Cap 28 M

?
El inmenso cilindro que

aparece en esta fotografía
es en realidad una bobina
conductora de corriente, o
solenoide, que genera un
campo magnético uniforme
en su interior y forma parte de
un experimento realizado en la
Organización Europea para la
Investigación Nuclear (OEIN).
Si dos de estos solenoides se
unieran por sus extremos, el
campo magnético a lo largo
de su eje común: i. se volvería
cuatro veces más fuerte;
ii. duplicaría su intensidad;
iii. se volvería 12
1 veces más
intenso; iv. no cambiaría;
v. se debilitaría.
28 FUENTES DE CAMPO
MAGNÉTICO
E
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE n el capítulo 27 vimos las fuerzas ejercidas sobre cargas en movimiento y sobre
conductores que transportan corriente en un campo magnético. No nos preocupa-
Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: mos de cómo llegó ahí el campo magnético: simplemente consideramos su exis-
28.1 La naturaleza del campo magnético tencia como un hecho. Pero, ¿cómo se crean los campos magnéticos? Sabemos que los
producido por una sola partícula cargada imanes permanentes y las corrientes eléctricas en los electroimanes crean campos mag-
en movimiento.
néticos. En este capítulo estudiaremos con detalle esas fuentes de campo magnético.
28.2 A describir el campo magnético Hemos aprendido que una carga crea un campo eléctrico y que éste ejerce una fuerza
producido por un elemento de un
conductor portador de corriente.
sobre una carga. No obstante, un campo magnético ejerce una fuerza sobre una car-
ga sólo si la carga está en movimiento. De manera similar, veremos que una carga crea
28.3 A calcular el campo magnético producido
por un alambre largo y recto que un campo magnético únicamente cuando está en movimiento. Nuestro análisis comen-
transporta corriente. zará con el campo magnético creado por una sola carga puntual en movimiento, lo cual
28.4 Por qué los alambres que conducen nos servirá para determinar el campo creado por un segmento pequeño de un conductor
corrientes en el mismo sentido se atraen, que transporta corriente. Una vez hecho esto, es posible, en principio, determinar el
mientras los que conducen corrientes en campo magnético producido por un conductor de cualquierr forma.
sentidos opuestos se repelen. Después estudiaremos la ley de Ampère, que en el magnetismo juega un rol aná-
28.5 Cómo determinar el campo magnético logo al de la ley de Gauss en la electrostática. La ley de Ampère permite aprovechar
generado por un alambre portador de las propiedades de simetría para relacionar los campos magnéticos con sus fuentes.
corriente en forma de círculo.
Las partículas móviles con carga dentro de los átomos responden a los campos mag-
28.6 Qué es la ley de Ampère y qué nos dice néticos y también actúan como fuentes de campo magnético. Nos apoyaremos en estas
acerca de los campos magnéticos.
ideas para entender cómo pueden emplearse ciertos materiales magnéticos para inten-
28.7 Cómo usar la ley de Ampère para calcular
sificar los campos magnéticos, y descubriremos por qué algunos materiales, como el
el campo magnético de distribuciones
simétricas de corriente. hierro, actúan como imanes permanentes.
28.8 Cómo corrientes microscópicas en el
interior de los materiales les proporcionan
propiedades magnéticas.
28.1 CAMPO MAGNÉTICO DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO
Comenzaremos con lo fundamental: el campo magnético de una carga puntual q que
Repase lo estudiado en la sección … se mueve con velocidad constante v S
. En las aplicaciones prácticas, como la del sole-
10.5 Momento angular de una partícula. noide que aparece en la fotografía que abre este capítulo, los campos magnéticos son
21.3–21.5 Ley de Coulomb y cálculos del producto de un número enorme de partículas con carga que se desplazan como una
campo eléctrico. corriente. Sin embargo, una vez comprendida la forma de calcular el campo magnético
22.4 Solución de problemas con la ley de Gauss. debido a una carga puntual, basta un pequeño paso para calcular el campo producido
27.2–27.9 Campo magnético y fuerza magnética. por un alambre o un conjunto de alambres que transportan corriente.
921
922 CAPÍTULO 28 Fuentes de campo magnético
Igual que hicimos en el caso de los campos eléctricos, llamaremos punto fuente a
la ubicación de la carga en movimiento en un instante dado, y punto de campo al
punto P donde queremos calcular el campo. En la sección 21.4 vimos que en un punto
de campoSsituado a una distancia r de una carga puntual q, la magnitud del campo
eléctrico E generado S
por la carga es proporcional a la magnitud de la carga ƒ q ƒ y a 1>rr2,
y la dirección de E (para q positiva) está a lo largo de la línea que une al punto fuente S
con el punto de campo. La relación correspondiente para el campo magnético B de
una carga puntual q que se mueve con velocidad constante tiene algunas similitudes y
ciertas diferencias interesantes. S
28.1 a) Vectores campo magnético Los experimentos han demostrado que la magnitud de B también es proporcional a
S
debidos a una carga puntual positiva
S
q ƒ q ƒ y a 1>rr2. Pero la dirección de B noS es a lo largo de la línea que va del punto fuente
en movimiento. En cada punto, B es al punto de campo. En lugar de ello, B es perpendicular al plano que contiene esta línea
S S
perpendicular al plano de r y v, y su
magnitud es proporcional al seno del y al vector velocidad vS de la partícula, como se ilustra en la figura 28.1. Asimismo, la
ángulo entre ellos. b) Líneas del campo magnitud B del campo también es proporcional a la rapidez v de la partícula y al seno
magnético en un plano que contiene del ángulo f. Entonces, la magnitud del campo magnético en el punto P está dada por
una carga positiva en movimiento.
m0 0 q 0 v sen f
a) Vista en perspectiva B = (28.1)
4p r2
Regla de la mano derecha para el campo El símbolo m0 (que se lee “mu subíndice cero”) se conoce como constante magnética.
magnético debido a una carga positiva que La razón de escribir la constante 4p en esta forma particular se verá dentro de poco.
se mueve a velocidad constante:
Apunte el pulgar de su mano derecha en
En la sección 21.3 hicimos algo similar en relación con la ley de Coulomb.
dirección de la velocidad. Ahora cierre sus dedos
alrededor de la carga en dirección de las líneas Carga en movimiento: Campo magnético vectorial
del campo magnético (si la carga es negativa, S
las líneas de campo van en sentido opuesto). Es posible incorporar tanto la magnitud como la dirección de B en una sola ecuación
S S
vectorial utilizando el producto vectorial. Para evitar tener que decir “la dirección des-
Para estos puntos de campo, r y v
están en el plano color beige, y
de la fuente q al punto de campo P” una y otra vez, introducimos un vector unitario
S
B es perpendicular a este plano. rB (r con acento circunflejo) que apunte desde el punto fuente al punto de campo (en
P
S
la sección 21.4 usamos rB con el mismo propósito). Este vector unitario es igual al vec-
S
S
r
B tor rB de la fuente al punto de campo dividido entre su magnitud: rB = Sr >r. Así,
B
S Constante Carga Velocidad
B S
v magnética Vector unitario del
nr f
Campo magnético de una S
S
v B = 0
S m0 q v : nr punto de carga hacia
carga puntual con velocidad B= donde se mide el campo 28.2)
q constante 4p r 2
Distancia del punto de carga
B = 0 hasta donde se mide el campo
S
B La figura 28.1 muestra la relación que hay entre rB y P, y también el campo magné-
S
S tico B en varios puntos en la vecindad de la carga. En todos los puntos a lo largo de
B
una línea que pase por la carga y sea paralela a la velocidad vS
S
B , el campo es igual a cero
S
porque sen f = 0 en todos ellos. A cualquier distancia r desde q, B alcanza su valor
S S
Para estos puntos del campo,
S
r y v están en el
plano color dorado, y B es perpendicular máximo en los puntos localizados en un plano perpendicular a v porque, en todos
S
a este plano. S
ellos, f = 90° y sen f = 1. Si la carga q es negativa, las direcciones de B son opuestas
b) Vista desde atrás de la carga a las que se ilustran en la figura 28.1.
El símbolo *
indica que la carga
Carga en movimiento: Líneas de campo magnético
se mueve hacia el plano Una carga puntual en movimiento también produce un campo eléctrico, con líneas de
de la página campo radiales hacia afuera desde una carga positiva. Las líneas de campo magnético
(se aleja del lector).
son totalmente diferentes. Para una carga puntual que se mueve con velocidad vS, las
líneas de campo magnético son círculos con centro en la línea de v y que se encuen-
S
S
B tran en planos perpendiculares a esta línea. Las direcciones de las líneas de campo para
una carga positiva están dadas por la regla de la mano derecha, una de las varias que
encontraremos en este capítulo: Tome el vector velocidad v S
con su mano derecha, de
manera que su pulgar apunte en dirección de v; luego, cierre sus dedos alrededor de la
S
línea de v en el mismo sentido que las líneas de campo magnético, suponiendo que q
S
es positiva. La figura 28.1a muestra partes de algunas líneas de campo; la figura 28.1b
ilustra algunas líneas de campo en un plano a través de q, perpendiculares a v S
. Si la
carga puntual es negativa, las direcciones del campo y líneas de campo son opuestas a
las que se ilustran en la figura 28.1.
28.1 Campo magnético de una carga en movimiento 923
S
Las ecuaciones (28.1) y (28.2) describen el campo B de una carga puntual que se
mueve con velocidad constante. Si la carga acelera, el campo suele ser mucho más
complicado. Para nuestros fines, no necesitaremos estos resultados más complejos. (Las
partículas cargadas en movimiento que forman una corriente en un alambre se aceleran
en los puntos donde este se dobla y la dirección de v S
cambia. Sin embargo, como la
magnitud vd de la velocidad de deriva en un conductor por lo general es muy pequeña,
la aceleración centrípeta vd2>rr es tan pequeña, que pueden ignorarse sus efectos).
Como se vio en la sección 27.2, la unidad de B es un tesla (1 T):
1 T = 1 N # s>C # m = 1 N>A # m
Usando esto en la ecuación (28.1) o (28.2), vemos que las unidades de la constante m0
son
1 N # s2>C2 = 1 N>A A2 = 1 Wb>A # m = 1 T # m>A
En unidades del SI, el valor numérico de m0 es exactamente 4p * 10-7. Por lo tanto,
m0 = 4p * 10-7 N # s2>C2 = 4p * 10-7 Wb>A # m
= 4p * 10-7 T # m>A (28.3)
¡Parece increíble que m0 tenga exactamente este valor numérico! De hecho, se trata de un
valor calculado que surge de la definición de ampere, como veremos en la sección 28.4.
En la sección 21.3 se mencionó que la constante 1>4pP0 en la ley de Coulomb está
relacionada con la rapidez de la luz, c:
= 110-7 N # s2>C2 2c2

1
k =
4pP0
Cuando estudiemos las ondas electromagnéticas en el capítulo 32, veremos que su
rapidez de propagación en el vacío, que es igual a la rapidez de la luz, c, está dada por
1
c2 = (28.4)
P0 m0
Si despejamos P0 en la ecuación k = 1>4pP0 y, luego, sustituimos la expresión re-
sultante en la ecuación (28.4) y despejamos m0, obtendremos el valor de m0 que se
mencionó antes. Es un análisis un poco prematuro, pero da idea de que los campos
eléctricos y magnéticos están relacionados con la naturaleza de la luz.
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.1 FUERZAS ENTRE DOS PROTONES EN MOVIMIENTO
Dos protones se mueven paralelos al eje x en sentidos opuestos (fi- 28.2 Fuerzas eléctrica y magnética entre dos protones en movimiento.
gura 28.2) con la misma rapidez v (pequeña en comparación con la y
rapidez c de la luz). En el instante que se ilustra, calcule las fuerzas
eléctrica y magnética sobre el protón de la parte superior y compare S
sus magnitudes. FE
SOLUCIÓN S
S
−v FB
IDENTIFICAR y PLANTEAR: La fuerza eléctrica FE sobre el protón
de arriba está dada por la ley de Coulomb [ecuación (21.2)]. La ley de S q
B
la fuerza magnética [ecuación (27.2)] permite determinar la fuerza
magnética sobre el protón superior; para usarla, primero debemos uti- r
lizar la ecuación (28.2) para determinar el campo magnético que pro-
duce el protón de la parte inferior en la posición del protón de arriba. nr S
El vector unitario del protón inferior (la fuente) para la posición del v
x
protón superior es rB = eB . q
EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Coulomb, la magnitud de la z
fuerza eléctrica sobre el protón de arriba es
1 q2 S
campo B debido al protón inferior en la posición del protón superior
FE =
4p P0 r 2 está en la dirección +z
+ (vea la figura 28.2). Según la ecuación (28.2),
el campo es
Las fuerzas son de repulsión, y la fuerza sobre el protón superior es
vertical hacia arriba (en la dirección +y
+ ). S m0 q1 vdn2 : ne m0 qv n
B k
La velocidad del protón inferior es v S
= vBdB . Según la regla de la 4p r2 4p r 2
S
mano derecha para el producto cruz v × rB de la ecuación (28.2), el Continúa
v2
S
La velocidad del protón superior es −v = -vBdB , y la fuerza magnética FB
sobre él es = 2
FE c
S S S m0 qv n m0 q2v 2 Cuando v es pequeña en comparación con la rapidez de la luz, la
FB q1 -v2 : B q 1 -vdn 2 : k ne
fuerza magnética es mucho menor que la fuerza eléctrica.
4p r 2 4p r 2
La interacción magnética en esta situación también es de repulsión. EVALUAR: Hemos descrito las velocidades, los campos y las fuerzas
La razón de las magnitudes de las fuerzas es como los mediría un observador estacionario en el sistema de coorde-
nadas de la figura 28.2. En un sistema de coordenadas que se mueve
FB m0 q2v 2>4pr 2 m0 v 2 con una de las cargas, una de las velocidades sería igual a cero, por
= = = P0 m0 v 2 lo que no habría fuerza magnética. La explicación de esta aparente
FE q2>4pP0 r 2 1>P0
paradoja ofrece uno de los caminos que condujeron a la teoría de la
Con la relación P0m0 = 1>c2, ecuación (28.4), esto se convierte en relatividad especial.
EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.1 a) Si dos protones viajan para-

