Electromagnetimso

Tema 1
EL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
EN EL VACIO
1. Definiciones
Para explicar los fenómenos electromagnéticos (acciones entre cuerpos “cargados”
eléctricamente que pueden estar o no en movimiento) utilizaremos un modelo de cam-
pos, como ya se ha venido haciendo en cursos anteriores, estableciendo para mayor fa-
cilidad de comprensión, aunque ello no sea imprescindible, una relación de causalidad
entre la magnitud , característica del estado de electrización del cuerpo que denom-
inaremos carga eléctrica y los campos eléctrico y magnético (si  está en movimiento)
que crea a su alrededor.
Dado un sistema constituido por un conjunto de cargas (generalmente distribuidas
sobre cuerpos), cada una de las cuales puede o no estar en movimiento, los campos
eléctrico y magnético existentes en un punto P, determinado por el vector de posición
r, pueden ponerse en evidencia por la fuerza que actúa sobre una carga de prueba
, suficientemente pequeña para que sea despreciable la perturbación que la misma
pudiera producir en el sistema, que se mueve con velocidad  ; fuerza que viene dada
por la expresión de Lorentz:

F(r) =  [E(r) + v × B(r)] (1.1)

en donde, E(r) y B(r) representan respectivamente la intensidad de campo eléctrico

y densidad de flujo magnético o inducción magnética1 , que caracterizan el campo
electromagnético existente en P, producido por la configuración de cargas sin tener
en cuenta la de prueba  Podemos considerar la expresión [1.1] como una definición
operativa de las magnitudes E y B en el punto, desligadas éstas de las distribuciones
de cargas que las originaron, una vez que se haya establecido un método para deter-
minar la carga eléctrica; por ejemplo, a través de la ley de Coulomb. Las magnitudes
carga eléctrica, intensidad de campo eléctrico e inducción magnética, en el Sistema
Internacional (SI) de unidades, vienen dadas en coulombios [C] o amperios por se-
gundo [As], voltios por metro [V/m] y teslas [T] o weber/metro cuadrado [Wb/m2 ],
respectivamente, la fuerza en dicho sistema viene expresada en newtons2 [N].

1
Aunque parece lógico que la magnitud B recibiera el nombre de intensidad de campo magnético
por ser la productora de fuerzas sobre ; por razones históricas se utilizan indistintamente las
dos denominaciones indicadas reservándose la de intensidad de campo para el vector H, que
introduciremos más adelante y que sólo en el vacío puede identificarse con B.
2
A lo largo del curso utilizaremos exclusivamente el Sistema Internacional (SI) de unidades, ya
conocido de otros cursos, por lo que, en general, no definiremos nuevamente las unidades de las
diferentes magnitudes en lo sucesivo.

1
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2. Densidades de carga y de corriente eléctrica

Después de las experiencias de R. A. Millikan (1909) con gotas de aceite cargadas
por frotamiento, se admite la naturaleza discreta de la electricidad, hecho que ha sido
corroborado por el gran número de experimentos posteriores realizados con partículas
elementales. La carga más pequeña, y de la cual cualquiera otra es un múltiplo entero,
es la carga del electrón ( = 1 602 · 10−19 C), valor muy pequeño frente a las cargas
que intervienen en los fenómenos macroscópicos ordinarios; lo que conduce a que el
número de cargas electrónicas comprendidas en un volumen suficientemente pequeño,
frente a las dimensiones del sistema en estudio, para que pueda ser considerado como
infinitesimal, es tan grande que puede no tenerse en cuenta este carácter discreto y
utilizar en la formulación macroscópica los conceptos de densidad volumétrica de
carga, de forma análoga al de densidad de masa a pesar del carácter discreto de
la materia. Si en el volumen “infinitesimal” considerado existen diferentes clases de
partículas, cada una de las cuales tiene carga  , la densidad de carga en un punto
determinado por el vector de posición r, viene dada por
X
(r) =   (r) (1.2)


en donde,  (r) es el número de partículas de carga  , existentes por unidad de

volumen y la suma ha de extenderse a todos los tipos de partículas (electrones, iones
de diferentes clases, etcétera) que intervienen en el sistema.
P De forma idéntica se
puede definir una densidad superficial de carga (r) =    (r), en donde ahora
 representa el número de cargas del tipo  existentes por unidad de superficie.
De forma análoga podemos introducir una densidad de corriente macroscópica J(r),
dada por

X
J(r) =   (r) v (r) (1.3)


en donde  tiene el mismo significado que en [1.2] y v representa la velocidad media

de las partículas de clase k en el punto r.
Para hacernos una idea de hasta que punto esta aproximación es correcta, tengamos
en cuenta que la pequeñísima corriente de un nanoamperio (10−9 A) circulando por
un hilo conductor supone que por segundo atraviesan la sección transversal de dicho
conductor más de 6.000 millones de cargas electrónicas.
A veces resulta de interés la utilización de la función  de Dirac (véase apéndice
al final del capítulo) para la representación, mediante una función densidad, de las
distribuciones discretas de cargas. Una carga puntual , situada en un punto fijado3
por r0 , supone mediante esta notación, una densidad de carga (r), en un punto
3
Utilizaremos a lo largo del curso, siempre que ello no implique confusión, el vector de posición r0 ,
para localizar las fuentes (cargas o corrientes) mientras que r designará el punto donde se obtiene el
campo o el potencial creado por ellas.

2
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genérico r, dada por

(r) = (r − r0 ) (1.4)

y si dicha carga se mueve con velocidad v(r0 ), una densidad de corriente, dada por

J(r) =  v(r0 )(r − r0 ) (1.5)

en efecto, por las propiedades de la función  , se observa que las expresiones anteriores
se anulan para r 6= r0 , mientras que las integrales, extendidas a todo el espacio, son
finitas e iguales respectivamente a  y v. Esta representación nos conduciría, por
ejemplo, a una densidad de fuerza de Lorentz

f (r) = (r)E(r) + J(r) × B(r)

que es nula en todos los puntos excepto el r0 , y que nos conduce a la misma fuerza
total, dada por [1.1] cuando se integra a todo el volumen.
Con esta notación, las expresiones [1.2] y [1.3] para las densidades de carga y corriente,
toman la forma:
X X
(r) =  (r − r0 ) J(r) =  v (r0 )(r − r0 ) (1.6)
 

en donde la suma ahora ha de extenderse a todas las cargas del sistema, cualquiera
que sea su localización r0

