modelo de Caurie
1
X e = exp aw Ln(v) − (18)
4,5 X s
Donde:
d) Modelo de Halsey
1/ B
A
X e = (19)
Ln (1 / a )
w
24
2.3.1 Definición
La vida útil puede ser descrita como el tiempo para alcanzar un nivel umbral de
usarse para la estimación de vida útil, o puede usarse como alternativa de medición
calidad propias para el consumo. Durante ese periodo el producto se caracteriza por el
embalaje utilizado. Deben ser observados algunos daños que interfieren en el tiempo de
1980).
25
La vida útil es el tiempo de almacenamiento en que el alimento es percibido
como "diferente" en una cierta cantidad. Esta percepción puede basarse en pruebas; en
microbiológico, así como las propiedades de barrera del envase del oxígeno, la luz, la
dependen de la velocidad de transmisión del vapor de agua del envase. El control del
del empaque, que podría resultar en crecimiento de hongos, o prevenir las quemaduras
vapor de agua del material de empaque, así como el área superficial y el espesor de éste,
26
microbiológicas y físicas son ampliamente empleadas en el estudio de la calidad de los
alimentos (Cuadro 2). Pueden ser correlacionadas con resultados sensoriales para
Según LABUZA (1996) los factores intrínsecos están constituidos por la calidad de
b) Tipo de ácido
c) pH y acidez
27
d) Potencial redox
e) Oxígeno disponible
f) Nutrientes
etc.)
atributos esta en función del microambiente del empaque. Los parámetros más
importantes son: composición del gas (oxígeno, dióxido de carbono, gases inertes,
etileno, etc.), humedad relativa, presión ó estrés mecánico, luz y temperatura. Estos
almacenamiento.
28
2.3.3.2 Factores extrínsecos
Los factores extrínsecos son aquellos que el producto tiene que enfrentar durante
cabeza
la cinética de deterioro.
1996):
Donde:
29
controla la cinética de las reacciones de deterioro. La actividad de agua, regula
distribución.
distribución.
existe un efecto específico del oxígeno sobre la velocidad de reacción, tal como
particular muy útil ocurre cuando los factores como, reducción de la temperatura,
30
forma de interacción de los factores, los cuales, de forma individual, no podrían
técnicas de procesamiento más moderadas de tal manera que permitan una mayor
SUBRAMANIAN, 2000).
existe un efecto específico del oxígeno sobre la velocidad de reacción, tal como ocurre
agua. Usualmente, cuando estos productos son empacados, la actividad de agua dentro
en el exterior del empaque, moléculas de agua permeadas guiados a través del empaque
incrementan la actividad de agua interna. Esto causa un aumento del contenido de agua
31
del producto empacado y consecuentemente un desmedro de la calidad (DEL NOBILE
et al., 2003).
humedad en alimentos.
de humedad excesiva hasta que la vida en anaquel de los productos se haya cumplido.
BRODY (2003), cita que el periodo durante el cuál el producto retiene sus
32
ALVEZ y BORDIN (1998), en la estimación de la vida útil de café soluble por
PARK et al. (1996) refiere que la condición considerada por la industria de chips
(1981) reportaron que el alimento más seco y crocante queda bien blando y de textura
inaceptable entre los valores de aw 0.35 – 0.5 bajo una temperatura de almacenamiento
normal y que el límite permitido de a w para el crocantes fue < 0.30. QUAST y KAREL
(1972) reportaron la actividad de agua crítica (producto queda bien inaceptable) para
chips de papa fue de 0.40. Después que el valor fue específico para chips de papa. Los
La ganancia de humedad de las papas fritas y los alimentos a base de cereal seco
a w de 0.4 a 0.5, las galletas y las papas fritas pierden su consistencia crujiente
33
El factor más importante afectado el valor del peróxido de chips de papa fue
tiempo de almacenamiento. Robards et al. (1988) indican que un valor del peróxido
mayor a 0.75 meq/ kg puede ser indicativo de un nivel de presencia de peróxidos para
HUMEDAD
asunciones: (1) el vapor de agua presente en el espacio libre del empaque esta siempre
en equilibrio con el agua adsorbido dentro del producto empacado; (2) el vapor de agua
presente en el espacio libre del empaque se comporta como un gas ideal. Estas dos
1972; BELL y LABUZA 2000) citado por (DEL NOBILE et al., 2003).