lelos entre sí en la misma dirección y con igual rapidez, ¿la fuerza magnética entre ellos es i. de
atracción o ii. de repulsión? b) ¿La fuerza neta entre ellos es i. de atracción, ii. de repulsión o iii.
igual a cero? (suponga que la rapidez de los protones es mucho menor que la rapidez de la luz). ❙
28.3 a) Vectores del campo magnético 28.2 CAMPO MAGNÉTICO DE UN ELEMENTO

que se deben a un elemento de corriente
S
d l . b) Líneas de campo magnético en DE CORRIENTE
un plano que S
contiene al elemento de Al igual que en el caso del campo eléctrico, hay un principio de superposición de
corriente d l . Compare esta figura con la
28.1 para el campo de una carga puntual campos magnéticos:
en movimiento.
Elc ampom agnético total generado por varias cargas en movimiento es la suma vec-
a) Vista en perspectiva torial de los campos generados por las cargas individuales.
Regla de la mano derecha para el campo
magnético debido a un elemento de corriente:
Este principio se utiliza con los resultados de la sección 28.1 para obtener el campo
Apunte el pulgar de su mano derecha en dirección magnético producido por una corriente en un conductor.
de la corriente. Ahora cierre sus dedos alrededor Comenzamos
S
con el cálculo del campo magnético generado por un segmento pe-
del elemento de corriente en dirección de las queño d l de un conductor que transporta corriente, como se ilustra en la figura 28.3a.
líneas de campo magnético.
S S
El volumen del segmento es A dl, donde A es el área de la sección transversal del con-
Para estos puntos de campo,
S
r y dl están en el ductor. Si hay n partículas cargadas en movimiento en cada unidad de volumen, cada
plano color beige, y dB es perpendicular a
dicho plano. una con una carga q, la carga total dQ que se mueve en el segmento es
P dQ = nqA
q dl
S
S
r d
dB
S Las cargas en movimiento en este segmento son equivalentes a una sola carga dQ
d
dB
que viaja con una velocidad igual a la velocidad de deriva vd (los campos magnéticos
S S
d
dB I
f
nr d = 0
dB debidos a los movimientos al azarr de las cargas, en promedio, se cancelarán en cada
S
I S
punto). De acuerdo con la ecuación (28.1), la magnitud del campo resultante dBd en
S
Eje
j de dl
d cualquier punto de campo P es
dl
d = 0
dB m0 0 dQ 0 vd sen f m0 n 0 q 0 vd A dl sen f
d
S
dB d =
dB 2
=
4p r 4p r2
S Pero, según la ecuación (25.2), n ƒ q ƒ vd A es igual a la corriente I en el elemento. Por
d
dB S
dB
d
S
lo tanto,
S
Para estos puntos de campo, rSy dl se encuentran m0 I dl sen f
en el plano color dorado, y dB es perpendicular d =
dB (28.5)
a este plano.
4p r2
b) Vista a lo largo del eje del elemento Elemento de corriente: Campo magnético vectorial
de corriente En forma vectorial, usando el vector unitario rB como en la sección 28.1, se tiene
Corriente dirigida hacia Constante Vector longitud del elemento
el plano de la página. magnética Corriente (apunta en dirección de la corriente)
Campo magnético
Vector unitario del
debido a un elemento S
de corriente S m0 I dl : nr elemento hacia donde

d =
dB se mide el campo (28.6)
infinitesimal 4p r2
Distancia del elemento
S
d
dB hasta donde se mide el campo
S
donde dl es un vector con longitud dl, en la misma dirección que la corriente en el conductor.
28.2 Campo magnético de un elemento de corriente 925
Las ecuaciones (28.5) y (28.6) constituyen

S
la ley de Biot y Savart, la cual se utiliza Aplicación Corrientes y
para obtener el campo magnético total B en cualquier punto del espacio debido a la magnetismo planetario El campo
magnético de la Tierra se debe a corrientes
corriente en un circuito completo. Para hacerlo, se integra la ecuación (28.6) con res-
S que circulan en su interior fundido y, al
pecto a todos los segmentos d l que conduzcan corriente; usando símbolos: mismo tiempo, conductor. Estas corrientes se
S mezclan por el giro relativamente rápido de
4p L
S m0 I dl : nr nuestro planeta (una rotación cada 24 horas).
B (28.7)
r2 Las corrientes internas de la Luna son mucho
más débiles, ya que es mucho más pequeña
En las siguientes secciones realizaremos esta integración vectorial en varios de los que la Tierra, tiene un interior predominante-
ejemplos. mente sólido y gira lentamente (una rotación
por cada 27.3 días), de modo que el campo
magnético de la Luna tiene una intensidad
Elemento de corriente: Líneas de campo magnético de aproximadamente apenas 10-4 de la
S
Como se observa en la figura 28.3, los vectores campo dBd y las líneas de campo mag- intensidad del campo magnético terrestre.
nético de un elemento de corriente son exactamente como los que genera una carga
positiva dQ que se desplaza en la dirección de la velocidad
S
de deriva v
S
d. Las líneas
S
de Tierra
campo son círculos en planos perpendiculares a d l y con centro en la línea de d l . Sus
direcciones están dadas por la misma regla de la mano derecha que se presentó en la
sección 28.1 para cargas puntuales.
Las ecuaciones (28.5) o (28.6) no se pueden comprobar directamente porque no es
posible experimentar con un segmento Saislado de un circuito que conduzca corriente. Luna
Lo que se mide experimentalmente es B total para un circuito completo.
S
No obstante,
estas ecuaciones sí se verifican de manera indirecta calculando B para varias configu-
raciones de corriente utilizando la ecuación (28.7) y comparando los resultados con
mediciones experimentales.
Si hay materia presente en el espacio alrededor de un conductor que transporta co-
rriente, el campo en el punto de campo P de su vecindad tendrá una contribución adi-
cional que proviene de la magnetización del material. En la sección 28.8 volveremos a
este asunto. Sin embargo, a menos que el material sea hierro u otro material ferromag-
nético, el campo adicional es pequeño y, por lo general, despreciable. Si hay campos
eléctricos o magnéticos presentes que varíen con el tiempo, o si el material es super-
conductor, surgen complicaciones adicionales; más adelante volveremos a estos temas.
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 28.1 CÁLCULOS EN CAMPOS MAGNÉTICOS

S
IDENTIFICAR los conceptos relevantes: La ley de Biot y Savart corriente; en tales casos, la magnitud delScampo total B es la suma
[ecuaciones (28.5) y (28.6)] le permiten calcular el campo magnético de las magnitudes de los elementos dB d . Pero es frecuente que
en el punto de campo P debido a un alambre portador de corriente estos tengan direcciones distintas para elementos diferentes de la
S
de la forma que sea. La idea es calcular el elemento dB d del cam- corriente. Entonces, se tiene que establecer un sistema de coorde-
S
po en un punto P debido a un elemento de corriente representativo nadas y representar
S
cada d
dB en términos de sus componentes. Así,
en el alambre, e integrar estos elementos del campo para obtener el la integral para B total queda expresada en términos de una inte-
S
campo B en P. gral para cada componente.
3. En ocasiones es posible aprovecharSla simetría del arreglo para
PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos: determinar que una componente de B debe desaparecer. Siempre
1. Elabore un diagrama que muestre un elemento de corriente repre- hay que estar alerta para identificar maneras de usar la simetría
sentativo y el punto de campo P. que permitan simplificar el problema.
S
2. Dibuje el elemento de corriente d l , asegurándose de que apunte 4. Busque maneras de utilizar el principio de superposición de campos
en la dirección de la corriente. magnéticos. Más adelante, en este capítulo, se determinarán los
3. Trace el vector unitario rB dirigido desde el elemento de corriente campos producidos por ciertos conductores con formas sencillas; si
(el punto fuente) al punto P. encuentra un conductor de forma compleja que pueda representarse
S
4. Identifique la incógnita (normalmente B). como una combinación de estas formas simples, será posible utili-
zar el principio de superposición para determinar el campo de
forma compleja. Ejemplos al respecto son una espira rectangular y
EJECUTAR la solución como sigue:
un semicírculo con segmentos rectilíneos en ambos lados.
1. Utilice la ecuación (28.5) o (28.6) para expresar el campo magné-
S
tico dB
d en P del elemento de corriente representativo. EVALUAR la respuesta: Con frecuencia, la respuesta será una expre-
S S
2. Sume todos los elementos dB d para obtener el campo total en el
S
sión matemática de B en función de la posición del punto de campo.
punto P. En ciertas situaciones, los elementos dBd en el punto P Compruebe la respuesta examinando su comportamiento en tantos
tienen la misma dirección con respecto a todos los elementos de límites como sea posible.
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.2 CAMPO MAGNÉTICO DE UN SEGMENTO CON CORRIENTE
Un alambre de cobre conduce una corriente constante de 125 A hacia EJECUTAR: a) En el punto P1, rB = eB , por lo que
un tanque galvanizado (figura 28.4). Determine el campo magnético S
generado por un segmento de alambre de 1.0 cm en un punto locali- S m0 I dl : nr l - nd 2 : ne

m0 I dl1 m0 I dl n
B - k
zado a 1.2 m del alambre, si ese punto es a) el punto P1, directamente 4p r2 4p r2 4p r 2
arriba del segmento; y b) el punto P2, en el plano xy sobre una línea a 1 125 A2 1 1.0 * 10-2 m2
30° con respecto al segmento. - 1 10-7 T # m>A2 kn
m 2
1 1.2 m2
SOLUCIÓN - 1 8.7 * 10-8 T2 kn
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Aunque las ecuaciones (28.5) y (28.6) se S
La dirección de B en P1 es hacia el plano xy de la figura 28.4.
usan sólo con elementos de corriente infinitesimales, se les puede em- b) En el punto P2, el vector unitario es rB = (-cos 30°)dBd + (sen 30°)eeB .
plear aquí, puesto que la longitud del segmento es mucho menor que De acuerdo con la ecuación (28.6),
la distancia al punto de campo. En la figura 28.4 se muestra con color S
rojo el elemento de corriente, y apunta en la dirección -x
-x (la dirección S m0 I dl : nr l - nd 2 : 1 - cos 30°dn
m0 I dl1 sen 30°en2
S B
de la corriente), de modo que d l = dl(-B -dB ). El vector unitario rB de 4p r2 4p r2
cada punto de campo está dirigido desde el elemento de corriente m0I dl sen 30° n
hacia ese punto: rB está en la dirección +y
+ en el caso del punto P1 y a - k
un ángulo de 30° por arriba de la dirección -x-x en el caso del punto P2.
4p r2
1 125 A2 1 1.0 * 10-2 m2 1 sen 30°2
28.4 Cálculo del campo magnético en dos puntos debido a un - 1 10-7 T # m>A2 kn
1 1.2 m2 2
segmento de 1.0 cm de un alambre conductor de corriente
(el dibujo no está a escala). - 1 4.3 * 10-8 T2 kn
y S
La dirección de B en P2 también está hacia el plano xy de la figura 28.4.
S
P1 EVALUAR: Los resultados de la dirección de B se comprueban com-
parándolos con la figura 28.3. El plano xy de la figura 28.4 corres-
P2 1.2 m ponde al plano color beige de la figura 28.3S pero, en este caso, la
dirección de la corriente y, por lo tanto, de d l es contraria a la mos-
1.2 m trada en la figura 28.3, de manera que también se invierte la dirección
125 A 125 A del campo magnético. De aquí que el campo en puntos del plano xy
30°
x en la figura 28.4 debe apuntar hacia el plano, y no hacia afuera de él.
z 1.0 cm Esto es exactamente lo quec oncluimosa nteriormente.
EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.2 Un elemento de corriente infini-

tesimal localizado en el origen (x = y = z = 0) conduce una corriente I en la dirección positiva
de y. Clasifique las siguientes ubicaciones en orden decreciente de la intensidad del campo
magnético, que el elemento de corriente produce en cada sitio. i. x = L, y = 0, z = 0; ii. x = 0,
L 12
y = L, z = 0; iii. x = 0, y = 0, z = L; iv. x = L> 1 , y = L>
L 12
1 , z = 0. ❙
28.5 Campo magnético producido por un 28.3 CAMPO MAGNÉTICO DE UN CONDUCTOR

conductor recto portador de corriente de
longitud 2a. RECTO QUE TRANSPORTA CORRIENTE
y Usemos la ley de Biot y Savart para determinar el campo magnético producido por
un conductor recto que conduce corriente. Este ejercicio es útil debido a que prácti-
a camente en todos los aparatos eléctricos y electrónicos se encuentran alambres con-
S
f ductores rectos. La figura 28.5 muestraSun conductor como éste con longitud 2a que
d
dl nr conduce una corriente I. Calcularemos B en un punto a una distancia x del conductor,
r = 2x 2 + y 2 sobre su bisectriz perpendicular.
p - f
y
Primero usamos la ley de Biot y Savart, ecuación (28.5), para obtener el campo
P S
O x d generado por el elemento conductor de longitud dl = dy que se ilustra en la figu-

dB
x S
d
dB ra 28.5. Según la figura, r = 1
1x 2 + y2 y sen f = S
sen(p - f) = x>
x11x 2 + y2. La regla
S S
En el punto P, el campo dB de la mano derecha para el producto vectorial d l * rB indica que la dirección de dB
d esS
I generado por cada elemento
hacia el plano de la figura, perpendicular al plano; asimismo, las direcciones de los dB
d
del conductor apunta hacia
generados por todos los elementos del conductor son las mismas. Entonces, al integrar
-a el plano de la página, al igual S
S
que el campo total B. la ecuación (28.7), simplemente se suman las magnitudes de los elementos dB d , una
simplificación significativa.
28.3 Campo magnético de un conductor recto que transporta corriente 927
S
Juntando los elementos, vemos que la magnitud total del campo B es
a
4p L-a 1 x 2 + y22 3>2

