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Natale-Santillan-Semitiel-Algebra y Geom
Natale-Santillan-Semitiel-Algebra y Geom
Natale-Santillan-Semitiel-Algebra y Geom
Índice
1. Preliminares. 3
2. Teorı́a de conjuntos. 5
2.1. La noción primitiva de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Números reales. 15
3.1. Desigualdades entre números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Valor absoluto y distancia entre números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4. Factorial de un número natural y número combinatorio . . . . . . . . . . . . 19
3.5. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Matrices y determinantes. 25
4.1. Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3. Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Vectores 52
5.1. Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2. Operaciones con vectores en componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3. Descomposición vectorial de un vector del plano . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5. Sistemas de referencia en el espacio. Componentes de un vector en el espacio. 61
5.6. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.7. Producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.8. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6. Recta y plano. 70
6.1. La recta en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3. Posiciones relativas de dos rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4. Distancia de un punto a una recta del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5. El plano en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6. Posiciones relativas de dos planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.7. La recta en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.8. Posiciones relativas entre dos rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Algebra y Geometrı́a FCE-UA
Contenidos de la materia
Preliminares
Teorı́a de conjuntos.
Números reales.
Vectores.
Bibliografı́a:
Haeussler, E. F. - Paul, R. S., Matemática para administración y economı́a (10a. ed.), Grupo
Editorial Iberoamérica.
Apostol, T. M., Calculus Volumen I: Cálculo con una variable con una introducción al
Álgebra Lineal, Editorial Reverté
1. Alumno promovido: al que obtenga en los DOS parciales nota mayor o igual a 70 y
como promedio de las dos evaluaciones una nota no inferior a 80. La condición de
promovido es válida sólo para las mesas de diciembre del año en curso. En caso
de no aprobar el examen final quedará en condición de regular para los próximos
turnos de exámenes.
2. Alumno regular: al que obtenga en cada parcial un puntaje mayor o igual a 40 y como
promedio de las dos evaluaciones una nota no inferior a 60.
En la nota final de la asignatura se reflejan los resultados obtenidos en las notas del
examen final, de las dos evaluaciones parciales y participación en clase.
1. Preliminares.
Definición 1 (Proposición)
Ejemplo 1 ”Dos ecuaciones equivalentes a una tercera son equivalentes entre sı́”.
Definición 2 (Axioma)
Definición 3 (Teorema)
Observación 1 Los teoremas no son considerados evidentes, justamente porque salen como conse-
cuencia de axiomas o de otros teoremas. Es necesario cierto proceso de pensamiento para comprobar
que un teorema es cierto: su demostración.
Definición 4 (Lema)
Es una proposición cuyos resultados se utilizarán en la demostración de un teorema.
Definición 5 (Corolario)
Es una proposición que surge casi inmediatamente como consecuencia de que un teorema (u otra
proposición) sea verdadero.
Definición 6 (Ejemplo)
Es un caso particular o concreto de una proposición verdadera.
Definición 7 (Contraejemplo)
Es un caso particular o concreto que indica que una proposición es falsa (no es verdadera).
Para asegurar que una proposición es verdadera, hay que demostrarla. Para asegurar
que una proposición es falsa, alcanza con mostrar un contraejemplo. Un ejemplo no
demuestra jamás la veracidad de una proposición.
2. Teorı́a de conjuntos.
2.1. La noción primitiva de conjunto
El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de la Matemática Mo-
derna. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 − 1918).
El concepto de conjunto es intuitivo y se podrı́a definir como una agrupación bien definida
de objetos no repetidos y no ordenados. De esta manera, se puede hablar de un conjunto de
personas, ciudades, flores, libros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado
encima de una mesa.
Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al
conjunto. El conjunto de las remeras azules está bien definido, porque a la vista de una
remera se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien
definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o
puede haber distintas personas que opinen si esa persona es alta o no lo es.
Cantor definió que se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos
bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Nosotros consideraremos
que la noción de conjunto es una noción primitiva de la Matemática. Esto quiere decir
que no daremos una definición sino que consideraremos que todo el mundo comprende
intuitivamente este concepto, y además que todos tenemos la misma idea de él. Los
numerosos ejemplos que citaremos o utilizaremos en el futuro ayudarán a aclarar el
sentido de este término.
Nota 1 Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Definición 8 (Elemento)
Llamaremos elemento a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto. Estos elementos
tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es
único, no pudiendo existir en un conjunto elementos duplicados o repetidos. Los representaremos
con una letra minúscula: a, b, k,...
Definición 9 (Pertenencia)
El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U, es el conjunto de todos los
elementos con los que estamos tratando.
Existe un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacı́o y que se denota
por ∅. Es decir
∅ = {}
A = {a, b, c, d}
para definir a tal conjunto A. Esta notación empleada para definir al conjunto A se llama notación
por extensión.
Por otro lado, si todos los elementos x de un conjunto A satisfacen alguna propiedad que
pueda ser expresada como una proposición p(x), usamos la notación por comprensión, y
se puede definir a A como:
A = x ∈ U : p(x)
A = {x ∈ N / x < 5}
INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar la cantidad de elementos que
posee.
Definición 13 (Subconjunto)
x∈A⇒x∈B
sea cual sea el elemento x. En tal caso, se escribe A ⊆ B ó A ⊂ B.
Nota 2
A⊆B⇔B⊇A
Se suele mencionar que si A es subconjunto de B, B es superconjunto de A.
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se denota como A ∪ B,
el cual contiene a todos los elementos de A y a todos los de B.
A = {♦, ♥, 5}
B = {z, 6, }
C = {−1, ♦, 5, 6, 8}
Entonces
A ∪ B = {♦, ♥, 5, z, 6, }
A ∪ C = {♦, ♥, −1, 5, 6, 8}
C ∪ ∅ = {−1, ♦, 5, 6, 8}
x∈A∩B⇔x∈A∧x∈B
Es decir:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Si dos conjuntos A y B son tales que A ∩ B = ∅, entonces se dice que A y B son conjuntos disjuntos.
A∩C = {♦, 5}
B∩C = {6}
A∩B = ∅
C∩∅ = ∅
Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto
llamado diferencia entre A y B, representado por A − B.
x∈A−B⇔x∈A∧x<B
Es decir:
A − B = {x ∈ A : x < B}
B−C = {z, }
C−B = {−1, ♦, 5, 8}
A−C = {♥}
A−B = {♦, ♥, 5}
A−A = ∅
C−∅ = {−1, ♦, 5, 6, 8}
Observación 6
à = U − A
Proposición 1 A − B = B̃ − Ã
Demostración:
x∈A−B ⇔ x∈A∧x<B
⇔ x < Ã ∧ x ∈ B̃
⇔ x ∈ B̃ − Ã
∪ B) = Ã ∩ B̃
a) (A]
∩ B) = Ã ∪ B̃
b) (A]
Demostración:
a) x ∈ (A]
∪ B) ⇔ x < (A ∪ B) ⇔ x < A ∧ x < B ⇔ x ∈ Ã ∧ x ∈ B̃ ⇔ x ∈ Ã ∩ B̃
b) ejercicio.
x, y = (a, b) ⇔ x = a ∧ y = b
Dados dos conjuntos A y B, definimos al conjunto producto cartesiano de A y B (en ese orden),
representado por A × B, como el conjunto de los pares ordenados (x, y) tales que x pertenece a A e
y pertenece a B. Es decir,
A × B = (x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B
A × A = (x, y) : x, y ∈ A = A2
A×B = {(♦, z) , (♦, ) , (♦, 6) , (♥, z) , (♥, ) , (♥, 6) , (5, z) , (5, ) , (5, 6)}
B×A = {(z, ♦) , (, ♦) , (6, ♦) , (z, ♥) , (, ♥) , (6, ♥) , (z, 5) , (, 5) , (6, 5)}
A2 = {(♦, ♦) , (♦, ♥) , (♦, 5) , (♥, ♦) , (♥, ♥) , (♥, 5) , (5, ♦) , (5, ♥) , (5, 5)}
A×∅ = ∅
Observación 9 Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de
los componentes importa), resulta que
A×B=B×A⇔A=B
Definición 22 (Gráfico)
Un sistema de coordenadas cartesianas en el plano está constituido por dos rectas perpendiculares
que se intersecan en un punto O al que se lo llama el origen. Una de las rectas se acostumbra
representarla en posición horizontal y se la llama eje x o eje de las abscisas. A la otra recta, que se
acostumbra a representarla en posición vertical, se la denomina eje y o eje de las ordenadas. Ambas
constituyen los dos ejes de coordenadas rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes
llamadas cuadrantes.
Observación 11 El nombre de cartesiano es en honor del filósofo francés René Descartes (1596-
1650) ya que fue él quien planteó de manera formal la idea de resolver problemas geométricos por
medio del álgebra, a partir de un sistema de coordenadas rectangulares.
a) (A ∩ B) ∩ C e) Ã ∩ B̃ ∩ C i) A ∩ B̃ ∩ C̃
b) A ∩ C̃ ∪ B f ) (A ∪ B) ∪ C j) Ã ∩ B̃ ∪ C
c) (A ∩ B) ∪ C̃ g) A ∩ B̃ ∪ C k) Ã ∩ B̃ ∪ C̃
d) Ã ∩ B ∩ C h) A ∩ C̃ ∩ B l) (A]
∩ B) ∪ C
7. Escriba una descripción de cada una de las áreas sombradas. Utilice sı́mbolos
A, B, C, ∩, ∪, −, Ã. Puede ser posible más de una respuesta.
A = {x/2x − 3 = 0}
5
B = x/ − < x < 2
2
C = {x/ − 1 ≤ x ≤ 1}
a) A
e− eB=B−A
b) A − B = A e
T
B
a) A = {1, 2} ; B = {2, 3, 4}
b) A = {−1, 1} ; B = {x ∈ N/ − 2 ≤ x ≤ 2}
c) A = {x ∈ N/0 ≤ x ≤ 3} ; B = {3, 5}
d) A = N ; B = {x ∈ N/0 ≤ x ≤ 4}
e) A = {x ∈ R/0 ≤ x ≤ 2} ; B=R
f) A = N ; B=R
3. Números reales.
3.1. Desigualdades entre números reales.
Axioma de la Desigualdad
Entre todos los números reales, hay un conjunto llamado ”los números positivos”que
satisface las siguientes condiciones:
(i) para cualquier número a vale solo una de las siguientes alternativas: a es positivo, a
es cero ó −a es positivo;
(ii) cualquier suma (o producto) finita de números positivos es positiva.
Definición 25 (a > b)
Si a y b son números reales, decimos que a > b (y se lee a es mayor que b) siempre que a − b sea
positivo. En este caso también se puede notar b < a (y se lee b es menor que a).
Definición 26 (a ≥ b)
Si a y b son números reales, decimos que a ≥ b (y se lee a es mayor o igual que b) siempre que a > b
o a = b. En este caso también se puede notar b ≤ a (y se lee b es menor o igual que a).
Lema 1 Las relaciones ” < ” y ” > ” satisfacen las siguientes propiedades fundamentales ∀x, y, z ∈
R:
1. x > y ⇒ x + a > y + a, ∀a ∈ R
3. x > y ⇒ −x < −y
1 1 y−x
7. − = >0
x y xy
8. ay − ax = a (y − x) > 0
|{z}| {z }
<0 <0
El intervalo abierto de a a b es el conjunto de todos los números que son mayores que a y menores
que b. Es decir, un intervalo abierto consiste en todos los números entre a y b. Un número x está
entre a y b si ambas desigualdades a < x y x < b son verdaderas. Una manera de escribirlo de
manera compacta es a < x < b.