3. Principio de conservación de la carga. Ecuación de

continuidad
Las primeras experiencias que hicieron intuir que la carga eléctrica en un sistema
aislado se conserva, se remontan a los comienzos de la historia de la electricidad, al
observar que el electroscopio no acusaba carga neta alguna cuando se introducían en
su interior simultáneamente la barra de vidrio o ebonita y el paño con que se había
frotado para su electrización; ambos cuerpos − barra y paño − habían adquirido la
misma cantidad de carga aunque de diferente signo. Esta invariancia de la carga
eléctrica, cualquiera que sea el tipo de transformación que se realice en el sistema,
incluso aquellas que puedan dar lugar a la creación o aniquilamiento de partículas
cargadas, es hoy generalmente admitida y ha sido comprobada experimentalmente
en algunos casos con asombrosa aproximación; así, por ejemplo, en experimentos
recientes4 se ha encontrado que la diferencia relativa de carga electrónica y protónica
que intervienen en átomos neutros es menor que 3,5·10−19 incluso con diferencias
de velocidades del orden de 0,4 veces la velocidadad de la luz en el vacío; lo que
4
L. J. Freser; E. R. Carison y V. W. Huyhes; Buli. Am. Phys. Soc. 13, 636 (1968).

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fundamenta ya no sólo el principio de conservación, sino también el de invariancia

relativista de la carga.
Si consideramos un volumen V encerrado por una superficie S en un sistema electro-
magnético cualquiera, la cantidad de carga eléctrica que fluye hacia el exterior por
dicha superficie límite, habrá de ser, en virtud de este principio de conservación, igual
a la disminución total de la misma en dicho volumen, afirmación que puede escribirse
analíticamente:
Z Z

J · s = −   (1.7)
  

en donde J y  son las densidades de corriente y volumétrica de carga, respectivamente

y s el vector superficie elemental, hacia afuera5 de S y  el elemento de volumen de
V.
La ec. [1.7], teniendo en cuenta el teorema de la divergencia, puede escribirse.
Z Z

∇ · J = −   (1.8)
  

que ha de satisfacerse, cualquiera que sea el volumen V considerado, por tanto, ha de

verificarse la igualdad de los integrandos:


∇·J=− (1.9)

que constituye la expresión diferencial del principio de conservación de la carga o
ecuación de continuidad.

4. Principio de superposición de campos

El principio de superposición, aplicado al campo electromagnético, establece que el
campo (E y B) creado en un punto por un sistema cualquiera, es la suma vectorial de
los creados en dicho punto por cada una de las cargas que intervienen en el sistema.
Son numerosas las aplicaciones de este principio que fundamentan su aceptación como
tal, baste enumerar a título de ejemplo, la superposición de señales de diferentes fre-
cuencias en las transmisiones múltiples; los fenómenos de interferencias y difracción,
etc. No debe tomarse como prueba en contra del principio, el hecho de que en al-
gunos medios materiales no se cumpla en campos electromagnéticos macroscópicos, la
razón es que en estos casos las perturbaciones introducidas en la estructura del medio
no son proporcionales a los campos que las originan; esta no linealidad del medio
se observa aún para campos relativamente débiles en algunas clases de sustancias
dieléctricas (ferroeléctricos); pero sobre todo, como es bien conocido, en los efectos
5
Si no se dice explícitamente lo contrario el vector d s sobre una superficie cerrada se tomará
siempre como positivo cuando está dirigido hacia afuera del volumen que se considera que dicha
superficie encierra; e igualmente el vector unitario n, normal a la superficie.

4
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provocados por el campo magnético en las sustancias denominadas ferromagnéticas.

Esta no linealidad es teóricamente general para todos los medios materiales, si bien
para gran parte de ellos no se manifiesta para las intensidades de los campos utilizados
normalmente.
Nos surge ahora la pregunta, ¿es el comportamiento lineal del vacío solamente una
primera aproximación? y en este caso ¿hasta qué valores del campo es aplicable?
Desde luego, para todos los cálculos en sistemas macroscópicos, por complicados
que éstos sean, su aplicabilidad está asegurada por la concordancia con los resul-
tados experimentales. A niveles atómicos, los niveles energéticos permitidos que fi-
jan las órbitas electrónicas en torno al núcleo, se calculan mediante la superposición
de todas las fuerzas eléctricas entre partículas cargadas (nucleones y electrones) del
átomo; su concordancia con los resultados espectroscópicos experimentales evidencian
la aplicabilidad del principio para campos extraordinariamente más intensos que los
macroscópicos. Así, por ejemplo, el radio de la órbita electrónica para el He es del
orden de 0,30·10−10 m. y la carga eléctrica del núcleo la correspondiente a dos pro-
tones (un protón tiene una carga igual, pero de signo positivo, que un electrón), lo
que nos conduce a un campo en la órbita electrónica del orden de 0,5·1011 V/cm. La
no linealidad del vacío, de existir habrá que buscarla a niveles subatómicos pero, aun
dentro del átomo, la consistencia de la energía de Coulomb de los núcleos de átomos
pesados con el principio de superposición, hacen suponer su validez para los campos
existentes en el borde del núcleo (del orden de 1019 V/cm). Las investigaciones en
busca de la falta de linealidad se dirigen ahora al estudio de los niveles atómicos y
energías coulombianas del núcleo en los elementos superpesados (Z mayor que 110).
No se conoce evidencia de no linealidad hasta la fecha.
Intentando hacer compatible la teoría electromagnética del electrón como partícula
puntual y energía electromagnética finita, parece razonable pensar en algún tipo de
no linealidad en las aproximaciones de las cargas; esto dio lugar a las denominadas
Electrodinámicas no lineales, de las que es ejemplo principal la desarrollada por
Born e Infield (1934), que se reducen a considerar el vacío como medio no lineal, para
campos suficientemente intensos.
Para que se satisfaga el principio de superposición de campos no es suficiente que el
medio sea lineal, sino que han de ser también lineales las ecuaciones que representen
el comportamiento de los campos en ese medio y que servirán para la determinación
de los mismos; podemos, pues, anticipar que estas ecuaciones, para el caso de campos
electromagnétícos serán lineales, tal como sucede, según veremos próximamente, con
las ecuaciones de Maxwell.