m0 I x dy
d
B =
Podemos integrar esto por sustitución trigonométrica o usando una tabla de integrales:
m0 I 2a
B = (28.8)
4p x2x2 2 + a2
Cuando la longitud 2a del conductor es muy grande en comparación con su dis-
tancia x desde el punto P, se puede considerar infinitamente larga. Cuando a es mu-
cho mayor que x, 1 1x 2 + a2 es aproximadamente igual a a; de aquí que en el límite,
a S q, la ecuación (28.8) se convierte en
m0 I
B =
2px
S
En el aspecto físico existe simetría axial con respecto al eje y. Por lo tanto, B debe 28.6 Campo magnético alrededor de
tener la misma magnitud d en todos los puntos de un círculo con centro en el conduc- un conductor largo y recto portador
S
tor y que se encuentre en un plano perpendicular a él, y la dirección de B debe ser de corriente. Las líneas de campo son
círculos, con direcciones determinadas
tangente en cualquier parte del círculo (figura 28.6). Así, en todos los puntos de un por la regla de la mano derecha.
círculo de radio r alrededor del conductor, la magnitud B es
Regla de la mano derecha para el campo
Constante magnética magnético alrededor de un alambre que
Campo magnético cerca Corriente conduce corriente: Apunte el pulgar de su
de un conductor largo y recto
m0I
B = Distancia desde el conductor (28.9) mano derecha en dirección de la corriente.
portador de corriente 2pr Cierre los dedos alrededor del alambre en
dirección de las líneas del campo magnético.
La geometría de este problema es similar a la del ejemplo 21.10 (sección 21.5),
donde resolvimos el problema del campo eléctrico generado por una línea infinita de
carga. En ambos problemas aparece la misma integral, S
y en ellos las magnitudes del S
S
B I
campo son proporcionales a 1>r. Pero las líneas de B en el problema del magnetismo B S
S B
tienen formas totalmente diferentes de las de E en el problema eléctrico análogo. Las
líneas de campo eléctrico son radiales hacia afuera desde una distribución lineal de I S
B
carga positiva (hacia adentro, en el caso de cargas negativas). En contraste, las líneas S
S
B B
de campo magnético circundan la corriente que actúa como su fuente. Las líneas de
campo eléctrico debidas a las cargas comienzan y terminan en esas cargas, pero las
líneas del campo magnético siempre forman trayectorias cerradas y nunca tienen ex-
tremos, sin importar la forma del conductor portador de corriente que genera el campo.
Como se vio en la sección 27.3, ésta es una consecuencia de la ley de Gauss para el
magnetismo, que plantea que el flujo magnético total a través de cualquierr superficie
cerrada siempre es igual a cero:
C
S S
d = 0 (flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada)
B ~ dA (28.10)
Cualquier línea de campo magnético que entra a una superficie cerrada debe salir de ella.
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.3 CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLO ALAMBRE
Un conductor largo y recto conduce una corriente de 1.0 A. ¿A qué EJECUTAR: Se despeja r de la ecuación (28.9):
14p * 10-7 T # m>A 2 11.0 A 2
distancia del eje del conductor, el campo magnético generado tiene
m0 I
una magnitud B = 0.5 * 10-4 T? (aproximadamente el campo magné- r = =
tico terrestre en Pittsburgh)? 2pB 12p 2 10.5 * 10-4 T 2
= 4 * 10-3 m = 4 mm
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: La longitud de un conductor “largo” es EVALUAR: Como vimos en el ejemplo 26.14, las corrientes de uno o
mucho mayor que la distancia desde el conductor hasta el punto de más amperes son típicas de las que se encuentran en el cableado de
campo. Por ello, podemos utilizar las ideas de esta sección. La geo- los aparatos electrodomésticos. Este ejemplo muestra que los cam-
metría es la misma que en la figura 28.6, por lo que empleamos la pos magnéticos producidos por estos aparatos son muy débiles, in-
ecuación (28.9). Se conocen todas las cantidades de esta ecuación, cluso muy cerca del alambre; los campos son proporcionales a 1>r, de
excepto la incógnita, la distancia r. modo que se vuelven incluso más débiles a mayoresdi stancias.
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.4 CAMPO MAGNÉTICO DE DOS ALAMBRES
S S
La figura 28.7a es la vista de los extremos de dos alambres largos, En el punto P2, a una distancia d entre los dos alambres, B1 y B2
rectos y paralelos, que son perpendiculares al plano xy, cada uno tienen ambos la dirección y positiva, y los dos tienen la misma mag-
de los cuales
S
conduce una corriente I pero en sentidos opuestos. nitud B1 = B2 = m0I>
I 2pd. Por lo tanto,
a) Calcule B en los puntos P1, P2 y P3. b) Deduzca una expresión S S S m0I m0I m0I
S
para B en cualquier punto del eje x a la derecha del alambre 2. Btotal B1 B2 ne ne ne (punto P2)
2pd 2pd pd
S
Por último, en el punto P3 la regla de la mano derecha indica que B1
S
SOLUCIÓN está en la dirección y positiva, y B2 en la dirección y negativa. Este
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Con las ideas de esta sección, es posible punto se encuentra a una distancia 3dd del alambre 1 y a una distan-
S S
obtener los campos magnéticos B1 y B2 debidos a los alambres 1 y 2 cia d del alambre 2, por lo que B1 = m0I> I 2p(3d) = m0I>
I 6pdd y B2 =
en cada punto. Por el principio de superposición, entonces, el campo I 2pd. El campo total en P3 es
m0I>
S S S
magnético en cada punto es B = B1 + B2. Se utiliza la ecuación S S S m0I m0I m0I
(28.9) para obtener las magnitudes B1 y B2 de estos campos y la regla Btotal B1 B2 ne ne - ne (punto P3)
6pd 2pd 3pd
de la mano derecha para determinar lasSdirecciones correspondientes. S
S S S
La figura 28.7a muestra B1, B2 y B = Btotal en cualquier punto; usted Se puede usar la misma técnica para determinar Btotal en cualquier
debería confirmar que sean correctas las direcciones y magnitudes punto; hay que tener cuidado en la suma vectorial de los puntos fuera
S S
relativas mostradas. La figura 28.7b muestra algunas líneas de campo del eje x, ya que B1 y B2 no necesariamente son tan solo paralelos o
magnético debidas a estos dos alambres. antiparalelos.
b) En cualquierSpunto S
sobre el eje x a la derecha del alambre 2 (es
EJECUTAR: a) Como el punto P1 está a una distancia 2d
d del alambre 1 decir, para x 7 d), B1 y B2 están en las mismas direcciones que en P3.
y a una distancia 4dd del alambre 2, B1 = m0I>I 2p(2d) = m0I>
I 4pdd y Este punto está a una distancia x + d del alambre 1 y a una distancia
BS2 = m0I>
I 2p(4d) = m0I>
I 8pd. La regla de la Smano derecha indica que x - d del alambre 2, de modo que el campo total es
B1 está en la dirección y negativa, y que B2 está en la dirección y S S S m0I m0I
positiva, así que Btotal B1 B2 ne ne
2p1 x + d2 d 2p1 x - d2
d
S S S m0I m0I m0I m0Id
I
Btotal B1 B2 - ne ne - ne (punto P1) - ne
4pd 8pd 8pd p1 x 2 - d 22
donde los dos términos se combinaron usando un denominador común.
28.7 a) Dos conductores largos y rectos portan corrientes iguales en
sentidos opuestos. Los conductores se observan desde sus extremos. EVALUAR: Considere el resultado del inciso b) en un punto muy ale-
b) Mapa del campo magnético producido por los dos conductores. jado de los alambres, de modo que x sea mucho mayor que d. En ese
Las líneas de campo están muy próximas unas de otras entre los caso, el término d2 en el denominador resulta despreciable, y la mag-
conductores, donde el campo tiene la intensidad máxima. nitud del campo total es aproximadamente Btotal = m0Id> p 2. Para un
d px
a) y solo alambre, la ecuación (28.9) muestra que el campo magnético dis-
S
Btotal minuye con la distancia en proporción deS1>x > ; en
S
el caso de dos alam-
bres que conducen corrientes opuestas, B1 y B2 se cancelan entre sí
parcialmente, por lo que la magnitud Btotal disminuye con más rapi-
S S dez, en proporción de 1>x> 2. Este efecto se utiliza en sistemas de co-
B1 B2
municación, como redes telefónicas o de computadoras. El cableado
se dispone de manera que un conductor lleva una señal en un sentido
S y el otro conduce la señal de regreso, y ambos se encuentran lado a
B2 S
P1 Alambre 1 Alambre 2 B1 lado, como en la figura 28.7a, o bien, están entrelazados (figura 28.8).
x Como resultado, el campo magnético de estas señales producido afuera
S I P2 I P3
Btotal de los conductores es muy pequeño, y es menos probable que ejerza
S d d
B1 S
Btotal fuerzas indeseables en otras corrientes portadoras de información.
3d
2d S
B2
28.8 Los cables de computadora o de equipos para audio y video
crean poco o ningún campo magnético, lo cual se debe a que dentro
b) de cada cable hay alambres muy cercanos que llevan corriente en
ambos sentidos a lo largo del cable. Los campos magnéticos de estas
corrientes opuestas se cancelan entre sí.
I I
S
28.4 Fuerza entre conductores paralelos 929
EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.3 La figura de la derecha muestra ¿Cuál Interruptor

un circuito que se encuentra sobre una mesa horizontal, sobre el cual se coloca una brújula, orientación?
como se ilustra. Va a conectarse una batería en el circuito, de manera que cuando el interruptor A B La aguja N
se cierra, la aguja de la brújula experimenta una desviación en sentido contrario a las manecillas tiene una
del reloj. ¿En cuál orientación, A o B, debería colocarse la batería en el circuito? ❙ desviación
O E
en sentido
contrario
a las manecillas S
28.4 FUERZA ENTRE CONDUCTORES PARALELOS del reloj.
Ahora que sabemos cómo calcular el campo magnético debido a un conductor largo
portador de corriente, podemos obtener la fuerza magnética que este conductor ejerce
sobre otro. Dicha fuerza desempeña un papel importante en muchas situaciones prác-
ticas, donde los alambres portadores de la corriente se hallan cerca uno del otro. La
figura 28.9 presenta segmentos de dos conductores largos, rectos y paralelos, sepa- 28.9 Los conductores paralelos que
rados por una distancia r y que portan las corrientes I e I′ en el mismo sentido. Cada transportan corriente en el mismo sentido
conductor se encuentra en el campo magnético producido por el otro, de manera que se atraen entre sí. Los diagramas
S
muestran
cómo el campo magnético B generado por
cada uno experimenta una fuerza. El diagrama ilustra algunas de las líneas de campo la corriente Sdel conductor inferior ejerce
generadas por la corriente en el conductor de la parte inferior. S
una fuerza F sobre el conductor superior.
Según la ecuación (28.9), el conductor inferior produce un campo B que, en la posi- El campo magnético del alambre inferior ejerce
ción del conductor de arriba, tiene una magnitud una fuerza de atracción sobre el alambre
m0 I superior. De igual modo, el alambre superior
B = atrae al de abajo.
2pr
Si los conductores transportan corrientes en
De acuerdo con la ecuación (27.19), la fuerza que ejerce este campo sobre una lon- sentidos opuestos, se repelen entre sí.
S S S S
gitud L del conductor superior es F = I′LS × B, donde el vector L está en dirección de
la corriente I′ y tiene magnitud L. Como B es perpendicular a la longitud del conductor I′
S
y, por lo tanto, a L, la magnitud de esta fuerza es L
I ′L
m0 II I′ B
S
F = I′LBL = I
2pr S
r F
F>L es
y la fuerza por unidad de longitud F>
I
Constante magnética Corriente en el primer conductor
Fuerza magnética por unidad
de longitud entre dos conductores F m 0 II′ Corriente en el segundo
= conductor (28.11)
largos, paralelos, portadores L 2pr
de corriente Distancia entre los conductores
S S S
La aplicación de la regla de la mano derecha a F = I′L × B indica que la fuerza sobre B
S
I′
el conductor de arriba está dirigida hacia abajo. S
B L
S
La corriente en el conductor superiorr también origina un campo B en la posición S
F
S
B
I′ S
B
del inferior. Dos aplicaciones sucesivas de la regla de laS mano derecha para productos S
F I
vectoriales (una para encontrar la dirección del campo B debido al conductor superior, r
como en la sección 28.2, y otra para determinar la dirección de la fuerza que ejerce
I
este campo sobre el conductor de abajo, como en la sección 27.6) muestran que la
fuerza sobre el conductor inferior va hacia arriba. Así, dos conductores paralelos que S
S
B B
transportan corriente en el mismo sentido se atraen mutuamente. Si se invierte el sen- S
B
tido de cualquiera de las corrientes, las fuerzas también se invierten. Dos conductores B
S
paralelos que transportan corriente en sentidos opuestos se repelen entre sí.í
Fuerzas magnéticas y la definición de ampere

La atracción o repulsión entre dos conductores rectos, paralelos y portadores de co-
rriente es la base de la definición oficial del ampere en el SI:
Un ampere es la corriente constante que, si está presente en dos conductores paralelos

de longitud infinita y separados por una distancia de un metro de espacio vacío, pro-
voca que cada conductor experimente una fuerza de exactamente 2 × 10−7 newtons
por metro de longitud.
De acuerdo con la ecuación (28.11), se observa que esta definición de ampere es lo