El intervalo cerrado de a a b es el conjunto de todos los números que son mayores que a y menores
que b y además los números (o los puntos) a y b. Escribimos esto como a ≤ x ≤ b, y se lee que x es
mayor o igual que a y menor o igual que b.
El intervalo cerrado en a y abierto en b es el conjunto de todos los números que son mayores o
iguales que a y menores que b. Escribimos esto como a ≤ x < b, y se lee que x es mayor o igual que
a y menor que b.
Podemos indicar al intervalo cerrado en a y abierto en b como [a, b) = {x/a ≤ x < b}
El intervalo abierto en a y cerrado en b es el conjunto de todos los números que son mayores que
a y menores o iguales que b. Escribimos esto como a < x ≤ b, y se lee que x es mayor que a y menor
o igual que b.
Podemos indicar al intervalo abierto en a y cerrado en b como (a, b] = {x/a < x ≤ b}
Observación 13 Todos los intervalos anteriormente presentados se dicen acotados (Luego volve-
remos a este concepto). Notemos además que el conjunto vacı́o ∅ puede ser escrito como un intervalo
(ejercicio para el lector).
Indicamos como (a, +∞) al conjunto de todos los números que son mayores que a. Podemos indicarlo
como (a, +∞) = {x/a < x}.
De igual manera, indicamos como [a, +∞) al conjunto de todos los números que son mayores o
iguales que a. Podemos indicarlo como [a, +∞) = {x/a ≤ x}.
Indicamos como (−∞, b) al conjunto de todos los números que son menores que b. Podemos
indicarlo como (−∞, b) = {x/x < b}.
De igual manera, indicamos como (−∞, b] al conjunto de todos los números que son menores o
iguales que b. Podemos indicarlo como (−∞, b] = {x/x ≤ b}.
Una ecuación se dice de primer grado cuando puede ser llevada mediante transformaciones regulares
a una ecuación de la forma ax + b = 0 con a , 0.
La solución de una inecuación en la variable x es el conjunto de todos los números que hacen que
la desigualdad sea verdadera.
Ejemplo 10
8−5
1. La desigualdad 3x + 5 < 8 tiene como solución al intervalo (−∞, 1), puesto que x < .
3
2x + 1
2. Ahora queremos resolver > 0. Entonces vemos que este cociente será positivo si pasa
x−3
que 2x + 1 > 0 y x − 3 > 0 o si pasa que 2x + 1 < 0 y x − 3 < 0. Ası́ tenemos que resolver
dos sistemas de inecuaciones:
2x + 1 < 0 2x + 1 > 0
( (
(I) (II)
x−3 < 0 x−3 > 0
1
La solución de esta inecuación será entonces S = SI ∪ SII = (−∞, − ) ∪ (3, +∞)
2
3.2. Valor absoluto y distancia entre números reales.
Definición 34 (Valor absoluto)
Lema 2 El valor absoluto de números reales satisface las siguientes propiedades fundamentales
∀x, y ∈ R:
√
2. |x| = x2
3. |x| ≥ 0
4. |x| = 0 ⇔ x = 0
5. |−x| = |x|
6. − |x| ≤ x ≤ |x|
7. xy = |x| y
x |x|
8. = , y , 0
y y
s !
2 √
x x x2 |x|
8. = = p = , y , 0
y y y2 y
11. Por la propiedad 6, para cualesquiera x e y en R se tiene que:
− |x| ≤ x ≤ |x| ,
− y ≤ y ≤ y .
Sumando miembro a miembro ambas expresiones, se obtiene que:
− |x| − y ≤ x + y ≤ |x| + y .
Sean x, y ∈ R. Se llama distancia entre x e y, y se notará por d(x, y) al número real dado por:
d(x, y) = x − y = y − x , ∀x, y ∈ R
3.3. Sumatoria
La sumatoria es un sı́mbolo matemático que permite representar sumas de muchos
sumandos
P de manera más compacta o abreviada y se expresa con la letra griega sigma
( ) y se define como:
n
ai = a1 + a2 + a3 + ... + an
P
i=1
donde los ai son números reales que se pueden obtener mediante alguna expresión ma-
temática.
Observación 15 la letra con la que se indica al ı́ndice no afecta a la suma de los términos, es decir:
3 3
2i + 1 = 2j + 1
P P
i=1 j=1
Ejemplo 12
5
i
= 1
+ 23 + 34 + 45 + 5
P
1. i+1 2 6
i=1
6
2i = 8 + 16 + 32 + 64
P
2.
i=3
4
(−1)k = −1 + 1 − 1 + 1 = 0
P
3.
k=1
Propiedades de la sumatoria
n n n
(ai + bi ) = ai +
P P P
1. bi
i=1 i=1 i=1
n
α=α·n
P
2.
i=1
n n
(α · ai ) = α
P P
3. ai
i=1 i=1
!
n
Definición 37 Se denomina número combinatorio a los números que se calculan de la
k
siguiente forma:
!
n n!
=
k k!(n − k)!
con n, k ∈ N0 tales que n ≥ k.
Ejemplo 13
a) {x/x < 3}
b) {t/t ≤ 1}
c) {s/s > 4}
d) {m/m ≥ 0}
e) {x/ − 3 ≤ x ≤ 4}
f ) {x/ − 2 < x ≤ 0}
g) {t/ − 1 < t < 1}
2. Utilizando la variable x, escriba cada uno de los intervalos siguientes como una
desigualdad con la notación de conjuntos.
a) (−∞, 4)
b) (−∞, 0)
c) [1, +∞)
d) [3, +∞)
e) [−3, 10)
f ) (−2, 9]
−6 > 0 − 8 > −6
3x 4x
a) x c) x
+1 ≤ 0
+2 > 0
2 2
3x + 2 ≤ 0 1
5x + ≥ 0
1
4
b) x < d)
2x − 10 < 0
x + 2 > 02
7x − 14 ≤ 0
a) nx ≥ 3
b) nx + 3x ≤ 5
c) nx − 3x − 5 < (3n − 1)x + 5
n
d) 6 − 2nx ≤ 1 − x
2
e) −2 + nx ≥ 4x + n
10. La diferencia de edades entre Mario y Gonzalo es mayor que 4 pero menor que 7. Si
Gonzalo tiene 36 años, ¿qué edad puede tener Mario?
11. Encuentra todas las posibles ternas de números enteros impares consecutivos cuya
suma en valor absoluto sea menor o igual que 7.
a) 2!6!
b) 8!5!
8!
c)
5!
!
5
d)
5
!
7
e)
5
!
13
f)
4
(2n + 2)!
a)
(2n)!
(3n + 1)!
b)
(3n − 1)!
14. Demuestre que:
! !
n n
a) = ; para n ≥ 1.
1 n−1
! !
n n
b) = ; para n ≥ 0.
0 n
P3 k
a) k
k=1 2
4
P k!
b)
k=1 2k + 1
4
k2 + 3k + 5
P
c)
k=1
3
3k2 − 2k + 1
P
d)
k=1
2
(2k − 3)2
P
e)
k=1
2
k3 + 2k2 − k + 4
P
f)
k=0
1
a) (−2a2 + )6
a
√ √ 4
b) ( x + y)
19. Determine x de modo que la suma del primer y último término de (−2x + 23 )7 sea 0
1 15
20. Halle el término de grado 2 del desarrollo de (x2 − )
x2
4. Matrices y determinantes.
4.1. Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer
grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sı́, ni
en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 5 es una ecuación lineal con tres incógnitas x, y, z. Los
números que acompañan a las incógnitas se llaman coeficientes. En este caso, 3, 2 y 6 son
coeficientes. El número 5 que aparece del otro lado del signo igual se denomina término
independiente.
Nuestro objetivo es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un
conjunto de varias ecuaciones lineales, ya que numerosos problemas de Economı́a y
Finanzas se resuelven a través de ellos.
Un sistema de m ecuaciones con n variables es un conjunto de m ecuaciones, cada una lineal en las
n variables, es decir
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2
... ... ...
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm
Ejemplo 14
3x1 + 2x2 = 3
(
x1 + x2 = 4
tiene por solución a x1 = −5, x2 = 9.
2x1 + 2x2 = 6
(
x1 + x2 = 3
tiene infinitas soluciones. La solución es el conjunto de puntos de la recta x2 = 3 − x1 , x1 ∈ R.
Suele darse en forma paramétrica
x1 =
(
t
,t∈R
x2 = 3 − t
Para un sistema de ecuaciones lineales sólo se cumple una de las siguientes afirmaciones:
b) Si dos ecuaciones sucesivas tienen elementos distintos de cero, entones el primer coeficiente no
nulo de la ecuación de abajo está a la derecha del primer coeficiente no nulo de la ecuación de
arriba llamado coeficiente principal. La variable a la que multiplica el coeficiente principal
se la llama variable principal.
c) Cualquier variable cuyo coeficiente sea no nulo de una ecuación tiene como coeficiente a 0 en
las ecuaciones de abajo.
Observación 17 Los sistemas más fáciles de resolver son los sistemas escalonados. Estos sistemas
lineales se resuelven mediante la sustitución hacia atrás:
Se resuelven comenzando en la última ecuación y avanzando hacia arriba. Primero se despeja
la variable principal de la última ecuación en términos de las otras variables (si las hay) llamadas
variables libres. Luego se sustituye la expresión encontrada para dicha variable en la ecuación
anterior y se despeja la variable principal de dicha ecuación. Ası́, continuando de este modo, hasta
despejar la variable principal de la primera ecuación.
Ejemplo 15
x − 2y + 3z = 9
y + 3z = 5 ⇒ y = 5 − 3z = 5 − 3 · 2 = −1
z = 2
Ejemplo 16
x1 − 2x2 + x3 − x4 = 1
x2 − x3 + x4 = 0
5x4 = 10
En este sistema escalonado, las variables principales son: x1 , x2 y x4 y por lo tanto x3 es variable
libre por lo que asume el valor de cualquier parámetro real t, es decir,
x3 = t, t ∈ R.
De la última ecuación se obtiene
x4 = 2.
Sustituyendo los valores obtenidos en la segunda ecuación: x2 − t + 2 = 0 y despejando
x2 = t − 2.
Sustituyendo ahora en la primera ecuación: x1 − 2(t − 2) + t − 2 = 1 y despejando tenemos que:
x1 = t − 1.
Este sistema lineal es compatible indeterminado y sus soluciones están dadas por:
x1 = t − 1
x2 = t − 2
x3 = t
x4 =
2
donde t ∈ R. Observe que para cada valor de t se tiene una solución del sistema lineal, por ejemplo,
si t = 0 entonces x1 = −1, x2 = −2, x3 = 0 y x4 = 2.
Definición 42 (Sistemas equivalentes)
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Nota 4 (Operaciones que conducen a sistemas de ecuaciones equivalentes)
a) Intercambio de dos ecuaciones
b) Multiplicación de una ecuación por una constante no nula
c) Suma de un múltiplo de una ecuación a otra
Estas operaciones entre ecuaciones permiten transformar un sistema no escalonado en
uno escalonado equivalente para luego aplicar la sustitución hacia atrás.