5. Experiencias fundamentales del electromagnetismo

Durante la segunda mitad del siglo XVIII y primera del siglo XIX se realizaron abun-
dantes y fructíferas experiencias que condujeron a un conocimiento suficientemente
preciso de los fenómenos electromagnéticos, para que en 1861 culminaran con la céle-
bre síntesis que supone la teoría de Maxwell que, formalmente, es la que prevalece en
nuestros días. De entre estas experiencias señalaremos como más fundamentales las

5
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siguientes: A) B. Franklin (1706-1780), J. Robinson (1739-1805), H. Cavendich (1731-

1810) y C. A. Coulomb (1736-1806) independientemente, intuye el primero y estable-
cen de forma concluyente los demás, la ley de la fuerza de acción entre cargas o “ley de
la inversa del cuadrado de la distancia”, también conocida como Ley de Coulomb, por
ser éste quien primeramente la dio a conocer en 1785, y que constituye el fundamento
de la electrostática. B) H. C. Oersted (1777-1851), A. M. Ampère (1725-1836), Jean
Baptiste Biot (1774-1851) y Felix Savart (1791-1841) estudian los campos magnéticos
creados por corrientes así como las acciones entre corrientes e imanes, formulando
las propiedades y leyes que rigen los campos magnetostáticos. C) Por otra parte, ya
avanzado el siglo XIX (1831), el gran experimentador M. Faraday descubre, fórmula
y aplica a numerosos dispositivos de interés práctico (transformadores, motores etc.)
la ley de la inducción electromagnética.
Estas leyes experimentales han sido estudiadas en cursos anteriores y nosotros no
vamos a repetirlas; únicamente resumiremos y discutiremos aunque sólo sea muy
brevemente las conclusiones de dos de estas series de experiencias (magnetostática e
inducción electromagnética), que seguidamente nos servirán de base para la formu-
lación de las ecuaciones definitivas del campo electromagnético.

5.1. Leyes de la magnetostática.

Durante unas experiencias de cátedra en el curso 1819-1820 el profesor de la Univer-

sidad de Copenhage M. C. Oersted descubre que la corriente eléctrica crea campos
magnéticos, resultado que dio a conocer en julio del mismo año 1820 y que abre un
período de rapidísimo desarrollo en la formulación de la magnetostática. En septiem-
bre del mismo año A. M. Ampère, justamente una semana después de que hubiera
tenido conocimiento de los experimentos de Oersted por una comunicación de Arago
a la Academia de Ciencias francesas, da cuenta a la misma Institución de la acción
entre corrientes rectilíneas paralelas, demostrando que experimentan una fuerza de
atracción cuando las corrientes circulan en el mismo sentido y de repulsión en caso
contrario. En el mes de octubre siguiente Biot y Savart dan cuenta a la misma Acad-
emia de la expresión de la “fuerza magnética” que una corriente rectilínea ejerce sobre
un “polo magnético”que pronto fue interpretada como superposición de las acciones
de los diferentes elementos de corriente y que conduce a la expresión del campo mag-
nético creado en un punto r por un circuito C recorrido por una corriente 
I µ I ¶
 l0 × (r − r0 ) 0 l0
B(r) = 0 =∇× (1.9)
4  |r − r0 |3 4  |r − r0 |

en donde 0 es una constante que en el SI de unidades toma el valor 0 = 410−7

H/m y l es el elemento de circuito tomado en el sentido de circulación de la corriente
situado en r0 .
En 1925 Ampère publica los resultados por él obtenidos en este campo, fundamental-
mente de acciones entre corrientes, en unas célebres Memorias de La Academia, en las
que no se limita a dar sus resultados experimentales en forma matemática, sino que
sugiere también un modelo teórico mecanicista para su interpretación. Fueron estas

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memorias las que hicieron que Maxwell le llamase el “Newton de la electricidad” y

que se le considere como el padre de la electrodinámica. De sus resultados, además
de la expresión general de la fuerza entre circuitos por integración de la ejercida entre
dos elementos de circuito, y quizá de mayor transcendencia es la de la fuerza que un
campo magnético B ejerce sobre un circuito C recorrido por una corriente.
I
F= l × B (1.10)


como integración de la ejercida sobre un elemento de circuito.

Recordando que la corriente no es más que cargas en movimiento, se pueden justificar
las expresiones [1.9] y [1.10] como debidas a acción por o sobre las cargas: obteniéndose
para el campo creado por una carga en movimiento,

0 v × (r − r0 )
B(r) = (1.11)
4 |r − r0 |3

y para la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga en movimiento la
expresión

F = (v × B)

que ya nosotros habíamos utilizado para la definición de B en [1.1], y que aquí en-
cuentra una justificación experimental.
Para el caso de una distribución continua de corrientes y toda vez que en magne-
tostática se verifica que ∇ · J = 0 y que, por tanto, las líneas de corriente se cierran
sobre sí mismas, podemos dividir el espacio de integración de [1.9] en una distribución
continua de tubos de corrientes de sección muy pequeña, que se pueden tomar como
circuitos recorridos por una corriente constante, lo que nos conducirá a
Z
 J(r0 ) × (r − r0 ) 0
B(r) = 0  (1.12)
4  |r − r0 |3
Por derivación directa de esta expresión general del campo B creado en r por una
distribución de densidades de corriente J = J(r0 ), se obtienen las dos siguientes
propiedades para el campo magnetostático:

∇·B=0 (1.13)

∇ × B = 0 J (1.14)

la primera establece la no existencia de “polos” magnéticos libres cuya validez se va a

extender a los campos magnéticos variables con el tiempo y que está respaldada por

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numerosos intentos fallidos de poner en evidencia la existencia de cargas magnéticas.

El campo magnético que, como veremos más adelante no se diferencia esencialmente
del campo eléctrico sino que conjuntamente forman una entidad única, tiene su origen
en las cargas eléctricas.
Se puede comprobar fácilmente que la ecuación [1.14], que constituye la forma difer-
encial del teorema de Ampère, no es susceptible de extensión a campos variables con
el tiempo, ya que tomando divergencias en ambos miembros y teniendo en cuenta
que ∇ · (∇ × B) = 0, se hace incompatible el resultado ∇ · J = 0, con la ecuación de
continuidad [1.8] a menos que  = 0, es decir, en sistemas magnetostáticos.