que nos condujo a elegir el valor de 4p * 10-7 T # m>A para m0. La definición del cou-
lomb en el SI es la cantidad de carga transferida en un segundo por una corriente de
un ampere.
Ésta es una definición operativa, ya que nos da un procedimiento experimental real
para medir la corriente y definir la unidad de corriente. Para una estandarización de
mucha precisión del ampere, se utilizan bobinas de alambre en vez de alambres rectos y
su separación es de unos cuantos centímetros. Incluso son posibles mediciones aún más
precisas del ampere estándar utilizando una versión del efecto Hall (vea la sección 27.9).
Existen fuerzas de atracción no sólo entre alambres que conducen corrientes en
el mismo sentido, sino también entre elementos longitudinales de un solo conductor
que transporta corriente. Si el conductor es un líquido o un gas ionizado (un plasma),
estas fuerzas dan como resultado una contracción del conductor conocida como efecto
pellizco que, en un plasma, se ha usado en una técnica para lograr la fusión nuclear.
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.5 FUERZAS ENTRE ALAMBRES PARALELOS
Dos alambres superconductores rectos y paralelos, separados por una EJECUTAR: Como las corrientes van en sentidos opuestos, los dos
distancia de 4.5 mm, conducen corrientes iguales de 15,000 A en sen- conductores se repelen. De acuerdo con la ecuación (28.11), la fuerza
tidos opuestos. ¿Qué fuerza, por unidad de longitud, ejercen entre sí asociada a cada unidad de longitud es
1 4p * 10-7 T # m>A2 1 15,000 A2 2
estos alambres?
F I′
m0II
= =
SOLUCIÓN L 2pr 1 2p2 1 4.5 * 10-3 m2
IDENTIFICAR y PLANTEAR: La figura 28.10 muestra la situación. Se = 1.0 * 104 N>m
F>L, la fuerza magnética por unidad de longitud del alambre,
calcula F>
con la ecuación (28.11). EVALUAR: Ésta es una fuerza grande, más de una tonelada por metro.
Las corrientes y las separaciones de esta magnitud se utilizan en elec-
28.10 Diagrama para este problema. troimanes superconductores de los aceleradores de partículas, y en el
análisis de esfuerzos mecánicos, que es una parte crucial del proceso
de diseño.
I
EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.4 Un solenoide es un alambre
enrollado como bobina helicoidal. La figura de la izquierda muestra un solenoide que conduce
una corriente I. a) ¿La fuerza magnética que una espira de la bobina ejerce sobre otra adya-
cente, es i. de atracción, ii. de repulsión o iii. igual a cero? b) ¿La fuerza eléctrica que una
espira de la bobina ejerce sobre otra adyacente es i. de atracción, ii. de repulsión o iii. igual
28.11 El electroimán que se muestra a cero? c) ¿La fuerza magnética entre lados opuestos de la misma espira de la bobina es i. de
contiene una bobina conductora atracción, ii. de repulsión o iii. igual a cero? d) ¿La fuerza eléctrica entre lados opuestos de la
de corriente con numerosas espiras de misma espira de la bobina es i. de atracción, ii. de repulsión o iii. igual a cero? ❙
alambre. El campo magnético resultante
es capaz de atraer grandes cantidades de
barras de acero y otros objetos de hierro. 28.5 CAMPO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA
CIRCULAR DE CORRIENTE
Si se observa el interior de un timbre doméstico, un transformador, un motor eléctrico
o un electroimán (figura 28.11), se encontrarán bobinas de alambre con gran número
de vueltas espaciadas tan estrechamente, que cada vuelta está muy cerca de formar una
espira plana circular. En estas bobinas se utiliza una corriente para generar un campo
magnético. En la sección 27.7 se consideró la fuerza y la torca sobre una espira de
corriente de este tipo colocada en un campo magnético externo generado por otras co-
rrientes; ahora vamos a determinar el campo magnético generado por esta espira o por
un conjunto de espiras colocadas estrechamente para formar una bobina.
La figura 28.12 muestra un conductor circular de radio a. Una corriente I se hace
circular por la espira a través de dos alambres largos y rectos colocados lado a lado; las
corrientes en estos alambres rectos van en sentidos opuestos y sus campos magnéticos
casi se cancelan entre sí (vea el ejemplo 28.4 en la sección 28.3).
28.5 Campo magnético de una espira circular de corriente 931
Para encontrar el campo magnético en el punto P sobre el eje de la espira, a una dis- 28.12 Campo magnético en el eje de una
tancia x del centro, se usa la ley de Biot y Savart, ecuaciones (28.5) o (28.6). Como se espira circular.
S
La corriente en
S
el seg-
S S mento d l genera el campo dB d , que está
observa en la figura,Sd l y rB son perpendiculares, y la dirección del campo dBd generado
enS el plano xy.
yS Las corrientes de los otros
por este elemento d l en particular se encuentra S
en el plano xy. Como r2 = x2 + a2, la d l generan dB
d con distintas componentes
magnitud dB del campo debido al elemento d l es perpendiculares al eje x; la suma de estas
m0 I dl componentes es cero.S
Las componentes x
dB = (28.12) de los elementos d se combinan para dar
dB
4p 1 x + a22
2 S
el campo total B en el punto P.
S
Las componentes del vector dB d son y
m0 I dl a
dBBx = dB cos u = (28.13)
4p 1 x 2 + a22 1 x 2 + a22 1>2 S
d
dl
m0 I dl x nr
By = dB sen u =
dB (28.14)
4p 1 x 2 + a22 1 x 2 + a22 1>2 a u S dBy
S
r
El campo total B en P tiene sólo una componente x (es perpendicular al plano de I d
S
dB
S O
la espira). He aquí la razón: para cada elemento d l hay otro elemento correspondiente z x
I u
en el lado contrario de la espira, con dirección opuesta. Los dos elementos hacen con- P
dBx x
S I
tribuciones iguales a la componente x de dB d , dada por la ecuación (28.13), pero dan
componentes opuestas perpendiculares al eje x. Así, todas las componentes perpen-
diculares se cancelan y tan solo sobreviven las componentes
S
x.
Para determinar la componente Sx del campo total B se integra la ecuación (28.13),
incluyendo todos los elementos d l alrededor de la espira. Todos los elementos de
esta expresión, excepto dl, son constantes, por lo que se pueden sacar de la integral
para obtener 28.13 Regla de la mano derecha para
L 4p1 x + a22 3>2 L

m0 I a dl m0 Ia determinar la dirección del campo
Bx = = dl
4p 2
1x + a 22 3>2 2 magnético producido sobre el eje de una
La integral de dll es justamente la circunferencia del círculo, 1dl = 2pa y, finalmente,

bobina que conduce corriente.
S
Regla de la mano derecha B

Constante magnética Corriente para el campo magnético
Campo magnético
sobre el eje de una
m0 Ia2 generado por la corriente
Bx = Radio de la espira 28.15) en una espira:
espira circular que 21x + a223>2
2
transporta corriente I I I I
Distancia a lo largo del eje x del
centro de la espira al punto de campo
Cuando los dedos de la mano
La dirección del campo magnético está dada por la regla de la mano derecha. Si se derecha se enroscan en la
cierran los dedos de la mano derecha alrededor de la espira en la dirección de la co- dirección de I, el pulgar derecho
S
S apunta en la dirección de B.
rriente, el pulgar derecho apunta en la dirección del campo (figura 28.13). B
Campo magnético sobre el eje de una bobina

Suponga ahora que en lugar de una sola espira en la figura 28.12, se tiene una bobina
que consiste en N espiras, todas con el mismo radio. La separación entre las espiras
es tan pequeña que el plano de cada una está prácticamente a la misma distancia x del
punto de campo P. Entonces, el campo total es N veces el campo producido por una 28.14 Gráfica del campo magnético
sola espira: a lo largo del eje de una bobina circular
con N vueltas. Cuando x es mucho mayor
m0 NIa2 que a, la magnitud del campo disminuye
Bx = (sobree le je de N espiras circulares) (28.16)
aproximadamente en 1>x > 3.
21 x 2 + a22 3>2
Bx
El factor N en la ecuación (28.16) es la razón por la que se utilizan bobinas de alam-
m0 NI
bre, y no espiras aisladas, para generar campos magnéticos intensos; para obtener una Bmáx =
2a
intensidad de campo deseada, el uso de una sola espira requeriría una corriente I tan
grande que superaría la capacidad nominal del alambre de la espira.
1
La figura 28.14 muestra una gráfica de Bx en función de x. El valor máximo del 2 Bmáx
campo está en x = 0, el centro de la espira o bobina:
Constante magnética Número de espiras
Campo magnético en el
centro de N espiras circulares m0 NI Corriente
que transportan corriente Bx = (28.17)
2a Radio de la espira
-3a -2a -a O a 2a 3a
x
BIO Aplicación Campos magnéticos En la sección 27.7 se definió que el momento dipolar magnético m (o momento
de una imagen por resonancia magnético) de una espira portadora de corriente es igual a IA, donde A es el área de la
magnética (IRM) La obtención de sección transversal de la espira. Si hay N espiras, el momento magnético total es NIA.
imágenes por resonancia magnética
(vea la sección 27.7) requiere de un campo La espira circular en la figura 28.12 tiene un área A = pa2, por lo que el momento
magnético de aproximadamente 1.5 T. magnético de una sola espira es m = IpI a2; para N espiras, m = NIp
I a2. Al sustituir tales
En una exploración normal con IRM, el resultados en las ecuaciones (28.15) y (28.16),
paciente permanece dentro de una bobina
que produce un campo magnético intenso. m0 m (sobre el eje de cualquier número
Bx = (28.18)
Las corrientes requeridas son muy altas, de 2p1 x + a22 3>2
2 de espiras circulares)
modo que las bobinas están inmersas en un
baño de helio líquido a una temperatura de En la sección 27.7 se describió un dipolo magnético en términos de su respuesta a
4.2 K para evitar el sobrecalentamiento. un campo magnético producido por corrientes fuera del dipolo. Pero un dipolo mag-
nético también es una fuente de campo magnético; la ecuación (28.18) describe el
campo magnético producido por un dipolo magnético para puntos a lo largo del eje
del dipolo. Este campo es directamente proporcional al momento dipolar magnético m.
Observe que el campo a lo largo del eje x está en la misma dirección que el momento
S
magnético vectorial M.
CUIDADO Campo magnético de una bobina Las ecuaciones (28.15), (28.16) y (28.18) son
válidas sólo sobre el eje de una espira o de una bobina. ¡No trate de aplicarlas en otros puntos! ❙
28.15 Líneas de campo magnético

producidas por la corriente en una espira La figura 28.15 muestra algunas de las líneas de campo magnético que rodean a
circular.SEn los puntos sobre el eje, el una espira circular de corriente (dipolo magnético) en planos a través del eje. Las di-
campo B tiene la misma dirección que
el momento magnético de la espira. recciones de las líneas de campo están dadas por la misma regla de la mano derecha
que la de un conductor largo y recto. Tome el conductor con su mano derecha, con el
z
pulgar en la dirección de la corriente; los dedos se doblan en la misma dirección que
las líneas de campo. Para la espira circular de corriente, las líneas de campo son curvas
cerradas que circundan el conductor; sin embargo, no son círculos.
I S
B
O
y
x
P
SOLUCIÓN
x
EJEMPLO 28.6 CAMPO MAGNÉTICO DE UNA BOBINA
Una bobina con 100 espiras circulares con radio de 0.60 m conduce b) Considerando la ecuación (28.16), queremos encontrar un
una corriente de 5.0 A. a) Calcule el campo magnético en un punto valor de x tal que
a lo largo del eje de la bobina, a 0.80 m del centro. b) Sobre el eje, 1 1
= 18
¿a qué distancia desde el centro de la bobina, la magnitud del campo 2 2 3>2
1x + a 2 10 + a2 2 3>2
2
es 18 de la que tiene en el centro?
Para despejar x, se toma el recíproco de todo y, luego, se elevan
ambos lados a la potencia 2>3; el resultado es
SOLUCIÓN
x = ± 23
2 a = ±1.04 m
IDENTIFICAR y PLANTEAR: El problema se relaciona con la magni-
tud B del campo magnético a lo largo del eje de una bobina que con- EVALUAR: La respuesta del inciso a) se comprueba obteniendo el
duce corriente, por lo que podemos utilizar la ecuación (28.16). Se momento magnético de la bobina y sustituyendo el resultado en la
sabe que N = 100, I = 5.0 A y a = 0.60 m. En el inciso a) la incógnita ecuación (28.18):
NIpa2 = 1100 2 15.0 A 2p 10.60 m 2 2 = 5.7 * 102 A # m2
es Bx en un valor dado de la coordenada x. En el inciso b) la incóg-
nita es el valor de x en el que el campo tiene 18 de la magnitud que m = NI
hay en el origen. 14p * 10-7 T # m>A 2 15.7 * 102 A # m2 2
Bx = = 1.1 * 10-4 T
EJECUTAR: a) Usando x = 0.80 m en la ecuación (28.16), se tiene 2p 3 10.80 m 2 2 + 10.60 m 2 2 4 3>2
14p * 10-7 T # m>A 2 1100 2 15.0 A 2 10.60 m 2 2 El momento magnético m es relativamente grande; sin embargo, ge-
Bx =
2 3 10.80 m 2 2 + 10.60 m 2 2 4 3>2 nera un campo más bien pequeño, comparable con el campo magné-
tico terrestre. Este ejemplo muestra lo difícil que es producir campos
= 1.1 * 10-4 T intensos de 1 T o más.
28.6 Ley de Ampère 933
EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.5 La figura 28.12 muestra el

S S
campo magnético dB d producido en un punto P por un segmento d l que está sobre el eje y
positivo (en la parte superior de la espira). Este campo tiene componentes dBx 7 0, dBy 7 0,
S
dBz = 0. a) ¿Cuáles son los signos de las componentes del campo dB d producido en P por un
S
segmento d l sobre el eje y negativo (en la parte inferior de la espira)? i. dBx 7 0, dBy 7 0,
dBz = 0; ii. dBx 7 0, dBy 6 0, dBz = 0; iii. dBx 6 0, dBy 7 0, dBz = 0. iv. dBx 6 0, dBy 6 0,
dBSz = 0; v. ninguno de los anteriores. b)
S
¿Cuáles son los signos de las componentes del campo
d producido en P por un segmento d l en el eje z negativo (en el lado derecho de la espira)?
dB
i. dBx 7 0, dBy 7 0, dBz = 0. ii. dBx 7 0, dBy 6 0, dBz = 0; iii. dBx 6 0, dBy 7 0, dBz = 0;
iv. dBx 6 0, dBy 6 0, dBz = 0; v. ninguno de los anteriores. ❙
28.6 LEY DE AMPÈRE

Hasta este momento, el cálculo del campo magnético S
debido a una corriente ha con-
sistido en la obtención del campoS
infinitesimal d
dB debido a un elemento de corriente
para, luego, sumar todos los dBd y determinar el campo total. Este enfoque es directa-
mente análogo a los cálculos para el campo eléctrico que efectuamos en el capítulo 21.
Para el problema del campo eléctrico, se vio que en situaciones en las que había una
distribución de carga con unS alto grado de simetría, a menudo era más fácil usar la ley
de Gauss para determinar E. Asimismo, existe una ley que nos permite obtener con
más facilidad los campos magnéticos generados por distribuciones de corriente con un
alto grado de simetría. Pero la ley que permite hacer esto, llamada ley de Ampère, es de
naturaleza diferente de la ley de Gauss. S
La ley de Gauss para campos eléctricos (capítulo 22) implica el flujo de E a través de
una superficie cerrada; establece que este flujo es igual al total de la carga encerrada
dentro de la superficie, dividido entre la constante P0. Así, esta ley relaciona los campos
eléctricos con las distribuciones de carga. En contraste, la ley de Gauss para cam-
pos magnéticos, la ecuación (28.10), no es una relación entre campos magnéticos y
S
distribuciones de corriente; plantea que el flujo de B a través de cualquierr superficie
cerrada siempre es igual a cero, hayaS o no una corriente dentro de la superficie. Por
lo tanto, la ley de Gauss referente a B no se puede utilizar para determinar el campo
magnético generado por una distribución de corriente específica.
La ley de Ampère no está formulada en términos del flujo magnético, sino en tér-
S
minos de la integral de línea de B alrededor de una trayectoria cerrada, que se expresa
como
C
S S
B ~ dl
En el capítulo 6 se emplearon integrales de línea para definir el trabajo, y en el capítu-

lo 23 para calcular el potencial eléctrico.
S
Para evaluar esta integral, se divide la trayecto-
ria en segmentos infinitesimales d l , para cada uno de los cuales se calcula el producto
escalar B # d l , y se suman los
S S S
S
resultados. En general, B S
varía de un punto a otro y se
ABŒ dl, donde BŒ es la componente de B paralela a d l en cada punto. El círculo sobre el

debe emplear el valor de B en la ubicación S
de cada
S
d l . Una notación alternativa es
signo de la integral indica que ésta se calcula siempre para una trayectoria cerrada, es
decir, una trayectoria cuyo punto inicial es igual al punto final.
Ley de Ampère en un conductor largo y recto