a continuación:
dC
J = −D (21)
dz
Donde:
J = Flujo = cantidad / tiempo / área
C = concentración = cantidad/ Volumen
34
z = distancia recorrida
D = coeficiente de difusión (L2/tiempo)
dC/dz = gradiente de concentración
C = S .P (22)
Donde:
C = moles/cc
S = moles/cc mmHg= coeficiente de solubilidad
P = mmHg
dC dP
= S. (23)
dz dz
Reemplazando la ecuación 23 en la ecuación 21 tenemos:
dP
J = − DS (24)
dz
Aplicando el concepto de flujo de vapor (w) a través de una sección por unidad de
tiempo se tiene:
dw
J= (25)
Adt
Igualando las ecuaciones 24 y 25 tenemos:
dw dP
= DS (26)
Adt dz
De la ecuación 26, DS = k, e integrando el segundo térmico tenemos:
Pext
dw
∫ dP
Pint
=k z
(27)
Adt
∫ dz
0
35
dw k w
= . A.(Pext − Pint ) (28)
dt z
Donde:
dw
= velocidad de transporte masa de agua /día
dt
k
= Permeancia
z
(Pext ) = presión fuera del empaque
(Pint ) = presión dentro del empaque
A = área de transferencia
Ps
Multiplicando por al segundo miembro a la ecuación 26 se tiene:
Ps
dw k w P P
= . A.Ps . ext − int (29)
dt z Ps Ps
Pext Pint
Por definición de awe = , awi = y simplificando la ecuación 29 se tiene:
Ps Ps
dw k w
= . A.Ps .(a we − a wi ) (30)
dt z
Además la diferencial de masa de agua (dw)/dt podemos expresarla como:
dw m s dx
= (31)
dt 100 dt
Donde:
ms = materia seca ( g de masa seca)
w = masa de agua
X = humedad en base seca (g de agua/ g de masa seca)
Reemplazando la ecuación 31 en la ecuación 30 se tiene:
ms dx k w
100dt z
(
= . A.Ps awe − awi ( x) ) (32)
dx k w A.Ps .100
=
dt z m s
(
a we − a wint ( x) ) (33)
36
ms dx
dt =
k a
100. A.Ps w e
( − awi ( x) ) (34)
z
inicial Xi (g agua/ (100 g masa seca) humedad para t = 0 hasta una humedad crítica Xc
(g agua/ 100 g masa seca) para un tiempo t, podemos predecir el tiempo (t) de vida útil
(días), ecuación similar a lo usado por Alves y Bordin (1998) en la vida útil de café
soluble empacado:
X =Xc
ms dx
t (días ) =
k ∫ a wext − a wi ( x) (35)
100. A.Ps X =Xi
z
Donde:
k
= Permeancia (Constante característico del empaque usado, dato)
z
ms = materia seca
xi = humedad inicial en base seca del producto
xc = humedad crítica del producto en base seca
A = área de transferencia
Ps = Presión de vapor saturado (calculado por la ecuación 36)
a wi (x) = actividad de agua del alimento en función de la humedad
deseada, por la ecuación usada por Yoon (2001) tal como lo fue usada en la solución de
37
ALVES y BORDIN (1998), empleando el modelo de transferencia de humedad en
siguiente modelo matemático para predecir la vida útil de café soluble. Los resultados
una buena correlación con los datos experimentales de humedad versus tiempo. El
xi
ms HRe dX
100. A.(Pm ) xo∫ awe − aw ( X )
dt = (37)
Donde:
t = tiempo
38
2.5 MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA DE ALIMENTOS