5.2. Inducción electromagnética

De las diferentes experiencias realizadas con circuitos e imanes, Faraday llega a la

conclusión de que se genera una fuerza electromotriz inducida en un circuito siempre
que, por variación temporal del campo magnético o por desplazamiento con o sin
deformación del circuito, se modifica el flujo de inducción magnética a través de una
superficie que tenga como borde dicho circuito. Esta f.e.m. es igual a la velocidad
de variación del flujo y la ley de Lenz establece que es de tal sentido que la corriente
a que da lugar, si el circuito está cerrado, se opone a la causa próxima o remota
que le dio origen; es decir, que si la f.e.m. fue creada durante el incremento de flujo
de inducción producido por acercamiento de un imán al circuito, la corriente que se
produce es tal que el campo magnético que crea tiende a disminuir dicho flujo y a la
vez ejerce una fuerza repulsiva sobre el imán.
Se ha de tener en cuenta que para que exista f.e.m. inducida, la variación de flujo
enlazada por el circuito ha de ser provocado o por desplazamiento de todo o parte del
circuito, o por variación temporal del vector inducción magnética B, o ambas cosas
simultáneamente. La primera de las causas no supone fenómeno nuevo alguno, ya
que la f.e.m. (o corriente) se produce por la fuerza que el campo magnético ejerce
sobre las cargas libres del conductor al ser arrastradas por éste en su movimiento, y
es necesario la existencia del conductor con las cargas para que se origine dicha f.e.m.

Fig1.1: f.e.m. inducida por un circuito que se mueve con

o sin deformación en el seno de un campo magnético 

Veamos esto con más detalle. Si consideramos el circuito C de la figura 1.1. en que
el elemento genérico l = r se mueve en el seno de un campo magnético B = B(r)
con velocidad v = r que puede ser, en general, distinta para cada elemento
produciendo o no una deformación del circuito al desplazarse. Sobre cada una de las

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cargas libres del conductor (electrón, por ejemplo) se ejerce una fuerza dada por

F = (v × B)

y para la f.e.m. inducida, como trabajo por unidad de carga al hacer circular a ésta
a lo largo del circuito
I I I I
F s
E =+ · l = + (v × B) · l = − (v × l) · B = − B· (1.15)
 
de forma que v, l y s forman un tiedro positivo, pero (v × l) es el área barrida por
el elemento l por unidad de tiempo al moverse con velocidad v, dirección la de avance
de un sacacorchos que gire a lo largo de C en el sentido de la circulación. El integrando
de [1.15] representa el número de líneas de B cortadas por unidad de tiempo, por dicho
elemento de circuito o, lo que es lo mismo, el incremento experimentado, por unidad
de tiempo, del flujo de B a través de una superficie S cualquiera que esté limitada
por C:

Φ
E =− (1.16)

en donde el valor positivo de E , corresponderá al sentido de circulación que hemos
tomado para C y el negativo al inverso. Como se ve esta f.e.m. ha sido generada por
las fuerzas magnéticas sobre las cargas y no implica conceptualmente nada nuevo.
Sin embargo, cuando la variación de flujo enlazado por C está provocada por la
variación del campo B con el tiempo, la expresión de la f.e.m. vendrá dada por
I I
 B
E =− B · s = − · s (1.17)
   
y por otra parte
Z Z
0
¡ ¢
E= E · l = ∇ × E0 · s (1.18)
 

en virtud del teorema de Stokes.

Igualando los últimos miembros de las dos expresiones anteriores para la f.e.m. a lo
largo de C y teniendo en cuenta que S puede ser una superficie abierta cualquiera, se
ha de verificar que

B
∇ × E0 = − (1.19)

es decir, que la variación del campo magnético con el tiempo da lugar a un campo
eléctrico E0 , no conservativo, cuya circulación a lo largo de una línea cerrada nos dará
la f.e.m. que el mismo origina en un hilo conductor que coincida con dicha línea.

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Superpuesto al campo E0 , existirá el creado por las cargas del sistema; pero, dado su
carácter irrotacional, la ecuación [1.19] se verifica también para el campo total E:

B
∇×E=− (1.20)

Relación entre los campos E y B, que es válida para cualquier sistema y que constituye
una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.
De la [1.20], tomando divergencias en ambos miembros y teniendo en cuenta que
∇ · (∇ × E) = 0, se obtiene (∇ · B) = 0; o sea, ∇ · B =  y como en un
tiempo anterior, suficientemente remoto esta constante es cero, por serlo B en todos
los puntos resulta

∇·B=0 (1.21)

que había sido obtenida [1.13] para la magnetostática y que seguirá siendo válida para
campos variables con el tiempo.

Fig1.2 Circuito para demostrar experimentalmente que una variación

de flujo de inducción magnética no siempre origina f.e.m. inducida

Las dos causas originarias de f.e.m. inducidas, variación temporal de campo magnético
y movimiento del circuito, pueden coexistir, que cuyo caso la f.e.m. total vendría
dada por la superposición de [1.16] y [1.17] y, por tanto, por la variación temporal
total del flujo inducción magnética enlazado por el circuito. Por otra parte, ambas
causas pueden identificarse ya que la f.e.m. inducida [1.16] que se genera en un
circuito que se mueve en el seno de un campo magnético, para un observador que se
mueve con el circuito (dicha f.e.m. sería la misma, si no se tiene en cuenta posibles
correcciones relativistas) estará provocada por la variación de campo magnético por
desplazamiento de sus fuentes. Volvemos a insistir, sin embargo, que no es suficiente
que exista variación de flujo de inducción magnética para que se induzca en el circuito
una f.e.m.; dicha variación habría de ser producida por las causas antes apuntadas.
Imaginemos, por ejemplo, el circuito de la figura 1.2, constituido por tres bobinas
L1 , L2 , L3 conectadas en serie que tiene intercalado un galvanómetro G, detector del
paso de posibles corrientes inducidas; las bobinas están interconectadas de forma que
por un simple deslizamiento horizontal del doble contacto K, se invierte el sentido de

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conexión de la bobina 2 en la serie. Todo el sistema está en el seno de un campo

magnético B, de forma que los flujos de inducción correspondientes a las bobinas son
Φ1 , Φ2 , Φ3 tales que al menos Φ2 es distinto de cero. Según la posición del contacto
K, el flujo total enlazado por el circuito será

Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 o Φ0 = Φ1 − Φ2 + Φ3

y, por tanto, durante una conmutación de K se provoca un cambio de flujo 4Φ = ±Φ2

que puede ser considerable y en un tiempo pequeñísimo; sin embargo, el galvanómetro
no acusa corriente inducida alguna, porque no ha habido ni movimiento del circuito,
ni variación del campo magnético.