Para introducir la idea básica de la ley de Ampère, consideremos otra vez el campo
magnético generado por un conductor largo y recto que transporta una corriente I.
En la sección 28.3 se vio que el campo a una distancia r del conductor tiene una mag-
nitud de
m0 I
B =
2pr
28.16 Tres trayectorias

S
para integrar Las líneas de campo magnético
S
son círculos con centro en el conductor. Tomemos
la integral de línea de B en la vecindad la integral de línea de B alrededor de uno de estos círculos con radio r, como se ob-
de un conductor largo y recto que trans- S S
serva enSla figura 28.16a. En cada punto del círculo, B y d l son paralelos, por lo
que B # d l = B dl; como r es constante alrededor del círculo, B también es constante.
porta una corriente I, hacia afuera del S
plano de la página (como lo indica el
círculo con un punto). El conductor Alternativamente, podemos decir que BŒ es constante e igual a B en cada punto del
se ve desde un extremo. círculo. Por lo tanto, podemos sacar a B de la integral. La integral restante es exacta-
a) La trayectoria de integración es un círculo mente la circunferencia del círculo, por lo que
C C C
centrado en el conductor; la integración S S m0 I
recorre el círculo en sentido contrario a las B ~ dl = BŒ dl = B dl = 1 2pr2
r = m0 I
manecillas del reloj. 2pr
S
Resultado: ∮B ~ dl = m0I
S
Así, la integral de línea es independiente del radio del círculo e igual a m0 multiplicada
S
por la corriente que pasa a través del área limitada por el círculo.
B En la figura 28.16b, la situación es la misma, pero ahora Sla trayectoria
yS de integra-
ción va alrededor del círculo en sentido opuesto. Entonces, B y d l son antiparalelos,
por lo que B # d l = -
S S S
S d
dl S -B dll y la integral de línea es igual a -m0I. Se obtiene el mismo
d
dl B
se invierte el sentido de la corriente. Así, A B # d l es igual a m0 multiplicada por la co-
S
B r resultado si la trayectoria de integración es laS
misma
S
que la de la figura 28.16a, pero
I S
S
ddl d
dl
rriente que pasa a través del área limitada por la trayectoria de integración, con signo
positivo o negativo dependiendo de la dirección de la corriente con respecto a la direc-
S
B ción de integración.
b) Misma trayectoria de integración que en
Hay una regla sencilla para determinar el signo de la corriente; seguramente no le
el inciso a), pero la integración recorre el sorprenderá saber que hay que utilizar la mano derecha. Doble los dedos de su mano
decir, la dirección que usa para evaluar A B # d l ). Entonces, su pulgar derecho indica
círculo en sentido de las manecillas del reloj. derecha alrededor de la trayectoria de integración S
en la dirección de esta última (es
S
S S
Resultado: ∮B ~ dl = -m0I
la dirección de la corriente positiva. Las corrientes que pasan a través de la trayectoria
B
S de integración en esta dirección son positivas; aquellas en dirección opuesta son ne-
d
dl
S
S
gativas. Con esta regla, usted podrá confirmar que la corriente es positiva en la figura
d
dl 28.16a, y negativa en la 28.16b. Otra manera de decir lo mismo es la siguiente: mi-
S
S
B rando hacia la superficie limitada por la trayectoria de integración, integre alrededor
B r
de ésta en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se ilustra en la figura
I
S
28.16a. Las corrientes que se mueven hacia usted a través de la superficie son positi-
d
dl S
vas, y las que se alejan son negativas.
d
dl En la figura 28.16c se usa una trayectoria de integración que no encierra al con-
S
B S S
ductor. A lo largo del arco circular ab de radio r1, B yS d l son S
paralelos, y BŒ = B1 =
I 2pr1; a lo largo del arco circular cd
m0 I> d de radio r2,SB y d l son antiparalelos y BŒ =
S
c ) Trayectoria de integración que no encierra - 2 = -m0 I>
-B I 2prr2. El campo B es perpendicular a d l en cada punto de las secciones
al conductor rectas bc y da, por lo que BŒ = 0, y estas secciones no contribuyen a la integral de línea.
S S
Resultado: ∮B ~ dl = 0 La integral de línea completa es
b c d a
C C La Lb Lc Ld
S S
b S B ~ dl = BŒ dl = B1 dl + 1 02 dl + 1 -B22 dl + 1 02 dl
B
S
S
B u
B S
S
d
dl ddl m0 I m0 I
c
d
dl
S
= 1 r1 u2 + 0 - 1 r u2 + 0 = 0
S 2prr1 2prr2 2
r2 B
S
r1 d S
a La magnitud de B es mayor en el arco cd d que en el ab, pero la longitud del arco es
I d
dl menor, por lo que las contribuciones de los dos arcos se cancelan exactamente. Aun
la integral de línea A B # d l es igual a cero, si no hay corriente que pase a través del área
cuando hay un campo magnético
S
g en toda la extensión de la trayectoria de integración,
S
limitada por la trayectoria.

Estos resultados también se pueden obtener para trayectorias de integración Smás
generales, como S
la de la figura 28.17a. En la posición del elemento de línea d l , el
S
ángulo entre d l y B es f, y S S
B ~ dl = B dl cos f
S
A partir de la figura, dll cos f = r du, donde Sdu es el ángulo que subtiende d l en la po-
sición del conductor, y r es la distancia de d l desde el conductor. Así,
C C 2pr 2p C
S S m0 I m0 I
B ~ dl = 1 r du2 = du
28.6 Ley de Ampère 935
a) b) 28.17 a) Una trayectoria

S
de integración más general para
la integral de línea de B alrededor de un conductor largo
y recto que transporta una corriente I, hacia afuera del
S S plano de la página. El conductor se ve desde su extremo.
B B
f d
S
dl d
S
dl b) Trayectoria más general de integración que no encierra
al conductor.
r du r du
du du
r
I I
Pero A du es exactamente
S
igual a 2π, el ángulo total barrido por la línea radial desde
el conductor a d l durante un recorrido completo alrededor de la trayectoria. De esta
forma, se obtiene
C
S S
B ~ dl = m0 I (28.19)
que no depende de la forma de la trayectoria ni de la posición del conductor dentro

de ella. Si la corriente en el alambre es opuesta a la que se ilustra, la integral tiene el
signo contrario. Pero si la trayectoria no encierra el alambre (figura 28.17b), entonces
es igual a cero; A du es cero en vez de 2p y la integral de línea es cero.

el cambio neto de u durante el recorrido alrededor de la trayectoria de integración
Ley de Ampère: Enunciado general 28.18 Ley de Ampère.

Podemos generalizar aún más la ley de Ampère. Suponga que varios conductores lar- Vista en perspectiva
gos y rectos pasan a travésSde la superficie limitada por la trayectoria de integración.
El campo magnético total B en cualquier punto de la trayectoria es la suma vectorial I2
de los campos generados por los conductores individuales. Así, la integral de línea de I3
S I1
B total es igual a m0 multiplicada por la suma algebraica de las corrientes. Al calcular
esta suma, se utiliza la regla de los signos para corrientes que describimos antes. Si la
trayectoria
S
de integración no encierra un alambre específico, la integral de línea del S
campo B de ese alambre es igual a cero, ya que el barrido del ángulo total u es cero en d
dl
vez de 2π durante la integración. Cualquier conductorS
que no esté encerrado por una Doble los dedos de la
trayectoria particular puede contribuir al valor de B en todos los puntos, pero las inte- mano derecha alrededor
Curva cerrada S de la trayectoria de
grales de línea de sus campos alrededor de la trayectoria tienen un valor cero. B
integración: el pulgar
arbitraria alrededor
Así, en la ecuación (28.19) se puede reemplazar I por Ienc, la suma algebraica de de los conductores apunta en la dirección
las corrientes encerradas o limitadas por la trayectoria de integración, con la suma de la corriente positiva.
evaluada con base en la regla de los signos que se acaba de describir (figura 28.18). Vista superior
Entonces, el enunciado de la ley de Ampère es
Plano de
Integral de línea alrededor de una trayectoria cerrada I2 la curva
Constante magnética
CProducto escalar del campo magnético

S S Corriente neta encerrada
Ley de Ampère: B ~ dl
d = m0 Ienc por la trayectoria (28.20) Ienc = I1 - I2 + I3
I1
por el segmento vectorial de la trayectoria I3
Aunque hemos obtenido la ley de Ampère sólo para el caso especial del campo de va- S
d
dl
rios conductores largos, rectos y paralelos, la ecuación (28.20) de hecho es válida para
conductores y trayectorias de cualquierr forma. En principio, la deducción general no
Si A B # d l = 0, esto no necesariamente significa que B = 0 a todo lo largo de la

es diferente de lo que se ha expuesto, pero la geometría es Smás complicada. S
S S B
Ley de Ampère: Si se calcula la integral de línea
trayectoria, sino que la corriente total a través de un área limitada por la trayectoria del campo magnético alrededor de una curva
es igual a cero. En las figuras 28.16c y 28.l7b, las trayectorias de integración no encerrada, el resultado es igual a m0 Smultiplicada
por la corriente encerrada total: ∮B # dl = m0 Ienc.
S
cierran ninguna corriente; en la figura 28.19 hay corrientes positivas y negativas de
28.19 Dos conductores largos y rectos igual magnitud a través del área encerrada por la trayectoria. En ambos casos, Ienc = 0,
que transportan corrientes iguales en y la integral de línea es cero.
sentidos opuestos. Los conductores se ven
desde sus extremos, y la trayectoria de CUIDADO Integrales de línea de campos eléctricos y magnéticos En el capítulo 23 vimos que
S
integración va en sentido contrario a las la integral de línea del campo electrostático E alrededor de Scualquier trayectoria cerrada es igual
A B d l recibe una contribución nula de

S
manecillas del reloj. La integral de línea a cero; éste es el enunciado de que la fuerza electrostática F = qEq sobre una carga puntual q es
S
# S
una trayectoria cerrada que vuelve al punto de partida. El valor de la integral de línea A B # d l no
conservativa, por lo que esta fuerza no realiza trabajo sobre una carga en movimiento alrededor de
los segmentos superior e inferior, una S S
contribución positiva del segmento de la

se relaciona de manera similar con la cuestión de si la fuerza magnética es conservativa. Recuerde
izquierda y otra negativa del segmento de S S S
perpendicular a B, por lo que A B # d l no se relaciona con el trabajo realizado por la fuerza mag-
la derecha; la integral neta es igual a cero. que la fuerza magnética F = qv ×S B sobre una partícula con carga en movimiento siempre es
S S
S S
B B nética; como se establece en la ley de Ampère, esta integral sólo se relaciona con la corriente total
d
dl
S
d
dl
S
d
dl
S S que cruza una superficie limitada por la trayectoria de integración. De hecho, la fuerza magnética
d
dl
S S d
S
dl
sobre una partícula con carga en movimiento no es conservativa. Una fuerza conservativa depende
B
S S
B únicamente de la posición del cuerpo sobre el cual se ejerce la fuerza, pero la fuerza magnética
S
B +
+I B B -
-I
S
B sobre una partícula con carga en movimiento también depende de la velocidad d de la partícula. ❙
S
d
dl d
S
dl d
dl
S
S S S
La ecuación (28.20) es válida tan sólo si las corrientes son constantes y si no están pre-
S
B d
dl d
dl B sentes materiales magnéticos o campos eléctricos que varíen con el tiempo. En el capítulo
29 veremos cómo generalizar la ley de Ampère para campos variables con el tiempo.
EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.6 La figura de la izquierda
muestra líneas de campo magnético a través del centro de un imán permanente. El imán no está
conectado a una fuente de fem. Una de las líneas de campo está en color rojo. ¿Qué concluye
usted acerca de las corrientes dentro del imán permanente en el interior de la región encerrada
S N por esta línea de campo? i. No hay corrientes en el interior del imán; ii. hay corrientes dirigidas
hacia afuera del plano de la página; iii. hay corrientes dirigidas hacia el plano de la página;
iv. no se ofrece información suficiente para concluir. ❙
S
28.7 APLICACIONES DE LA LEY DE AMPÈRE

La ley de Ampère es útil cuando S
se puede aprovechar la simetría de una situación para
evaluar la integral de línea de B. A continuación se dan varios ejemplos. La estrategia
para resolver problemas 28.2 es directamente análoga a la estrategia para resolver proble-
mas 22.1 (sección 22.4) para aplicaciones de la ley de Gauss; se sugiere que repase esa
estrategia ahora y compare ambos métodos.
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 28.2 LEY DE AMPÈRE
IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Al igual que la ley de Gauss, integral de línea es igual alSpproducto de B por la longitud de esa por-
En la forma AB # d l = m0Ienc, se puede obtener

la ley de Ampère es más útil cuandoS elScampo magnético tiene un ción de la trayectoria.
S
Si B es perpendicular a alguna porción de la
alto grado de simetría.
S
trayectoria, o si B = 0, esa parte no hace ninguna contribución a la
2. En la integral AB # d l , B es el campo magnético total en cada

la magnitud de B en función de la posición si se conocen la magnitud integral. S S S
y la dirección de la corriente eléctrica que genera el campo.
PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos: punto de la trayectoria; el campo puede ser generado por corrien-
1. Identifique la(s) incógnita(s).
g Generalmente, una de ellas será la tes encerradas o no encerradas por la trayectoria. Si no hay co-
S
magnitud del campo B en función de la posición. rrientes netas contenidas dentro de la trayectoria, el campo en los
la integral AB # d l siempre es igual a cero.

