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Conteo y Trazado de Figuras Maximos Minimos y Edades 240550 Downloable 2098911
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13 pag.
CONTEO DE FIGURAS: Consiste en averiguar el número exacto (por lo general el máximo) de figuras, tales
como: segmentos, triángulos, cuadriláteros, cuadrados, pentágonos, hexágonos, etc., estas a su vez se pueden
encontrar formando parte de una figura principal (figura compuesta).
Muchas veces es necesario tener en cuenta las sumas notables y la aplicación del método inductivo.
MÉTODOS DE CONTEO
CONTEO POR SIMPLE INSPECCIÓN
Contamos las figuras que nos solicitan de manera directa utilizando únicamente nuestra capacidad de
observación. En este caso no se lleva ningún registro de lo que se va contando.
1 2 3 ........ n
Luego:
1 2 3 ........ n
Solución:
Por el método inductivo:
nn 1
# de segmentos Þ 1 + 2 + 3 +…+ n =
2
1 2
Þ 3=1+2 n n 1
N° de segmentos:
2
1 2 3
Þ 6=1+2+3 Donde n = # de Separaciones
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B) CONTEO DE TRIÁNGULOS:
CASO I: Cuando desde un vértice salen líneas que llegan al lado opuesto
1 2 3 ... n 1 2 3 ... n
Þ Nº de triángulos: 1 + 2 + 3 +…+ n
Por el método inductivo:
Donde n = # de Separaciones
1 2 3 Þ Nº de triángulos: 1 + 2 + 3 = 6
CASO II: Cuando desde un vértice salen líneas que llegan al lado opuesto y hay líneas paralelas o no a
dicho lado, las cuales no nacen de algún vértice
¿Cuántos Triángulos hay en la figura adjunta? Cantidad de Triángulos para caso II:
é n( n + 1) ù
# de Triángulos =
êë 2 úû m
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Ejemplo: Solución:
¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo en la Observando la figura tenemos.
figura mostrada? n=8 y m=4
é 8(8 + 1) ù
N° de Triángulos =
êë 2 úû x 4 = 144
CASO III: Número de triángulos generados por las cevianas trazadas de dos vértices.
Ejemplo: ¿Cuántos Triángulos hay en la figura Además la línea que sale del vértice B divide al
adjunta? triángulo en 2 zonas. Luego m = 2
A (5)( 2)(5 + 2 )
N° de Triángulos = = 35 Triángulos.
2
B C é mn ( n + m) ù
N° de Triángulos =
êë 2 úû
Solución:
C) CONTEO DE CUADRILÁTEROS:
CASO I:
Ejemplo:
n(n + 1)
N° de cuadriláteros: 1 2 3 4 n =5
2
2
3
CASO II:
m= 4
5(5 + 1) 4(4 + 1)
# de Cuadriláteros = x
2 2
n(n + 1) m(m + 1) # de Cuadriláteros =150
N° de Cuadriláteros = x
2 2
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1 2 3 4= n
2
3
4
5
6
m= 7
4(4 + 1) 7(7 + 1)
# de Trapecios = x
2 2
# de Trapecios =280
La misma fórmula anterior se usa también cuando nos pidan hallar trapecios circulares.
E) CONTEO DE CUADRADOS:
n(n + 1)(2n + 1)
# de Cuadrados = 1 2 3 4 n=5
6
2
3
4
m =5
En el ejemplo 1:
5(5 + 1)(2)(5) + 1)
# de Cuadrados = = 55 cuadrados.
6
1 2 3 4 5 ==n
2
3
m= 4
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Ejemplo: ¿De cuántas maneras puede ir Carlos de A hacia B sin pasar dos veces por el mismo lado?
Solución:
B
Solución:
1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
1 3 6 10 15 21 28
1 4 10 20 35 56 84
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Sin Reposición: es un término usado con frecuencia en los problemas de Urnas, que indica que se deben ir
sacando los objetos sin reponerlos. En los problemas planteados siempre se debe utilizar este
término, a no ser que se diga lo contrario.
Más pesimista o el peor de los casos: esta expresión nos indica que se está analizando el caso más extremo
(desfavorable) en un máximo o un mínimo
Ejemplo: Una señora tiene en una caja oscura, 3 pares diferentes de zapatos de colores negros, 4 blancos, 2
azules y 5 rojos. Diga Ud. ¿Cuántos zapatos se deben extraer de uno en uno sin reposición a fin de tener la
certeza de obtener un par útil?
a) 15 b) 5 c) 3 d) 4 e) 8
Ejemplo: Los ingresos mensuales de Roxana varían entre 540 y 620 soles inclusive, y sus gastos mensuales
varían entre 320 y 400 soles, inclusive. Si la diferencia la reparte por igual con sus 4 hijos. ¿Cuál es la máxima
cantidad que recibirá una de ellas algún mes?
a) 35 b) 45 c) 60 d) 80 e) 75
Solución:
Para obtener el máximo ahorro Roxana debe ganar 620 y gastar 320 entonces el saldo será 620-320 = 300.
