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    04 Numeros Complejos Unidad

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    1. El documento presenta una serie de ejercicios sobre límites de funciones, continuidad, derivadas, primitivas y aplicaciones de los teoremas del valor medio y de Rolle. Incluye calcular límites, derivadas, integrales definidas, estudiar curvatura de funciones y resolver problemas de optimización.

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    1ª EVALUACIÓN 2ºBAC

    Límites de funciones. Continuidad. Derivada de una función. Aplicaciones. Primitivas de una función

    e2𝑥 −𝑐𝑜𝑠2 𝑥−2𝑥 𝑡𝑔𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥−e−x −𝑥+1


    1. Calcula: a) lim 𝑥−ln⁡(𝑥+1)
    b) lim c) lim 𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 )−ln(𝑥 2 +1)−1
    𝑥→0 𝑥→0 𝑥−senx 𝑥→0

    𝑐𝑜𝑠2 𝑥−𝑎
    2. Calcula el valor de a y b para que se verifique que lim 2 =1
    𝑥→0 e𝑥 −𝑏𝑥 2 −1

    ln⁡(1+𝑥 2 )
    3. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función 𝑓(𝑥) = en x=0?
    𝑥

    2
    4. Dada la función 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥2−𝑥
    + 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡𝑥 < 2 calcula a y b para que f verifique las hipótesis del
    𝑒 + 𝑏⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡⁡𝑥 ≥ 2

    Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el intervalo [-2,3]. Para esos valores aplica

    dicho teorema a f en ese intervalo. Calcula la recta tangente a f paralela al eje OX.

    5. Calcula, si existen, los valores de a y b, para que la función


    1−𝑥
    ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡⁡⁡𝑥 < 0
    𝑓(𝑥) = {⁡⁡ 𝑒 𝑥 verifique las hipótesis del Teorema del Valor Medio del
    2
    𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡⁡𝑥 ≥ 0

    Cálculo Diferencial en el intervalo [-1,1]. Aplica a f dicho teorema en ese intervalo, para los valores

    calculados de a y b y calcula la recta tangente a f paralela al eje OX.

    𝑙𝑛⁡(3 − 𝑥)⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡𝑥 < 2


    6. Dada la función 𝑓(𝑥) = { 2−𝑥 calcula a y b para que f verifique las hipótesis del
    𝑎𝑒 + 𝑏𝑥⁡⁡⁡𝑠𝑖⁡⁡⁡𝑥 ≥ 2

    Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el intervalo [1,3]. Para esos valores aplica

    dicho teorema a f en ese intervalo. Calcula la recta tangente a f paralela a la recta x+3y-1=0

    1
    7. Calcula para f(x) = 4x + 𝑥 los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos,

    puntos de inflexión, intervalos de concavidad y convexidad y asíntotas.

    𝑏
    8. Calcula los valores de a y b para que la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑥 tenga un mínimo relativo en el

    1
    punto (2 , 4). Para esos valores de a y b, calcula las asíntotas, los intervalos de crecimiento y

    decrecimiento de f(x) y estudia su curvatura.

    9. Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y

    2𝑥+1
    mínimos de 𝑓(𝑥) = 2
    𝑒𝑥
    10. Dadas las funciones f(x)= xsenx y g(x)=2cosx+1 demuestra que las gráficas de ambas funciones

    se cortan en algún punto

    11. Dada la función f(x)= xsenx-2cosx demuestra que existe un punto c en el cual f(c)=1

    12. Demuestra que la ecuación 2cosx = xsenx -1 tiene alguna solución

    13. Calcula un polinomio de segundo grado que tenga en x=1 un mínimo relativo y cuya recta tangente

    en el punto (-1,5) sea paralela a la recta 8x+y-2=0

    14. Un alambre de 40 cm de longitud se divide en dos partes. Con cada una de las partes se quiere

    formar un cuadrado. Calcula las longitudes de las partes en las que se tiene que dividir el alambre

    para que la suma de las áreas de los cuadrados sea mínima.

    15. Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es

    el (0,0), otro está sobre el eje X, otro sobre el eje Y y el otro sobre la recta 2𝑥 + 3𝑦 = 8

    16. Enunciado e interpretación geométrica del Teorema de Rolle.

    17. Enunciado de la Regla de L´Hôpital

    18. Define derivada de una función en un punto

    19. Calcula:

    𝑥+2
    a) ⁡∫ 𝑑𝑥
    𝑥 3 −𝑥 2
    2𝑥
    b) ∫ 𝑥 𝑑𝑥
    √2 +1

    c) ∫ 𝑥𝑙𝑛(1 + 𝑥 2 )𝑑𝑥
    1
    d) ∫ 𝑥 𝑑𝑥
    𝑒 +1
    𝑥 2 +1
    e) ∫ 2 𝑑𝑥
    𝑥 +4

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