Ejemplo 17
a) Sistema compatible determinado.
x − 2y + 3z = x − 2y + 3z = x − 2y + 3z = 9
9 9
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−x + 3y = −4 y + 3z = y + 3z = 5
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
E2 + E1
E2
5
E3 E3 + E2
E3 E3 − 2E1
2x − 5y + 5z = 17 −y − z = −1 z = 2
x=1
y = −1
La solución es entonces
z=2
b) Sistema incompatible.
x − 3y + z = x − 3y + z = x − 3y + z =
1 1
1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
2x − y − 2z = 5y − 4z = 5y − 4z =
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
2 E2 E2 − 2E1
0 0
E3 E3 − E2
E3 E3 − E1
x + 2y − 3z = −1 5y − 4z = −2 0z = −2
Resulta evidente que no hay ningún valor de z que multiplicado por 0 nos dé −2, y ası́ este
sistema resulta incompatible.
c) Sistema compatible indeterminado.
x − 3z = −1 x − 3z = −1 x − 3z = −1
y−z = y−z = y−z =
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
0 0 0
E3 E3 + E1 E3 E3 − 3E2
−x + 3y = 3y − 3z = 0z =
1 0 0
Aquı́ vemos que z puede tomar cualquier valor real, ya que cualquier número multiplicado
por 0 nos dá 0. Ası́ esta incógnita está indeterminada, y las infinitas soluciones vienen dadas
por:
x = −1 + 3t
y=t ,
t∈R
z=t
Definición 43 (Matriz)
Ejemplo 18
a) 2
1×1
0 0 0
b) 0 0 0
0 0 0 3×3
c) 1 −3 2 7
1×4
e π
d) 21 0
0 9 3×2
Observación 18 Las matrices suelen utilizarse para representar un sistema de ecuaciones lineales:
Matriz de coeficientes: contiene los coeficientes del sistema, es decir, los coeficientes de las
variables.
Matriz ampliada o aumentada: contiene los coeficientes del sistema y los términos indepen-
dientes.
Ejemplo 19
x + 3y =
9
+ =
−y 4z −2
x − 5z =
0
1 3 0
La matriz de coeficientes asociada a este sistema es: 0
−1 4
1 0 −5
1 3 0 9
La matriz ampliada asociada a este sistema es: 0 −1 4 −2
1 0 −5 0
a) Intercambio de filas,
Nótese que las operaciones elementales en las filas de una matriz son “similares” a las
operaciones elementales entre ecuaciones de un sistema lineal. Como la matriz aumentada
de un sistema lineal es una representación abreviada del mismo, se puede ahorrar tiempo
y trabajar en forma más eficiente si se utiliza esta notación en el proceso de resolución del
sistema.
Ejemplo 20
x − 2y + 3z =
9
+ =
−x 3y −4
2x − 5y + 5z = 17
x − 2y + 3z = 9
y + 3z = 5 es equivalente al dado y su solución está dada en el ejemplo 19
El sistema
z = 2
a).
La última matriz de la tabla anterior se dice que está en forma escalonada:
a) Todas las filas que tengan únicamente ceros aparecen en la parte inferior de la matriz.
b) Para dos filas consecutivas (no nulas), el primer elemento no nulo de la fila superior está más
a la izquierda que el primer elemento no nulo de la fila inferior. A dicho elemento se lo llama
elemento principal
Ejemplo 21
1 2 −1 4
a) 0 3 3 5
0 0 2 −9
1 3 1 5
b) 0 0 2 6
0 0 0 0
Ejemplo 22
1 0 0 5
a) 0 1 0 −6
0 0 1 2
!
1 3 2 0 4
b)
0 0 0 1 5
1 0
0 1
c) 0 0
0 0
0 0
Ejemplo 23
Volvamos al sistema del ejemplo anterior:
x − 2y + 3z =
9
−x + 3y = −4
2x − 5y + 5z = 17
1 −2 3 9
0 1 3 5
0 0 1 2
Ahora para obtener una matriz escalonada reducida debemos hacer ceros en las columnas que
tengan 1 principales.
1 −2 3 9 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 1 −2 0 3 1 0 0 1
0 1 3 5 F2
F1 F2 − 3F3 0 1 0 −1 −−−F−1−−−−−−−−−−−F−1−−+−−2F−−2−→ 0 1 0 −1
F1 − 3F3
0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2
2x + 4y − 2z = 0
(
3x + 5y = 1
! ! !
2 4 −2 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1
1 2 −1 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 1 2 −1 0
F1 2 F1
F2 F2 − 3F1
3 5 0 1 3 5 0 1 0 −1 3 1
! !
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 1 2 −1 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 1 0 5 2
F2 −F2 F1 F1 − 2F2
0 1 −3 −1 0 1 −3 −1
x + 5z = 2
(
y − 3z = −1
en donde resulta evidente que tanto x como y dependen del valor que tome z. Si z = t, t ∈ R,
entonces la solución está dada por:
x =
2 − 5t
y = −1 + 3t
t∈R
z =
t
Observación 19 Es fácil ver que un sistema homogéneo siempre tiene al menos la solución trivial,
es decir
x1 = x2 = ... = xn = 0
4.2. Matrices.
Nota 7 Estudiemos más concretamente a las matrices. Las matrices pueden representarse en
alguna de las tres formas siguientes:
Para indicar que la matriz A tiene m filas y n columnas, ponemos A ∈ Mm×n (R)
Definición (Suma
49 de matrices)
Si A = ai j , B = bi j , A, B ∈ Mm×n (R), su suma es una nueva matriz de orden m × n definida
como:
A + B = ai j + bi j
Ejemplo 25
! ! !
−1 6 3 2 2 8
a) + =
0 5 6 −3 6 2
3 0 3
2 2 4
b) + =
0 −1 −1
−5 3 −2
5 13 −5
3 3
0 52 2
c) La suma de A = −6 12 y B = no está definida.
4 0 2
0 5
1 0 0
Definición (Resta
51 de matrices)
Si A = ai j , B = bi j , A, B ∈ Mm×n (R), su resta es una nueva matriz de orden m × n definida
como:
A − B = A + (−1)B = ai j − bi j
Ejemplo 26
−1 0 −3 0
a) 3 2 7 = 6 21
0 1 0 3
! ! !
−1 2 2 12 1 2 −13 1 0
b) − =
5 0 12 −2 1 0 7 −1 12
Definici
ón 52 (Multiplicación
de matrices)
Si A = ai j , B = bi j , entonces el producto AB es una matriz de orden m × p donde
m×n n×p
0 1 2 0
AB 1 0 −2 1
−1 0 3 2
1 −1 2 −3 1 10 3
0 1 2 −1 0 4 5
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) (cd)A = c(dA)
d) 1A = A
e) c(A + B) = cA + cB
f) (c + d)A = cA + dA
a) A + O = A
b) A + (−A) = O
c) cA = O ⇔ c = 0 ∨ A = O
1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
In = .. .. . . ..
. .
. .
0 0 ··· 1
a) A In = A
b) Im A = A
A = A, A = A · A, A = A · A... A = A ... A, k ∈ N
1 2 3 2 k
z}|{
Ejemplo 29
!
1
a) A = ; At = 1 3
3
3 2
!
3 5 0
b) B = 5 1 ; B =
t
2 1 −1
0 −1
Ejemplo 30
1 2 0 1 2 0
A = 2 −3 4 ; At = 2 −3 4 = A
0 4 9 0 4 9
0 −2 1 0 2 −1
B = 2 0 3 ; Bt = −2 0 −3 = −B
−1 −3 0 1 3 0
b) (A + B)t = At + Bt
c) (cA)t = cAt
d) (AB)t = Bt At
Demostración:
Si A es inversible entonces existe B tal que AB = BA = I. Supongamos exista C tal que
AC = CA = I. Entonces:
AB = I ⇒ C(AB) = CI ⇒ (CA)B = C ⇒ IB = C ⇒ B = C
Ejemplo 31
1 −1 0
Dada A = 1 0 −1 , calculemos A−1
−6 2 3
1 −1 0 1 0 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 1 −1 0 1 0 0 1 −1 0 1 0 0
1 0 −1 0 1 0 FF23 F2 − F1 0 1 −1 −1 1 0 −−−F−3−−−−−−−−−−−F−3−−+−−4F−−2−→ 0 1 −1 −1 1 0
F3 + 6F1
−6 2 3 0 0 1 0 −4 3 6 0 1 0 0 −1 2 4 1
1 −1 0 1 0 0 1 −1 0 1 0 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 0 1 −1 −1 1 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 0 1 0 −3 −3 −1
F3 −F3 F2 F2 + F3
0 0 1 −2 −4 −1 0 0 1 −2 −4 −1
1 0 0 −2 −3 −1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
0 1 0 −3 −3 −1
F1 F1 + F2
0 0 1 −2 −4 −1
Ejemplo 32
1 −1 0
Dada B = 1 0 −1 , calculemos su inversa.
−2 1 1
1 −1 0 1 0 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 1 −1 0 1 0 0 1 −1 0 1 0 0
1 0 −1 0 1 0 FF23 F2 − F1 0 1 −1 −1 1 0 −−−F−3−−−−−−−−−−−F−3−−+−−F−2−→ 0 1 −1 −1 1 0
F3 + 2F1
−2 1 1 0 0 1 0 −1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1
1 1
d) La inversa de cA es A−1 , es decir (cA)−1 = A−1
c c
t −1
t
e) La inversa de At es A−1 , es decir (At ) = A−1
Demostración:
−1
a) AA−1 = A−1 A = I ⇒ A es la inversa de A−1 ⇒ A−1 =A
b) (AB) B−1 A−1 = A BB−1 A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.
B−1 A−1 (AB) = B−1 A−1 A B = B−1 IB = B−1 B = I.
Luego B−1 A−1 es la inversa de AB.
c) no lo demostramos
d) (cA) 1c A−1 = c 1c AA−1 = 1 · I = I
1 −1
c
A (cA) = 1
c
c A −1
A =1·I =I
t t
e) At A−1 = A−1 A = It = I
t t
A−1 At = AA−1 = It = I
a) AC = BC =⇒ A = B
b) CA = CB =⇒ A = B
Demostración:
1 −2 1 −2
AC BC
−1 2 −1 2
;
1 3 −2 4 2 4 −2 4
0 1 −1 2 2 3 −1 2
Demostración:
AX = B ⇒ A−1 (AX) = A−1 B ⇒ (A−1 A)X = A−1 B ⇒ IX = A−1 B ⇒ X = A−1 B
Además la solución es única. Si X1 , X2 fueran dos soluciones tendrı́amos que AX1 = AX2 =
B. Como A es inversible, A−1 AX1 = A−1 AX2 = A−1 B, y entonces tenemos que X1 = X2 .
Observación 26 Este teorema en la práctica no se usa siempre porque es más trabajoso calcular
A−1 y A−1 B que resolver directamente el sistema de ecuaciones, pero si se tienen varios sistemas
con la misma matriz de coeficientes es útil.
Ejemplo 33
2x + 3y + z = −1 2x + 3y + z = 4 2x + 3y + z = 0
+ 3y + z = 1 3x + 3y + z = 8 3x + 3y + z = 0
3x ; ;
2x + 4y + z = −2 2x + 4y + z = 5 2x + 4y + z = 0
2 3 1
La matriz de los coeficientes en los tres sistemas es A = 3 3 1 .
