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    Area Entre Dos Funciones

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    rango mcfly
    Este documento proporciona instrucciones para calcular el área entre dos funciones en 3 pasos: 1) calcular los puntos de corte entre las funciones, 2) determinar cuál función es mayor en el intervalo, y 3) aplicar la fórmula de restar la integral de la función mayor menos la función menor entre los límites. Luego, ilustra este proceso al calcular el área entre dos funciones dadas como ejemplo. Finalmente, proporciona 4 ejercicios para practicar.

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    rango mcfly
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    Este documento proporciona instrucciones para calcular el área entre dos funciones en 3 pasos: 1) calcular los puntos de corte entre las funciones, 2) determinar cuál función es mayor en el intervalo, y 3) aplicar la fórmula de restar la integral de la función mayor menos la función menor entre los límites. Luego, ilustra este proceso al calcular el área entre dos funciones dadas como ejemplo. Finalmente, proporciona 4 ejercicios para practicar.

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    de 8

    UNIVERSIDAD POLITECNICA DE TECAMAC

    Asignatura: CALCULO DIFERENCIAL E


    INTEGRAL

    Grado: 1ER CUATRIMESTRE


    Grupo: 7122IMA

    JESUS ALI RAMIREZ RAMIREZ

    AREA ENTRE DOS FUNCIONES


    ROBERTO DE JESUS RIVERO ESPEJEL
    KEVIN RAMIREZ HERNANDEZ
    JORGE ANDRES MIRELES GRAVIOTO
    RICARDO RODRIGUEZ DIAZ
    ¿CÓMO CALCULAMOS EL ÁREA ENTRE DOS FUNCIONES?
    Procedimiento para calcular el área limitada entre dos funciones
    Para calcular el área limitada entre dos funciones se sigue el siguiente procedimiento:
    1.Se calculan los puntos de corte entre ambas funciones. Para ello, se igualan las funciones y
    se resuelve la ecuación resultante. El resultado obtenido corresponde a los límites de
    integración.
    2.Determinar cuál de las dos funciones es mayor, es decir, cuál queda por encima
    gráficamente. Esto lo podemos obtener representando ambas funciones, que además nos
    dará una idea más visual del área que queremos calcular.
    3.Aplicar la fórmula, restando la integral de la función mayor, menos la integral de la función
    menor, entre los límites de integración calculados en el puto 1.
    Vamos a verlo con un ejemplo:
    Calcular el área delimitada por las siguientes funciones:
    En primer lugar, calculamos los puntos de corte de las funciones. Igualamos ambas funciones y nos
    queda la siguiente ecuación:

    Es una ecuación de segundo grado. Primero reducimos a común denominador:

    Y eliminamos los denominadores en ambos miembros:

    Pasamos todos los términos al primer miembro, quedando el segundo miembro igual a cero, operamos
    y reordenamos términos:
    Resolvemos la ecuación de segundo grado completa, que nos dan las siguientes soluciones:

    Por tanto, las funciones se cortan en esos dos valores de x.


    Ahora pasamos a representar cada una de las funciones.
    La función f(x) corresponde a una recta (en el curso de funciones, tienes explicado cómo
    representar rectas) y la función g(x), corresponde a una parábola (en el curso de funciones,
    también tienes explicado cómo representar funciones de segundo grado):
    Vemos que en este caso, la función f(x) queda por encima de la función g(x) entre los valores de
    x 1/3 y 3, lo que quiere decir que f(x) es mayor que g(x) en ese intervalo.
    Por tanto, aplicamos la fórmula restando la integral de f(x) menos la integral de g(x), cada una
    entre los límites de integración que son 1/3 y 3:

    La resta de dos integrales de dos funciones la podemos expresar como una única integral donde
    se realice la resta de funciones, según las propiedades de las integrales:

    Sustituimos f(x) y g(x) por sus valores. Ten en cuenca que delante de g(x) tenemos un signo
    menos, que cambia de signo a todos los términos de g(x), por lo que la dejamos encerrada
    entre paréntesis:
    Ahora eliminamos el paréntesis cambiando de signo los términos que están dentro de él:

    Operamos y reordenamos términos:

    Pasamos a resolver la integral, dejando el resultado entre corchetes con los límites de integración:
    Aplicamos la regla de Barrow, sustituyendo primero la x por 3 en la expresión anterior y restando la
    misma expresión sustituyendo la x por 1/3:

    Y operamos llegando al resultado:


    EJERCICIOS
    1.Calcula el área limitada por las funciones
    y = x2 ; y = x ; x = 0 ; x = 2

    2.Calcula el área de la región delimitada por las curvas


    f (x) = x2 ; g (x) = √x

    3.Calcula el área limitada por la parábola


    y2 = 4x y la recta y = x

    4. Calcula el área de estas 2 funciones


    f (x) = x2 / 2 – x + 3

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