6. Ecuaciones de Maxwell
Ya en el párrafo anterior hemos anticipado que el teorema de Ampère [1.14] no es
aplicable a campos variables con el tiempo, por lo que parace aconsejable completar el
segundo miembro de forma que se haga compatible con el principio de conservación de
la carga. Maxwell introduce con este fin una densidad de corriente que denomina
de desplazamiento, que ha de sumarse a la de conducción J, y que para el vacío
está dada por

E
J = 0

con lo que el teorema de Ampère modificado queda de la forma:

E
∇ × B = 0 J+0 0 (1.22)

calculando la divergencia de ambos miembros, y teniendo en cuenta [1.8], nos queda


[∇ · (0 E) − ] = 0

que nos conduce a
∇ · (0 E) −  = 

y, puesto que sabemos que no puede existir campo eléctrico si no existen cargas que
lo generen, esta constante es cero, por lo que finalmente resulta

∇ · (0 E) =  (1.23)

Ecuación que se obtiene a partir de la ley de Coulomb en la electrostática y que

la modificación de Maxwell la deja válida para campos variables con el tiempo. La
introducción de la densidad de corriente de desplazamiento no aparece así como un
hecho casuístico.

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 Electromagnetimso

El teorema de Ampère [1.22] puede ponerse mediante el teorema de Stokes de la forma

integral:
I Z
B
· l = J · s (1.24)
 0 

en donde J = J+J , C es una línea cerrada cualquiera y S una superficie cualquiera

que tiene a C como borde; ecuación que establece que la circulación del vector B0
(que denominaremos intensidad de campo magnético) a lo largo de una línea cerrada es
igual a la intensidad total (incluida la de desplazamiento) que atraviesa una superficie
cualquiera que tiene a la línea cerrada como borde.
En las ecuaciones [1.22], teorema de Ampère modificado, y la [1.20] de la inducción
electromagnética, están incluidas las propiedades y el comportamiento del campo
electromagnético definido por [1.1] y que satisface los postulados de conservación de
la carga y de superposición. La ecuación de continuidad puede ser sustituida por
la [1.23], ya que una implica la otra a través de [1.22]; por otra parte, el principio
de superposición está implícito en las tres ecuaciones anteriores porque las tres son
lineales. Por tanto, pueden tomarse dichas ecuaciones, que repetimos agrupadas a
continuación y a las que, siguiendo la costumbre, agregamos la [1.21] aunque es in-
necesaria, pues ya hemos visto que está implícita en la [1.20], como los postulados
básicos de la teoría macroscópica del electromagnetismo y que reciben el nombre de
ecuaciones de Maxwell-Lorentz;

E
∇ × B = 0 J+0 0 (I)


B
∇×E=− (II) (1.25)


∇ · (0 E) =  (III)

∇·B=0 (IV)

Que pueden escribirse, utilizando los vectores H = B0 y D = 0 E, denomina-

dos respectivamente intensidad de campo magnético y vector desplazamiento
eléctrico, en la forma:

D
∇ × H = J+ (I)


12
 Electromagnetimso

B
∇×E=− (II) (1.26)


∇·D= (III)

∇·B=0 (IV)

El paso de las ecuaciones [1.25] a las [1.26] para el caso que estamos tratando − campo
electromagnético en el vacío − parece sólamente una cuestión de forma. Sin embargo
las cosas cambian (como veremos en el siguiente tema) cuando se trata de formular
estas ecuaciones básicas del electromagnetismo macroscópico en medios materiales.
Entonces las [1.25] ya no son correctas y se hace necesario utilizarlas en la forma
[1.26], y los campos D y H dejan de ser meras representaciones de los campos E y
B, respectivamente.
El mayor éxito de la teoría del campo electromagnético de Maxwell fue, sin duda, la
predicción de la existencia de ondas electromagnéticas cuya velocidad de propagación
está fijada por las características eléctricas y magnéticas del medio; velocidad que,
para el vacío (y prácticamente para el aire), coincidía, dentro de los errores exper-
imentales, con los valores obtenidos para la propagación de las ondas luminosas, lo
que hizo suponer la identidad de ambos tipos de ondas, incluso mucho antes de que
H. R. Hertz en 1887, y ya después del fallecimiento de Maxwell, pusiera en evidencia
experimentalmente la existencia de dichas ondas electromagnéticas.
Que las perturbaciones electromagnéticas se propagan por ondas es una consecuen-
cia inmediata de las ecuaciones básicas de Maxwell. Tomémoslas en la forma que
aparecen en las [1.25] para el vacío; en las (I) y (II) se pone de manifiesto la interde-
pendencia entre los campos E y B, siendo las variaciones temporales de uno de ellos
fuentes del otro, interdependencia que es la causa de la propagación ondulatoria. Las
ecuaciones que resultan para E y B al separar ambos campos son del tipo hiperbólico
de D’Alambert, características de los fenómenos ondulatorios. En efecto, tomando
rotacionales en ambos miembros de la (I) y teniendo en cuenta la (II) y (IV), así
como la identidad vectorial ∇ × ∇ × A = ∇ (∇ · A) − ∇2 A, nos queda como ecuación
para el campo B de inducción magnética:

2B
∇2 B − 0 0 = −0 (∇ × J) (1.27a)
2
y, análogamente, tomando rotacionales en la ecuación (II) y teniendo en cuenta la (I)
y (III) se obtiene para el campo E la ecuación

2E J ∇
∇2 E − 0 0 2
= 0 + (1.27b)
  0

13
 Electromagnetimso

que nos confirma la propagación ondulatoria de cualquier perturbación eléctrica y/o

magnética en el vacío con una velocidad de propagación

1
= √
0 0

En un espacio libre de cargas y corrientes, las ecuaciones [1.27] se convierten en las

ecuaciones de ondas homogéneas o de Helmholtz

¤B = 0

¤E = 0

en donde se ha utilizado el conocido operador d’Alambertiano

1 2
¤ = ∇2 −
2 2
para su representación.
Es de advertir que, si bien las ecuaciones [1.25] implican las [1.27], no sucede lo mismo
al revés, ya que en la derivación para obtener las [1.27] hemos perdido información
contenida en las [1.25].