2 4 1
−1 1 0
Su inversa es A−1 = −1 0 1 . Por lo tanto, las soluciones de los tres sistemas son
6 −2 −3
respectivamente:
−1 2 4 4 0 0
X1 = A−1 1 = −1 ; X2 = A−1 8 = 1 ; X3 = A 0 = 0
−1
−2 −2 5 −7 0 0
2 3 1 0 −1 2 1 0 0
A = 3 3 1 ; B = 0 3 0 ; C = 2 1 0
2 4 1 −2 0 1 3 2 1
−1
t
Sabemos que At X − B = C ⇒ X = (At ) [C + B] = A−1 [C + B]. Entonces:
−1 −1 6 0 −1 2 1 0 0 3 9 10
X = 1 0 −2 0 3 0 + 2 1 0 = −1 −5 −2
0 1 −3 −2 0 1 3 2 1 −1 −2 −6
4.3. Determinantes.
Introduciremos a continuación el concepto de determinante asociado a una matriz cuadra-
da. Este concepto permite, entre otras cosas, encontrar otro método para resolver sistemas
de ecuaciones compatibles.
Definición 59 (Cofactor)
El cofactor Ci j del elemento ai j está dado por Ci j = (−1)i+j Mi j
−2 4 5
Ejemplo 35 En la matriz A = 6 7 −3 los menores complementarios de cada uno de los
0 3 2
elementos de la primera fila son:
7 −3 6 −3 6 7
M11 = = 23 ; M12 = = 12 ; M13 = = 18
3 2 0 2 0 3
y los cofactores correspondientes son
C11 = (−1)1+1 M11 = 23 ; C12 = (−1)1+2 M12 = −12 ; C13 = (−1)1+3 M13 = 18
Observación 27 1. Si A es de orden 2
!
a11 a12
A=
a21 a22
2. Si A es de orden 3
Primero repetimos las dos primeras filas de A luego de la última fila, o sea:
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − (a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 ) =
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
1 3 2
Ejemplo 36 Calcule el determinante de la matriz A = 0 2 −1 por:
−1 0 1
1 3 2
2 −1 0 −1 0 2
|A| = 0 2 −1 = 1· −3· +2· = 1·2−3·(−1)+2·2 = 2+3+4 = 9
0 1 −1 1 −1 0
−1 0 1
Observación 28 Este teorema es muy útil pues al elegir la columna o fila con mayor cantidad de
ceros se evitan calcular cofactores.
Ejemplo 37
1 2 0 −2
0 1 3 4
A =
−1 0 0 3
2 1 0 3
Usando el teorema anterior, vemos que conviene hacer el desarrollo de este determinante por su
tercer columna:
1 2 −2
|A| = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33 + a43 C43 = −3M23 = −3 −1 0 3 =
2 1 3
|{z} |{z} |{z}
=0 =0 =0
= −3 · (0 + 2 + 12 − 0 − 3 + 6) = −3 · 17 = −51
Una matriz cuadrada de orden n se denomina matriz triangular superior si todos sus elementos por
debajo de la diagonal principal son ceros; y triangular inferior si todos sus elementos por encima
de la diagonal principal son ceros.
a11 a12 a13 . . . a1n
22 a23 . . . a2n
0 a
A = 0 0 a . . . a
33 2n matriz triangular superior
.. .
.. .
.. . .
. . ..
.
0 0 0 . . . ann
a11 0 0 . . . 0
a21 a22 0 . . . 0
A = a31 a32 a33 . . . 0 matriz triangular inferior
.. .. .. . . .
. ..
. . .
an1 an2 an3 . . . ann
Ejemplo 38
2 7 0 0 4 0 0 0
!
1 0 0 1 1 0 0 5 0 0
A= ; B = ; C =
−1 3 0 0 7 −5 0 0 6 0
0 0 0 1 0 0 0 1
Observación 29 Como las matrices diagonales también son triangulares, entonces también vale
el teorema para ellas.
Ejemplo 39
1 0 0 0
−2 −3 0 0
A = =⇒ |A| = 1 · (−3) · 4 · 2 = −24
3 4 4 0
32 45 7 2
2 1 3 4 1
0 23 1 −1 3
B = 0 0 1 34 2 =⇒ |B| = 2 · 23 · 1 · 1 · 0 = 0
0 0
0 1 4
0 0 0 0 0
a) Si una matriz tiene una lı́nea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero.
b) Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante vale cero.
e) Si a una lı́nea de una matriz se le suma otra lı́nea multiplicada por un número, el determinante
no cambia.
2 3 4 1
0 0 0 0
a) A = =⇒ |A| = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 + a24 C24 = 0
−2 5 1 8 |{z} |{z} |{z} |{z}
3 4 5 2 =0 =0 =0 =0
−1 2 1
b) B = 2 3 4 =⇒ |B| = 0
2 3 4
1 2 1 1 2 1
!
0 4
c) C = 0 3 4 =⇒ |C| = 12 C0 = 0 0 4 =⇒ |C0 | = 1 · = −12
;
3 4
0 0 4 0 3 4
2 −5 0
d) D = 0 −2 7 =⇒ |D| = −20
0 0 5
−1 2 3
1 −6 2 3
e) E = =⇒ |E| = −1 · + 1 · = −15 + (−15) = −30
0 1 −6
2 3 1 −6
1 2 3
−1 2 3
1 −6
f) E =
0
=⇒ |E | = −1 ·
0
= −1 · (6 + 24) = −30
0 1 −6
4 6
0 4 6
Nota 10 La aplicación de este teorema facilita el cálculo de determinantes, ya que podemos trans-
formar a la matriz a la que le queremos calcular el determinante en una matriz triangular que
tenga el mismo determinante.
b) |cA| = cn |A|
c) |A| = At
Observación 30 |A + B| , |A |+| B|
Ejemplo 41
3 0 0 1 0 0
|A| = 9 2 0 = 30 ; |B| = −5 −2 0 = −16
5 3 5 3 0 8
4
0 0
|A + B| = 4 0 = 0 |A| + |B| = 30 − 16 = 14
0 ,
8 3 13
1
Teorema 14 Sea A ∈ Mn (R). Entonces A es inversible sı́ y sólo si |A| , 0. Además |A−1 | =
|A|
Demostración:
Demostraremos únicamente que si A es inversible entonces |A| , 0. Sabemos que si
A es inversible, existe una matriz A−1 tal que AA−1 = I. Luego AA−1 = |I| = 1. Esto
evidentemente implica que |A| , 0.
1
Además, AA−1 = |A| A−1 = 1 =⇒ |A−1 | =
|A|
a) La matriz A es inversible.
e) |A| , 0
tiene una matriz de coeficientes A tal que |A| , 0, entonces la solución del sistema está dada por
Ejemplo 42
3x1 + x2 − x3 =
1
x1 − x2 + 2x3 = −1
2x1 + 2x2 + 3x3 =
2
3 1 −1
−1 2 1 2 1 −1
A = =⇒ |A| = 3 · − 2 3 − 2 2 = −21 + 1 − 4 = −24 , 0
1 −1 2
2 3
2 2 3
1 1 −1 3 1 −1 3 1 1
−1 −1 2 1 −1 2 1 −1 −1
2 2 3 2 2 3 2 2 2
|A1 | |A2 | |A3 |
x1 = = =0 ; x2 = = =1 ; x3 = = =0
|A| −24 |A| −24 |A| −24
Observación 31 La Regla de Cramer sólo sirve para resolver sistemas de ecuaciones con única
solución cuya matriz de coeficientes es cuadrada.
2x + 3y = 1 3x + 3y + z =
(
1
a)
x−y = 0 + =
g) 2x − y 2z 2
x + 4y − z = −1
2x + 3y = 1
(
b) 3x + 3y + z = 1
−4x − 6y = 0
2x − y + 2z = 2
h)
x + 4y − z = 1
2x + 3y = 1
(
c)
−4x − 6y = −2
3x + 3y + z = 1
2x + 2y + 23 z = 23
i)
+ =
2x 3y 1 x + y + 1z = 1
=
d) x − y 0 3 3
−4x − 6y = 0 3x + 3y + z =
1
2x − y + 2z =
2
+ + = j)
3x 3y z 0 x + 4y − z = −1
2x − y + z = 0
e)
x + y + 1z =
1
x + 2y − 3z = 0 3 3
x+y−z+w =
3
3x + 3y + z = 1 2x + y + 2z + 3w =
4
k)
2x − y + 2z = 2 x−y+z =
f) 1
x + 2y − 3z = 3 3x + 2y + z + 4w =
7
! ! ! !
2 −3 −1 2 −1 −1 1 3 4 1 1
A= , B= , C= , D=
8 −1 4 −3 4 0 −1 −2 −3 0 −3
a) A − 2B + 3C
b) DC
c) 3A + 2BC
d) 3B + C
e) D − 4I
1 −1 0 3 1 1 1 0 2
A = 0 3 −1 , B = 1 0 −2 , C = 2 −1 1
3 −2 1 1 −1 1 4 −3 1
Calcule
a) A + 2B + C − 3I
b) 3B + 2A − 2C
c) 2ABC − CB
d) AB y BA, ¿son iguales?
e) CB y BC
f ) 2AC − BCA
! !
2 3 1 1
4. Halle una matriz X, tal que AX = B, siendo A = , B= . ¿Verifica
1 2 2 −1
también la matriz X la igualdad XA = B?
1 1 1
2) A = 1 1 1
1 1 1
!
1 0
3) A =
1 1
!
1 0
b) Calcule la matriz A250 + A20 sabiendo que A =
1 1
! !
9 0 x y
6. Dada la matriz A = , halle todas las matrices de la forma B = , tales
0 4 0 z
que Bt B = A.
1 −1 −1 1 0 1
b) B = −1 0 3 d) D = 0 1 −1
−2 5 −3 −2 0 1
! !
2 −1 4 2
8. Dadas A = yB= , halle X tal que AX = B.
1 1 0 −2
!
a 0
9. Dada la matriz A = , ¿qué relación deben mantener las constantes a y b para
1 b
que se verifique que A2 = A?
a) X + At X = B + X d) AX + 2B = X
b) XA − AI = I − XA e) A(2X)B = C
c) A2 X − 3X = B f ) B−1 A−1 X = (AB)−1
1 −1 0
!
0 1 −1
A = 0 1 2 , C=
3 0 1
−1 −1 0
−1 0 0 1
2 −1 −1 1 0 0
−1 1 2 0
D = −1 2 −1 , E = 4 2 0 , E =
2 3 1 0
−1 −1 2 5 6 3
1 1 0 2
15. Sin calcular los determinantes de las siguientes matrices, expliquer por qué son
nulos:
2 7 5 2 0 4
A = 2 1 −1 , B = −1 0 5
−4 0 4 2 0 −2
2 3 4 5 1 4 2 3
−1 2 0 3 −1 5 −2 0
C = , D =
1 5 4 8 2 −1 4 1
3 −1 −2 0 3 −3 6 2
1 0 0 1 1 2 0 0
2 2 −2 3 0 3 1 1
A = , B =
−5 4 3 1 0 1 0 2
2 −1 0 3 −3 0 2 0
−1 2 1 −1
0 1 1
0 3 1 1
C = , D = 1 0 1
0 1 0 2
1 1 0
1 0 2 0
0 1 2
2
0 0 0
(i) AX = , (ii) BX = , (iii) CX = , (iv) DX = 0
0 0 0
0
0 0 0
18. Determine todos los valores de c para los cuales la regla de Cramer no puede
utilizarse para la resolución del siguiente sistema:
x + cy + 8z = −4
cx − z =
1
−53x − 6y + z =
2
19. Si A y B son matrices cuadradas de orden 4 tales que det(A) = −5 y det(B) = 3, calcule
a) det(AB)
b) det(A3 )
c) det(2B)
d) det((AB)t )
e) det(( 31 B)−1 )
a b c
20. Sea la matriz A = d e f tal que det(A) = −2. Calcule el determinante de las
g h i
siguientes matrices:
d e f
a) B = a b c
2g 2h 2i
2a 2b 2c
b) P = 2g 2h 2i
2d 2e 2 f
a d 3g
c) R = b e 3h
c f 3i
3a 3b 3c
d) C = 3d 3e 3f
3g + a 3h + b 3i + c
5. Vectores
5.1. Vectores en el plano
En el mundo fı́sico se encuentran frecuentemente dos tipos de magnitudes. Un tipo es el
de las magnitudes escalares, que son aquellas cuya medición consiste en atribuir un valor
numérico cuantitativo a alguna propiedad de un cuerpo, como la longitud o el área. Estas
propiedades pueden cuantificarse por comparación especificadas mediante un número
real. Vale decir por ejemplo que se puede determinar cuál cuerpo es más largo o más
pesado conociendo solamente el valor de su longitud o su peso. Otro tipo de magnitudes
son aquellas que por su propia naturaleza no pueden ser medidas solamente como un
número real. Estas magnitudes se llaman magnitudes vectoriales.