Sean los datos (n+1) puntos del plano a los cuales denominaremos (x0, f(x0)), (x1,
f(x1)), …,(xn, f(xn)) nuestro problema consiste en hallar un polinomio f(x) de grado n, el
Puntos 0 1 2 … N
X x0 x1 x2 … xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) … f(xn)
39
Por (n+1) puntos del plano pasa un único polinomio f(x) de grado n, el cual se
define como:
Como dicho polinomio pasa por los puntos(x0, f(x0)), (x1, f(x1)),…(xn, f(xn)),
. (39)
∑ (a
n
na0 + a1 ∑ x + a2 ∑ x 2 + ... + an ∑ x n = ∑ y
40
a0 ∑ x + a1 ∑ x 2 + a2 ∑ x 3 + ... + an ∑ x n+1 = ∑ xy
a0 ∑ x 2 + a1 ∑ x 3 + a2 ∑ x 4 + ... + an ∑ x n+ 2 = ∑ x 2 y
. (41)
a0 ∑ x n + a1 ∑ x n+ + a2 ∑ x n+ 2 + ... + an ∑ x n+ m = ∑ x n y
Determinar el polinomio
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + am x n (42)
los mínimos cuadrados de gran importancia en las distintas ramas de la ingeniería, las
ciencias y las matemáticas. Este método consiste en encontrar una función cuya gráfica
sea la más aproximada a los datos obtenidos. Precisando, claro esta, que significa “estar
aproximada”. Este método nos permite predecir la existencia de otros valores o inferir
41
FIGURA 7. Ajuste matemático por mínimos cuadrados
Este método consiste en sumar el cuadrado de todas las distancias de los valores
yi al modelo ideal f(x) y encontrar la función que minimiza el error cuadrático definido
por
Dependiendo del modelo f que uno quiera analizar da lugar a varios casos del
a) Sea mínima.
1) El grado m del polinomio pm(x) se puede escoger previamente con base en algún
42
mejor. En muchos casos el grado será uno y el polinomio obtenido se llamará la
recta que mejor se ajusta o la recta de mínimos cuadrados para la tabla de datos.
2) Volviendo a la función S(a0, a1, ….., am), una condición necesaria para la
de S(a0, a1, ….., am) con respecto a aj, j = 0, 1, 2, …,m sean cero.
Resultan entonces las siguientes m+1 ecuaciones lineales en las incógnitas a0, a1, …..,
am :
∂S
( )
n
= ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k = 0
∂a 0 k =0
∂S
( )
n
= ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k (x k ) = 0
∂a 1 k =0
∂S
( )( )
n
= ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x 2k = 0
∂a 2 k =0
..........
∂S
( )( )
n
= ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x kj = 0
∂a j k =0
............
∂S
( )( )
n
= ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x mk = 0
∂a m k =0 (43)
usamos que
∑a 0 = (n + 1)a 0
k =0 , obtenemos:
43
n n n
n
(n + 1)a 0 + ∑ x k a 1 + ∑ x 2k a 2 + ..... + ∑ x mk a m = ∑ yk
k =0 k =0 k =0 k =0
n n n
2 3 n m +1 n
∑ k 0
x a + ∑ x k a 1 + ∑ x k a 2 + ..... + ∑ x k a m = ∑ x k yk
k =0 k =0 k =0 k =0 k =0
n n n
x 2 a + x 3 a + x 4 a + ..... + x m + 2 a
n
n 2
∑ ∑ k 1 ∑ ∑ k m ∑ x k yk
k 0 k 2 =
k =0 k =0 k =0 k =0 k =0
.
... ...