7. Potenciales escalar y vector del campo electromag-

nético
Hemos visto en las secciones precedentes que el análisis del campo electromagnético de
cualquier sistema ha de realizarse mediante la solución de las ecuaciones de Maxwell

D
∇ × H = J+ (I)


B
∇×E=− (II) (1.29)


∇·D= (III)

∇·B=0 (IV)

14
 Electromagnetimso

con las ecuaciones constitutivas

B = 0 H y D = 0 E

Resulta a veces muy conveniente utilizar, en lugar de los campos directamente, ciertas
funciones auxiliares, que denominamos potenciales de los que, por derivación directa,
se pueden deducir aquellos fácilmente. Así, de la ecuación (IV) anterior se desprende
inmediatamente que el vector inducción magnética B, al ser solenoidal, puede consid-
erarse derivado de un potencial vector, A(r ) (que en general será función de las
coordenadas del punto r y del instante t) mediante

B=∇×A (1.30)

Si llevamos esta expresión a la (II) y teniendo en cuenta que las derivaciones respecto
de las coordenadas espaciales y respecto del tiempo son permutables por ser variables
independientes, nos queda µ ¶
A
∇× E+ =0 (1.31)


es decir, que el campo vectorial E + A es irrotacional y, como tal, se puede expre-
sar como gradiente de una función escalar (r ) a la que denominamos potencial
escalar. O sea, que para el campo eléctrico nos queda

A
E = −∇ − (1.32)

en donde el signo negativo del gradiente indica que se toma como sentido para E el de
los potenciales  decrecientes, como es costumbre. Es evidente que a través de [1.30]
y [1.32] se obtienen fácilmente los campos electromagnéticos una vez determinados
los potenciales  y A, aunque éstos sean meras funciones matemáticas sin entidad
física alguna.
Las expresiones [1.30] y [1.32] satisfacien idénticamente las ecuaciones (II) y (IV), y
llevadas a las (I) y (III) nos dan las ecuaciones que han de cumplir los potenciales,
que son
µ ¶
2 2A 
∇ A −   2 − ∇ ∇ · A +   = − J
 

 
∇2  + (∇ · A) = − (1.33)
 
en donde J y  (y por tanto A y ) son, en general, funciones de la posición y del
tiempo.
Los potenciales A y  son magnitudes auxiliares que carecen de un sentido físico
directo. Sólo las intensidades de campo E y B en cada punto y en cada instante
tienen un setido real. Estas magnitudes pueden determinarse mediante las propias

15
 Electromagnetimso

fuerzas que actúan sobre una carga de prueba que se mueve en el campo.
No cabe medir los valores de A y  y, por ello, los potenciales por sí mismos no deben
aparecer en ninguna expresión final de la teoría de campos. Además, la definición
de los potenciales A y  según [1.30] y [1.32] no es unívoca y admite una cierta
arbitrariedad. Puesto que B = ∇ × A la transformación
A0 = A − ∇(r ) (1.34)
deja invariante el campo magnético B, siendo (r ) una función arbitraria de las
coordenadas y del tiempo.
De acuerdo con [1.32] y [1.34], el campo eléctrico se puede expresar como
µ ¶
 A0
E = −∇  + −
 
de este modo, la transformación

0 =  + (1.35)

deja invariante al campo eléctrico E. Por tanto, la transformación conjunto [1.34]
y [1.35] deja invariantes las ecuaciones del campo electromagnético. Las diferentes
maneras de elegir los potenciales A y  dejando invariantes los campos reciben el
nombre de transformaciones de contraste de los potenciales. Mediante este
tipo de transformaciones se pueden elegir los potenciales de forma que las ecuaciones
de la teoría de campos adquieran la forma más simple posible.

8. La ley de Coulomb y la masa en reposo del fotón

La teoría del campo electromagnético de Maxwell, aplicada a la interpretación de
nuevos resultados experimentales, ha conducido al desarrollo de las dos nuevas con-
cepciones de mayor trascendencia en la Física de nuestro siglo: la teoría de la rela-
tividad y la mecánica cuántica, ambas aplicadas al electromagnetismo han dado lugar
a la moderna teoría denominada Electrodinámica cuántica. La mecánica cuántica
impone la cuantificación de la radiación electromagnéticas en “fotones”, cuya energía
viene dada por  =  (donde  es la constante cuántica de Planck y  la frecuencia
de la radiación); fue mediante esta cuantificación como se explicaron satisfactoria-
mente la radiación del cuerpo negro por M. Planck k(1901) y el efecto fotoeléctrico
por A. Einstein (1905), que constituyen las bases de la Física cuántica. Dentro de
la teoría del electromagnetimo de Maxwell, todos los fotones se mueven, cualquiera
que sea su energía, con la misma velocidad  que aparece como límite en la teoría
de la relatividad, lo que conduce a una masa nula para el fotón en reposo. Podría,
no obstante, admitirse que la masa de los fotones en reposo, aunque pequeñísima, no
fuera rigurosamente cero, lo que conduciría a que la velocidad de los fotones (y, por
lo tanto,de las ondas electromagnéticas) dependería de la frecuencia y la velocidad
límite  de la teoría de la relatividad sería la que corresponde a las ondas (o fotones) de
frecuencia (o energía) infinita. A.Proca (1936) fue el primero en desarrollar matemáti-

16
 Electromagnetimso

camente esta posibilidad, siguiendo un procedimiento de formulación lagrangiana del

campo, mediante la adición a la densidad lagrangiana de un término representativo de
la aportación de la masa en reposo del fotón. Las ecuaciones obtenidas son análogas
a las [1.25] de Maxwell, salvo que las (I) y (III) contienen un término extra que se
anula con la masa del fotón en reposo:

E ³   ´2
∇ × B = 0 J+0 0 − A (I)
 ~

 ³   ´2

∇·E= −  (III)
0 ~
en donde,  es la masa del fotón en reposo, ~ = 2 y A y  son los potenciales
electromagnéticos (vector y escalar, respectivamente), de Lorentz ya conocidos.
Son de advertir las siguientes diferencias que este par de ecuaciones implican, respecto
de las correspondientes de Maxwell:
1. Los potenciales  y A dejan de ser unas expresiones matemáticas para darles un
significado físico observable.
2. Como ya dijimos anteriormente la velocidad de propagación de las ondas electro-
magnéticas (velocidad de los fotones), depende de la frecuencia, ya que por un lado
la energía del fotón es  =  (hipótesis cuántica) y, por otra, la energía de una
“partícula” que se mueve con velocidad v es
 2
 = p (teoria relativista)
1 − v2 2
que nos dan la relación
 2
 = p
1 − v2 2
que para   0 nos da una velocidad v  para todo valor finito de  , aproximán-
dose a , como límite, cuando  tiende a infinito. Por otra parte, para la frecuencia
  =  2  la velocidad de propagación se hace cero y la onda electromagnética
estática.
3. Dejan de verificarse la ley circuital de Ampère en magnetostática y el teorema de
Gauss en electrostática y, por tanto, la ley de Coulomb o ley de acción entre cargas
proporcional a la inversa del cuadrado de la distancia.
4. El decrecimiento de los campos electrostático y magnetostático al alejarse de sus
fuentes es de tipo exponencial.