Por ejemplo: la distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio y que viajan a
determinadas velocidades, según lo indicado por sus respectivos velocı́metros, no queda
determinada solamente por las mismas. Por ejemplo, si ambos parten con velocidades
constantes de 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podrá
ser (entre otras posibilidades):
Como se puede ver, la distancia recorrida depende también de otras cualidades aparte de
la propia rapidez de los coches. Por esta razón es necesario definir el siguiente concepto.
Definición 62 (Vector)
−v = −
Un vector →
−→
OA es un segmento orientado que tiene un punto origen O y un punto extremo A
y queda determinado por tres caracterı́sticas:
1. Una longitud, que es representada por un valor numérico no negativo al que llamaremos
módulo (también se la denomina norma), que es la longitud del segmento. El módulo del
vector se indica con la
letra
que designa al vector entre doble barras. Vale decir, el módulo
→
−
→
−
del vector v se denota v
.
2. Una dirección, que es la recta a la que pertenece (o dicho de otra forma, sobre la que está
apoyado).
3. Un sentido. Es la orientación del segmento elegida sobre la recta, al decidir cuál es el punto
origen y cuál es el punto extremo (gráficamente está indicado por la flecha).
Nota 11 La definición de igualdad de vectores, nos permite trasladar un vector dado paralelamente
a sı́ mismo, sin alterar sus tres caracterı́sticas. Esta idea de libertad de movimiento hace que la
definición dada de vectores caracterice a los llamados vectores libres. En adelante, cuando hablemos
de vectores haremos referencia a los vectores libres.
Definición 66 (Versor)
Un versor es un vector de módulo 1.
−u , →
a) Si k , 0 y →
−
0 , el vector k→−u tiene:
Módulo: k k→−u k=| k | k →
−u k
→
−
Dirección: es la de u
Sentido: es el de →
−u si k > 0 y el opuesto de →
−u si k < 0
−u = →
b) Si k = 0 o →
−
0 entonces k→ −u = →−
0
Observación 34 También podemos obtener al vector suma mediante el Método del Paralelo-
gramo. Es un método geométrico en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada
vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos
paralelos obtendremos el vector suma.
Si deseamos poder trabajar con vectores no podemos conformarnos solamente con una
representación gráfica de ellos. Necesitamos poder expresarlos de forma numérica, tan-
to para poder operar más cómodamente como para poder estudiarlos mejor. Cuando el
punto de aplicación de un vector está en el origen de coordenadas, el extremo del vec-
tor coincidirá entonces con un punto del plano, el punto (x, y). Cualquier punto (x, y)
determina el vector que empieza en el origen de coordenadas y termina en el propio
punto. La ubicación de los puntos en el plano le da el sentido al vector. Analı́ticamente,
representaremos el vector por el punto que determina su final. Este tipo de vector que
comienza en 0 se llama vector posición. A las coordenadas del vector las denominaremos
componentes, y todo vector estará ası́ definido por dos componentes, una x y otra y, que
serán las componentes cartesianas del vector.
Para indicar que estamos hablando de las coordenadas de un punto, lo indicaremos P(x, y)
(sin escribir el igual entre la letra y el par ordenado), y para indicar que hablamos de las
componentes del vector que tiene como punto final a P y punto origen a O lo indicaremos
−−→
OP = x, y .
−u = −
Es evidente que si →
−→
OP = x, y , el módulo de este vector se calcula ası́:
→
−−→
q
−u
=
OP
= x2 + y2
Observación 35 (Igualdad entre vectores del plano en componentes)
Dos vectores →
−u = (u , u ) y →
1 2
−v = (v , v ) son iguales sı́ y sólo si u = v y u = v .
1 2 1 1 2 2
Definición 69 (V2 )
Vamos a llamar V2 al conjunto de todos los vectores del plano (vale decir, de dos componentes).
→
−u + →
−v = (u + v , u + v ) suma entre vectores
1 1 2 2
→
−
ku = (ku1 , ku2 ) producto de un vector por un escalar
−→−u = (−u , −u )
1 2 vector opuesto
→
−u − →
−v = (u − v , u − v ) resta entre vectores
1 1 2 2
Ejemplo 43 Sean →
−u = (2, 4) , →
−v = (−3, 0) , →
−
w = (6, −7) .
Entonces
→
−u + →−v = (2 + (−3) , 4 + 0) = (−1, 4)
→−
3 v = (3. (−3) , 3,0) = (−9, 0)
−→−
w = (−6, − (−7)) = (−6, 7)
→
−u − →−w = (2 − 6, 4 − (−7)) = (−4, 11)
−−→
¿Cuáles serán las componentes del vector PQ ?
y en componentes resulta
−−→
PQ = (x2 , y2 ) − (x1 , y1 ) = (x2 − x1 , y2 − y1 )
−−→
Ejemplo 44 Sean los puntos P(1, 1) y Q(4, 5), luego el vector PQ = (4 − 1, 5 − 1) = (3, 4).
−−→
Observación 38 Si consideramos al vector que une los puntos C(5, 0) y D(8, 4), surge que PQ =
−−→
CD. Todo vector con origen en O se dice que está en posición canónica. De aquı́ en adelante el
origen de los vectores será siempre el origen de coordenadas, salvo que se indique lo contrario. Como
trabajamos con vectores libres, todo vector puede ser ubicado en posición canónica.
Ejemplo 45
3 4
→
−
a) u1 = − , es paralelo a →
−
u3 = (6, −8) porque existe k ∈ R tal que → −
u1 = k→ −
u3 . Veamos esto:
5 5
3
− 5 = 6k
3 4 1
− , = k (6, −8) ⇐⇒ ⇐⇒ k = −
5 5 4 10
= −8k
5
3 4
b) →
−
u1 = − , no es paralelo a →
−
u2 = (−1, 2) porque no existe ningún k ∈ R tal que → −
u1 = k→−
u2 .
5 5
Veamos esto:
3
− 5 = −k
3 4
− , = k (−1, 2) ⇐⇒ , y no existe k solución de este sistema
5 5 4
= −2k
5
a) Conmutatividad de la suma:
→
−u + →
−v = →
−v + →
−u
b) Asociatividad de la suma:
→
−u + →
−v + →
−
w =→
−u + →
−v + →
−
w
k1 k2→
−
u = (k1 k2 ) →
−u
(k1 + k2 ) →
−u = k →
− →
−
1 u + k2 u
k1 →
− →
u + −v = k1→ −u + k →
−
1v
1→
−u = →
−u ∀→
−u ∈ V
2
Demostración: Ejercicio
→
−u
Teorema 19 Sea el vector no nulo →
−u ∈ V . Entonces el vector →
2
−
u0 =
→
es el versor asociado a
−u
→
−u .
→
−u 1 →
→
−
Demostración: Como u0 =
→
=
→
−u , es trivial que → −
u0 es paralelo a →
−u , por lo tanto
−
u
−
u
1
tiene la misma dirección. Como
→ −
> 0, entonces ambos vectores tienen el mismo
u
sentido. Además
→
−u
1
→
−
→
u0
=
→ = −u
=
1
→
−u
= 1
−u
→−u
→
−u
3 4
Ejemplo 46 Sea →
−u = (3, −4) . Como
→
−u
= 5, entonces podemos decir que →
−
u0 = , − .
5 5
−u = (u , u ) = u (1, 0) + u (0, 1) = u →
→ − →
−
1 2 1 2 1 i + u2 j
Nota 12 El ángulo entre dos vectores paralelos es 0 si ambos tienen el mismo sentido, o π si ambos
tienen sentido opuesto.
→−u · → −u
→
−v =
→ −v
cos θ
siendo θ el ángulo comprendido entre ellos. Si tenemos que los vectores vienen dados por sus
componentes, digamos por ejemplo → −u = (u , u ) , →
1 2
−v = (v , v ) , el producto escalar entre ambos
1 2
puede hallarse mediante la suma del producto de cada una de sus coordenadas, vale decir:
→
−u · →
−v = u v + u v
1 1 2 2
Ejemplo 48
a) Sean →
−u = (1, 2) , →
−v = (3, 4) . Entonces →
−u · →
−v = 3 + 8 = 11,
b) Sean →
−u = (1, 2) , →
−v = (−4, 2) . Entonces →
−u · →
−v = −4 + 4 = 0,
c) Sean →
−u = (−1, 1) , →
−v = (2, −4) . Entonces →
−u · →
−v = −2 − 4 = −6.
Observación 41 Notar que el producto escalar es una operación entre vectores que da como
resultado un número real.
Teorema 20 Sean →
−u , →
−v ∈ V , no nulos, y sea θ el ángulo comprendido entre ambos. Entonces
2
tenemos que
→−u · → −v
cos θ =
→ −v
.
−u
→
Demostración: Ejercicio.
Teorema 21 Sean →
−u , →
−v ∈ V . Entonces →
2
−u · →
−v = 0 si y sólo si →
−u es perpendicular a →
−v .
Demostración:
−u = →
Si →
−
0 y/o →−v = →
−
0 ambas implicancias son obvias.
→
− − → −
Supongamos que u , 0 y →
→
− v , 0:
⇒) Si →−u · →
−v = 0 entonces →
−u · →
−v =
→
−u
→
−v
cos θ = 0. Luego cosθ = 0 es decir θ = π
2
y por
lo tanto los vectores son perpendiculares.
⇐) ejercicio.
Ejemplo 49
a) Sean →
−u = (1, 2) , →
−v = (−4, 2) . Entonces →
−u · →
−v = 0, y por lo tanto →
−u es perpendicular a →
−v .
b) Sean →
−u = (1, 2) , →
−v = (3, 4) . Entonces →
−u · →
−v = 11, y por lo tanto →
−u no es perpendicular a
→
−v .
a) →
−u · →
−v = →−v · →
−u
b) →
−u · →
−v + →−
w =→
− →
u · −v + →
−u · →
−w
c) k →
− →
u · −v = k→ −u · →
−v = →
−u · k→
−v
→− −
d) 0 · → u = 0 ∀→ −u ∈ V
2
e) →−u · →
−u =
→
−u
2
f) →
− →
u · −v ≤
→
−
→
u
−v
(desigualdad de Cauchy - Schwartz)
g)
→
− →
u + −v
≤
→
−
→
u
+
−v
(desigualdad triangular)
Los tres ejes determinan tres planos: xy, yz y xz, que dividen al espacio en ocho octantes.
A cada punto del espacio le corresponden tres números reales ordenados x0 , y0 , z0 , que
son sus coordenadas cartesianas.
Observación 43 |x0 | mide la distancia del punto P al plano yz, y0 mide la distancia del punto P
al plano xz y |z0 | mide la distancia del punto P al plano xy.