.
n
x j a + x 1+ j a + x 2+ j a + ..... + x m + j a
n n n
n j
∑ ∑ k 1 ∑ ∑ k m ∑ x k yk
k 0 k 2 =
k =0 k =0 k =0 k =0 k =0
n :::
m n 1+ m n 2+ m n m+m n
∑ k 0
x a + ∑ k 1 ∑
x a + x k a 2 + ..... + ∑ x k a m = ∑ x mk y k
k =0 k =0 k =0 k =0 k =0 (44)
Este es un SEL de m+1 ecuaciones lineales en las m+1 incógnitas a0, a1, ….., am,
m n n
∑a ∑x i
i+ j
k = ∑ x kj y k con j = 0,1,....,.m
i =0 k =0 k =0 (45)
p m (x k ) = a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k +,....., a m x mk = y k
(46)
j
Multiplicando a ambos lados por x k , j = 0, 1, …, m,
a 0 x kj + a 1 x k x kj + a 2 x 2k x kj +,....., a m x mk x kj = y k x kj ⇒
a 0 x kj + a 1 x 1k+ j + a 2 x 2k+ j +,....., a m x mk + j = x kj y k (47)
Sumando sobre k
44
n n n m m
a 0 ∑ x kj + a 1 ∑ x 1k+ j + a 2 ∑ x 2k+ j + ..... + a m ∑ x mk + j = ∑ x kj y k con j = 0,1,2,....., m
k =0 k =0 k =0 k =0 k =0
(48)
2.5.1.2 Algoritmo
Para obtener los (n + 1) coeficientes del polinomio de grado n (n > 0) que pasa por (n
..., N).
aproximación.
PASO 1: Hacer J = 0.
PASO 6: Hacer I = 1
PASO 8: Hacer XX = 1
PASO 9: Hacer J = 0
PASO 21 : Si ≠ 0 y J ≠ 0
intervalo cerrado(a, b). Nuestro problema será determinar de algún modo, el valor del
46
área de la región delimitada por el eje de las x, las rectas x= a; x=b y la curva
n b
A = Lim ∑ f ( xi )∆xi = ∫ f ( x)dx (49)
n →∞
i =1 a
b
A = ∫ f ( x)dx (50)
a
Por ello, al efectuar el cálculo numérico del área, tome siempre el valor absoluto de
la función analizada.
b
A = ∫ f ( x) dx (51)
a
47
2.5.2.2 Método Simpson compuesto
construyamos una aproximación del área bajo la curva f(x), mediante la selección de
aw3 a + 2h
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx
aw1 a
(52)
a + 2h
h
∫ f ( x) dx = [ f ( a ) + 4 f ( a + h) + f ( a + 2h) ] (53)
a
3
48
El error en esta aproximación se reducirá dividiendo en una mayor cantidad de
mas pequeño.
de Simpson, aceptando que cada intervalo tiene una longitud h y tomando los intervalos
b
h
∫ f ( x) dx = 3 [ f (a) + 4 f (a + h) + 2 f (a + 2h) + 4 f (a + 3h) + ... + f (b)]
a
(54)
a + 2h
h n −1 n−2
∫ f ( x) dx = f ( x0 ) + 4 ∑ f ( xi ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( xn ) (55)
a
3 i =1 i=2
∆i = 2 ∆i = 2
awint ( x) =
[
(2 + (( xm / x) − 1) * c) − (2 + (( xm / x) − 1) * c) 2 − 4 + 4 * c ]
0.5
2 * k * (1 − c)
(56)
x = xc
dx
Integral = ∫
x = xi
awext − awi ( x) (57)
49
2.5.2.3 Algoritmo
a y el límite superior b.
PASO 1: Hacer S1 = 0
PASO 2: Hacer S2 =0
PASO 3: Hacer X = a
PASO 6: Hacer i =1
50
que se conoce como "problemas de valor inicial" dónde el comportamiento del sistema
x`= f ( x, t ) (58)
x(t 0 ) = x0 (59)
...es decir el valor del estado para un cierto tiempo, y a partir de aquí el sistema tendrá
En los casos, que se dispongan las ecuaciones de segundo orden, estas pueden
ecuación se reduce a:
z `= f ( z , y, x) (61)
orden.