2. Seleccione la trayectoria de integración que se usará con la ley de puntos sobreSla trayectoria
S
no necesariamente es igual a cero, pero
Ampère. Si lo que quiere es determinar el campo magnético en
cierto punto, entonces la trayectoria debe pasar por ese punto. La 3. Determine la corriente Ienc encerrada por la trayectoria de integra-
trayectoria de integración no necesita ser ninguna frontera física ción. El signo de esta corriente está dado por la regla de la mano
real. Por lo general, es una curva puramente geométrica; puede derecha: si se doblan los dedos de la mano derecha de manera que
estar en el espacio vacío, incrustada en un cuerpo sólido o tener sigan la trayectoria en la dirección de integración, entonces,
S
el pul-
algo de ambas cuestiones. La trayectoria de integración debe ser gar apunta en la dirección de la corriente positiva. Si B es tangente
lo suficientemente simétrica para hacer posible la evaluación de aSla trayectoria en todos los puntos e Ienc es positiva, la dirección de
S
la integral. De manera ideal, la trayectoria será tangente a B en las B es la misma que S
la dirección de la integración; si por el contrario,
4. Use la ley de Ampère, AB # d l = m0I para obtener la incógnita.

regiones de interés; en cualquier lugar, la trayectoria debería ser Ienc es negativa, B está enSla dirección
S
opuesta a la de integración.
S S
perpendicular a B o recorrer regiones en las cuales B = 0.
EVALUAR la respuesta: Si el resultado es una expresión para la mag-
la integral AB # d l a lo largo de la trayectoria selecciona-
EJECUTAR la solución como sigue:
S S
1. Resuelva nitud del campo en función de la posición, se comprueba examinando
S
da. Si B es tangente a toda la trayectoria de integración o a una parte la forma como se comporta la expresión en diferentes límites.
de ella y tiene la misma magnitud B en todos los puntos, entonces su
28.7 Aplicaciones de la ley de ampère 937
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.7 CAMPO DE UN CONDUCTOR LARGO, RECTO Y PORTADOR DE CORRIENTE
En la sección 28.6 se obtuvo la ley de Ampère empleando la ecua-

C C
S S
S
ción (28.9) para el campo B de un conductor largo, recto que trans- B ~ dl = BŒ dl = B1 2pr2
r = m0I
porta corriente.
S
Revierta este proceso y utilice la ley de Ampère para
encontrar B en esta situación. y de inmediato sigue la ecuación (28.9), B = m0I> I 2pr.
S
La ley de Ampère determina la dirección de B y su magnitud.
SOLUCIÓN Como vamos alrededor de la trayectoria de integración en sentido
contrario a las manecillas del reloj, la dirección positiva de la co-
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En este caso la simetría es cilíndrica,
rriente es hacia afuera del plano de la figura 28.16a, que es la misma
por lo que al usar la ley de Ampère tomaremos como trayectoria de
tiva y la integral AB # d l también es positiva. Como los elementos d Sl
que la dirección real de la corriente en la figura, por lo que I es posi-
integración un círculo con radio r centrado en el conductor y ubicado S S S
en un plano perpendicular a éste, como en la figura 28.16a. En todos

S van en sentido contrario a las manecillas del reloj, la dirección de B
lados, B es tangente a este círculo y tiene la misma magnitud B en
debe ser también en sentido contrario a las manecillas del reloj, como
todos los puntos del círculo.
se ilustra en la figura 28.16a.
EJECUTAR: De acuerdo con la elección de la trayectoria de integra-
EVALUAR: Los resultados son congruentes con los de la sección 28.6.
ción, la ley de Ampère [ecuación (28.20)] se convierte en
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.8 CAMPO EN UN CONDUCTOR CILÍNDRICO LARGO
Un conductor cilíndrico con radio R transporta una corriente I (fi- por lo que Ienc = J(prr2) = Irr2>R
> 2. De modo que la ley de Ampère
gura 28.20). La corriente está distribuida de manera uniforme sobre da B(2pr) = m0Irr2>R
> 2, o bien,
el área de la sección transversal del conductor. Determine el campo m0 I r (dentro del conductor,
magnético, como función de la distancia r desde el eje del conduc- B = (28.21)
2p R2 r 6 R)
tor, para puntos situados tanto dentro (r 6 R) como fuera (r 7 R) del
conductor. La trayectoria de integración circular afuera del conductor encie-
rra la corriente total en el conductor, de modo que Ienc = I. La apli-
cación de la ley de Ampère da la misma ecuación que en el ejemplo
SOLUCIÓN
28.7, con el mismo resultado para B:
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Al igual que en el ejemplo 28.7, la dis- m0 I (afuera del conductor,
tribución de corriente tiene simetría cilíndrica, y las líneas de campo B = (28.22)
2pr r 7 R)
magnético deben ser círculos concéntricos con el eje del conductor.
Para obtener el campo magnético dentro y fuera del conductor, se En el exterior del conductor, el campo magnético es el mismo que el de
eligen trayectorias de integración circulares de radios r 6 R y r 7 R, un conductor largo y recto que transporta una corriente II, independien-
respectivamente (vea la figura 28.20). temente del radio R sobre el que se distribuye la corriente. De hecho,
S el campo magnético afuera de cualquierr distribución de corriente con
EJECUTAR: En cualquier caso, el campo B tiene la misma magnitud simetría cilíndrica es igual que si toda la corriente estuviera concen-
en todos los puntos de la trayectoria circular de integración y es tan- trada a lo largo del eje de la distribución. Lo anterior es similar a los
gente a ésta. Así, la magnitud de la integral de línea es simplemente resultados de los ejemplos 22.5 y 22.9 (sección 22.4), donde se vio que
B(2pr). Para calcular la corriente Ienc encerrada por la trayectoria el campo eléctrico afuera de un cuerpo con carga con simetría esférica
circular de integración dentro del conductor (r 6 R), note que la era igual que si toda la carga se localizara en el centro.
densidad de corriente (corriente por unidad de área) es J = I> I pR2,
EVALUAR: Observe que en la superficie del conductor (r = R), las
28.20 Para obtener el campo magnético para r 6 R, se aplica la ley ecuaciones (28.21) y (28.22) concuerdan, como debe ser. La fi-
de Ampère al círculo que encierra el área de color gris. La corriente gura 28.21 muestra una gráfica de B en función de r.
a través del área gris es (rr2>R
> 2)I. Para obtener el campo magnético
con r 7 R, se aplica la ley de Ampère al círculo que encierra todo
28.21 Magnitud del campo magnético dentro y fuera de un conductor
el conductor.
cilíndrico, largo y recto con radio R, que transporta una corriente I.
S
B B
I m0I
R
S 2pR
B m 0I r
r 7 R B = 2p
R2 m0I
1 m0I B =
2pr
r 6 R 2 2pR
S
I B
S r
B O R 2R 3R 4R
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.9 CAMPO DE UN SOLENOIDE
Un solenoide es un alambre enrollado de manera helicoidal sobre 28.23 Diagrama para este problema.
un cilindro, usualmente con sección transversal circular. Suele tener
miles de vueltas muy apretadas (con frecuencia en varias capas), cada
una de las cuales puede considerarse como una espira circular. Por Trayectoria
sencillez, la figura 28.22 muestra un solenoide con unas cuantas de integración
vueltas, todas las cuales conducen la misma corriente I, y el campo
S
total B en cada punto es la suma vectorial de los campos generados
por las vueltas individuales. La figura ilustra las líneas de campo
en los planos xy y xz. En el centro del solenoide aparecen dibuja-
das líneas de campo espaciadas de manera uniforme. Los cálculos
exactos demuestran que para un solenoide largo y con embobinado (o Parte central del solenoide
devanado) compacto, la mitad de las líneas de campo emergen de los
extremos, y la otra mitad se “fuga” a través de los embobinados entre
el centro y el extremo, como lo sugiere la figura.
Si el solenoide es muy largo comparado con el diámetro de su
sección transversal y las bobinas tienen un embobinado compacto, el
En la longitud L tenemos nL L vueltas, cada una de las cuales
pasa una vez a través de abcdd y conduce una corriente I. Por lo ?
integral AB # d l es positiva, de modo que por la ley de Ampère, Ienc
campo dentro del solenoide cerca del punto medio es casi uniforme tanto, la corriente total encerrada por el rectángulo es Ienc = nLI. La
S S
en la sección transversal y paralelo al eje; el campo externo cerca del
punto medio es muy pequeño. también debe ser positiva; esto significa que la corriente que pasa a
Aplique la ley de Ampère para determinar el campo en el centro través de la superficie limitada por la trayectoria de integración debe
de un solenoide largo de este tipo, o cerca de él, si tiene n espiras de tener la dirección que se muestra en la figura 28.23. Entonces, la ley
alambre por unidad de longitud y conduce una corriente I. de Ampère da BL = m0nLI, o bien,
B = m0 nI (solenoide) (28.23)
SOLUCIÓN
S El lado ab no necesariamente se encuentra sobre el eje del solenoide,
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Suponemos que B es uniforme en el in- por lo que este resultado demuestra que el campo es uniforme en toda
terior del solenoide y cero en el exterior. La figura 28.23 presenta la la sección transversal en el centro de la longitud del solenoide.
situación y la trayectoria de integración elegida, el rectángulo abcd. S
El lado ab, con longitud L, es paralelo al eje del solenoide. Los lados EVALUAR: Observe que la dirección de B dentro del solenoide es la
S
bc y da se consideran muy largos, de manera que el lado cd d está lejos misma del momento magnético vectorial M del solenoide, el mismo
del solenoide; entonces, el campo en el lado cd d es tan pequeño que resultado que encontramos en la sección 28.5 para una sola espira
resulta despreciable. portadora de corriente.
S
Para puntos a lo largo del eje, el campo es más intenso en el cen-
EJECUTAR: A lo largo del lado ab, B es paralelo a la trayectoria y es tro del solenoide y decae cerca de los extremos. Para un solenoide
constante. Al efectuar la integración de la ley de Ampère, vamos a muy largo en comparación con su diámetro, la magnitud del campo
S
lo largo del lado ab en la misma dirección que B, así que, BŒ = +B
+ ,y en cada extremo tiene exactamente la mitad que en el centro. Éste es
b
incluso el caso para un solenoide relativamente corto, como el de la
B # dl = BL
La
S S figura 28.24.
S
A lo largo de los lados bc y da, B es perpendicular a la trayectoria
S
y, por lo tanto, BŒ = 0; a lo largo del lado cd, B = 0 y, por consi-
nemos AB # d l = BL.
guiente, BSŒ =S0. Así, alrededor de la trayectoria cerrada completa, te- 28.24 Magnitud del campo magnético en puntos a lo largo del
eje de un solenoide con longitud 4a, equivalente a cuatro veces su
radio a. La magnitud del campo en cada extremo es alrededor de la
mitad de su valor en el centro (compare con la figura 28.14 para el
28.22 Líneas del campo magnético producido por la corriente en un campo de N espiras circulares).
solenoide. Por claridad, tan sólo se muestran unas cuantas espiras.
4a
I
y 2a
I
x B
m0 nI
I S
B
1
m nI
2 0
x
z -4a -3a -2a -a O a 2a 3a 4a
28.8 Materiales magnéticos 939
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.10 CAMPO DE UN SOLENOIDE TOROIDAL
La figura 28.25a muestra un solenoide toroidal en forma de rosqui- 28.25 a) Solenoide toroidal. Por claridad, sólo se muestran algunas
lla, con embobinado compacto de N espiras de alambre que conduce vueltas del embobinado. b) Trayectorias de integración
S
(círculos
una corriente I (en un solenoide práctico, las espiras estarían más negros) usadas para calcular el campo magnético B generado
apretadas de lo que aparecen en la figura). Obtenga el campo magné- por la corriente (se representa con puntos y cruces).
tico en todos los puntos. a) b) S
B
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Ignorando el paso pequeño de los embo-
r
binados helicoidales, podemos considerar cada vuelta de un solenoide
O
toroidal con embobinado compacto como una espira que se encuentra
Trrayectoria
Tra
Tr ayectoria 1
en un plano perpendicular al eje circular grande del toroide. La sime-
tría de la situación nos dice que las líneas de campo magnético deben I
ser círculos concéntricos con el eje del toroide. Por lo tanto, se eligen I
trayectorias de integración circulares (de las cuales se muestran tres en Trayectoria 2 Trayectoria 3
la figura 28.25b) para usarlas con la ley de Ampère, de modo que el
S
campo B (si lo hay) sea tangente a cada trayectoria en todos sus puntos. El campo magnético está confinado casi por completo
EJECUTAR: A lo largo de cada trayectoria, AB d l es igual al producto