1. (Distancia entre puntos del espacio). La distancia entre P y Q viene dada por:
q
2 2 2
d(P, Q) = q1 − p1 + q2 − p2 + q3 − p3
2. (Punto medio entre puntos del espacio). Las coordenadas del punto medio M entre P y Q
son:
p + q p + q p + q
1 1 2 2 3 3
M , ,
2 2 2
Observación 44 También valen de forma análoga todas las definiciones vistas para vectores del
plano. Llamamos V3 al conjunto de todos los vectores del espacio.
→
− →
− →−
En V3 los versores canónicos son i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) .
Entonces si por componentes el vector →
−v viene dado por (v , v , v ), su forma vectorial es → −v =
1 2 3
→
− →
− →
− q
−v = − −→
v1 i + v2 j + v3 k . Además
→
−
v = v21 + v22 + v23 , y si →
PQ, con P(p1 , p2 , p3 ) y Q(q1 , q2 , q3 ),
entonces →
−v = q − p , q − p , q − p .
1 1 2 2 3 3
→
−u = →
−v ⇐⇒ u = v , u = v , u = v igualdad entre vectores
1 1 2 2 3 3
→
−u k→
−v si →
−u = k→
−v , con k ∈ R. paralelismo entre vectores
→
−u + →
−v = (u + v , u + v , u + v ) suma entre vectores
1 1 2 2 3 3
k→
−u = (ku , ku , ku )
1 2 3 producto de un vector
por un escalar
−→
−u = (−u , −u , −u )
1 2 3 vector opuesto
→
−u − →
−v = (u − v , u − v , u − v ) resta entre vectores
1 1 2 2 3 3
→
−u
→
−
u0 =
→ versor asociado a →
−u
−u
→ −u
→
−v =
→
−u · → −v
cos θ = u v + u v + u v producto escalar
1 1 2 2 3 3
entre →
−u y →
−v
→
−u ⊥ →
−v si →
−u · →
−v = 0 perpendicularidad
entre vectores
→
−u · →
−v ≤
→
−u
→
−v
desigualdad de
Cauchy-Schwartz
→
−u + →
−v
≤
→
−u
+
→
−v
desigualdad triangular
Observación 45 Notar que el producto vectorial es una operación entre vectores que da como
resultado otro vector.
Nota 13
a) Una forma práctica para calcular el producto vectorial entre →
−u y →
−v es la siguiente:
→ − →− →−
i j k u u →
− u1 u2 →
−
→
−u ∧ →
−v = 2 3 − u1 u3 →
u1 u2 u3 = v v i − v v j + v v k
v1 v2 v3 2 3 1 3 1 2
Ejemplo 50 Sean →
−u = (1, 2, 3) , →−v = (3, 4, 5) . Entonces
→ − → − → −
i j k 2 3 →
− 1 2 →
−
→
−u ∧ →−v = − 1 3 →
1 2 3 = 4 5 i − 3 5 j + 3 4 k =
3 4 5
→
− → − →
−
= (2 · 5 − 3 · 4) i − (1 · 5 − 3 · 3) j + (1 · 4 − 2 · 3) k =
→
− →
− →
−
= −2 i − (−4) j + (−2) k = (−2, 4, −2)
a) →
−u ∧ →
−v = − →
−v ∧ →
−u
b) →
−u ∧ →
−v + →
−
w =→
− →
u ∧ −v + →
−u ∧ →
−
w
c) c →
− →
u ∧ −v = c→
−u ∧ →
−v = →
−u ∧ c→
−v
→
− − → →− → −
d) 0 ∧ → u = −u ∧ 0 = 0 ∀~ u ∈ V3
e) →
−u · →
−v ∧ →
−
w = → −u ∧ →
−v · →
−
w
f) → −u = →
−u ∧ → −
0
Demostración: Ejercicio.
b) Si →
−u y →
−v ∈ V son no nulos, se tiene que → −v = →
−u ∧ → −
0 ⇐⇒ → −u = c→
−v , con c ∈ R
3
c)
→
− →
u ∧ −v
es el área del paralelogramo que tiene a →
−u y a →
−v como lados adyacentes, siendo →
−u
y→
−v vectores no nulos del espacio.
Demostración:
a) Ejercicio. (Ayuda: plantear los productos escalares de →
−u ∧ →
−v con →
−u y con →
−v ).
b) → −v = →
−u ∧ → −
0 ⇐⇒
→
− →
u ∧ −v
= 0 ⇐⇒
→
−
→
u
−v
sen (θ) = 0 ⇐⇒ sen (θ) = 0 ⇐⇒ θ = 0 ó
θ = π ⇐⇒ → −u y →
−v son paralelos ⇐⇒ → −u = c→ −v , con c ∈ R.
Ejemplo 51
a) Calcular el área del paralelogramo determinado por los vectores →−u = (1, −1, 3) , →
−v =
(2, 0, 3) .
→ − →− →−
i j k
q √
→
−u ∧ →−v =
→
− →− 2
1 −1 3 = (−3, 3, 2) ⇒
u ∧ v
= (−3) + 32 + 22 = 22.
2 0 3
Ejemplo 52 Sean →
−u = (1, 2, 3) , →−v = (3, 4, 5) , →
−
w = (0, −1, 1) . Entonces
→−u , →
−v , →
−
w = (1, 2, 3) · ((3, 4, 5) ∧ (0, −1, 1))
Calculemos primero →
−v ∧ → −w:
→ − → − →−
i j k 4 5 →
− 3 4 →
−
→−v ∧ →
− − 3 5 →
w = 3 4 5 = i − j + k =
−1 1 0 1 0 −1
0 −1 1
→− →
− →
−
= (4 · 1 − 5 · (−1)) i − (3 · 1 − 0 · 5) j + (3 · (−1) − 0 · 4) k =
= (9, −3, −3)
Entonces tenemos que
→
−u , →
−v , →
−
w = (1, 2, 3) · (9, −3, −3) = 9 − 6 − 9 = −6
Demostración:
Sabemos por definición que →
− →
u , −v , →
−
w =→
− →
u · −v ∧ →
−
w . Luego, tenemos que
→−v ∧ →
− →
− →
− →
−
w = (v2 w3 − v3 w2 ) i − (v1 w3 − v3 w1 ) j + (v1 w2 − v2 w1 ) k
Entonces, haciendo el producto escalar por componentes entre → −u y →
−v ∧ →
−
w obtenemos que
el enunciado es cierto.
= (4 · 1 − 5 · (−1)) 1 − (3 · 1 − 0 · 5) 2 + (3 · (−1) − 0 · 4) 3 =
= 9 · 1 − 3 · 2 − 3 · 3 = −6
a) →
−u · →
−v ∧ →
−
w =→
− →
v · −
w ∧→
−u = →
−
w· →
− →
u ∧ −v
b) El volumen del paralelepı́pedo que tiene como lados adyacentes a los vectores →
−u , →
−v y →
−
w viene
dado por
→
− →
− →
− →
− →
− →
−
V = u , v , w = u · v ∧ w
3. Dados →
−u = (−5, 3) y →
−
w = (1, −2), represente geométricamente:
a) →
−v = 3→
2
−u
b) → −u + −
−v = → →
2w
c) →
−v = −→
−u + →
−
w
−a = (1, 2), →
4. Sean los vectores →
−
b = (2, 0) y →
−c = (1, 1):
5. Encuentre los números a y b reales tales que a(1, 2) + b(2, 5) = (1, 1).
a) →
−a = (−1, 3), P(4, 2)
−a = 4→
b) →
− →
−
i + 3 j , P(1, −2)
7.
Halle el vector →
−u que tenga la misma dirección y sentido que →
−v = (−1, 1) y donde
→
−u
= 4.
−a y →
−
→
−
−a + →
−
9. Si → b tienen igual dirección y sentido y
→
−
a
= 2,
b
= 5, calcule
→ b
.
−a + →
−
→ →−
¿Cuánto vale
→ b
si −a y b tienen sentidos opuestos?
a) →
−u = (−4, 5), →−v = (2, 7)
b) →
−u = (3, 5), →
−v = (1, 5 )
3
c) →
−u = (2, 5), →
−v = (−4, 10)
11. Dados →
−u = (3, 4), →
−v = (2, −3) halle →
−u · →
−v , →
−u · →
−u y el ángulo entre ellos.
−a y → −
→
−b
12. Los vectores → b forman entre sı́ un ángulo de π4 , siendo
→
−
a
= 4. Calcule
→
−
para que el vector →−a − b sea perpendicular al vector → −a .
−a − 1→
a) 2→
− →
b + −c − →
−
d
2
→− −c ) − 1 (→
− →
b) 2(→
−a + b − →
3
d − −a ).
17. Halle el vector u ~ dado que tenga la misma dirección y sentido que →
−v :
a)
→
−
u
= 2, → −v = (8, 0, 0)
−v = 2→
− → − →
−
b)
→
−
u
= 12 , → i − j +2k .
−a = 2→
− →− → −
18. Halle un vector de módulo 2 que tenga igual dirección que el vector → i − j − k.
¿Cuántos vectores cumplen lo pedido?
a) →
−v está en el plano xy, tiene módulo 2 y forma π con el semieje y positivo.
6
→
− π
b) v está en el plano xz, tiene módulo 5 y forma con el semieje z positivo.
4
−a = (2, −m, 3) y →
21. Sean los vectores →
−
b = (−1, −1, 5) donde m ∈ R. Determine el valor
→
− →−
de m para que los vectores a y b sean perpendiculares.
−a = (1, 4, 1) y →
b) →
−
b = (2, 5, 5)
23. Halle →
−u ∧ →
−v y pruebe que es ortogonal a →
−u y a →
−v
a) →
−u = (2, −3, 1) y →
−v = (1, −2, 1)
−u = →
− → − → − − →
− → − →
−
b) → i + j + k y→ v =2i + j − k
26. Calcule el volumen del paralelepı́pedo que tiene como lados adyacentes a los vec-
−a = 2→
− →− →
− → − →
− →
− →
− − → − → −
tores → i − j + 3 k , b = − i + 2 j + 2 k y→
c = j − k.
−a = →
− − →
→ − → − →
− →
− →
− − →
− → − →
−
a) → i + 2 j + k , b = −2 i + 4 j + 4 k , →
c =2 i − j +2k;
b) Calcular, además, para los items anteriores: →−a ∧ →
− →
b , −a ∧ → −a ∧ (→
−c , → − →
b ∧ −c ),
−a ∧ →
(→
− → − −
b ) · ( b ∧→
c ).
a) 2→
−x − (→
−u ∧ →
−v ) = →
−v
b) →
− →
u ∧ −v · →
− →
w −x − 2→ −v ) = →
−u ∧ (−→ −
0
6. Recta y plano.
6.1. La recta en el plano
Definición 76 (La recta como lugar geométrico) Dado un vector del →
−u y un punto
n plano no nulo
−−→ −
fijo del plano P0 , el lugar geométrico de los puntos del plano r = P : Po P//→
o
u es una recta que
→−
contiene al punto P0 y tiene la dirección del vector u .
Entonces diremos que la forma vectorial de la recta en el plano viene dada por
−−→
P0 P = t→
−u , t ∈ R
Observación 46 Es evidente que hay infinitas formas vectoriales (o ecuaciones vectoriales) para
una misma recta en el plano, ya que hay infinitos puntos de paso a considerar e infinitos vectores del
plano con la dirección de esta recta. Ası́, serı́a más acertado decir que tenemos una forma vectorial y
no la forma vectorial de la recta. No obstante, hablaremos de aquı́ en adelante de la forma vectorial
de la recta en el plano. Esto sucederá también para las otras formas de escribir la recta en el plano.