51
2.5.3.1 Método de Runge Kutta
Con el RK4 evaluamos cuatro derivadas distintas, una al principio del intervalo,
otra al final y dos en el medio. Después lo promediamos todo y obtenemos algo que se
parece mucho a lo que realmente debiera ser. En una palabra, nos estamos quedando
con más términos de la serie de Taylor y por tanto cometemos menos error al aproximar
nuestra función.
Con tal propósito determinemos su punto intermedio x = x0 + h/2 de modo tal, que
h
y* = y0 + f ( x0 , y0 ) (62)
2
h
y = y0 + [ f ( x0 , y0 ) + f ( x0 , y*)] (63)
4
y* = y0 − h f ( x, y*) + 2h f ( x, y ) (64)
h
y1 = y0 + [ f ( x0 , y0 ) + 4 f ( x, y) + f ( x1 , y1*)] (65)
6
52
Simplificamos el proceso de cálculo, determinando algunos coeficientes adecuados; así:
k1 = h f ( x0 , y0 )
k 2 = h f ( x, y*)
k 3 = h f ( x, y ) (66)
k 4 = h f ( x1 + y *1 )
impuestas:
f ( x, y*) = f ( x0 + h / 2, y0 + k1 / 2) (67)
f ( x, y ) = f ( x0 + h / 2, y0 + k1 / 4 + k 2 / 4) (68)
k1 = f ( x0 , y0 )
k 2 = f ( x0 + 0.5h, y0 + 0.5hk1 )
k 4 = f ( x0 + h, y0 + hk3 )
Quedando la función
53
h
yi +1 = y0 + [k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ] (71)
6
2.5.3.2 Algoritmo
función f(x,y)
DATOS: La condición inicial x0, y0, el valor xF donde se desea conocer el valor
PASO 2: Ingresar h, n
PASO 5: Hacer K 1 = f ( X i , Yi )
PASO 8: Hacer K 4 = f ( X i + h, Yi + hk 3 )
PASO 9: Hacer X i +1 = X i + h
h
PASO 10:Hacer Yi +1 = Yi + [k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ]
6
54
2.6 SIMULACIÓN DE VIDA ÚTIL DE ALIMENTOS
por las múltiples reacciones o cambios que pueden producirse, alterando la calidad del
producto natural. Se han realizado una serie de trabajos sobre deterioro en alimentos que
métodos empíricos. Como una alternativa para esta última metodología, las condiciones
de empacado óptimo puede ser determinado por medio de modelos matemáticos capaz
de predecir la vida útil del producto empacado. Esta aproximación fue introducida
primero por Heiss (HEISS, 1958), y como consecuencia, muchos autores propusieron
otros 1981; TUBER y otros 1985; FAVA y otros 2000) citado por (DEL NOBILE et al.,
2003).
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las variables de decisión. Sin modelos adecuados no es posible llevar a cabo una técnica
para calcular el tiempo requerido en alcanzar una humedad crítica desde la humedad
entorno del almacenaje, que se puede moderar haciendo uso de métodos numéricos de
X =Xt
ws dX
t (dias ) =
Pm 100.Pvs ∫
X =Xo
a wext − a wi ( X , T ) (72)
primera ley de Fick y la ley de Henry en forma de ecuación diferencial ordinaria es:
dx k A.100.Ps
=
dt z ws
(
awe − awi ( x) ) esta EDO (dx/dt) podemos simular realizando el
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valor de x(g de agua/100 g de masa seca) para los diferentes tiempos (t) hasta una
Las ecuaciones que relacionan la actividad de agua para cada tiempo en función
de las constantes del modelo matemático de GAB obtenido de la primera ley de Fick y
=
[ ]
d (a w ) k Ps . A.100 a we − a w [1 − k .a w ] [1 − k .a w + c.k .a w ]
2 2
MEDELLÍN 1981, CHAUHA y BANS 1990, PARK y otros 1996) citado por
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