Cualquiera de las discrepancias 2, 3 ó 4 anteriores, así como algunas otras conclusiones

no mencionadas (la existencia de ondas electromagnéticas polarizadas longitudinal-
mente, por ejemplo) pueden ser utilizadas, al menos teóricamente, para la detección
de una posible masa en reposo del fotón. Los resultados obtenidos hasta ahora, todos
ellos negativos o no concluyentes, fijan un límite superior para la masa en reposo del

17
 Electromagnetimso

fotón en el orden de 8 · 10−49 g.

Las experiencias basadas en la diferencia de velocidades de propagación de ondas de
distinta frecuencia han de realizarse en el espacio extraterrestre para que las distancias
recorridas sean suficientemente grandes para que la diferencia de tiempo de recepción,
de ondas producidas simultáneamente, sea apreciable. Se han hecho medidas en la
radiación procedente de los “pulsars”, que son estrellas emisoras de pulsos de luz
y radiación electromagnética muy bien definidos y regulares, y que se encuentran
alejadas de la tierra distancias del orden de 400 años luz. El retraso significativo
detectado entre la recepción de ondas de baja frecuencia, respecto de las de mayor
frecuencia, podría suponerse una experiencia positiva en favor de la existencia de la
masa en reposo del fotón, pero parece más probable que dicho retraso sea debido a
la tenue materia difusa existente en el espacio interestelar, que para las frecuencias
inferiores da lugar a un índice de refracción mayor que la unidad; las experiencias en
este sentido no son, por tanto, concluyentes.
Son también realizables las experiencias basadas en la existencia de ondas estáticas
predichas por la teoría a la frecuencia   =  2 ; estas experiencias habrían de
implicar observación en una región de dimensiones del orden o superior al de la lon-
gitud de ondas de la radiación correspondiente a esa frecuencia con la velocidad de
propagación c que nos da la teoría de Maxwell. Utilizando valores de  del orden
de los límites superiores fijados por otros procedimientos se obtienen longitudes de
ondas del orden de varios centenares de veces el radio terrestre.
Los métodos que se basan en la comprobación de la ley de Coulomb, que es uno
de los más asequibles y precisos, utilizan el mismo principio que para comprobar
indirectamente dicha ley utilizó H. Cavendish en 1773, quince años antes de que C.
A. Coulomb publicase sus resultados en 17886 . Si se cumple exactamente la ley de la
inversa del cuadrado de la distancia, una esfera conductora cargada no tiene carga en
su interior. Cavendish utilizó dos esferas metálicas concéntricas unidas por un hilo
conductor; después de comunicar una carga a la esfera exterior se rompe el hilo de
comunicación y posteriormente se comprueba la no existencia de cargas en la esfera
interior. El interés que despierta la búsqueda de la masa en reposo del fotón, ha
hecho que, con dispositivos cada vez más sofisticados se haya repetido últimamente la
experiencia de Cavendish por varios investigadores; de entre ellas, posiblemente la más
reciente, es la realizada por E. R. Williams y otros7 en 1971, quienes además de las
técnicas más refinadas de detección emplearon cinco capas conductoras concéntricas,
en lugar de las dos de Cavendish, que, por otra parte, eran de forma de icosahedro

6
Tres investigadores, por lo menos, descubrieron la ley de acción inversa al cuadrado de la distancia
antes que Coulomb, el primero de los cuales fue B. Franklin (1755) que la sugiere como explicación
del hecho experimental de que un pendulito eléctrico colocado en el interior de un recinto metálico
cargado no experimente atracción hacia las paredes interiores. J. Robinson, en 1769, comprueba,
mediante un ingenioso dispositivo mecánico, la exactitud del exponente (−2) con un error del orden
del 3 por 100, inferior al obtenido por Coulomb años más tarde, mediante el uso de una balanza de
torsión. Pero los trabajos de Robinson no fueron publicados hasta 1801 y los de Cavendish arriba
citados, no fueron conocidos públicamente hasta que, un siglo más tarde, los menciona Maxwell en
su “Tratado de Electricidad y Magnetismo”.
7
E. R. Williams: J. E. Faller y M. A. Hili: Phys. Rev. Letters, 26, 721 (1971).

18
 Electromagnetimso

en lugar de esferas, para disminuir errores debidos a cargas extrañas. Establecieron

el límite superior de la masa del fotón en 2·10−47 g que creemos sigue siendo el más
bajo de los alcanzados mediante experimentos realizados en el laboratorio.
Los límites más bajos, no obstante, se han conseguido por el estudio experimen-
tal de la ley de decrecimiento del campo magnético con la distancia. Utilizando el
campo magnético terrestre, que fue inicialmente empleado con estos fines por Erwin
Schrödinger en 1943, A. S. Goldhaber y M. M. Nieto obtienen un nuevo límite de
8·10−48 g, mediante el empleo de satélites artificiales y L. Davis, junto con los dos
investigadores precedente en 1975, realizando medidas con instrumentos a bordo del
“Pioner 10”, del campo magnético de Júpiter, rebajan este valor a 8·10−49 g, que es
el límite más bajo establecido hasta la fecha, valor que se espera podría ser rebajado
hasta valores del orden de 10−58 g, de resultar también negativas las interpretaciones
de medidas realizadas en el campo magnético de nuestra galaxia.

9. Apéndice matemático: función  de Dirac

Nos encontramos muy frecuentemente con magnitudes físicas que toman el valor cero
en todos los puntos del dominio de existencia, salvo en uno en que no están definidas,
pero que su integración, extendida a un recinto que contenga ese punto singular, toma
un valor perfectamente conocido. Los dos ejemplos siguientes con magnitudes de este
tipo nos ayudarán a fijar conceptos:
• La corriente  = () de carga de un condensador de capacidad  , que en un
instante  se conecta, mediante conductores prácticamente perfectos, a una batería
de f.e.m.  ; la carga se hace prácticamente instantánea, y, por tanto, la corriente
 = 0 para todo  6=  ; pero, sin embargo, la integral extendida al intervalo (a, b)
tal que      nos dará la carga total adquirida por el condensador que tiene
el valor bien definido  =  
• La densidad másica  = (r) como función de las coordenadas de r adscrita a
una partícula “puntual”, es decir, tan pequeña que macroscópicamente pueda con-
siderarse de dimensiones nulas y de las que además se desconoce su estructura
interna: evidentemente  se anula en todos los puntos del espacio, salvo el r de
coordenadas (     ) en que no está definida. La integral (r) extendida a
un recinto (que podría ser la totalidad del espacio toma el valor M de la masa de
la partícula.