#
S S en el espacio encerrado por los embobinados (en azul).
de B por la circunferencia l = 2prr de la trayectoria. La corriente total

encerrada por la trayectoria 1 es igual a cero, por lo que según la ley encuentran a diferentes distancias r del eje del toroide. Sin embargo,
S
de Ampère, el campo B = 0 en cualquier punto de dicha trayectoria. si el espesor radial del núcleo es pequeño en comparación con r, la
Cada espira del embobinado pasa dos veces a través del área li- variación es ligera. En tal caso, si se considera que 2prr es la longitud
mitada por la trayectoria 3, llevando corrientes iguales en sentidos de la circunferencia del toroide y que N>N 2prr es el número de vueltas
opuestos. Por lo tanto, la corriente neta encerrada dentro de esta área por unidad de longitud n, el campo se puede representar como B =
S
es igual a cero y, también, B = 0 en todos los puntos de la trayec- m0nI, igual que si estuviera en el centro de un solenoide largo y recto.
toria. Se concluye que el campo de un solenoide toroidal ideal está En un solenoide toroidal real, las vueltas no son precisamente es-
confinado al espacio encerrado por los embobinados. Podemos vi- piras circulares, sino segmentos de una hélice doblada. Como resul-
sualizar un solenoide de este tipo como un solenoide recto con embo- tado, el campo en el exterior no vale estrictamente cero. Para estimar
su magnitud, imaginemos que la figura 28.25a equivale aproxima-
Para la trayectoria 2, tenemos AB # d l = 2prB. Cada vuelta del
binado compacto que se dobló para formar un círculo.
S S damente, con respecto a puntos situados afuera del toro, a una sola
embobinado pasa una vez por el área limitada por esta trayectoria, espira circular de radio r. En el centro de cada una de estas espiras, la
de modo que Ienc = NI. Observe que Ienc es positiva para la dirección ecuación (28.17) da B = m0I> I 2r; éste es más pequeño que el campo en
de integración en el sentido de las manecillas del reloj de la figura el interior del solenoide aproximadamente en un factor de N> N p.
S
28.25b, de manera que B está en la dirección indicada. Por consi- Las ecuaciones que hemos obtenido para el campo en un sole-
guiente, según la ley de Ampère, 2prB = m0NI, así que noide recto o toroidal con embobinado compacto únicamente son co-
rrectas en el sentido estricto si los devanados están en un vacío. Sin
m0NI
B = (solenoide toroidal) (28.24) embargo, para la mayoría de los fines prácticos, se pueden aplicar
2pr a embobinados en aire o sobre un núcleo de algún material no mag-
EVALUAR: La ecuación (28.24) indica que B no es uniforme en nético y no superconductor. En la siguiente sección se verá cómo se
todo el interior del núcleo, porque diferentes puntos de su interior se modifican estas ecuaciones si el núcleo es un material magnético.
EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.7 Considere un alambre conduc-

tor que corre a lo largo del eje central de un cilindro conductor hueco. Es un arreglo, llamado
cable coaxial, que tiene muchas aplicaciones en las telecomunicaciones (un ejemplo es el cable
coaxial que conecta un televisor con el proveedor local de señal de cable). En ese cable, una
corriente I corre en un sentido a lo largo del cilindro conductor hueco y se distribuye unifor-
memente en el área de la sección transversal del cilindro. Una corriente igual corre en sentido
opuesto a lo largo del alambre central. ¿Cómo depende la magnitud B del campo magnético
afuera del cable, de la distancia r desde el eje central del cable? i. B es proporcional a 1>r;
ii. B es proporcional a 1>rr2; iii. B es igual a cero en todos los puntos afuera del cable. ❙
28.8 MATERIALES MAGNÉTICOS

Cilindro conductor Aislante Alambre
En el análisis de cómo las corrientes generan campos magnéticos, se ha supuesto que los hueco central
conductores están rodeados por vacío. No obstante, las bobinas de transformadores, mo-
tores, generadores y electroimanes casi siempre tienen núcleos de hierro para incremen-
tar el campo magnético y confinarlo a las regiones deseadas. Los imanes permanentes,
las cintas magnéticas de grabación y los discos de computadora dependen directamente
de las propiedades magnéticas de los materiales; cuando se guarda información en un
disco de computadora, en realidad se establece una configuración de imanes permanen-

tes microscópicos en el disco. Así que conviene examinar algunos aspectos de las pro-
piedades magnéticas de los materiales. Después de describir los orígenes atómicos de las
propiedades magnéticas, estudiaremos las tres grandes clases de comportamiento magné-
tico que ocurren en los materiales: paramagnetismo, diamagnetismo y ferromagnetismo.
El magnetón de Bohr
Como se vio brevemente en la sección 27.7, los átomos que constituyen toda la ma-
teria contienen electrones en movimiento, los cuales forman espiras microscópicas de
corriente que producen campos magnéticos. En muchos materiales, estas corrientes se
encuentran orientadas al azar y no generan un campo magnético neto. Sin embargo, en
algunos materiales, un campo externo (producido por corrientes afuera del material)
ocasiona que estas espiras se orienten en forma preferencial con el campo, de modo
que sus campos magnéticos se suman al campo exterior. Entonces decimos que el ma-
terial se ha magnetizado.
28.26 Un electrón en movimiento con Veamos cómo surgen estas corrientes microscópicas. La figura 28.26 muestra un
rapidez v en una órbita circular
S
de radio r modelo primitivo de un electrón en un átomo. Se representa el electrón (masa, m; car-
tiene un momento angular L y un mo- ga, -e) como si se desplazara en una órbita circular con radio r y velocidad v. Esta
mento dipolar magnético orbital opuesto
S
M. También tiene un momento angular de carga en movimiento es equivalente a una espira de corriente. En la sección 27.7 se vio
espín y un momento dipolar magnético que una espira de corriente con área A y corriente I tiene un momento dipolar magné-
de espín en sentido opuesto. tico m dado por m = IA; para el electrón en órbita, el área de la espira es A = prr2. Para
determinar la corriente asociada con el electrón, vemos que el periodo orbital T (el
L
S
tiempo que tarda el electrón en completar una órbita) es la circunferencia de la órbita
r v. La corriente equivalente I es la carga
dividida entre la rapidez del electrón: T = 2pr>
total que pasa por cualquier punto de la órbita por unidad de tiempo, la cual es justa-
I I
mente la magnitud e de la carga del electrón dividida entre el periodo orbital T:
S
A
r
v e ev
I = =
T 2pr
-e
I Entonces, el momento magnético m = IA es
S
M ev evr
m = 1 pr 22 = (28.25)
2pr 2
Es útil expresar m en términos del momento angular L del electrón. Para una partícula
que se desplaza en una trayectoria circular, la magnitud del momento angular es igual
a la magnitud del momento lineal mv multiplicado por el radio r, es decir, L = mvr
(vea la sección 10.5). Al comparar esto con la ecuación (28.25), se escribe
LOS DATOS HABLAN m =
e
L (28.26)
Campos magnéticos 2m
y su origen La ecuación (28.26) es útil en el análisis porque el momento angular atómico está
Cuando a los estudiantes se les dio un cuantizado; su componente en una dirección específica siempre es múltiplo entero de
problema que implicaba corrientes y las
h>2p, donde h es una constante física fundamental llamada constante de Planck. El
fuerzas magnéticas que generan, más del
valor numérico de h es
h = 6.626 * 10-34 J # s
19% respondieron incorrectamente.
Errores comunes:
● Olvidar que los campos magnéticos se La cantidad h>2p representa una unidad fundamental del momento angular en los sis-
suman de acuerdo con las leyes de la temas atómicos, del mismo modo que e es una unidad fundamental de carga. Asociada
S S
suma vectorial. Cuando dos corrientes,
con la cuantización de L hay una incertidumbre fundamental en la dirección de L y,
o dos elementos de corriente, producenS S
S
un campo B en algún punto, el campo B por lo tanto, de M. En el siguiente análisis, cuando hablemos de la magnitud de un
neto en ese punto es la suma vectorial momento magnético, un enunciado más preciso sería “componente máxima en una
S
de los campos individuales. dirección”. De esta forma, decir que un momento magnético M está alineado con un
S S
● Aplicar incorrectamente la ley de Ampère. campo magnético B S
en realidad significa que M tiene su componente máxima posible
Se puede aplicar la ley de Ampère para en la dirección de B; tales componentes siempre están cuantizadas.
obtener la magnitud de un campo La ecuación (28.26) muestra que, asociada con la unidad fundamental del momento
magnético sólo si existe una trayectoria
S
cerrada sobre la cual B tiene una
angular, hay otra unidad fundamental correspondiente de momento magnético. Si L =
magnitud constante y es tangente h>2p, entonces
a la trayectoria. e h eh
m = a b = (28.27)
2m 2p 4pm
Esa cantidad se llama magnetón de Bohr y se expresa con mB. Su valor numérico es
mB = 9.274 * 10-24 A # m2 = 9.274 * 10-24 J>T
Le recomendamos verificar que estos dos conjuntos de unidades sean congruentes.

El segundo conjunto es útil cuando se calcula la energía potencial U = -M # B para un
S S
momento magnético en un campo magnético.

Los electrones también tienen un momento angular intrínseco, llamado espín, que
no se relaciona con el movimiento orbital, sino que se puede visualizar en un modelo
clásico como si girara sobre su propio eje. Este momento angular también tiene aso-
ciado un momento magnético, y su magnitud resulta ser casi exactamente un magnetón
de Bohr (ciertos efectos que tienen que ver con la cuantización del campo electromag-
nético ocasionan que el espín del momento magnético sea alrededor de 1.001 mB).
Paramagnetismo
En un átomo, la mayoría de los distintos momentos magnéticos orbitales y de espín
de los electrones suman cero. Sin embargo, en ciertos casos el átomo tiene un mo-
mento magnético total mB. Cuando un material así se coloca en un campo magné-
tico, este ejerce unaStorca sobre cada momento magnético, de acuerdo con la ecuación
(27.26): TS
=M S
× B. Estas torcas tienden a alinear los momentos magnéticos con el
campo, como se vio en la sección 27.7. En esta posición, las direcciones de las espiras
de corriente son de tal naturaleza que se suman al campo magnético externamente
aplicado.
S
En la sección 28.5 vimos que el campo B producido por una espira de corriente es
proporcionalS
al momento dipolar magnético de la espira. Del mismo modo, el campo
adicional B, producido por espiras de corriente microscópicas de los electrones, es
S
proporcional al momento magnético total M por unidad de volumen V en el material.
Esta cantidad vectorial recibe el nombre de magnetización del material, y se expresa
S
con M: S
S Mtotal
M (28.28)
V
El campo magnético adicional debido a la magnetización del material resulta ser
S
igual a m0M, donde m0 es la misma constante que aparece en la ley de Biot y Savart y
la ley de Ampère. Cuando un material Sasí rodea por completo un conductor portador
de corriente, el campo magnético total B en el material es
S S S
B B0 m0 M (28.29)
S
donde B0 es el campo generado por la corriente en el conductor.
Para comprobar queS las unidades de la ecuación (28.29) son congruentes, observe
que la magnetización M es momento magnético por unidad de volumen. Las unidades
de momento magnético son las de corriente por área (A # m2), por lo que las unida-
des de magnetización son (A # m2)>m3 = A>m. De acuerdo con la sección 28.1, las
unidades de la Sconstante m0 son T # m>A. Así que las unidades de m0M son las mis-
S
mas que las de B: (T # m>A)(A>m) = T.

Se dice que un material que tenga el comportamiento que se acaba de describir
es paramagnético. El resultado es que el campo magnético en cualquier punto de un
material así es mayor en un factor adimensional Km, llamado permeabilidad relativa
del material, de lo que sería si ese material se reemplazara por un vacío. El valor de Km CUIDADO Dos significados del símbolo M
es diferente para distintos materiales; para sólidos y líquidos paramagnéticos comunes La ecuación (28.30) implica cierta nota-
a temperatura ambiente, es común que Km varíe entre 1.00001 a 1.003. ción realmente peligrosa, porque también
Todas las ecuaciones de este capítulo que relacionan los campos magnéticos con hemos usado m para expresar el momento
sus fuentes se adaptan a la situación donde el conductor que transporta corriente está dipolar magnético, al igual que para per-
dentro de un material paramagnético. Todo lo que se necesita hacer es sustituir m0 por meabilidad como de costumbre. Pero cui-
Kmm0. Este producto por lo general se indica como m y se llama permeabilidad del dado: de aquí en adelante, cada vez que
material: vea m, cerciórese de si representa permea-
bilidad o momento magnético. Por lo ge-
m = Km m0 (28.30) neral, eso se deduce a partir del contexto. ❙
Susceptibilidades La cantidad en que la permeabilidad relativa difiere de la unidad se llama suscepti-