Si la diferencia la reparte por igual con sus 4 hijos, entonces ella también se incluye, luego el máximo ahorro se
divide entre 5, de lo que resulta:
300/5 = 60
EDADES
En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos a encontrar, las
relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matemáticos muy frecuentes y dados la diversidad de
situaciones que se presentan, existiendo así métodos prácticos de resolución, por eso le daremos una atención
especial.
Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, gráficos, dibujos, esquemas, etc., que nos
permitan visualizar e imaginar mejor la solución de los mismos.
Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo
una serie de condiciones. A continuación trataremos sobre ellos.
1. SUJETOS
Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero algunos problemas pueden ser
sobre animales, plantas, etc.
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Carlos Alfonso es 2 años menor que María Fernanda, pero 3 años mayor que María Belén
María Carlos María
Belén Alfonso Fernanda
Ejemplo N° 02
La edad del Gorila Luis y la edad del mono Carlos suman tanto como la suma de los 6 primeros números
primos.
Gorila Mono
Luis Carlos
x + y = 41 Þ (2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13)
Ejemplo N° 03
La edad de un árbol ébano, cuando fue talado era 94 años más que la edad de la planta girasol.
Edad de Girasol : G
Edad de Ébano : E
G = E – 94 ó E = G + 94
2. TIEMPOS
Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos
diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras expresiones las cuales deben interpretarse
correctamente caso contrario complicarían la resolución de los problemas.
a) Tiempo Pasado
“Hace......años” Yo Tenía
“Las suma de edades fue....” Tuve
“Ellos tuvieron....años” Tú Tenías
“Mi edad era de.... años” Tuviste
“Nosotros tuvimos.....años” El Tenía
Tuvo
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3. EDADES
Es un lapso de tiempo correspondiente a la existencia de un sujeto. Entre las edades se establecen
determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o en tiempos
diferentes.
Tipos de Problemas
Ejemplo
Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” años, mi edad se expresa:
Hacen
x–m x x+n
Se observa:
· La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la misma en el
presente, pasado y futuro).
Esto es :
a - b = m–n = r- s
· Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados simétricamente son
iguales.
a + n= b + m
m + s = n+ r
a + s = b+r
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. A Enrique le preguntan por su edad y él responde. Si a mi edad le suman el triple de la edad que tuve hace
4 años más la edad que tendré dentro de 4 años, obtendrán mi edad más 28 años ¿Cuál es la edad de
Enrique?
a) 16 b) 14 c) 12 d) 9 e) 7
Solución
Sea “x” la edad de Enrique.
La edad de Enrique hace 4 años = x - 4
La edad de Enrique dentro de 4 años = x + 4
De las condiciones del problema se tiene:
X + 3(x-4) + (x + 4) = x + 28
X + 3x-12 + x + 4 = x + 28
4x = 36
x=9
2. La edad actual de Lizeth es el cuádruplo de la edad de Lourdes. Dentro de 16 años la edad de Lizeth será
el doble dela edad de Lourdes.¿Cuál será la edad de Lourdes entro de 20 años?
a) 14 b) 15 c) 19 d) 22 e) 28
Solución
Sea “x” la edad de Lourdes.
4x +16 = 2( x +16 )
4x + 16 = 2x + 32
2x = 16
x = 8
La edad de Lourdes dentro de 20 años será = 8 + 20 = 28
3. La edad de un Padre es el cuádruplo de la edad de su hijo. Hace 3 años era el quíntuplo.¿Cuál es la edad
actual del Padre?
a) 30 b) 35 c) 40 d) 48 e) 55
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4x – 3 = 5( x-3)
4x - 3 = 5x –15
x = 12
La edad del Padre = 4(12) = 48
4. Hace 5 años, la edad de un padre fue tres veces más que la edad de su hijo, y dentro de 5 años será
solamente el doble de la de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo el
padre cuando nació el hijo?
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
Solución:
x = 4 (y - 5) + 5 4 (y - 5) + 5 + y + 5 = y + 2( y + 5)
4 y - 20 + 5 + y + 5 = y + 2 y + 10
5y - 10 = 3y + 10
y = 10
x = 25
Luego: El padre tuvo 15 años cuando nació el hijo, por tanto el padre tendrá 30 años cuando el hijo
tenga 15 años.
5. Al preguntarle a un abuelo por su edad contestó: “No soy tan joven que pueda tener menos de 70 años, ni
tan viejo que me puedan llamar noventón”. Cada uno de mis hijos me han dado tantos nietos como hermanos
tienen, mi edad es justo el triple de hijos y nietos que tengo. ¿Qué edad tiene el abuelo?
a) 70 años b) 72 años c) 75 años d) 78 años e) 80 años
Solución
69 < x < 90
x =3 [ n + n( n-1) ]
x = 3 n2
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