Es evidente que las magnitudes de este tipo no son representables por funciones
matemáticas ordinarias, ya que adolecen de la primera cualidad: la de estar definidas
en todo el dominio de existencia. P. A. M. Dirac introduce, y utiliza extensivamente,
la función “impropia”  = (), que por esta razón se denomina “delta de Dirac”.
Para representar esta clase de funciones. Se define la deslta de Dirac como la función
impropia que verifica:

19
 Electromagnetimso

⎧
⎨ 0 para todo  6= 0
() = (A.1a)
⎩
∞ para todo  = 0
y
Z ∞
() = 1 (A.1b)
−∞

con la propiedad característica de que para toda función f(x), diferenciable infinitas
veces y con comportamiento regular en el infinito, se verifica que
Z ∞
() () =  (0) (A.2)
−∞
la condición de que  () sea diferenciable infinitas veces, es para que, como veremos
en seguida, tenga sentido las derivadas sucesivas de ().
La función () es un caso particular de funciones “impropias” o “generalidades” de
la teoría de distribuciones de Swchartz, como tal podemos introducir su concepto a
través de “sucesiones delta”  (), tales que
Z ∞
lim  () () =  (0) (A.3)
→ −∞

Las funciones  () verifican que lim→∞  () = 0 para todo  6= 0 y también qu
lim→∞  (0) = ∞, estando además normalizadas a la unidad ; es decir,
Z ∞
lim  () = 1
→ −∞
A título de ejemplo, citamos las siguientes “sucesiones delta”:

 2 2
 () = √ −  ()


 1
 () = () (A.4)
 1 + 2 2

1 sin2 
 () = ()
 1 + 2 2

Mediante el teorema de la media, y para cualquiera de las sucesiones  (), se obtiene

la [A.3]; pero es de advertir que no por eso puede tomarse la función  como límite de
las  (), ya que dicho límite no existe. La función  es, por tanto, como un operador
que actúa sobre una función f(x) a través de [A.2], y únicamente en este sentido tiene
significado, y debe intervenir en el cálculo.

20
 Electromagnetimso

9.1. Cálculo con la función 

A través de [A.3] y utilizando “sucesiones delta”  (), adecuadas (por ejemplo, para
el apartado (a) siguiente, que sean diferenciables) o bien mediante el mismo con-
cepto de la función  como operador integral [A.2], se pueden justificar las siguientes
relaciones que tabulamos a continuación y que ofrecen interés en el cálculo:
a) Derivada de la función  :
Z ∞
 (1) () () = − (1) (0)
−∞

Y por aplicaciones sucesivas de esta regla:

Z ∞
 () () () = (−1)  () (0)
−∞

(el índice superior (n) indica la derivada de orden n respecto del argumento).

b) Traslado de coordenadas
Z ∞
( − ) () =  ()
−∞

Z ∞
 () ( − ) () = (−1)  () ()
−∞

c)
Z ∞
1
() () =  (0)
−∞ 
o sea

1
() = ()


d)

() = 0

e)
(−) = ()

f) Si () tiene  ceros simples, x1 , x2 ... x se verifica que:

21
 Electromagnetimso


X 1
(()) = ³ ´ ( −  )

=1  


9.2. Funciones  de varias variables

En el ejemplo que poníamos al principio de la representación de la densidad de una

partícula puntual, se utilizaba por simplicidad de representación (r), en donde el
argumento depende de las tres coordenadas espaciales 1  2  3 . Cuando esta función
() se utiliza como operador integral en [A.2], al anularse el argumento de  (r) deben
anularse simultáneamente las tres coordenadas. En consecuencia se han de satisfacer
tres funciones ( ) simultáneas; podemos poner, por tanto,

(r) = ()()()

Y análogamente

(r − r ) = ( −  )( −  )( −  )

Es de advertir que, como la función  siempre ha de intervenir a través de una inte-

gración, la cantidad de interés es la () o para el caso general de h variables


Y
( )
=1

por lo que fácilmente se deduce que en un cambio de variables  a   a través de

relaciones  =  ( 1   2    ) la expresión


Y
( )
=1

se transforma en la


1 Y
(  ) 
||
=1

en donde ||, representa el determinante jacobiano

(1  2   )
( 1   2    )

22
 Electromagnetimso

9.3. Representaciones en serie de la función 

A veces resulta de utilidad en el cálculo sustituir una función  por un desarrollo en

serie (o una integral), desarrollos que, naturalmente, no pueden converger, ya que si
no tendríamos una función ordinaria para representar la función impropia; pero que,
sin embargo, conducen al mismo resultado que  cuando la sustituyen en expresiones
del tipo [A.2].
Consideremos, Por ejemplo, la “sucesión delta”  () correspondiente a un impulso
rectangular, centrado en el origen, definido en el intervalo [-L L], de altura 2 y
anchura 2/n (ver figura 1.2).

Fig.1.3: Representación de la sucesión  ()

Desarrollando en serie de Fourier, esta función  () nos viene dada por

X  µ ¶ µ ¶
1  
 () = + sin cos 
2   
=1

y en el límite, para  → ∞ se reduce a

µ ¶
1 1X 
lim  () = () = + cos  (A.5)
→ 2  
=1

que, efectivamente, aunque no está definida por no ser convergente, esta serie llevada
a [A.2] puede comprobarse que satisface

Z " µ ¶#

1 1X 
+ cos   () =  (0)
− 2  
=1
¡ ¢
ya que la integral de cada término nos da el coeficiente de cos   del desarrollo en
serie de Fourier de  () y la suma de todos ellos el valor de dicha serie para  = 0

23
 Electromagnetimso

De forma análoga se puede obtener una descomposición espectral de la función 

mediante una transformada de Fourier. Definida la transformada de Fourier de ()
por Z ∞
1
F [()] = () = √ ()− 
2 −∞
la () viene dada por
Z ∞
1
() = √ () 
2 −∞

aplicado a la función () se tiene

Z ∞
1 1
F [()] = () = √ ()−  = √
2 −∞ 2
y para la función 
Z ∞
1
() =   (A.6)
2 −∞

que, evidentemente, también es divergente; pero que puede sustituir a () en [A.2]

24