magnéticas bilidad magnética, y se denota con xm:
de materiales xm = Km - 1 (28.31)
paramagnéticos
y diamagnéticos Tanto Km como xm son cantidades adimensionales. En la tabla 28.1 se presentan valo-
TABLA 28.1 a T = 20°C res de susceptibilidad magnética para varios materiales. Por ejemplo, para el aluminio,
xm = 2.2 * 10-5 y Km = 1.000022. Los materiales en el primer grupo de la tabla son
Materiales Xm = Km − 1(×10−5)
paramagnéticos; dentro de poco estudiaremos el segundo grupo, el que contiene los
Paramagnéticos materiales diamagnéticos.
Alumbre de hierro 66 La tendencia que tienen los momentos magnéticos atómicos a alinearse de forma para-
y amonio lela al campo magnético (donde la energía potencial es mínima) se opone al movimiento
Uranio 40 térmico aleatorio, el cual tiende a distribuir sus orientaciones al azar. Por tal razón, la
Platino 26 susceptibilidad paramagnética siempre disminuye con el aumento de temperatura. En mu-
Aluminio 2.2 chos casos es inversamente proporcional a la temperatura absoluta T T, y la magnetización
Sodio 0.72 M puede expresarse como
Oxígeno gaseoso 0.19 B
M = C (28.32)
Diamagnéticos T
Bismuto -16.6 Esta relación se llama ley de Curie, en honor de su descubridor, Pierre Curie
Mercurio -2.9 (1859-1906). La cantidad C es una constante, diferente para los distintos materiales,
Plata -2.6 llamada constante de Curie.
Carbono (diamante) -2.1 Como se describió en la sección 27.7, un cuerpo con dipolos magnéticos atómicos
Plomo -1.8 es atraído hacia los polos de un imán. En la mayoría de las sustancias paramagnéticas, esta
Cloruro de sodio -1.4 atracción es muy débil debido a la redistribución térmica aleatoria de los momentos magné-
Cobre -1.0 ticos atómicos. Pero a temperaturas muy bajas, se reducen los efectos térmicos, aumenta la
magnetización de acuerdo con la ley de Curie y son mayores las fuerzas de atracción.
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.11 DIPOLOS MAGNÉTICOS EN UN MATERIAL PARAMAGNÉTICO
El óxido nítrico (NO) es un compuesto paramagnético. El momento EJECUTAR: Podemos escribir U = -mŒB, donde mŒ es la componen-
S S
magnético de cada molécula de NO tiene una componente máxima te del momento magnético M en la dirección del campo B. En este
en cualquier dirección de alrededor de un magnetón de Bohr. En un caso, el valor máximo de la componente mŒ es aproximadamente mB,
campo magnético de 1.5 T, compare la energía de interacción de por lo que
estos momentos magnéticos con la energía cinética media de trasla- 0 U 0 máx ≈ mBB = 19.27 * 10-24 J>T 2 11.5 T 2
ción de las moléculas a una temperatura de 300 K.
= 1.4 * 10-23 J = 8.7 * 10-5 eV
Lae nergía cinética media de traslación K es
K = 32 kT = 32 11.38 * 10-23 J>K 2 1300 K 2
SOLUCIÓN
= 6.2 * 10-21 J = 0.039 eV
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este problema implica la energía de un
momento magnético en un campo magnético y la energía cinética EVALUAR: A 300 K, la energía de interacción magnética es única-
S # S
térmica media. Tenemos la ecuación (27.27), U = -M B, para la mente de 0.2% aproximadamente de la energía cinética térmica, de
S
energía de interacción de un momento magnético M con un campo modo que sólo se espera un pequeño grado de alineamiento. Por ello,
S
B, y la ecuación (18.16), K = 32 kT,
T para la energía cinética media las susceptibilidades paramagnéticas a temperatura ordinaria son, por
de traslación de una molécula a temperatura T.
T lo general, muy pequeñas.
Diamagnetismo
En ciertos materiales, el momento magnético total de todas las espiras atómicas de co-
rriente es igual a cero cuando no hay un campo magnético. Pero incluso estos materia-
les tienen efectos magnéticos cuando un campo externo altera los movimientos de los
electrones dentro de los átomos, lo que genera espiras de corriente adicionales y dipolos
magnéticos inducidos comparables a los dipolos eléctricos inducidos que se estudiaron en
la sección 28.5. En tal caso, la dirección del campo adicional provocado por estas espiras
de corriente siempre es opuesta a la dirección del campo externo. (Este comportamiento
se explica mediante la ley de Faraday de la inducción, que se estudiará en el capítulo 29.
Una corriente inducida siempre tiende a cancelar el cambio de campo que la provocó).
Se dice que tales materiales son diamagnéticos. Siempre tienen susceptibilidad ne-
gativa, como se aprecia en la tabla 28.1, y permeabilidad relativa Km ligeramente menor
que la unidad, comúnmente del orden de 0.99990 a 0.99999 para sólidos y líquidos. Las 28.27 En este diagrama, adaptado de
susceptibilidades diamagnéticas están muy cerca de ser independientes de la temperatura. una fotografía con aumento, las flechas
señalan las direcciones de magnetización
en los dominios de un solo cristal
Ferromagnetismo de níquel. Los dominios que están
Existe una tercera clase de materiales, llamados ferromagnéticos, que incluyen al hie- magnetizados en la dirección de un
rro, níquel, cobalto y muchas aleaciones que contienen dichos elementos. En esos ma- campo magnético aplicado crecen.
teriales, las interacciones fuertes entre los momentos magnéticos atómicos los llevan a) No hay campo
a alinearse paralelamente entre sí, en regiones llamadas dominios magnéticos, aun
cuando no esté presente un campo externo. La figura 28.27 muestra un ejemplo de
estructura de dominio magnético. Dentro de cada dominio, casi todos los momentos
magnéticos atómicos son paralelos.
Cuando no hay un campo externo aplicado, las magnetizaciones de los dominios
S
están orientadas al azar. Pero cuando está presente un campo B0 (generado por corrien-
tes externas), los dominios tienden a orientarse paralelamente al campo. Las fronteras b) Campo débil
de dominio también se desplazan; los dominios magnetizados en dirección del campo
crecen, y aquellos que lo están en otras direcciones se reducen. Como el momento
magnético total de un dominio puede ser de muchos miles de magnetones de Bohr, las
torcas que tienden a alinear los dominios con un campo externo son mucho más inten-
sas que aquellas que se presentan en los materiales paramagnéticos. La permeabilidad
relativa Km es mucho mayor que la unidad, comúnmente del orden de 1000 a 100,000.
Como resultado, un objeto hecho de un material ferromagnético, como el hierro, es S
B
magnetizado fuertemente por el campo de un imán permanente y es atraído por éste c) Campo más fuerte
(vea la figura 27.38). Un material paramagnético como el aluminio también es atraído
por un imán permanente, pero las Km de los materiales paramagnéticos son tan peque-
ñas en comparación con las de los materiales ferromagnéticos, que la atracción es muy
débil. Por ello, un imán puede levantar clavos de hierro, pero no latas de aluminio.
A medida que se incrementa el campo externo, se alcanza en algún momento un punto
donde casi todoss los momentos magnéticos en el material ferromagnético se alinean en
forma paralela con el campo externo. Es una condición que se llama magnetización de satu- S
B
ración; una vez que esta se alcanza, un mayor incremento del campo externo ya no ocasiona
un aumento en la magnetización ni en el campo adicional provocado por la magnetización. 28.28 Curva de magnetización para un
La figura 28.28 muestra una “curva de magnetización”, una gráfica de la magneti- material ferromagnético. La magnetiza-
ción M se aproxima a su valor de saturación
zación M en función del campo magnético externo B0, para el hierro forjado. Una des- Msatt conforme aumenta el campo magné-
cripción alternativa de tal comportamiento es que Km no es constante, sino que disminuye tico B0 (generado por corrientes externas).
conforme aumenta B0. (Los materiales paramagnéticos también presentan saturación en M
campos suficientemente intensos. Sin embargo, los campos magnéticos que se requie-
Msat
ren son tan grandes que la desviación con respecto a una relación lineal entre M y B0 en
estos materiales tan sólo se observa a temperaturas muy bajas, de 1 K o cercanas).
Para muchos materiales ferromagnéticos, la relación entre magnetización y el campo
magnético externo es diferente cuando el campo externo aumenta, no así cuando dis-
minuye. La figura 28.29a muestra dicha relación para un material de este tipo. Cuando B0
O
28.29 Ciclos de histéresis. Los materiales en los incisos a) y b) permanecen muy magnetizados cuando B0 se reduce a cero. Como el material
de a) también es difícil de desmagnetizar, sería adecuado para imanes permanentes. Puesto que el material de b) se magnetiza y desmagnetiza
con más facilidad, podría usarse como material para memorias de computadoras. El material de c) sería útil para transformadores y otros
dispositivos de corriente alterna en los que sería óptima una histéresis de cero.
a) b) c)
3 Se necesita un campo externo 2 El campo externo se reduce a
grande en dirección opuesta Magnetización
cero; la magnetización permanece.
M M M
para reducir a cero la
1 El material es magnetizado Estos materiales
magnetización.
hasta la saturación pueden magnetizarse
4 Un mayor incremento en por un campo externo. hasta la saturación,
el campo externo invertido Campo externo aplicado B0 y desmagnetizarse
B0 B0
da al material una magnetización mediante
en dirección contraria. campos externos
6 El incremento del campo más pequeños que
5 Esta magnetización externo en la dirección los del inciso a).
permanece si el campo original reduce de nuevo
externo se reduce a cero. a cero la magnetización.
BIO Aplicación Nanopartículas el material se magnetiza hasta la saturación y luego el campo externo se reduce a cero,
magnéticas en el tratamiento permanece cierta magnetización. Se trata de un comportamiento que es característico de
contra el cáncer En esta imagen mi- los imanes permanentes, que retienen la mayor parte de su magnetización de saturación
croscópica, las manchas de color violeta son
células cancerosas que se desprendieron de un cuando se retira el campo magnético. Para reducir la magnetización a cero se requiere
tumor y amenazan con dispersarse por el un campo magnético en la dirección inversa.
cuerpo del paciente. Una técnica experimental Este comportamiento se llama histéresis, y las curvas de la figura 28.29 se denomi-
para combatir estas células consiste en utili- nan curvas o ciclos de histéresis. La magnetización y desmagnetización de un material
zar partículas de un material magnético (en
que tiene histéresis implica la disipación de energía, por lo que la temperatura del ma-
color café) que se inyecta en el cuerpo. Estas
partículas están recubiertas con una sustancia terial aumenta durante este proceso.
química que se adhiere preferentemente a las Los materiales ferromagnéticos se utilizan ampliamente en electroimanes, núcleos
células cancerosas. Un imán colocado fuera del de transformadores y motores, y generadores, en los cuales es deseable tener un campo
paciente se utiliza entonces para “conducir” a magnético tan grande como sea posible para una corriente determinada. Puesto que la
las partículas fuera del cuerpo, llevándose con
histéresis disipa energía, los materiales que se utilizan en estas aplicaciones por lo ge-
ellas las células cancerosas (la fotografía es cor-
tesía del investigador sobre el cáncer, el doctor neral deberían tener un ciclo de histéresis tan estrecho como sea posible. El hierro for-
Kenneth Scarberry). jado se utiliza con frecuencia, ya que tiene alta permeabilidad sin histéresis apreciable.
Para imanes permanentes, generalmente resulta deseable un ciclo de histéresis amplio,
con una magnetización grande con un campo igual a cero, y un campo inverso grande
para desmagnetizar. Es común el uso de muchas clases de acero y de numerosas alea-
ciones, como el alnico, en la fabricación de imanes permanentes. El campo magnético
residual en un material de este tipo, después de haberse magnetizado hasta cerca de la
saturación, por lo común es del orden de 1 T, lo que corresponde a una magnetización
residual M = B>m0 de alrededor de 800,000 A>m.
SOLUCIÓN
EJEMPLO 28.12 MATERIAL FERROMAGNÉTICO
Un imán permanente en forma de cubo está hecho de un material donde x es la distancia desde la espira y a es su radio. Aquí se utiliza
ferromagnético con magnetización M de alrededor de 8 * 105 A>m. la misma expresión, si tomamos a como el tamaño del imán perma-
El imán tiene 2 cm por lado. a) Calcule el momento dipolar magné- nente. En sentido estricto, hay complicaciones porque nuestro imán
tico del imán. b) Estime el campo magnético debido al imán en un no tiene la misma geometría que una espira de corriente circular.
punto situado a 10 cm del imán a lo largo de su eje. Pero como x = 10 cm es muy grande en comparación con el tamaño
de 2 cm del imán, el término a2 es insignificante en comparación con
SOLUCIÓN x2, así que podemos ignorarlo. Entonces,
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Este problema se basa en la relación m0 mtotal 1 4p * 10-7 T # m>A2 1 6 A # m22
B ≈ =
entre la magnetización M y el momento dipolar magnético mtotal, así 2px 3 m 3
2p1 0.1 m2
como en la idea de que un dipolo magnético produce un campo
magnético. Calculamos mtotal usando la ecuación (28.28). Para esti- = 1 * 10-3 T = 10 G
mar el campo magnético, aproximamos el imán como una espira de el cual es alrededor de 10 veces más intenso que el campo magnético
corriente con el mismo momento magnético y usamos la ecuación de la Tierra.
(28.18).
EVALUAR: Calculamos B en un punto ubicado afuera del material
EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (28.28), magnético y, por lo tanto, usamos m0, no la permeabilidad m del ma-
mtotal = MV = 1 8 * 105 A>m2 1 2 * 10-2 m2 3 = 6 A # m2 terial magnético. Habría que sustituir m0 por la permeabilidad m si
se tuviera que calcular B dentro de un material con permeabilidad
b) Según la ecuación (28.18), el campo magnético sobre el eje de relativa Km, para el que m = Kmm0.
una espira de corriente con momento magnético mtotal es
m0 mtotal
B =
2p1 x 2 + a22 3>2
EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.8 ¿Cuáles de los siguientes

materiales son atraídos por un imán? i. Sodio; ii. bismuto; iii. plomo; iv. uranio. ❙

Cap 28 M

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?

El inmenso cilindro que

= 110-7 N # s2>C2 2c2

EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.1 a) Si dos protones viajan para-

28.3 a) Vectores del campo magnético 28.2 CAMPO MAGNÉTICO DE UN ELEMENTO

de corriente S m0 I dl : nr elemento hacia donde

Las ecuaciones (28.5) y (28.6) constituyen

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 28.1 CÁLCULOS EN CAMPOS MAGNÉTICOS

generado por un segmento de alambre de 1.0 cm en un punto locali- S m0 I dl : nr l - nd 2 : ne

EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.2 Un elemento de corriente infini-

28.5 Campo magnético producido por un 28.3 CAMPO MAGNÉTICO DE UN CONDUCTOR

O x d generado por el elemento conductor de longitud dl = dy que se ilustra en la figu-

4p L-a 1 x 2 + y22 3>2

EJEMPLO 28.3 CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLO ALAMBRE

EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.3 La figura de la derecha muestra ¿Cuál Interruptor

paralelos que transportan corriente en sentidos opuestos se repelen entre sí.í

Fuerzas magnéticas y la definición de ampere

Un ampere es la corriente constante que, si está presente en dos conductores paralelos

De acuerdo con la ecuación (28.11), se observa que esta definición de ampere es lo

L 4p1 x + a22 3>2 L

La integral de dll es justamente la circunferencia del círculo, 1dl = 2pa y, finalmente,

Regla de la mano derecha B

Campo magnético sobre el eje de una bobina

28.15 Líneas de campo magnético

EJEMPLO 28.6 CAMPO MAGNÉTICO DE UNA BOBINA

EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.5 La figura 28.12 muestra el

28.6 LEY DE AMPÈRE

En el capítulo 6 se emplearon integrales de línea para definir el trabajo, y en el capítu-

ABŒ dl, donde BŒ es la componente de B paralela a d l en cada punto. El círculo sobre el

Ley de Ampère en un conductor largo y recto

28.16 Tres trayectorias

limitada por la trayectoria.

a) b) 28.17 a) Una trayectoria

que no depende de la forma de la trayectoria ni de la posición del conductor dentro

es igual a cero; A du es cero en vez de 2p y la integral de línea es cero.

Ley de Ampère: Enunciado general 28.18 Ley de Ampère.

CProducto escalar del campo magnético

Si A B # d l = 0, esto no necesariamente significa que B = 0 a todo lo largo de la

A B d l recibe una contribución nula de

contribución positiva del segmento de la

28.7 APLICACIONES DE LA LEY DE AMPÈRE

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 28.2 LEY DE AMPÈRE

En la forma AB # d l = m0Ienc, se puede obtener

2. En la integral AB # d l , B es el campo magnético total en cada

la integral AB # d l siempre es igual a cero.

4. Use la ley de Ampère, AB # d l = m0I para obtener la incógnita.

En la sección 28.6 se obtuvo la ley de Ampère empleando la ecua-

en un plano perpendicular a éste, como en la figura 28.16a. En todos

EJECUTAR: A lo largo de cada trayectoria, AB d l es igual al producto

de B por la circunferencia l = 2prr de la trayectoria. La corriente total

EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 28.7 Considere un alambre conduc-

28.8 MATERIALES MAGNÉTICOS

disco de computadora, en realidad se establece una configuración de imanes permanen-

mB = 9.274 * 10-24 A # m2 = 9.274 * 10-24 J>T

Le recomendamos verificar que estos dos conjuntos de unidades sean congruentes.

momento magnético en un campo magnético.

mas que las de B: (T # m>A)(A>m) = T.

Susceptibilidades La cantidad en que la permeabilidad relativa difiere de la unidad se llama suscepti-