Si P (x , y ), →
0 o
−u = (u , u ) y P(x, y) entonces pasando a componentes la última ecuación se tiene
o 1 2
que:
x − x0 , y − y0 = t (u1 , u2 ) , t ∈ R ⇐⇒
⇐⇒ x − x0 , y − y0 = (tu1 , tu2 ) , t ∈ R ⇐⇒
x − x0 = tu1
(
⇐⇒ , t∈R
y − y0 = tu2
x = x0 + tu1
(
, t∈R
y = y0 + tu2
Ejemplo 54
a) Encontremos la forma vectorial de la recta r cuyo vector dirección es →
−u = (2, −1) y que pasa
por el punto P0 (4, 2) .
Para ello consideramos un punto P x, y ∈ r, y se tiene que la forma vectorial de la recta r es
x − 4, y − 2 = t (2, −1) , t ∈ R
x = −1 + 3t
(
, t∈R
y = 1 + 2t
x = x0 + tu1
(
, t∈R
y = y0 + tu2
u2 x − u1 y + u1 y0 − u2 x0 = 0
ax + by + c = 0
Observación 48
a) Pasemos de las ecuaciones paramétricas de r a la ecuación implı́cita. Consideremos la siguiente
recta:
x = −1 + 2t
(
, t∈R
y = 3 + 5t
Entonces sabemos que →−u = (2, 5) es el vector dirección de r. Ası́ que →
−n = (−5, 2) es el vector
normal a r. Luego la ecuación implı́cita de la recta tendrá la forma
−5x + 2y + c = 0
Resta saber cuál es el valor de c, pero de las ecuaciones paramétricas surge que P0 (−1, 3) es
un punto de paso de la recta, ası́ que este punto tiene que verificar la ecuación. Ası́ pues:
−5x + 2y − 11 = 0
x = x0 + 7t
(
, t∈R
y = y0 + 4t
Resta saber cuál es el punto de paso P0 , pero eso se obtiene sencillamente de la ecuación
implı́cita dándole un valor cualquiera a una de las incógnitas y despejando la otra. Vale decir,
por ejemplo, si x0 = −2 tenemos
x = −2 + 7t
(
, t∈R
y = −1 + 4t
Nota 15 La ecuación implı́cita de la recta en el plano también suele ser llamada la forma general
de la recta en el plano.
y = mx + h
b) m recibe el nombre de pendiente de la recta, y es el cociente entre lo que sube o baja entre dos
puntos de la recta y la distancia horizontal entre ellos. Dicho matemáticamente es la tangente
del ángulo que forma la recta con otra recta horizontal.
d) Esta ecuación explı́cita no existe para las rectas verticales, es decir, para rectas en donde todos
sus puntos tienen un mismo valor igual en la abscisa x.Por qué?
Ejemplo 55 Halle la ecuación de la recta r que tiene pendiente −2 y contiene al punto P(1, −3).
Usando la ecuación explı́ta de la recta r, sabemos que m = −2, luego y = −2x + h. Para saber el
valor de h, como P ∈ r se tiene que −3 = −2,1 + h, o equivalentemente h = −1. Por lo tanto, la
ecuacón de la recta r es:
y = −2x − 1
a b
x+ y=1
−c −c
Si a , 0 y b , 0, la ecuación anterior es equivalente a:
x y
−c + −c =1
a b
Llamando A = −c
a
yB= −c
b
se tiene la ecuación:
x y
+ =1
A B
que recibe el nombre de ecuación segmentaria de la recta.
a) El número no nulo A recibe el nombre de abscisa de la recta al origen. Es la abscisa del punto
intersección de la recta con el eje x.
c) Esta ecuación segmentaria no existe para las rectas verticales, ni para las horizontales, ni
para aquellas que pasan por el origen.
3. r1 y r2 son secantes.
Observación 52 Dos rectas son paralelas coincidentes cuando son paralelas y pasan por un mismo
punto. Podemos concluir entonces que si las rectas dadas en forma explı́cita r1 )y = m1 x + h1 y
r2 )y = m2 x + h2 son paralelas, entonces m1 = m2 ; y si son coincidentes entonces m1 = m2 y
h1 = h2 .
Definición 84 (Ángulo entre rectas) Llamaremos ángulo θ entre las rectas r1 y r2 al menor de los
dos ángulos que quedan determinados cuando éstas se intersecan.
Observación 53
a) El valor que toma un ángulo entre dos rectas está comprendido entre 0 y π2 .
b) Diremos que el ángulo que hay entre dos rectas paralelas o coincidentes es nulo.
3. Sean r1 y r2 rectas dadas en forma explı́cita cuyas pendientes (no nulas) son m1 y m2
respectivamente, entonces:
r1 ⊥r2 ⇐⇒ m1 m2 = −1.
r1 ∩ r2 = (x, y) : a1 x + b1 y + c1 = 0 ∧ a2 x + b2 y + c2 = 0
a1 x + b1 y + c1 = 0
(
a2 x + b2 y + c2 = 0
1. Si el sistema anterior es compatible determinado (única solución) entonces las rectas se cortan
en un único punto.
aq1 + bq2 − ax0 + by0 aq1 + bq2 + c
d (Q, r) =
→ = √
−n
a2 + b2
Ejemplo 56 Sea la recta r) 2x + 3y − 3 = 0 y el punto Q (1, 2). Entonces la distancia del punto
Q a la recta r es:
√
|2 · 1 + 3 · 2 − 3| 5 5 13
d (Q, r) = √ = √ =
22 + 32 13 13
Notemos que, al igual como hemos hecho para la recta, si seguimos trabajando con esta ecuación
teniendo en cuenta las componentes de los vectores, surge que:
x − x0 , y − y0 , z − z0 = s (u1 , u2 , u3 ) + t (v1 , v2 , v3 ) ⇐⇒
x = x0 + su1 + tv1
y = y0 + su2 + tv2 , s, t ∈ R
⇐⇒
z = z0 + su3 + tv3
Observación 54 De igual forma que lo aclaramos para los casos de la recta en el plano y en
el espacio, hay infinitas formas vectoriales (o ecuaciones vectoriales) para un mismo plano en el
espacio. No obstante, hablaremos de aquı́ en adelante de la forma vectorial del plano en el espacio.
Esto sucederá también para las otras formas de escribir al plano en el espacio.
⇐⇒ (x − x0 ) a + y − y0 b + (z − z0 ) c = 0 ⇐⇒
ax + by + cz + d = 0
Observación 55
a) Volvemos a resaltar que esta ecuación representa a un plano en el espacio, no a una recta.
Ejemplo 57
a) La ecuación vectorial del plano πA que pasa por el punto P0 (2, −4, 0) y contiene a los vectores
→
−u = (1, −2, 1) y →
−v = (7, 2, 3) es la siguiente:
b) Las ecuaciones paramétricas del plano πB que pasa por el punto P0 (3, 2, 1) y contiene a los
vectores →
−u = (5, 2, 0) y →
−v = (0, −2, 1) son las siguientes:
x = 3 + 5s
πB ) y = 2 + 2s − 2t , s, t ∈ R
z = 1+t
c) Para obtener la ecuación del plano πC que pasa por el punto P0 (2, −1, 5) y tiene como vector
normal a →
−n = (4, 1, 2) hacemos lo siguiente: Sabemos que la ecuación general es de la forma
ax + by + cz + d = 0, donde a, b, c son las componentes del vector →−n . Ası́ pues, surge que
πC ) 4x + y + 2z + d = 0
Para determinar el valor de d, como sabemos que P0 verificará la ecuación del plano, entonces:
P0 ∈ πC ⇒ 4 · 2 + (−1) + 2 · 5 + d = 0 ⇒ 17 + d = 0 ⇒ d = −17
Finalmente,
πC ) 4x + y + 2z − 17 = 0
d) Si queremos hallar la ecuación del plano πD que pasa por tres puntos dados, P1 (2, 1, 1) , P2 (0, 4, 1)
y P3 (−2, 1, 4) , podemos pensarlo de las siguientes maneras:
i) Al saber que los tres puntos están en el plano πD , también sabemos que los vectores que
tengan a uno de ellos como punto inicial, y a otro de ellos como punto final, también estarán
−−−→
contenidos en el plano. Luego se puede decir que P1 P2 = (0 − 2, 4 − 1, 1 − 1) = (−2, 3, 0)
−−−→
y P1 P3 = (−2 − 2, 1 − 1, 4 − 1) = (−4, 0, 3) están en el plano. Además, consideremos que
cualquiera de los puntos dados pueden ser considerados como punto de paso. Tomemos por
ejemplo como punto de paso a P1 . Entonces la ecuación vectorial del plano πD será
ii) Si quisiéramos dar las ecuaciones paramétricas de πD , luego de lo ya hecho surge fácilmente
que
x = 2 − 2s − 4t
πD ) y = 1 + 3s , s, t ∈ R
z = 1 + 3t
iii) Si estuviéramos buscando la ecuación general del plano πD , necesitarı́amos hallar algún
−−−→ −−−→
vector normal al plano. Pero teniendo en cuenta que P1 P2 y P1 P3 pertenecen a πD , y que el
−−−→ −−−→
producto vectorial entre P1 P2 y P1 P3 es perpendicular a cada uno de estos vectores, y por lo
tanto a todo el plano que los contiene, podemos tomar como vector normal → −n a −
−−→ −−−→
P1 P2 ∧ P1 P3 .
→ − →
− → −
−−−→ −−−→ i j k →
− →
− →
−
P1 P2 ∧ P1 P3 = −2 3 0 = 9 i + 6 j + 12 k = (9, 6, 12)
−4 0 3
Por lo tanto,
πD ) 9x + 6y + 12z + d = 0
P1 ∈ πD ⇒ 9 · 2 + 6 · 1 + 12 · 1 + d = 0 ⇒ 36 + d = 0 ⇒ d = −36
Finalmente,
πD ) 9x + 6y + 12z − 36 = 0
a) Paralelos.
b) Coincidentes.
Observación 56 Notemos que si dos planos son paralelos, sus vectores normales también lo son.
Es más, en el caso en que sean coincidentes, sus vectores normales también son paralelos. Nos
daremos cuenta si son coincidentes si existe algún punto que verifique las dos ecuaciones de los
planos simultáneamente.
Ejemplo 58
Notemos que → −
nE = (1, −3, 1) y →
−
nF = (−2, 6, −2) son paralelos, por lo tanto πE y πF son
paralelos o coincidentes. Veamos que cuando x = 0 e y = 0, de la ecuación de πE surge
3
que z = −3, y de la ecuación de πF , z = . Por lo tanto es evidente que ambos planos son
2
paralelos no coincidentes.
b) Ahora consideremos los planos
πE ) x − 3y + z + 3 = 0
1 1
πG ) x − y + z + 1 = 0
3 3
Notemos que → −
nE = (1, −3, 1) y −n→
G = 3 , −1, 3 son paralelos, por lo tanto πE y πG son
1 1
Ejemplo 59
Entonces diremos que la forma vectorial de la recta en el espacio viene dada por
−−→
P0 P = t→−u , t ∈ R
Notemos que, como antes, si seguimos trabajando con esta ecuación teniendo en cuenta
las componentes de los vectores, surge que:
x − x0 , y − y0 , z − z0 = t (u1 , u2 , u3 ) , t ∈ R ⇐⇒
x − x0 = tu1
y − y0 = tu2 , t ∈ R
⇐⇒
z − z0 = tu3
Observación 57 De igual forma que lo aclaramos para el caso de la recta en el plano, hay infinitas
formas vectoriales (o ecuaciones vectoriales) para una misma recta en el espacio, ya que hay infinitos
puntos de paso a considerar e infinitos vectores del espacio con la dirección de esta recta. Ası́, serı́a
más acertado decir que tenemos una forma vectorial y no la forma vectorial de la recta. No obstante,
hablaremos de aquı́ en adelante de la forma vectorial de la recta en el espacio. Esto sucederá también
para las otras formas de escribir la recta en el espacio.
Ejemplo 60
a) Encontremos la forma vectorial de la recta r cuyo vector dirección es →
−u = (−3, 2, −1) y pasa
por el punto P0 (−1, 0, 2) . Para ello consideramos un punto P x, y, z ∈ r, y se tiene que la
forma vectorial de la recta r es
r) x + 1, y, z − 2 = t (−3, 2, −1) , t ∈ R
Observación 58 Notemos que no existen ni una ecuación explı́cita ni una implı́cita para describir
a una recta en el espacio. Jamás una recta en el espacio puede ser descripta por una única ecuación.
Entonces
d (P, r)
−−→
sen (α) =
−−→
=⇒ d (P, r) =
P0 P
sen (α) =
P0 P
→
−−→
−u ∧ − −→
−u
P0 P
sen (α)
→ P0 P
=
→ =
−u
→
−u
Ası́ pues, la distancia de un punto a una recta en el espacio queda determinada por el cociente entre
−u con −
el módulo del producto vectorial de →
−→
P0 P y el módulo de →−u .
−u ∧ − −→
→ P0 P
d (P, r) =
→
−u
Ejemplo 61
x = 1 + 3t
y = 2 − t , t ∈ R. Entonces para hallar la distancia de
Sea el punto P (3, −4, 1) y la recta r)
z = 1+t
−−→
P a la recta r tenemos primero que armarnos el vector P0 P. El punto P0 es el punto de paso de la
−−→
recta, o sea P0 (1, 2, 1), ası́ que P0 P = (2, −6, 0). Luego, considerando que →
−u = (3, −1, 1), tenemos
que
→− →− → −
i j k →− →
− →−
−u ∧ −−→
→ P0 P = 3 −1 1 = 6 i + 2 j − 16 k
2 −6 0
Finalmente
−u ∧ − −→
q
→ P0 P
62 + 22 + (−16)2
r
296
d (P, r) =
→
−
= q =
u
11
32 + (−1)2 + 12
c) las rectas son paralelas (vale decir sus vectores dirección son paralelos)
d) las rectas son alabeadas (vale decir sus vectores dirección no son paralelos pero
ambas están contenidas en planos paralelos, vale decir r1 ∩ r2 = ∅)
ALABEADAS
= x = 1−s
x t
= , y = 4+s , s∈R
r1 ) y 2t t ∈ y r )
R 2
z = 3t z = −1 + s
= = t = 1−s
t 1 − s
t 1 − s
= + = + =
2t 4 s ⇒ 2 (1 − s) 4 s ⇒ −3s 2
3t = −1 + s 3 (1 − s) = −1 + s −4s = −4
t = 1−s
= − 32
⇒ s
s =
1
Por lo tanto, este sistema no admite solución, ası́ que r1 ∩ r2 = φ. Por lo tanto r1 y r2 son dos rectas
alabeadas.
π1 ) a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
(
r) con →
−
n1 ∦ →
−
n2
π2 ) a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
La recta descripta por esta intersección está contenida en ambos planos, y por lo tanto es perpendi-
cular a los vectores normales de cada plano. Vale decir entonces que el vector dirección de la recta es
perpendicular a cada uno de los vectores normales de cada plano, o sea que es paralelo al producto
vectorial de ambos vectores.
Observación 59 Consideremos que tenemos dada a la recta r por intersección de dos planos de
esta manera:
π1 ) 2x + y + z + 1 = 0
(
r)
π2 ) x − 3y + z − 2 = 0
Para obtener las ecuaciones paramétricas sólo nos falta encontrar un punto de paso P0 x0 , y0 , z0
de nuestra recta. Este punto, al pertenecer a la recta, debe satisfacer al sistema de ecuaciones que
describe la intersección de los planos. Entonces fijemos un valor para una de las incógnitas, por
ejemplo x0 = 0, y ası́ el sistema nos queda de esta manera:
y0 + z0 + 1 = 0
(
−3y0 + z0 − 2 = 0
Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver fácilmente. Ası́
obtenemos que
y0 + z0 + 1 = 0 y0 = −z0 − 1 y0 = −z0 − 1
( ( (
⇒ ⇒
−3y0 + z0 − 2 = 0 −3 (−z0 − 1) + z0 − 2 = 0 4z0 + 1 = 0
y0 = − 34
(
⇒
z0 = − 14
Por lo tanto P0 0, − 34 , − 14 , y para concluir escribimos entonces las ecuaciones paramétricas de
nuestra recta r :
x =
4t
y = −4 − t , t ∈ R
3
z = − 1 − 7t
4
Ejercicios Propuestos.
La recta en el plano
2. Escriba, cuando sea posible, las ecuaciones de las rectas obtenidas en el ejercicio
anterior en forma explı́cita, implı́cita, segmentaria, simétrica y paramétrica.
3. Determine si los siguientes puntos del plano pertenecen o no a la recta cuyas ecua-
ciones paramétricas son:
x = 1+t
(
r) , t ∈ R,
y = 2 − 3t
4. Determine una ecuación implı́cita de la recta que pasa por el punto P0 y es perpen-
dicular al vector →
−n , siendo:
a) P0 (2, −7), →
−n = (4, 1);
b) P0 (1, 1), →
−n = (−1, 2).
a) P0 (0, 0), →
−u = (1, 2);
a) y = 3x + 4 −3x + 9y = 18
b) 4x − 3y = 2 3x + 4y = 5
c) 4x − 7y = 0 2x − 14y = −2
a) P0 (1, 1), 3x + y − 1 = 0;
b) P0 (−1, 2), −x − y + 2 = 0.
x = −1 + t x = 2−s
( (
a) r1 ) , t ∈ R; r2 ) , s ∈ R.
y = 2 + 2t y = −1 + 2s
x =
(
2t
b) r1 ) , t ∈ R; r2 ) x + y − 6 = 0.
y = −1 − 3t
a) P1 (0, 0), 4x + y − 1 = 0;
b) P1 (3, 7), 2x − 4y + 5 = 0.
r1 : 2x − y + 3 = 0 ; r2 : y = 2x + 5
11. Determine la ecuación de las rectas que tienen la dirección del vector →
−u y una
distancia δ al punto origen de coordenadas, siendo:
a) δ = 25, →
−u = (3, −4);
√
b) δ = 2, → −u = (1, 1).
2x + y ≤ 2
b) y ≥ x
x ≥ 0
3x + 2y > 6
(
c)
x + 3y ≤ 2
x+y < 2
(
d)
x+y ≤ 1
El plano en el espacio
13. Determine si los puntos P1 (−1, 2, −1), P2 (0, 0, 1), P3 (2, 0, −1) y P4 (0, 1, 0) pertenecen a
los planos dados por las siguientes ecuaciones:
a) π1 ) x + y − z − 3 = 0;
b) π2 ) x = 0.
14. Determine una ecuación del plano que pasa por el punto P0 y es perpendicular al
vector →
−n , siendo:
a) P0 (0, 0, 0), →
−n = (1, 1, 1);
π1 ) x + y − z − 3 = 0 , π2 ) 2x − y + 3z − 1 = 0
halle:
a) una ecuación del plano paralelo que pasa por el origen de coordenadas;
b) una ecuación del plano paralelo que pasa por el punto P1 (1, 1, −1);
a) π1 ) 2x − y + z − 5 = 0 , π2 ) 4x − 2y + 2z − 5 = 0;
b) π1 ) −x+y−z−1=0 , π2 ) − 3x + 3y − 3z + 2 = 0.
a) π1 ) 2x + y + z − 1 = 0 , π2 ) x + y + 1 = 0;
b) π1 ) x + z − 1 = 0 , π2 ) 2x + y − z + 2 = 0.
19. Halle la ecuación del plano que pasa por los siguientes tres puntos:
20. Halle una ecuación del plano que pasa por los puntos P1 y P2 , y que sea perpendicular
al plano π dado, siendo:
21. Halle una ecuación del plano que pasa por P0 y que es perpendicular a los planos
π1 y π2 dados, siendo:
a) P0 (0, 0, 1), π1 ) x + y + z − 1 = 0, π2 ) − x − y + 2z + 10 = 0;
b) P0 (3, −2, 4), π1 ) 7x − 3y + z − 5 = 0, π2 ) 4x − y − z + 9 = 0.
22. Indique, si es posible, para qué valores del parámetro real m los siguientes planos:
π1 ) 4x − my + z − 3 = 0 , π2 ) 8x − 4y + 2z − 1 = 0 , serán:
a) perpendiculares,
b) paralelos,
c) coincidentes.
23. Halle una ecuación del plano paralelo al eje coordenado y que pasa por los puntos
P1 (1, 2, −3) y P2 (−2, 1, 4).
24. Indique si los siguientes cuatro puntos pertenecen o no a un mismo plano (en caso
afirmativo, halle la ecuación de dicho plano):
a) P1 (−1, −1, 2), P2 (2, −1, 2), P3 (1, 0, 0), P4 (−2, 1, 0);
b) P1 (2, 1, 3), P2 (0, 0, 0), P3 (0, 2, 2), P4 (−1, 1, 0).
26. Halle unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P0 y tiene la
dirección del vector →
−u , siendo:
b) P0 (0, 1, 0), →
−u = (2, 0, 3);
d) P0 (0, 0, 0), →
−u = (1, 1, 1).
27. Halle una terna de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P1 y
P2 , siendo:
28. Halle el punto intersección P0 , si existe, y el ángulo que forman las dos rectas
siguientes:
a)
x = −3t x = 2s
y = 2t , t ∈ R y = s , s∈R
r1 ) r2 )
z = 3t z = 4s
3
b)
x = x = 2 + 2s
t
= + 2t , t ∈ R y = 1 + 3s , s ∈ R
r1 ) y −1 r2 )
z = 2 + 3t z = 5−s
29. Halle una terna de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el puntos P1 y
que es paralela a la recta determinada por los puntos P2 y P3 , siendo:
30. Halle los puntos de intersección de la recta dada con cada uno de los planos coor-
denados, siendo:
x−1 y+3 z−6
r) = =
2 1 −1
31. Halle una terna de ecuaciones paramétricas de la recta que, pasando por el punto
P0 (1, 2, 3), sea:
x+y−z−1=0 , 2x − y + z + 2 = 0,
halle:
a)
x+y−z−7=0
(
r1 )
3x − 4y − 11 = 0
x + 2y − z + 1 = 0
(
r2 )
x+y+1=0
b)
x+y−z−1=0
(
r1 )
2x − 2y + z + 1 = 0
3x − y = 0
(
r2 )
x+y+z+1=0
x = −t
y = 2+t , t∈R
z = 1+t
3x − y + 2z − 6 = 0
(
r)
x + 4y + z − m = 0
x = 1+t
y = , t∈R
−t
z = −2 + 4t
x−y−z−7=0
(
r1 )
3x − 4y − 11 = 0
x + 2y − z − 1 = 0
(
r2 )
x+y+1=0